Physique mécanique (NYA)

Chapitre 3: La cinématique à une

dimension

3.1: La cinématique de la particule

La cinématique consiste à décrire la manière dont un corps se déplace dans l’espace et le temps.

• Dans un mouvement de translation, toutes les parties du corps subissent la même variation de position.

• Dans un mouvement de rotation, le corps change d’orientation dans l’espace.

• Dans un mouvement de vibration, la forme ou les dimensions du corps changent périodiquement.

3.2: Le déplacement et la vitesse

• La position est mesurée par rapport à un système de référence « x ».

• Le déplacement est une variation de position:

• La distance parcourue, qui est la longueur du trajet réel, est un scalaire positif.

• La vitesse moyenne est le déplacement divisé par le temps

• La vitesse scalaire moyenne est la distance parcourue divisée par le temps.

if xxx

3.2 (suite)Titre du diagramme

position instantanée(vecteur)

déplacement (vecteur)

distance parcourue(scalaire positif)

vitesse moyenne (vecteur)

vitesse instantanée (vecteur)

accélération moyenne (vecteur)

accélération instantanée (vecteur)

vitesse scalaire moyenne(scalaire positif)

• La distance parcourue est toujours de grandeur égale ou supérieure à celle du déplacement

Distance parcourue(ligne bleue)

Déplacement (ligne orange)

3.2 (suite) Distance & déplacement

f imoy

f i

x xxv

t t t

3.2 (suite) Vitesse [scalaire] moyenne

Vitesse moyenne = Déplacement / Intervalle de temps

Vitesse scalaire moyenne = Distance / Intervalle de temps

Exemple:

Une automobile roule à 50 km/h durant une heure, s’arrête 30 minutes puis roule à 70 km/h dans la même direction qu’auparavant durant une heure. Quelle a été sa vitesse moyenne ?

50 1 70 1 120

12048 /

2.5moyen

x km h h km h h km

x kmv km h

t h

• Le déplacement représente le changement de position. Il est indépendant du système de référence

Référentiel A: x = +5 m

Référentiel B: x = +5 m

A3.2 (suite)

m

mm

xxx if

70

1080

1

m

mm

xxx if

60

8020

2

3.2 (suite)

3.2 (suite) Interprétation graphique de la vitesse moyenne

( )

( )

90 5013.0

3 020 70

12.55 1

A Dmoy

B Fmoy

m mv m s

s sm m

v m ss s

Temps (s)

La vitesse moyenne est la pente de la sécante joignant les positions finale et initiale.

3.3: La vitesse instantanée • La vitesse à un instant ou en un point

quelconque de l'espace est appelée vitesse instantanée.

• La vitesse instantanée à un instant quelconque est donnée par la pente de la tangente à la courbe de la position en fonction du temps à cet instant

• La vitesse instantanée est aussi la dérivée de la fonction x par rapport au temps.

0lim

t

x dxv

t dt

3.3 (suite) Interprétation graphique de la vitesse instantanée

• La vitesse instantanée est la pente de la tangente à la courbe du graphique position-temps.

tangente

Temps (s)

4033 /

1,2moy

x mv m s

t s

3.3 (suite) Exemple Le graphique suivant représente

la position en fonction du temps de deux trains sur des voies parallèles. Laquelle des phrases est vraie ?

1. À l’instant tB, les deux trains ont la même vitesse (instantanée)

2. Les deux trains vont de plus en plus vite3. Les deux trains ont la même vitesse à

un instant avant tB.4. Le train A est plus long que le train B5. Aucune des phrases précédentes n’est

vraie.

A

B

temps

position

tB

3.4: L’accélération

• L’accélération moyenne est la variation de vitesse divisée par le temps.

• L'accélération est positive si elle est dirigée dans le sens des x positifs et elle est négative si elle est orientée dans le sens opposé.

• Il ne faut pas confondre accélération négative et décélération. Le terme « décélération » signifie uniquement une diminution du module de la vitesse.

