Outil d’accompagnement des apprentissages mathématiques CM1 - Circonscription de...

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Outil d’accompagnement des apprentissages mathématiques CM1 Livret Enseignant

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Outil d’accompagnement des apprentissages mathématiques

CM1

Livret Enseignant

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Répartitiondesitemsdemathématiquesparrapportauxattendusdefindecycle Exe items Durée

Nommer,lire,écrire,

représenterdesnombresentiers

1 Écriredesnombresentiersjusqu’à10000

• 1Écrirelesnombresà3chiffresjusqu’à1000• 2Écrirelesnombresà3chiffresjusqu’à10000• 3Gérerlaplacedu0dansunnombrejusqu’à10000

3min

6Associerunnombreentenduàl’oralàsonécriturechiffrée

• 14Reconnaîtrelesnombresinférieursà10000 2min

11

Associerunnombreécritenchiffresavecsesdifférentesreprésentations

• 26Associerunnombreécritenchiffresàunereprésentationanalogique

• 27Associerunnombreécritenchiffresàunereprésentationadditive• 28Associerunnombreécritenchiffresàunereprésentationenunités

denumération(unités,dizainesetcentaines)

7min

3Associerunnombreentieràunepositionsurunedemi-droitegraduée

• 5Associerlenombre217àsaplacesurladroitegraduée• 6Associerlesnombres180àsaplacesurladroitegraduée• 7Retrouverlepointd’originedeladroitegraduée

5min

Comprendreetutiliserdes

nombresentierspourdénombrer,

ordonner,repérer,comparer.

9

Comparer,ranger,encadrer,ordonner,intercalerdesnombresentiersjusqu’à10000

• 20Retrouverlepremiernombred’unesuitedenombres• 21Intercalerunnombreentre2nombres• 22Comparer,ranger,encadrer,ordonneretintercalerdesnombres

entre2nombres

3min

5Dénombrer,constitueretcomparerdescollectionsjusqu’à1000

• 12et13Dénombrerunecollection 3min

Résoudredesproblèmesenutilisantdes

nombresentiersetlecalcul

12Résoudredesproblèmesissusdesituationsdelaviequotidienne:problèmesrelevantdesstructuresadditives

• 29Résoudreunproblèmeluà2étapes 7min

2 • 4Résoudreunproblèmeentenduà2étapes 2min

10Exploiterdesdonnéesnumériquespourrépondreàdesquestions

• 23Répondreàdesquestions• 24Interpréterdesréponses• 25Exploiterdesdonnéesenutilisantdescalculs

7min

Calculeravecdesnombresentiers

4

Mémoriserdesfaitsnumériquesetdesprocéduressurlesnombres

• 8Mémoriserdesproduits• 9Connaitrelescomplémentsàladizaineetcentainesupérieures• 10Calculerlesdoublesdenombresinférieursà100• 11Calculerdesmoitiés(nombresinférieursà100)

3min

13 Calculerenutilisantdesécrituresenligneavecdesnombresinférieursà1000

• 30Retrouverlesnombrescibles 12min

7• 15Rechercherunajoutàunnombreà2chiffres• 16Additionnerplusieursnombresà2chiffres• 17Soustraireunnombreà2chiffresàunnombreà3chiffres

8min

8Vérifierlavraisemblanced’unrésultatenestimantsonordredegrandeur

• 18Estimerunesommeouunedifférence• 19Estimerunquotient

3min

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SEQUENCE1

Exercice1(3minutes)

Attendudefindecycle Nommer,lire,écrire,représenterdesnombresentiers.ConnaissancesetCompétencesassociées

Ecriredesnombresentiers:Passerd’unereprésentationàuneautre,enparticulierassocierlesnomsdesnombresàleursécritureschiffrées

Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:

Ø écriredanslacasedemandée,Ø écrirelenombreenchiffres,Ø lenombreécritcorrespondaunombreentendu.

PASSATIONDELACONSIGNE

Consigne:Vousallezécriredanschaquecaselenombrequejevaisvousdireenchiffres.

Ø danslacaseétoile(lafairepointer),écrivez498;Ø danslacasesoleil(lafairepointer),écrivez276;Ø danslacaseavion(lafairepointer),écrivez2132;Ø danslacaseflocon(lafairepointer),écrivez5864;Ø danslacasegoutte(lafairepointer),écrivez6085;Ø danslacasecrayon(lafairepointer),écrivez8007;

Précisionsurlacorrection

Certainsélèvesdefindecycle2écriventencorecertainschiffresenmiroir:onaccepteradonccetteécriture,carl’enjeudecetteévaluationportesurlatranscriptiond’unnombreentenduenécriturechiffréeetnonsurlaformeécritedecenombre.Ainsi,onacceptera

21ε2pour2132,maisonrefusera20ε2pour2132.

CODAGEItems1à3

Item1:498et276Code1:lesnombres498et276sontbienécrits.Code9:autresréponses.Code0:pasderéponse.

Item2:2132et5864Code1:lesnombres2132et5864sontbienécrits.Code9:autresréponses.Code0:pasderéponse.

Item3:6085et8007Code1:lesnombres6085et8007sontbienécrits.Code9:autresréponses.Code0:pasderéponse.

ÉLÉMENTSD’ANALYSEDESRÉSULTATSErreurspossibles:

Ø l’élèveconfondlechiffredesdizainesetdesunités,Ø l’élèveconfondlechiffredescentainesetdesdizaines,Ø l’élèveécritlesnombresenchiffresàpartirdeleurdésignationorale:2006016(ou20076…)pourdeuxcent

soixante-seize,2000132pourdeuxmillecenttrente-deux…etcØ l’élèvenecomprendpasl’utilisationdu0pourindiquerl’absencedegroupements:ilajoutelechiffre1àla

placedeszérosàl’intérieurdesnombres(6185pour6085/8017pour8007);iln’écritpasle0(685pour6085/87pour8007.

