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HEIG-VD Régulation numérique (REN)

Haute Ecole d’Ingéniérie et de Gestion ducanton de Vaud (HEIG-VD)

Département des TechnologiesIndustrielles (TIN)

Filière Génie électrique (GE)

Régulation numérique (REN)Exercices

A

i

i

utomatisation

n s t i t u t d '

n d u s t r i e l l e

Prof. Michel ETIQUE, septembre 2011,Yverdon-les-Bains

Exercices, v.1.15 1 MEE \ex_rn.tex

25 novembre 2011

http://www.heig-vd.ch/

http://eint20/tin//Consultation/Plan_Etudes/Filieres_Bachelor/current//UEs/ren.pdf


http://www.heig-vd.ch/tin






mailto:[email protected]


http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn/ex_rn///Figures/iai.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn/ex_rn///Figures/heig-vd-seul.pdf












Table des matières

1 Régulateur PID numérique 3

2 Retard dû au temps de calcul 3

3 Synthèse approchée d’un régulateur numérique 6

4 Synthèse d’un régulateur numérique 7

5 Effets d’une non-synchronisation des périodes d’échantillonnage 7

6 Bloqueur d’ordre 1 9

7 Inversion de la transformée en z 9

8 Transformée en z 9

9 Transformée en z 9

10 Version numérique approximée du système fondamental d’ordre2 10

11 Diverses méthodes d’intégration numérique 10

12 Caractéristiques des systèmes discrets à partir de leurs fonctionsde transfert en z 13

13 Caractéristiques des systèmes discrets à partir de leurs équationsaux différences 14

14 Loi de commande d’un régulateur PD numérique 14

15 Fonction de transfert et équation aux différences 15

16 Filtre passe-bas numérique d’ordre 1 15

17 Schéma fonctionnel et fonction de transfert 16

18 Modèle échantillonné du double intégrateur 16

19 Asservissement par régulateur PI numérique 17

20 Modèle échantillonné d’un système à régler 18

21 Modèle échantillonné d’un système à régler 18


25 novembre 2011











22 Modélisation d’un système dynamique 20

23 Réponses indicielles 20

24 Fonction de transfert 21

25 Discrétisation d’un filtre analogique 21

26 Régulateur RST 22

27 Réponses harmoniques des fonctions de transfert d’un systèmeasservi 23

28 Synthèse d’un régulateur numérique par le lieu des pôles 24

29 Synthèse d’un régulateur PID numérique 25

30 Réponse harmonique d’un régulateur numérique 25

31 Synthèse d’un régulateur PD numérique 25


33 Réponse harmonique d’un système numérique 26

34 Synthèse fréquentielle d’un régulateur PD 27


36 Choix de la période d’échantillonnage 28

37 Régulateur numérique à avance de phase 28

38 Régulateur numérique de type P 28

39 Régulateur numérique "special edition" 29

40 Régulateur PD2 29

41 Commande anticipée 30

42 Commande anticipée/a priori 31


25 novembre 2011











1 Régulateur PID numérique

Soit le régulateur PID analogique donné par la loi de commande :

u (t) = K p ·

e (t) +

1

T i·

t 0

e (t) ·dt + T d ·de (t)

dt

1.1

Etablir la loi de commande du régulateur PID numérique correspondant, enapproximant l’intégrale par la méthode des trapèzes.

1.2Calculer et tracer les 10 premiers échantillons de la réponse indicielle discrète

du régulateur PID numérique pour :

K p = 2T i = 2.5 [s]T d = 3 [s]h = 1 [s]

Remarque Il est possible de tracer cette réponse avec MATLAB.

1.3

Tracer sur un même graphique la fonction

y = sin

2 · π

T · t

,

sa dérivée exacte et l’approximation numérique de cette dérivée par la méthoded’Euler :

dy

dt≈

y[k] − y[k − 1]

h

Que constatez-vous ? Quels sont les déphasages entre ces différents signaux ?

Indications Prendre T h

= 9, T = 2 · π et s’aider par exemple de MATLAB.

2 Retard dû au temps de calcul

Soit le système mixte suivant, effectuant par exemple le filtrage numérique designaux analogiques :


25 novembre 2011











AD

u(t)

signal discret

signal analogique

u(k)

AD y(t)

signal discret

signal analogique

Algorithme

f_02_1.eps

Horloge(timer)

kt

y(k)

L’algorithme n’effectue aucun traitement du signal discret u[k] et ne fait que letransmettre. En admettant que u(t) soit un saut unité parfaitement synchronisésur le signal démarrant une conversion A/D, tracer l’allure de y(t) dans les casci-dessous. On admet que les temps de conversion des convertisseurs A/D et D/Asont nuls.

