MP – Cours de physique

Jean Le Hir, 3 septembre 2005 Page 1 sur 6

OPTIQUE ONDULATOIRE

Exercices portant sur le programme de deuxième année

1. Interférences à 2 ondes, interférences à 3 ondes

1. Dans le cas des fentes d’Young, fentes diffractantes parallèles distantes de a éclairées normalement par une onde plane monochromatique, on observe les interférences lumineuses sur un écran placé dans le plan focal d’une lentille convergente de distance focale image f ′ . Retrouver l’expression de l’éclairement lumineux E en un point M de l’écran et mettre cette expression sous la forme

( )2 0 1 cos= + ϕE �E� . Que représentent alors 0E� et ϕ ?

2. Reprenons l’expérience des fentes d’Young en considérant non plus seulement deux fentes parallèles, mais trois fentes parallèles équidistantes identiques, éclairées normalement par une onde plane monochromatique.

Dans le plan de l’obstacle diffractant, les ondes émises sont en phase en 1S , 2S et 3S . À l’infini dans

la direction θ, on les retrouve déphasées. On observe les interférences dans le plan focal d’une lentille convergente de distance focale image f ′ . Déterminer l’expression de l’éclairement lumineux 3E en un

point M de l’écran en introduisant 0E� et ϕ avec le même sens que pour la question 1.

3. Représenter sur un même graphe les fonctions ( )2 ϕE et ( )3 ϕE . Quelles analogies observe-t-on ?

Quelles différences observe-t-on entre les deux systèmes de franges d’interférences ?

Trois fentesdiffractantes Onde plane

monochromatique

Écran

x

distance f ′

( )M ,x y

y

θO2S

1S

écart a

3S

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2. Fentes d’Young

On réalise un dispositif de fentes d’Young de la façon suivante :

1. Représenter le cheminement des rayons lumineux arrivant en un point M de l’écran.

2. En admettant que les fentes diffractantes (aussi bien la fente source que les deux fentes parallèles) émettent de la lumière dans un secteur d’espace d’ouverture angulaire 2θ , déterminer la largeur du champ d’interférences sur l’écran. La distance entre les deux fentes parallèle sera notée a.

3. Déterminer l’interfrange y∆ sur l’écran.

4. La fente source initialement sur l’axe de symétrie du dispositif est décalée verticalement à une hauteur z.

5. La fente source est remplacée par un système de deux fentes sources parallèles, l’une à la cote z+ et l’autre à la cote z− . Comment les franges d’interférences sont-elles modifiées ?

6. La source de lumière est remplacée par une lampe à vapeur de sodium dont le spectre est constitué de deux raies de même intensité et de longueurs d’onde très proches (doublet D : 1 589,0 nmλ = et

2 589,6 nmλ = ). Comment les franges d’interférences sont-elles modifiées ?

Source

Fentesource

z

Source

Deux fentessources

z

Source

Filtremonochromateurλ

2

Lentille L

Fentesparallèles

Fentesource

Écran

1

Lentille L

1

focale f ′ 2

focale f ′

y z

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3. Interféromètre de Michelson

Un interféromètre de Michelson est éclairé par une lampe spectrale à vapeur de sodium que nous assimilerons, dans un premier temps, à une source monochromatique de longueur d’onde 589 nmλ = .

1. L’interféromètre est réglé « en coin d’air ». On observe sur un écran les franges d’interférences reproduites ci-contre. Cette image circulaire de diamètre 62 mmd ′ = est obtenue en interposant une lentille entre l’interféromètre et l’écran. Les miroirs de l’interféromètre ont pour diamètre 20 mmd = . La lentille a une distance focale image 1 0,20 mf ′= . Comment

doit-elle être disposée pour permettre l’observation d’une telle figure d’interférences aux contours bien nets ?

2. Représenter le cheminement d’un rayon incident perpendiculaire au miroir 1M qui fait

face à la source de lumière et identifier la différence de marche sur le schéma.

3. On mesure sur l’écran un interfrange E 8,0 mmi = . Quelle est la valeur de l’angle α que fait le miroir

1M avec l’image 2M ′ de l’autre miroir dans le dispositif séparateur ? Exprimer cet angle en radian et

en minute d’arc.