Ø l’élèven’associepaslesmotsnombressoixante-dixetquatre-vingt-dixavec7et9dizaines(ilécrit488pour498parexemple).

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Exercice2(2minutes)

Attendudefindecycle Résoudredesproblèmesenutilisantdesnombresentiersetlecalcul.ConnaissancesetCompétencesassociées Résoudredesproblèmesénoncésàl’oral,issusdessituationsdelaviequotidienne.

Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:

Ø onnedoitpaslaisserdetracedesarecherche(calcul,dessin),Ø lesrecherchessefontmentalement,Ø laréponses’écritsurlaligne.

PASSATIONDELACONSIGNE

Consigne:Vousallezécouterattentivementl’énoncéduproblèmequejevaisvousdonneràl’oral.Jevaisvousl’énoncer2fois.Vousdevrezensuiteécrirevotreréponsedanslecadreréponsequevoici(pointerlecadre).

Préciser:Vousdevezeffectuervotrecalculmentalement(detête).

Donnerl’énoncéàl’oral:

Ø Voiciunproblème.Danslecar,ilya45personnes.Lecars'arrête.Cinqpersonnesdescendentethuitpersonnesmontent.Combiendepersonnesya-t-ildanslecarlorsqu'ilredémarre?

Laisseruneminutederéflexionpuisdemanderauxélèvesd’écrireleurréponsedanslecadre.

CODAGEItem4

Item4:ilya48personnes(45–5+8=40+8=48)Code1:onaccepteralesréponses48personneset48.Code9:autresréponses.Code0:pasderéponse.

ÉLÉMENTSD’ANALYSEDESRÉSULTATSSelonlatypologiedesproblèmesadditifsetsoustractifsdeVergnaud,lepremierproblèmeestdetypecompositiondetransformationavecrecherchedelasituationfinale:

C'est la gamme de problèmes qui comporte le plus de combinaisons, car plusieurstransformations se succèdent. On recherche, soit le résultat des transformationssuccessives,soitl'unedescomposantes.Danslecasprésent,onconnaitl'étatinitialetles

transformations intermédiaires, la recherche porte sur l'état final. La difficulté varie selon la nature (positive ounégative) des 2 transformations. Mais quelques soient ces transformations, cette situation complexe peuts’appréhenderdedeuxmanièrespossibles:

-Raisonneruniquementsurlestransformationssansconnaitrelesétats.Celaempêchetoutematérialisation.La compositionde2 transformationspositives favorise l’utilisationde l’additionpuisque celle-ci est induitepar lanature des transformations. La recherche de la transformation totale pour 2 transformations négatives s’appuieaussisur l’additionalorsquelesmotsutilisésdansl’énoncéincitentàemployer lasoustraction. Il fautadditionnerles pertes. La difficulté persiste quand les 2 transformations sont de signe contraire (un gain, une perte).Mathématiquement,l’opérationresteuneaddition,maisuneadditionsurdesnombresrelatifsdontunestpositifetl’autre négatif. Cela peut engendrer des blocages lorsqu’il faut soustraire un gain à une perte. (Exemple: À lapremièrepartiedebilles,Paulaperdu5billes.Àlasecondepartie,Paulagagné3billes.CombienPaula-t-ilperdudebillesentout?Retirerlegainde3billesaux5billesperduessembleaberrantàlaplupartdesélèves.)Danslecasprésent,lecarperd5personnesetengagne8soitungainde3personnes:-5+8=+3lecaragagné3personnes.45+3=48personnes

-Raisonnersurlestransformationssuccessivesàpartirdesétats:45–5=40;40+8=48personnes

Erreurspossibles:Ø l’élèven’associepasleverbedescendreàunretraitetleverbemonteràunajout;Ø l’élèveometunedesdonnées:45+8=53ou45-5=40Ø L’élèveassocielespersonnesquidescendentetmontentàuneaddition:45+5+8=58Ø L’élèvefaituneerreurdecalcullorsqu’ilsoustrait:45–5=39ou41…Ø L’élèvefaituneerreurdecalculenprocédantenuneseuleopération:45–5+8=57ou59…Ø L’élèveneprendencomptequelatransformation:8–5=3

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Exercice3(5minutes)

Attendudefindecycle Nommer,lire,écrire,représenterdesnombresentiers.ConnaissancesetCompétencesassociées Associerunnombreentieràunepositionsurunedemi-droitegraduée

Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:

Ø placerunnombreparétiquette,Ø placerchaquenombreaubonendroit,Ø utiliseretcompterlesgraduationspourmarquerlenombre.

PASSATIONDELACONSIGNE

Consigne:Surcettedroitegraduée,lesnombres200et250sontplacés[lesmontrerauxélèves].Vousdevezécriredanschaquecaselenombrequicorrespondàchacunedesflèches[lesmontrer].

CODAGEItems5à7

Item5:Compterlesnombresaprès200Code1:217estbienplacé.Code9:autrenombreplacéCode0:aucuneréponse.

Item6:Décompterlesnombresavant200Code1:180estbienplacé.Code9:autrenombreplacéCode0:aucuneréponse.

Item7:Retrouverlepointd’origineCode1:150estbienplacé.Code9:autrenombreplacéCode0:aucuneréponse.

ÉLÉMENTSD’ANALYSEDESRÉSULTATSProcédurespossibles

Ø comptage terme à termede la ligne graduée à partir ou pas dupoint d’origine : erreur de stratégie parrapportàlasituationquinedémarrepasà0.

Ø comptagetermeàtermedelalignegraduéeàpartirdesrepèresénoncés:200,201,202…217Ø priseencomptedesdizainesetcomptagedesunitésintermédiaires:200,210,211,212…217Ø décomptagetermeàtermeàpartirdesrepères:200,199,198,197…180Ø décomptagedesunitésintermédiaires:200,190,180.

