Plan d’échantillonnage

• Définitions

• Caractéristiques d’un plan d’échantillonnage

• ISO 2859 - ANSI/ASQ Z1.4

• Analyse d’un plan d’échantillonnage

Échantillonnage

• Définition– «L'échantillonnage est la sélection d'une

partie dans un tout» (Wikipedia)

Plan d'échantillonnage

• Définition– «Façon dont on prélèvera l'échantillon»

(Statistique Canada1)

• Objectif– Déterminer si un tout (ex. un lot) doit être

accepté ou rejeté suite à l’examen d’un échantillon

1: http://www.statcan.ca/francais/edu/power/ch13/sample/sample_f.htm#plan

Caractéristiques d’un plan d’échantillonnage

• Effectif (taille) de l’échantillon

• Procédure de prélèvement– Simple– Double– Multiple– Progressif

Caractéristiques d’un plan d’échantillonnage

• Règles de décision (ex. le lot est accepté si le nombre de produits non conformes dans l’échantillon est inférieur au critère de rejet)

Caractéristiques d’un plan d’échantillonnage

• Applicabilité– Production

• Production par lot• Production continue

– Type d’échelle de mesure• Par attributs (échelle nominale binaire) (ex. pièces

conformes ou non conformes)• Échelle numérique (ex. longueur d’une pièce en

cm)

ISO 2859 – ANSI/ASQ Z1.4

• Applicabilité– Production par lot– Variable de type « attribut »

• Règle de décision– Le lot est accepté si le nombre de produits

non conformes dans l’échantillon est inférieur au critère de rejet

Procédure pour appliquer un plan (échantillonnage simple)

• Prélever au hasard dans un lot de taille N un échantillon de taille n

• Compter le nombre d’unités non conformes (d) dans l’échantillon

• Accepter le lot si «d» est plus petit que le critère de rejet (r)

Lot de taille N

Accepter le lot si (d < r)

Échantillon de taille n

En cas de rejet d’un lot

• Le producteur doit – Tester tous les produits du lot– Mettre de côté tous les produits non

conformes– Entreprendre une démarche de résolution de

problème– Faire part des actions entreprises

Procédure pour construire un plan

• Déterminer la lettre-code (LC) à partir du niveau de vérification (V) et de la taille du lot (N)

• Identifier la table qui correspond au type d’échantillonnage ([simple, double ou multiple] et au niveau de contrôle [contrôle normal, renforcé ou réduit])

• Déterminer la taille de l’échantillon (n) et les critères d’acceptation (c) et de rejet (r) à partir de la lettre-code (LC) et du niveau de qualité acceptable (NQA)

Procédure pour la détermination du niveau de contrôle

DÉBUT

CONTRÔLE NORMAL

2/5REFUSÉS

?

OU

I

OUI

NO

N

d r

Šd c

LOT

ACCEPTÉ

LOTREFUSÉ

CONTRÔLESÉVÈRE

CONTRÔLERÉDUIT

ACCEPTÉS

5/5

?

10/10

ACCEPTÉS

?

JK-860731

NO

N

NO

N

OUI

OUI

NO

N

NON

OUI

(1) respect d’un ensemble de conditions

+ (1)

d < r

NON

OU

I

Image tirée de J. Kélada, Qualité: contrôle statistique et métrologie, Quafec.

c

Analyse d’un plan d’échantillonnage

• Notion de risque

• Courbe d’efficacité

• Calcul de la probabilité d’acceptation d’un lot (Pa) sachant que sa proportion de produits non conformes est p

• Qualité moyenne transmise

Notion de risque

Lot accepté Lot rejeté

Lot «désirable»

Bonne décision Erreur de type I (risque alpha)

(risque du fournisseur)

Lot «indésirable»

Erreur de type II (risque beta)

(risque du client)

Bonne décision

Courbe d’efficacité

• L’efficacité d’un plan d’échantillonnage est sa capacité à accepter les lots désirables et à rejeter les lots indésirables

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0,000 0,040 0,080 0,120 0,160

p

Pa

Calcul de la probabilité d’acceptation d’un lot (Pa) sachant que sa proportion de produits non

conformes est p• Calcul exact– Loi hypergéométrique

• Estimation– Loi binomiale (si n/N est petit)– Loi normale (si n/N est petit)– Loi de Poisson (si n/N et p sont petits et n

n’est pas trop petit)OùN: taille du lotn: taille de l’échantillonp: proportion de produits non conformes dans le lot

Loi de Poisson

rpnNfPa ,,,N: taille du lotn: taille de l’échantillonp: proportion de produits non conformes dans le lotr: critère de rejet

Fonction loi.poisson() dans Excel

Cette fonction calcule la probabilité (P(X)) d’avoir une valeur plus petite ou égale à un seuil (X) dans un échantillon

XRemarque: pour calculer la probabilité d’acceptation d’un lot, il faut fixer X = r-1. En d’autres termes: Pa = P(X=r-1)

Fonction loi.poisson() dans Excel

r-1

np

Pa

Qualité moyenne transmise

• Définition– Proportion moyenne de produits non

conformes que l’on trouvera dans un lot après que ce dernier ait subi un plan d'échantillonnage

Traduction anglaise: (AOQ Average Outgoing Quality)

Qualité moyenne transmise

• Si on émet les hypothèses que:– Tous les lots refusés selon le plan

d’échantillonnage sont soumis à un contrôle unitaire

– Tous les produits non conformes identifiés lors d’un contrôle sont nécessairement remplacés par de bons produits

• Alors

On peut utiliser la formule de la page suivante pour calculer la QMT

Qualité moyenne transmise

néchantillol' de taille:n

lotdu taille: N

nnageéchantillod'plan le

appliqueon si acceptésoit conformesnon produits de

(p) proportion uneayant lot un qu' éprobabilit :P

lot le dans conformesnon produits de proportion : p

:où

a

QMTP N n p

Na ( )

Qualité moyenne transmise

Lot de départ Échantillonnage

Lot accepté

Lot rejeté

Proportion de produits non conformes: p

Proportion de produits non conformes: 0

Proportion de produits non conformes: (N-n)p/N

Pa

1-Pa

Espérance de la proportion de produits non conformes: QMT=(Pa(N-n)p/N)