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DEDICACE

Je dédie ce mémoire :

A mon père

A ma mère qui m’a éclaire mon chemin et qui m’a encouragé et

soutenu toute au long de mes études

A mes frères Helmi et Rabii

A ma sœur Rim

A mes neveux Islam et Jihad

A ma belle famille, surtout mon beau frère Moncef

A tout mes ami(e)s,

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Remerciement

Je tiens à remercier dans un premier temps, toute l’équipe pédagogique

de l’Ecole Nationale d’Ingénieur de Monastir (ENIM) et les intervenants

professionnels responsables de la formation génie énergétique.

J’adresse mes plus sincères remerciements à Monsieur Souhail el Alimi

qui m’a présenté cette opportunité de ce stage et pour l’aide et les

conseils concernant les missions évoquées dans ce rapport, qu’il m’a

apporté lors des différents suivis.

Je tiens à remercier tout particulièrement et à témoigner toute ma

reconnaissance aux personnes suivantes, pour l’expérience enrichissante

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3

et pleine d’intérêt qu’elles m’ont fait vivre durant ces deux mois au sein

de Laboratoire des Ecoulements Géophysiques et Industriels (LEGI).

Dr. Achim Wirth, Chargé de recherche CNRS, pour son accueil et la

confiance qu’il m’a accordé dès mon arrivée dans le laboratoire. Merci

d’avoir suivi et orienté ce travail de projet fin d’étude, de m’avoir fait

profiter de tes grandes connaissances tant au niveau de l’exploitation

que de la présentation et rédaction des résultats et d’avoir accepté de

relire et corriger mon rapport, tout ceci avec patience et humour.

Madame Josiane Brasseur, Secrétaire, pour m’avoir intégré rapidement

au sein de laboratoire et pour le temps qu’elle m’a consacré tout au

long de cette période, sachant répondre à toutes mes interrogations.

L’ensemble du l’équipe Modélisation des Ecoulements Océaniques à

Moyenne et grande échelle (MEOM) pour leur accueil sympathique et

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leur coopération professionnelle tout au long de ces deux mois.

Enfin je souhaite remercier toute personne qui a participé de loin ou de

prêt pour l’accomplissement de ce modeste travaille.

Résumé

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Au cours de ce projet de fin d’études, On a modélisé le Courant Circumpolaire Antarctique

(ACC) grâce aux équations de Shallow Water appelées aussi équations de Saint Venant.

On a commencé par la discrétisation de ces équations par la méthode des volumes finis

avant de les résoudre numériquement à l’aide d’un programme fortran.

On a programmé les équations de diffusion et d’advection. Ensuite on a ajouté les autres

termes des équations de Shallow Water : la topographie, le forçage et la friction.

Les résultats en termes d’évolution de la vitesse du Courant Circumpolaire, avec et sans

perturbation c’est-à-dire avec et sans forçage et friction, nous renseignent sur l’importance

de l’effet de la friction et de forçage conjuguées à la topographie sur la surface libre du

Courant Circumpolaire Antarctique.

Nous avons étudié aussi l’évolution du transport, de trainée de friction et de pression, ainsi

que leurs interactions et leurs rôles pour différentes hauteurs de topographie.

Abstract

In this work, we modeled the Antarctic Circumpolar Current (ACC) using the Shallow

Water equations also called Saint Venant equations.

We began with the discretization of these equations by the finite volume method and then

resolve them numerically using fortran programs.

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We programmed first the diffusion and advection equations. Then we added the other terms

of Shallow Water equations: topography, forcing and friction.

The results in terms of the Circumpolar Current velocity evolution, with and without

disturbance ie with and without forcing and friction, demonstrated the importance of the

effect of combined friction and forcing with topography on the free surface of the Antarctic

Circumpolar Current.

We also studied the transport, friction and pressure drag evolutions, and their interactions

and roles for different topography heights.

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Sommaire

Introduction…………………………………………………………….…..8

Chapitre I : Laboratoire d’accueille…………………………...….….10

I-1-Présentation……………………………………………………..……....10

I-2-Activité……………………………………………………………….....10

I-3-Organisation………………………………………………………….....11

Chapitre II : Courant Circumpolaires Antarctique......................................13

II-1-Introduction………………………………………………………….…13

II-2- Rôle des océans dans la régulation de système climatique

de la terre……………………………………………………………....13

II-3- définition du Courant Circumpolaire Antarctique ...............................15

II-4- Les caractéristiques du l’ACC……………………………………...…18

II-5-Conclusion…………………………………………………………......19

Chapitre III : Formulations Mathématiques……………………………20

III-1-Introduction…………………………………………………………...20

III-2-Equations de Shallow Water………………………………………….20

III-3-Equation de diffusion…………………………………………………24

III-4-Equation de diffusion et d’advection………………………………....24

III-5-Les équations de Shallow Water simple……………………………...25

III-6-Ajout d’une topographie……………………………………………..25

III-7-Ajout de la friction et du forçage……………………………………..25

III-8-Conclusion………………………………………………………...….26

Chapitre IV : Discrétisation par la méthode des volumes finis et modelés

numériques…………………………………………………………………..27

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8

IV-1-Introduction………………………………………………………...27

IV-2-Equation de diffusion……………………………………………..….27

IV-3-Equation de diffusion et d’advection………………………………...29

IV-4-Les équations de Shallow Water simples…………………………....30

IV-5-Equations de Shallow Water avec l’ajout de topographie……….....32

IV-6-Equations de Shallow water et thermes ajoutés………………..…….32

IV-7-Conclusion...........................................................................................32

Chapitre V : Résultats et observations……………………………….....33

V-1-Introduction………………………………………………………..…..33

V-2-Equation de diffusion……………………………………………..…...33

V-3-Equation de diffusion et d’advections……………………….………..34

V-4-Equations de Shallow Water simples35

V-5-Equations de Shallow water avec l’ajout de topographie………..…...38

V-6-Equations de Shallow water avec forçage et friction.......................40

V-7-Transport et traînée de pression……………………………..………...45

V-7-1-Transport…………………………………………………….……...45

V-7-2-Traînée de pression………………………………………………....47

Conclusion et perspective………………………………………………….53

Annexes…………………………………………………………………..…54

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Introduction Générale

Les scientifiques s’intéressent de plus en plus à l’étude du système climatique de la Terre

en investiguant ses différentes composantes. L’océan est une composante principale de ce

système. Cette immensité d'eau salée qui couvre plus de 70% de la surface du Globe, sans

tenir compte des mers intérieures, est officiellement subdivisée depuis l'an 2000 en cinq

océans. Ce sont, dans l'ordre décroissant de leur surface: le Pacifique (179,7 millions de

km2 et 49,7% de l'océan mondial), l'Atlantique (106,4 millions de km2, 29,5%), l'océan

Indien (73,6 millions de km2 et 20,4%), l'océan Austral ou Antarctique (20,3 millions de

km2 et 5,5%) et l'océan glacial Arctique (14,1 millions de km2 et 3,9%). Leur profondeur

moyenne est proche de 3 800 m.