Erreurspossibles:Ø Lalignegraduée,tellequ’elleestreprésentéeici,rappelleunerèglegraduée.Uneerreurpossibleestque

desélèvespensentqu’unegrandegraduationvaut1entantque1cm.Ø erreurde1graduation(comptagedechaquegraduationsanspriseencomptedelavaleurdesgraduations

intermédiaires):216aulieude217/181aulieude180.Ø nonpriseencomptedespetitesgraduationsentre210et215etindicationde212.Ø nonpriseencomptedeladizaine:207aulieude217.Ø nonpriseencomptedespetitesgraduationsaprès215.Ø priseencompteexclusivesdespetitesgraduationsdepuis200soit214.Ø nonpriseencomptedelatailledesgraduationsintermédiaires:ex:272-277Ø départdeladroite,aconsidérélapremièregraduationcommeétant10puisavancéainside10en10Ø nonpriseencomptedu200,départde0ou100(àgauche)Ø Départde217trouvéetareculéenomettantunedizainepourarriverà170(aulieude180)et140(aulieu

de150

Pourdéterminerlesnombresindiquantlespositionsdonnées,ilfautdétermineràquoicorrespondunegraduation.Commeunegraduationcorrespondà1unité,ilestpossiblequedesélèvesprennentcetteunitédèsledépartsansvérifier qu’elle correspond aux deux nombres donnés. Or, la procédure valable quelle que soit la ligne graduéenécessitedeprendreencomptelesdeuxnombresdonnésindiquantuneposition,ici200et250,pourdétermineràquoicorrespondunegraduation.Celapeuts’effectuerdetroisfaçons:

Ø En déterminant à quoi correspond une graduation qu’elle soit petite,moyenne ou grande en comptanttouteslesgraduations(petites,moyennesetgrandes)entre200et250.

Ø En déterminant, dans un 1er temps, à quoi correspond une grande graduation en comptant les grandesgraduationsentre200et250puis,dansunsecondtemps,endéterminantàquoicorrespondunepetiteoumoyennegraduationencomptantcelles-cientre200et210.

Ø En déterminant, dans un 1er temps, à quoi correspond une grande graduation en comptant les grandesgraduationsentre200et250puis,dansunsecondtemps,endéterminantàquoicorrespondunemoyennegraduation en comptant celle-ci entre 200 et 210 et, enfin, dans un 3e temps, en déterminant à quoicorrespondunepetitegraduationencomptantcelles-cientre200et205.

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Exercice4(3minutes)

Attendudefindecycle Calculeravecdesnombresentiers.ConnaissancesetCompétencesassociées

Mémoriserdesfaitsnumériques(lesdoubles,lestablesd’additionsetlestablesdemultiplication)

Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:

Ø écrirelenombreenchiffresdanslacasedemandée,Ø lenombreécritestleproduitdesmultiplicationsdemandées.Ø Compléterlesécrituresmultiplicatives

PASSATIONDELACONSIGNE

Consigne1:Voiciunexercice(lemontrer)Jevaisvousposerdesquestions.Pouryrépondre,ilfautcalculermentalement.Vousallezécrirelesréponsesenchiffresdanslescasesquejevousindiquerai.

Ø danslacaseA(lafairepointer),écrivezlerésultatde4multipliépar7;Ø danslacaseB(lafairepointer),àquoiestégal7multipliépar4?écrivezvotre

réponse;Ø danslacaseC(lafairepointer),En45combiendefois3?ouDans45combiendefois

5?Ecrivezvotrerésultat;Ø danslacaseD(lafairepointer),14estlerésultatdequellemultiplication?écrivez

votreréponse;Ø danslacaseE(lafairepointer),écrivezcombienjedoisajouterà6pourallerà10;Ø danslacaseF(lafairepointer),écrivezcombienjedoisajouterà3pourallerà10;Ø danslacaseG(lafairepointer),écrivezcombienjedoisajouterà70pourallerà100;Ø danslacaseH(lafairepointer),écrivezcombienjedoisajouterà50pourallerà100;Ø danslacaseI(lafairepointer),20estledoubledequelnombre?Écrivezvotre

réponse;Ø danslacaseJ(lafairepointer),écrivezledoublede25;Ø danslacaseK(lafairepointer),écrivezlamoitiéde40;Ø danslacaseL(lafairepointer),écrivezlamoitiéde90.

CODAGEItems8et11

Item8:connaitredesproduits(28,28,9et2x7ou1x14ou3x4+2)Code1:4bonnesréponses.Code9:autresréponses.Code0:pasderéponse.

Item9:Connaitrelescomplémentsà10et100(4,7,30et50).Code1:4bonnesréponses.Code9:autresréponses.Code0:pasderéponse

Item10:connaitredesdoubles(10et50)Code1:20et50ontététrouvésCode9:autresréponses.Code0:pasderéponse

Item11:connaitredesmoitiés(20et45)Code1:20et45ontététrouvésCode9:autresréponses.Code0:pasderéponse

ÉLÉMENTSD’ANALYSEDESRÉSULTATSProgrammes 2016 : Les stratégies de calcul « s’appuient sur la connaissance de faits numériques mémorisésrépertoiresadditifetmultiplicatif,connaissancedesunitésdenumérationetdeleursrelations,etc.)etsurcelledespropriétésdesopérationsetdelanumération.Lecalculmentalestessentieldanslaviequotidienneoùilestsouventnécessairedeparvenirrapidementàunordredegrandeurdurésultatd’uneopération,oudevérifierunprix,etc.»

MémorisationdefaitsnumériquesØ La connaissance et la mobilisation rapide (automatisation) des décompositions additives des nombres

inférieursouégauxà10estunpréalableindispensableaucalculsurlesnombresentiers.Ø Lesrésultatsdestablesd’additionetdemultiplicationdoiventdevenirdes faitsnumériquesautomatisés.

Cen’estpaslatailledesnombresquirendlecalculplusdifficile(5+5estplusfacileque4+3;9x10estplusfacileque9x4).

