Physique 3 Vibrations et ondes mécaniques Leçon n°11 : Oscillations forcées des systèmes à...

Physique 3 Vibrations et ondes mécaniques

Leçon n°11 :

Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté

Plan de la leçon : Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté

• Equation du mouvement pour des vibrations forcées• Vibrations amorties et forcées d’un système à deux degrés de

liberté

Equation du mouvement pour des vibrations forcées (1)

Système à deux degrés de liberté masse-ressort-amortisseur


• Energies cinétique et potentielle, Lagrangien et fonction de dissipation :

• Les équations de Lagrange s’écrivent :

• Les équations du mouvement sont :

223

2212

211

2122232

2121

222

211

223

2212

211

222

211

x2

1xx

2

1x

2

1D

xxkxkk2

1xkk

2

1xm

2

1xm

2

1VTL

xk2

1xxk

2

1xk

2

1V;xm

2

1xm

2

1T

2222

1111

Fx

D

x

L

x

L

dt

d;F

x

D

x

L

x

L

dt

d

2232122321222

1221212212111

Fxkkxkxxxm

Fxkxkkxxxm


• Les équations du mouvements sont couplées :

• Sous forme matricielle, on écrit :

où [m], [] et [k] sont les matrices symétriques masse, amortisseur et raideur :

et où sont les vecteurs déplacement et force :

2232122321222

1221212212111

Fxkkxkxxxm

Fxkxkkxxxm

tFtxktxtxm

322

221

322

221

2

1

kkk

kkkk,,

m0

0mm

tF

tFtFet

tx

txtx

2

1

2

1

tFettx

Vibrations amorties et forcées d’un système à deux degrés de liberté (1)

• L’équation du mouvement général s’écrit :

• Nous supposons les forces d’excitation harmoniques de pulsation en donnant aux forces extérieures et aux solutions permanentes du système la forme :

2

1

2

1

2212

12111

2212

1211

2

1

2212

1211

F

F

x

x

kk

kk

x

x

x

x

mm

mm

2

2,1j,eXtx,eFtF tijj

tijj 0


• La substitution de ces équations dans l’équation matricielle donne :

• Que l’on peut écrire en définissant la matrice impédance de déplacement [Z(i)] :

• Il ne faut pas confondre Z avec l’impédance mécanique vitesse définie par qui sert à calculer l’impédance d’entrée d’un système en

mécanique et en électricité :

20

10

2

1

2222222

1212122

1212122

1111112

F

F

x

x

kimkim

kimkim

0FXiZ

0FXiZ

.UZIetFVZ e


avec :

20

100

2

1

pqpqpq2

pq

2212

1211

F

FF,

X

XX

2,1q,p;kimiZ

iZiZ

iZiZiZ

0FXiZ

Vibrations amorties et forcées d’un système à deux degrés de liberté, solution (1)

• On peut réécrire l’équation de la manière suivante :

• Où l’inverse de la matrice impédance s’écrit :

01FiZX

iZiZ

iZiZ

iZiZiZ

1iZ

1112

1222

2

122211

1

0FXiZ

Vibrations amorties et forcées d’un système à deux degrés de liberté, solution (2)

• Les équations précédentes nous donnent les solutions :

• Les solutions permanentes complètes x1(t) et x2(t) sont obtenues en multipliant ces solutions par eit.

iZiZiZ

FiZFiZiX

iZiZiZ

FiZFiZiX

2122211

201110122

2122211

201210221

Exemple 1 : Réponse stationnaire d’un système masse-ressort (1)

Enoncé : trouvez la réponse stationnaire du système de la figure quand la masse m1 est excitée par la force

Solution : les équations du mouvement du système s’écrivent :

que l’on peut mettre sous la forme matricielle

tcosFtF 101

0

tcosF

x

x

k2k

kk2

x

x

m0

0m 10

2

1

2

1

0kxkx2xm

tcosFkxkx2xm

122

10211


• La comparaison de l’équation précédente avec l’équation montre que :

• On suppose une solution de la forme :

• Les composantes de la matrice impédance sont :

0F,tcosFF,kk,k2kk

0,0m,mmm

2101122211

221211122211

2,1j;tcosXtx jj

kZ,k2mZZ 122

2211

0FXiZ


• Nous obtenons X1 et X2 à partir de l’équation des composantes de l’inverse de la matrice impédance :

En prenant , qui sont les fréquences de résonances, ces équations s’écrivent :

kmk3m

Fk2m

kk2m

Fk2mX

2210

2

222

102

1

kmω3kmω

kF

k2kmω

kFωX

2210

222

102

2

1

2

1

2

1

2

1022

1

2

1

2

1

2

10

2

1

1

1k

FX;

1k

F2

X

m

k3et

m

k 22

21


• On aurait très bien pu résoudre le problème plus simplement en écrivant directement :

Ce qui donne :

Ce qui donne :

0Xk2mkX

FkXXk2m

22

1

10212

k2mk

kk2m

0k

Fk2m

X;

k2mk

kk2m

k2m0

kF

X

2

2

02

2

2

2

210

1

kmk3m

kFX;

kmk3m

Fk2mX

2210

22210

2

1


Réponses X1 et X2 en termes du paramètre sans dimension /1.

Ces amplitudes deviennent infinies 2= 12 et 2=2

2. On voit que pour une certaine valeur de , a appelée pulsation d’antirésonance, la masse m1, à laquelle est appliquée la force, ne bouge pas. Cette caractéristique est la base des absorbants dynamiques de vibrations que l’on appelle aussi les étouffeurs de vibration. On voit aussi que les masses m1 et m2 sont parfois en opposition de phase avec la force F1(t).