2.1

La durée d’exécution de l’algorithme est strictement nulle et les convertisseurssont parfaitement synchronisés.

f_02_2.eps

u(t),

u(k)

t , k

1

0

y(t),

y(k)

t , k

1

0


25 novembre 2011



http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn/ex_rn///Figures/f_02_2.pdf















2.2

La durée d’exécution de l’algorithme est non-nulle (mais inférieure à h) et lesconvertisseurs sont parfaitement synchronisés.

u(t),

u(k)

t , k

1

0

y(t),

y(k)

t , k

1

0

retard :h

f_02_3.eps

2.3

La durée d’exécution de l’algorithme est non-nulle (mais inférieure à h) et laconversion D/A est déclenchée dès la fin de l’exécution.


25 novembre 2011












f_02_4.eps

u(t),u(k)

t , k

1

0

y(t),

y(k)

t , k

1

0

retard :Ta

3 Synthèse approchée d’un régulateur numérique

Soit le système à régler donné par la fonction de transfert

Ga (s) =

Y (s)

U (s) =

7.0396

(s2 + 0.265 · s + 7.0216) · (1 + 0.002 · s)

3.1

Avec l’aide de MATLAB, ajuster par la méthode de Bode les gains d’un régu-lateur analogique de telle manière que la bande passante en boucle fermée soitde l’ordre de 100

rad

s

.

3.2

Il est souhaité que le système précédent soit asservi par un régulateur numé-rique. Après avoir choisi la période d’échantillonnage h et calculé le retard purtotal imputable à l’échantillonnage et à la reconstruction, tracer le diagramme deBode de la fonction de transfert en boucle ouverte Go(s). Que constate-t-on ?

3.3

Tout en maintenant la valeur de h, réajuster les gains du régulateur numériquede façon à garantir un degré de stabilité suffisant. Quels compromis faut-il faire ?


25 novembre 2011












4 Synthèse d’un régulateur numérique

On considère la fonction de transfert du système à régler

Ga(s) =Y (s)

U (s)= 10 ·

1

s · (1 + s · 0.1)

On souhaite asservir numériquement le système à régler Ga(s) de telle façon quele cahier des charges suivant soit respecté :

– Le système doit être stable en boucle fermée ;– La durée de réglage Treg doit être d’approximativement 3 [s] ;– Le régulateur (linéaire) doit être de la structure la plus simple possible.

La période d’échantillonnage h est fixée et vaut 0.5 [s].Déterminer et calculer le régulateur approprié.

te_rn_34.tex

5 Effets d’une non-synchronisation des périodes

d’échantillonnage

5.1

On considère le dispositif suivant :

AD

u(t)

y(k)

Horlogeh=h

1

kt

Algorithme intégrateur

numérique

AD

AD

f_12_1.eps

Horlogeh=h

2

AD

AD

Algorithme dérivateur

numérique

u(k)

Les 2 sous-systèmes ont des périodes d’échantillonnage h1 et h2 légèrement diffé-rentes, par exemple

h2 = 1.01 · h1

Construire un schéma de simulation Simulink et observer les signaux u[k] et y[k]pour h1 = 1 [s]. Que remarque-t-on et quelle en est la cause ?


25 novembre 2011



















5.2

Visulaliser à l’aide d’un schéma de simulation Simulink l’effet du phénomène

observé au § 5.1 page précédente dans le cas d’un asservissement, comme indiquésur la figure ci-dessous :

w(k)Algorithme régulateur PD

numérique

AD

AD

f_12_2.eps

Horlogeh=h

2

AD

AD

e(k) u(k)Système à

régler

Horlogeh=h

1

y(t)

y(k)

5-

On effectuera la simulation avec les données suivantes :

K p = 0.14

T d = 100 [s]

h1 = 1 [s]

h2 = 1.01 [s]

Ga(s) =Y (s)

U (s)=

1

s · (1 + s · 10) · (1 + s · 100)


25 novembre 2011


















6 Bloqueur d’ordre 1

6.1Donner l’équation régissant le bloqueur d’ordre 1.

6.2

Donner le schéma fonctionnel du bloqueur d’ordre 1.

