P r o j e c t i o n , c o s i n u s et t r i g o n o m é t r i e .

Lumière et ombre

Projeter

Effet d’une projection

Quadrillages

Milieux Et triangles

Projection orthogonale

Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Projection, cosinus et trigonométrie.

Une initiation pour petits et grands.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Lumière et ombreComment connaître la hauteur de cette pyramide dont le sommet est inaccessible?

Le soleil darde ces rayons, et fait apparaître une ombre au sol

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Un bâton planté dans le solFait apparaître aussi une ombre

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

On accepte l’idée que les rayons du soleil arrivent parallèles sur Terre

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Les ombres sont proportionnelles à l’objet qui forme cette ombre.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

On peut mesurer les longueurs du bâton et de son ombre. Et connaître ainsi le rapport de l’un à l’autre.Pour l’appliquer ensuite à la pyramide.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Par exemple si un bâton de 1 mètre donne une ombre de 1,50 mètre, cela signifie que l’ombre est une fois et demi celle du bâton. Et donc, l’ombre de la pyramide est une fois et demi celle de la pyramide.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Projeter

Le sol

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Différents points projettent leur ombre sur le sol.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Projeter, c’est envoyer les points sur une droite en suivant une direction.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

On peut modifier la direction de cette projection.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

On peut modifier la droite sur laquelle on projette

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Pour projeter,il faut

Une droite sur laquelle on projette,

Une direction pour la

projection.

(D)()

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

A

(D)()

Le projeté d’un point A, est le point d’intersection de la parallèle à () passant par A et de la droite

(D).

A’

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

A

(D)()

A’

A’ est le projeté de A sur (D) parallèlement à ().

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

A

(D)()

A’ B

C

E

B’C’

E’

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Effet d’une projection sur les formes

(D)()

AB

Un segment [AB]

A’

On projette A en A ’.

B’

On projette B en B ’.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

(D)()

AB

A’

B’

MUn point de [AB]

M ’

M est projeté en M ’ entre A ’ et B ’.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

(D)()

AB

A’

B’

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

(D)()

AB

A’

B’

Le projeté du segment [AB] est le segment [A’B’]

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

(D)()A’

B’

AB

C

Un triangle

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

(D)()A’

B’

AB

C

L ’ensemble du triangle est projeté sur le segment [A’B’]

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

(D)()

Un disque

A’

On projette des points du cercle.

B’

L ’ensemble du disque est projeté sur le segment [A’B’]

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

(D)()A’

B’

En général, on obtient toujours un segment.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Effet d’une projection sur les longueurs

La longueur est conservée.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

La longueur est agrandie.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

La longueur est diminuée.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Effet d’une projection sur les longueurs

En général, la projection modifie les longueurs.

Elle ne conserve les longueurs que lorsque celles-ci sont parallèles à la droite sur laquelle on projette.Elle augmente ou diminue les autres.

De même, elle modifie la nature des figures géométriques.Elle n’a donc que peu de rapport avec les transformations géométriques (symétries, translations, rotations)

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Projection et milieu.On projette un segment.On projette son milieu.

On obtient le milieu du projeté.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Projection et milieu

Donc la projection conserve le milieu.C’est à dire que le

projeté du milieu d’un segment est le milieu du segment projeté.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Milieu sur un quadrillage.6 carreaux

8 carreaux

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

3 carreaux3 carreaux

On obtient ici le milieu

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

On obtient ici le milieu

4 carreaux

4 carreaux

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Projection de longueurs égales.

1234567

On obtient 7 parties de longueurs égales.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

On obtient 7 parties, de

longueurs égales, limitées par les

bandes horizontales.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

On obtient 5 parties, de

longueurs égales, limitées par des

bandes verticales de deux carreaux

de largeur.

1 2 3 4 5

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

On veut partager un segment en 5 parties égales.

Mais, oh quel dommage!

9 carreaux

8 carreaux

Ce segment n’est pas directement

partageable en cinq parties ….

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Alors, comment qu’on va faire?.On reproduit le segment en quession.Mais de manière asqui soit placé juste comme ifau pour pouvoir en couper cinq parties égales.

12345

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

12345

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Milieux dans le triangle

Elle coupe le troisième côté en son milieu

On trace la parallèleau deuxième côté.

Par le milieu d’un côté

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Si on trace une droite qui passe par les milieux de deux côtés

Elle se trouve être parallèle au troisième côté.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

//

//

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Les milieux font apparaître quatre triangles superposables.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Les milieux font apparaître trois parallélogrammes.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Donc le segment des milieux est deux fois moins long que le côté auquel il est parallèle.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Projection orthogonaleDans une projection orthogonale, la direction de la projection est perpendiculaire à la droite sur laquelle on projette.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Projection orthogonaleSur une droite

On place des pointsA

BC

ED

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

On les projette orthogonalement

A

BC

ED

A’ B’ C’ D’ E’

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

A

BC

ED

A’ B’ C’ D’ E’

Les segments projetés sont plus courts que les segments initiaux. Donc la projection orthogonale réduit les

longueurs.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

A

BC

ED

A’ B’ C’ D’ E’

Comment s’opère cette réduction?