Exemple 2 : Oscillations forcées et impédance mécanique de deux pendules simples couplés (1)

On prend les deux pendules simples couplés par un ressort, mais la masse A1 et soumise à la force excitatrice horizontale Fe=FM cos t.

(a) Ecrire les équations différentielles couplées en 1(t) et 2(t).(b) Ecrire les relations complexes qui concernent les vitesses linéaires de

A1 et de A2 en régime forcée.(c) En déduire l’impédance d’entrée complexe :

21 VetV

1

ee V

FZ


Les équations du mouvement s’écrivent à l’aide des vitesses complexes :

La deuxième équation donne :

en reportant dans la première équation, on trouve :

0Vm

kV

m

kg

em

FjV

m

kV

m

kg

122

tjM212

12

2 V

mkg

m/kV

m

Fj

mkg

m/k

m

kgV e

2

222

1


(c) On en déduit l’impédance mécanique complexe d’entrée Z du système

Le système couplé excité fonctionne en « filtre mécanique » puisque son impédance varie avec la pulsation de la force excitatrice.

1

ee V

FZ

2

2

2

e mkmg

mkmg

kjZ

Exemple 3 : Antirésonance mécanique (1)

Enoncé : La figure montre une masser M1 accrochée à un ressort de raideur k1. Cette masse est excitée en régime forcé par une force sinusoïdale F=F0sint.

Une masse M2 est accrochée sous M1 par un ressort de raideur k2. Nous supposons qu’il existe un amortissement pour les deux masses. Cet amortissement peut être égal à zéro, le phénomène d’antirésonance que nous allons démontrer existera toujours. Les variables des équations sont les déplacements x1(t) et x2(t) des masses par rapport à leur position d’équilibre statique. On supposera k1=k2.


Les équations du système s’écrivent :

que l’on peut réécrire :

Nous allons supposer F(t)=F0eit et xj(t)=Xjeit et prendre la partie imaginaire par la suite, on trouve :

0xxkxxxM

tsinFxxkxxkxxxM

121222

021211111

0kxxkxxxM

tsinFkxxkx2x2xM

112222

0221111

0XkiMXki

Fkik2i2M

22

21

02

1


Soit en utilisant la matrice impédance déplacement [Z(i)]

avec

on trouve :

0

FF,

X

XX,

iZiZ

iZiZiZoù

FXiZ

00

2

1

2212

1211

0

,kiiZ

kiMiZ

k2i2MiZ

12

2222

2111

22

22

1

02

222

21

02

21

kikiMk2i2M

FkiiX

kikiMk2i2M

FkiMiX


Si on prend pour simplifier et pour mieux voir les choses =0, on aura :

• La fréquence d’antirésonance est la fréquence qui annule X1 :

• Les fréquences de résonance sont les fréquences qui annulent le dénominateur de X1 et de X2 (’ et ’’) et qui sont solutions du dénominateur, c’est-à-dire de l’équation :

2221

421

02

2221

421

02

2

kkM2kMMM

kFiX

kkM2kMMM

FkMX

2ant M

k

2222

21

22

21

214

MM

k

MM

kM2kM


• Si on écrit

et

• On peut donc écrire la fréquence d’antirésonance (ant) et les fréquences de résonances (’ et ’’) fonction du rapport M1/M2.

• On peut mettre X1 et X2 sous la forme :

Ces deux derniers points sont valable même en présence d’un amortissement différent de zéro.• Dans le cas où M1=M2, nous obtenons l’équation bicarrée suivante

m24-3km2+k2=0 dont les racines sont

2

10anti

1

20 M

M:obtienton,

M

k

0M

M2

M

M 2222

2

140

20

2

2

14

2222

21

022222

22anti

1

01

1

MM

kFX;

M

FX

0000 618,12

53et618,0

2

53

0 ’=0,6180 ’’=1,6180

Signe du dénominateur(2k-m2 )(k-m2)-k2 + - - +

Signe de k-m2+ + - -

Signe de X1 + - + -

Signe de X2 + - - +


• Les quantités X1 et X2 quand il n’y a pas d’amortissement sont des quantités réelles. On peut faire une étude de leur signe :

•On a 4 cas :- +<<’ M1 et M2 oscillent en phase avec la force excitatrice F(t)- ’<<0 M1 et M2 oscillent en opposition de phase avec F- 0<<’’ M1 est en phase et M2 en opposition de phase avec F- >’’, M1 est en opposition de phase et M2 en phase avec F

m

k0

Exemple 4 : Application java de l’antirésonance mécanique et des résonances d’un système couplé amorti et forcé (1)

• nous allons voir une application Java montrant notre système. Cette application résout le problème entier, c’est-à-dire avec l’amortissement . Chose que nous n’avons pas pu faire facilement de manière théorique.•On utilisera dans cette animation les valeurs suivantes : M1=10kg, k1=k2=4104N/m. Ce qui nous donne

•Nous allons avec cette animation faire des opérations et voir des phénomènes impossible à visualiser autrement. Nous allons surtout :

a- Chercher les fréquences de résonance et la fréquence d’antirésonance en fonction du rapport M2/M1

b- Vérifier l’influence de l’amortissement sur l’acuité des résonances.c- Observer le passage du régime transitoire au régime permanent.d- Vérifier que lors de la résonance du système supérieur, x1 et x2 sont en

phase et que pour l’autre résonance, ils sont en opposition de phase.

Hz07,10Mk

21f

10

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