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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE MENTOURI-CONSTANTINE

FACULTE DES SCIENCES EXACTES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE

N dordre: Srie:

MEMOIRE

Prsent pour obtenir le Diplme de Magister en Physique

Spcialit: physique nergtique

Option : photothermique

THEME

PAR

CCCChahboubhahboubhahboubhahboub KamelKamelKamelKamel

Soutenu le : ././2011 Devant le jury :

Prsident : L. BAHI Prof. Universit Mentouri - Constantine

Rapporteur : T. BOUFENDI M.C.A Universit Mentouri - Constantine

Examinateurs: N. ATTAF Prof. Universit Mentouri - Constantine

A. MOKHNACHE M.C.A Universit Mentouri - Constantine

Influence de la conduction paritale sur les Influence de la conduction paritale sur les Influence de la conduction paritale sur les Influence de la conduction paritale sur les transferts thermiques transferts thermiques transferts thermiques transferts thermiques conjugus dans un conduitconjugus dans un conduitconjugus dans un conduitconjugus dans un conduit

horizontalhorizontalhorizontalhorizontal

Remerciements

REMERCIEMENTS

Je tiens remercier tout particulirement Monsieur T. BOUFENDI, Matre de Confrences

luniversit Mentouri Constantine pour avoir assur la direction de ce travail. Jai eu la chance

de bnficier de son encadrement enrichissant et de ses comptences.

Je remercie galement Monsieur L. BAHI, Professeur luniversit Mentouri Constantine qui

ma fait lhonneur de prsider ce jury.

Monsieur N. ATTAF, Professeur luniversit Mentouri Constantine, et Monsieur A.

MOKHNACHE, Matre de Confrence luniversit Mentouri Constantine, mont fait

lhonneur dexaminer ce mmoire et de participer mon jury dexamen. Quils trouvent ici

lexpression de mes meilleurs remerciements.

Enfin, je tiens remercier tous ceux qui ont contribu de prs o de loin la ralisation de ce

travail.

Sommaire

SOMMAIRE

REMERCIEMENTS

NOMENCLATURE

INTRODUCTION GENERALE ..1

CHAPITRE 1 : Etude Bibliographique

Etude bibliographique ............4

CHAPITRE 2 : Modlisation Mathmatique

2.1Introduction ....20

2.2 Gomtrie du modle .....20

2.3 Equations de conservation .....21

2.4 Les conditions aux limites .....23

2.5 Le nombre de Nusselt ....26

2.6 Matriel utilise dans la simulation .27

CHAPITRE 3 : Rsolution Numrique

3.1 Introduction.28

3.2 Le maillage..28

3.3 Discrtisation des quations du modle..30

3.4 Dfinition ...31

3.4.1 La discrtisation temporelle du second ordre..31

3.4.2 La discrtisation spatiale du second ordre...32

3.5 Discrtisation de lquation de la quantit de mouvement radiale 33

3.6 Discrtisation de lquation de la quantit de mouvement azimutale44

3.7 Discrtisation de lquation de la quantit de mouvement axiale .53

3.8 Discrtisation de lquation de lnergie ...59

Sommaire

3.9 Discrtisation de lquation de la continuit ..65

3.10 Discrtisation des conditions aux limites .....65

3.10.1 A lentre du conduit .....65

3.10.2 A la sortie du conduit .....66

3.10.3 A la paroi ........68

3.10.4 sur laxe du conduit ...68

3.11 Equation de la pression et de correction de la pression 71

3.12 Algorithme de calcule SIMPLER ...75

3.13 Technique numrique de rsolution dun systme dquation de

Discrtisation ......76

3.14 Validation du code de calcul 76

CHAPITRE 4 : Rsultats Et Discussion

4.1 Introduction ....78

4.2 Lcoulement secondaire ...................................................................................................79

4.3 Lcoulement axial .............................................................................................................83

4.4 Le champ des tempratures ...............................................86

4.5 Le nombre de Nusselt ....90

CHAPITRE 5 : Conclusion Gnrale

Conclusion gnrale .....93

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUE ..95

ABSTRACT

RESUME EN ARABE

RESUME EN FRANAIS

NOMENCLATURE

NOMENCLATURE

A coefficient de lquation de discrtisation

b terme de source adimensionnelle

D diamtre du conduit [ ]m

g acclration de la pesanteur [ ]2sm

G source de chaleur volumique [ ]3mW

Gr nombre de Grashof dfini par ( )2s5 KDGg

coh coefficient de transfert convectif (conduit-air ambiant) [ ]KmW 2

rah coefficient de transfert radiatif (conduit-air ambiant) [ ]KmW 2

K conductivit thermique du fluide [ ]KmW

*K conductivit thermique du fluide adimensionnelle ( )0KK

*sK conductivit thermique du solide adimensionnelle ( )0S KK

L longueur du conduit [ ]m

( )*z,Nu nombre de Nusselt local ( )( )0KDz,h

( )*zNu nombre de Nusselt local axial ( )( )0KDzh

P pression [ ]Pa

*P pression adimensionnelle ( ) ( )( )2000 VPP

Pr nombre de Prandtl ( )

q densit de flux de chaleur [ ]2mW

NOMENCLATURE

r coordonne radiale [ ]m

*r coordonne radiale adimensionnelle ( )iDr

R rayon du conduit [ ]m

Ra nombre de Rayleigh ( )[ ]( )airair300 DTz,,RTg

Re nombre de Reynolds

S terme de source

t temps [ ]s

*t temps adimensionnel ( )i0 DtV

T temprature [ ]K0 *T temprature adimensionnel ( ) ( )S2i0 KDGTT

bT temprature moyenne de mlange [ ]K0 *bT temprature moyenne adimensionnelle ( ) ( )S2i0b KDGTT

0V vitesse axiale moyenne lentre du conduit [ ]sm

rV composante radiale de la vitesse [ ]sm

*rV composante radiale de la vitesse adimensionnelle ( )0r VV

V composante azimutale de la vitesse [ ]sm

*V composante azimutale de la vitesse adimensionnelle ( )0VV

zV composante axiale de la vitesse [ ]sm

*zV composante axiale de la vitesse adimensionnelle ( )0z VV

Z coordonne axiale [ ]m

NOMENCLATURE

*Z coordonne axiale adimensionnelle ( )iDz

Symboles grecs

diffusivit thermique [ ]sm 2

coefficient volumique d'expansion thermique du fluide ( )1K

coefficient de diffusion

viscosit cinmatique ( )12 s.m

masse volumique du fluide ( )3m.Kg

tenseur des contraintes visqueuses [ ]mN

* tenseur des contraintes visqueuses adimensionnelle

viscosit dynamique [ ]sm.Kg

* viscosit dynamique adimensionnelle ( )0

coordonne angulaire [ ]rad

variable dpendante gnralise

Indices

C relatif la position de la face dun volume fini typique

d dsigne la paroi du conduit

o,i fait rfrences aux surfaces interne et externe du conduit respectivement

m moyen

p fait rfrence au nud P dun volume fini typique

NOMENCLATURE

b,t,w,e,s,n fait rfrence aux nuds entourant un volume fini typique respectivement

nord, sud, est, ouest, frontale et dorsale

B,T,W,E,S,N fait rfrence aux nuds entourant un volume fini typique respectivement

nord, sud, est, ouest, frontale et dorsale

b,n dsigne les nuds voisins P

z,,r rfrence aux directions radiale, tangentielle et axiale respectivement

fait rfrence lair ambiant loin de la paroi externe

0 entre du conduit

Exposants

* variable adimensionnelle

t dsigne linstant t

tt + dsigne linstant tt +

tt dsigne linstant tt

Introduction Gnrale

1

Introduction Gnrale

1.1 Rappel du mcanisme de la convection mixte

Dune manire gnrale, on appelle convection les mouvements de circulation prsents

au sein dun fluide. Lorsque ces mouvements sont occasionns par des forces internes aux

fluides on parle de convection naturelle. Ces forces sont les plus souvent les forces de la

pousse dArchimde associe la gravit. Les sources dominantes des mouvements

convectifs sont alors issues de la thermo dpendance de certaines proprits physiques du

fluide (la masse volumique, la tension superficielle, la concentration des espces).

Souvent, la convection naturelle coexiste avec la convection force. Dans le cas de la

convection force, le mouvement du fluide est induit par une source externe : une pompe ou le

dplacement dun objet dans le fluide par exemple. Quand les mouvements ont pour origine

la fois des sources internes et externes, on parle de convection mixte. Nous pouvons citer

comme exemples les coulements lents dans les canalisations (comme dans les radiateurs

eau), les jets anisothermes (chauffage ou climatisation des locaux, panaches de fumes), les

coulements atmosphriques et les courants marins. Un autre aspect apparat, c'est--dire les

deux mcanismes peuvent aller dans le mme sens comme ils peuvent sopposer selon la

direction relative du mouvement force par rapport au mouvement gravitaire. L transfert peut

tre fortement influenc par cet aspect. Ainsi, si leffet de la pesanteur soppose au

mouvement forc, lcoulement est frein, le transfert thermique est diminu et dans ce cas la

convection mixte est dite contrarie. Pour le cas contraire, on parlerait de convection mixte

aide. Enfin, lcoulement forc peut tre perpendiculaire la direction des forces de

pesanteur et dans ce cas les changes de chaleur sont amliors. La convection mixte dans un

canal horizontal correspond la superposition dun coulement forc (coulement principale

associ une vitesse axiale du fluide) et la convection naturelle transverse (appele

coulement secondaire associ des composantes transverse de la vitesse dans une section

droite de la conduite). Ainsi, dans ltude de cette convection mixte, des termes moteurs vont

tre apparu tel que le terme Tg qui traduit la mise en mouvement du fluide sous laction de

la gravit.

