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Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie

Université Virtuelle de Tunis

Physique - électricité : TC1

Les conducteurs en équilibre

Concepteur du cours:

Jilani Lamloumi et Monjia Ben Braiek

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Physique -

électricité : TC1


2 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI


I. DEFINITIONS

I. 1. Les conducteurs

Ce sont des matériaux qui possèdent un certain nombre de charges mobiles,

électrons libres dans le cas des métaux, qui sont mis en mouvement sous l’action d’un

champ électrique très faible.

Un métal peut donc se représenter comme constitué d’ions positifs, immergés dans

un « nuage » d’électrons libres. On conçoit bien, dans ces conditions, que le moindre champ

électrique va mettre les électrons en mouvement.

I. 2. Les isolants (air sec, caoutchouc, plastique, verre...)

Dans ces matériaux les électrons restent étroitement associés aux atomes ou

groupements moléculaires, et parmi ceux engagés dans les liaisons, aucun ne peut circuler

librement. Le seul effet d’un champ extérieur sur ces matériaux, sera de déplacer les charges

positives relativement aux charges négatives et de faire apparaître des dipôles électriques.

Remarque

Il existe un grand nombre de matériaux qui se situent entre isolants et conducteurs.

Certains ont une importance technologique considérable: Les semi-conducteurs.

A noter que les propriétés de conduction de l’électricité varient avec la température,

la pression, l’humidité .... Dans tous ces matériaux, la conductivité électrique est liée à la

mise en mouvement d’un seul type de porteurs de charges. Au contraire dans le phénomène

d’électrolyse, l’électrolyte en solution est dissocié en charges positives et négatives et sous

l’action d’un champ électrique les deux types de charges se mettent en mouvement en sens

inverse.

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I. 3. Conducteur en équilibre électrostatique

Un conducteur est dit en équilibre électrostatique lorsqu’il n’est pas le siège de

mouvement d’ensemble des porteurs de charges. Les électrons libres d’un métal possèdent

un mouvement désordonné que l’on peut comparer, bien qu’il soit d’origine différente, à

l’agitation thermique des molécules d’un gaz, mais si le conducteur est en équilibre, ces

électrons n’ont pas de mouvement d’ensemble; un déséquilibre électrostatique se traduirait

par un mouvement d’ensemble qui viendrait se superposer à leur mouvement désordonné.

II. ETUDE DE L’EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE D’UN

CONDUCTEUR

II. 1. Propriétés d’un conducteur en équilibre

Considérons un conducteur en équilibre électrostatique, puisque les électrons libres

qui le constituent ne sont pas animés d’un mouvement d’ensemble, la force s’exerçant sur

un porteur de charge du conducteur doit être nulle ce qui entraîne immédiatement:

0E i

c’est à dire que le champ électrostatique est nul à l’intérieur du conducteur.

La relation V grad E

montre que le potentiel est constant à l’intérieur du

conducteur, et par continuité à la surface de celui-ci

Vi = Cte =Vs

La surface d’un conducteur est donc une surface équipotentielle. Les lignes de

champ sont donc normales à cette surface.

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La densité totale de charges

Ediv0 est donc nulle à l’intérieur du conducteur.

i = 0

Puisque l’intérieur d’un conducteur ne peut pas être chargé, la répartition des

charges est uniquement superficielle et nous la représenterons souvent par une densité

superficielle .

II. 2. Champ au voisinage d’un conducteur- Théorème de Coulomb

Soit un point M très voisin de la surface S du conducteur. Appliquons le théorème de

Gauss à un tube de force (volume limité par des lignes de champ et de base dS). La surface

latérale du tube est notée 2. Limitons ce tube par une section droite passant par M et dont

la surface est égale à dS (M très voisin de S).

Le flux du champ électrique sortant de

est :

dS).M(Edddd dS21

En effet à l’intérieur du conducteur,

E

dq=ds

M dS

n

2 +

1 1

M

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0E i et 0)d(1 de même sur toute la

surface de 2,

E est tangent et 0)d(2 .

