PDF (Chapitre 6, conclusion, annexes et bibliographie)

Chapitre 6

Structures coherentes

Ce chapitre traite de la decomposition du mouvement en une partie organisee et unepartie aleatoire. Pour les variables de vitesse considerees, nous prenons les notations :

Ui = Ui +u(c)i +u

(r)i

ou Ui designe la vitesse moyenne, u(c)i la fluctuation organisee et u

(r)i la fluctuation aleatoire.

Dans notre cas, la partie organisee du mouvement est principalement constituee de lal-lee tourbillonnaire de von Karman. Dans un premier temps, nous observerons ces struc-tures au moyen de lignes demission, calculees a partir des acquisitions de PIV hautecadence (paragraphe 6.1). Afin de quantifier la contribution de chaque partie organiseeet aleatoire a lecoulement, nous tenterons ensuite de separer ces deux composantes demaniere quantitative. Du fait du caractere quasi-periodique de lallee tourbillonnaire, ladecomposition est dabord realisee par loperateur de moyenne de phase (paragraphe 6.2).Ainsi la decomposition precedente peut secrire, en reprenant les notations de Reynoldsand Hussain [106] :

Ui = Ui + ui +uiou Ui designe la fluctuation quasi periodique et ui la fluctuation aleatoire. La moyenne dephase secrit alors :

Ui= Ui + uiApres avoir presente les moyennes de phase obtenues par echantillonnage conditionnel

(6.2.1), nous validerons au paragraphe 6.2.2 les estimations stochastiques en les comparantaux moyennes de phase et nous apliquerons cette technique aux acquistions 3C de PIVstereoscopique. Ensuite, nous verrons les defauts de cet operateur de moyenne de phase(paragraphe 6.3). Nous analyserons lecoulement au moyen de la decomposition en modespropres orthogonaux (POD) au paragraphe 6.4, puis nous reconsidererons la moyennede phase en utilisant les informations issues de la POD (paragraphe 6.5). Les resultatspresentes dans ce chapitre sont obtenus au nombre de Reynolds 140000.

6.1 Lignes demission

La PIV haute cadence permettant le suivi spatio-temporel, il est interessant de regarderlallure de lignes demission pour visualiser les structures de lecoulement. Pour ceci, desparticules fictives sont lachees a certains endroits de lecoulement a chaque instant et

107

Chapitre 6. Structures coherentes

leur position aux instants successifs forment ces lignes demissions. On visualise donclecoulement tel quon le verrait en injectant de la fumee ou un colorant a ces positions.Nous avons calcule ces lignes demission en lachant une particule a chaque instant en despoints repartis uniformement sur la frontiere amont du domaine mesure, ainsi que sur lafrontiere inferieure, proche de laxe arriere y/D = 0. En pratique, il semble peu naturel carimpossible dinjecter du colorant a ces positions. Neanmoins, les lignes demission obtenuesillustrent certains aspects du mouvement. Les positions des particules a un instant tsont calculees a partir de la vitesse interpolee (par une methode des moindres carresponderes par les distances) a la position de la particule a linstant precedent. Egalement,pour un meilleur rendu visuel, les champs de vecteurs ont ete reechantillonnes (avec uneinterpolation par moindres carres) a une frequence cinq fois superieure a la frequencedacquisition. Ainsi, la distance entre deux particules successives est reduite. Compte tenude ces traitements et de la resolution spatiale des mesures, les lignes demission obtenuessont beaucoup plus lisses quelle ne le seraient reellement. Egalement ces visualisations neprennent pas en compte laspect tridimensionnel de lecoulement. Ainsi, nous visualisonsdes particules qui devraient etre sorties du plan. En particulier, les regions ou les particulessemblent sentasser sont certainement soumises a une vitesse normale au plan de mesureet ainsi les particules a cet endroit ne devraient plus etre visibles. Ces lignes demission sontdonc a interpreter avec beaucoup de precautions. Elles permettent neanmoins dobserverles mouvements de grandes echelles et leur aspects bidimensionnel.

La figure 6.1 represente une sequence de lignes demission sur environ un tiers deperiode correspondant au passage dun tourbillon dans le plan de mesure. A t = 0.023,le tourbillon qui se detache du cylindre commence a apparatre et le fluide exterieur estentrane vers le centre du sillage. entre les instants t = 0.025 et t = 0.029, le tourbillonest clairement visible et les lignes demission senroulent autour. Au centre du tourbillon,les lignes demission se brisent et les particules se melangent, ce qui indique une agita-tion relativement forte au centre des tourbillons, comme lont observe beaucoup dauteurs(Hussain and Hakayawa [72] ou Cantwell and Coles [37], entre autre) et comme le confir-meront les contraintes turbulentes en moyenne de phase au paragraphe suivant. A partirde t = 0.031, le tourbillon conmmence a etre convecte vers laval et derriere lui (en amont),le fluide provenant de la partie inferieure du sillage remonte dans cette partie et il sen suitune forte agitation. Aux instants t = 0.035 et t = 0.037, le fluide provenant de la partieinferieure est egalement entrane vers lamont et un forte agitation se produit quand cefluide rencontre le fluide superieur. Comme nous lavons deja note en observant lalluredes champs de vitesse instantanee, dans ces regions de forte agitation, les ruptures deslignes demission ainsi que leur enchevetrement apparent suggerent une forte composantede vitesse normale au plan.

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6.1 Lignes demission

(a) t = 0.023 (b) t = 0.025 (c) t = 0.027

(d) t = 0.029 (e) t = 0.031 (f) t = 0.033

(g) t = 0.035 (h) t = 0.037 (i) t = 0.039

Fig. 6.1: lignes demission Re=140000

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6.2 Moyenne de phase

6.2.1 Echantillonnage conditionnel

Dans ce paragraphe sont presentees les moyennes de phase obtenues par la proceduredecrite dans le paragraphe 3.3.2. Nous rappelons que les acquisitions de PIV sont trieesen post-traitement en 16 classes reparties sur une periode de lecoulement, la largeur dechaque classe etant de 1/128eme de periode. Langle de phase attribue a chaque champinstantane est determine a partir du signal de pression parietale sur le cylindre a = 70compte a partir du point darret amont en utilisant la transformation de Hilbert. Lesmoyennes et moments centres sont ensuite calcules pour chaque classe.

Les figures 6.3 a 6.10 presentent differentes grandeurs calculees a 8 angles de phasedune periode. Les differentes figures montrent dans lordre les lignes de courant de lecou-lement ainsi moyenne, les iso-contours de la composante 21 du tenseur des taux derotation, les iso-contours de U, puis de V , les iso-contours des composantes

u2

,v2

et uv du tenseur des contraintes turbulentes, la composante S12 du tenseur des tauxde deformation et enfin le terme de production denergie cinetique turbulente P. Surchaque figure sont egalement representes en traits epais la peripherie des tourbillons devon Karman.

Pour ceci, nous avons utilise le critere Q propose par Hunt et al. [70], qui correspondau second invariant du tenseur des gradients de vitesse :

Q =12(S) =1

2(u2i,iui, j u j,i)

Ce critere, qui est une balance entre les taux de rotation et les taux de deformation,permet didentifier un tourbillon plus aisement que la vorticite car celle ci est egalementimportante dans les regions cisaillees. En deux dimensions, le critere Q est equivalent aucritere propose par Jeong and Hussain [73]. La structure est identifiee pour Q > 0. Nousavons calcule cette quantite a partir des vitesses en moyenne de phase et legerement lissele resultat pour un meilleur rendu visuel. Sur les figures le contour represente corresponda liso-contour Q = 0.5.

Les lignes de courant representees sur la figure 6.3 montrent une allure classique delallee tourbillonnaire. A = 0 un tourbillon se detache du cylindre dans la partie in-ferieure du sillage. Ce tourbillon, dans sa formation, se dirige vers laval et le centre dusillage jusqua la phase = 90, puis est convecte vers laval. De lautre cote du sillage parrapport au tourbillon, se forme un point selle, ou point darret. Quand le tourbillon est aune abscisse superieure a x/D ' 1.5, les lignes de courant ne senroulent plus autour ducentre du tourbillon a cause de la vitesse de convection du cylindre. Ces lignes de courantsont tracees dans un repere fixe par rapport au cylindre. Dans un repere se deplacant ala vitesse de convection du tourbillon, les lignes de courant senrouleraient autour de soncentre, comme le montrent Cantwell and Coles [37] qui representent les champs de vecteursvitesse en moyenne de phase dans un repere se deplacant a la vitesse de convection destourbillon estime a 0.755U0, dans la zone proche de convection des tourbillons. De meme,les points selle ne sont plus visibles dans le repere fixe. Pendant ce temps, un tourbillonde signe oppose sest forme de lautre cote du cylindre et suit la meme evolution. Onobserve donc une antisymetrie des lignes de courant par rapport a laxe arriere y/D = 0

110


en comparant deux champs de lignes dephases de 180.

La composante 21 ( figure 6.4) du tenseur des taux de rotation, qui correspond a lavorticite selon lenvergure du cylindre, illustre de maniere plus significative le detachementtourbillonnaire et la convection des tourbillons. Nous remarquons que la vorticite au centredes tourbillons diminue entre le moment ou celui ci se detache du cylindre et le momentou celui ci commence a etre convecte. En effet, la vorticite au centre des tourbillons passede 3 lors de la formation des tourbillon a labscisse x/D ' 0.8 et vaut 2 quand letourbillon est a labscisse x/D = 2.2. Cette meme tendance est observee par Cantwell andColes [37]. Egalement la taille du tourbillon augmente dans cette phase de formation. Enreperant a la main les lieux des maxima de Q, qui correspondent aux maxima en valeurabsolue de la vorticite, nous avons represente sur la figure 6.2 la trajectoire des tourbillons.Sur cette figure, les phases auxquelles correspondent chaque position des tourbillons sontindiques par des numeros allant de 1 a 16 pour allant de 0 a 337.5 par pas de 22.5.Nous voyons que les tourbillons se rapprochent de laxe arriere pendant leur formationjusqua x/D ' 1.1 puis sen ecartent quand commence leur convection pour arriver a unetrajectoire sensiblement parallele a laxe arriere. Labcsisse ou les tourbillons sont les plusproches de laxe (x/D = 1.1) est situee legerement en amont du point de rattachement.(Nous rappelons que la longueur de recirculation est lc = 1.28.)

