8/14/2019 PIC - Apendice B - Sistemas Numricos

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Apndice B

Sistemas Numricos

Introduo

B.1 Sistema numrico decimal

B.2 Sistema numrico binrio

B.3 Sistema numrico hexadecimal

Concluso

Introduo

sempre difcil s pessoas, aceitarem coisas que diferem, em alguma coisa, do seu modo de pensar. Essa ,provavelmente, uma das razes pelas quais os sistemas numricos diferentes do sistema decimal, ainda sodifceis de entender. No entanto, necessrio aceitar a realidade. O sistema numrico decimal que as pessoasusam no seu dia a dia, foi agora ultrapassado pelo sistema binrio, que usado pelos milhes de computadoresde todo o mundo.

Todos os sistemas numricos possuem uma base. No sistema numrico a base 10, no sistema binrio a base 2 e, o sistema hexadecimal, tem base 16. O valor representado por cada algarismo no sistema, determinadopela respectiva posio em relao aos outros algarismos que constituem o nmero. A soma dos valoresrepresentados por cada algarismo d-nos o nmero completo. Os sistemas binrio e hexadecimal interessam-nos sobremaneira neste livro. Alm destes, iremos tambm abordar o sistema decimal, de modo a compar-locom os outros dois sistemas. Apesar de o sistema decimal ser um assunto a que j estamos acostumados,iremos discuti-lo de modo a facilitar a compreenso dos outros sistemas.

B.1 Sistema numrico decimal

A designao de decimal para este sistema numrico, advm de usar a base 10 e usa os algarismos 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9. posio de cada um destes algarismos dentro do nmero est associado um determinadovalor. Assim, e caminhando da direita para a esquerda, o algarismo mais direita, deve ser multiplicado por 1,o algarismo situado imediatamente esquerda deste, multiplicado por 10, o que vem a seguir por 100, etc.

Exemplo:

As operaes de adio, subtraco, diviso e multiplicao no sistema numrico decimal, so realizadas damaneira que todos j conhecemos, portanto, no vamos abordar este assunto.

B.2 Sistema numrico binrio

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quatro, etc. Generalizando, o maior valor decimal, que pode ser representado por intermdio por umdeterminado nmero de smbolos binrios, coincide com 2 elevado a um expoente igual ao nmero de smbolosbinrios utilizados, subtrado de uma unidade.

Exemplo:

Isto significa que possvel representar os nmeros decimais de 0 a 15, apenas com 4 algarismos binrios(incluem-se portanto os nmeros 0 e 15), ou seja, 16 valores diferentes. As operaes que se executam nosistema decimal, tambm podem ser executadas no sistema binrio. Por razes de clareza e legibilidade, nesteapndice, s iremos abordar a adio e a subtraco.

As regras bsicas aplicveis adio binria, so:

A adio executada de tal modo que, so somados individualmente, os dgitos situados em posies idnticas,em ambos os nmeros. Se ambos os dgitos forem zero, ento, a soma zero, se um deles for igual a 0 e ooutro for 1, o resultado 1. A soma de 1 com 1 d dois, mas em binrio d 0 e vai um, este 1 vai terque ser adicionado ao resultado da soma dos dgitos binrios situados imediatamente esquerda dos anteriores.

Exemplo:

possvel verificar se o resultado est correcto, convertendo estes dois nmeros binrios para o sistemadecimal e determinando ns, a soma. Ao fazer a converso do primeiro nmero, ns obtemos o decimal 10, e osegundo nmero, depois de convertido d 9, a soma correspondente ser 19. Deste modo, provmos que oresultado est correcto. Pode, no entanto, surgirem problemas, se o resultado da soma for maior que o maiornmero binrio representvel, com o nmero de dgitos atribudos. Neste caso, vrias solues podem seradoptadas, uma das solues aumentar o nmero de posies atribudas e que foi a seguida no exemploanterior.

