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Développement Durable

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  • Physique de l'environnement

    Jacques NICOLAS

    Master en Sciences et Gestion de l'EnvironnementArlon

  • Rappels de mathmatiques1. Notions de scalaires et de vecteurs

    Un nombre peut tre suffisant pour dcrire certaines mesures :ex. : 3 personnes dans la salle, 12 billes dans un sac, , mais ne permet pas de donner, par exemple la distance d'ici au magasin

    Un scalaire est un nombre qui dfinit une grandeur, avec son unit, ou tout au moins son chelle (ex. : temprature = 20C, pression = 1030 hPa, )Il permet par exemple de connatre la distance entre ici et le magasin (ex. : 3 km).

    Un vecteur indique davantage qu'une grandeur, il est compos (exemple pour la vitesse en un point) :

    d'un point d'application (par exemple A)d'une intensit, ou d'une grandeur (par exemple 3 m/s)d'une direction (droite "support")d'un sens (flche)

    peut rpondre la question comment puis-je atteindre le magasin partir d'ici ? (ex. : 3 km vers le nord)

    A

  • 1. Notions de scalaires et de vecteurs

    Il existe une mathmatique des scalaires 3+4=78/2=4

    et il existe une mathmatique des vecteurs,

    vecteur dfini par 3 composantes dans l'espace (vx, vy, vz)

    produit scalaire de deux vecteurs

    Av

    v

    ( ) ( ), , , ,x y z x y z x x y y z zv v v f f f v f v f v f = + +

    f

    v et f

    Interprtation : nombre ("scalaire") qui reprsente la grandeur de la projection orthogonale du premier vecteur sur le deuxime x la grandeur de celui-ci

    cosv f =

  • 2. Notions de matrices

    De manire gnrale, une matrice est un tableau deux dimensions

    Exemple : ge moyen des gens de 4 quartiers, selon le sexe

    34 23

    45 37

    29 22

    47 66

    quartier A

    quartier B

    quartier C

    quartier D

    hommes femmes

  • 2. Notions de matrices

    Exemple : 3 composantes du vecteur vitesse 6 temps diffrents

    5.3 4.9 2

    1.7 4.0 3.2

    4.1 3.2 1.5

    3.4 2.7 1.6

    1.8 2.2 4.5

    5.2 2.9 2.1

    12:00

    12:30

    13:00

    13:30

    x

    14:00

    14:30

    y z

  • 2. Notions de matrices

    Rappel de la multiplication d'une matrice (nxm) par un vecteur (mx1) rsultat = vecteur (nx1)

    Exemple matrice (6x3) et vecteur (3x1) vecteur (6x1)

    11 12 13 11 1 12 2 13 3

    21 22 23 21 1 22 2 23 3

    1

    31 32 33 31 1 32 2 33 3

    2

    41 42 43 41 1 42 2 43 3

    3

    51 52 53 51 1 52 2 53 3

    61 62 63 61 1 62 2 63 3

    a a a a v a v a v

    a a a a v a v a vv

    a a a a v a v a vv

    a a a a v a v a vv

    a a a a v a v a v

    a a a a v a v a v

    + + + + + + = + +

    + + + +

  • 3. Notions de tenseurs

    Un tenseur est une gnralisation des concepts de scalaire, de vecteur et de matrice

    Un scalair e est un tenseur d'ordre 0 une grandeur seulement

    Un vecteur est un tenseur d'ordre 1 une grandeur et une direction (3 composantes)

    Peut-on gnraliser ?tenseur d'ordre 2 (diade) une grandeur et deux directions (32=9 composantes)tenseur d'ordre 3 (triade) une grandeur et trois directions (33=27 composantes)

  • 3. Notions de tenseurs

    La notion de tenseur, l'origine, a t imagine en physique pour dcrire la relation force/contraintes dans un solide qui se dforme ("tensions""tenseur")Une contrainte est une force par unit de surface (tensions "internes" rsultant de l'application d'une force "externe") contrainte x surface = force

    La force est un vecteur et la surface peut aussi tre reprsente par un vecteur (normal la surface et point "vers l'extrieur")

    dS

    Comme force (vecteur)=contrainte x surface (vecteur) contrainte = scalaire ou tenseurSi contrainte = scalaire cela signifie qu'un nombre unique peut reprsenter la contrainte en n'importe quel point du solideOr, en ralit, les contraintes sont de diffrents types (tension, cisaillement) et la forme du solide fait que les contraintes ont des proprits directives diffrentes selon l'endroit o l'on se trouve.

    Donc, la contrainte (T) est un tenseur d'ordre 2 ( 9 composantes)

    dF T dS=

    produit scalaire

  • 3. Notions de tenseurs

    De manire gnrale, un tenseur d'ordre 2 est reprsent par une matrice

    qui un vecteur associe un autre vecteur c'est un "oprateur" sur

    des vecteurs

    v

    w

    T

    w Tv=

    11 12 13

    21 22 23

    31 32 33

    ,

    T T T

    donc si T T T T

    T T T

    =

    wx=T11vx+T12vy+T13vzwy=T21vx+T22vy+T23vzwz=T31vx+T32vy+T33vz

    Par exemple, l'oprateur "rotation" est un tenseur : exemple, rotation du systme de coordonnes d'un angle autour de l'axe z

    cos sin 0

    sin cos 0

    0 0 1

    T

    =

  • 4. Notations

    Indice de sommation

    1 2 1

    1

    ...n

    i n n

    i

    a a a a a=

    = + + + +Exemple : sommation double

    11 22 1, 1 2

    1 1

    ... ... ...n m

    ij m n n nm

    i j

    a a a a a a a= =

    = + + + + + + + +Pour les quations complexes utile d'appliquer la convention d'Einstein

    Quand l'indice d'une variable apparat deux fois dans un terme, on sous-entend la sommation sur toutes les valeurs que peut prendre cet indice. Cet indice est dit muet.