Dans notre tude, lcoulement considr lentre de la conduite sera de type

laminaire et hydrodynamiquement dvelopp. Pour cela, nous rappelons que dans un conduit

cylindrique, le rgime laminaire est gr par les forces de cisaillement entre filets fluide

Introduction Gnrale

2

induisant, selon une section droite, un profil de vitesse de forme parabolique. Lcoulement

est caractris ainsi par le nombre adimensionnel de Reynolds (Re). Ce profil de vitesse peut

tre modifi ds que des gradients de temprature sont imposs selon une section. La

convection lintrieur des conduites intervient dans plusieurs applications pratiques telles

que les capteurs solaires, les changeurs de chaleurs, le refroidissement des composantes

lectroniques et des procds chimique et nuclaires.

1.2 Objectifs et organisation de ce mmoire

Ce travail sinscrit dans la continuit de ltude mene par Boufendi et Afrid [1.2] au

laboratoire de physique nergtique de luniversit Mentouri Constantine. Cette tude

concerne une simulation numrique tridimensionnelle et transitoire dune convection mixte au

sein dun fluide newtonien (eau distille), en coulement laminaire, dans un conduit

cylindrique dont lpaisseur de sa paroi est le sige dun chauffage uniforme par effet joule et

par consquent dune conduction thermique de la chaleur travers toute lpaisseur solide. La

conjugaison des deux modes de transfert thermique qui sont la convection mixte dans le fluide

et la conduction dans le solide font quil sagit dun problme de transfert thermique

conjugue ncessitant un traitement simultan. Dans ce problme le fluide est caractris par

des proprits physiques variables et la prise en compte des pertes thermiques de nature

radiatives et convectives vers le milieu ambiant.

Ainsi, dans un souci dune ample comprhension des phnomnes physiques mis en

jeu et leur interaction simultane, ce travail consiste en une simulation numrique du modle

conjugu, mais cette fois pour diffrents matriaux. Nous avons choisi pour diverses raisons

de nature physiques les matriaux suivants : lInconel, le Tantale, lAcier, et lAluminium.

Notre mmoire est scind en quatre chapitres :

Le premier chapitre est consacr la comprhension du mcanisme de transfert thermique

conjugue- la convection mixte dans le fluide combine la conduction dans le solide- dans

une conduite cylindrique et la prsentation dune synthse dtude bibliographique rcente

apporte sur ce sujet.

Dans le deuxime chapitre, nous prsentons dabord la gomtrie du modle physique

considr. Ensuite, crites sous leurs formes adimensionnelles, les quations modlisantes de

conservation de la masse, de la quantit de mouvement et de lnergie et leurs conditions aux

limites spatiotemporelles appropries sont prsentes sous une forme conservative. Dans ces

Introduction Gnrale

3

quations, la viscosit dynamique et la conductivit thermique du fluide sont

thermodpendantes.

Le troisime chapitre est consacr la rsolution numrique des quations

modlisantes adimensionnelles. Aprs une brve introduction justifiant le choix de la mthode

numrique utilise qui est celle des volumes finis, le maillage dans sa globalit ainsi que dans

des espaces de projection sera prsent. Puis, tous les termes obtenus dans les quations

modlisantes seront discrtiss un par un jusqua lobtention finale des quations algbriques

linarises pour toutes les variables dpendantes de ce problme. Enfin, les algorithmes de

calcul utiliss, tels lalgorithme SIMPLER et lalgorithme de Thomas, seront prsents.

Nous rassemblons dans le quatrime chapitre les principaux rsultats numriques de

cette tude. Ces rsultats porteront sur les variations polaires et les variations axiales des

champs dynamiques et thermiques des composantes de vitesse et de temprature dans les

milieux fluide et solide. La quantification du transfert thermique sera obtenue laide de la

dtermination des nombres de Nusselt local et moyen le long du conduit. Les comparaisons

et les interprtations des divers rsultats seront prsents partir des distributions de certaines

grandeurs physiques.

Enfin nous terminons ce travail par une conclusion gnrale qui rsume les principaux

rsultats obtenus.

Chapitre 1 Etude bibliographique

4

Chapitre 1

Etude bibliographique

Les coulements de fluide combins aux transferts thermiques dans les conduits

cylindriques ont fait lobjet de trs nombreuses investigations thoriques, numriques et

exprimentales. Une large part de ces tudes sintressent aux problmes lis aux diverses

conditions aux limites en particulier celles relatives une temprature paritale impose ou a

un flux de chaleur parital impos ainsi quaux problmes lis linfluence de la conduction

thermique qui existe dans le milieu solide sur la convection mixte qui se dveloppe dans le

fluide et par consquent sur les transferts thermiques linterface paroi-fluide. Parmi cette

synthse nous nous sommes limits la gomtrie cylindrique avec une paisseur finie en

faisant ressortir les effets de la conductivit thermique du matriau solide.

Boufendi et Afrid [1] ont fait une simulation numrique tridimensionnelle sur la

convection force et la convection mixte dans un conduit horizontal par la mthode des

volumes finis. Un long conduit ayant un ratio d'aspect A = 100 est uniformment chauff par

un flux de chaleur constant, Figure 1. A lentre se prsente un coulement dun fluide

Newtonien (eau distille) de Poiseuille et une temprature constante. A la sortie le conduit est

considr de grande longueur de telle sorte que le gradient de vitesse nulle et que le flux de

chaleur axial est constant donc la drive seconde de la temprature est nulle. Les proprits

physiques du fluide sont supposs constantes. Les paramtres de contrles fixes dans cette

tude sont le nombre de Prandtl (Pr=3,02) et le nombre de Reynolds (Re =1000). Trois

nombres de Grashof ou de Richardson sont considrs : Gr*=0 (Ri=0) correspondant une

convection force et Gr*=106 (Ri=1) et Gr*=107 (Ri=10) correspondant leffet accru de la

convection mixte. Le dveloppement lcoulement secondaire augmente le transfert

thermique convectif. Le nombre de Nusselt (Nu) local axial diminue le long de la zone dentr

puis, laval du conduit, il subit une croissance en se dtachant du Nu correspondant celui

de la convection force cette croissance est dautant plus importante pour des nombres de

Grashof ou de Richardson lves.


5

Figure 1. Gomtrie et conditions aux limites

Dans un autre travail, Boufendi et Afrid [2] ont trait une simulation numrique du

transfert de chaleur et de dynamique des fluides (eau distille) dans un conduit horizontal de

dpaisseur finie. Le conduit en Inconel dune longueur (L=1m), dun diamtre intrieur (Di=

0,96cm) et un diamtre externe (DO=1cm) possde une conductivit thermique gal a

KS=15W/moK, Figure 2. La gnration interne de la chaleur uniformment produite par effet

Joule dans toute lpaisseur de la paroi est gale 4107W/m3 sert chauffer un fluide

Newtonien et incompressible en coulement laminaire. A lentre le fluide se prsente avec

un profil de Poiseuille de vitesse moyenne gale 1,7.10-2m/s et une temprature uniforme

gale 15C. La viscosit du fluide et la conductivit thermique sont des fonctions connues

de la temprature. La densit est une fonction linaire de la temprature et lapproximation de

Boussinesq est applique tandis que les pertes thermiques entre la surface extrieure du

conduit et le milieu ambiant sont prises en compte. Les quations modlisantes de continuit,

de quantit de mouvement et de lnergie sont numriquement rsolues par la mthode des

volumes finis. Les rsultats sont obtenus pour un nombre de Reynolds (Re=142.17) et un

nombre de prandtl (Pr=8,082) et un nombre de Graschof modifi: (Gr*=105). Ils montrent que

les champs thermiques et dynamiques sont tridimensionnels, que la non-uniformit du flux

thermique linterface paroi-fluide est significative et que le nombre de Nusselt moyen dans

le tube augmente considrablement. Les rsultats numriques de cette tude sont en bon

accord avec les rsultats exprimentaux publis.


6

Figure 2. Gomtrie et dimensions : Di*=1, D0

*=1.04, L*=104.17

Boufendi [3] a fait une tude numrique de la convection mixte tridimensionnelle sur

un conduit cylindrique horizontale chauff uniformment. Il a considr deux modles: un

modle de base dfinie par un conduit paisseur nulle et des proprits du fluide

constantes except la densit, et un modle conjugu o on tient compte de lpaisseur du

conduit et la variation des proprits du fluide avec la temprature. Les rsultats

numriques ont t obtenus avec un code 3-D bas sur le schma numrique dordre un et

lalgorithme de SIMPLER.

