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PHY6505: Physique de la matière condensée Cours 4
Conséquences du potentiel périodique faible
et Liaisons fortes
François Schiettekatte Université de Montréal
Automne 2010
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Sommaire - Conséquences du potentiel périodique
faible - Équivalence - Bandes en 1D - Bandes en 3D - Zones de Brillouin - Facteur de structure
- Méthodes de calcul: - Liaisons fortes
€
n, k + K ⇔ n',
k
2
Équivalence
€
n, k + K ⇔ n',
k
€
Ψn, k + K
( r ) = ei( k + K )⋅ r u
n, k + K
( r )
= ei k ⋅ r ei
K ⋅ r
périodique avec R
un, k + K
( r )périodique avec
R
périodique avec R
= ei k ⋅ r u
n ', k ( r ) = Ψ
n ', k ( r )
Remarque 2) k peut être n’importe quoi mais peux toujours être ramené à la première zone de Brillouin
€
u0,k+K (x) =1, K = 2π /a
Ψ0,k+2π / a (x) = ei(k+2π / a )⋅x ⋅1
= eikxei2π x / a ⋅1= eikxu1,k (x), u1,k (x) = ei2π x / a
= Ψ1,k (x)
Exemple en 1D:
€
ε0,k+K =
2m(k + K)2 = ε1,k
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Bandes en 1D dégénérescence = 2 dispersion e- libre ε~k2 splitting selon
bande réduite Décalage
tel que |k| < K/2 utilisation de n permettra e.g. absorption
de photons
0 K/2 K 3K/2 0 K/2
€
2U K
n=1
n=2
n=3
ou
k < K/2 k
€
ε =ε
k 0 + ε
k −
K 0
2±
ε k 0 −ε
k −
K 0
2
2
+ U K
2
ε
€
2U K
Remarque 4) car solution qui ont même k mais ε différente
On pourrait noter
€
Ψn, k
= Ψ k + K n
€
εn, k + K
= εn ', k
€
k '= k + K
3
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Bandes en 3D: BCC
Points Γ (k=0) H, P, N
ε(k) le long des axes entre chaque points
Dégénérescences nombreuses et multiples dues aux symétries
Sources: - www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/semi_en/ - cst-www.nrl.navy.mil
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Bandes en 3D: FCC
Points Γ (k=0) X, W, K, L
Sources: - www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/semi_en/ "from Hummel’s book" - cst-www.nrl.navy.mil
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Zones de Brillouin
kF
kF
0 K/2 n=1
n=2
n=3
k < K/2
ε
1e zone: ensemble des pouvant être atteints à partir de sans traverser un plan de Bragg
correspond à une construction de Weigner-Seitz dans le réseau réciproque
http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/brillouin_zones/printall.php
surface ε(k) constante perpendiculaire au plan de Bragg: recourbement
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Zone
s de
Bril
loui
n: F
CC
W
alte
r A. H
arris
on, P
hys.
Rev
. 118
, 119
0 (1
960)
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Facteur de structure
Si pas de pic XRD pas de gap (pot.
périodique faible)
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Liaisons fortes
Approche opposée au potentiel périodique On considère des atomes neutres qui
interagissent faiblement On évalue l’effet du recouvrement des orbites pour la plupart des e- Exemple: Na
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Liaisons fortes
Sources: - miranda.chemistry.mcmaster.ca/esam/Chapter_5/section_1.html - www.uwgb.edu/dutchs/PETROLGY/ScaleAtomsHeKr.HTM
Na
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Liaisons fortes
Approche Représenter des fonctions d’onde par une
combinaison linéaire d’orbitales atomiques LCAO Orthogonales entre elles On considère aussi le théorème de Bloch
En principe facile car
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Liaisons fortes
Soit si que ou que alors est aussi solution de H
Bloch: Pour N atomes
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Liaisons fortes
Si est petit quand devient appréciable on peut écrire
Si , on peut le calculer comme une expansion de fonctions orthogonales qui convergent rapidement (LCAO, fonction Wannier)
…tableau
(a)
(b)
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Liaisons fortes
Donc petit si bm ne l’est pas et vice versa Soit E0 un niveau atomique
sauf ceux pour lesquels Em≈ E0 Pour les termes à droite de (c), on peut donc n’inclure
que les niveaux avec Em≈ E0 Méthode de solution:
On part d’une certaine fonction (c) donne une équation par niveau s, 3 par niveau p On solutionne pour trouver les bm On remet dans … jusqu’à ce que ça converge
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Liaisons fortes
Exemple: bande s venant d’un niveau atomique s Tous les bm nuls sauf ceux du niveau s d’un atome
Orbitales s: symétrie et réel
€
ε k
= Es −
− d r ∫ ΔU( r )φ( r ) 2β
+ − d r ∫ φ*( r )ΔU( r )φ( r − R )( )
γ
ei k ⋅ R
R ≠0
∑
1+ d r ∫ φ*( r )φ( r − R )
α
ei k ⋅ R
R ≠0
∑(c) →
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Liaisons fortes
et sommation sur premiers voisins seulement Tous les bm nuls sauf ceux du niveau s d’un atome
FCC 12 voisins: soit
a la même symétrie que le réseau dépend seulement de r, le même pour 12 voisins
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Liaisons fortes
γ : intégrale de recouvrement largeur de bande grande quand recouvrement grand associé à des électrons peu liés
Soit ka petit, et
surface d’iso-énergie sphérique près de k = 0 indépendant de la direction de
€
cos kxa2 ≈1− kxa2( )
2
0 1/r