Le théorème de Gauss appliqué à

donne:

00

ds chargesds )M(Eds).M(Ed

D’où :

nE

0

Cette relation exprime le théorème de Coulomb.

Remarques

* Le champ électrique au voisinage immédiat d'un conducteur ne dépend que de la

densité de répartition de charges.

* Le champ électrique est discontinu à la traversée d'un conducteur , puisque il est

nul à l'intérieur et vaut 0

juste à l'extérieur.

Application. Calcul du champ d’un conducteur sphérique de centre O et de rayon R.

Cas: r<R.

0EE 1i

Cas: r>R. Le champ électrique

2E en un point M éloigné de la surface est donné par:

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0E

E

:que remarqueOn

nr

RE Soit

R4Qr4E

Rr1

0

Rr2

2

0

2

2

0

2

0

2

2

II.3. Propriétés électriques d'un conducteur creux

II.3.1. Propriétés fondamentales

On considère un conducteur creux, on montre qu’à

l’intérieur de la cavité lorsque celle-ci ne renferme

aucune charge électrique, les propriétés du champ et du

potentiel électriques sont les mêmes qu’à l’intérieur d’un

conducteur massif. En effet, la surface de la cavité est

une surface équipotentielle, on en déduit que V est

constant à l’intérieur de la cavité et égal au potentiel du

conducteur. D’après la relation VgradE

, le champ

est nul à l’intérieur de la cavité

0Ei , il en est de

même à l’intérieur du conducteur.

La charge à l'intérieur du conducteur est nulle (i = 0). En effet, si on applique le

théorème de Gauss à la surface fermée on a :

0Q donne qui ce 0E avec Q

dS.E ii

0

ii

.

Donc la charge est répartie uniquement sur la surface externe du conducteur creux.

II.3.2. Application: Cage de Faraday

Le champ est encore nul à l’intérieur

d’un conducteur creux qui possède des

ouvertures nombreuses, mais suffisamment

+ +

+ +

+

+

+ +

Fig.3

0iE

Fig.4 Support isolant

r

0

E(r)

R

Fig.2

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petites. C’est par exemple le cas d’une

carrosserie automobile. On peut considérer

aussi un volume limité par un grillage

métallique comme l’indique la figure.

Ce dispositif est connu sous le nom de cage de Faraday. Il est facile de vérifier

expérimentalement que le champ électrique à l’intérieur de la cage est nul. Pour cela on

place de petits pendules électrostatiques le long des parois intérieure et extérieure de la

cage. Quand on charge la cage de Faraday au moyen d’une machine électrostatique, les

pendules en contact avec la paroi intérieure restent immobiles tandis que ceux de la paroi

extérieure s’en écartent: toute la charge s’est donc répartie sur la surface extérieure du

grillage. On emploie des cages de Faraday pour pouvoir effectuer des mesures en l’absence

de champs électriques parasites et aussi dans le cas de très hautes tensions pour des raisons

de sécurité, l’expérimentateur est alors placé à l’intérieur même de la cage.

II.4. La pression électrostatique

II.4.1. Expression de la pression électrostatique

On considère un conducteur de charge totale Q .Soit un point A de sa surface et dS

l'élément de surface situé autour de ce point. Soit M un point extérieur au conducteur situé

au voisinage immédiat du point A et soit )M(E

le champ électrique créé au point M par

l'ensemble des charges réparties sur le conducteur. Ce champ )M(E

est la somme du champ

)M(E1

créé en M par la charge dq = dS située sur la surface élémentaire dS et du champ

)M(E 2

créé par l'ensemble des autres charges exceptée la charge élémentaire dq.

Le point M est très proche du point A, l'élément de surface dS est assimilable à un plan de

très grandes dimensions uniformément chargé. Nous avons vu dans le chapitre 2(§III.3.3),

que le champ créé par un plan chargé superficiellement en un point M extérieur, est

perpendiculaire au plan et a pour expression :

u

2)M(E

0

1 .