Petukhov et Polyakov [4] ont prsent des rsultats dune tude exprimentale sur la

convection mixte lintrieur dun conduit horizontal et vertical soumis un flux de chaleur

uniforme. Les tubes utiliss sont en acier inoxydable, pour le tube horizontal le diamtre

intrieur est de 8.84 mm, lpaisseur est de 0.36 mm et la longueur du conduit est 99 fois le

diamtre interne. Les rsultats obtenus permis dtablir des corrlations empiriques donnant le

nombre de Nusselt moyen en fonction de la distance axiale

NN

1

. tels que B 5. 10

Z pour Z ! 1.710 B 1.8. 10Z 55Z. pour Z $ 1.710 %

NU est le nombre de Nusselt moyen asymptotique pour un coulement dvelopp.

La prcision de lapproximation de la correction est de 5%.

Siegwarth et al. [5] Ont publi un travail portant sur leffet de l'coulement

secondaire sur le champ de temprature et le champ de vitesse primaire. Ils considrent un

long tube horizontal chauff lectriquement prsentant une paroi paisse de conductivit

leve tels que les nombres de Grashof et Prandtl sont levs (Pr=70.7 et ( ) )3.51Pr.Gr 41 = . Les groupes de dimension dfinissant le flux entirement dvelopp d'un fluide de viscosit


7

constante dans une conduite sont le nombre de Reynolds(Re), le nombre de Grashof(Gr), le

nombre de Prandtl(Pr) le nombre de Nusselt(Nu) et le coefficient de frottement Fanning() o

Re, Gr et Nu utilisent le tube de rayon a et Gr utilise la diffrence de temprature (T).

Leffet du champ de temprature sur le dbit dpend fortement de la valeur de Pr et par

consquent, deux conditions seront considrs, (Pr=1) et (Pr=), pour lequel il existe prs de

la paroi une couche limite thermique mince. Pour le nombre de Prandtl Pr=1, lcoulement

primaire montre aussi un comportement de couche limite tandis que pour Pr

lcoulement primaire est indpendant de lcoulement secondaire. Ils ont trouv aussi pour

une viscosit constante et un nombre de Prandtl infini, le nombre de Nusselt est directement

proportionnel la racine quatrime du produit des nombres de Grashof et de Prandtl : Nu=C1

(Gr. Pr) . Les auteurs montrent que le coefficient C1=0.471 est calcul par les mthodes

intgrales. Un bon accord est obtenu entre les calculs bass sur le modle propos et

lexprience.

Bergles et Simonds [6] ont fait une tude concernant les effets de la convection

naturelle sur lcoulement laminaire deau, dans des tubes horizontaux section circulaire

ayant un flux thermique parital constant. Ils ont fait une tude quantitative par visualisation

laide de tube

en verre chauff lectriquement. Ces mesures combines avec dautre rsultats et corrlations

ont montr linfluence de la convection naturelle sur le nombre de Nusselt.

Morcos et Bergles [7] ont tudi exprimentalement leffet de la conduction

circonfrentielle de chaleur dans la paroi de la conduite sur le transfert thermique en

convection mixte. Il a considr deux tubes horizontaux de matriaux diffrents, lun en verre

et lautre en acier inoxydable. Le chauffage du fluide est assur par un fil lectrique enroul

sur la paroi extrieure et parcourue par un courant alternatif, lensemble tube-fils lectrique

est isol thermiquement avec la fibre de verre permettant ainsi dapproximer la condition du

flux uniforme. Leau et le glycol dthylne ont t utiliss comme fluides caloporteurs. Il a

t constat que le nombre de Nusselt(Nu) moyen ne dpend pas uniquement des nombres de

Grashof(Gr) et Prandtl(Pr) mais aussi des matriaux et de lpaisseur du conduit. Les effets de

la paroi et du nombre de Prandtl deviennent importants pour des taux de chauffage levs.

Choi et al. [8] simulent numriquement la convection mixte pour un coulement en

dveloppement dans un conduit horizontal soumis un flux de chaleur uniforme sur la moiti

inferieure de linterface et isol sur lautre moiti. Les calculs ont t effectus pour un

nombre de Prandtl Pr = 0,7 et 5, un nombre de Reynolds Re=250 et un nombre de Grashof Gr


8

entre 10(et 10). Ils se sont principalement intresss aux phnomnes de bifurcation pour des nombres de Grashof levs.

Hwang et Lai [9] ont prsent des rsultats dune tude numrique sur la convection

mixte lintrieur dun conduit cylindrique, horizontal isotherme pour de grands nombres de

Rayleigh ( Ra 105), avec un coulement laminaire, incompressible et sans dissipation

visqueuse ; les proprits thermophysiques sont constantes et lapproximation de

Boussinesque est utilise. Le nombre de Grashof(Gr) est grand mais par contre les nombres de

Prandtl et de Pclet(Pe) sont faibles ; les rsultats obtenus ont permit dtablir une corrlation

donnant le nombre de Nusselt(Nu) en fonction du nombre de Rayleigh, avec une erreur de

lordre 1.4% : Nu 0.626. Ra./(0 pour Ra 105

Shome et Jensen [10] conduisent une tude paramtrique pour une convection mixte

thermiquement dveloppe et une convection mixte en dveloppement simultane dans un

conduit soumis une condition du premier type. La viscosit est exprime suivant une loi log-

polynomial (T)=ln1ln 456 7 c9-a lnT+b pour les liquides, obtenue par un fitting dans le domaine : 12: ;< : 1250. Les constantes a, b et c sont calcules pour leau, glycol et de l'huile parathrme-NF pour diffrentes temprature dentre du fluide.les auteurs trouvent que

pour des nombres de Grashof : Gr=105, 106 et 107, les effets de la viscosit sont significatifs et

quils sont dautant plus prononcs sur le coefficient de frottement que sur le nombre de

Nusselt(Nu).

Une tude numrique de transfert chaleur en rgime de convection mixte est traite par

Orfi et al. [11] dun coulement deau laminaire et incompressible en dveloppement

simultan intrieur dun tuyau inclin par rapport lhorizontale et soumis un flux de

chaleur constant et uniforme sur sa circonfrence et sur sa longueur, Figure s 3a et 3b. Les

quations adimensionnelles de conservation crites sous une forme parabolique dans la

direction axiale et elliptique dans les directions radiale et circonfrentielle ont t rsolues par

la mthode des volumes finis. Les auteurs sintressent particulirement linfluence de

linclinaison du conduit et celle du nombre de Graschof (Gr) sur les champs thermique et

hydrodynamique ainsi que sur la distribution axiale des valeurs moyennes de lchange de

chaleur et de la contrainte de cisaillement. Les rsultats sont obtenus partir des situations ou


9

le tuyau est horizontale, vertical, inclin 30 et 60 et le chauffage parital impos

correspondant diffrents nombres de Grachof (104, 105 et 106) et un nombre de Reynolds

(Re=500) donnant un nombre de Richardson (Gr/Re2) compris entre 0.04 et 4. Le fluide

caloporteur est de leau (Pr=7). Ils concluent que pour un tuyau inclin 30 les courants

secondaires associs la convection naturelle naissent tout prs de lentre et se dveloppent

trs rapidement. Ils induisent des dformations considrables sur les profils de vitesse axiale.

Ils trouvent aussi que lcoulement en rgime de convection mixte se compose de trois

rgions le long de la conduite : une zone ou lcoulement est forc pur, puis une zone ou la

convection naturelle est importante et enfin une zone o la convection mixte stablit.

Finalement ils montrent une amlioration du transfert de chaleur moyen et une augmentation

de la contrainte de cisaillement paritale par rapport un coulement forc avec un

comportement asymptotique la sortie du tube.

Figure 3a. Configuration gomtrique du problme considr

. Figure 3b. Gomtrie du problme tudi.


10

Ouzzane et Galanis [12] ont tudi leffet de la conduction paritale et la rpartition

du flux thermique sur quatre configurations diffrentes : un flux thermique uniforme sur toute

la circonfrence ou seulement sur la moiti suprieure de celle-ci et un flux thermique

appliqu sur linterface ou sur sa moiti suprieure, lautre moiti est isol. Leurs objectif est

de dmontrer lexistence des limites et la possibilit de ngliger la conduction thermique dans

la paroi de la conduite notamment quand une condition de flux non uniforme est applique. Ils

ont utilis un maillage non uniforme dont la direction radiale et axiale plus serr dans les

rgions ou les variations de temprature et de vitesses sont relativement importantes lentre

de tube et linterface fluide-solide. Ils aboutissent a une conclusion, est que la modlisation

des coulements dans une conduite chauffe doit tre ralise avec beaucoup de soin en ce qui

concerne la condition du flux thermique. Bien quil soit facile de ngliger la conduction dans

la paroi en appliquant le flux thermique directement linterface fluide-solide, ceci peut

conduire des rsultats errons notamment quand le nombre de Grashof(Gr) est lev. Ces

erreurs se produisent tant au niveau des paramtres moyen(Nu) qu celui des valeurs locales

(distribution circonfrentielle de la temprature linterface fluide-solide, profil de vitesse

axiale et intensit de lcoulement secondaire).

Le travail dOuzzane [13] se rapporte au transfert thermique dans les coulements en

dveloppement lintrieur des conduits avec et sans ailette. Lauteur a tudi leffet de la

conduction paritale sur les volutions des champs thermique et hydrodynamique. Il ressort de

cette tude, que dans le cas ou les matriaux prsente une bonne conductivit thermique, la

temprature de linterface solide-fluide tendance suniformiser. Cependant un cart de

temprature relativement important a t observ entre les deux positions extrmes (le haut et

le bas), dans le cas dun matriau faible conductivit thermique. Dans le cas dun conduit

horizontal ou inclin, pour lamlioration de lchange thermique, lauteur recommande de

placer plus dailettes sur la partie suprieure de la section dans le cas de refroidissement et sur

la partie infrieure dans le cas du chauffage.