AutomatisationdeprocéduresdecalculØ L’élève qui possède suffisamment de connaissances sur les décompositions des nombres va pouvoir les

convoquerpourmobiliserdesprocédurespluséconomiques,carplusadaptées.Ø Lecalculde4multipliépar9peuts’effectuerselonplusieursprocéduresnotammentenprenantencompte

l'utilisationdesdoublesetlespropriétésopératoires:4x9=2x2x9=2foisledoublede9=ledoublede18=36;7x8=7x4x2=28x2soitledoublede28

Ø Les procédures mises en œuvre par les élèves ne sont pas visibles dans cet exercice d’évaluation.L’automatisationdesprocéduresdoit faire l’objetd’unenseignementpréalablequinécessiteraun travail

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d’explicitationsystématiqueportantsurlesstratégiesàdévelopper.Ø Uneprocédureestautomatiséelorsqu’elleestrestituéeparl’élèvepoureffectueruncalculsansquecelui-ci

aitbesoindelareconstruire.Paradoxedel’automatismedeButlen:lenombreaucycle2page12http://www2.ac-lyon.fr/ressources/rhone/maths-sciences/IMG/pdf/Le_nombre_au_cycle_2_-_Partie_1.pdf?230/590448352daa6d2ff23c39f52a6ca49a73881858Lescomplémentsà10et100Parcequ’ilssontàlabasedenombreusesprocéduresdecalculréfléchi,les5pairesdenombresdontlasommefait10sontàconnaîtreauplusvite.Onpourrafairevarierlaconsignepourengagerunchangementdepointdevue(compléterunecollection,sedéplacersurladroitenumérique,égaliserdeuxcollections,etc.).Ceschangementsdepointdevueparticipentàlaconstructiondunombreetcontribuentàaccroitreladisponibilitédesfaitsnumériques.Onpeutétendrecesprocéduresàlarecherchedecomplémentsà100.

Exemplesdequestionnementsàproposerenclasse:

complète3pourfaire10;combienmanque-t-ilà3pourfaire10?quefaut-ilajouterà3pourfaire10?3pourallerà10?3+?=1010–3=?etc.

complète60pourfaire100combienmanque-t-ilà60pourfaire100?quefaut-ilajouterà60pourfaire100?60pourallerà100?60+?=100100–60=?etc.

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Exercice5(3minutes)

Attendudefindecycle Comprendreetutiliserdesnombresentierspourdénombrer,ordonner,repérer,comparer

ConnaissancesetCompétencesassociées

Dénombrer,constitueretcomparerdescollectionsenutilisantdiversesstratégiesdedénombrement

Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:

Ø écrireunnombredanschaquecasevide,Ø lenombreécritdoitcorrespondreàlaquantitéreprésentée,Ø compléterlesphrases

PASSATIONDELACONSIGNE

Consigne1:Voicilecontenudedeuxcasiers.Descrayonssontrangésàl’intérieur.Certainscrayonssontgroupésparboîtesdecent(lespointer),d’autresparétuisdedix(lespointer).Vousdevezécrirelenombretotaldecrayonsdanschaquecasier.Vousécrivezvotreréponsedanslescasesrespectives.(lespointer).Sivousavezbesoindefairedesrecherches,vouspouvezutiliserlescadresci-contre(lespointer).

CODAGEItems12et13

Item12:CardinaldelacollectionACode1:réponsecorrecte(casierA:368).Code9:réponseerronée.Code0:aucuneréponse.

Item13:CardinaldelacollectionBCode1:réponsecorrecte(casierB:376).Code9:autreréponse.Code0:aucuneréponse

ÉLÉMENTSD’ANALYSEDESRÉSULTATSØ Compterlesobjetsd’unecollectiondegrandetailleestuneactivitéquipeuts’avérercoûteuse.Elle

nécessitelacoordinationdedeuxcomposantes:motrice(pointage,mouvementsdesyeux)etsymbolique(énumérationdesnomsdenombre).

Ø L’utilisationdegroupementspar10ou5montrelacapacitédel’élèveàutilisersesconnaissancesdelanumérationenbase10dansunesituationcomplexe.

Ø Leprinciped’abstractiondoitêtreacquis.Lacardinalitéd’unecollectionestindépendantedescaractéristiquesdesélémentsquilacomposent.

Erreurspossibles

Ø Leserreurslesplusfréquentesmontrentuneincompréhensiondesgroupements.Certainsélèvesnecomptentpaslesunitésoupaslesdizainesoupaslescentainesoubiennecomptentquelesunitésouquelesdizaines.ExemplepourlecasierA:40.

Ø Erreurdedénombrementàplusoumoinsunprès.Ø Erreurdegroupement.Ø L’élèven’associepaslecontenudesboitesdansledénombrement,carnonmatérialisé:128et97.Ø L’élèven’associepaslesmots-nombressoixante-dixavec7dizaines:366aulieude376.Ø Certainesréponsesmontrentque,pourcertainsélèves,l’écritured’unnombreavecdeschiffresn’estpas

reliéeaunombredecentaines,dizainesetunitéspuisqu’ontrouvedesréponses,pourlecasierA,tellesque108ou3124

Pointsdevigilancependantletempsd’activité

RepérerlesprocéduresdedénombrementmisesenœuvreØ Dénombrementparcomptagetermeàterme,avecdespossibilitésd’erreursde

plusieursnatures:o l’énumérationestincorrecte(nomdesnombres),o desobjetssontoubliésoucomptésplusieursfois,o lecardinaldel’ensemblenecorrespondpasauderniermot-nombredit.

Ø Dénombrementavecgroupementsaléatoires:stratégiecoûteuseetpeuefficace.

Ø Dénombrementavecgroupementsfixes,maisdifférentsde10.Ø Dénombrementavecgroupementspar10.

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SEQUENCE2

Exercice6(2minutes)

Attendudefindecycle Nommer,lire,écrire,représenterdesnombresentiers.ConnaissancesetCompétencesassociées

Liredesnombresentiers:Passerd’unereprésentationàuneautre,enparticulierassocierlesnomsdesnombresàleursécritureschiffrées

Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:

Ø entourerunseulnombresurchaqueligne,Ø lenombreentourécorrespondaunombreentendu.