7 Inversion de la transformée en z

Trouver les 5 premiers échantillons du signal discret ayant pour transforméeen z :

G (z) =z · (z2 − 2 · z + 2)

z3 − 4 · z2 + 5 · z − 2

et les représenter graphiquement.

Indication : utiliser la méthode de la division polynômiale.

8 Transformée en z

Calculer la transformée en z de la sinusoïde discrète

x [k] = sin (ω · k · h)

en appliquant la définition du §III.3.1, i.e. sans consulter la table des transforméesen z !

9 Transformée en z

Calculer la transformée en z su signal x(t) ayant pour transformée de Laplace

X (s) =1

s · (1 + s · τ 1) · (1 + s · τ 2)

sans faire usage de la transformée no 20 de la table de l’annexe du chapitre 3 [?].


25 novembre 2011











10 Version numérique approximée du système fon-

damental d’ordre 2

10.1

En procédant de manière similaire à ce qui est exposé au §IV.3.1.3.4 du cours,établir l’équation aux différences d’un système fondamental d’ordre 2 (rappel :les pôles sont complexes) :

G (s) =Y (s)

U (s)=

K 2

1 + s · 2·ζ ωn

+ s2 · 1ω2n

10.2

A l’aide d’éléments retard z−1, gains et comparateurs, donner le schéma fonc-tionnel détaillé correspondant à l’équation aux différences obtenue.

10.3

Calculer la transformée en z du signal de sortie du système fondamentald’ordre 2 lorsque l’entrée est une impulsion unité discrète.

11 Diverses méthodes d’intégration numérique

Donner l’équation aux différences du système discret dont le signal de sor-tie y[k] est l’approximation de l’intégrale du signal d’entrée u[k], résultant del’échantillonnage du signal analogique u(t).

Envisager 3 méthodes d’approximation de l’aire comprise entre l’axe du tempset u(t) :

11.1

Somme de rectangles ( forward )

kh 0

u (τ ) · dτ ≈k−1l=0

u [l] · h


25 novembre 2011











0 t, k

u(t)

k-1 k k+1

h f_08_1.eps

11.2

Somme de trapèzes (Tustin )

k·h 0

u (τ ) · dτ ≈k−1l=0

u [l] + u [l + 1]

2· h

0 t, k

u(t)

k-1 k k+1

h f_08_2.eps

11.3

Somme de rectangles (backward )

kh 0

u (τ ) · dτ ≈kl=0

u [l] · h


25 novembre 2011











0 t, k

u(t)

k-1 k k+1

h f_08_3.eps

11.4A l’aide d’éléments retard z−1, gains et comparateur, donner les schémas

fonctionnels détaillés correspondant aux trois équations aux différences obtenues.

11.5

Calculer les transformées en z des réponses impulsionnelles discrètes des troissystèmes intégrateurs.


25 novembre 2011











12 Caractéristiques des systèmes discrets à partir

de leurs fonctions de transfert en z

Tracer les réponses indicielles, déterminer– le gain permanent K – l’ordre n

– les pôles et zéros– le degré relatif d = n−m

des systèmes discrets définis par les fonctions de transfert ci-dessous, et vérifierles résultats à l’aide du logiciel MATLAB.

Fonctions MATLAB utiles :– step (Control System Toolbox)– dcgain (Control System Toolbox)– pzmap (Control System Toolbox)

12.1

G(z) =Y (z)

U (z)=

z

z − cc = 0.5

12.2

G(z) = Y (z)U (z)

= 1z − c

c = 0.5

12.3

G(z) =Y (z)

U (z)=

1

z2 · (z − c)c = 0.5

12.4

G(z) = Y (z)U (z)

= 1 − cz − c

c = 0.5

12.5

La fonction de transfert en z est celle du système fondamental du second ordreapproximé à l’exercice 10 :

G (z) =Y (z)

U (z)=

b0 · z2

z2 + a1 · z + a2


25 novembre 2011











avec

b0 = 0.4357

a1 =−

1a2 = 0.4357

13 Caractéristiques des systèmes discrets à partir

de leurs équations aux différences

Pour les systèmes décrits par les équations aux différences ci-dessous, donner :

– leur gain permanent ;– le type de comportement (intégrateur, dérivateur) ;

– leur ordre n et leur degré relatif d ;– leur schéma structurel.