Sefik et Ali [14] prsentent une analyse dun problme transitoire de chaleur conjugu

de transfert de flux laminaire pour la rgion dentre thermique dun tube horizontal paroi

paisse et de considrer les effets de la conduction bidimensionnel et la conduction axiale du

liquide faible nombre de Pclet (Pe). Les flux ont t considrs avec une condition aux

limites de convection. Le problme est rsolu par une mthode numrique aux diffrences

finies. Ils ont utilis un tube dcoulement deux rgionale la temprature du fluide et (T0) et

uniforme, Figure 4. Pour laquelle la partie amont de la paroi externe est isol et en aval de la


11

rgion est confronte un changement radical de la temprature dun fluide ambiant. Le tube

reoit de la chaleur par convection du fluide ambiant avec un coefficient de transfert

thermique (h0), qui est constante le long de la surface du mur extrieur de la rgion en aval.

Les proprets physiques du fluide sont supposs tre constant et visqueux dissipation est

nglige. Le problme rsolu dpend de cinq paramtres, le rapport paisseur de la paroi, (d'),

le rapport de conductivit (kwf) mur fluide, le rapport de mur fluide de la diffusivit

thermique (wf), le nombre de Pclet (Pe) et le nombre de Biot(Bi). Les solutions sont faites

pour diffrentes combinaisons de ces paramtres: d'= 0.02, 0.1 et 0.3; kwf= 0.1, 1, 10,100, et

1000; wf= 0.1, 1, 10, 100 et 1000; Pe= 0.5, 1, 5, et 20 et Bi= 0.1, 1, 10, 100, 1000, et 10 000.

Figure 4. Reprsentation schmatique du problme et systme de coordonnes.

Maxime et al. [15] simulent numriquement linfluence de la convection mixte

dun coulement dair sur lchange de chaleur entre un flux dair en rgime laminaire et la

paroi dun tube cylindrique horizontal chauff de section constante dans lequel circule un flux

dair sous pression 3 bar. Les domaines de variation des nombres adimensionnels sont :

800 : Re : 2500 ; 7.34. 10 : Gr : 1.27. 10( et 1.65. 10 : Ri : 9.59. 10. Ce tube de 2,5 m de long a un diamtre interne de 79 mm et une paisseur de paroi de 5 mm, Figure 5a.

Lchangeur est chauff par un flux solaire concentr absorb par la paroi externe du tube. Ce

flux solaire concentr provient dun miroir cylindro-parabolique qui rflchit et concentre le

rayonnement solaire sur une bande focale large denviron 30 mm situe sur la partie basse du

tube, Figure 5b. Le flux de chauffe nest donc pas uniformment rparti sur la circonfrence

du tube. . Ils ont conclu que :

Dans les conditions de ltude ltablissement dun coulement convectif interne mixte

augmente considrablement lchange thermique entre le fluide et la paroi par rapport

un coulement en convection force.


12

Malgr des flux de chauffe levs qui ont permis la gnration de forts mouvements de

convection mixte, lchange thermique reste faible compar ceux gnrs par des

coulements turbulents, mixtes ou forcs.

Lchange thermique en convection mixte est meilleur dans les conditions de ltude

lorsque le flux de chaleur chang entre la paroi et le fluide est le plus uniformment

rparti sur le primtre du cylindre.

Dans les conditions tudies, la convection mixte permet de rduire lcart de

temprature entre le flux dair et la paroi grce laugmentation de lchange thermique. Ceci

permettra, dans les conditions relles de fonctionnement de lchangeur de limiter la

temprature de la paroi et donc contribuera rduire les pertes thermiques de cette dernire.

Figure 5a. Dimensions gomtriques de lchangeur

Figure 5b. Reprsentation schmatique du dispositif solaire


13

Chen et al. [16] sintressent un problme de transfert thermique conjugu dun

coulement Newtonien turbulent en rgime de convection force hydro dynamiquement

dvelopp et en dveloppement thermique dans un conduit circulaire dpaisseur finie et de

conductivit thermique constante (ks). A lentre du conduit la temprature du fluide est

constante, gale (Tin) et que l'air ambiant autour de la conduite est une temprature (T),

Figure 6. Comme le fluide passe travers le tuyau, une partie de sa chaleur est vacue par la

paroi par conduction, et est ensuite rejete dans l'environnement. Une mthode inverse est

utilise pour estimer le flux de chaleur inconnue sur la surface externe du tuyau circulaire en

procdant une rorganisation des formes matricielles des quations diffrentielles qui

rgissent le problme. Cette mthode a t satisfaisante en ncessitant seulement environ 9s

de temps CPU par calcul. Les temps CPU correspond un Intel Pentium 1 GHz, avec 512 MB

de RAM, fonctionnant sous le Power Station Microsoft Fortran 4.0 plate-forme. Les erreurs

de mesure de la temprature dans le fluide ne dpassent pas 30%.

Figure 6. Systme considr avec un profil des vitesses compltement dvelopp et une

temprature dentre constante. (q(x) est le flux sur la paroi externe)

Une tude numrique traite par Guimares et Menon [17] sur la convection mixte

dans un canal inclin rectangulaire inclin avec trois sources de chaleur sur la paroi infrieure

est effectue. Les positions verticales et horizontales sont galement considres. Les effets

sur le nombre de Nusselt(Nu) le long des sources de chaleur ainsi que les vecteurs de vitesse

sont vrifies pour les diffrents paramtres de contrles dans cette tude sont: Angle

dinclinaison (00, 450, 900), un nombre de Reynolds Re (1, 10, 50, 100,1000), et le nombre

de Grashof Gr (103, 104,105). Ils ont utilis la mthode des lments finis et la technique de

Petrov-Galerkin. La mthode des lments finis (FEM) et dun maillage structur avec iso

paramtrique rectangulaires lments quatre nuds dans lequel x=0.1 et y=0.05. Une

comparaison avec les rsultats exprimentaux et numrique est prsente. Un bon accord est

trouv. Ils montrent que linclinaison a une plus forte influence sur lcoulement et de


14

transfert de chaleur pour les faibles nombres de Reynolds. En gnral, les cas qui montrent les

distributions les plus bas de la temprature sur les modules sont ceux o les angles

dinclinaison: = 450 et =900.

Omara et Aboudi [18] ont tudi une approche numrique, par volumes finis, est

prsente pour prdire linfluence de la conduction axiale dans la paroi sur le transfert de

chaleur transitoire par convection mixte contrarie dans une conduite cylindrique verticale. La

surface externe de la conduite est soumise un flux de chaleur constant et uniforme, appliqu

sur une section centrale de longueur gale dix fois le diamtre hydraulique. A chaque

position axiale atteinte par la cellule, ils ont constat que la distribution radiale de temprature

prsente des maximums au voisinage de la paroi. Par ailleurs, la redistribution du flux de

chaleur parital dans la section de prchauffage acclre avec laugmentation des rapports

= (Re-Ri)/D (rapport de lpaisseur de la paroi au diamtre hydraulique) et K=kw/kf (rapport

des conductivits thermique). Leffet des forces exerces par lcoulement principal se traduit

par un ralentissement de ltendue de la cellule de recirculation.

Dans ce travail Kholai et al. [19] prsentent une tude numrique tridimensionnelle

sur la convection mixte dans un tube cylindrique inclin par rapport un plan horizontal

uniformment chauff par un flux de chaleur constant sur toute sa surface circonfrentielle.

Lcoulement, suppos laminaire pour un fluide Newtonien et incompressible, entre dans le

tube avec un profil de vitesse axial parabolique et une temprature uniforme. Les proprits

physiques du fluide sont constantes lexception de la densit dans le terme des forces de

volume, o lapproximation de Boussinesq est valable. Les quations diffrentielles

elliptiques rgissantes sont rsolues laide de la mthode des volumes finis dans un maillage

de 30C 70 C 28, uniforme dans les directions circonfrentielle et axial et non uniforme dans la direction radiale. Les rsultats sont obtenus pour un nombre de Reynolds (Re=500) et

diffrentes valeurs du nombre de Grashof sont considres: (104, 105 et 106) ainsi que

plusieurs angle dinclinaison (00, 300, 600 et 900). Ils concluent que le transfert de chaleur

samliore avec laugmentation du nombre de Grashof et la diminution de langle

dinclinaison du tube.