L'océan Austral joue un rôle crucial dans la circulation océanique mondiale. Il établit la

connexion entre les grands océans de la Terre à travers le plus fort courant marin dans le

monde, le Courant Circumpolaire Antarctique (ACC). Il est donc le passage obligé de la

circulation thermo-haline. Cette circulation à grande échelle est liée à la température et à la

salinité des masses d'eau. Les eaux, refroidies et salées plongent au niveau des hautes

latitudes (au large de la Norvège et du Groenland). Elles sont réchauffées dans les

Tropiques, et remontent alors à la surface, où elles se refroidissent, et ainsi de suite). Il est

important de signaler que cette circulation est d'une grande importance dans la régulation

du climat mondial, du fait des flux de chaleur et de salinité qu'elle transporte, et elle a

comme principal moteur le Courant Circumpolaire Antarctique.

Or cet endroit de l'océan mondial n'a été que très peu mesuré, en raison de son éloignement

et des difficultés climatiques que l'on y rencontre, et les mesures existantes ont pour la

plupart été effectuées en été Austral. Notre connaissance de cet océan est donc limitée, à la

fois dans l'espace et dans le temps. C'est pour cette raison que des programmes et des

modèles numériques ont commencé à se développer depuis une dizaine d'années, afin de

remédier à un déficit dont on modélise aujourd'hui tout ce qu’est important.

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L’objectif de ce stage est donc de contribuer à l’étude de Courant Circumpolaire

Antarctique(ACC).

Dans ce travail, Une étude bibliographique du Courant Circumpolaire Antarctique sera

présentée avant de modéliser les équations de Navier Stokes simplifiées aux équations de

Saint Venant (équations de Shallow Water) qui sont utilisées dans les études des

écoulements environnementaux.

Puis, un courant marin sans perturbations extérieures sera investigué avant d’étudier l’effet

de l’ajout des différentes contraintes telles que : la topographie, la friction et le forçage.

Des résultats en termes d’évolution de vitesse, de surface libre, de trainée de pression et des

transports seront présentés et interprété dans le dernier chapitre.

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Chapitre I :

Laboratoire d’accueille

I-1-Présentation :

Le Laboratoire des Ecoulements Géophysiques et Industriels (LEGI) est une Unité

Mixte de Recherche (UMR 5519) commune au Centre National de la Recherche

Scientifique (CNRS), à l’Université Joseph Fourier (UJF) et à l’Institut National

Polytechnique de Grenoble (INPG), qui rassemble plus de 180 personnes dont 70

permanents et autant de doctorants et post-doctorants.

Les activités de recherche en Mécanique des Fluides et Transferts menées au LEGI

s’appuient sur une combinaison d’approches méthodologiques alliant modélisation,

expérimentation (plus de 40 bancs expérimentaux dont de grands instruments), simulation

numérique à hautes performances (machines de calcul parallèle, calculateurs nationaux…)

et développement d’instruments de mesure innovants. Ces activités sont liées à de très

nombreux domaines d’application relevant de problématiques environnementales aussi bien

qu’industrielles.

Le LEGI développe une large part de ses activités au travers de contrats de recherche avec

des partenaires privés aussi bien que publics (programmes régionaux, nationaux, européens

et internationaux), de collaborations universitaires, de thèses et de post-doctorats,

d’expertises, de participation à des opérations d’incubation d’entreprises…

Le LEGI est très actif dans la formation par la recherche il accueil un grand nombre de

doctorants relevant principalement des Ecoles Doctorales « Mécanique et Energétique »

et « Terre Univers Environnement ». Plusieurs dizaines d’étudiants de tous horizons

(masters, écoles d’ingénieurs, licence,…) choisissent chaque année le LEGI pour y

effectuer leur stage.

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I-2-Activité :

Domaines de compétences/applications : hydraulique, mécanique des fluides

recherche/mots-clés : Aéronautique, hydraulique, acoustique, mécanique des fluides,

océanographie, rhéologie, climatologie, paléoclimatologie, physique, chimie de

l'atmosphère, énergétique, transferts d'énergie, risques naturels, pollution

I-3-Organisation :

Directeur: M. Alain CARTELLIER

Tutelles : Université Joseph Fourier - Groupe Grenoble INP - Centre national de la

recherche scientifique (CNRS)

Référence : UMR (CNRS/Ministère) 5519

Site(s) d'implantation : Domaine Universitaire - St. Martin d'Hères-Gières

Equipes de recherche :

EDT : Ecoulements Diphasiques et Turbulences

HOULE : Ondes de Gravité et Hydrodynamique Sédimentaire

MEOM : Modélisation des Ecoulements Océaniques à Moyenne et grande échelle

MIP : Micro fluidique, Interfaces Particules

MOST : Modélisation et Simulation de la Turbulence

Coriolis : Grande plaque tournante

TCM : Transfert de Chaleur et Matière

THEO : Turbulence Hydrodynamique, Environnement et Ondes

TURBOCAV : Turbomachine et Cavitation

L’équipe ou j’ai effectué mon stage est l’équipe de Modélisation des Ecoulements

Océaniques à Moyenne et grande échelle (MEOM).Ces activités se placent dans le cadre

des grands programmes internationaux de recherche sur le climat et l'environnement, ces

intérêts dans ce contexte portant plus particulièrement sur le rôle de l'océan dans les

équilibres climatiques, ainsi que sur la prévision à moyen terme des circulations océanique.

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L'étude de l'océan a subit une véritable révolution ces dix dernières années, en raison du

développement rapide de l'océanographie spatiale, et de l'amélioration constante des outils

de modélisation et d'assimilation de données.

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Chapitre II

Courant Circumpolaires Antarctiques

II-1-Introduction :

Les océans Pacifique et Atlantique semblent avoir été liés à un endroit entre l’Amérique du

Sud et l’Antarctique il y a environ 41 millions d’années. Annonce-t-on dans une nouvelle

étude qui pourrait mener les scientifiques à une meilleure compréhension des forces

responsables de la glaciation étendue de l’Antarctique il y a environ 34 millions d’année,

quand le continent Antarctique s'est détaché de l'Amérique du Sud, provoquant l'ouverture

du détroit de Drake qui a marqué la naissance du Courant Circumpolaire.