13.1

y[k] +a1 ·y[k−1] = b0 ·u[k] +(b1 − b0) ·u [k − 1]+(b2 − b1) ·u [k − 2]−b2 ·u [k − 3]

13.2

y[k] + [a1 − 1] · y[k − 1] − a1 · y[k − 2] = b0 · u[k − 1]

14 Loi de commande d’un régulateur PD numé-

rique

La loi de commande d’un régulateur PD analogique est donnée par

u(t) = K p ·

e(t) + T d ·

de

dt

où u(t) est la commande et e(t) le signal d’erreur.

Donner une loi de commande u[k] = f (e[k]) de la version numérique de cerégulateur.


25 novembre 2011











15 Fonction de transfert et équation aux diffé-

rences

15.1 Fonction de transfert

Un régulateur numérique à avance de phase est régi par l’équation aux diffé-rences :

u[k] + a1 · u[k − 1] = b0 · e[k] + b1 · e[k − 1]

(signal d’entrée : e[k], signal de sortie : u[k])Donner la fonction de transfert du régulateur.

15.2 Equation aux différencesUn régulateur numérique a pour fonction de transfert

Gc(z) =U (z)

E (z)=

b0 · z2 + b1 · z + b2

z · (z − 1)

Donner l’équation aux différences régissant le régulateur.

16 Filtre passe-bas numérique d’ordre 1

On considère le système dynamique discret (filtre numérique) régi par l’équa-tion aux différences :

y[k] + a1 · y[k − 1] = b0 · u[k]

(signal d’entrée : u[k], signal de sortie : y[k])

16.1 Réponse indicielle

Avec les paramètres

a1 =

−

0.7165

b0 = 1 + a1

calculer et tracer les 5 premiers échantillons de la réponse indicielle du système.

16.2 Schéma fonctionnel

A l’aide d’éléments de type sommateurs, gains et retards purs d’une périoded’échantillonnage, donner le schéma fonctionnel du filtre.


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17 Schéma fonctionnel et fonction de transfert

Partant des schémas fonctionnels suivants, donner la fonction de transfertG(z) = Y (z)U (z)

du système discret correspondant :

1.

z−1 h Σ

z−1

u[k] y[k]

−

2.

h

2Σ

z−1 z−1

u[k] y[k]

3.

b0 z−1 Σ y[k]

z−1

a1−

1

−

z−1

a1

−

u[k]

y[k−

1]

y[k − 2]

18 Modèle échantillonné du double intégrateur

Trouver le modèle échantillonné du système analogique suivant (double inté-

grateur)Ga (s) =

Y (s)

U (s)=

1

s2

pour h = 1 [s], sous forme analytique, et tracer sur un même graphique, à l’aide dulogiciel MATLAB, les réponses indicielles des modèles analogique et échantillonné.Peut-on connaître à l’avance la position des pôles discrets ?

Fonction MATLAB utile :

– step (Control System Toolbox)


25 novembre 2011





http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn/ex_rn///Figures/ex_rn_5_2_2_0.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn/ex_rn///Figures/ex_rn_4_1.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn/ex_rn///Figures/ex_rn_4_3.pdf







19 Asservissement par régulateur PI numérique

Soit le système de régulation numérique suivant,

Gc(z) AD

AD

5

-

+

y(k)

u(t)y(t)

u(k)e(k)Ga(s)

f_06_1.eps

w(k)

où :– Gc(z) est la fonction de transfert d’un régulateur PI numérique ;

– Ga(s) = Y (s)U (s)

= k1s−s1

est la fonction de transfert du système à régler.

19.1

Donner la fonction de transfert en boucle fermée

Gyw (z) =Y (z)

W (z)

19.2

Calculer les gains statiques du système en boucle ouverte et en boucle fermée.Peut-on les obtenir sans faire de calculs ?

19.3

Tracer la réponse indicielle discrète γ [k] en boucle fermée pour :– k1 = 1– s1 = −10 [s−1]– h = 0.1 [s]– K p = 2.4– 1

T i= 19.875[s−1]

en s’aidant du logiciel MATLAB, profitant de la fonction

step(Gw)

Gc(s) et Ga(s) étant connues, comparer la réponse indicielle obtenue avec celledu système analogique original.

Indication : écrire une simple routine MATLAB ayant pour paramètres K p etT i, traçant γ [k] chaque fois qu’elle est appelée. Essayer avec différentes valeursde K p et T i. Mieux encore, superposer sur le graphique les réponses du systèmeasservi par régulateur numérique et du même système asservi par régulateur PIanalogique de gain identique.