Voicu et al. [20]. ont fait une tude sur la simulation numrique de transfert de chaleur

par convection mixte pour un simple changeur de chaleur en parallle d'coulement vertical

compos de deux tubes en cuivre coaxial. Le fluide newtonien est une solution 50 de

glycol aqueuse avec une viscosit dpendant de la temprature et la densit. Alors que toutes


15

les autres proprits thermo physiques sont constantes, les champs dcoulement sont

modliss avec les formes elliptiques des quations de conservation. Les rsultats prsents

dans ce document ont t calculs pour une gomtrie fixe (d2/d1 = 1.25, d3/d1 = 2.5, d4/d1 =

2.75), ou des tempratures d'entre fix (313 K pour le cylindre intrieur et 283 K pour

l'espace annulaire), un seul numro de Reynolds (Re= 110) pour l'anneau et trois diffrents

nombres de Reynolds (Re=400, Re=880 et Re=1500) pour le cylindre. Sur la base de ces

valeurs les numros correspondants Grashof (Gr=7,76.105 et Gr=1,22.104) pour le fluide dans

le cylindre et l'anneau respectivement, tandis que un nombre de Richardson (Ri=1) pour

l'espace annulaire et trois nombres de Richardson (Ri=4.85, Ri=1 et Ri= 0.34) pour le

cylindre sont considrs. Donc les rsultats notamment la vitesse et profils de temprature

ainsi que l'volution axiale de la temprature en vrac, la temprature de la paroi, le nombre de

Nusselt(Nu) et les coefficients de frottement.

Hussein et Yasin [21] ont fait une tude exprimentale locale et moyenne de transfert

de chaleur par convection mixte pour le dveloppement de flux d'air laminaire circulaire dans

un cylindre inclin. Le dispositif exprimental est constitu de cylindre en aluminium de

section d'essai de 30 mm de diamtre intrieur et 900 mm de longueur chauffe (L/D=30) qui

est soumis a un flux de chaleur constante, le nombre de Reynolds(Re) varie de 400 1600, et

le flux de chaleur varie de 70 W/m2 400 W/m2 et les angles dinclinaison sont: 300, 450 et

600. Ils ont prsent la distribution de la temprature le long de surface de cylindre, la

distribution de Nuesselt(Nux) local et moyenne en fonction de la distance axiale Z+, ou

Pr.Re.D/xZ =+ . Ils ont conclu que :

la temprature de surface augmente si le flux de chaleur augmente pour le mme

nombre de Reynolds, et la temprature la surface pour les faibles nombres de

Reynolds est suprieure celui nombre de Reynolds lev pour le mme flux de

chaleur, cause de la domination de la convection libre.

La temprature de surface de la conduite est rduite lorsque lorientation passe de

cylindre cylindre horizontal lorsque la convection libre est dominante, mais la

temprature de surface augmente quand lorientation passe de cylindre inclin

cylindre horizontal lorsque la convection forc et dominante.

Pour le mme flux de chaleur et des nombres de Reynolds levs le Nux se dplace

vers la gauche de Nux prvu pour TPFC, parce que la convection force est

dominante, mais pour le mme flux de chaleur et le faible nombre de Reynolds, Nux


16

se dplace vers la droite de Nux prvu pour TPFC, parce que la convection naturelle

est dominante.

Pour le mme flux de chaleur et de haute nombre de Re, la valeur de Nux augmente

mesure que le cylindre se dplace dun angle dinclinaison vers un cylindre

horizontal ; la valeur minimal de Nux se produit pour 60, et la valeur la plus leve se produit pour le cas ou 00= (horizontal) lorsque la convection libre est le

facteur dominant sur le processus de transfert de chaleur.

des corrlations empiriques, ont t calcules afin d'valuer le nombre de Nusslt

moyen en termes de nombre de Rayleigh(Ra) sur la base des flux de chaleur d'entre

et des nombres de Reynolds bas sur le dbit avec une prcision globale de l'ordre de

E7%. FGHHHH 3.25I JKHHHH/JL HHHH) 0.187 Pour =30

FGHHHH 3.37I JKHHHH/JL HHHH) 0.152 Pour =45

FGHHHH 3.55I JKHHHH/JL HHHH) 0.134 Pour =60

Le rgime de convection mixte a t dlimite par le choix appropri de la gamme Re

nombre et la gamme de flux de chaleur. Les chiffres obtenus Richardson (Ri) est

varis de 0,31 7,125.

Cette tude est traite par Chang [22] Lobjectif de cette tude est danalyser

numriquement. les flux et les caractristiques de transfert de chaleur de la convection

naturelle le cas dun coulement de fluide Newtonien micropolaire pass un mince cylindre

vertical creux circulaire de longueur ( L ) ayant un rayon extrieure (ro) avec effet de

conduction de chaleur dans le mur est unidimensionnel. La temprature du fluide micropolaire

gale (T) tandis que la temprature de la surface intrieure du cylindre est maintenue une

temprature constante (T0) et que la variation de la densit, le liquide restant proprits

constantes, Figure 7. La formulation non linaire des quations qui rgissent et de leurs

conditions aux limites associes sont d'abord exprims dans des formes sans dimension par

une transformation locale non similaires. Ces quations sont ensuite rsolues en utilisant la

mthode spline cubique de colocalisation et le schma aux diffrences.par consquent, les

calculs numriques ont t ralises avec B=1C 10 4, =5.0 et un nombre de Grashof (Gr=1.25 10

5). Les autres paramtres ont t spcifis comme suit : micropolaire

paramtre() vari entre 0 et 10.0, et un nombre de Prandtl (Pr) vari entre 0.7 et 20.0, et aussi

un paramtre de transfert de chaleur conjugu (P) vari entre 0.0 et 0.2. Variation de la

distribution de la temprature interfaciale liquide-solide, le coefficient de frottement et le taux


17

de transfert de chaleur local arepres seule entit pour mettre en vidence l'influence de la

conduction mur. En outre, les rsultats actuels sont compars avec les rsultats prcdents

numriques pour la convection libre conjugue des fluides newtoniens longs d'un mince

cylindre creux vertical circulaire, et sont juges en bon accord.

Figure 7. Modle physique et systme de coordonnes.

Marui et al. [23] ont fait une tude sur leffet de la convection forte sur le processus

de refroidissement dun tube long ou mince. Ils considrant la conduction thermique dans

tube mince de longueur (L) et dpaisseur (). Le processus est gouvern par une quation de

convection-diffusion linaire. Le tube est entour par un milieu ayant une temprature donne

(G). Le fluide dans le tube est refroidi par le milieu environnement et le processus est rgi par

une loi linaire de type Newton. Par soucis de simplicit, ils montrent que la partie

hydrodynamique est connue et que la vitesse du fluide est de la forme Poiseuille

(unidirectionnel avec profil parabolique). Suivant le rapport entre lpaisseur du tube () et le

nombre de Reynolds (Re), les auteurs trouvent, via une analyse asymptotique rigoureuse,

trois modles diffrents. Pour Re grand, le fluide nest pas du tout refroidi, cest-ta-dire la

temprature extrieure G domine le processus. A la limite, la temprature du fluide dans tube

est gale G. les effets de la temprature h0 du fluide entrant dans le tube ne sont prsents que

dans une couche limite au voisinage de lentre du tube. Pour Re assez petit, le fluide est

parfaitement refroidi, cest--dire quil prend la temprature du milieu extrieur au tube donc

la convection est dominant. Les effets de la temprature extrieure G sont ngligeables et la

temprature limite est gale h0. (Le fluide scoule trop vite pour pouvoir tre refroidi).

Entre ce deux cas existe un cas critique o le modle macroscopique est donn par une EDO


18

o cohabitent les effets du milieu extrieur au tube ainsi que ceux de la temprature lentre

de celui-ci.

Un travail a t exprimentalement tudi par Hussein [24] sur les effets de

diffrentes gomtries plac lentre dun cylindre sur le flux dair laminaire combins de

transfert de chaleur par convection mixte. Le cylindre de chauffage a t un tube orient

horizontalement en aluminium d'un diamtre intrieur de 30 mm et un diamtre extrieur de

35 mm. Et 900 mm de longueur chauffe (L / D = 30). Avec des gomtries diffrentes :

calming section entrance, Bell month entrance and sharp edged entrance, l'entre et un flux

de chaleur constant sur la paroi. Dans le prsent travail, La majeure partie locale du nombre

de Prandtl (Pr) a t modifi, passant d'environ 0,68 0,72, le flux de chaleur a t vari de 78

W/m2 430 W/m2, qui donnent gamme nombre de Grashof (Gr) vari 3.12.105 1.72 .106, et

le dbit d'air a vari de 1.5.10-4 m3/s 6.0.10-4 m3/s, ce qui donne d'entre des nombres de

Reynolds (Re) d'environ 400 16, Les numros de Richardson (Ri) taient d'environ variait

de 0,13 10,8. Il a constat que :

Les valeurs de la temprature de surface de la conduite suivant la distance axiale ont t

plus leves pour les faibles nombre de Reynolds que pour les nombres de Reynolds

levs, en raison de la domination de la convection libre sur le processus de transfert de

chaleur.

Pour le mme nombre de Grashof, la temprature de surface pour le cas (calming section

entrance) avec L / D = 80, a t plus lev que d'autre gomtries d'entre, en raison de la

rsistance lcoulement, et la baisse du dbit massique.

Les valeurs de Nu seraient plus leves pour (Bell month entrance) que pour dautres

gomtries dentre en raison de diffrences dans la temprature moyenne et la densit de

lair. Une corrlation empirique: 0.368 a t calcule afin

d'valuer le nombre de Nusselt moyen en termes de Grashof, Prandtl et du nombre de

Reynolds, avec une prcision globale de lordre de10% .