A subtraco, tal como a adio, obedece ao mesmo princpio. O resultado de subtrairmos dois zeros ou doisuns, zero. Se quisermos subtrair 1 a 0, temos que pedir emprestado 1 ao dgito binrio imediatamente esquerda no nmero.

Exemplo:

Para verificar o resultado, tal como fizemos para a adio, convertemos o subtraendo e o subtrator para decimale, assim, obtemos respectivamente os nmeros 10 e 9. A diferena d 1, que foi o valor que obtivemos.

B.3 Sistema numrico hexadecimal

O sistema numrico hexadecimal, tem uma base igual a 16. Se a base 16, vamos precisar de 16 smbolosdiferentes para algarismos. No sistema hexadecimal, os algarismos so: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D,E, F. As letras A, B, C, D, E e F correspondem respectivamente aos decimais 10, 11, 12, 13, 14 e 15.Escolhemos estes smbolos, afim de tornar a escrita dos nmeros mais fcil. Tal como para o caso do sistemabinrio, tambm aqui, ns podemos determinar, atravs da mesma frmula, qual o maior nmero decimal que possvel representar com um determinado nmero de algarismos hexadecimais.

Exemplo: Com dois algarismos hexadecimais

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Geralmente, os nmeros hexadecimais so escritos com um prefixo $ ou 0x, ou com o sufixo h, pararealar o sistema numrico que estamos a utilizar. Assim, o nmero hexadecimal A37E, pode ainda ser maiscorrectamente escrito como $A37E, 0xA37E ou A37Eh. Para traduzirmos um nmero hexadecimal para osistema numrico binrio, no necessrio executar qualquer clculo mas, simplesmente, substituir cadaalgarismo do nmero pelos dgitos binrios que o representam. Como o valor mximo representado por umalgarismo no sistema hexadecimal 15, isso significa que so precisos 4 dgitos binrios, para cada algarismohexadecimal.

Exemplo:

Se convertermos ambos os membros da identidade para o sistema numrico decimal, obtemos, em ambos oscasos, o nmero decimal 228, o que comprova que no nos enganamos.

Para obter o equivalente decimal a um nmero hexadecimal, precisamos de multiplicar cada algarismo donmero, por uma potncia de 16, cujo expoente, deve corresponder posio desse algarismo, no nmerohexadecimal. Em seguida, deve-se adicionar todos os resultados obtidos.

Exemplo:

A adio, tambm executada, tal como nos dois exemplos precedentes.

Exemplo:

Quando adicionamos dois algarismos hexadecimais, se a respectiva soma for igual a 16, escrevemos 0 naposio respectiva e adicionamos uma unidade soma dos dois algarismos que se seguem. Quer dizer, se a

soma dos dois algarismos for, por exemplo, 19 (19 = 16 +3) escrevemos 3 nessa posio e, transferimos o 1para o algarismo imediatamente a seguir. Se verificarmos, a primeira parcela o nmero 14891 e a segundaparcela da soma 43457. A soma das duas parcelas 58348, que coincide com o equivalente decimal donmero hexadecimal $E3EC. A subtraco, tambm segue um processo idntico ao dos dois outros sistemas. Seo algarismo do subtraendo for menor que o do subtrator, necessrio decrementar de uma unidade, oalgarismo seguinte no subtraendo.

Exemplo:

Analisando o resultado, verificamos que o subtraendo e o subtrator, correspondem, respectivamente, aosdecimais 11590 e 5970, a diferena 5620, que o nmero que obtemos se fizermos a converso de $15F4,para o sistema numrico decimal.

Concluso

O sistema numrico binrio ainda o mais utilizado, o decimal o mais fcil de perceber e o hexadecimal situa-se entre estes dois sistemas. O sistema hexadecimal fcil de memorizar e fcil de converter para o sistema

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binrio, o que faz, com que seja, um dos mais importantes sistemas numricos.

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