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D'après le théorème de Coulomb:

u)M(E

0

, et sachant que

)M(E )M(E)M(E 12

On a donc :

u

2)M(E )M(E)M(E

0

12

La charge dq = dS se trouvant dans le champ )M(E 2

est soumise donc à une force

électrostatique

Fd telle que :

udS

2u

2 dS)M(EdqFd

0

2

02

Cette force

Fd est normale à la surface du conducteur, dirigée toujours vers

l'extérieur de celui-ci, quel que soit le signe de a le caractère d'une pression

p . Cette

pression est appélée pression électrostatique définie par : u2

dS

dF

0

2

p

II.4.2. Application

Au sommet d’une sphère métallique de rayon

R = 2 cm, on pose un disque de rayon r<<R (r = 2mm) et

de masse m = 2 10-2g.

Nous supposons que le contact entre le petit disque et la sphère est parfait, de sorte

que, à l’endroit du disque la charge est portée par celui-ci ; c'est alors sur le disque que

s’exerce la pression électrostatique.

Fig.5

p

ds

V

ds

R

m g

ds O

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On porte la sphère à un potentiel V, on constate que pour une valeur suffisante de V,

le disque se soulève. En effet, le disque se soulève lorsque la force électrostatique devient

supérieure au poids, ce qui se traduit dans le cas de l’équilibre par la relation :

2

2

0

2

R4

Q avec mgr

2S pF

où Q est la charge totale de la sphère; pour relier Q au potentiel V, remarquons que le

potentiel est constant à l’intérieur de la sphère et que nous pouvons le calculer en son

centre O 00

R

R4

QV

.

La densité superficielle de charge est donc liée au potentiel V par la relation :

R

V0

D’où la condition pour que le disque se soulève :

0

0

g m 2

r

RVV

Le calcul numérique de V0 et de la charge Q donne : V0 = 3,76 104 V et Q = 8,36 10-8C.

D’après cet exemple, on voit que l’électrostatique est le domaine des faibles charges

et des fortes différences de potentiel.

Remarques

* Le pouvoir de pointe

Sur une « pointe » ou l’arête saillante d’un conducteur chargé, la densité de charge

devient très grande (théoriquement infinie) et le champ dans le voisinage est très intense, il

peut alors ioniser l’air au voisinage de la pointe. Le champ électrique intense arrache un

électron, par exemple à une molécule d’air, cet électron est accéléré par le champ électrique

et acquiert une vitesse suffisamment importante pour, au moment d’un choc avec une autre

molécule, arracher un nouveau électron et ainsi de suite. On a affaire au phénomène

d’ionisation par chocs qui entraîne la création rapide d’ions. L’air s’ionise, les ions de même

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signe que la charge de la pointe sont repoussés tandis que les ions de signe différent sont

attirés par la pointe, se déchargent sur elle et donnent naissance à un véritable courant d’air

ionisé.

Ce pouvoir de pointe est mis à profit pour décharger rapidement les conducteurs. Par

contre ce pouvoir devient gênant quand on veut conserver les charges sur un conducteur.

* Le champ disruptif de l’air

C’est le champ maximal qui peut exister au voisinage d’un conducteur sans qu’il y ait

ionisation de l’air environnant et par suite « écoulement » de la charge du conducteur. Pour

l’air sec le champ disruptif est de l’ordre de 3 106 V/m.

III. INFLUENCE ELECTROSTATIQUE . SYSTEMES DE

CONDUCTEURS

III.1. Phénomène d’influence électrostatique

On considère un conducteur B neutre et isolé On approche de B un conducteur A

chargé ( QA ). Les électrons libres de B sous l’action du champ électrique créé par A vont se

déplacer en sens inverse du champ de A et s’accumuler sur la partie de B la plus proche de

A.

Ce mouvement crée un déficit d’électrons à l’autre extrémité de B, qui devient chargée

positivement. C’est le phénomène d’influence électrique. Comme B était initialement neutre

et qu’aucune charge ne lui a été apportée, la somme des charges négatives est égale (en

valeur absolue ) à la somme des charges positives créées sur B.