25 novembre 2011











19.4

Déterminer les pôles du système en boucle fermée, les visualiser au moyen de

pzmap(Gw)

20 Modèle échantillonné d’un système à régler

La réponse temporelle y(t) d’un système à régler analogique Ga(s) soumis àun signal carré u(t) est donnée sur la figure 1.

−0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0

1

2

3

4

5

6

x 10−4

t[s]

y ( t )

−0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

−1

−0.5

0

0.5

1

t[s]

u ( t )

f_ex_rn_2008_02_06_2b_1.eps

Figure 1 – Réponse temporelle de Ga(s) (fichier source)

Dans le but de pouvoir asservir ce système avec un régulateur numérique, ondemande d’en établir le modèle échantillonné H (z). La période d’échantillonnageh = 1 [ms]

21 Modèle échantillonné d’un système à régler

La réponse fréquentielle d’un système à régler analogique Ga(s) est donnéesur la figure 2 page ci-contre.


25 novembre 2011




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn/ex_rn//matlab///ex_rn_2008_02_06_2b_1.m



http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn/ex_rn//matlab///ex_rn_2008_02_06_2b_1.m







10−1

100

101

102

103

−60

−40

−20

0

20

Diagramme de Bode de la réponse fréquentielle de Ga(s)

g a i n

[ d B ]

10−1

100

101

102

103

−180

−135

−90

−45

0

ω [rad/s]

p h a s e

[ d

e g r é ]

f_ex_rn_2008_02_06_2_2.eps

Figure 2 – Diagramme de Bode de la réponse fréquentielle de Ga(s) (fichier source)

Dans le but de pouvoir asservir ce système avec un régulateur numérique, ondemande d’en établir le modèle échantillonné H (z). La période d’échantillonnageh = 1 [ms]


25 novembre 2011



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22 Modélisation d’un système dynamique

Le système à régler suivant est supposé être encadré par des convertisseursA/D et D/A.

y(t)

q

0

h(t)

capteurde niveau

f_21_1.eps

mesurede niveau

q(t)

signal d'entrée:débit

Aire A

En donner le modèle échantillonné, i.e. la fonction de transfert

G (z) =Y (z)

Q (z)

23 Réponses indicielles

23.1

La fonction de transfert en boucle fermée, régulation de correspondance, apour expression :

Gw(z) =Y (z)

W (z)=

0.3

z − 0.7

Calculer et tracer les 5 premiers points de la réponse indicielle.

te_rn_16.tex

23.2Soit la fonction de transfert en boucle fermée, régulation de correspondance,

Gw(z) =Y (z)

W (z)=

0.25 · (z2 + 2 · z + 1)

z2

Calculer et tracer les 4 premiers échantillons de sa réponse indicielle.

te_rn_13.tex


25 novembre 2011












23.3

La fonction de transfert en boucle fermée étant

Gw (z) =Y (z)

W (z)= 0.5 ·

z + 1

z2

Calculer et tracer les 5 premiers échantillons de sa réponse indicielle et donnerson gain statique. Que vaut l’erreur statique en régulation de correspondance ?

De quelle type de modes s’agit-il ?

te_rn_17.tex

24 Fonction de transfert

Le code C (très partiellement commenté) d’un régulateur numérique est donnéci-dessous :

void r e g u l a t e u r ( void ){s t a ti c f l o a t e [ 2 ] ; / ∗ e r r e ur s au x i n s t a n t s p r e se n t ( e [ 0 ] )

e t p r ec e d en t ( e [ 1 ] ) ∗/ f l o a t u ; / ∗commande ∗/ s t a ti c f l o a t ui =0.0;

e [ 0 ] = w − y ;u i = u i + e [ 0 ] ;

u = Kp∗( e [ 0 ] + Gi_h∗ ui + Gd_h∗( e [ 0 ] − e [ 1 ] ) ) ;e [ 1 ] = e [ 0 ] ;DA_conv( u ) ;

}

Donner la fonction de transfert

Gc(z) =U (z)

E (z)

te_rn_17.tex

25 Discrétisation d’un filtre analogiqueDonner l’équation aux différences correspondant (approximativement) au filtre

analogique de fonction de transfert :

Ga(s) =Y (s)

U (s)=

s

(1 + s · τ )2

La période d’échantillonnage est h.

te_rn_17.tex


25 novembre 2011











26 Régulateur RST

La structure du régulateur RST est donnée sur la figure ci-dessous.

