Percolation on groups and directed models

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  • Thse

    en vue dobtenir le grade de

    Docteur de lUniversit de Lyondlivr par lcole Normale Suprieure de Lyon

    Discipline : Mathmatiques

    Unit de Mathmatiques Pures et Appliques - UMR 5669cole doctorale Infomaths

    prsente et soutenue publiquement le 10 dcembre 2014 par

    Sbastien Martineau

    Percolation sur les groupeset modles dirigs

    Directeur de thse : Vincent Beffara

    Aprs avis de : Itai BenjaminiGbor PeteTatiana Smirnova-Nagnibeda

    Devant la commission dexamen forme de :

    Vincent Beffara DirecteurDamien Gaboriau MembreGbor Pete RapporteurTatiana Smirnova-Nagnibeda RapporteuseAriel Yadin Membre

  • Remerciements

    En premier lieu, je tiens exprimer ma gratitude lgard de mon direc-teur de thse. Vincent, tu mas accord une grande libert tout en sachantrester disponible ; tu mas incit aller voir ce quil se passait hors de Lyon ;tu as toujours t bienveillant et patient envers moi ; et ton impressionnanterpartie mathmatique (ou autre) a t un excellent terreau pour mon espriten germe. Pour cela et tant dautres choses, merci !

    I would like to thank Itai Benjamini, Gbor Pete and Tatiana Smirnova-Nagnibeda for having reviewed this thesis. Their work has been inspirationalto me and I am both pleased and honoured that they accepted to read mymodest contributions. I acknowledge their valuable comments.

    I am indebted to Damien Gaboriau, Gbor Pete, Tatiana Smirnova-Nagnibeda and Ariel Yadin for being members of my jury; through discus-sions, articles or talks, each of them has influenced my mathematical life.

    Damien and Itai, I am also grateful to you for having carefully followedmy evolution since the very start of my doctorate.

    Je suis galement reconnaissant vis--vis de lUnit de MathmatiquesPures et Appliques et du dpartement de mathmatiques de lENS Lyon. Yenseigner et faire de la recherche a t un vritable plaisir, grce vous tous(lves videmment inclus). Jadresse des remerciements tous particuliersaux membres (et anciens membres) de lquipe de probabilit et du groupede travail de dynamique mesurable : votre prsence mathmatique et votreaffabilit ont t capitales pour moi, ces dernires annes.

    Merci bien sr Magalie et Virginia, sans qui la vie serait impossible !Merci aux probabilistes du jeudi aprs-midi (et vendredi matin au tempsjadis). Merci Hugo et Grgory pour leur clairvoyance humaine et math-matique. Quant Vincent Tassion. . . Bah voil ! Pour toutes ces annesdenrichissement mutuel (mathmatique et autre), je te remercie profond-ment. Puisse laventure mathmatique se poursuivre !

    Je suis redevable Damien Gaboriau et Franois Le Matre pour leurscommentaires et suggestions concernant le chapitre 1. As for Chapter 2, Imust of course thank Vincent Tassion for the collaboration, but also HugoDuminil-Copin for initiating the project, Mikael de la Salle for pointingout the compactness argument of Lemma 2.1.4, and Itai Benjamini and theanonymous referee of [MT] for useful remarks.

    i

  • ii

    Je suis reconnaissant envers tous ceux qui mont aid prparer cettejourne de soutenance, ainsi que Grand Chef, Damien, Mohamed, Loc, Da-niel, Juhan, Anne-Laure, maman et papa pour leurs relectures attentives.

    Enfin, titre personnel, je tiens remercier tous ceux avec qui jai eu lajoie de partager

    un sourire, un fourire,une vigie Dame Annie,

    une randonne, un randori,une sortie ski,

    une escapade chilienne,un directeur de thse,

    un bureau, un enseignement,des annes, mon enfance,

    des gniteurs, des chromosomes,de la chaleur familiale,

    des pomes,des instants cur ouvert,de lamiti, de lamour,

    des rfrences humoristiques rpter outrance 0,des bonjours enjous ou thtraux,

    des nietzscheries ou autres mditations mtaphysiques,des penses sur les maths ou la vie,

    un nouvel an,une soire,

    une partie de magic ou dominion,une technique de prestidigitation,

    un dinosaure en chocolat, un goth,une soupe loignon,

    un intrt pour les mangas,une balade en bord de Rhne,

    une vision du tri slectif et des tatouages,une conception du billet de vingt euros,

    une semaine Luminy,une conf en Russie,

    un plan Martinique, un after hour indien,une sance darts martiaux

    ou une maison pendant prs de vingt ans.