PASSATIONDELACONSIGNE

Consigne:Surchaqueligne,ilya5nombres.Pourchaqueligne,jevaisvousdireunnombreetvousdevrezl’entourer.

Ø SurlaligneA(lafairepointer),entourez199;Ø SurlaligneB(lafairepointer),entourez230;Ø SurlaligneC(lafairepointer),entourez5134;Ø SurlaligneD(lafairepointer),entourez6018.

CODAGEItem14

Item14:199,230,5134et6018Code1:les4nombres(199,230,5134et6018)sontbienentourés.Code2:les2premiersnombressontbienentourés(199,230)Code9:autresréponses.Code0:pasderéponse.

ÉLÉMENTSD’ANALYSEDESRÉSULTATSErreurspossibles:

Ø l’élèveconfondlechiffredesdizainesavecceluidesunités:203pour230;5143pour5134;Ø l’élèvechoisitlesnombresenchiffresàpartirdeleurdésignationorale:20030pourdeuxcenttrente…;Ø l’élèvenetientpascomptedu0quimarquel’absencedegroupement:618pour6018;Ø l’élèven’associepaslesmots-nombresquatre-vingt-dixavec9dizaines:ilentoure189pour199.

Exercice7(8minutes)

Attendudefindecycle CalculeravecdesnombresentiersConnaissancesetCompétencesassociées Calculerenutilisantdesécrituresenligneadditives,soustractives,multiplicatives,mixtes.

Critèresderéussite Ø calculermentalementØ écriredessuitesdecalculsØ écrirelenombresurlespointillés

PASSATIONDELACONSIGNE

Consigne:Voiciunesériedecalculs(écrirelepremiercalcul:77+……=107autableau).Vousdevezretrouverlenombrequ’onaajoutéà77pourobtenir107.Ils’agitd’essayerdetrouverunestratégiepermettantdecalculerrapidementsansavoirrecoursàuneadditionouunesoustractionposéeencolonne.Justeenécrivantdescalculsintermédiaires.Pourcela,vousavezunelignepoureffectuervosrecherches.Ilexisteplusieurssolutions,maisuneseulesuffira.

Complétezl’ensembledescalculssuivants.Vousavez8minutes.

CODAGEItems15à17

Item15:calculadditifde2nombres(30et13)Code1:les2ajoutsontététrouvésCode9:1ou2erreur(s).Code0:aucuneréponse.

Item16:calculadditifde3nombres(14et50)Code1:les3ajoutsontététrouvésCode9:1ou2erreur(s).Code0:aucuneréponse.

Item17:calculsoustractifde2nombres(50et196)Code1:les2nombresontététrouvésCode9:1ou2erreur(s).Code0:aucuneréponse.

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ÉLÉMENTSD’ANALYSEIls'agitpourlesélèvesdemettreenœuvreunestratégiedecalculbaséesurlaconnaissancederelationsnumériquessurlesnombres(décompositions,recompositions,complémentsà10,à100…)pourrésoudreuneaddition,unesoustractionenligne.Leserreurspeuventprovenirdediversobstacles:

Ø Lesfaitsnumériquesnesontpasassezsolides(tablesd’addition,compléments);Ø Lesconnaissancessurlesnombressontencorefragiles(retenues,groupements);Ø L’élèveavoulutoutfairementalement(aucunécritintermédiaire)sanssoulagersamémoiresibesoin;Ø L’élèveneserepèrepasdanssesécritsintermédiairesououblieuneétape(souventladernièreoùils’agit

derassemblerlesrésultatsintermédiaires).Exemplesd’erreurs:

Ø Erreurdanslechoixdel’opérateur:additionàlaplacedelasoustraction:Ø Erreurliéeàunemauvaisegestiondelaretenue:23+39=52Ø Erreurliéeàunsurcomptageerronédanslecasd’ajoutdedizaine:80+20+60=150

StratégiesutiliséesparlesélèvesØ calculintermédiaireavecsurcomptageoudécomptage:80+20=100,110,120…150Ø complémentàladizainesupérieureetadditiondescomplémentsØ comptageoudécomptagetermeàtermequecesoiten+ou–mentalementouavecappuidesdoigts.Ø comptageparessaierreur:77+21=98,77+23=100,77+25=102…jusqu’àretrouver107

PropositiondidactiqueAposterioridelaséanced’évaluation:s’appuyersurlesévaluationspourmettreenœuvreuneséancededécouvertepourmettreenavantdesstratégiesdecalculs.Procéderdansunpremiertempsavecuncalculadditifenprenantappuisurunrépertoirenumériqueinférieurà50.

Consigne:Voiciuncalcul(écrire12+……=33autableau).Nousallonsrecherchercommentfairepourretrouverlenombrequ’onaajoutéà12pourobtenir33.Ils’agitd’essayerdetrouverunestratégiepermettantdecalculerrapidementsansavoirrecoursàuneadditionposéeencolonne.Justeenécrivantdescalculsintermédiaires.Ilexisteplusieurssolutions,envoiciune:• 12+8=20;20+10=30;30+3=33;8+10+3=21.Onarecherchécombienilfautajouterà12pouraller

à20etensuitepourallerà30puispourallerà33.Onaajouté21à12pourobtenir33.Donc12+21=33

Onpeutreprésentercecalculparunelignegraduée(d’autresreprésentationssontpossibles):Voicid’autressolutions:• 12+8=20;20+13=33;8+13=21.• 12+1=13;13+20=33;1+20=21.12+20=32;32+1=33;20+1=21.• 12+10=22;22+11=33;10+11=21.12+11=23;23+10=33;11+10=21.