II-2- Rôle des océans dans la régulation du système climatique de la

terre :

Des échanges continus d'énergie thermique, se produisent entre l'atmosphère et l'océan qui

sont constamment à la recherche d'un état d'équilibre. Par ces échanges, l'océan joue un rôle

important sur l'établissement du climat, car il stocke l'énergie solaire de la zone équatoriale,

la transporte vers les moyennes et hautes latitudes où il la transfère à l'atmosphère. Il

contribue ainsi à atténuer les contrastes climatiques : C'est un puissant régulateur

thermique.

L’ACC joue un rôle essentiel dans la régulation du système climatique terrestre via la

circulation thermohaline (Circulation océanique à grande échelle dont le moteur est la

variation de densité des masses d’eau induite par des changements de température et de

salinité. Elle est également très lente, sa trajectoire complète ayant une durée de l’ordre de

plusieurs siècles à un millénaire) qui transporte chaleur et CO2 et régule le stockage

thermique dans les eaux profondes.

Cette circulation thermohaline est une circulation océanique à l’échelle planétaire. Encore

appelée tapis roulant elle est due aux différences de densités de l’eau de mer, qui elles

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même dépendent de la température (thermo)et de la salinité (haline).Dans l’océan

Atlantique Nord, cette circulation transporte en surface de l’eau chaude et salée vers le

nord : c’est le Gulf Stream puis la dérivé nord-atlantique qui réchauffent les cotes de

l’Europe et dont le débit atteint l’équivalent de 100 fois celui de l’Amazone. Lorsqu’il

atteint les hautes latitudes, cette eau se refroidit et se sale (par rejet de sel lié a la formation

de glace de mer), sa densité augmente et elle plonge prefondement nouvellement formée

est ensuite transportée vers le sud a une vitesse de quelques cm/s et rejoint le Courant

Circumpolaire Antarctique. En profondeur, cette eau, dont les caractéristiques évoluent par

mélange remonte dans le fond des océans indien et pacifique. Elle remonte ensuite vers la

surface afin de rejoindre la branche chaude et salée de la circulation. (fig3)

Dans l’océan Austral, la boucle est fermée par les remontées de masses d’eau le long des

surfaces de densité constante du Courant Circumpolaire Antarctique.

Fig.3 : Schéma de la circulation océanique mondiale. (© CNRS Photothèque/CNES)

En rouge, les grands courants chauds de surface, en bleu les grands courants profonds, plus

froids. Quand les eaux chaudes de surface arrivent dans l’Atlantique nord, elles sont

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16

fortement refroidies : elles deviennent donc plus denses, ce qui les fait plonger vers les

profondeurs. (Naveira Garabato)

II-3-Définition du Courant Circumpolaire Antarctique

L’ouverture de ce passage, appelé détroit de Drake a constitué, une étape essentielle dans

l’évolution du Courant Circumpolaire Antarctique ou ACC.

Aujourd’hui, ce puissant courant océanique autour de l’Antarctique contribue à la

productivité de l’océan Austral et éloigne l’eau plus chaude du continent, il aurait joué un

rôle important dans le développement des calottes glaciaires antarctiques il y a environ 34

millions d’années en aidant à isoler l’Antarctique des régions plus chaudes.

Cependant, on estimait dans le passé que le détroit de Drake date d’il y a entre 17 et 49

millions d’années,

Le Courant Circumpolaire Antarctique (ACC), autrefois nommé Grande Dérive d'Ouest,

est le plus important flux d'eau sur la planète.

On le présente en première approximation comme une circulation annulaire qui s'effectue

de l'Ouest vers l'Est autour de l'Antarctique.

Successivement associé aux grandes circulations des trois océans méridiens, il constitue le

maillon commun de la circulation océanique planétaire et le moteur des transferts d'eau, de

chaleur et de sel entre océans adjacents (fig1). Il est à ce titre un élément essentiel de la

circulation globale et donc de la régulation du climat de la Terre.

Ce courant marin, le plus puissant du Globe, circule tout autour du continent blanc et assure

son isolation thermique en séparant les eaux glaciales du Sud, qui gèlent et forment la

banquise antarctique pendant l'hiver austral.

L'Antarctique est l'un des endroits les plus inaccessibles de la Terre. Les vents et les

vagues, qui atteignent souvent des ampleurs rarement égalées ailleurs, ainsi que les

icebergs rendent la navigation particulièrement difficile (d'où l'appellation de " 40èmes

rugissants " donnée à cette zone).

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De ce fait, le Courant Circumpolaire Antarctique est l'un des courants les moins étudiés de

la planète

Fig1 : le Courant Circumpolaire Antarctique s’écoule d’ouest en est (dans le sens des aiguilles d’une

montre) dans tous les océans voisins de l’Antarctique (océan Atlantique, océan Pacifique, océan

Indien).

Mais naviguer en direction de l’Antarctique revient également à rencontrer deux frontières

qui séparent des eaux contrastées en température. La première, la convergence antarctique

ou front polaire antarctique, ondule entre 50° et 60° de latitude sud et correspond à la limite

supérieure de l’océan Austral, qui le sépare des océans Atlantique, Indien et Pacifique. Ses

eaux de surface, particulièrement froides, passent sous la barre des 2°C en moyenne.

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18

L'ACC n'est toutefois pas un courant uniforme spatialement. Il consiste en une série de

fronts qui sont associés à des jets profonds répartis dans le sens méridien, et encerclant le

continent Antarctique (Fig. 4).

Fig. 4: Position des fronts de l'ACC. SAF: front Sub-Antarctique; PF:

Front Polaire; SACCF: front Sud de l'ACC; STF: front Sub-Tropical;

Sbdy: limite sud de l'ACC.(Orsi et al., 95)

On constate par ailleurs une remontée accentuée des isopycnes (En océanographie, les

lignes joignant les points de même densité sont appelées isopycnes) vers le sud à la

traversée de ces fronts, en même temps qu'une baisse de la hauteur dynamique. Ces fronts

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19

sont donc des bandes de forts gradients méridiens de salinité, de température et

densité, et dont le parcours est en outre influencé par la topographie (Robert H.

Stewart)

Depuis que la structure en fronts de l'ACC a été remarquée par Deacon (1937), de

nombreuses études locales ont été menées dans l'océan Austral afin d'étudier la position de

ces fronts, qui ont été identifiés aussi bien au sud de l'Australie (Deacon, 1937; Gordon et al.,

1977) qu'au passage de Drake ( Nowlin et al, 1977) ou au sud de l'Afrique (Lutjeharms et

Valentine, 1984). En 1995, Orsi a déterminé la structure frontale méridienne de l'ACC

en se basant sur des critères en température, salinité et autres traceurs (Tab. 1).

Tab. 1 Définitions des fronts selon Orsi (uniquement ceux en température).