    1

    n

    i i i i

    i

    donc si v x y on peut crire v x y=

    = =

  • 4. Notations

    Exposants de 10 et prfixes

    Ex . : 4125 Pa = 4.125x103 Pa = 4.125 kPaou : 0.013 g = 19 x 10-3 g = 13 mg

    10-18atto (a)

    10-15femto (f)

    10-12pico (p)

    10-9nano (n)

    10-6micro ()

    10-3milli (m)

    10-2centi ( c )

    10-1dci (d)

    101dca (da)

    102hecto (h)

    103kilo (k)

    106mga (M)

    109giga (G)

    1012tra (T)

    1015peta (P)

    1018exa (E)

    Notation "ingnieur"

    ax10n

    avec a entre 1 et 1000 et n = multiple de 3

    376543 g est exprim par 376.543 x 103 g

    376.543 kg

    0.067 g est exprim par 67.0 x 10-3 g

    67 mg

  • 4. Notations

    Notions de diffrence usage du "delta" ()

    Ex . : 10h, la temprature est de 20C et 10h30, elle est de 21C, la diffrence

    est de 1C T=1C

  • 5. Notions de drives et d'intgrales

    Supposons d'abord une fonction d'une seule variable

    Exemple : hauteur h d'un projectile en fonction de la distance x parcourue

  • 5. Notions de drives et d'intgrales

    On s'intresse la variation de la hauteur en fonction de la distance

    A

    B

    x(200 m par exemple)

    h (environ 20 m)

    ( )h x

    x

    = variation de hauteur par unit de distance

    = "pente de AB"

  • 5. Notions de drives et d'intgrales

    On s'intresse la variation de la hauteur en fonction de la distance

    A

    B

    x

    h

    On a suppos une variation linaire entre A et B (pas tout fait vrai, la pente varie lgrement entre A et B)

  • 5. Notions de drives et d'intgrales

    On s'intresse la variation de la hauteur en fonction de la distance

    C

    D

    x

    h

    De plus, la pente dpend de x !!!

  • 5. Notions de drives et d'intgrales

    on va faire tendre x vers 0 x devient dx et AB devient la tangente la courbe en A

    A

    B

    x

    h dh

    dx

    ( )dh x

    dx

    = drive de h(x) par rapport x au point A

    = pente de la (tangente la) courbe en A

  • 5. Notions de drives et d'intgrales

    A

    h(x+dx)=h+dh

    x+dx

    ( )( ) ( )

    dh xh x dx h x dx

    dx+ = +

    x

    h(x)

  • 5. Notions de drives et d'intgrales

    cas particuliers

    f(x)=constante df(x)/dx=0

    f(x)=ax df(x)/dx=a

    f(x)=ax 3

    df(x)/dx=3ax 2

    f(x)=ax n

    df(x)/dx=nax n-1

    f(x)=a x

    df(x)/dx=a xln(a)en particulierf(x)=e x

    df(x)/dx=e x (puisque ln(e)=1)

    f(x)=ln(x) df(x)/dx=1/x

  • 5. Notions de drives et d'intgrales

    cas particuliers

    drive d'un produit :( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )df x g x df x dg x

    g x f xdx dx dx

    = +

    ( ) ( ) ( )2

    2 23

    3 0 3 2 6d xd

    x x x xdx dx

    + = + =

    en abrg : fg'+f'g

    Ex.: drive de 3x2=

    drive d'une fonction de fonction( ( )) ( ) ( )df g x df g dg x

    dx dg dx=

    Ex. : drive de ( )1

    2 2 23 2 3 2x x+ = +

    ( ) ( )1

    2 21

    3 2 62

    x x

    +

  • 5. Notions de drives et d'intgrales

    usage

    Exemple : la vitesse est la drive de la distance en fonction du temps

    Exemple : la chaleur transporte par conduction dans une barre est proportionnelle la drive de la temprature par rapport la distance

    x

    T

    dT

    dx =

    Exemple : la drive permet de localiser un extrmum (maximum ou minimum), car la drive s'annule

  • 5. Notions de drives et d'intgrales

    On peut aussi s'intresser la surface sous la courbe

    x

    f(x)

    ( )B

    A

    Surface f x x=

    Indice de sommation sigma = "S" grec de "Somme"

    Pas trs prcis si xest grand

    A B

  • 5. Notions de drives et d'intgrales

    On fait tendre x vers 0 x devient dx la somme devient une intgrale

    x dx

    ( )

    B

    A

    Surface f x dx=

    Indice d'intgration ressemble au "S" de "Somme"

    f(x)

    A B

  • 5. Notions de drives et d'intgrales

    usage

    Exemple : l'nergie est l'intgrale de la puissance en fonction du temps

    Exemple : en hydrologie, on intgre l'quation dfinie sur une "veine fluide" sur toute la surface mouille

  • 5. Notions de drives et d'intgrales

    si plusieurs variables

    On peut continuer driver (intgrer) sur une variable parmi d'autres

    drive en x