Une tude numrique a t ralise par Dehkordi et Memari [25] sur le

comportement transitoire du transfert forc de chaleur par convection power-law fluides

dans la rgion dentre thermique des conduits horizontaux circulaires avec prise en compte

des effets de dissipation visqueuse, la conduction axiale, et les variations de viscosit avec la

temprature. Par consquence les auteurs examinent :1) le profil hydrodynamique laminaire

compltement dvelopp vitesse dune fluide power-law de travers un conduit ayant un


19

rayon (r0) circulaire de lamont vers laval, 2) le profil de temprature non uniforme dun

coulement de fluide power-law adiabatique tout au long de lamont dun conduit circulaire,

Figure 8. Aussi que lnergie instable ltat thermique et la dynamique des quations

linitial de certaines conditions aux limites ont t rsolues numriquement par la mthode

aux diffrences finies. La procdure numrique utilise dans le prsent travail a t valide

avec une solution analytique pour le cas particulier des fluides newtoniens. Les effets de

lindice de power-law, de la conduction axiale, le flux de chaleur du mur, et les variations de

la viscosit du fluide sur le nombre de Nusselt local et de la longueur dentre thermique ont

t tudis. En outre, Ils considrant un nombre de Pclet(Pe) suprieur 100 et les valeurs

locales du nombre Nusselt ltat dquilibre ont t corrles en fonction de la dimension de

la coordonne axiale et dindice de Power-Law.

Les coefficients dtermins de la corrlation ci-dessus en fonction de lindice de power-law

Pourrait tre donne par :

.

Figure 8. Schma du conduit et ses conditions aux limites.

A la fin de cette modeste synthse bibliographique on peut voir daprs la multitude

des situations traites, lintrt port par les chercheurs pour dvelopper beaucoup daspects

lis cette forme dcoulement et de transfert conjugu dans les conduits. Dans ce vaste

domaine nous nous intressons tudier linteraction du milieu solide et du milieu fluide sur

le transfert thermique et lcoulement. Cette interaction sera base sur leffet de la

conductivit thermique du matriau solide constituant la paroi sur le transfert thermique

conjugu linterface paroi-fluide. Pour cela des matriaux de conductivits thermiques

diffrentes seront tudies, en loccurrence lInconel, lAcier, le Tantale et lAluminium.

Chapitre 2 Modlisation mathmatique

20

Chapitre 2

Modlisation mathmatique

2.1 Introduction

Dans ce chapitre nous prsentons la gomtrie et le systme dquations de

conservation du problme, sous leur forme adimensionnelle rgissant les transferts thermo

convectifs au sein dun fluide dans un conduit cylindrique horizontal section circulaire

constante. Ces quations seront accompagns par les conditions initiales et aux limites

dynamiques et thermiques appropries.

La particularit de cette modlisation rside dans la thermo dpendance des proprits

physiques du fluide ainsi que la prise en compte simultane de deux milieux (solide et fluide)

dun point de vue transfert thermique et coulement de fluide permettant de classer ce

problme dans celle des problmes de transfert conjugu. Ainsi, ce sont les mmes quations

qui seront appliques simultanment aux domaines fluide et solide. Par ailleurs le milieu

solide sera le sige dune source de chaleur volumtrique uniforme travers toute lpaisseur

de la paroi du conduit.

2.2 La gomtrie du modle

La figure 2.1 illustre la gomtrie du problme tudi. Il sagit dun long conduit

horizontal de faible paisseur. Le conduit de longueur L=1m, dun diamtre intrieur

Di=0.96cm et extrieur Do=1cm possde une conductivit thermique (lpaisseur est de 0.02

cm). Ce conduit peut tre constitu en diffrents matriaux tels que lInconel (Inconel), le

Tantale (Tantalum), lAcier (Steel) et lAluminium (Aluminum) de conductivits thermiques

(KI=15 W/mK), (KT= 57.5W/mK), (KA= 48.5W/mK), (KAl= 237W/mK).

La gnration interne de la chaleur est uniformment produite par effet Joule dans

toute lpaisseur de la paroi le passage d'un courant lectrique d'intensit gale 40 Ampres.

Les rsistances lectriques des matriaux sont pour linconel (RI= 0.16 ), pour le tantale

(RT=2.13610-2 ), pour lacier (RA=1.78010-2 ) et laluminium (RAl=0.454710-2 ).


21

Le conduit est utilis pour le chauffage dun coulement laminaire, incompressible,

deau distille dont lcoulement lentre est de type Poiseuille, avec une vitesse moyenne

gale 1.7 10-2 m/s et une temprature constante de 15C.

La viscosit du fluide et la conductivit thermique sont des fonctions connues de la

temprature. La masse volumique est une fonction linaire de la temprature et

lapproximation de Boussinesq est applique tandis que les pertes thermiques entre la surface

extrieure du conduit et le milieu ambiant sont prises en compte.

Il sagit donc dun problme de transfert conjugu modlis par les quations de

conservation adimensionnelles avec leurs conditions aux limites :

Figure 2. 1: Geomtrie et dimensions: Di*=1, D0

*=1.04, L*=104.17.

2.3 Equations de conservation

Ecrites en termes de contraintes et de flux, les quations de conservation

adimensionnelles modlisantes traduisant les principes physiques qui rgissent ce problme

sont:

A 0t * =

==== **

Z**

r TVVV 0 (2.1)

Pour t* 0

Equation de conservation de la masse:

=+

+

*

*Z

*

**r

*** z

VV

r

1)Vr(

rr

10 (2.2)


22

Equation de conservation de quantit de mouvement radiale:

(2.3)

Equation de conservation de quantit de mouvement angulaire:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+

+

+

=++

+

+

*z*

**

*r

2**2*

0

*20

*0

*

**

**r**

Z***

***

r*

***

*

zr

1r

rr

1

Re

1Tsin

Re

Gr

P

r

1

r

VVVV

zVV

r

1VVr

rr

1

t

V

(2.4)

Equation de conservation de quantit de mouvement axiale:

(2.5)

Equation de conservation de lnergie:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+

+

=+

+

+

*z*

**

*r

***

00

***z*

***

**r

****

*

qz

qr

1qr

rr

1

PrRe

1

GTVz

TVr

1TVr

rr

1

t

T

(2.6)

avec ( )

=fluideledans0

solideledansPrReKG 00

*s*

Les composantes du tenseur des contraintes visqueuses sont

2*rr = *

*

*r

r

V

+

==

*r

**

*

****

r*r

V

r

1

r

V

rr

( ) ( ) ( )

+

+

+

+=

+

+

+

*rz**

**r*

*rr

***

0

*20

*0

*

**r

*z**

2**r

**

*r

*r

****

*r

zrr

1r

rr

1

Re

1

TcosRe

Gr

r

P)VV(

zr

V)VV(

r

1)VVr(

rr

1

t

V

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+

+

+=

+

+

+

*zz*

*z*

*rz

***

0

*

**z

*z*

*z

**

*z

*r

****

*z

zr

1r

rr

1

Re

1z

PVV

zVV

r

1VVr

rr

1

t

V


23

+

== *z

**

***

z*

z

V

r

1

z

V

*

*z**

zz z

V2

=

+

==*

*r

*

*z**

rz*rz z

V

r

V

(2.7)

Et les densits de flux thermiques sont:

*

***

r r

TKq

= ,

=

*

*

** T

r

Kq et

*

***

z z

TKq

=

(2.8)

Les nombres adimensionnels qui caractrisent ce problme de convection mixte sont

valus la temprature du fluide lentre. Cette dernire est la temprature de rfrence

utilise dans lvaluation des proprits physiques du fluide servant calculer les

groupements adimensionnels du problme :

Le nombre de Prandtl : 0

00 a

Pr

=

Le nombre de Reynolds bas sur le diamtre interne de la conduite 0

i00

DVRe

=

Le nombre de Grashof bas sur le flux parital (T) ( )

20

s2i

3i

20

3i*

0

K/DGDgTDgGr

=

=

Le nombre de Richardson : 20

*0

0 Re

GrRi = qui mesure, relativement, les deux modes de

convection, force et naturelle.

2.4 Les conditions aux limites:

A lentre du tube:

Domaine fluide :

0 r 0.5 et 0 2: 0TVV ***r === , )r41(2V2**

z = (2.9)

Domaine solide :

+

= **r

*

***

r

VV

r

12


24

0.5 0.5208 et 0 2 0TVVV **Z**

r ==== (2.10)

A la sortie du tube : .

Domaine fluide :

0 r 0.5 et 0 2 : 0)z

TK(

zz

V

z

V

z

V*

**

**

*z

*

*

*

*r =

=

=

=

(2.11)

Domaine solide:

0.5 r 0.5208 et 0 2 : 0)z

TK(

zVVV

*

**

**z

**r =

===

(2.12)

Sur laxe du conduit :

Les conditions dynamiques sont considres et les variables dpendantes sont

correctement interpoles au voisinage de laxe. Cette interpolation permet de lever la

singularit en ce point:

Pour 0 2 et 0 z 100 0r

T

rr

V

rr

V

rr

V

r *

*

**

*z

**

*

**

*r

*=

=

=

=

(2.13)

Sur la paroi extrieure, la condition de non-glissement est impose tandis que la

condition aux limites thermiques est de troisime type (condition de Fourier).