Le continent Antarctique, son océan et son Courant Circumpolaire, font l'objet de

recherches intensives. L'une des plus importantes est la campagne Drake, lancée en janvier

2006 dans le détroit du même nom. Ces recherches, menées également par satellites, se

sont amplifiés avec l'année polaire internationale 2007-2008.

Un réseau mondial de stations marégraphiques dans l'Océan Austral vise à étudier la

faisabilité du monitoring du Courant Circumpolaire Antarctique, du passage de Drake à

l'entrée du Pacifique, en mesurant les variations du niveau de la mer.

La contribution ACCLAIM (Antarctic Circumpolar Current Levels for Altimetry and

Island Measurements) concerne les secteurs de Drake et de l'Atlantique Sud Est.

La contribution Française avec le réseau ROSAME se situe d'une part sur le secteur Crozet-

Kerguelen et d'autre part sur la section Australie-Antarctique, en coopération avec les

Australiens et Américains.

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II-4- Les caractéristiques du l’ACC :

L’océan Austral entoure le continent Antarctique et est délimité par ce Courant

Circumpolaire qui est le plus gigantesque flux liquide observé à la surface de la planète.

Long de quelque 20 000 km, d'une largeur variable de 200 km à 1000 km et d'une

profondeur qui peut atteindre 4 000 mètres sous la surface de l'océan. Ce courant

transporte, entre les trois océans, jusqu'à 150 millions de m3/seconde, soit quatre fois le

débit du Gulf-Stream, 400 fois celui du fleuve Mississipi et 1.000 fois celui de l'Amazone.

C'est plus de cent fois le débit cumulé de tous les fleuves et de toutes les rivières du monde.

C'est le courant le plus puissant du globe.

Quant à l'océan Austral, il affiche une profondeur de 4 000 à 5 000 mètres sur la plus

grande partie de son étendue, mais son plancher descend jusqu'à plus de 7 200 mètres au

fond de la fosse des îles Sandwich du Sud.

La température moyenne de l'océan Austral varie entre 10 °C pendant l'été (l'hiver chez

nous) et -2 °C en hiver. À ce moment, l'océan gèle tout autour du continent blanc jusqu'à

pratiquement doubler sa surface apparente.

La surface de la banquise, limitée à quelque 2,6 millions km2 en mars (fin de l'été austral),

est multipliée par 7 jusqu'à 18,8 millions de km2 en septembre, à la fin de l'hiver. (Jean-

Luc LÉONARD)

Le Courant Circumpolaire se dirige en direction de l’Est, car il est emporté par des vents

d’ouest. Ces derniers ont une force considérable, en effet dans cette zone on observe les

vents les plus violents, on les appelle ("quarantièmes rugissants et cinquantièmes

hurlants"), car plus on se rapproche de l’Antarctique, plus la vitesse des vents s’accroît.

Ce courant peut bien circuler, car en effet aucun continent le ne bloque, excepter le passage

rétréci entre l’Antarctique et la pointe de l’Amérique du Sud.

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II-5-Conclusion :

Il ressort de cette étude bibliographique, que le Courant Circumpolaire Antarctique joue un

grand rôle dans la régulation du climat mondiale, du fait des flux d’eau, de chaleur et de

salinité qu'il transporte. Vu l’éloignement et les conditions climatiques défavorables, il est

presque impossible de mener des compagnes de mesures et d’observation le long de

l’année. Il est alors indispensable de procéder à une modélisation numérique.

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Chapitre III

Formulations Mathématiques

III-1- Introduction :

On va introduire ici le modèle mathématique utilisé dans la programmation c'est-à-dire les

équations de Shallow Water pour pouvoir modéliser le Courant Circumpolaire Antarctique.

La formulation d’modèle simplifié puis des modèles avec topographie, forçage et friction

seront présentés.

III-2-Equations de Shallow Water:

Les dynamiques des fluides sont décrites par les équations de Navier Stokes (Achim

Wirth)

21u u u u Pu v w u

t x y z x

(III-1)

21v v v Pu v v

t x y y

(III-2)

21w w w w Pu v w g w

t x y z z

(III-3)

0u v w

x y z

(III-4)

+ Conditions aux limites

Avec u,v et w respectivement les composantes du vitesse Zonal ,méridional et vertical, p la

pression , la densité ,g la gravité , la viscosité de l’eau de mère et 2

xx yy zz

est l’operateur de Laplace.

Les équations des scalaires transportés par le fluide sont :

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2. . .T

T T T Tu v w k T

t x y z

+ Conditions aux limites

2. . .S

S S S Su v w k S

t x y z

+ Conditions aux limites

Ou T est la température, S la salinité etS

k ,T

k sont la diffusivité thermique et de salinité

L’équation d’état :

( , , )S T P

Permet d’obtenir la masse volumique à partir de la salinité, température et de la pression.

Les équations précédentes décrivent le mouvement de l’océan mais elles sont très

compliquées.

Les modèles numériques de la dynamique des océans utilisent des versions plus ou moins

simplifiés des équations précédentes.

Ces équations sont compliquées pour les raisons suivantes :

- Hétérogénéité des échelles spatiales (du millimètre aux milliers de kilomètres)

- La difficulté de la détermination de la pression.

- Conditions aux limites compliquées ; les cotes, les flux surfacique.

Une partie majeure de l’océanographie en effet cherche à trouver des simplifications des

équations précédentes, mais il est important de trouver un équilibre entre simplification et

précision.

Pour simplifier ces équations il faut tenir compte de deux importantes observations :

- l’océan est très large : profondeur typique (H=4 km) et échelle horizontal typique

(L=10000 km)

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24

- La masse volumique de l’eau de mer varie très peu 33.10

En utilisant ceci on va essayer de modeler l’océan comme une couche d’eau homogène peu

profonde.

En utilisant l’équation (III-4) on peut écrire que W/H et Uh / L ont le même ordre de

grandeur avec 2 2

hu u v la vitesse horizontale. Donc . /

hw H u L alors w<< hu

En utilisant ceci l’équation (III-3) devient P

gz

donc le gradient de pression vertical

ne dépend pas de la vitesse du fluide. Par la suite de l’hypothèse de l’homogénéité du fluide

0 On déduire : 0xz yzP P

Connaissant que u et v ne varie pas avec la profondeur on obtient les équations suivantes :

21u u u Pu v u

t x y x

(III-5)

21v v v Pu v v

t x y y

(III-6)

0u v w

x y z

(III-7)

Avec 0z z zzu v w (III-8)

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25

+ Les conditions aux limites

Le mouvement de fluide on surface libre de l’océan est donnée par l’équation suivante :

( )Hdw

t

Avec Hd

u vt t x y

représente la variation de la surface libre

On obtient alors :

( ) 0w

u v Ht x y z

En suite ( ) ( )

( )( ) 0H H u v

u v Ht x y x y

(III-9)

H=4000 m représente la profondeur moyenne

Après l’expression qui relie la composante horizontal de la pression et le gradient

horizontal de la surface libre est : p

gx x

et

pg

y y

(III-10)

Finalement les équations de Shallow water avec (w<<u) s’écrit :

(III-10) dans (III-1) donne 2u u uu v g u

t x y x

(III-11)

(III-10) dans (III-2) donne 2v v vu v g v

t x y y

(III-12)

(III-9) devient ( ) ( )

0H u H v

t x y

(III-13)

Ces équations sont simplifiées telles que nous considérons seulement une dynamique

unidirectionnelle, c’est-à-dire que nous calculons seulement la composante zonale de la

vitesse et nous négligeons les variables dans la direction méridionale.

