PGCD : sous ce sigle un peu bizarre se cache un outil bien utile dans les simplifications de fractions, mais aussi dans bien des problèmes de la vie courante…3e

PGCDPGCD

DIVISEURS ET MULTIPLES

Exemple: le reste de la division entière de 357 par 17 est 0.

On dit alors au choix :357 est divisible par 17

17 est un diviseur de 357357 est un multiple de 17

357 17

210

Contre-exemple:

945 n’est pas divisible par 37 puisque le reste de la division entière de 945 par 37 n’est pas 0.

On peut dire aussi au choix :37 n’est pas un diviseur de 945945 n’est pas un multiple de 37

945 37

2520

Il existe quelques règles simples qui permettent de savoir rapidement si un nombre entier est divisible par 2, 3, 5, 9 ou 10.On les appelle les critères de divisibilité :divisibilité par 2: le nombre se termine par un chiffre pair (0, 2, 4, 6, 8).divisibilité par 3: la somme des chiffres est un multiple de 3.divisibilité par 5: le nombre se termine par 0 ou 5.divisibilité par 9: la somme des chiffres est un multiple de 9.divisibilité par 10: le nombre se termine par 0.dans les autres cas: on doit faire la division entière et voir si le reste est 0.

CRITERES DE DIVISIBILITE

Plus Grand Diviseur Commun (PGCD)

Exemple :135 est divisible par 3 puisque :

1 + 3 + 5 = 9 et 9 est un multiple de 3.240 est lui aussi divisible par 3 puisque :

2 + 4 + 0 = 6 et 6 est un multiple de 3.3 est donc un diviseur commun à 135 et à 240.

Mais 135 et 240 sont aussi tous les deux divisibles par 5 (voir critères de divisibilité) :5 est donc un autre diviseur commun à 135 et 240.

135 et 240 ont donc 3 et 5 comme diviseurs en commun mais ils en ont peut être d’autres : le plus grand d'entre eux s'appelle le PGCD.Pour le trouver, on utilise un procédé appelé Algorithme d’Euclide.

Un algorithme est un procédé de calcul qui se répète plusieurs fois de suite jusqu’à obtention du résultat.Euclide (mathématicien grec né au III°s. av. J.C.) en a mis au point un qui permet de calculer le PGCD de deux nombres.On l’appelle l’Algorithme d’Euclide.

ALGORITHME D’EUCLIDE

Exemple 1: on recherche le PGCD de 91 et 234 :Le plus grand entre 91 et 234

234 91

252

91 52

139

52 39

113

39 13

30

L’algorithme se termine lorsque l’on obtient pour reste 0.Le PGCD est alors le dernier diviseur.Dans cet exemple, on obtient 13 pour PGCD de 91 et 234.

Remarque : lorsque le PGCD de deux nombres vaut 1, on dit que les deux nombres sont premiers entre eux.

Exemple 2: on recherche le PGCD de 558 et 186 : 558 186

30Le plus grand entre 558 et 186

Dès la première division, on obtient comme reste 0.Cela signifie que le PGCD de 558 et 186 est 186 lui-même.

On dit qu'une fraction est irréductible lorsqu'elle est simplifiée au maximum (on ne peut plus la réduire…). Méthode :pour rendre une fraction irréductible, on peut commencer par utiliser les critères de divisibilité.Ensuite, si l’on n’est pas certain d’avoir obtenu une fraction irréductible, on cherche le PGCD du numérateur et du dénominateur et on simplifie la fraction par ce nombre.Comme c’est le plus grand diviseur commun, on est alors sûr d’avoir obtenu une fraction irréductible.

FRACTION IRREDUCTIBLE

Exemple 1: on veut mettre sous forme irréductible la fraction468182

23491

468182D’après les critères de divisibilité, on peut simplifier par 2 :

Les critères de divisibilité ne permettent plus de simplifier et on ne voit pas si la fraction obtenue est irréductible. On va alors calculer le PGCD de 91 et 234 : l'algorithme d'Euclide utilisé précédemment permet de trouver 13.

187

23491 On simplifie alors par 13 :

187

468182On a finalement :

Exemple 2: on veut mettre sous forme irréductible la fraction371537

Les critères de divisibilité ne permettent pas de simplifier cette fraction.

Donc il faut trouver le PGCD de 537 et 371 :l'algorithme d'Euclide permet de trouver 1.Cela signifie que la fraction est déjà sous sa forme irréductible !

Remarque: on pourrait se contenter de calculer systématiquement le PGCD pour rendre une fraction irréductible.Mais quelquefois, les critères de divisibilités suffisent et c’est alors beaucoup plus rapide !

Exemple : 198234

2226

1113