Fig. 6.2: trajectoire des tourbillons issus de la moyenne de phase. Re=140000

Les composantes de vitesse en moyenne de phase U et V sont representees surles figures 6.5 et 6.6. A langle de phase = 0, quand un tourbillon se detache du coteinferieur, la vitesse longitudinale U a une valeur maximale de 1.4 du cote du tour-billon et a son abscisse, creee par la superposition du tourbillon et du mouvement moyen.Quand le tourbillon avance vers laval (=45 jusqua 180), cette valeur de U a la fron-tiere du sillage semble diminuer et valoir 1.2 quand le tourbillon est a labscisse x/D ' 2( = 180). De lautre cote du cylindre, la meme acceleration de lecoulement se produitquand le tourbillon alterne qui succede se forme et se detache (=180 jusqua 315). Auniveau du decollement, la formation dun tourbillon saccompagne dune forte accelerationet la region de U> 1.4 selargit lors du detachement. A linterieur du sillage, la valeur

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minimale de U se situe bien a la peripherie des tourbillons. La valeur minimale de Usur lensemble du domaine reste a une abscisse de x/D' 0.85 et oscille entre les positionsy/D ' 0.2 et y/D ' 0.2 au cours dune periode. La composante transversale V pre-sente ses plus fortes valeurs absolues entre les tourbillons. Les maxima sont situes sur laperipherie avale des tourbillons et leurs positions se deplacent avec les tourbillons dans lesens de lecoulement. Ces maxima ont une valeur de 0.8 a partir de labscisse x/D ' 1(=135 et 315). Quand le tourbillon avance, la valeur maximale de V augmente lege-rement jusqua x/D ' 1.3, puis diminue tres faiblement quand le tourbillon est convecte.Cest donc autour de labscisse x/D ' 1.3 et donc a hauteur du point de rattachement(lc = 1.28) que lentranement du fluide exterieur est le plus important.

La contrainte turbulente normaleu2

est representee sur la figure 6.7. Dans la region

tres proche, a des abscisses x/D . 1.5, cette contrainte presente deux lobes importantsdans les regions de cisaillement de chaque cote du cylindre et ces deux lobes oscillent enfonction des tourbillons au cours de la periode. La repartition de

u2

entre deux instants

de phase opposee est symetrique. Ces deux lobes sont initialement orientes dans le sensde lecoulement ( = 0 du cote superieur) et quand un tourbillon se detache, les fortesvaleurs de

u2

suivent les centres des tourbillons et ainsi les lobes se rabattent vers

linterieur du sillage ( = 180 du cote superieur ). Les faibles valeurs deu2

juste en

aval des tourbillons (=90 et 135 en bas a x/D entre 1.5 et 2, et =270 et 315 enhaut a x/D entre 1.5 et 2) sont caracteristique de lentranement de fluide exterieur peuturbulent par les tourbillons vers linterieur du sillage. Dans la region de convection destourbillons, plus en aval du cylindre, Hussain and Hakayawa [72] et Cantwell and Coles[37] reportent les maxima de

u2

au centre des tourbillons. Cette repartition semble bien

setablir en aval de la region de formation, dans notre cas du fait des faibles valeurs dansles regions dentranement. Dans la region de formation, de fortes valeurs sont egalementobervees aux centres des tourbillons mais egalement entre le tourbillon qui est en train dese former et le tourbillon qui commence a etre convecte du fait du cisaillement importantde lecoulement ( = 90 du cote superieur et = 90 du cote inferieur vers x/D ' 1).Cette repartition de la contrainte normale

u2

est bon accord avec les resultats de Leder

[83] qui a mesure les moyennes de phase des quantites turbulentes dans le sillage prochedune plaque verticale par LDV.

La contrainte turbulente normalev2

, representee a la figure 6.8, presente ses valeurs

maximales au centre des tourbillons. Cette constatation est en bon accord avec les resul-tats de Hussain and Hakayawa [72], Cantwell and Coles [37] dans le sillage un peu moinsproche et avec les resultats de Leder [83] dans le sillage proche dun plaque verticale.Les valeurs de ces maxima au centre de ces tourbillons sont de 0.35-0.4. Lagitation dela composante V est donc nettement plus importante que celle de U et ceci montre uneforte anisotropie du tenseur des contraintes turbulentes. Egalement en accord avec lesetudes precitees, la composante

v2

presente de fortes valeurs entre les tourbillons du

cote oppose a la region dentranement du fluide exterieur, et proche des points selle. Cesresultats confirme les observations faites a partir des champs instantanes de vitesse, ainsiqua partir des lignes demission. Quand le fluide exterieur entrane par les tourbillonsarrive a linterieur du sillage et rencontre le fluide oppose, une forte agitation turbulentese produit. Dans ces regions, le niveau de

v2

se situe au valeurs 0.25-0.3 et est donc

egalement bien plus important que celui de la composanteu2

, qui est autour de 0.15,ce

112


qui traduit une forte anisotropie de lagitation turbulente.

La contrainte de cisaillement uv est representee sur la figure 6.9. Cette composantepresente deux regions de signes opposes de part et dautre du sillage qui oscillent aveclevolution des tourbillons. Les iso-contours de cette composante pris a deux instants ades angles de phase opposes presentent donc une antisymetrie. Les valeurs absolues lesplus fortes sont situees entre les tourbillons, en accord avec les resultats de Hussain andHakayawa [72] et Cantwell and Coles [37]. Les valeurs absolues maximales dans ces re-gions vont de 0.16 (a la phase = 90 dans la partie superieure a x/D' 1.3 et a la phase = 270 dans la partie inferieure) a environ 0.1 plus en aval (phases =180 et 0). Ala difference de la topologie observee de cette composante dans le sillage plus en aval parHussain and Hakayawa [72] et Cantwell and Coles [37], uv presente egalement de fortesvaleurs ( 0.16 a la phase =45 dans le tourbillon inferieur) au coeur des tourbillonspendant leur formation le long de la ligne de separation. Leder [83] obtient egalementdes valeurs importantes dans ces regions mais de facon moins importante que dans notrecas. Cantwell and Coles [37] dans le sillage proche, reportent egalement de forte valeursdans ces regions. Ces fortes valeurs sont issues du fort cisaillement dans ces regions deseparation. Quand le tourbillon est convecte vers laval, les valeurs de uv dans le tour-billon diminuent fortement (0.4 a la phase =180) et semblent donc bien tendre vers lesresultats des etudes precitees dans le sillage plus en aval.

Enfin, la composante S12 du tenseur des taux de deformation, qui represente lecisaillement de lecoulement en moyenne de phase, est representee sur la figure 6.10. Cettecomposante presente normalement ses plus fortes valeurs dans la region du decollement

du fait du fort cisaillement et ainsi de la preponderance du gradient Uy . Dans le sillage,

S12 est quasiment nulle dans les tourbillons et presentent ses plus fortes valeurs entre lestourbillons. Ceci est du aux contributions additives des deux gradient Uy et

V x entre

les tourbillons et qui sannulent dans les tourbillons ou ces deux gradients sont du memeordre de grandeur avec des signes opposes.

113


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.3: moyennes de phase : lignes de courant

114


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.4: moyennes de phase : iso-contours de 21

115


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.5: moyennes de phase : iso-contours de U

116


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.6: moyennes de phase : iso-contours de V

117


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.7: moyennes de phase : iso-contours deu2

118


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.8: moyennes de phase : iso-contours dev2

119


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.9: moyennes de phase : iso-contours de uv

120


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.10: moyennes de phase : iso-contours de S12

121


Les moyennes de phase ont egalement ete evaluees sur le plan 4 (x,z) au niveau delaxe arriere. La composante W reste en dessous de lerreur de mesure a chaque phase,ce qui indique que lecoulement est bidimensionnel en moyenne de phase au centre ducanal. Ceci nimplique pas que lecoulement instantane est bidimensionnel. En effet, leslarges composantes tridimensionnelles du mouvement ne se produisant certainement pasa la meme position selon lenvergure dun cycle a lautre, ils ne peuvent etre captes parla moyenne de phase. La contrainte normale

w2

presente par contre une evolution en

fonction de langle de phase. La figure 6.11 represente cette composante en fonction delabscisse x/D a quatre angles de phase. Nous voyons que les profils sont similaires pourdes angles de phase opposes, ce qui indique que

w2

presente une periodicite a deux fois

la frequence de Strouhal sur laxe arriere, du fait des symetries de lecoulement.

Fig. 6.11: contrainte normalew2

sur laxe arriere

Lecoulement en moyenne de phase etant bidimensionnel, le terme de production tur-bulente intervenant dans lequation pour lenergie cinetique turbulente peut etre calculesous la forme :

P=(

u2 U

x+

v2

V y

+ uv( U

y+

V x

))

La figure 6.12 represente les iso-contours de P aux 8 angles de phase considereprecedemment. La production est la plus forte juste en aval du decollement. Dans lesillage, la production presente ses plus fortes valeurs entre les tourbillons, dans les regionsproche des points selle. Ces regions correspondent aux fortes valeurs de uv, ainsi que deS12. Ceci est en accord avec Cantwell and Coles [37] et Hussain and Hakayawa [72]. Nousconstatons egalement des valeurs importantes de la production a larriere des tourbillonslorsque ceux ci commencent a etre convectes (phases =135 et 315).

122


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.12: moyennes de phase : iso-contours de P

123


En suivant Reynolds and Hussain [106], la decomposition du mouvement par la moyennede phase entrane que la partie dite organisee et le terme dit aleatoire sont decorreles.Nous pouvons ecrire :

uiui = 0

Cette propriete importante amene a ecrire le tenseur des contraintes turbulentes dans lesens de la moyenne temporelle comme la somme des contributions de chaque composantedu mouvement :

uiu j = uiu j +uiuj

Comme lont fait Cantwell and Coles [37], il est donc possible devaluer la contributiondu mouvement quasi-periodique et celle du mouvement organise au tenseur des contraintesdans le sens stationnaire. Les figures 6.13, 6.14 et 6.15 representent ces contributions auxcomposantes u2, v2 et uv respectivement. Les resultats obtenus sont qualitativement entres bon accord avec ceux presentes par Cantwell and Coles [37]. Rappelons que dans cetteetude, la longueur de recirculation lc est de 1.1, et quelle vaut 1.28 dans notre cas, et sur-tout, que le niveau des contraintes turbulentes dans letude de Cantwell and Coles [37] estinferieur a celui de notre etude. Cette difference a ete attribuee a la difference dintensiteturbulente de lecoulement incident et au blocage important de notre etude. Cependantles repartitions spatiales, ainsi que les contributions relatives de chaque composante dumouvement sont en bon accord.