2u u h

u g ut x x

(III-14)

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26

( . )

0h h u

t x

Avec h=H+ (III-15)

Ces équations simplifiées permettent d’étudier la dynamique, sans perdre leur exactitude

scientifique.

Les équations de Shallow water signifient « eaux peu profondes ». Or, de mon coté, j’étudie

le Courant Circumpolaire Antarctique, dont la longueur est d’environ 20 000 Km, et la

profondeur au maximum de 5 Km. Ce système peut donc être vu comme une couche d’eau

« peu profonde », nous pouvons donc utiliser les équations de Shallow Water.

On va programmer ces équations progressivement en ajoutant chaque terme l’un après

l’autre pour mieux comprendre l’effet de chaque perturbation sur le système.

III- 3-Equation de diffusion :

Le premier programme en fortran consiste à modéliser l’équation de diffusion :

2uu

t

(III-16)

Avec est la diffusivité. Nous considérons que le dynamique est unidirectionnelle alors

l’équation de diffusion s’écrit :

2

2

u u

t x

(III-17)

III-4-Equation de diffusion et d’advection :

Ensuite on va ajouter à l’équation de diffusion une vitesse d’advection selon la direction x.

L’équation devient donc :

2

2

u u uc

t x x

(III-18)

Avec c la vitesse d’advection, une constante est égal a 1 m/s.

III-5-Les Equations de Shallow Water simples:

Après on programme Les équations de Shallow Water simple (II-10) et (II-11) et on change

le terme u

ux

par

21

2

u

x

dans l’équation (II-10) parce qu’il est plus facile à programmé.

PFE 2009 ENIM

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27

Donc les équations sont écrites comme ceci :

2 2

2

1

2

u u h ug

t x x x

(III-19)

2

2

( . )h h u h

t x x

(III-20)

III-6-Ajout d’une topographie :

Dans ce paragraphe on ajoute une topographie aux équations de Shallow water. Nous

considérons que la topographie notée b a la forme d’une gaussienne, est ajoutée dans

l’équation de vitesse parce que celle-ci est perturbée.

Fig. : représentation du modèle

On obtient donc

2 2

2

1 ( )

2

u u h b ug

t x x x

PFE 2009 ENIM

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28

2

2

( . )h h u h

t x x

III-7-Ajout de la friction et du forçage :

Pour s’approcher de la réalité physique on va ajouter un terme de Friction ( .u) est due au

contacte avec le sol, et de Forçage (F) du vent qui force le courant.

Ces deux termes doivent être ajoutés au même temps en faite si on ajoute le terme de

friction tout seul le courant tend vers zéro et de même si on n’ajoute que du forçage

l’écoulement s’emporterait.

Alors les équations vues précédemment deviennent :

2 2

2

1 ( ) . ..

2

u u h b u H F H ug

t x x x h h

2

2

( . )h h u h

t x x

Si on considère que le régime et stationnaire et que tous les paramètres sont constante dans

le volume de contrôle, on obtient :

. 0F u

Nous savons que la friction du vent sur l’ACC est de =0.2 N. 2m

=f

s

Avec f la force du vent appliquée sur la surface S de 1 2m .

Alors F =. .

f

s h avec la hauteur h=4km et la masse volumique =1000 3/kg m

28 2

3

0.2 .5.10 .

1000 . .4000

N mF m s

kg m m

Pour u=1 1.m s et F

u donc 8 15.10 s

III-8-Conclusion :

PFE 2009 ENIM

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29

Dans ce chapitre on a présenté les équations de diffusion et d’advection, les équations de

Shallow Water simples et avec les termes ajoutés (la topographie, la friction et le forçage)

qui vont être discrétisé par la suite dans le chapitre suivant.

Chapitre IV

Discrétisation par la méthode des volumes finis et modelés numériques

IV-1-Introduction :

La méthode des volumes finis consiste à construire autour de chaque point du maillage un

domaine fini (volume de contrôle) sur lequel les équations seront intégrées.

Les équations intégrales résultantes sont discrétisées en faisant des hypothèses sur

l’évolution des solutions entre les nœuds du maillage. (S.BEN.Nassrallah)

IV-2-Equation de diffusion :

L’équation de diffusion monodimensionnelle :

2

2

u u

t x

Nous effectuons un maillage du domaine de calcul :

L’intégration de cette équation sur le volume de contrôle conduit à :

PFE 2009 ENIM

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30

1/2 1/2 2

2

1 1/2 1/2

i t t t t i

t t i

u udtdx dxdt

t x

1/2

1/2 1/2 1/2

( ) ( )i t t

i t i i

u uu t t u t dx dt

x x

(IV-1)

Pour avoir des équations discrétisées nous utilisons des hypothèses sur la variation de la

vitesse u (et de la hauteur h pour les équations de Shallow water) entre les nœuds du

maillage. Le plus simple est de supposer :

- que la solution est constante dans le domaine de contrôle et égale à sa valeur en i. (pour le

premier terme).

-que la vitesse u varie linéairement entre deux nœuds voisins (pour le deuxième terme).

-On pose: uo = u (t) et un = u(t+ t).

L’équation (VI-1) devient donc :

( 1) ( ) ( ) ( 1)

( ) ( )t t

t

u i u i u i u iun i uo i x dt

x x

En utilisant le schéma explicite qui suppose que la valeur de u entre t et t + t est

constante et égale à uo on obtient :

( ) ( ) ( 1) 2 ( ) ( 1)un i uo i x t uo i uo i uo ix

Finalement l’équation discrétisée devient :

Dans le programme fortran on va tracer 1000 points alors20000

201000 int

kmx km

po s .

Mais ce schéma explicite utilisé a un inconvénient c’est que le coefficient de uo(i) doit être

positif alors il faut que : 2t

x

<1/2 (condition de CFL).

2

( ) ( ) ( 1) 2 ( ) ( 1)un i uo i t uo i uo i uo ix

PFE 2009 ENIM

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31

Donc il faut que

2

2

xt

: cette condition s’appelle condition de stabilité et

implique que l’utilisation de pas de temps très petits ce qui augmente le temps de calcul.

