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    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    Champ et Potenti

    Electrostatiques

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    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / Electri

    L'lectrostatique : tude des

    effets de l'lectrisation et enparticulier les interactionsentre corps lectriss.

    Les charges lectriques sontconsidres immobiles.

    Il existe deux types de

    charges lectriques : positivesetngatives. Frotteplasti

    moucAppro

    d'eau

    puiss

    I Introduction

    http://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/Electrost/PapierN.avihttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/Electrost/Parcours%20p%C3%A9dagogique%20%20%[email protected]%C3%A8re%20et%20l'histoire%20de%20l'%C3%A9lectricit%C3%A96.flvhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/Electrost/Parcours%20p%C3%A9dagogique%20%20%[email protected]%C3%A8re%20et%20l'histoire%20de%20l'%C3%A9lectricit%C3%A96.flvhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/PapierN.avihttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/Electrost/PapierN.avi
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    II Loi de Coulomb(1780)

    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    La force sexerant entre deux charges

    lectriques ponctuelles immobiles q1 et q2

    est : porte par la droite reliant les deux

    charges,

    proportionnelle au produit q1q2,

    inversement proportionnelle au carr de

    Charles

    Cest la base de toute

    l lectrostatique

    1/22/1 FF =

    0.: 21 >qqrpulsion

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    II Loi de Coulomb(1780)

    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    Charles

    : force exerce par q surq!

    : distance entre les deux charges: vecteur unitaire dirig de " vers"!

    r=M1M2q1

    q2

    M1

    M2

    2/1F

    u

    r

    qqF

    2

    21

    0

    2/1

    4

    1

    =

    r

    u

    1/22/1 FF =

    u

    0.: 21 >qqrpulsion

    21

    21

    MM

    MMu =

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    II Loi de Coulomb(suite)

    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    q et q! sont mesurs en coulomb #C$

    : permittivit lectrique du vide#units : %arad&m$

    les deux charges sont considres :

    situes dans le vide immobiles#approximation de l

    lectrostatique$

    emarques :

    ! (alidit

    Cest la basel lectros0

    )(10.94

    1 229

    0

    SICNmk ==

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    6/47Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    La charge lmentaire #la plus petite$ estla charge de llectron * elle vaut :

    +rdres de grandeur :

    ,uel est le rapportentre la force

    dattractiongravitationnelle et larpulsioncoulombienne entres

    deux lectrons -

    Linteractgravitationn

    ninterviendra dopour des ma

    lectriquement

    II Loi de Coulomb(suite)

    Ce 1910.6.1

    410.4

    2

    1

    04

    2

    =

    eGm

    e

    gF

    cF

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    7/47Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    +rdres de grandeur :

    ,uelle est la force derpulsion coulombienneentre deux charges de C situes / 0ml'une

    de l'autre -

    Cest une

    quivalenteexerc pamasse de

    1

    Si, SiCest encore lger!

    II Loi de Coulomb(suite)

    NF 4

    23

    0

    10)10(

    1

    4

    1 =

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    III Champ Electrostatique

    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    +n peut mettre la force de Coulomb sousune forme qui ressemble le poids dun corps

    Lintr2t de cette sparation vient du faitque lon distingue clairement ce qui dpenduniquement de la particule qui subit la force#la charge q!$3 de ce qui ne dpend que dunesource extrieure3 ici le vecteur :

    Champ cr par une charge ponctuelle

    4

    )(1 ME

    ME

    1()()( MgmMP = )()( 122/1 MEqMF =

    u

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    III Champ Electrostatique

    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    Champ cr par une charge ponctuelle#suite$

    Dfinition: Une charge q situe

    en O cre en tout point M de

    lespace, distinct de O, un

    champ vectoriel appel

    champ lectrostatique. Il est

    mesur en Volt/mtre !V/m".

    u

    ME(

    http://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/Topographie%20du%20champ%20%C3%A9lectrostatique%20(animation%20Flash).swfhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/Topographie%20du%20champ%20%C3%A9lectrostatique%20(animation%20Flash).swf
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    III Champ Electrostatique

    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    Champ cr par une distribution discr5te de charg

    #e champ lectrostatique en un pM de lespace est la somme champs Ei crs par les charges$est le principe de superposition.

    un syst5me de n charges ponctuelles q3 q!3 63

    qn

    Force exercepar les ncharges sur

    une charge q

    n

    n

    1!q

    1

    )(22111

    MEquq

    kquq

    kqFFir

    in

    iir

    in

    i

    n

    ii

    ii

    ====

    ===

    ==

    ==n

    i

    i

    n

    i i

    i Er

    qkME

    112

    )( 2

    E

    3E

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    III Champ Electrostatique