Chacune des composantes de la contrainte normale u2 presente deux lobes importantsde chaque cote du cylindre. Les lobes de la contribution du mouvement aleatoire sontlegerement plus en amont (x/D ' 0.9) que ceux de la contribution du mouvement quasi-periodique (x/D' 1) et le niveau au centre des lobes est legerement superieur (0.2 pour u2et 0.16 pour u2). Sur laxe arriere y/D = 0, la contribution du mouvement quasi periodiqueest quasiment nulle et ainsi, quand on seloigne du cylindre, cette contribution conserveune topologie a deux lobes. A linverse la contribution du mouvement aleatoire ne presenteplus quun lobe centre sur laxe arriere a partir de x/D ' 1.5.

(a) u2 (b) u2

Fig. 6.13: moyennes de phase : decomposition de la contrainte normale u2 en une contri-bution organisee et une contribution aleatoire

Comme le notent Cantwell and Coles [37], de grandes similitudes sont observees entre

les contributions v2 et v2, alors que les deux composantes du mouvement nont a priori

124


rien de commun. Les deux composantes presentent un lobe centre sur laxe arriere. Lemaximum de v2 est situe legerement en amont du maximum de v2 (x/D' 1.2 et x/D' 1.5,respectivement) et sa valeur est legerement inferieure (0.33 et 0.35, respectivement).

(a) v2 (b) v2

Fig. 6.14: moyennes de phase : decomposition de la contrainte normale v2 en une contri-bution organisee et une contribution aleatoire

De grandes similitudes sont egalement observees entre les composantes uv et uv.Toutes deux presentent deux lobes antisymetriques par rapport a laxe arriere. Les maximades valeurs absolues de uv sont situes plus en amont que ceux de uv (x/D ' 1.1 etx/D ' 1.4, respectivement) et egalement semblent etre legerement plus eloignes de laxearriere (y/D ' 0.4 et y/D ' 0.3, respectivement). Le niveau des maxima en valeurabsolue de uv (0.1) est legerement superieur a celui de uv (0.08).

Toutes ces tendances concernant les contributions relatives de chaque composante autenseur des contraintes turbulentes sont en bon accord avec les resultats de Cantwell andColes [37].

(a) uv (b) uv

Fig. 6.15: moyennes de phase : decomposition de la contrainte normale uv en une contri-bution organisee et une contribution aleatoire

125


6.2.2 Estimations stochastiques

Dans cette partie, nous appliquons la technique destimation stochastique que nousavons presente au paragraphe 3.3.3. Dans un premier temps, nous validons cette techniqueen lappliquant aux acquisitions non conditionnelles effectuees dans le plan 1 (x,y). Ensuitecette technique est appliquee aux acquisitions de PIV stereoscopique afin notammentdevaluer la contrainte normale

w2

.

Validation

Dans un premier temps, il convient de valider cette technique. Nous avons donc com-parare les differentes quantites en moyenne de phase obtenues par echantillonnage condi-tionnel a celles obtenues par estimation stochastique. Nous rappelons que ces estimationsconsistent a chercher la meilleure estimation des champs instantanes en fonction de laphase qui leur est attribuee sous la forme dun developpement en serie de Fourier et ainsidacceder a une estimation de la moyenne de phase (du fait de la troncature de la serie deFourier) a partir de mesures non conditionnelles. La phase est determinee, comme dansle cas de lechantillonnage conditionnel, a partir du signal de pression parietale sur le cy-lindre. Le premier point a verifier est luniformite de la repartition des phases auxquellessont acquis les champs PIV de maniere non conditionnelles. La figure 6.16 montre bienune repartition uniforme des phase sur lintervalle [0,2].

Fig. 6.16: histogramme des phases auxquelles sont acquis les champs PIV

La figure 6.17 montre des profils de U et de V obtenus par estimation stochastiqueen tronquant la serie a H=1, 2, 3, et 4 termes, ainsi que les profils correspondant desmoyennes de phase obtenus par echantillonnage conditionnel. Les profil a, b et c sont desprofils selon y aux abscisses x/D=0.82, 1.26 et 1.93 respectivement et a la phase = 180.Nous voyons que les resulats obtenus par les estimations sont tres proches des moyennesconditionnelles. Sur le profil le plus proche du cylindre (figure 6.17a) a x/D=0.82, lestima-tion realisee en ne tenant compte que du fondamental (H=1) sort des barres derreur de lamoyenne conditionnelle autour de y/D' 0.6. Les figures d, e et f presentent des profils se-lon en differents points du sillage. Les evolutions de U et de V en fonction de la phasemontrent egalement un bon accord avec les mesures conditionnelles. Nous constatons quepour H 3, la difference entre les resultats obtenus par estimation stochastique et par

126


echantillonnage conditionnel reste inferieure aux incertitudes de mesure estimees. De plus,la prise en compte dharmoniques supplementaires ne semble pas changer enormement lesresultats. Pour determiner plus precisement le nombre dharmoniques significatifs, il fau-drait bien sur que les moyennes de phase soient calculees avec plus dechantillons, afin dereduire les incertitudes de mesure. Nous pouvons conclure a ce stade, que les estimationsstochastiques approchent correctement la moyenne de phase a partir de H=3 dans la li-mite des erreurs de mesure. Il est certain quen realite, dautres harmoniques constituentla moyenne de phase. Neanmoins leurs amplitudes restent faibles.

Comme nous pouvions nous y attendre, au moins un harmonique est necessaire pourreconstruire la moyenne de phase de U proche de laxe arriere y/D = 0 (figure 6.17e) carcette composante presente une frequence double de la frequence de Strouhal, du fait dessymetries de lecoulement par rapport a cet axe. Le second harmonique est plus importantquand on seloigne du cylindre et aussi dans les regions de cisaillement. Ces observationssont en bon accord avec lanalyse spectrale realisee par Persillon and Braza [101] a partirde simulations numeriques directes a faible nombre de Reynolds, qui montre une aug-mentation des harmoniques dans ces regions due aux interactions entre les tourbillonsprimaires et les plus petites echelles.

(a) x/D = 0.82, = 180 (b) x/D = 1.26, = 180 (c) x/D = 1.93, = 180

(d) x/D = 0.82, y/D =0.61 (e) x/D = 0.82, y/D =0.01 (f) x/D = 1.81, y/D =0.01

Fig. 6.17: comparaison des composantes < U > et de < V > obtenues par estimationet par echantillonnage conditionnel

(legende : moyennes de phase, estimations :

H = 1, H = 2, H = 3, H = 4)

127


Les correlationsu2

,v2

et uv du tenseur des contraintes turbulentes sont ensuite

estimees a partir de ces estimations des moyennes de phase, comme cela est decrit dansle paragraphe 3.3.3. La fluctuation de chaque composante est calculee en soustrayant lamoyenne de phase estimee avec H=3 aux composantes instantanees. Ensuite les produitsde ces fluctuations sont soumis a la meme estimation. Les figures 6.18a, b et c represententlevolution de ces trois composantes en fonction de la phase au point x/D = 1.71 ety/D =0.43. Les incertitudes de mesure sont bien sur plus importantes, mais nous voyonsque, comme pour les vitesses moyennes, H 3 semble suffisant pour estimer la majeurepartie de ces quantites. Afin dappliquer, par la suite, cette technique aux acquisitions dePIV stereoscopique, nous avons egalement applique ces estimations sur le plan 4 (x,z) et lafigure 6.18d montre levolution en fonction de de la contrainte normale

w2

en moyenne

de phase obtenue par echantillonnage conditionnel et par estimation au point x/D = 129,y/D = 0 et z/D = 0. Cette figure montre un bon accord entre les deux techniques enprenant au moins le premier harmonique en compte, ce qui est normal car le plan mesurese situe sur laxe arriere et une frequence double de celle de Strouhal est observee pourcette composante.

(a)u2

a x/D = 1.71, y/D =

0.43(b)

v2

a x/D = 1.71, y/D =

0.43

(c) uv a x/D = 1.71, y/D =0.43

(d)w2

a x/D = 1.29, y/D = 0,

z/D = 0

Fig. 6.18: comparaison des composantesu2

,v2

, uv et

w2

obtenues par estimation

et par echantillonnage conditionnel(legende : moyennes de phase, estimations :

H = 1, H = 2, H = 3, H = 4)

128


Application aux acquisitions 3C

Ayant montre que ces estimations donnent des resultats tres proches de ceux obtenuspar echantillonnage conditionnel, nous avons applique cette technique aux acquisitionsde PIV stereoscopique dans le but de quantifier toutes les composantes du tenseur descontraintes turbulentes en moyenne de phase et ainsi se faire une idee de la tridimen-sionnalite de lecoulement instantane. Les estimations des vitesses moyennes ont donnedes resultats proches de ceux presentes dans le paragraphe precedent 6.2.1. Comme nouslavions deja constate, la composante W selon lenvergure du cylindre reste quasimentnulle au cours de la periode. Les contraintes de cisaillement uw et vw sont egalementtrouvees tres faibles, ce qui est normal car lecoulement moyen est bidimensionnel danscette region centrale du cylindre. La figure 6.19 represente les estimations de la contraintenormale

w2

.

La topologie generale de cette composante est similaire a celle de la composantev2

.