QA>0

A B Fig.6

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III.2. Théorème des éléments correspondants

Deux éléments correspondants sont les surfaces dS1 et dS2 découpées sur les

conducteurs A et B par un même tube de lignes de champ.

Si on applique le théorème de Gauss à la surface formée du tube de lignes de

champ 1 et de surfaces quelconques ( 2 et 3 ) dans A et B,on a globalement le flux de

E à

travers est nul : 0321

En effet, le champ est nul à l’intérieur de A et B, ( 032 ) et le champ est

partout tangent à 1 ( 0dS.E ; nE

) ce qui assure la nullité du flux à travers 1.

La charge de la surface élémentaire dS1 est 1A1 dSdq , celle sur 2dS est

2B2 dSdq .

D'où :

0dSdSesarghc

0

2B1A

0

Soit: 2B1A dSdS

Théorème des éléments correspondants.

Les charges portées par deux élements correspondants sont égales en valeur absolue, mais

de signes opposés

E

n

dS1

A

3

2

1

B 3

dS2 Fig.7

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III.3. Influence totale

On considère un conducteur B possédant une cavité, initialement neutre, entourant

complètement un conducteur A portant une charge positive QA.

Toutes les lignes de champ issues de A

atteignent B: C’est le phénomène d’influence

totale.

D’après le théorème des éléments

correspondants la surface interne de B et la

surface de A portent des charges égales et de

signes opposés, telle que:

ASiB Q)Q(

B. de externe surface la de charge :Q

B. de interne surface la de charge :Q

e

i

SB

SB

Le conducteur B étant initialement neutre, sa charge totale est nulle :

0)Q()Q(Q SeBSiBB

Ce qui donne ASeB Q)Q( , étant donné que : ASiB Q)Q( .

Si la surface externe de B est reliée au sol par un fil conducteur, la charge de la

surface externe de B s’écoule vers la terre, tandis que la charge de la surface interne reste

egale à -QA ( D’après le théorème des éléments correspondants ).

QSe Se

A

B

Si

QSi

Fig.8

QA

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III.4. Superposition des états d’équilibre

Soit un système de deux

conducteurs en équilibre électrostatique.

Dans le premier état d’équilibre les

conducteurs (1) et (2) sont portés aux

potentiels 1'V et 2'V et désignons par 'V le

potentiel en un point quelconque. Les

charges électriques sont alors distribuées

sur les surfaces avec des densités 1' et

2' de telle sorte que le champ électrique

soit nul à l’intérieur des conducteurs:

0EE '

2

'

1

Le second état d’équilibre est caractérisé

par 21 'V'et ''V ,

0EE ( E et E ''2

''1

''2

''1 à

l’intérieur des conducteurs)

Premier état d’équilibre.

Deuxième état d’équilibre.

2'V

1'V

2'

1'

0'1E

‘1

0'2E

‘1

Fig.9

2''V

1''V

2''

1''

0E ''1

‘1

0E ''2

‘1

Fig.10

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Si on additionne alors les densités

superficielles de charges:

''

2

'

22

''

1

'

11 et , on obtient

un nouvel état d’équilibre avec ''V'VV .

En effet le potentiel V satisfait bien aux

conditions :

a) V = 0 : L’équation de

Laplace est vérifiée en tout point de

l’espace compris entre les deux

conducteurs ( s’il n’ya pas de charges entre

les conducteurs).

b) V = V1 sur le conducteur

(1) et V = V2 sur le conducteur (2).

c) V = 0 à l’infini.

Comme le champ électrique

''E'EE est toujours nul à l’intérieur des

conducteurs, il n’y a aucun déplacement de charges. Par superposition de deux ou plusieurs

états d’équilibre, on obtient donc un nouvel état d’équilibre pour lequel le potentiel est la

somme des potentiels et la densité superficielle est la somme des densités superficielles.