    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    Champ cr par une distribution continue de charg

    Champ lmentaire cr3 apar la charge lmentaire sdans le domaine entourant le

    Onremplace lesigne parle signe

    P

    d

    q

    7rincipe de superposition

    o8

    u

    =

    onDistributi P MEdME )()(

    ur

    dq

    kMEd P

    2)( =

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    III Champ Electrostatique

    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    Champ cr par une distribution continue de charg

    9istribution volumique

    Caractrise par une densitvolumique de charges

    nit : C&m;

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    III Champ Electrostatique

    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    Champ cr par une distribution continue de charg

    9istribution surfacique #ou superficielle$

    Caractrise par une densitsurfacique de charges nit : C&m2

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    III Champ Electrostatique

    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    Champ cr par une distribution continue de charg

    9istribution linaire #ou linique$

    Caractrise par unedensit linaire de charges nit : C&m

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    III Champ Electrostatique

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    III Champ Electrostatique

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    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    Il fournit une mthode tr5s utile pour dterminerlexpress

    littrale du champ lectrostatique. @on application ncess

    la connaissance pralable de la direction de .appel : @oit une surface quelconque#@$ oriente et un vecteur dfini enchaque point " de #@$. Le flux

    lmentaire de / travers un lment desurface est3 par dfinition :

    %lux total / travers @

    Le flu

    est la

    fluide

    volumeuneseconS

    dS

    IV Thor!me de

    "auss

    == SS dSn%d

    cos%dSdSn%Sd%d ===

    E

    %

    %

    n

    %

    IV Th ! d

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    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    9ans quelle situation gomtrique

    le flux de estAil le plus lev-

    IV Thor!me de

    "auss

    (suite)%

    n%

    n

    %

    %

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    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    IV Thor!me de

    "auss(suite)emarque : @ est une surface fictive3 quelconque3

    ferme3 on lappelle surface de Bauss.

    tilisation :7armi linfinit de surfaces fermesdispose3 on choisit pour les applications3 celle qu

    un calcul simple de flux. 7our cela il faut connatrla symtrie que poss5de le champ . Dien que le tde Bauss soit gnral3 on lutilisera que distributions de charges ayant un haut degr de s

    IV Th ! d

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    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    IV Thor!me de

    "auss(suite)

    . 9terminer la directiondu champ

    "ode demploi

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    IV Thor!me de

    "auss(suite)

    ;. Calculer le flux puis ,int#charges / lintrieurde la surface de Bauss$

    "ode demploi

    F.

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    IV Thor!me de

    "aussConsidrons une sph5re de rayon 3 centre e

    charge en surface avec une densit de chuniforme G. 9terminer le champ lectrique qucre en un point " de l'espace.

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    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    IV Thor!me de

    "auss

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    IV Thor!me de

    "auss

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    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    IV Thor!me de

    "auss

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    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    V Potentiel lectrostatiqu

    Ide: "ontrer lexistence dune fonction scalaire!permettant de construire le champ

    A

    &

    q

    Circulation du champ lectrostatiqueCalculer la circulationsur un chemin C#entre ? et D$ du

    champlectrostatique crpar une chargeponctuelle q

    9finition :

    E

    C=

    E dr%

    (

    = (

    %rd

    r

    rkqC

    .

    3

    V Potentiel lectrostatiqu

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    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    V Potentiel lectrostatiqu(#uite)

    @oit :

    ?

    C ne dpend pasdu

    cheminsuivi3

    elle

    dpendque d

    e la

    positioninitiale

    et de

    lapositionfina

    le.

    Lasurfernu

    = (

    %rd

    r

    rkqC

    .

    3

    rdrrdrrdrd 2..2),()( 22 ==

    (

    %

    r

    r

    (

    % rkq

    r

    drkqC ]

    1

    2 ==

    )11

    ((% rr

    kqC =

    V Potentiel lectrostatiqu

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    %ette fonction est

    appele (otentiel

    lectrostatique

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    V Potentiel lectrostatiqu(#uite)

    9finition du potentiel lectrostatique

    Circulation nulle surun chemin ferm.

    constituedune foncti

    dont il driv

    %estle

    crparu

    q)la dis

    est me

    +olt,V

    cter

    qkV +=

    E

    VgradE =

    V Potentiel lectrostatiqu

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    V Potentiel lectrostatiqu(#uite)

    7roprits du potentiel lectrostatique

    ( est dfini / une constanteadditive pr5s

    d.d.p : V(M1)-V(M2) a unsens physique

    La d.d.p V(M1)-V(M2/ la circulation lectrostatique lechemin allant de M

    M1

    M

    cterqkV +=

    2

    1

    2

    1 VdVldE

    M

    M

    M

    M==

    V Potentiel lectrostatiqu

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    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    V Potentiel lectrostatiqu(#uite)