Comme pour les autres composantes normales, les iso-contours dew2

a deux instants

de phases opposees sont symetriques par rapport a laxe arriere. Nous voyons que cettecomposante presente des valeurs importantes aux centres des tourbillons. Ceci est concor-dant avec lagitation

u2

et

v2

que nous avions observe dans ces regions. Les valeurs

dew2

aux centres des tourbillons sont du memes ordre de grandeur que

u2

et donc

nettement inferieures av2

, ce qui confirme lanisotropie.

w2

presente egalement de fortes valeurs entre les tourbillons dans les regions despoints selle. En suivant le mouvement sur une demi-periode, nous voyons qua la phase = 270,

w2

presente un maximum local de 0.2 au centre du tourbillon qui se detache

dans la partie superieure a x/D ' 1. Quand le tourbillon avance, une region de fortesvaleurs de

w2

se forme entre ce tourbillon et le suivant qui se forme de lautre cote du

cylindre. A la phase = 0, le maximum dew2

qui vaut 0.2 est situe entre les deux tour-

billons dans la partie superieure, a labscisse x/D' 1.4. La region dew2

0.15 connecte

ainsi les deux tourbillons. Quand le premier tourbillon est convecte, cette region se separeen deux et les maxima de

w2

sont a nouveau situes aux centres des tourbillons ( = 90).

Cette repartition de lagitation turbulente selon lenvergure du cylindre confirme les fortseffets tridimensionnels que nous avions suppose dans ces regions et sont en accord aveclorganisation tridimensionnelle en fins tourbillons longitudinaux connectant les rouleauxprimaires suggere par Hussain and Hakayawa [72] et confirme a bas nombre de Reynoldspar les simulations numeriques directes de Persillon and Braza [101], Persillon [100] etAllain [7].

Toutes les composantes normales du tenseur des contraintes turbulentes etant acces-sibles, il est possible de quantifier lenergie cinetique turbulente k = 12

(u2

+

v2

+

w2)

sans faire dhypothese sur la troisieme composante. La figure 6.20 represente les

iso-contours de k. En accord avec les topologies des 3 composantesu2

,v2

et

w2

observees separemment, k presente ses valeurs maximales aux centres des tourbillons.Ces valeurs maximales sont de lordre de 0.350.4. Une forte agitation est egalementobservee dans les regions des points selles et ces regions connectent les tourbillons succes-sifs. Les regions ou le fluide exterieur est entrane par les tourbillons vers linterieur dusillage sont marquees par de faibles valeurs de k.

Cette evolution de la topologie de k est a comparer avec celle de la production Prepresentee sur la figure 6.12. Dans le sillage, celle ci est importante entre les tourbillons au

129


niveau des points selles, ce qui est en accord avec les valeurs importantes de k situees dansces regions. A linverse, la production est quasimment nulle aux centres des tourbillonsalors que k y presente ses valeurs maximales. De plus la production est tres importantejuste en aval du decollement. A cet endroit, seule la contrainte

u2

est importante. Ces

observations confirme le schema selon lequel lenergie cinetique turbulente est produitedans les regions fortement cisaillees et transportee par les grandes structures vers leurcentre.

130


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.19: iso-contours de la contrainte normale < w2 >131


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.20: iso-contours de < k >132


De la meme maniere que pour les composantes du tenseur des contraintes turbu-lentes, la non correlation entre les composantes organisees et les composantes aleatoiresdu mouvement permet de decomposer lenergie cinetique fluctuante en une contributiondu mouvement organise et une contribution du mouvement aleatoire :

k = k(c) + k(r)

ou k(c) = 12 uiui et k

(r) = 12uiui. Ces deux contributions sont representees sur la figure 6.21.

Les deux contributions presentent un lobe centre sur laxe arriere. Lenergie k(c)

a sonmaximum situe a x/D ' 1.3 au niveau du point de rattachement et ce maximum est de 0.2. Lenergie k(r) a une valeur maximale plus elevee 0.32 situee a x/D ' 1.1, doncplus en amont que le maximum de k

(c)et situe dans la region de recirculation.

En suivant Reynolds and Hussain [106], la decomposition en moyenne de phase permetlecriture dequations de transport pour chacune des composantes du mouvement et pourleur energie cinetique (cf. annexe B). On distingue en particulier dans ces equations leterme de production du mouvement moyen vers le mouvement organise que nous notonsPmc, le terme de production du mouvement moyen vers le mouvement aleatoire que nousnotons Pmr, et le terme de production du mouvement organise vers le mouvement aleatoireque nous notons Pcr. Ces termes secrivent :

Pmc = (

uiu jUix j

)Pmr =

(uiu

j

Uix j

)Pcr =

(uiu

j

uix j

)

La figure 6.22 represente chacun de ces termes. La production Pmc du mouvementmoyen vers le mouvement organise presente des valeurs importantes juste en aval dudecollement et presente dans le sillage un lobe centre sur laxe arriere a labscisse x/D '1.35. Cette valeur maximale est de 0.3. La topologie de ce terme de production estsimilaire a celle presentee par lenergie k

(c). La production Pmr du mouvement moyen

vers le mouvement aleatoire presente egalement des valeurs importantes juste en avaldu decollement et dans le sillage presente, a linverse de Pmo, deux lobes symetriquesde chaque cote de laxe arriere. Ces deux lobes ou le niveau de production est de 0.2forment un point selle sur laxe arriere x/D = 1.2 ou le niveau de production est 0.1. Latopologie de ce terme est donc differente de celle de lenergie k

(r)a laquelle il contribue.

Cette difference suggere quen moyenne, lenergie des fluctuations aleatoires produite parle mouvement moyen dans les regions cisaillees est transportee vers le centre du sillage,en accord avec les observations faites au paragraphe precedent sur levolution de cesquantites avec la phase de lecoulement. La production Pcr du mouvement organise versle mouvement aleatoire est plus faible que les autres termes. Elle presente deux lobessymetriques par rapport a laxe arriere dans lesquels le niveau est de 0.08 et qui sontsitues plus en aval que les deux lobes de Pmr, environ a x/D ' 1.4.

133


(a) k(c) (b) k(r)

Fig. 6.21: decomposition de lenergie cinetique fluctuante en une contribution du mouve-ment organise et une contribution du mouvement aleatoire

(a) Pmc (b) Pmr

(c) Pcr

Fig. 6.22: termes de production entre les differentes composantes du mouvement

134


Allure spatiale des modes de Fourier

Le champ de vitesse en moyenne de phase ainsi decompose peut donc secrire :

Ui(~x,) = Ui(~x)+k=+H

k=1

((k)i (~x)e

jk +(k)i (~x)e jk)

Comme le champ est reel, (k)i et (k)i sont conjugues. Ces modes etant decorreles,

(car la base des fonctions trigonometriques est orthogonale), nous pouvons regarder quelleest la repartition spatiale denergie de chacun des modes en ecrivant

(Ui(~x,)Ui(~x)

)2 = k=+Hk=1

((k)i (~x)

(k)i (~x)

)=

k=+H

k=1

(k)i (~x)(k)i (~x)

k(~x)k (~x) represente ainsi la contribution energetique du mode de Fourier k de la moyennede phase a la contrainte turbulente normale u2i . De meme, on peut ecrire la contributionde chaque mode de Fourier de la moyenne de phase aux contraintes de cisaillement uiu j :

(Ui(~x,)Ui(~x)

)(U j

(~x,)U j(~x)

)=

k=+H

k=1

((k)i (~x)

(k)j (~x)

)=

k=+H

k=1

(k)i (~x)(k)j (~x)

En sommant les contributions des trois modes retenus (H = 1 . . .3) aux contraintesu2

,

v2

, et uv, on retrouve bien la meme allure que les contributions obtenues en

moyennant les fluctuations periodiques obtenues par echantillonnage conditionnel, lesenergies des deux harmoniques etant tres faibles.

On peut egalement mettre le developpement en serie de Fourier de la moyenne dephase sous forme reelle :

Ui(~x,) = Ui(~x)+k=+H

k=1

(12((k)i (~x)+

(k)i (~x)

)cos(k)+

12i

((k)i (~x)

(k)i (~x)

)sin(k)

)= U(~x)+

k=+H

k=1

(A(k)i (~x)cos(k)+B

(k)i (~x)sin(k)

)et ainsi definir des paires de modes spatiaux dont on peut regarder lallure, surtout dansle but de les comparer avec les modes obtenus avec la POD dans le paragraphe 6.4.

Les modes de la frequence fondamentale de Strouhal sont representes sur la figure6.23. Le premier, note A(1), presente deux tourbillons contrarotatifs dont les centres sontsitues sur laxe y/D = 0 aux abscisses x/D = 0.8 et x/D = 1.85 (Nous mettons le termetourbillons entre guillements car ces modes ne correspondent pas a un ecoulement. Dememe les lignes de courant representees ne sont pas les lignes de courant de lecoulement).Le second mode, note B(1), presente un tourbillon dont le centre est situe a x/D = 1.2. Cesdeux modes dont les evolutions sont dephasees dun quart de periode, sont logiquementquasiment decales dun quart de longueur donde du point de vue spatial. La combinaisonlineaire de ces deux modes ponderes par les fonctions cosinus et sinus de la phase regit laconvection des tourbillons. En effet, si lon considere les phases = 90 et = 270, lecosinus sannule et le mode B est affecte du poids 1. A ces phases, nous voyons sur la figure

135


(a) fondamental - lignes de courant de ~A(1) (b) fondamental - lignes de courant de ~B(1)

(c) fondamental - iso-contours de A(1)1 (d) fondamental - iso-contours de B(1)1

(e) fondamental - iso-contours de A(1)2 (f) fondamental - iso-contours de B(1)2

Fig. 6.23: modes de Fourier : fondamental

6.4 que les tourbillons se situent bien proche de labscisse 1.2. De meme, nous verifionsbien quaux phases = 0 et = 180, les tourbillons sont situes proche des abscissesx/D = 0.8 et x/D = 1.85. Lajout du mouvement moyen decale les tourbillons de part et

136


(a) premier harmonique - lignes de courantde ~A(2)

(b) premier harmonique - lignes de courantde ~B(2)

(c) premier harmonique - iso-contours de

A(2)1

(d) premier harmonique - iso-contours de

B(2)1

(e) premier harmonique - iso-contours de

A(2)2

(f) premier harmonique - iso-contours de

B(2)2

Fig. 6.24: modes de Fourier : premier harmonique

137


dautre de laxe y/D = 0 selon le signe des fonctions cosinus et sinus. Les abscisses destourbillons ne sont en fait pas rigoureusement celles indiquees uniquement par les modesfluctants du fait de la presence de la region de recirculation. Egalement, la position dutourbillon du second mode nest pas au centre des deux tourbillons du premier modedu fait de lacceleration des tourbillons pendant leur phase de formation. Nous verronsau paragraphe 6.4, que ces deux modes de Fourier sindentifient bien aux deux premiersmodes POD.