1

I

5

-

y(k)

f_20_01.eps

v(t)

u(k)H(z)

w(k)T(z)

S(z)

R(z)

1

26.1 Loi de commande du régulateur RST

Donner la loi de commande

u[k] = f (u[k − 1], . . . , w[k], w[k − 1], . . . , y[k], y[k − 1])

de ce régulateur, sachant que R(z), S (z) et T (z) sont des polynômes en z d’ex-pressions :

– R(z) = z2 + r1 · z + r2

– S (z) = s0·

z

2

+ s1·

z + s2– T (z) = t0 · z2 + t1 · z + t2

te_rn_20.tex

26.2 Fonctions de transfert en boucle fermée

Avec

H (z) =B(z)

A(z)

où B(z) et A(z) sont des polynômes en z, calculer les fonctions de transfert

Gw(z) =Y (z)

W (z)

et

Gv(z) =Y (z)

V (z)

en fonction des polynômes R(z), S (z), T (z), B(z) et A(z).


25 novembre 2011












27 Réponses harmoniques des fonctions de trans-

fert d’un système asservi

On considère le système de régulation numérique de l’exercice 19 page 17.

27.1

Calculer quelques points de la réponse harmonique en boucle ouverte. Faireune esquisse du diagramme de Bode.

27.2

Calculer la fonction de transfert

Gu (z) =U (z)

W (z)

v(t)=0

En quoi la connaissance de cette fonction de transfert est-elle utile ?

27.3

Tracer les réponses harmoniques de Go(z), Gw(z) et de Gu(z) à l’aide deMATLAB, par la suite de commandes :

[A_Go,phi_Go ,w] = dbode(numGo, denGo , h ) ;[A_Gw,phi_Gw ] = dbode(numGw,denGw, h ,w) ;[A_Gu, phi_Gu ] = dbode(numGu, denGu , h ,w) ;semilogx (w,20∗ l og 1 0 ( [A_Go,A_Gw,A_Gu] ) )

pour

k1 = 1 s1 = −10

s−1

h = 0.5 [s] K p = 2.4 K p = 2.41

T i= 19.875[s−1]

Justifier l’allure de ces réponses harmoniques.

27.4

Pour les paramètres suivants,

k1 = 1 s1 = −10

s−1

h = 0.1 [s] K p = 50.8025 K i = 584.2288

déterminer à l’aide de MATLAB les pôles de Gw(z) et de Gu(z). Le système est-ilstable en boucle fermée ?


25 novembre 2011











Au vu de la configuration des pôles de Gu(z) et de Gw(z), et esquisser uneallure typique de la commande u(t) et en déduire les conséquences sur y[k] et

y(t).Pour esquisser y(t), se rappeler que :

Ga(s) =Y (s)

U (s)=

k1

s− s1

Confirmer l’esquisse en vérifiant les réponses réelles par les commandes MAT-LAB :

– dstep(numGw,denGw)– dstep(numGu,denGu)

28 Synthèse d’un régulateur numérique par le lieudes pôles

28.1

Un système à régler analogique a pour schéma fonctionnel détaillé :

5

Tres

G(t)-T

em

u(t) KT

Rf

1/(sJ)

f_20_1.eps

1 /sM

-

En donner le modèle échantillonné

H (z) =Θ (z)

U (z)

sous forme d’Evans, en puissances de z positives.

28.2

En admettant que la fonction de transfert trouvée au point précédent soit :

H (z) =Y (z)

U (z)= 150.99 · 10−6

·

z−1· (1 + 0.986 · z−1)

(1 − 0.986 · z−1 + 0.961 · z−2)

et que le régulateur choisi ait pour fonction de transfert

Gc (z) =U (z)

E (z)= k p·192.06·

(1 + 0.25 · z−1)

(1 − z−1) · (1 − 0.815 · z−1)·

(1 − 0.986 · z−1 + 0.961 · z−2)

(1 + 0.986 · z−1)

déterminer le gain optimal k pop du régulateur par la méthode du lieu des pôles.