    7roprits du potentiel lectrostatique

    Le potentiel cr par une

    distribution de charges est la somme

    des potentiels crs par chacune

    des charges :

    Cas discret Cas c

    =

    =n

    i

    i

    rqkV

    1= DV

    V Potentiel lectrostatiqu

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    V Potentiel lectrostatiqu(#uite)

    7roprits du potentiel lectrostatique : emarque

    9rivaion Intgr

    EV

    VgradE =

    E

    V Potentiel lectrostatiqu

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    V Potentiel lectrostatiqu(#uite)

    7roprits du potentiel lectrostatique

    .urface quipotentielle :

    %est lensemble des

    points o/ on a :

    Le champ estperpendiculaire3 en toutpoint3 a une surface

    quipotentielle

    Ligne de champ

    lensemble des

    tels que :

    nor

    qu

    ne ligne de champest le support duchamp qui lui esttangent en toutpoint.

    0. ==dVMdE

    CteV =

    V Potentiel lectrostatiqu

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    V Potentiel lectrostatiqu(#uite)

    7roprits du potentiel lectrostatique

    ne ligne de

    champ est

    oriente vers le

    sens du champ.

    Les lignes du champ

    sont orientes versles potentielsdcroissants

    0. 212

    1>= VVMdE

    0. >MdE

    V Potentiel lectrostatiqu

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    V Potentiel lectrostatiqu(#uite)

    7roprits du potentiel lectrostatique

    V Potentiel lectrostatiqu

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    V Potentiel lectrostatiqu(#uite)

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    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    VI $ip%le

    lectrique9finitions :

    .stme de deux charges opposes :

    une charge ngative "q , place en un

    point 3, et une charge positive 4q ,

    place en un point (

    q

    0 *

    5n appelle moment dipolaire du

    dou'let de charges, le produit de la

    charge positive q par le vecteur 0*

    6oignant la charge ngative ) la

    charge positive : NPqp =

    VI $ip%le

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    VI $ip%le

    lectrique

    0

    .q

    Lorigine des potentiels est / linfinir = OM

    7otentiel dipolaire

    1

    2

    7quipotentielles+8%te

    quipotentielles

    30

    20

    .

    4

    1cos

    4

    1

    )( r

    rp

    r

    p

    MV

    ==

    2cos -r=

    VI $ip%le

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    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    VI $ip%le

    lectrique

    0

    .q O

    r = OM

    r >>

    Champ dipolaire

    VgradE =

    3

    0

    cos2

    4

    1

    r

    .p

    r

    /Er

    =

    =

    3

    0

    1 sin2

    4

    1

    r

    .p/E

    r

    =

    =

    2

    0

    cos

    4

    1)(

    r

    .pMV

    =

    VI $ip%le

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    VI $ip%le

    lectriqueLignes du Champ dipolaire

    Intgration

    9finitionMdE//

    0= drErdEr

    d

    r

    dr

    sin

    cos2=

    cter += !sin!"n2"n

    cte--r == ,)(sin 2

    VII &ormulation

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    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    VII &ormulation

    mathmatique de

    l'lectrostatique

    appel : La divergence duchamp vectorielest dfinie par :

    #coordnnes c

    +prateur formel nabla

    #est un scala

    ),,($0!

    %%%% =

    $

    %

    0

    %

    !

    %%di/ $

    0!

    +

    +

    =

    %%di/ .=),,(

    $0!

    VII &ormulation

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    Chap. 1 : Champ et Potentiel lectrostatiques SMC : Physique 2 / El

    VII &ormulation

    mathmatique de

    l'lectrostatique

    Thorme dOstrogradski: Leflux dun champ vectoriel

    ) travers une surface

    ferme . est gal )

    lintgrale de sadivergence sur le volume +

    dlimit par . :

    div=

    div>0

    %

    d%di/Sd%VS =.

    VII &ormulation mathmatique

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    de l'lectrostatique

    Hh. Bauss

    Comme ( est quelconqueCest une quatdiffrentiellelocale

    %ormule de la divergence

    E% d%di/Sd% VS =. dEdi/SdE VS =.

    d

    &

    V =

    0

    int

    dEdi/dVV

    =

    0

    1

    0

    =Edi/

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    +r

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    de l'lectrostatique

    Cestdiff local

    %ormule du rotationnel

    La circulation du

    champ

    lectrostatiqueest

    nullesurunchemin

    ferm.

    0=Erot

    = 0ldE

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