D’après les conditions de CFL vu précédemment, nous avons déduit que t =20s et

6 2 11.10 .m s le modèle est stable

IV-3-Equation de diffusion et d’advections :

L’équation de diffusion et d’advection monodimensionnelle :

2

2

u u uc

t x x

De même pour cette équation nous effectuons le même maillage et l’intégration de cette

équation sur le volume de contrôle conduit a :

1/2 1/2 1 1/2 1/22 2

2

1 1/2 1/2 1/2 1/2

1

2

i t t t t i t t t t i

t t i t i t i

I II III IV

u u h udtdx dxd t g dxd t dxdt

t x x x

1/2

1/2 1/2 1/2

1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2

i t t t t

i t i i tI

II II III

u uu t t u t dx dt c u i u i dt

x x

Hypothèses :

- Pour (I): u est constant dans le volume de contrôle et égale à sa valeur en i :

Alors (I)= ( ) ( )un i uo i x

- Pour (II) : u varie linéairement entre deux nœuds voisins et de même on utilise le schéma

explicite on obtient :

(II)= .

( 1) 2 ( ) ( 1)t

uo i uo i uo ix

En ce qui concerne les termes d’advection, le traitement qui semble le plus naturel est le

suivant :

Schéma centré :

PFE 2009 ENIM

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32

1 ( 1) ( )

( )2 2

u i u iu i

Et

1 ( ) ( 1)( )

2 2

u i u iu i

Ainsi nous aurons :

( 1) ( ) ( ) ( 1)

( )2 2

t t

t

u i u i u i u iIII c dt

( 1) ( 1)2

t t

t

cu i u i dt

De même on appliquant le schéma explicite on obtient :

( ) ( 1) ( 1)2

cIII uo i uo i t

L’équation discrétisée s’écrit donc :

Le programme entier pour cette équation est détaillé en annexe.

IV-4-Les equations de Shallow Water simples:

On programme les équations de Shallow water de même manière par différence finie.

2 2

2

1

2

u u h ug

t x x x

(IV-2)

2

2

( . )h h u h

t x x

(IV-3)

En suivant la même démarche et l’intégration sur le volume de contrôle et sur le pas de

temps de l’équation (IV-2) donne :

2

( ) ( ) ( 1) 2 ( ) ( 1) ( ( 1) ( 1)2.

cun i uo i t uo i uo i uo i uo i uo i

x x

PFE 2009 ENIM

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33

1/2 1/2 1 1/2 1/22 2

2

1 1/2 1/2 1/2 1/2

1

2

i t t t t i t t t t i

t t i t i t i

I II III IV

u u h udtdx dxd t g dxd t dxdt

t x x x

Hypothèses :

- (I): u est constante dans le volume de contrôle et égale à sa valeur en i :

Alors (I)= ( ) ( )un i uo i x

-(II) =2 2

1 1

2 2

) )t t

i it

u u dt

En utilisant le Schéma centré puis le schéma explicite on obtient :

(II)=2 21/ 2. [ ( 1) ( 1)

t t

t

u i u i dt

(II)=2 21/ 2 ( 1) ( 1)uo i uo i t

- de même pour (III) en utilisant le schéma centré puis le schéma explicite on obtient :

(III)= 1/ 2 ( 1) ( 1)ho i ho i t

(IV) : u varie linéairement entre deux nœuds voisins et de même on utilise le schéma

explicite on obtient :

(IV)= .

( 1) 2 ( ) ( 1)t

uo i uo i uo ix

Donc l’équation discrétisée s’écrit :

2

2 2

( ) ( ) .{ / . ( 1) 2 ( ) ( 1)

/ 2. . ( 1) ( 1) 1/ 4. . ( 1) ( 1) }

un i uo i t x uo i uo i uo i

g x ho i ho i x uo i uo i

Pour l’équation (IV-3) si en suivant la même démarche et en faisant les mêmes hypothèses

l’équation (IV-3) discrétisées dans le cas monodimensionnel s’écrit :

PFE 2009 ENIM

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34

2( ) ( ) .{ / . ( 1) 2 ( ) ( 1)

1/ 2. . ( 1). ( 1) ( 1). ( 1) }

hn i ho i t x ho i ho i ho i

x uo i ho i uo i ho i

IV-5-Equation de Shallow Water avec l’ajout de topographie :

Ensuite on ajoute la topographie b, elle est choisie de la forme 2( *100). xb bo e avec bo

la hauteur maximale de la topographie. On l’introduit dans l’équation de vitesse

2

2 2

( ) ( ) .{ / . ( 1) 2 ( ) ( 1)

/ 2. . ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1/ 4. . ( 1) ( 1) }

un i uo i t x uo i uo i uo i

g x ho i b i ho i b i x uo i uo i

(IV-4)

Après on ajoute la topographie dans la deuxième équation de Shallow water pour avoir une

surface libre totalement symétrique à la topographie.

2( ) ( ) .{ / . ( 1) ( 1) 2.( ( ) ( )) ( 1) ( 1)

1/ 2. . ( 1). ( 1) ( 1). ( 1) }

hn i ho i t x ho i b i ho i b i ho i b i

x uo i ho i uo i ho i

Dans le programme on a changé h initial tel que h =4000.0-b ce qui permet d’avoir une

surface libre plane en effet si en remplace par (h+b)=4000-b+b=4000 donc une constante

IV-6-Equations de Shallow water et thermes ajoutés :

Il reste à ajouter les termes de friction et de forçage dans l’équation (IV-4) et on obtient :

2

2 2

( ) ( ) .{ / . ( 1) 2 ( ) ( 1)

/ 2. . ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1/ 4. . ( 1) ( 1) }

.4000 / ( ) . ( ).4000 / ( )

un i uo i t x uo i uo i uo i

g x ho i b i ho i b i x uo i uo i

F ho i uo i ho i

IV-7-Conclusion :

Dans chapitre, on a discrétisé par la méthode de volume finis les équations de diffusion, de

diffusion et d’advection, de Shallow water simple et avec l’ajout de la topographie, de la

PFE 2009 ENIM

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35

friction et du forçage .Ces équations discrétisé vont être après résolues à l’aide des

programmes Fortran.

Chapitre V :

Résultats et observations

V-1-Introduction :

Dans ce chapitre les résultats en termes d’évolution de la vitesse, de la surface libre et du

transport pour des modèles avec et sans perturbation vont être présentés et interprétés .

V-2-Equation de diffusion :

La figure (4.1) montre bien le résultat pour l’équation de diffusion obtenu par le

programme (1) détaillé dans l’annexe.

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36

L’effet de la diffusion est illustré par la diminution de la hauteur de la vague et en même

temps par son élargissement, c’est comme si la vague est écrasée.