Lallure des modes de frequence double est bien plus bruitee du fait des faibles valeursde leurs composantes par rapport aux erreurs de mesure. Nous constatons cependant lapresence de tourbillons plus petits de chaque cote de laxe arriere. Egalement les deuxmodes sont decales dun quart de longueur donde selon la direction de lecoulement.

6.3 Dispersion des tourbillons dun cycle a lautre

La PIV permettant de visualiser lecoulement instantane, nous avons ainsi la possibilitede comparer les champs de vitesse instantanee aux champs moyennes en phase. La figure6.25a montre deux champs de vecteurs instantanes appartenant a la classe = 180.Meme si il nest pas facile de discerner de facon precise les tourbillons sur chaque image acause des plus petites echelles, nous voyons que le tourbillon qui se detache du cylindre nesemble pas exactement a la meme position sur les deux champs. Cette dispersion apparentea ete observee sur une bonne partie des champs instantanee. Cette irregularite du lachertourbillonnaire est mentionnee dans la plupart des etudes utilisant la moyenne de phase.Cantwell and Coles [37] parle dune dispersion des tourbillons. Hussain and Hakayawa[72] montre lallure de levolution de la vorticite lissee, mesuree plus en aval dans le sillage(x/D = 10 et x/D = 40) et met en evidence un important flottement des tourbillons etdes irregularites dans la periodicite de passage de ces tourbillons a une abscisse fixee. Cephenomene connu sous le nom de phase jitter reduit ainsi la capacite de la moyennede phase a isoler completement les tourbillons des autres echelles de lecoulement. Nousavons represente sur la figure 6.25b les fluctuations de vitesse correspondant aux champsinstantanes de la figure 6.25a en leur retranchant la moyenne de phase. Nous voyons queles fluctuations presentent des regions de taille du meme ordre de grandeur que celle destourbillons et dans lesquelles la norme des vecteurs est assez consequente par rapport auxplus petites echelles. Ces regions correspondent au fait que le tourbillon instantane nestpas exactement a la meme position que le tourbillon moyen a cette phase. De ce fait,les contraintes turbulentes presentees dans le paragraphe precedent sont issues a la foisdes agitations de petites echelles, mais egalement de cette dispersion des tourbillons duncycle a lautre.

Afin de preciser ces ecarts au cas ideal ou le mouvement organise serait rigoureusementperiodique, nous avons calcule les moyennes de phase a partir des acquisitions de PIVhaute cadence. La figure 6.26 compare la composante V a la phase = 180. Nousnotons que les iso-contours sur le petit champ sont beaucoup plus lisses car les moyennesde phases dans ce cas sont calculees avec environ 830 periodes alors que les moyennes surles grands champs sont effectuees avec environ 170 champs instantanes. Malgre quelquesdifferences dues a ce nombre de realisations, un relativement bon accord entre les deuxresultats est observe. Sur la figure 6.27, nous avons represente la vorticite a labscissex/D = 1 en fonction du temps et de lordonnee y/D. La figure du haut represente la

138


(a) champs instantannes

(b) fluctuations

Fig. 6.25: allure spatiale de la fluctuation instantanee par rapport a la moyenne de phase.(Les deux champs sont a la phase = 180)

vorticite calculee a partir de U et V filtre avec un filtre passe bas (en temps). La figure dumilieu represente la vorticite calculee a partir de U et V filtre avec un filtre passe bandedont la bande passante est centree autour du pic de Strouhal. Les filtres utilises sontnon causaux de maniere a ne pas introduire de dephasage. La figure du bas representela vorticite du champ moyenne en phase et les traits verticaux en pointilles marquent lesinstants des angles de phases = 180 du signal pilote. Comme le souligne Davies [49],les filtres tels quils ont ete utilise ne suffisent pas a isoler les structures. En effet, du pointde vue spectral, une telle operation isole les frequences desirees mais ne separe pas le piccorrespondant au mouvement organise de la partie continue du spectre contenue dans labande passante du filtre qui correspond a une partie du mouvement aleatoire. Ceci justifiedailleurs lemploi de la moyenne de phase. Egalement, les filtres utilises etant cales sur lafrequence dominante, les harmoniques sont negliges. Neanmoins, la partie continue, ainsique les harmoniques etant de faibles amplitudes par rapport au pic, nous pensons que lesvorticites ainsi calculees donnent une bonne idee de levolution des tourbillons. Le passagedun tourbillon a labscisse x/D = 1 est donc marque sur la figure 6.27 par les iso-contours

139


Fig. 6.26: comparaison des moyennes de phase obtenues a partir des mesures basse ca-dence et des mesures haute cadence. Iso-contours de la composante V a la phase = 180

de vorticite representes.Nous voyons que les tourbillons ne sont pas a la meme ordonnee a chaque cycle.

Egalement, leur taille differe dun cycle a lautre. Enfin nous voyons qua certains instants,les tourbillons passent a labscisse x/D = 1 avec du retard par rapport a la moyenne dephase (entre t ' 1.06 et t ' 1.2 sur la figure. On observe donc bien cette irregularite dontparlent les differents auteurs precites. Il est a noter que ces differentes etudes parlent dunedispersion qui saccrot vers laval. Dans notre etude, les champs de vitesse consideres sonttres proche du cylindre et nous aurions pu nous attendre a moins de dispersion. Cettedispersion tres proche du cylindre est certainement a mettre sur le compte de lentreede lecoulement dans le regime critique et egalement des interactions avec les parois quidoivent entraner une forte modulation du lacher tourbillonnaire.

La figure 6.28 represente du point de vue temporel la decomposition effectuee par lamoyenne de phase. Les signaux temporels de la vitesse V sont representes sur le memeintervalle de temps que la figure 6.27 et a la meme abscisse x/D = 1, aux points y/D = 0.5,y/D = 0.3 et y/D = 0.01 (figure a, b et c respectivement). Sur chacune de ces figures, lessignaux brut V sont superposes a la moyenne de phase V et en dessous, la fluctuationv obtenue par soustraction est representee. A la droite de chaque figure, les spectres depuissance des ces trois quantites, calcules a partir de lensemble des acquisitions tem-porelles ainsi decomposees, sont representes. La figure 6.28d represente le signal pilotecorrespondant, ainsi que la phase . Nous voyons, en accord avec la figure precedenteque la composante quasi-periodique du signal brut est fortement modulee en amplitude etegalement, que le signal est dephase par rapport a la moyenne de phase entre t ' 1.06 ett ' 1.2. En consequence, les fluctuations presentent egalement a certains instants une com-posante quasi-periodique. Ceci est confirme sur les spectres de puissance. En effet, nousvoyons que les spectres des fluctuations v presentent un pic assez large et dont lamplitudeest denviron 10% du pic du spectre du signal brut. (Ce defaut est neanmoins amplifie parle fait que, pour pouvoir calculer les spectres de la fluctuation v, nous avons retranche lamoyenne de phase a tout le signal sans considerer les passages irreguliers du signal pilotequi ont ete rejetes pour le calcul de la moyenne de phase. Ainsi, a ces instants, la fluc-

140


Fig. 6.27: comparaison de la moyennes de phase et du signal filtre

tuation calculee presente egalement une composante periodique qui na pas lieu detre.)Loperateur de moyenne de phase isole donc une bonne partie des fluctuations quasi pe-riodiques mais laisse dans la fluctuation consideree aleatoire une partie correspondant aumouvement organise. Il apparat donc que la prise en compte de la modulation du signalpilote en utilisant la transformation de Hilbert ne suffit pas pour isoler completement lemouvement organise.

La figure 6.29 qui represente le champs de vitesse instantanee aux instants t = 0.724,t = 0.851 et t = 1.072 correspondant aux signaux temporels de la figure 6.28 et qui cor-respond a la phase = 180 du signal pilote, confirme cette dispersion. En consequence,les tourbillons obtenus par le moyennage en phase sont lisses du fait de cette dispersion.Egalement la position de ces tourbillons a chaque phase peut etre interpretee comme laposition moyenne des tourbillons.

Les effets de cette dispersion et ainsi la presence du petit pic dans le spectre desfluctuations dites aleatoires peuvent egalement etre observees sur le plan physique encomparant les contributions a la contrainte normale v2 obtenues a celles estimees a partirdes spectres au chapitre precedent. La figure 6.30 represente reprend ces contributionsestimees a partir des spectres et superpose les contributions deduites de la moyenne de

phase. Nous voyons que la contrainte v2 est plus faible que la contribution v(c)v(c) estimeea partir des spectres. En consequence, la contrainte v2 surestime la contribution v(r)v(r).

141


(a) x/D = 1, y/D = 0.5

(b) x/D = 1, y/D = 0.3

(c) x/D = 1, y/D = 0.01

(d) signal pilote et phase

Fig. 6.28: signal brut, moyenne de phase et fluctuations de v en differents points et signalpilote 142


(a) t = 0.724 (b) t = 0.851 (c) t = 1.072

Fig. 6.29: champs de vecteurs instantanes et critere Q (iso-contour 0.5) a la phase = a differents instants

Fig. 6.30: comparaison des contributions a v2 estimees a partir des moyennes de phase etde celles estimees a partir des spectres

143


6.4 Decomposition en modes propres orthogonaux -

POD

Comme nous lavons vu au chapitre 2.2.3, et au paragraphe 3.3.4, la decomposition enmodes propres othogonaux (POD) permet dextraire les composantes les plus energetiquesde lecoulement a partir dune base de donnees. Lumley [86] suggere son emploi pour ex-traire les structures coherentes dun ecoulement turbulent de maniere non conditionnelle.Afin de pallier ces defauts de la moyenne de phase et dans le but disoler les tourbillonsde von Karman du reste de lecoulement, nous avons utilise cette approche, telle que nouslavons presentee au paragraphe 3.3.4. Des modes deterministes sont extraits de la basede donnees et la projection des realisations sur cette base constituee par les modes per-met une decomposition de lecoulement. Rappelons quun des grand interets de la PODreside dans le fait que les differentes composantes de lecoulement ainsi decompose sontdecorrelees. Ainsi, le tenseur des correlations doubles peut etre ecrit comme la somme descontributions de chaque mode, sans introduire de correlations croisees.