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29 Synthèse d’un régulateur PID numérique

29.1Le modèle échantillonné d’un système à régler est donné par la fonction de

transfert :

H (z) =Y (z)

U (z)=

0.5 · z + 0.1

(z − 0.2) · (z − 0.7)

Déterminer, par la méthode du lieu des pôles, le régulateur PID numérique assu-rant l’asservissement de ce système. La réponse indicielle en boucle fermée doitêtre oscillatoire optimale. La fonction de transfert du régulateur sera donnée sousla forme

Gc(z) =U (z)

E (z

)

=b0 · z

2 + b1 · z + b2

z ·(z −

1)

29.2

Donner les coefficients K p, K i et K d du régulateur Gc(z) du point précédentlorsqu’il est mis sous la forme :

Gc(z) =U (z)

E (z)= K p + K i ·

z

z − 1+ K d ·

z − 1

z

30 Réponse harmonique d’un régulateur numé-

riqueEn admettant que la fonction de transfert d’un régulateur soit

Gc (z) =U (z)

E (z)= kc ·

z − zc

z

avec

kc =10

1 − zc

zc = 0.9

calculer et tracer sa réponse harmonique.

31 Synthèse d’un régulateur PD numérique

Le régulateur PD numérique, de fonction de transfert

Gc (z) =U (z)

E (z)= kc ·

z − zc

z


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ayant été choisi, et le système à régler

H (z) =

Y (z)

U (z) = ka·

z − za

(z − 1) · (z − pa)

étant connu, faire une partie de la synthèse du régulateur en procédant par com-pensation du pôle dominant. On calculera ensuite analytiquement la fonction detransfert en boucle fermée Gw(z). On supposera que H (z) est stable.

32 Synthèse d’un régulateur numérique

Soient les fonctions de transfert

Gc(z) =U (z)

E (z) =b0 · z + b1

z − 1

H (z) =Y (z)

U (z)=

ka · z

(z − p1) · (z − p2)

du régulateur, respectivement du système à régler d’un système d’asservissementnumérique.

Déterminer k0 = b0 ·ka et b1 tels que la fonction de transfert en boucle ferméeGw(z) = Y (z)

W (z), régulation de correspondance, possède 2 pôles réels confondus.

Application numérique :

– h = 1 [s]– ka = 10– p1 = 0.98– p2 = 0.9

N.B. Effectuer d’abord une compensation pôle-zéro visant à éliminer p1 de laboucle

te_rn_13.tex

33 Réponse harmonique d’un système numériqueSoit la fonction de transfert du système à régler,

H (z) =Y (z)

U (z)=

z

z − 1

Calculer et tracer sa réponse harmonique.

te_rn_13.tex


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34 Synthèse fréquentielle d’un régulateur PD

Le modèle échantillonné d’un système à régler est donné par la fonction detransfert

H (z) =Y (z)

U (z)=

10

(z − 1) · (z − 0.9)

En utilisant la méthode de Bode (imposition de la marge de phase), dimensionnerun régulateur numérique de type PD de façon à ce que la marge de phase ϕm soitde 45 [◦]. La période d’échantillonnage est h = 1 [ms].

Indication On procédera par compensation pôle-zéro

35 Synthèse d’un régulateur numériqueUn système à régler a pour modèle échantillonné :

H (z) =b0 · z + b1

(z − 1) · (z − c)h = 2 [s]

L’intégration est située après l’introduction des perturbations.

35.1

On souhaite l’asservir de telle manière que le cahier des charges suivant soit

satisfait :– le système doit être stable en boucle fermée ;– l’erreur statique doit être nulle, en régulation de correspondance comme en

régulation de maintien .Donner le type de régulateur à employer.

35.2

Déterminer le modèle pseudo-analogique Ga_a(w) de H (z), sous forme deBode.

35.3

En admettant que ce modèle pseudo analogique Ga_a(w) soit

Ga_a (w) =1 − w · 0.01

w · (1 + w)

déterminer le gain optimal d’un régulateur de type P corrigeant ce système. Quelleest alors la fonction de transfert du régulateur numérique correspondant ?


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36 Choix de la période d’échantillonnage

La réponse indicielle en boucle fermée y(t) d’un système de régulation numé-rique, régulation de correspondance, a l’allure suivante à l’entrée du convertisseurA/D :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

Time (secs)

A m p l i t u d e

Réponse indicielle en boucle fermée

Proposer une valeur pour la période d’échantillonnage h.

te_rn_13.tex

37 Régulateur numérique à avance de phaseDonner la loi de commande et la fonction de transfert de la version numérique

du régulateur analogique de fonction de transfert

Gc(s) =U (s)

E (s)= K p ·

1 + s · T 1

1 + s · T 2

N.B. Procéder par discrétisation de la loi de commande.

te_rn_14.tex

38 Régulateur numérique de type P

On souhaite mettre en oeuvre un régulateur numérique proportionnel de gainK p. Sachant que la période d’échantillonnage choisie sera h = 250[µs] et que letemps de calcul nécessaire à l’exécution de l’algorithme de ce régulateur se mon-tera à environ 210[µs], donner la fonction de transfert Gc(z) que vous utiliseriezpour faire la synthèse du système asservi.