0.5208 pour 0 2 et 0 104.17

+=

=== *

0

icoro*

**s

*z

**r

TK

D)hh(

r

TK

0VVV

(2.14)

avec

)TT()TT(h 22ro ++= (2.15)

Lmissivit de la surface extrieure est 9.0= et 428 KWm1067.5 = est la

constante de Stphan-Boltzman. hc est donne par la corrlation de Churchill et Chu [ ]26 valable pour tous les nombres de Pr et de Rayleigh dans lintervalle 10 10! :


25

[ ] [ ]2airairco0 )))Pr/559.0(1/(Ra387.0(6.0K/DihNu 29816961 ++== (2.16)

Bien que cette corrlation exprime un Nu moyen, elle peut tre approximativement

utilise pour dterminer localement le nombre de Nusselt.

Les nombres locaux de Rayleigh et de Prandtl sont dfinis par:

[ ]airair

300 DT)z,,R(TgRa

= , airairairPr = (2.17)

Les proprits thermophysiques de lair sont values la temprature locale du film:

[ ] 2T)z,,R(TT 0film += (2.18)

Suivant la direction angulaire les conditions priodiques sont imposes pour lensemble

du domaine radial et axial.

Pour 0 r 0.5 et 0 z 100

=

=

=

=

)t,z,2,r(T)t,z,0,r(T

)t,z,2,r(V)t,z,0,r(V



******

****Z

****Z

********

****r

****r

(2.19)

Les nombres de Reynolds 2836.143Re0 = et Prandtl 0820.8Pr = sont calculs avec

des proprits physiques de leau values la temprature de rfrence ( KT 2880 = ,

lentre du tube).

Les fonctions )T( ** et )T(K ** ont t obtenues par un ajustement (fitting) prcis

des valeurs tabules cites dans Baehr and Stephan [ ]27 .Ces fonctions sont :

)11386.0T(exp78727.023087.0)T(*** += (2.20)

2**** T06002.1T80477.000111.1)T(K += (2.21)

Ces ajustements reprsentent de bonnes approximations dans le domaine des

tempratures relatif cette tude. La conductivit thermique adimensionnelle du solide est

finie et constante dans lintervalle des tempratures de cette tude:


26

Matriaux La conductivit thermique

SK )c.m.W(101

La conductivit thermique

adimensionnelle

0s**

S KK)T(K =

Inconel 15 25.45

Tantale 57.5 97.57

Acier 48.5 82.30

Aluminium 237 402.17

Avec 5893.0K 0 =101 c.m.W

2.5 Le nombre de Nusselt

A linterface solide-fluide, le nombre de Nusselt local est dfini par:

==0

*

K

Di)Z,(h)z,(Nu

=

)z(T)z,,5.0(T

)rTK(**

b**

5.0r

****

(2.22)

La temprature moyenne de mlange adimensionnelle dans une section )( ** zTm tant dfinie

par :

=

21

0

2

0

****

21

0

*******2

0

*

**m

ddrr)z,,r(V

ddrr)z,,r(T)z,,r(V

)z(T

(2.23)

Le nombre de Nusselt local axial et moyen circonfrentiel est:

=

=

=

d)z(T)z,,5.0(T

)rTK(

2

1d)z,(Nu

2

1)z(Nu

2

0**

m**

5.0r

***2

0

** *

(2.24)

Enfin, on peut calculer la valeur du nombre de Nusselt moyen pour toute linterface

solide fluide:


27

=

ddz)z,(Nu)17.104)(2(

1Nu **

2

0

17.104

0 (2.25)

2.6 Matriel utilis dans la simulation

Nos simulations numriques ont t accomplies grce aux excutions faites par un

code de calcul sur un micro ordinateur personnel Dual-Core QL-64 de frquence 2.10 GHz, et

de capacit de mmoire gale 4.00Go.

Chapitre3 Rsolution numrique

28

Chapitre 3

Rsolution numrique

3.1 Introduction

Les problmes physiques rencontrs dans notre quotidien (les problmes de

convection, les coulements dans les conduits, la modlisation de lcoulement proprits

physique constantes ou variables, linfluence de la conduction paritale,) sont dcrits par

des quations drives partielles fortement couples et non linaires. En gnral, ces

quations nadmettent pas de solutions analytiques sauf dans des cas trs simplifis. Cest

pourquoi un recours aux mthodes de rsolution numriques savre ncessaire.

Il existe plusieurs mthodes numriques :

- Mthode des diffrences finies

- Mthode des volumes finis

- Mthode des lments finis

- Mthodes spectrales,

Chaque mthode de rsolution numrique dun problme continu comporte une phase

de maillage et une phase de discrtisation.

La phase de maillage consiste diviser le domaine dtude en de petits volumes

appels volumes de contrle.

La phase de discrtisation transforme le problme continu en un problme discret. Les

quations ainsi que les conditions aux limites sont approches par des quations et

conditions discrtes.

3.2 Le maillage

Dans ce chapitre nous avons choisi la mthode de volumes finis pour solutionner le problme.

La mthode des volumes finis bien explique par Patankar [28] ont t parmi les premires

atteindre un stade de dveloppement avanc pour les calculs dcoulements stationnaires et

instationnaires.


29

Elles ont permis une prise en compte complte des effets de non linarit et de compressibilit

ainsi que les effets de viscosit laide des quations de Navier-Stokes.

Les mthodes aux volumes finis ont supplant les mthodes classiques bases sur les

diffrences finies dans le traitement des problmes complexes notamment tridimensionnels.

La technique comprend deux tapes importantes :

le maillage : il consiste diviser le domaine en plusieurs intervalles rguliers

appels volumes de contrle.

la discrtisation : lors de cette tape les quations sont intgres dans les

volumes de contrle.

Le domaine physique compris entre iDRr 0*0 , 20 et i

* DLz0 est

transform en un domaine discret constitu dun nombre fini de volumes de contrle

lmentaires cylindriques, contigus et sans discontinuit dinterface, de dimensions ** r,r

et *z suivant les directions respectives *r , et *z . A lintrieur et au centre de chaque

volume sera dfini un point (ou un nud) reprsentatif de lensemble du volume. Les figures

(3.2.1), (3.2.2) schmatisent successivement le domaine numrique et un volume de contrle

typique )zrrv( **** = dont le centre gomtrique est associ au nud P et limit par

ses six faces : les faces Nord et Sud dans la direction radiale dont leurs centres sont (n) et (s),

Est et Ouest dans la direction angulaire dont leurs centres sont (e) et (w) et Frontale et Dorsale

dans la direction axiale dont leurs centres sont (t) et (b). Chaque volume fini sera directement

entour de six autres volumes, dans la direction radiale deux volumes adjacents aux faces

Nord et Sud et contenant en leurs centres les nuds N et S, dans la direction angulaire deux

autres volumes adjacents aux faces Ouest et Est contenant en leurs centres les nuds W et E

et en fin dans la direction axiale les deux volumes adjacents aux faces Frontale et Dorsale

contenant en leurs centres les nuds T et B.

Dans le maillage les diffrentes dimensions sont importantes connaitre et elles

seront bien explicites dans les figures qui suivent et qui prsentent diffrents plans de vue du

volume considr. Les angles et les distances entre le nud P et les nuds voisins E, W, N,

S, T et B sont ed , wd , *ndr , sdr ,

*tdz et

*bdz , respectivement tandis que les angles et les

distances sparant les faces des nuds voisins sont respectivement *Nr , *Sr , E , W ,

*Tz et

*Bz .


30

Les fonctions scalaires, temprature et pression, sont stockes dans le nud P du

volume typique tandis que les fonctions vectorielles telles les composantes de vitesse, sont

situes au centre et perpendiculairement travers les six faces de chaque volume entourant P.

Ainsi, les quations de Navier-Stockes sont intgres dans des volumes finis dcals,

Patankar [28] tandis que les quations de continuit et de lnergie seront discrtises dans un

volume typique. Cette localisation faciale des composantes de vitesses entranera un dcalage

de leur volume correspondant par rapport au volume de contrle principal. Ce maillage dcal

pour les vitesses est ncessaire pour lobtention de solutions physiquement acceptables, [28].

Ainsi, cest travers la totalit de ce domaine numrique maill que seront intgres sur

chaque volume de contrle les quations modlisantes crites sous la forme conservative.

Figure 3.2.1 Le maillage du domaine physique en 3D.

Figure 3.2.2 Le volume typique.

3.3 Discrtisation des quations du modle

Parmi les objectifs recherchs dans les dveloppements des rsolutions numriques,

cest lamlioration des prcisions des rsultats numriques. Cest dans cette voie que nous

P

*z

*r

*r


31

avons fait le choix dune discrtisation spatiotemporelle du second ordre. On rappelle que les

quations de conservation peuvent tre crites sous sa forme gnrale conservative suivante :

( ) ( ) ( )

+

+

+

=+

+

+

Szzr

1

r

1

rr

rr

1

Vz

Vr

1Vr

rr

1

t

******

**

*z*

**

*r

****

(3.1)

O est la variable gnralise, S est le terme de source, est le coefficient de diffusion

(de quantit de mouvement ou de chaleur dans notre cas).

Lquation de discrtisation dune variable est obtenue par lintgration de son quation de

conservation dans son volume fini typique ou dcal selon le cas.