Pour la superposition de n états d’équilibre, on a :

n

1i

i

n

1i

i et VV

IV. CAPACITE PROPRE D’UN CONDUCTEUR

IV.1. Définition

Soit un conducteur C seul dans l’espace. Considérons un premier état d’équilibre

(état1), tel que le potentiel de C est V1 et sa charge est Q1.

Soit un deuxième état d’équilibre ( état 2 ), obtenu par superposition de « états 1 »

:

''2

'22 VVV

''2

'22

''

1'11

0E1

‘1

0E2

‘1

''

1

'

11 VVV

Superposition des deux états d’équilibre

Fig.11

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Etat 1

V1 , Q1

Etat 2

V2 = V1 , Q2 = Q1

On obtient une relation entre la charge et le potentiel: 0

1

1

2

2 CV

Q

V

Q

La charge Q d’un conducteur seul dans l’espace est proportionnelle à son potentiel V:

VCQ 0

C0 est appelée capacité propre du conducteur. Elle ne dépend que de la forme et des

dimensions du conducteur et s’exprime en Farad. (Symbole : F)

IV. 2. Exemple. Capacité d’un conducteur sphérique

Soit un conducteur sphérique de centre O, de rayon R et de charge Q. Le potentiel du

conducteur peut être trouvé à partir du potentiel V(0) au centre de la sphère:

R4

Q

R

dS

4

1

r

dS

4

1)0(V

00)Rr(S

0

D'où :

Si on considère la terre comme un conducteur sphérique de rayon R= 6400 km, sa

capacité est :

F10 71.010 9

10 4.6R4C

3

9

6

0terre

L’unité Farad correspond donc à une capacité énorme, on utilise comme unités pratiques le

microFrad : 1F = 10-6 F, le nanoFarad : 1nF = 10-9F et le picoFarad : 1pF = 10-12F

R4V

QC 00

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V. COEFFICIENTS D’INFLUENCE D’UN SYSTEME DE

CONDUCTEURS

Soit un système de trois conducteurs portés

respectivement aux potentiels V1, V2, V3 et l’on se

propose de déterminer les charges Q1, Q2, Q3 de

ces conducteurs. Pour cela, nous allons utiliser le

théorème de superposition d’états d’équilibre.

Si le conducteur (1) est tout d’abord porté

au potentiel V1 (V1=1) et tous les autres

conducteurs au potentiel zéro.

Les conducteurs prennent des charges bien

déterminées que nous désignons respectivement

par C11, C21, C31

Si nous multiplions par V1 les potentiels de ces trois conducteurs, nous obtenons un premier

état d’équilibre pour lequel les potentiels et les charges sont respectivement :

1311211111 VC,VC,VCet 0,0,V

Puis on recommence les opérations précédentes pour le conducteur (2) en le portant

au potentiel V2, le potentiel des autres conducteurs étant nul, nous obtenons un nouvel état

d’équilibre: 2322222122 VC,VC,VCet 0,V,0

Le troisième état d’équilibre obtenu en portant le troisième conducteur (3) au

potentiel V3 est caractérisé par : 3333233133 VC,VC,VCet V,0,0

V1

Q1

(1)

V2

Q2

(2)

V3

Q3

(3)

Fig.12

V1

Q1

(1)

V2=0

C21

(2)

V3=0

C31

(3) Fig.13

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La superposition de ces trois états d’équilibre donne alors un nouvel état d’équilibre

où les potentiels et les charges pour les trois conducteurs sont donnés par:

Conducteur (1) : Potentiel : V1 Charge : 3132121111 VCVCVCQ



Ce résultat se généralise sans difficultés à un nombre n quelconque de conducteurs

et on en déduit que la charge de chaque conducteur est une combinaison linéaire des

potentiels de tous les conducteurs :

n

1j

jiji VCQ

Où les coefficients Cij ne dépendent que de la géométrie du système, sont appelés

coefficients d’influence.

On peut montrer que :

jiij

ij

ijijii CC , CiiC , ji si 0C , 0C

Remarque

Dans le cas particulier d’un conducteur seul dans l’espace, Q1 = C11V1

( C11 = C : capacité du conducteur ).

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