4. Dans un autre réglage de l’interféromètre on observe la figure d’interférences reproduite ci-contre à l’échelle 2/3 au foyer d’une autre lentille convergente de distance focale 2 1,0 mf ′ = .

Représenter, dans ce nouveau réglage de l’interféromètre de Michelson, le cheminement d’un rayon incliné d’un angle θ par rapport à la normale au miroir 1M et identifier la différence de

marche sur le schéma.

5. Mesurer les diamètres 2 kr des différents anneaux brillants. En

déduire la valeur de l’épaisseur de la lame d’air dans ce réglage de l’interféromètre et évaluer une incertitude de cette mesure.

6. Déterminer la partie fractionnaire de l’ordre au centre. Montrer qu’il est totalement impossible de prétendre mesurer de cette façon la partie entière de l’ordre au centre.

7. En réalité, la lampe à vapeur de sodium émet un spectre constitué de deux raies de longueurs d’ondes très proches 1λ et 2λ . De ce fait,

lorsqu’on augmente encore la différence de marche, la visibilité des interférences décroît progressivement au fur et à mesure que les anneaux sortent du centre et l’éclairement de l’écran devient quasiment uniforme, on parle alors « d’anti coïncidence ». Les anneaux réapparaissent lorsque l’on continue à augmenter la différence de marche, puis disparaissent à nouveau, etc. Entre la première et la deuxième photographie la différence de marche a été doublée et l’on a observé cinq fois le phénomène d’anti coïncidence. En déduire l’ordre de grandeur de la différence

2 1∆λ = λ − λ .

d ′

i

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8. Une mesure plus fine des éclairements lors des anti coïncidences fait apparaître que les franges d’interférence existent toujours, l’éclairement des anneaux brillants étant alors seulement deux fois plus important que l’éclairement des anneaux sombres. Montrer que cela peut s’interpréter en considérant que les deux raies du doublet D du sodium n’ont pas la même intensité. Peut-on en déduire le rapport de l’intensité des deux raies ? Peut-on savoir laquelle est la plus intense ?

4. Interférométrie stellaire, couplage optique de « Antu » et « Melipal »

« Antu » (Le Soleil) et « Melipal » (La croix du Sud) sont deux des quatre télescopes principaux de huit mètres de diamètre constituant, couplés optiquement à quatre télescopes auxiliaires, le VLT (very large telescope) européen situé à Paranal au Chili.

Les télescopes pointent vers une même étoile. Par un jeu de miroirs assez complexe mais tout à fait identique pour les deux voies, les faisceaux lumineux sont aiguillés chacun dans une ligne à retard avant d’être réunis pour interférer en F où l’on observe, dans l’image de l’étoile, d’éventuelles franges d’interférences. Un filtrage monochromateur de longueur λ est réalisé en amont de l’interféromètre.

1. S’agit-il d’un dispositif procédant par division du front d’onde ou par division d’amplitude ? Sur le capteur CCD placé en F, les interférences sont-elles réelles ou virtuelles ?

2. Lorsque les télescopes principaux pointent vers le Zénith et que les miroirs 1M ′ et 2M ′ des lignes

à retard sont chacun dans leur position 0, la différence de marche est nulle. Comment peut-on s’en rendre compte ?

3. Les miroirs 1M ′ et 2M ′ des lignes à retard

peuvent se déplacer horizontalement sur deux rails parallèles. Qu’observe-t-on en F lors du déplacement infime de l’un des deux télescopes auxiliaires ? Exprimer la différence de marche en fonction des positions 1x et 2x de 1M ′ et 2M ′ .

Est-il possible de se positionner à l’ordre zéro ?

4. Pour différentes valeurs de la distance d entre les deux télescopes auxiliaires, l’on observe tantôt des franges d’interférences très contrastées, tantôt des franges d’interférences peu contrastées, voire pas d’interférences du tout.

1M2M

H

1A2A

1B

2B

1E

2E

F

2x

1M′

2M ′ 1 0x =

0

d

Antu MelipalKueyenYepun

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Ce phénomène est dû au fait que l’étoile n’est pas une source lumineuse parfaitement cohérente du point de vue spatial. Que signifie cette expression ?