La decomposition peut etre appliquee soit au champ de vitesse instantanee, soit auchamp de vitesse fluctuante. Dans le but dobtenir une decomposition du tenseur descontraintes turbulentes, nous avons applique la decomposition au champ fluctuant. Nean-moins, afin de comparer les deux approches, nous avons compare la decomposition duchamp instantane a la decomposition du champ fluctuant.

Dans un premier temps nous avons donc applique la decompostion separable auxchamps de vitesse sur le plan 1 (x,y) en considerant les composantes de la vitesse ins-tantanee (sans retrancher la moyenne). La methode des snapshots a ete utilisee pourle calcul et loperateur de moyenne considere est la moyenne statistique assimilee a lamoyenne temporelle. La figure 6.31 montre le premier mode issu de cette decomposition.Comme lon montre beaucoup detudes (Faghani [53], entre autre) pour des ecoulementsdifferents, ce premier mode est tres proche de la moyenne de lecoulement.

(a) lignes de courant du champ moyen (b) 1er mode POD

Fig. 6.31: premier mode de la POD appliquee aux champs de vitesse instantanee

Lenergie associee a ce mode represente 45% de lenergie totale sur le domaine. La

144

6.4 Decomposition en modes propres orthogonaux - POD

majorite des etudes utilisant la POD portent sur des ecoulement a plus bas nombre deReynolds. Dans ce cas le pourcentage denergie contenu par le premier mode est gene-ralement bien plus eleve. Faghani [53] reporte une fraction denergie de 94% de lenergietotale contenu dans le premier mode pour une decomposition appliquee a un jet plana Re = 5600. Egalement, Barthet [11] reporte une fraction denergie de 90% contenuedans le premier mode pour lecoulement autour dun profil daile a Re=800. Dans notrecas, il nest pas vraiment surprenant que le premier mode contienne moins denergie enpourcentage du fait du caractere tres turbulent de lecoulement.

Afin de preciser la contribution energetique de ce mode, nous avons decompose lenergietotale du mouvement sur le domaine en la contribution du mouvement moyen et celle dumouvement fluctuant en ecrivant :

Etotale = Emoy +E f luc =

(U2 +V 2

)dxdy+

(u2 + v2

)dxdy

Lenergie du mouvement moyen represente 43% de lenergie totale (et donc E f luc/Etotale=57%).Le pourcentage denergie contenu dans le premier mode (45%) est donc legerement

plus eleve que celui du champ moyen. Ce mode participe donc egalement a lenergie duchamp fluctuant.

Fig. 6.32: comparaison des decompositions du champ instantane et du champ fluctuant

Nous avons ensuite applique la decomposition au champ fluctuant. La figure 6.32represente les fractions denergie totale associees aux modes de chaque decomposition quisont calculees a partir des valeurs propres associees a chaque mode. (Sur cette figure,nous avons decale de 1 le numero des modes obtenus dans la decomposition du champfluctuant afin de comparer les deux decompositions). Les deux premiers modes de ladecomposition du champ flcutuant sont identiques aux modes 2 et 3 de la decomposition duchamp instantane. Les pourcentages de lenergie totale qui leur correspond sont egalementidentiques et de plus, les coefficients affectes a chaque champ instantane par projectiondu champ sur ces modes sont identiques. Par contre, le mode 3 de la decomposition duchamp fluctuant, bien que tres ressemblant au mode 4 de la decomposition du champinstantane, contient une fraction de lenergie totale legerement superieure (3.1% et 2.6%respectivement). Le mode 4, qui contient 1.5% de lenergie totale, napparat pas dans ladecomposition du champ instantane. Ensuite, le mode 5 de la decomposition du champ

145


fluctuant est identique au mode 5 de la decomposition du champ instantane et les modessuivant sont comparables. Ainsi, il apparat que lenergie fluctuante du premier mode de ladecomposition du champ instantane est reportee dans les modes 3 et 4 de la decompositiondu champ fluctuant. Apres quelques tests effectues sur des resultats de DNS a bas nombrede Reynolds, il apparat a priori que cet effet est lie a la troncature du domaine spatial.Cette difference ne compte cependant que pour 2% de lenergie totale.

Dans la suite, nous avons effectue la decomposition au champ fluctuant par rapport acette moyenne, notamment afin de permettre une decomposition du tenseur des correla-tions centrees.

Dans un premier temps, nous regardons lallure des modes, cest a dire la base surlaquelle nous allons projeter les realisations de lecoulement. La figure 6.33 montre les sixpremiers modes obtenus. Les lignes de courant representees permettent dobserver la to-pologie des modes mais ne sont pas a assimiler avec les lignes de courant dun ecoulement.Les deux premiers modes presentent de grosses similitudes avec les modes de Fourierque nous avons construits au paragraphe 6.2.2. En effet, ces deux modes presentent destourbillons centres sur laxe arriere y/D = 0 dont les positions sont decalees dun quartde longueur donde selon x. Il est a noter que ces modes sont issus du tenseur des correla-tions spatiales alors que les modes de Fourier provenaient de linformation temporelle enchaque point. Cette forte ressemblance illustre la coherence spatio-temporelle de lecoule-ment. Ces deux modes peuvent donc etre interpretes comme regissant la convection destourbillons et sont donc a associer. Linterpretation des autres modes est beaucoup moinsaisee. Nous pouvons cependant noter que les modes 3 et 4, symetriques par rapport a laxearriere, presentent de larges tourbillons. Ces deux modes peuvent donc , en premiere ob-servation, etre associes a des grandes echelles de lecoulement, ce qui est en accord avecla comparaison de la decomposition du champ fluctuant a la decomposition du champinstantanee . A partir du mode 6, les modes ont des allures beaucoup moins regulieres etles structures sont de plus petite echelle.

Les valeurs propres associees a chaque modes representent lenergie dans le domainecontenue par chaque mode. La figure 6.34 represente le pourcentage denergie contenuepar chaque mode, cest-a-dire le rapport de chaque valeur propre sur la trace du tenseurR des correlations en deux points qui est lenergie du champ fluctuant sur le domaineconsidere. Nous voyons que les deux premiers modes ont des energies du meme ordre degrandeur, ce qui est normal car ils sont a associer afin de regir la convection. Ces deuxmodes contiennent 60% de lenergie fluctuante. Les modes 3 et 4 contiennent 4.5% et 3%de lenergie fluctuante respectivement. A partir du mode 10, lenergie de chaque mode estinferieure a 1%. La majorite des etudes POD sont effectuees a des nombres de Reynoldsbien inferieurs et montrent quune grande partie de lenergie totale est contenue dansseulement quelques modes. Dans notre cas, la convergence energetique est plus lente du faitdu caractere tres turbulent de lecoulement. Sur la figure 6.34b, qui represente egalementle pourcentage denergie de chaque mode avec une echelle log-log, nous observons quapartir du mode 10, le pourcentage denergie decrot significativement quand n augmente.

146


(a) mode 1 (b) mode 2

(c) mode 3 (d) mode 4

(e) mode 5 (f) mode 6

Fig. 6.33: modes POD 1 a 6 (decomposition du champ fluctuant)

147


Fig. 6.34: pourcentage denergie sur le domaine de chaque mode

Chaque realisation peut secrire comme une combinaison lineaire de ces modes qui estobtenue en projetant cette realisation sur les modes.

U(X) = U(X)+k

ak (k)(X)

avec :

ak =

ui(X)

(k)i

(X)dX

La figure 6.35 montre un exemple de reconstruction dun champ instantane avec 2,6, 10 et 14 modes. Dans loptique dune decomposition en une partie coherente et unepartie incoherente, nous aimerions pouvoir dire combien de modes sont necessaires pourreconstruire lallee tourbillonnaire. Il est en fait difficile de fixer un critere pour savoira quel niveau tronquer la serie. Nous voyons sur la figure 6.35 que 10 modes semblentsuffisants pour reconstruire lessentiel de lallee. De plus, la decroissance importante desvaleurs propres a partir de n=10 nous conforte dans ce choix. Cependant, ces considera-tions sont principalement visuelles et il est difficile de trancher sur le nombre de modesapproprie. Dans la suite, nous considerons quenviron 10 modes sont necessaires pour res-tituer une bonne observation de lallee tourbillonnaire. Ce choix, encore trop arbitraire,peut cependant se justifier par le fait que les reconstructions observees montrent que laposition des tourbillon ne bouge quasiment plus en prenant plus de dix modes et que lesmodes avoisinants contiennent un faible pourcentage denergie.

148


(a) champ instantane

(b) champ reconstruit avec 2 modes

(c) champ reconstruit avec 6 modes

(d) champ reconstruit avec 10 modes

(e) champ reconstruit avec 14 modes

Fig. 6.35: reconstruction dun champ instantane

149


Comme nous lavons vu, la decomposition POD, qui est une decomposition diagonaledu tenseur des correlations, permet decrire le tenseur des contraintes turbulentes commela somme des contributions de chaque mode :

Ri j(X ,X ) = k

k(k)i (X)

(k)j

(X ) (6.1)

secrit, pour les correlations en un point :

uiu j(x) = k

k(k)i (x)

(k)j

(x) (6.2)

Comme le soulignent Adrian et al. [6], cette decomposition permet ainsi de voir lacontribution des differentes echelles de lecoulement aux contraintes turbulentes moyennes.De cette facon, en considerant un nombre N de modes, il est possible de separer le tenseurdes contraintes turbulentes en deux contributions additives, lune correspondant aux Npremiers modes et lautre correspondant aux modes restants. De cette maniere, Kostaset al. [78] identifient la topologie des contributions des differentes echelles aux contraintesturbulentes dans le cas dun ecoulement sur une marche descendante. Dans notre cas,meme si cette interpretation reste subjective, du fait du choix de N, nous pouvons attribuerla premiere contribution a lallee tourbillonnaire, en raison des observations precedentes.En reprenant les notations indiquees au debut de ce chapitre, nous pouvons ainsi statuer

que la composante dite organisee u(c)i est la projection du champ fluctuant sur les Npremiers modes et que la composante u(r)i est la projection du champ fluctuant sur lesmodes restant. La decomposition secrit alors :

uiu j(x) = u(c)i u

(c)j +u

(r)i u

(r)j =

k=N

k=1

k(k)i (x)

(k)j

(x)+

k=

k=N+1

k(k)i (x)

(k)j

(x)

Ainsi cette separation des contraintes turbulentes peut etre comparee a la decompo-sition fournie par la moyenne de phase uiu j = uiu j + uiu

j, telle que nous lavons presente

au paragraphe 6.2.