3.4 (suite) Accélération moyenne• Un changement de vitesse s’effectue dans un

certain laps de temps• L’accélération moyenne représente le taux de

changement de la vitesse (instantanée)

if

ifmoy tt

vv

t

va

3.4 (suite) Accélération instantanée

• L’accélération instantanée représente le taux de changement instantanée de la vitesse.

dt

dv

t

va

t

0

lim

3.4 (suite) Interprétation graphique de l’accélération

• L’accélération moyenne est la pente de la sécante joignant les vitesses finales et initiales sur un graphique vitesse-temps.

• L’accélération instantanée est la pente de la tangente à la courbe sur un graphique vitesse-temps.

Accélération moyenne

Accélération instantanée (en quel point ?

3.4 (suite) Diagramme du mouvement

• Vitesse et accélération dans la même direction• Accélération uniforme (la flèche bleue a une

grandeur constante)• La vitesse augmente (les flèches rouges

grandissent)

• Vitesse et accélération dans des directions opposées• Accélération uniforme (la flèche bleue a une grandeur

constante)• La vitesse diminue (les flèches rouges se rapetissent)

3.4 (suite) Diagramme du mouvement

Lorsque les vecteurs vitesse et accélération pointent dans la même direction la grandeur de la vitesse augmente.

Lorsque les vecteurs vitesse et accélération pointent dans des directions opposées la grandeur de la vitesse diminue.

3.4 (suite) ExempleUne voiture a initialement une vitesse positive de 10 m/s. Pour quels instants, est-ce que la vitesse …a) Augmenteb) Reste constantec) diminue

a) De 0,5 s à 3,8 s

b) De 0 à 0,5 s et de 7,5 à 8 s

c) De 3,8 s à 7,5 s

3.5: L’utilisation des aires. • Le déplacement est égal à l’aire sous la

courbe de la vitesse en fonction du temps.• La variation de vitesse est égale à l’aire sous

la courbe de l’accélération en fonction du temps.

• Dans le cas ou l’accélération est constante, on montre que:

tvvtvx fimoy )(21

En résumé: Position-temps

Vitesse instantanée-temps

Accélération instantanée-temps

Pente tangente(donne v)

Pente tangente(donne a)

Aire sous la courbe(donne V)

Aire sous la courbe(donne x)

Un exempleQuelle est la variation de vitesse entre 0,5 et 2s ?

v = aire sous la courbe du trapèze= (1,5 s + 1,0 s)(4 m/s²)

2= 5 m/s

Si la vitesse initiale était de -4 m/s, quelle est la vitesse finale ? Est-ce que cela a du sens ?

Aire sous la courbe <0, v < 0

3.6: Les équations de la cinématique à accélération constante

xavv

attvx

tvvx

atvv

2

)(

20

2

221

0

021

0

Méthode de résolution de problème

Exemple: une poursuite

• Un chauffard allant à 108 km/h passe devant un policier immobile. Une seconde après, le policier démarre en trombe avec une accélération de 3 m/s². En combien de temps rattrape-t-il le chauffard ? Quelle distance a-t-il parcouru ?

3.7 La chute libre verticale

• Un mouvement qui se produit sous le seul effet de la gravité est appelé chute libre.

• Ce terme s'applique aussi bien aux satellites en orbite autour de la Terre qu'aux objets qui se déplacent verticalement vers le haut

• En l'absence de résistance de I'air, tous les corps qui tombent avec la même accélération, quelle que soit leur masse, leur taille ou leur forme.

Les équations de la chute libre

Avec comme convention

tvv

y yoy

2

1

2gtvvoyy

2

21 gttvy

oy 3

ygvvoyy

222

4

y

Les équations de la chute libre

Avec comme convention

tvv

y yoy

2

1

2gtvvoyy

2

21 gttvy

oy 3

ygvvoyy

222

4

y

Un exemple On lance un caillou vers le haut à

20 m/s. Quelle est sa vitesse au niveau du sol si l’immeuble a une hauteur de 50 m ?

0

y

ygvvoyy

222

m/s 37

m/s 37

)50)(8,9(22022

y

y

y

v

v

v

Vitesse finale