4. En déduire une méthode expérimentale de mesure du diamètre des étoiles.

5. Diffraction des fentes d’Young

Un faisceau LASER, de longueur d’onde 650 nmλ = , est intercepté par un obstacle diffractant constitué de deux fentes identiques parallèles. Derrière l’obstacle, le faisceau se trouve élargi horizontalement et l’intensité lumineuse ainsi dispersée est mesurée à une distance 2,00 mD = de l’obstacle à l’aide d’une barrette de capteurs CCD.

La répartition de lumière sur la barrette de capteurs CCD est reproduite ci-dessous. On observe principalement sept franges d’interférences et l’on peut ainsi mesurer la largeur de 20,4 mm correspondant à six interfranges.

1. On dit que la lumière émise par le LASER est « cohérente ». Que signifie cette expression ?

2. Dans l’expérience décrite, comment sont disposées les fentes diffractantes ?

3. Déduire de l’expérience la valeur de la distance a entre les fentes.

4. Expliquer de quelle façon, en observant la figure de diffraction de plus près, il est possible d’en déduire la largeur b des fentes.

5. Calculer numériquement b.

2,00 mD =

LASER 'fentes d Young Capteur CCD

I

6 20,4 mmi =

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6. Réseau de diffraction

Soit un réseau optique comportant 500n = traits par millimètre. Les traits étant verticaux, un faisceau parallèle de lumière spatialement cohérent arrive sur le réseau sous une incidence i par rapport à la normale.

On observe dans la direction caractérisée par l’angle i′ par rapport à la normale au réseau un maximum de lumière correspondant à l’ordre k. Tous les angles sont algébriques et positifs dans le sens trigonométrique direct.

1. On choisit l’incidence 0i de sorte que 0 0i′ =

pour 1k = et 0 600 nmλ = . On place orthogonalement au faisceau émergent une lentille convergente

de distance focale image 0,8 mf ′ = , dans le plan focal image de laquelle se trouve un écran. Quelle

est la valeur numérique de l’incidence 0i utilisée ? Faire un schéma représentant le réseau, la lentille

et le trajet d’un pinceau lumineux.

On remplace la source monochromatique par une source de lumière blanche en conservant le montage précédent. [ ]400 nm, 750 nmλ ∈ , l’incidence est 0i .

2. On note x la distance algébrique séparant le foyer image principal, de la trace laissée par le faisceau de longueur d’onde λ. Calculer numériquement x pour les extrémités du spectre dans l’ordre 1.

3. Comment placer la lentille pour observer le spectre d’ordre 0 ? Qu’observe-t-on dans le plan focal de celle-ci ?

4. Combien d’ordres complets peut-on observer en théorie ? Y a-t-il une limitation pratique à l’observation de tous les ordres ?

On observe dans la direction caractérisée par l’angle i′ par rapport à la normale au réseau un maximum de lumière correspondant à l’ordre k. Le faisceau incident est dévié d’un angle D i i′= − (tous les angles sont algébriques et positifs dans le sens trigonométrique direct).

5. Montrer que lorsque l’incidence varie, la déviation passe par un minimum dans un ordre k donné. Exprimer le minimum de déviation en fonction de k, n et λ.

6. Représenter sur un schéma les positions relatives du réseau, des rayons incidents et émergents correspondant au cas du minimum de déviation.

7. Pour l’ordre 2k = , on repère pour une radiation 1λ les deux positions symétriques correspondant au

minimum de déviation. L’écart angulaire entre ces deux positions est : 68 30'α = ° . En déduire la

longueur d’onde 1λ .

8. La source est en fait une lampe à sodium comportant deux radiations 1λ et 2λ , avec 2 1λ = λ + ∆λ et

1∆λ λ≪ . On place une lentille convergente de distance focale image 0,8 mf ′ = en sortie de réseau.

L’axe de la lentille est confondu avec le rayon correspondant au minimum de déviation de 1λ . La

trace de la radiation 2λ sur un écran placé dans le plan focal image de la lentille est décalée d’une

distance de 0,5 mmx = . En déduire 2 1λ − λ et calculer 2λ .