Les figures 6.36, 6.37 et 6.38 representent les decompositions des composantes u2, v2

et uv respectivement pour N=2, 6, 10 et 14 modes.Pour N = 2, il apparat que les contributions correspondant aux 2 premiers modes pre-

sentent des topologies similaires a celles des tourbillons issus de la moyenne de phase. La

composante u(c)2 presente deux lobes symetriques par rapport a laxe arriere, la compo-

sante v(c)2 presente un lobe centre sur laxe arriere et la composante u(c)v(c) presente deuxlobes anti-symetriques. Une difference notable reside cependant dans les valeurs de ces

composantes. En effet, en considerant la composante u2, les maxima de u(c)2 sont de 0.22,alors que les maxima de uiu j sont de 0.16 (figure 6.13). Cette augmentation sexpliquepar le fait que dans cette decompostion par la POD, la dispersion des tourbillons dun

cycle a lautre contribue a u(c)i u(c)j . Quand on augmente N, la contribution des N premiers

modes est bien sur plus de plus en plus importante. Les contributions dites incoherentesdes contraintes, contrairement au cas de la decomposition par la moyenne de phase, nepresentent pas des allures similaires aux contributions dites coherentes. Les contributions

150


du mouvement de petite echelle a u2 sont essentiellement concentrees dans les regionsde cisaillement et dans la region de recirculation. Un niveau moyen denviron 0.04 restecependant dans le sillage. Les contributions du mouvement de petite echelle a v2 sont lesplus fortes dans la region de recirculation. Enfin, les contributions des petites echelles a uvse situent principalement, comme on pouvait, sy attendre dans la region de cisaillement.

Afin de comparer ces contributions aux contraintes turbulentes, nous avons representesur la figure 6.39 les contributions des N=2, 6, 10 et 14 premiers modes POD a la contraintev2 en fonction de y/D a labscisse x/D = 1 en comparaison avec les contributions determi-nees a partir des spectres temporels au paragraphe 5.2.2. La decomposition avec 2 modesPOD semble restituer des contributions similaires a celles quantifiees a partir des spectres.Pour les nombres N superieurs, ces figures montrent clairement que la reconstruction avecles N premiers modes POD des contraintes turbulentes contient plus denergie que la com-posante organisee du mouvement. En consequence, les contraintes turbulentes associeesaux modes restants sont tres faibles devant la contribution du mouvement aleatoire.

En resume, cette etude a permis danalyser les topologies des contributions des diffe-rentes composantes du mouvement donnees par la POD. La reconstruction des champsinstantanes, montre que 10 modes semblent suffisants pour restituer une bonne partie duchamp instantane, notamment quant a lallee tourbillonnaire. Cependant, les observationspreliminaires des differents modes ont montre que lenergie fluctuante du premier mode dela decomposition du champ instantane qui sidentifie qualitativement avec lecoulementmoyen, est reportee dans les modes 3 et 4 de la decomposition des champs de vitesse fluc-tuante, dont les allures spatiales presentent de larges structures. De plus, la comparaisondes energies de chaque composante du mouvement avec les contributions du mouvementorganise et du mouvement aleatoire montre quau dela de N=2 modes, la reconstructiondu tenseur des contraintes turbulentes avec les N premiers modes fluctuant contient bienplus denergie que celle attribuee au mouvement organise. Ces observations laissent sup-poser quau dela de deux modes, la reconstruction POD du champ de vitesse comporte desgrandes echelles de lecoulement aleatoire. Afin de preciser ces aspects et ainsi didentifierle role joue par chaque mode, une possibilite serait de tracer les spectres de levolutiontemporelle des coefficients ponderant les modes dans la reconstruction du champ. Cetteapproche, bien quimpossible dans notre cas, du fait de la basse cadence des acquisitionsPIV sur lesquelles nous avons effectue cette decomposition, est envisageable en utilisantdes acquistions de PIV haute cadence sur un domaine equivalent. Dans la version (PODseparable) ou elle a ete appliquee, la POD apparat donc tres utile pour lanalyse desdifferentes echelles de lecoulement, mais elle offre a priori plus une decomposition de typeLES, quune reelle separation des structures coherentes de lecoulement recherchee pourlapproche OES. Une decomposition spatio-temporelle, prenant egalement en compte lescorrelations temporelles (POD complete) parait neanmoins une bonne approche a cet effetet envisageable en utilisant des acquisitions de PIV haute cadence. En effet, les modesPOD sidentifiant dans les directions homogenes (ici stationnaire en temps) aux modesde Fourier, il parait possible disoler les composantes coherentes de lecoulement, par leurcoherence spatiale ainsi que par leur contenu frequentiel.

151


(a) contrainte normaleu2

(b) separation avec 2 modes

(c) separation avec 6 modes

(d) separation avec 10 modes

(e) separation avec 14 modes

Fig. 6.36: decomposition de u2 par la POD152


(a) contrainte normale v2





Fig. 6.37: decomposition de v2 par la POD

153


(a) contrainte de cisaille-ment uv





Fig. 6.38: decomposition de uv par la POD154


(a) N=2 modes (b) N=6 modes

(c) N=10 modes (d) N=14 modes

Fig. 6.39: comparaison de la decomposition de v2 par la POD aux contributions organiseeet aleatoire estimees

155


6.5 Moyenne phasee a partir des coefficients POD

Nous avons vu que les deux premiers modes fluctuants de la POD sont tres proches despremiers modes de Fourier de la moyenne de phase. La ponderation de ces deux premiersmodes regissent la convection des tourbillons. Ainsi, les coefficients a1 et a2 de la PODpeuvent etre utilises pour determiner la phase de lecoulement, comme lont fait Chiekhet al. [39]. Dans ce paragraphe, nous reconsiderons la moyenne de phase en utilisant cescoefficients.

Cette forte ressemblance entre les modes POD et les modes de Fourier amene areecrire la fluctuation periodique issue de la moyenne de phase en ne considerant que lefondamental du developpement en serie de Fourier :

ui = A(1)i (~x)cos()+B

(1)i (~x)sin()

ainsi que la fluctuation associee aux deux premiers modes fluctuants de la POD :

u1et2i = a1(t)i(1)(~x)+a2(t)i(2)(~x)

A(1)i (~x) et B(1)i (~x) etant tres proches de i

(1)(x) et i(2)(x), on peut sattendre a ce que lescoefficients a1 et a2 presentent une evolution temporelle periodique ou quasi-periodique.

Pour comparer ces deux fluctuations, nous avons norme A(1)i (~x) et B(1)i (~x) par la racine

carree de leur energie sur le domaine :

E(1) =12

i=1,2

((A(1)i (~x)

)2 + (B(1)i (~x))2)d = 2 i=1,2(

(k)i (~x)(k)i (~x)

)d~x

ui secrit alors :

ui =A(1)i (~x)(E(1))0.5

(E(1))0.5 cos()+B(1)i (~x)(E(1))0.5

(E(1))0.5 sin()

La figure 6.40a represente les coefficients a1 et a2 issus de la decomposition POD ainsique les coefficients (E(1))0.5 cos() et (E(1))0.5 sin() issus de la moyenne de phase, quiforment un cercle, du fait de la periodicite. Nous voyons que les points M = (a1,a2) sontrepartis autour du cercle forme par les coefficients de la moyenne de phase avec uneforte dispersion. Egalement les points sont majoritairement situes a lexterieur du cercle,ce qui traduit une plus forte amplitude de levolution periodique. La figure 6.40b repre-

sente un histogramme des normes OM =

a21 +a22 qui permet de mieux visualiser la

repartition des points M autour du cercle ainsi que la dispersion. Les figures 6.40c et c re-presentent ces coefficients a1 et a2 en fonction de langle de phase determine a partir dusignal de pression parietale. Sur ces figures, les traits continus representent les coefficients(E(1))0.5 cos(0) et (E(1))0.5 sin(0), issus de la moyenne de phase, ou 0 est choiside maniere a faire coincider les deux evolutions. Nous constatons bien que les coefficientsont en moyenne une evolution sinusoidale au cours dune periode. Comme sur la figure6.40a, la dispersion des coefficients est importante et lamplitude moyenne semble plusgrande que celle de la moyenne de phase. Cette dispersion reflete la forte modulation dela composante periodique du mouvement.

156


(a) diagramme de phase a1-a2 (b) histogramme de la norme OM

(c) a1 en fonction de (d) a1 en fonction de

Fig. 6.40: coefficients POD a1 et a2

Les points M sorganisent en fait autour dune ellipse, les valeurs propres associees audeux modes consideres netant pas rigoureusement identiques. En suivant van Oudheusdenet al. [129], levolution moyenne de lecoulement quasi periodique peut etre identifiee parun modele dordre reduit utilisant ces deux premiers modes :

U (red)i = Ui +a1i(1) +a2i(2)

Levolution moyenne des coefficients a1 et a2 peut ainsi etre decrite par lellipse dequa-tion :

a2121

+a22

22= 1

A partir de cette description, nous pouvons ainsi definir un angle de phase qui estindicateur de la ponderation entre les deux modes et donc indicateur de la position destourbillons de lallee.

a1a2 = arctan(

2221

a1a2

)

157


A partir de cette angle de phase, nous pouvons donc reconsiderer la moyenne de phase.Pour ce faire, nous avons applique lestimation stochastique presentee au paragraphe 3.3.3en attribuant a chaque champ instantane langle de phase determine a partir de ses coeffi-cients POD. La figure 6.41 montre la repartition uniforme des phases attribuees a chaquechamp instantane sur lintervalle [0,2].