    Bref. . . aux amis/frangin/pre/mre/grands-pres/grands-mres/oncles/tantes/cousins/cousines, merci du fond du cur !

    0. Jaimerais remercier Jean Castel qui fut indispensable, Ernest Prouch et tousceux que joublie.

    Et voici notre invit surprise. . . Ernest Prouch ? Non, tous-ceux-que-joublie !

    Les deux minutes du peuple, Franois Prusse

  • Table des matires

    0 Introduction (en franais) 10.1 Percolations gnrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    0.1.1 Vocabulaire de thorie des graphes . . . . . . . . . . . 40.1.2 Percolation : dfinition et premiers exemples . . . . . 90.1.3 Un premier argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    0.2 Graphes transitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170.2.1 Graphes de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170.2.2 Unimodularit et transport de masse . . . . . . . . . . 290.2.3 Un mot sur les graphes rotatoirement transitifs . . . . 34

    0.3 Etat de lart en percolation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . 350.3.0 Prambule sur la planarit . . . . . . . . . . . . . . . 360.3.1 Le cas planaire euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . 390.3.2 Hors du plan euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    0.4 Percolations invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520.4.1 Premires dfinitions et proprits . . . . . . . . . . . 520.4.2 Le paramtre dunicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540.4.3 Moyennabilit et percolation . . . . . . . . . . . . . . 560.4.4 Le principe de transport de masse en percolation . . . 580.4.5 Le thorme dindistinguabilit . . . . . . . . . . . . . 64

    0.5 Rsultats de cette thse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    0 Introduction (in English) 10.1 General percolations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    0.1.1 The vocabulary of graph theory . . . . . . . . . . . . . 40.1.2 Percolation: definition and first examples . . . . . . . 80.1.3 A first argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    0.2 Transitive graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.2.1 Cayley graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.2.2 Unimodularity and the Mass Transport Principle . . . 270.2.3 Rotarily transitive graphs . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    0.3 A short survey of Bernoulli percolation . . . . . . . . . . . . . 330.3.0 Planar graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340.3.1 Discretising the Euclidean plane . . . . . . . . . . . . 36

    iii

  • iv TABLE DES MATIRES

    0.3.2 Beyond the Euclidean plane . . . . . . . . . . . . . . . 400.4 Invariant percolations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    0.4.1 First definitions and properties . . . . . . . . . . . . . 490.4.2 The uniqueness parameter . . . . . . . . . . . . . . . . 500.4.3 Amenability and percolation . . . . . . . . . . . . . . 530.4.4 The Mass Transport Principle in percolation . . . . . 550.4.5 The Indistinguishability Theorem . . . . . . . . . . . . 61

    0.5 Results of this thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    1 Orbit equivalence and strong indistinguishability 711.1 Orbit equivalence theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    1.1.0 Generalities on the standard Borel space . . . . . . . . 721.1.1 Countable Borel equivalence relations . . . . . . . . . 731.1.2 Measure invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731.1.3 Amenability and hyperfiniteness . . . . . . . . . . . . 751.1.4 Ergodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761.1.5 Strong ergodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771.1.6 Graphings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    1.2 Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791.2.1 General definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801.2.2 Independent percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . 801.2.3 Generalized percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . 821.2.4 Cluster indistinguishability . . . . . . . . . . . . . . . 831.2.5 Insertion-tolerance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.2.6 Percolation and orbit equivalence . . . . . . . . . . . . 85

    1.3 Ergodicity and indistinguishability . . . . . . . . . . . . . . . 851.3.0 The dictionary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851.3.1 Classic connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861.3.2 Two lemmas on asymptotic invariance . . . . . . . . . 881.3.3 Strong version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901.3.4 Classic and strong indistinguishability do not coincide 931.3.5 Complements on asymptotic cluster properties . . . . 100

    2 Locality of percolation for abelian Cayley graphs 1032.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    2.0.1 Statement of Schramms Conjecture . . . . . . . . . . 1042.0.2 The Grimmett-Marstrand Theorem . . . . . . . . . . . 1052.0.3 Main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062.0.4 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.0.5 Organization of the chapter . . . . . . . . . . . . . . . 107

    2.1 Marked abelian groups and locality . . . . . . . . . . . . . . . 1072.1.1 The space of marked abelian groups . . . . . . . . . . 1082.1.2 Percolation on marked abelian groups . . . . . . . . . 1102.1.3 A first continuity result . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

  • TABLE DES MATIRES v

    2.1.4 Proof of Theorem 2.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.2 Proof of Lemma 2.1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    2.2.1 Setting and notation . . .