Autreexempledanslerépertoiresoustractif:(utiliserladroitegraduéeégalement)Prenonslecalculsuivant:35–18=……Ondécompose18en5+10+3.Onprend5,carlenombrededépartseterminepar5unitésetqu’onchercheàobtenirdesdizainesentières:35–5=30;30–10=20;20–3=17.Onaretranché5à35pouravoir30,ensuiteonaretranché10pouravoir20puisretrancher3.Onobtientalors17.Donc35–18=17Silenombreavaitété43onauraitretranchéd’abord3puis10puis5.Lefaireàl’oral.

Dansunsecondtemps,proposerauxélèvesuneautocorrectiondesévaluationspargroupeouindividuellement.Revenirlorsd’unemiseencommunsurlesdifférentesstratégies.

12 20 30 33

+8 +10 +3

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Exercice8(3minutes)

Attendudefindecycle Calculeravecdesnombresentiers.ConnaissancesetCompétencesassociées calculermentalementpourévaluerunordredegrandeur

Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:

Ø repérerlesignedel’opération,Ø choisirunrésultatcohérentparrapportàuncalcul,Ø cocherunecaseparcolonne.

PASSATIONDELACONSIGNE

Consigne:Voiciuntableaucomposéde5colonnesdanslesquellessetrouveuncalculécrit.Pourchaquecalcul,onvouspropose4réponses.Uneseuleestcorrecte.Vous devez, sans effectuer le calcul, entourer le résultat qui s’approche le plus de l’opération demandée.

Ø danslapremièrecolonne,946–531,entourelerésultatquis’approcheleplusdececalcul;Ø dansladeuxièmecolonne,1282+410;entourelerésultatquis’approcheleplusdececalcul;Ø danslatroisièmecolonne,1253–437;entourelerésultatquis’approcheleplusdececalcul;Ø danslaquatrièmecolonne,853+157;entourelerésultatquis’approcheleplusdececalcul;Ø danslacinquièmecolonne,59:5;entourelerésultatquis’approcheleplusdececalcul.

CODAGEItems18et19

Item18:estimerdessommesetdifférencesCode1:400,1600,800et100ontététrouvésCode2:deuxréponsesexactesontététrouvéesCode9:autresréponsesCode0:pasderéponse.Item19:estimerunquotientCode1:10aététrouvéCode9:autresréponsesCode0:pasderéponse.

Exercice9(3minutes)

Attendudefindecycle Comprendreetutiliserdesnombresentierspourdénombrer,ordonner,repérer,comparer.

ConnaissancesetCompétencesassociées

Comparer,ranger,encadrer,ordonner,intercalerdesnombresentiers.

Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:

Ø chaquecasedoitêtrecomplétéeparunnombre,Ø lesnombressontrangésdupluspetitauplusgrand.

PASSATIONDELACONSIGNE

Consigne1:Voicidesnombres.Voiciuntableaudanslequel3nombressontdéjàécrits(lesdire):1442,2565et6415.Vousallezcompléterlescasesvidesdecetableauaveclesnombresproposéssurvotrelivret(lesfairepointeretleslireàvoixhaute:1180-6503–2467–8148–5115-2964–3124.Attention,ilsdoiventêtrerangésdupluspetitauplusgrand.Etcertainsd’entreeuxneserontpasécrits.

CODAGEItems20à22

Item20:retrouverlepremiernombred’unesuitedenombres(1180)Code1:1180estécritdanslapremièrecase.Code9:autrenombreplacéCode0:aucuneréponse.

Item21:intercalerunnombreentre2nombres(2467)Code1:2467estécritdansladeuxièmecase.Code9:autrenombreplacéCode0:aucuneréponse.

Item22:Comparer,ranger,encadrer,ordonneretintercalerdesnombresentre2nombres(2964,3124et5115)Code1:2964,3124et5115sontécritsdansl’ordredanslestroisdernièrescases.Code9:autreréponse.Code0:aucuneréponse.

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Exercice10(7minutes)

Attendudefindecycle Résoudredesproblèmesenutilisantdesnombresentiersetlecalcul.ConnaissancesetCompétencesassociées Exploiterlesdonnéesnumériquesd’ungraphiquepourrépondreàdesquestions.

Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:

Ø ondoitpréleverlesinformationssurlegraphique,Ø laréponses’écritsurlaligne.

PASSATIONDELACONSIGNE

Consigne:Voiciungraphiquequimontrelenombred’élèvesayantmangéàlacantineaumoisdemars.Vousdevezlelireattentivementpourrépondreauxquatrequestionsécritesendessous.Lirelesquestions

a) Combiend’élèvesontmangéàlacantinelevendredi6mars?b) C’esttoujoursquandilyadesfritesaumenuqu’ilyaleplusgrandnombre

d’enfantsàlacantine.Queljourdumoisdemarsa-t-onservidesfritesàlacantine?

c) Calculelenombrederepasquiontétéservisdulundi2marsauvendredi6marsinclus.

Pourrépondreauxdifférentesquestions,vousutilisezlegraphique.Sivousavezbesoind’écrireuneréponse,utilisezleslignespointilléesetpoureffectuerdescalculs,utilisezlecadre.

CODAGEItems23à25

Item23:répondreàdesquestionsexplicites(66personnes)Code1:réponsecorrecteCode9:autresréponses.Code0:pasderéponse.

Item24:Interpréterdesréponses(mardi10mars)Code1:réponsecorrecteCode9:autresréponses.Code0:pasderéponse.

Item25257repasontétéservisentrele2et6mars(62+65+65+66=257)Code1:bonnedémarcheavec257aététrouvé.Code2:démarchebonne,maiserreurdecalculCode9:autresréponses.Code0:pasderéponse.

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SEQUENCE3

Exercice11(7minutes)

Attendudefindecycle Nommer,lire,écrire,représenterdesnombresentiers.ConnaissancesetCompétencesassociées Utiliserdiversesreprésentationsdesnombres

Critèresderéussite Ø relierlesétiquettesquifont372avecl’étiquettegrise.