Fig. 6.41: histogramme des phases a1a2

Cette phase etant definie de maniere globale et directement en fonction du champ devitesse considere, nous pouvons ainsi esperer reduire les effets de dispersion observes auparagraphe 6.3, lies notamment aux dephasages irreguliers entre la pression parietale etle champ de vitesse dans le sillage. Egalement, nous avons conserve le tri prealable realisea partir du signal de pression afin de rejeter les champs ou lallee tourbillonnaire estfortement degradee. Les figures 6.42 a 6.10 representent dans lordre 21, U, V , u2,v2, uv et S12. (Afin de comparer ces quantites avec celles presentees au paragraphe6.2, nous avons recale langle de phase avec le dephasage moyen 0.)

Les iso-contours de la vorticite 21 presentent, comme precedemment le lacher tour-billonnaire. En comparaison avec les moyennes de phase calculees a partir du signal depression (figure 6.4), les valeurs maximales de la vorticite sont plus elevees (de lordrede 15%). Ceci indique que les tourbillons sont moins lisses et donc que leur dispersionest moins importante. La determination de langle de phase au moyen des coefficientsde la POD semble donc attenuer ce defaut. Les memes observations sont faites pour lescomposantes de vitesse moyenne U et V . En effet, la composante V notamment pre-sente des valeurs absolues de 1 a la peripherie avale des tourbillons alors que les valeurspresentees au paragraphe 6.2 sont de 0.8.

Les differences les plus importantes sont observees sur les contraintes turbulentes. Lafigure 6.45 est a comparer avec la figure 6.7 representant la contrainte normale u2. Len-tranement par les tourbillons est plus prononce dans le cas ou la phase est determinee apartir des coeffcients POD, et suit mieux leur evolution. En effet, la region ou u2 0.5situee juste en aval du tourbillon se detachant est plus importante et surtout est visible desle debut de la formation du tourbillon. Les moyennes precedentes montraient des valeursun peu plus elevees dans ces regions. Concernant la contrainte normale v2, les memes ob-servations peuvent etre faites quant aux regions dentranement. De plus, nous constatonsune forte diminution des valeurs aux centres des tourbillons par rapport aux moyennes dephase calculees a partir du signal de pression. Nous pensons que ceci est une consequence

158


de la reduction de la dispersion de la phase. En effet, cest aux centres des tourbillonsque les gradients de vitesse sont les plus importants. Le moyennage de tourbillons quine sont pas exactement a la meme position conduit ainsi a une forte augmentation desfluctuations qui nest pas due aux petites echelles. Dans le cas des moyennes de phasecalculee a partir des coefficients POD, la dispersion est minimisee et ainsi cette suresti-mation est reduite. Les differences sont egalement importantes sur la contrainte uv (uvdeterminee a partir du signal de pression est representee sur la figure 6.9 et est a compareravec la figure 6.47 ou uv est determinee a partir des coefficients POD.) Dans les regionscisaillees amont, pour x/D . 1 de chaque cote du sillage, les valeurs de uv restent dumeme ordre de grandeur. Ces regions de cisaillement sont entranees alternativement dechaque cote du cylindre par les tourbillons dans leur formation. Cet entranement est plusmarque sur les resultats presentes dans ce paragraphe. Quand les tourbillons commencenta etre convectes, les valeurs de uv dans les tourbillons diminuent fortement, et ceci demaniere plus significative que sur les resultats presentes au paragraphe 6.2. Enfin, auxabscisses & 1.5, les plus fortes valeurs de uv sont situees entre les tourbillons, au niveaudes points selle conformement aux resultats de Cantwell and Coles [37] et Hussain andHakayawa [72].

Enfin, la topologie de la composante S12 du tenseur des taux de deformation est si-milaire a celle representee au paragraphe 6.2. Les valeurs significatives sont trouvees entreles tourbillons.

Du fait de ces differences entre les moyennes de phase determinees a partir du signalde pression et celles determinees a partir des coefficients POD, nous pensons que la der-niere methode permet de minimiser ces effets de la dispersion des tourbillons. La phasede lecoulement etant determinee directement a partir du champ de vitesse sur la regionconsideree, la partie des contraintes turbulentes due a cette dispersion est reduite.

Afin de reevaluer lensemble du tenseur des contraintes turbulentes, nous avons ega-lement applique cette technique aux acquisitions de PIV stereoscopique. La figure 6.49represente la contrainte normale w2 ainsi evaluee. Dans lensemble, les differences aveclestimation de cette contrainte a partir du signal de pression sont beaucoup moins procon-cees que celles observees sur les autres quantites. Les valeurs maximales sont neanmoinsplus concentrees aux centres des tourbillons ou les memes niveaux de fluctutation sontobserves. Les regions proche des points selle qui connectent les tourbillons presententegalement un forte agitation selon lenvergure.

Comme precedemment, la meme topologie de lenergie cinetique turbulente k estobservee (figure 6.50) avec des valeurs importantes aux centres des tourbillons et dansles regions des points selle. En accord avec les topologie des contraintes normales, lesregions de faible niveau de k qui correspondent a lentranement du fluide exterieur verslinterieur du sillage sont mieux prononcees. Egalement, les maxima aux centres ont desvaleurs moins elevees.

La production P, representee sur la figure 6.51, ne presente pas de differences impor-tantes avec celle evaluee a partir du signal de pression, excepte dans les tourbillons lorsde leur formation, ou la production est quasimment nulle.

159


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.42: moyennes de phase : iso-contours de 21160


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.43: moyennes de phase : iso-contours de U161


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.44: moyennes de phase : iso-contours de V 162


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.45: moyennes de phase : iso-contours de u2163


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.46: moyennes de phase : iso-contours de v2164


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.47: moyennes de phase : iso-contours de uv165


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.48: moyennes de phase : iso-contours de S12166


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.49: moyennes de phase : iso-contours de w2

167


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.50: moyennes de phase : iso-contours de k

168


(a) = 0 (b) = 180

(c) = 45 (d) = 225

(e) = 90 (f) = 270

(g) = 135 (h) = 315

Fig. 6.51: moyennes de phase : iso-contours de P

169


A partir de ces quantites, nous pouvons reevaluer les contributions de chaque com-posante du mouvement au tenseur des contraintes turbulentes dans le sens stationnaire.Comme precedemment, du fait de la non correlation entre les deux composantes, le tenseurdes contraintes se decompose selon les deux contributions :

uiu j = uiu j +uiuj

Les figures 6.52, 6.53 et 6.54 representent chacune des contributions aux contraintes u2, v2

et uv respectivement. Nous voyons quen comparaison avec la decomposition presentee auparagraphe 6.2, les contraintes dues aux mouvement coherents sont plus importantes etquen consequence, les contraintes dues au mouvement desorganise sont plus faibles. Si loncompare cette decomposition du tenseur des contraintes avec celle effectuee directementen retenant N modes POD au paragraphe precedent, ces contributions sont tres prochesde celles issues de la decomposition avec 2 modes POD. Ainsi, la composante u2 issuedu mouvement organise presente deux lobes symetriques par rapport a laxe y/D = 0 etleur maxima sont situes a x/D ' 1.1 et y/D ' 0.4. La contribution u2 presentent sesvaleurs maximales dans les regions cisaillees en aval proche du decollement, et egalementsur laxe y/D = 0 a x/D' 1.25, au niveau de la longueur de recirculation. La composantev2 presente un lobe centre sur laxe arriere dont le maximum (v2 ' 0.55 est situe x/D' 1.4alors que la contribution v2 presente ces plus fortes valeurs dans la region de recirculationsur laxe arriere. Les deux lobes antisymetriques de la contribution uv ont egalement desvaleurs maximales absolues plus importantes que celles issues de la moyenne de phasedeterminee a partir du signal de pression. Enfin, la contribution uv presente des valeurssignificatives dans les regions de cisaillament, aux frontieres du sillage, en accord avecles observations precedentes. En conclusion de ce paragraphe, nous pouvons dire que lesgrandes similitudes observees au paragraphe 6.2 entre les contributions du mouvementorganise et celles du mouvement desorganise sont beaucoup moins marquees avec cettedecomposition, ce qui semble confirmer que les effets de dispersion sont reduits.

(a) u2 (b) u2

Fig. 6.52: moyennes de phase : decomposition de la contrainte normale u2 en une contri-bution organisee et une contribution aleatoire

170


(a) v2 (b) v2

Fig. 6.53: moyennes de phase : decomposition de la contrainte normale v2 en une contri-bution organisee et une contribution aleatoire

(a) uv (b) uv

Fig. 6.54: moyennes de phase : decomposition de la contrainte uv en une contributionorganisee et une contribution aleatoire

Enfin, nous reprenons la comparaison des deux contributions v2 et v2 avec les contri-butions estimees a partir des spectres de v sur la figure 6.55. Comme nous pouvions nousy attendre, les contributions issues de cette moyenne de phase sont beaucoup plus prochesdes contributions organisees et aleatoires respectivement. Nous pouvons donc penser queles effets de la dispersions sont fortement reduit, meme si une meilleure analyse consiteraita tracer les spectres de ces deux composantes (ce qui nest pas possible ici, du fait de labasse cadence des acquisitions).

171


Fig. 6.55: comparaison des contributions a v2 estimees a partir des moyennes phaseesavec les coefficients POD et de celles estimees a partir des spectres

Nous terminons ce chapitre en reevaluant les contributions de chaque composante dumouvement a lenergie cinetique fluctuante, ainsi que les termes de transfert denergie,soit la production du mouvement moyen vers le mouvement fluctuant organise Pmc, laproduction du mouvement moyen vers le mouvement aleatoire Pmr et la production dumouvement fluctuant organise vers le mouvement aleatoire Pcr. La figure 6.56 representeles contributions k

(c)et k

(r). En comparaison avec les evaluations precedentes, la contri-

bution organisee k(c)

est plus importante. Celle-ci presente comme precedemment un lobecentre sur laxe arriere et son maximum, dune valeur de 0.3 est situe a x/D' 1.3 au ni-veau du point de rattachement. Lenergie fluctuante du mouvement aleatoire k

(r)presente

egalement un lobe centre sur laxe arriere mais son maximum est plus f

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