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39 Régulateur numérique "special edition"

On considère le schéma fonctionnel du régulateur suivant :

Σ¹

Σ¹

K p

(1− z−1) · T dh

1

3·h

z−1

z−2

Σ

w[k]

y[k]

u(t)

y(t)

u[k]v[k]

39.1

Donner les lois de commande des bloc I et II, i.e. l’expression de v[k] enfonction de l’erreur w[k], y[k] et celle de u[k] en fonction de v[k].

39.2

Le bloc I remplit la fonction de régulateur. Quels types d’actions crée-t-il surquels signaux ?

39.3

Donner l’expression de U (z) en fonction de V (z), sous forme de puissances dez négatives.

39.4

Quelle peut bien être la fonction du bloc II ? Dans quel but pourrait-on l’uti-liser?

40 Régulateur PD2

On considère le régulateur analogique PD2 (actions proportionnelle, dérivéeet double dérivée) de loi de commande

u (t) = K p ·

e (t) + T d ·

de

dt+ T d2 ·

d2e

dt2

40.1

Donner la loi de commande du régulateur PD2 numérique.


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http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_rn/ex_rn///Figures/ex_rn_30.pdf







40.2

En quelles circonstances utiliseriez-vous un tel régulateur ?

40.3

Hormis le problème de sa réalisabilité, quels sont les inconvénients pratiquesde ce type de régulateur ? (pensez au laboratoire et aux problèmes rencontrésparfois avec le régulateur PD).

41 Commande anticipée

Soit le système asservi suivant :

1

I

5

-

wf(t)

y(t)

uff(t)

y(t)

e(t)K p

f_20_03.eps

v(t)

5

uc(t)

Ga(s)

Bloc de

commande

anticipée

w(t)Gf(s)

filtre de

consigne

u(t)

La fonction de transfert du système à régler est :

Ga(s) =Y (s)

U (s)=

1

s · (1 + s)

41.1 Calcul du régulateur P

Calculer le K p du régulateur P de façon à ce que la marge de phase soit de45 [◦].

41.2 Calcul du bloc de commande anticipée

Déterminer la fonction de transfert du bloc de commande anticipée/a priori.

41.3 Calcul du filtre de consigne

Calculer la fonction de transfert du filtre de consigne Gf (s).

te_rn_20.tex


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42 Commande anticipée/a priori

On considère le système de régulation numérique

MOTEUR+ CHARGE +CAPTEUR

w(k)5 5

-

+

+y

KmMKTK p

uc(k)e(k) ia Tem

v

REGULATEURPDE VITESSE

iac(k)

ASSERVISSEMENTDE COURANT

Gwi

(s)1 /KT' 1 /(sJ

t)5

Temc(k)

consignede couple

Commandeanticipéed'inertie

f_33_1.eps

uff(k)Gff(z)

DA

AD

consignede courant

y(k)

avec

Gwi(s) = I (s)I c(s)

= 11 + s · 0.001

J t = 0.24 · 10−3 [kg · m2]

K T = 1

N · m

A

K mω = 1

V

rads

h = 500 [µs]

42.1

Dimensionner le régulateur P.

42.2

Dimensionner la commande a priori d’accélération.

42.3Calculer les fonctions de transfert

Gw(z) =Y (z)

W (z)

Guw(z) =U (z)

W (z)


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42.4

Simuler avec MATLAB (et Simulink si nécessaire) les fonctions de transfert

Gw(z) et Guw(z) lorsque w[k] a un profil triangulaire de vitesse correspondant àun déplacement de 1 [rad], avec des accélération et décélération de 10000

rads2

.

La commande MATLAB

[t,s,v,a] = bang_bang(1,10000,10000,314,h)

peut être utilisée pour générer w[k].

42.5

Dimensionner un filtre de consigne et comparer à l’aide le MATLAB (et Simu-

link si nécessaire) les allures de y[k] et u[k] avec celles obtenues au point précédentpour différentes amplitudes de consignes de vitesse de forme carrée correspondantà des déplacements d’amplitude (en [rad]) équivalents.


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