3.4 Dfinitions

3.4.1 La discrtisation temporelle au second ordre :

Elle est obtenue partir de manipulations mathmatiques dans les dveloppements en

sries de Taylor dune variable par rapport au temps :

( ) ( ) ( )4tt

3

33tt

2

22ttttt tO

t!3

t

t!2

t

t!1

t +

+=

++++ (3.2)

( ) ( ) ( ) ( )4tt

3

33tt

2

22tttttt tO

t!3

t2

t!2

t2

t!1

t2 +

+=

++++ (3.3)

Si lquation (3.3) est diminue de lquation (3.2) multiplie par 4, on peut montrer

que :

( )2ttttttt

tOt2

43

t+

+

++

(3.4)

Et donc, la discrtisation de la variation temporelle locale avec une erreur de

troncature dordre deux, ( )2t est :

t2

43

t

ttttt

+=

+

(3.5)

Aussi, si on multiplie lquation (3.2) par 2 et retranche du produit lquation (3.3), on

peut montrer que :


32

(3.6)

Et donc, une approximation, avec une erreur de troncature dordre deux, ( )2t dune variable tt + est :

ttttt 2 + = (3.7)

Cette discrtisation est celle dAdam-Bashforth.

3.4.2 La discrtisation spatiale au second ordre

Les discrtisations spatiales se feront selon le schma des diffrences centres qui est

un schma dune prcision du second ordre.

Considrons, dans la direction axiale, les dveloppements en srie de Taylor suivants :

...z!3

1

z!2

1

z!1

1

t3

33

t2

22

ttp +

+= (3.8)

...z!3

1

z!2

1

z!1

1

t3

33

t2

22

ttT +

+= (3.9)

En soustrayant lquation (3.9) de (3.8), on trouve :

( )2tt

3

3

t

PT

t

dzz24

1

dzz

(3.10)

Et donc,

t

PT

t dzz

=

, avec une erreur de troncature dordre ( )2tdz (3.11)

Dans tous les cas on utilise des discrtisations du second ordre : une discrtisation temporelle

avec une erreur de troncature de lordre ( )2t et une discrtisation spatiale avec une erreur de troncature de lordre de ( )2r , ( )2z et ( ) .2

La forme dEuler retarde du second ordre donne par lquation (3.5) sera applique

toutes les drives par rapport au temps tandis que la discrtisation dAdam-Bashforth,

quation (3.7) sera applique dune part tout les termes non linaires tels les termes

advectifs et dautre part tous les termes hybrides et les termes de force de pousse thermique

qui se retrouvent dans les diffrents sources. Enfin la discrtisation selon un schma

( )2ttttt t2 + +


33

totalement implicite au temps ( )tt + sera applique tous les termes de gradients purement diffusifs et ceux de pression. Quant la discrtisation dans lespace, il lui sera appliqu le

schma des diffrences centres qui est dordre deux (comme on la vu prcdemment).

3.5 Discrtisation de lquation de la quantit de mouvement radiale :

On rappelle que cette quation vue dans le chapitre 2, est exprime en termes de

vitesses et de contraintes visqueuses :

Les composantes du tenseur des contraintes visqueuses, normales et tangentielles, sont :

*

*r**

rr r

V2

= ,

+

==

*r

**

*

****

r*r

V

r

1

r

V

rr

+

==

*

*r

*

*z**

zr*rz z

V

r

V ,

+

= **r

*

*

***

r

VV

r

12

Chaque terme de lquation de conservation de la quantit de mouvement radiale est intgr

dans le volume de contrle dcal *p*n

*n zdrr suivant la direction radiale (voir les figures

(3.2.a) et (3.2.b)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+

+

+

+=

+

+

+

*rz**

**r*

*rr

***

0

*20

*0

*

*

*

2**r

*z*

*r

**

*r

*r

****

*r

zrr

1r

rr

1

Re

1

TcosRe

Gr

r

P

r

VVV

zVV

r

1VVr

rr

1

t

V


34

Figure 3.2(b) Identification et positionnement des vitesses dans la direction radiale dans le plan ( z,r )

P

( )1jz ( )jz ( )1jz +

1j + j

1i

i

1j

1i +

( )jdz

( )ir

( )idr

( )1idr

( )1jdz

b

s

n

t

( )k,j,iVz

( )k,1j,1iVz +

( )k,1j,iVz +

( )k,1j,iVz

( )k,j,iVr

( )k,j,1iVr

( )k,1j,iVr +

( )k,1j,iVr

( )k,j,1iVz +

,w

,P

( )k

( )kd ( )1kd

( )idr ( )ir

( )1k,j,iV ( )k,j,1iVr

( )k,j,iV ( )1k,j,iVr +

( )k,j,iVr

( )1k,j,1iV +

( )k,j,1iVr +

( )k,j,1iV + ,n

,s

,e

Figure 3.2(a) Identification et positionnement des vitesses dans la direction radiale dans le plan ( ,r )

( )1k,j,1iV


35

- Terme transitoire :

*pp

*n

*n*

tt*pr

t*pr

tt*pr***

tte

w

n

s

t

b*

*r dzddrr

t2

VV4V3dzddrr

t

V*******

+=

+

+

- Termes advectifs :

( ) ( ) ( )

[ ] p*ptt*srtt*sr*stt*nrtt*nr*nt*srt*sr*st*nrt*nr*n

**

n

s

e

w

n

s

t

b

tt*r

*r

**

t*r

*r

**

***

tte

w

n

s

t

b

*r

*r

***

z)VVrVVr()VVrVVr(2

dzddrVVrr

VVrr

2dzddrrVVrrr

1

************

*****

=

=

+

( )

[ ] p*n*ntt*brtt*bztt*trtt*tzt*brt*bzt*trt*tz

***

tte

w

n

s

t

b

*r

*z*

drr)VVVV()VVVV(2

dzddrrVVz

************

**

=

+

[ ] [ ]

*pp

*n

2tt*

wstt*

estt*

wntt*

en

*pp

*n

2t*

wst*es

t*wn

t*en

*pp

*n

2tt*

p

2t*p

***

*tte

w

n

s

t

b*

2*

zdr4

VVVV

zdr4

VVVV2

zdrVV2dzddrrr

V

********

****

***

*

+++

+++

=

=

+

( )

[ ] *p*ntt*wrtt*wtt*ertt*et*wrt*wt*ert*e

***

tte

w

n

s

t

b

*r

*

*

zdrVVVV()VVVV(2

dzddrrVVr

1

************

**

=

+


36

- Terme de pression :

( ) *pp*ntt*Ntt*P***tte

w

n

s

t

b*

*

zrPPdzddrrr

P ******

= ++

+

- Termes diffusifs :

Le terme ( )*rr*** rrr1

( )

( ) ( ) *pp*S

tt*Sr

tt*Pr*

stt*

st*

s*pp*

n

tt*pr

tt*Nr*

ntt*

nt*

n

*pp

n

s

tt

*

*rtt***

pp

n

s

tt

*

*rt**

**e

w

n

s

t

b

tt

*

*rtt**

***

e

w

n

s

t

b

tt

*

*rt**

*

***e

w

n

s

t

b

*rr

***

zdr

VVr22z

dr

VVr22

zr

Vr2z

r

Vr4

dzddrr

Vr2

rdzddr

r

Vr2

r2

dzddrrrrr

1

****

***

****

***

**

**

**

*

**

**

**

*

=

=

=

++

++

+

+

+

+

Avec

( )k,j,1i**N*n +== , ( )k,j,i**p*s ==

( )1irr *p*n += , ( )irr *p*s =

( )1irrdr **N*n +== , ( )1rrdr **p*s ==

( )k,j,1iVV *r*Nr += , ( )k,j,iVV *r*pr = et ( )k,j,1iVV *r*sr =


37

* le terme ( )*r*r1

( ) ( )

( )

( )

( ) *p*nw

tt*Wr

tt*Pr

*n

*tt*

wt*

w*p

*n

e

tt*Pr

tt*Er

*n

tt*e

t*e

*p

*n

tt*ws

tt*wn

*n

tt*w

tt*es

tt*en

*n

tt*e

t*es

t*en

*n

t*e

t*ws

t*wn

*n

t*w

*p

*n

*n

tt*es

tt*entt*

e*n

tt*ws

tt*wntt*

w

*n

t*ws

t*wnt*

w*n

t*es

t*ent*

e

*p

*n

e

w

tt*r

*

tt*t**p

*n

e

tt

*

*

*

*tt*

w

tt

*

*

*

*tt*

w

t

*

*

*

*t*

e

t

*

*

*

*t*

*p

*n

e

w

tt*r

*

tt*t**p

*n

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w

tt

*

*

*

*tt*

t

*

*

*

*t*

*p

*n

e

w

tt*r

*

tt

*

*

*

*tt**

p*n

e

w

tt*r

*

t

*

*

*

*t*

**e

w

n

s

t

b

tt*r

*

tt**tt*

**e

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s

t

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tt*r

*

t

*

*

*

*t*

**e

w

n

s

t

b

tt*r

***e

w

n

s

t

b

tt*r*

zdrd

VV

r

12zdr

d

VV

r

12

zdr

2

VV

r

1

2

VV

r

1

2

VV

r

1

2

VV

r

12

zdr

dr

VV

dr

VV

dr

VV

dr

VV2

zrdV

r

12zdr

r

V

r

V

r

V

r

V

r

V

r

V2

r

V

r

V2

zrdV

r

12zrd

r

V

r

V

r

V

r

V2

zrdV

r

1

r

V

r

Vzrd

V

r

1

r

V

r

V2

dzddrV

r

1

r

V

r

V

dz

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