V-3-Equation de diffusion et d’advections :

Ensuite si on ajoute l’advection à l’équation de diffusion on reçoit la figure (4.2). Obtenu

par le programme (2) détaillé dans l’annexe.

On voit bien que l’effet d’advection est figuré par le déplacement de la vague vers la droite

et son addition avec l’effet de diffusion créent une vague qui diminue et s’élargit tout en se

déplaçant vers la droite.

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37

V-4-Equation de Shallow Water simple:

Le programme (3) détaillé dans l’annexe, nous donne les figures (4.3) et (4.4).

On remarque que la vague sans vitesse initial se devise en deux (fig. 4.3).Ces deux vagues

crées se divergent l’une vers le limite 0 et l’autre vers le limite 1000 puis elles se

rejoignent et recommencent leurs propagations de nouveau dans l’autre sens ce pour cela

on voie également un inversement de la vitesse (fig.4.4)

Les équations de Shallow water simples s’écrivent :

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38

2

21.

2

u ug u

t x x

( . )

0H u

t x

Si on suppose que 2 .u g et H on obtient :

0u

gt x

. 0u

Ht x

La combinaison de ces deux équations nous donne :

2 2

2 2. .g H

t x

Cette équation admet comme solution général donnée par :

0 0

0 0

( , ) ( ) ( )

( , ) .( ( ) ( ))

x t ct x ct x

cu x t ct x ct x

H

Avec c gH et, 0

, 0

deux fonctions arbitraires

Alors l’équation ( , )x t montre bien que la perturbation de la surface libre évolue dans

deux directions opposées dans l’espace l’une dans le sens positive et l’autre dans le sens

contraire

Et la signe (-) de la deuxième équation celle de ( , )u x t confirme qu’on a une inversion de

la vitesse.

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39

PFE 2009 ENIM

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40

V-5-Equations de Shallow water avec l’ajout de topographie :

L’ajout de la topographie aux équations de Shallow water nous a permis d’obtenir les

graphes (4.5), (4.6) et (4.7) à l’aide du programme (4) détaillé dans l’annexe.

La figure (4.5) montre bien que la surface libre est totalement plane et par suite la hauteur

d’eau varie selon la figure (4.6) .Nous ne voyons pas des changements à ce niveau ce qui

n’est pas toujours vrai si en ajoute les termes de friction et de forçage qui créent une

PFE 2009 ENIM

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41

perturbation au niveau de la surface libre .C’est donc le point suivant que nous allons

aborder.

PFE 2009 ENIM

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42

La variation de la vitesse est très faible (après 50 ans elle augmente de 0.000001 m/s) donc

c’est presque nulle et ceci peut être expliqué par le faite que le système dans ce cas est

étudié sans l’effet du forçage.

V-6-Equations de Shallow water avec forçage et friction :

Nous avons également observé l’évolution de la surface libre avec l’ajout de la topographie

aux équations de Shallow Water simple, en ajoutant la friction et le forçage, nous obtenons

les graphes (4.8) et (4.9).

PFE 2009 ENIM

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43

En regardant ce graphe fig. (4.8) on peut classer le Courant Circumpolaire Antarctique

parmi les écoulements brusquement variés. Ces écoulements se rencontrent soit en cas des

changements géométrique brutaux en plan ou soit dans le cas des écoulements dont les

lignes de courant deviennent très courbées. En faite cette évolution de la surface libre c’est

à cause de forçage et de changement brusque de la topographie.

Graphiquement en constate que le système commence par un écoulement uniforme, après

l’écoulement devient graduellement varie accompagné par une augmentation de pression de

fluide sur la paroi de la vague fait que le fluide monte plus vite en hauteur ce qui explique

l’évolution de la vitesse obtenue dans la fig.(4.9) a ce niveau puis cet effet de pression

diminue et au bout d’un certain temps le fluide se stabilise.

PFE 2009 ENIM

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44

On voie bien que le système commence à se stabiliser au bout d’environ de 50 ans. On

remarque par exemple sur la figure (4.9) que la vitesse pour 50 ans est en moyenne de 1

m/s, résultat que nous voulions effectivement obtenir.

Si on fait une petite comparaison entre les deux résultats obtenus par l’ajout de la

topographie seulement et celle de forçage et de friction on peut remarquer qu’après 50 ans

l’évolution de la vitesse avec topographie seulement est plus petite. Et cela est à cause de

l’absence du forçage qui représente une accélération pour l’écoulement.

De plus en peut remarquer si en regarde les deux figures (fig.4.9) qu’il ya une convergence

de vitesse, une évolution de la forme exponentiel fig. (4.12) à cause de la friction par contre

PFE 2009 ENIM

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45

dans l’autre graphe (fig.4.7) c’est claire que l’évolution est linéaire puisque on n’a pas

considéré dans ce cas l’effet de frottement avec le fond marin.

Le terme de friction .u est utilisé pour un écoulement laminaire au fond marin et cela est

vrai seulement dans le cas ou la surface du fond est pratiquement plane .Mais en réalité il

existe des petites reliefs à la surface du fond qui crée la turbulence à ce niveau.

Le terme de friction pour un écoulement turbulent c’écrit : . .Dc u u . Avec CD appeler

coefficient de trainée estimé de31.10

.

Lorsque Nous entrons ces modifications dans le programme on obtient les figures (4.10) et

(4.11).

PFE 2009 ENIM

MISSAOUI Hamdi

46

Dans le cas laminaire l’écoulement ne devient stable qu’après 50ans. Mais dans le cas d’un

écoulement turbulent les graphes (4.10) et (4.11) montrent bien que ce courant marin

n’atteint son stabilité qu’après 12ans et la vitesse de fluide diminue, en moyenne ne dépasse

pas le 0.5m/s. En effet les turbulences augmentent la viscosité du fluide : à la viscosité

moléculaire s’ajoute une viscosité de turbulence h. Plus le liquide est visqueux plus le

mouvement est lent.

PFE 2009 ENIM

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47

V-7-Transport et traînée de pression :

V-7-1-Transport :

Si on trace la vitesse en x=0, en fonction de temps et de la topographie V (0, t, b) on

obtient la figure (4.12).

D’après cette figure (4.12) on remarque que la vitesse diminue et atteint son régime stable

plus rapidement en passant d’une topographie à une autre plus grande.

La figure (4.13) montre l’évolution du transport en fonction de la topographie qui suit la

même forme que celle de la vitesse. En effet si nous supposons que l’écoulement est

stationnaire, que la friction, le forçage et le terme de viscosité sont négligeables, nous

obtenons cette équation de Bernoulli :

PFE 2009 ENIM

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48

21 ( )

. . 02

u h bg

x x

(V-1)

Et ( . )

0u h

x

(V-2)

Cette équation (V-2) montre que u.h =cte. Cette constante d’intégration n’est autre que le

transport du fluide T=u.h.