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Comparer les longueurs

A

BC

ED

A’ B’ C’ D’ E’

On peut mesurer les longueurs et les comparer par différence.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

A

BC

ED

A’ B’ C’ D’ E’

Segment initialSegment projeté

ABA’B’

BCB’C’

CDC’D’

DED’E’

6,3 5,6

2,72,4

4,13,6

2,11,9

Différence 0,7 0,3 0,5 0,2

6,3 cm

5,6 cm

2,7 cm4,1 cm

2,1 cm2,4 cm 3,6 cm 1,9

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

A

BC

ED

A’ B’ C’ D’ E’


ABA’B’

BCB’C’

CDC’D’

DED’E’

6,3 5,6

2,72,4

4,13,6

2,11,9

Différence 0,7 0,3 0,5 0,2

6,3 cm

5,6 cm

2,7 cm4,1 cm

2,1 cm2,4 cm 3,6 cm 1,9

Cette différence dépend donc de la longueur initiale.

On va donc chercher à les comparer par leur rapport.

C ’est à dire par quel nombre elles ont été multipliées au

cours de la projection.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

A

BC

ED

A’ B’ C’ D’ E’


ABA’B’

BCB’C’

CDC’D’

DED’E’

6,3 5,6

2,72,4

4,13,6

2,11,9

Le segment initial est multiplié par 0,89 0,89 0,88 0,90

6,3 cm

5,6 cm

2,7 cm4,1 cm

2,1 cm2,4 cm 3,6 cm 1,9

Ce rapport prend des valeurs qui sont assez proches. Les mesures et les calculs

arrondis peuvent justifier ces petits écarts.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

A

BC

ED

A’ B’ C’ D’ E’

6,3 cm

5,6 cm

2,7 cm4,1 cm

2,1 cm2,4 cm 3,6 cm 1,9

En moyenne, au cours de la projection, les longueurs sont multipliées par 0,89

0,89

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

A

E

A’ E’

10 cm

8,9 cm

On peut vérifier que toute autre longueur sur la même droite est multipliée aussi par 0,89 au cours de la projection orthogonale.

0,89

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

A

E

A’ E’

11,5 cm

10,24 cm

Inversement si on connaît la longueur du projeté, il suffit de la diviser par 0,89 pour retrouver la longueur du segment initial.

0,89

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Cosinus d’un angleEn résumé : au cours de la projection orthogonale,

0,89

Les longueurs sont multipliées par un coefficient indépendant de la longueur initiale .C’est ce nombre que l’on appelle le Cosinus de l ’angle formé par les deux droites.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Variations du cosinus avec l’angle

12 cm

11,5 cm16°

Pour un angle de16°

0,96=11,512

Le Cosinus est égal à :

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées


0,90=10,812


12 cm

10,8 cm26°

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées


0,79=9,512


12 cm

38° 9,5 cm

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées


0,68=8,112


12 cm

48° 8,1 cm

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées


0,52=6,212


12 cm

59°

6,2 cm

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées


0,33=412


12 cm

71°

4 cm

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées


0,15=1,812


12 c

m

81°

1,8 cm

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Variations du cosinus avec l’angle

Quand l’angle augmente de 0° à 90°,

le Cosinus diminue de 1 à 0.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Dans un triangle rectangle

a

h

Pour un angle aiguLe Cosinus fait intervenirles deux côtés de l’angle.Le côté a que l’on dit adjacent.Et h l’hypoténuse

a = h Cos

Cosah

=

Cos =

ah

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

b = h Cos

Cosbh

=

Cos =

bh

bh

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Résolution du triangle rectangle.