PASSATIONDELACONSIGNE

Consigne1:Vousvoyezaumilieuuneétiquettegriséeaveclenombre372.(L’écrireautableauetlafairepointer).Vousallezreliercetteétiquetteavectouteslesétiquettesquisontautouretquifont372.Vouspouvezutiliservotreardoisesivousavezbesoindefairedescalculs.

CODAGEItems26à28

Item26:Représentationanalogique(cubes)Code1:Laconstellationdegaucheaétéreliéeaveclenombre372.Code9:autreconstellationreliéeouabsencedelaconstellationdegauche.Code0:aucuneréponse.

Item27:Représentationsadditives(300+60+12)Code1:lareprésentationadditiveaétéreliéeaveclenombre372.Code9:autresreprésentationsadditivesreliéesouabsencedereprésentationadditive.Code0:aucuneréponse.

Item28:Représentationsenunitésdenumération(3centaines2unitéset7dizaineset372unités)Code1:les2représentationsontétéreliéesà372.Code9:autrereprésentationenunitédenumérationreliéeouabsenced’unedes2représentations.Code0:aucuneréponse

ÉLÉMENTSD’ANALYSEDESRÉSULTATSCesdifférentesreprésentationsfournissentàl’élèvedesoutilsquil’aidentàconstruirelesystèmedenumérationetàdévelopperdesprocéduresdecalcul.Chacunedesrelationsentrelesdifférentesreprésentationsdunombrepeutêtreassociéeàuntyped’activité.Ilestimportantdeproposerdessituationsamenantàtravaillerl’ensembledecesrelations.Lesdifférentesformesdereprésentationsdesnombresconstituentunevariabledontlechoixpermetd’adapterlessituationsauxbesoinsdesélèvesetsontunlevierimportantpourfaireévoluerleursprocéduresErreurspossibles:

Ø «372unités»n’apasétéentourée;Ø Erreurliéeaudénombrementdesreprésentationsanalogiques;Ø Erreur liée à l’interprétation de la consigne : on entoure une seule représentation par catégorie et une

seule.

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Exercice12(7minutes)

Attendudefindecycle Résoudredesproblèmesenutilisantdesnombresentiersetlecalcul.ConnaissancesetCompétencesassociées

Résoudredesproblèmesissusdesituationsdelaviequotidienne:problèmesrelevantdesstructuresadditives(addition/soustraction)

Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:

Ø ondoitlaisserunetracedesarecherche(calcul,dessin),Ø lesrecherchessefontdanslecadre,Ø laréponses’écritsurlaligne.

PASSATIONDELACONSIGNE

Consigne1:Voiciunproblème.Nousallonslelireensemble.

DansletrainquivaàMarseille,audépartdeParis,ilya355passagers.Après2heuresdetrajet,letrains’arrêteàLyonpouruneescale.185personnesdescendentdutrainet130ymontent.LetrainrepartensuitepourMarseille.Combiendepassagersvontallerjusqu’àMarseille?

Écrivezvosrecherchesetvoscalculsdanslepremiercadreetécrivezvotreréponsedansledeuxièmecadre.»[Montrerlescadresauxélèves].

CODAGEItem29

Item29:Code1:lerésultatestcorrect300(larésolutiondelapremièreetdeuxièmeétapeduproblèmeréussies).Code2:lestracesderecherche(dessin,schéma,calcul)montrentquelasituation(addition,additionàtrousousoustraction)aétécomprise,mêmesilerésultatn’estpascorrect.Code9:lestracesderecherchenemontrentpasquelasituation(addition,additionàtrousousoustraction)aétécomprise.Code0:aucuneréponse.

ÉLÉMENTSD’ANALYSEDESRÉSULTATSSelon latypologiedesproblèmesdeGVergnaud, lapremièrepartieduproblèmeestdetypecompositiondetransformationavecrecherchedelasituationfinale:C'est la gamme de problèmes qui comporte le plus de combinaisons, car plusieurstransformations se succèdent. On recherche, soit le résultat des transformations successives, soit l'une descomposantes. Dans le cas présent, on connait l'état initial et les transformations intermédiaires, la rechercheportesur l'étatfinal.Laprincipaledifficultépour lesélèvesdanscetypederecherchesesituedans lecasoù latransformationestnégativepuispositive.La résolution peut se faire par la recherche de la différencedes personnes quimontent et descendent durantl’escale:185–130=55enmoins;355–55=300.Larésolutionpeutégalementsefaireenuneseuleétape:355–185+130=170+130=300Oninciteradonclesélèvesaposterioriàexpliciteroralementouparécrit(dessin,schéma,calcul)lecheminementquilesaconduitsàtrouvercetteréponse(bonneoumauvaise).

ErreurspossiblesØ L’élèveassocielespassagersquidescendentetmontentàuneaddition:355+130+185=670Ø L’élèven’associepasleterme«passagers»auterme«personnes»:355+130=485Ø L’élèveneprendencomptequelespassagersquimontent:355+130=485Ø L’élèvefaituneerreurdecalcullorsqu’ilsoustrait:355–185=160ou190Ø L’élèvefaituneerreurdecalculenprocédantenuneseuleopération:355–185+130=310ou290Ø L’élèvecalculeladifférencesansprendreencompteladonnéeinitiale(355):185–130=55Ø L’élèvenemaitrisepasl’uneoulesdeuxtechniquesopératoires

StratégiesutiliséesØ calculdeladifférencedespassagersquimontentetdescendentpuissoustractionaunombrededépart:

185–130=55;355–55=300.Ø calculendeuxétapes:355–185=170;170+130=300.

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Exercice13(12minutes)

Attendudefindecycle Calculeravecdesnombresentiers.ConnaissancesetCompétencesassociées Calculerenutilisantdesécrituresenligne(additions,soustractions,multiplications).

Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:

Ø Calculermentalement,Ø écrireunesuitedecalcul,Ø écrirelenombreenchiffres,Ø respecterlarègledujeu.