Pour une hauteur h constant (h=4000m) l’évolution du transport en fonction de la

topographie est la même que celle de la vitesse obtenu par la figure (4.12).

L’équation (V-1) devient :

2

( ) 02

ug h b

x

Donc

2

( )2

ug h b = cte (V-3)

Ainsi h=T/u.

En remplaçant cette expression dans l’équation (V-3) on obtient :

2

( )2

u Tg b cte

u (V-4)

Multipliant par u l’équation (V-4) on obtient finalement :

3

. ( . ). 02

ug T g b cte u (V-5)

En regardant cette équation nous constatons que la vitesse, ainsi que la hauteur sont

déterminées localement par la topographie b à chaque point de l’écoulement. Ceci n’est pas

vrai si en considère le terme de friction (l’équation (V.5) n’est plus valable suite à l’ajout

du terme de friction).

PFE 2009 ENIM

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49

On remarque que le transport pour une petite topographie est plus important que pour une

grande topographie et cela c’est évidant car le fluide passe plus facilement sans obstacle

V-7-2-Traînée de pression :

La trainée de pression qui est liée à la différence de répartition des pressions autour du

profil. Difficile à expliquer à l'écrit mais pour simplifier, la vitesse du fluide est modifiée

par la présence de l'objet. Cette variation de vitesse entraine des variations de pression et

PFE 2009 ENIM

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50

donc engendre de la trainée qui est engendrée par les forces de pression agissant

perpendiculairement à la surface de la topographie.

La trainée de pression apparait lorsqu’on regarde l’équation pour l’inertie (u.h) :

( . ) 1 ( . . ). . . . . .

2

u h u u h h bg h g h H F H u

t x x x

(V-6)

Si on intègre l’équation (V-6) sur toute la longueur du courant et pour un écoulement

stationnaire on obtient :

21 ( . . ) 1. . . . .

2 2L L L L

u u h h bdx g dx g h dx H F udx

x x x

Or on sait que l’intégral de tous les termes dérivés pour un contour fermé s’annule donc on

obtient :

. . . .L L

bg h dx H F u dx

x

Cette équation peut c’écrire autrement :

1

. . .L L L

bg h dx u dx Fdx

H x

Avec le premier terme représente la trainée de pression.

PFE 2009 ENIM

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51

.

Dans la moyenne spatiale le terme de traînée de topographie disparait si on ne multiplie pas

tous les termes par h, c'est-à-dire si on considère l'équation pour u seulement et si on

multiplie par h on considère l'inertie (u.h) et n'est pas seulement la vitesse (u), et on voit

alors la trainée de topographie apparaitre.

Le second terme représente la friction et le dernier terme c’est le forçage.

En moyen la somme de deux premiers termes est égale à la valeur du troisième (voir fig1,

2,3et 4).

Fig.1 : évolution de la trainée de pression et le terme de friction pour une

Topographie de 1000.

PFE 2009 ENIM

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52

Fig.2 : évolution de la trainée de pression et le terme de friction pour

Une Topographie de 2000.

Fig.3 : évolution de la trainée de pression et le terme de friction pour une

Topographie de 3000.

PFE 2009 ENIM

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53

Fig.4 : évolution de la trainée de pression et le terme de friction pour une

Topographie de 3500.

En regardant les graphes de l’évolution de trainée de pression et le terme de friction en

fonction de la topographie en remarque que la trainée de pression augmente par contre la

friction diminue en passant d’une topographie à une autre plus grande.

En effet la trainée de pression augmente avec la topographie pour s’opposer d’avantage au

mouvement du fluide ce qui entraine une diminution de la vitesse et par la suite le terme de

friction décroit.

Aussi on voit qu’après une certaine valeur de topographie la trainée de pression devient

plus grande que la friction.

PFE 2009 ENIM

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54

Fig. 5 : Evolution de la pression de trainée et le terme de friction en fonction de la

topographie

De cette courbe on peut conclure qu’a chaque point de système on a la somme de deux

trainées de pression et de friction est égale au terme de forçage.

. .b

g h u Fx

Et pour une topographie un peut prêt de 2700 m la trainée de pression a la même valeur

que la friction.

PFE 2009 ENIM

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55

V-1-Conclusion :

Dans ce chapitre, nous avons étudié dans une première étape, un courant simple sans

perturbations puis nous avons investigué dans une seconde étape l’effet de la topographie,

le forçage et la friction sur la Courant Circumpolaire Antarctique.

Les résultats obtenus dévoilent l’occurrence d’une asymétrie de la surface libre et d’une

trainée de pression lorsqu’on tient compte de la topographie, du forçage et de la friction.

Cette trainée de pression s’ajoute à la friction et s’oppose au mouvement du fluide.

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56

CONCLUSION ET PERSPECTIVES

Le présent travail est une contribution à la compréhension des dynamiques du Courant

Circumpolaire Antarctique.

L’intérêt de ce projet réside dans le fait qu’on ne s’est pas contenté de présenter le Courant

Circumpolaire Antarctique mais on est allé jusqu’à la formulation mathématique à l’aide

des équations de Shallow Water, la discrétisation de ces équations par la méthode de

volumes finis et la programmation des codes de calcul en fortran.

Nous avons étudié dans une première étape, un courant simple puis nous somme concentré

dans une seconde étape à l’étude de l’effet de l’ajout des perturbations telles que : la

topographie, le forçage et la friction.

Les résultats obtenus montrent l’occurrence d’une asymétrie de la surface libre et d’une

trainée de pression lorsqu’on tient compte de la topographie, du forçage et de la friction.

Cette trainée de pression s’ajoute à la friction et s’oppose au mouvement du fluide.

Comme perspectives, on suggère de considérer un forçage variable, une topographie plus

complexe et des équations de Shallow water plus complexe. Dans ce contexte on peut

considérer une dynamique bidirectionnelle, c’est-à-dire que nous calculons la composante

zonale et la composante méridionale de la vitesse.

Ces perspectives constitueront une première piste d'approfondissement et ils peuvent être

encore l’objet d’étude plus poussée..

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Annexes

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Remarque :

Pour éviter de prendre de trop de place sur la mémoire je vais réécrire dans tous les

programmes chaque un(i) sur les uo(i) précédentes. Nous utiliserons également la condition

limite qui consiste à dire que le dernier point (n+1) équivaut au deuxième point (1) et que

l’avant dernière point (n) équivaut au premier point(0) de système. Comme il est expliqué

par la figure si contre .On peut utiliser ces conditions aux limites puisque le système est un

Courant Circumpolaire c'est-à-dire le domaine est circulaire.

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Bibliographie

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