Résoudre un triangleRésoudre un triangle, c’est calculer les côtés et les angles à partir du minimum de données.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

h

Si on connaît l’hypoténuse et un angle Si on connaît l’hypoténuse et un angle aiguaigu

a

b

On peut calculer le côté a

Puis on peut calculer l’autre angle aigu

Puis, on peut calculer le côté b

a = h Cos

= 90° -

b = h Cos Cos Cos

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

12

Par exemplePar exemple

a

b

a = h Cos = 12 Cos62

= 90 - 62 = 28°b = h Cos

Cos 62 Cos

28

62°

12 0,469 5,6 cm

= 12 Cos 28 12 0,883 10,6 cm

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Si on connaît un côté et un angle aiguSi on connaît un côté et un angle aigu

8,577°

On commence par calculer le second angle aigu

90 - 77 = 13°On peut maintenant calculer l’hypoténuse

h13°

h = 8,5 Cos 13

8,5 0,974 8,7 cmConnaissant l’hypoténuse, on peut calculer le troisième côté.

a

a 8,7 Cos 77 8,7 0,225

1,9 cm

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Si on connaît deux Si on connaît deux côtéscôtés

10,3

9,7

On peut calculer l’hypoténuse en utilisant la relation de Pythagore

h

h = 10,3² + 9,7² = 200,18 h 14,1 cm

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Si on connaît deux Si on connaît deux côtéscôtés

10,3

9,7

On peut calculer l’hypoténuse en utilisant la relation de Pythagoreh = 10,3² + 9,7² = 200,18 h 14,1 cm

14,1On peut maintenant calculer l’un des angles aigus par son CosinusCos = 9,7 14,1

0,688

Avec une machine, on trouve :

47°Et enfin l’autre angle aigu : 90 - 47 43°

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Quelques valeurs particulières

Si on partage un carré par une diagonale.

On obtient un triangle rectangle isocèle.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

CoordonnéesLes deux

angles aigus mesurent 45°

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Les deux côtés de l’angle droit sont égaux. On appelle a cette longueur.

Par la relation de Pythagore, on calcule la longueur de l’hypoténuse.On obtient 2 .

a

2 . aa

a

Cos45 =

a2 .

aEt après simplification par a,

Cos45 =

12

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Si on partage un triangle équilatéral par un axe de

symétrieOn obtient un triangle rectangle dont les

angles aigus mesurent 30° et 60°.

30°

60°

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Si le côté du triangle équilatéral mesure a.

Le triangle rectangle a deux côtés qui

mesurent a et a/2.30°

60°

a

a/2

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Par la relation de Pythagore, on calcule le troisième côtéOn obtient30°

60°

a

a/2

3 . a2

Cos30 = a

3 . a2 = 3

2

Cos60 = a

a /2= 1

2

3 .a2

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Quelques valeurs particulières

Angle

Cos

0° 30° 45° 60° 90°

1 032

22

12

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Angles complémentairesDans un triangle rectangle

Les deux angles aigus sont complémentairesC ’est à dire que leur somme est égale à 90°.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Si l’un des deux angles mesure

L’autre mesure

12°

78°

Leur cos est égal à

0,978

0,208

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées


L’autre mesure

18°

72°

0,951

0,309


Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées


L’autre mesure

24°

66°

0,914

0,407


Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées


L’autre mesure

35°

55°

0,819

0,574


Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées


L’autre mesure

45°

45°

0,707

0,707


Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées


L’autre mesure

59°

31°

0,515

0,857


Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées


L’autre mesure

78°

12°

0,208

0,978


Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées


L’autre mesure

87°

3°

0,052

0,999


Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées 0,0520,2080,5150,7070,9990,9780,8570,707

0,8190,574

0,9140,407

0,9780,208

coscos

Pour deux angles complémentaires, les Cosinus varient en sens opposé.Quand l’un augmente, l’autre diminue

On peut chercher quelle relation lie ces deux valeurs.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

a

bh

bCos = h

Cos = ah

b²Cos² = h²

Cos² =

a²h²

donc

Cos² +

Cos² =

b²h²

a²h²+ = a² + b²

h² = h²h² =

1Par la relation de Pythagore, a²+ b² = h²

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Repères et coordonnées.

A

Quand on place un point, pour pouvoir déterminer sa position, on se réfère à deux axes.

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

A

Un axe horizontal

Un axe vertical

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

A

Chacun de ces axes est orienté,

et gradué

+1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

+8

+9

+10

-1-2-3-4-5-6

+1

+2

+3

+4

+5

+6

-1-2-3-4-5

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

Les deux axes se coupent au point O qui est l’origine du repère.

A

+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10-1-2-3-4-5-6

+1

+2

+3

+4

+5

+6

-1

-2

-3

-4

-5

O

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

A

+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10-1-2-3-4-5-6

+1

+2

+3

+4

+5

+6

-1

-2

-3

-4

-5

O

On projette A sur l’axe horizontal.Puis on projette A sur l’axe vertical.

Abscisse de A

Ordonnée de A

Lumière et ombre

Projeter


Quadrillages



Cosinus

Triangle rectangle

Coordonnées

A

+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10-1-2-3-4-5-6

+1

+2

+3

+4

+5

+6

-1

-2

-3

-4

-5

Le couple (+5 ; +2,2) est le couple des coordonnées de A.

O+5

+2,2

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