PASSATIONDELACONSIGNE

Consigne:Jevousproposeunjeu:lecompteestbondontvoicilesrègles.Nousallonseffectuerunpremierexercice-exempleensemblepourcomprendrelesrèglesdujeu.

Lebutdujeuestderetrouverunnombrecibleàl’aidede6nombrestirésausorteneffectuantlescalculsquevousvoulez.Maisattention,ilyaquelquesrèglesàrespecter.

Larègledu«Compteestbon»§ Onnepeututiliserqu'uneseulefoischaquenombredutirage.§ Lesquatreopérations(+,x,-,:)peuventêtreutiliséesautantdefoisquel'onveut.§ Lerésultatdechaqueopérationpeutêtreutilisépourunnouveaucalcul.§ Ilfautatteindreous’approcherlepluspossibledunombre-cible.§ Moinsilyad'opérations,meilleureestlaperformance

Consignedepassationpourlamiseenexemple:

Présenterautableaulenombrecibleetlesnombresquiserventaucalcul(onpeuteffectuerlaprésentationsousformedefiche).Voicilenombrecibleàretrouver(lemontrer);ils’agitdunombre34Pourcela,vouspouvezutiliserlesnombres10-2-4-5-7-25Laisseruntempsderecherchede4minutesetproposerauxélèvesdedonnerleur(s)réponse(s).Écrireet/ouproposerdifférentessolutions.Quelquessolutionspossibles:

§ 25+5+4=34àconnaissancedurépertoireadditif(complémentàladizainesupérieure)

§ 25+7+2=34àconnaissancedurépertoireadditif(ajouter9àunnombreà2chiffres)

§ 10+7=17;17x2=34àconnaissancedesdoubles§ 25+10=35;5-4=1;35-1=34àconnaissancedurépertoireadditif

(additionneretsoustrairedesnombresentierssansretenues)§ 4x5=20;2x7=14;20+14=34àconnaissanceetutilisationdesrépertoires

additifetmultiplicatif(multiplierpar2et5;additionnerdeuxnombreentiersansretenue)

§ 25x2=50;5-4=1;10+7=17:17-1=16;50-16=34àconnaissanceetutilisationdesrépertoiresadditifetmultiplicatif(multiplierpar2;additionneretsoustrairedeuxnombreentiersansretenue)

Consignedepassationlorsdelasituationd’évaluation:Vousdevezretrouvercommentfaire103–168et352aveclesnombrestirésausort.Ilyaplusieurssolutionsàchaquefois,maisuneseulesuffira.N’oubliezpasd’écriredanschaquecaselescalculsquivousontpermisdetrouverlenombrecible.Vouspouvezutiliserlebasdelapageouuneardoisepourvosrecherches,maispensezàrecopiervoscalculs.Sivousnetrouvezpaslenombreexact,vouspouveznoterunnombrecibleproche.Vousavez12minutes.

CODAGEItem30

Item30:deuxnombresciblesontététrouvés(103,168et352)Code1:DeuxnombresciblesontététrouvésCode2:unnombrecibleaététrouvéouapprochéCode9:aucunnombreciblen’aététrouvéouapprochéCode0:pasderéponse

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Quelquessolutionspossibles

103 168 352• 25x4=100• 100+3=103

• 25–4=21• 21x8=168 • 10+4=14

• 14x25=350• 8–6=2• 350+2=352

• 6+4=10• 10x10=100• 100+3=103

• 25x4=100• 10x6=60• 100+60+8=168

• 25+8=33• 33x3=99• 99+4=103

• 10+8=18• 25x10=250• 250+18=258

• 25x4=100• 100x3=300• 10x6=60• 300+60=360• 360–8=352

• 10+3=13• 13x6=78• 78+25=103

• 8+6=14• 3x4=12• 12x14=168

• 6x8=48• 48+25=73• 3x10=30• 30+73=103

• 3x6=18• 18x10=180• 4+8=12• 180–12=168

• 6+3=9• 9+10=19• 19+25=44

44x8=352• 10+6=16• 16x8=128• 128–25=103

• 10–4=6• 25+3=28• 28x6=168

• 10+6=16• 25–3=22

22x16=352

ÉLÉMENTSD’ANALYSEv Progressivitédesapprentissages:

Dèslecycle2,ilconvientdeconduirelesélèvesàcommuniquerleursréponsessouslaformed’écritsdiversquilaissentàvoirlesétapesdecalculs:lesdessins,schématisationsetautresreprésentationsguidentlapensée,souventdemanièreverticale,pourparveniràuneécrituresousformedelignesdecalculs.Aucycle3,ils’agiraprogressivementd’introduirelesrèglesetsymbolesquipermettrontauxélèvesdeconstruireunlangagemathématiqueprécisetclairpourparveniràuneécrituresouslaformed’uneligneuniquedecalculs.

Ecriturespersonnelles Ecrituresàétapes(lignesdecalculs) Ecritureenunelignedecalculs

25x3=75-(6–4)=73Lesensdusigne«=»n’estpascompris.L’élèveorganisel’écrituredesaréponsecommeunesuitedecalculs,indépendammentdelavaleurdu«=».

Arbredecalculs:25x36–475–273

L’élèveabesoindeconnaitreetcomprendrelavaleuretlerôledesparenthèsesdanslecadredesprioritésopératoires.(25x3)–(6–4)=7325x3–6–4=73

L’élèveignorelapropriétérelativeauxprioritésopératoiresetn’aparconséquentpasrecoursauparenthésage,pourtantnécessaire.

Souslaformedelignesdecalculs:25x3=756–4=275–2=73

Commentamenerlesélèvesàcomprendreleurerreur?Ø L’usagedelacalculatricepourvalider/invaliderdesécrituresmathématiquespeutconduirelesélèvesà

s’apercevoirqu’ilssesonttrompés.Ilscomprendrontalorsquelacalculatriceprioriselesopérations.Soitilspasserontàl’écritureàétapes,soitilsessaierontdeplacerdesparenthèses.

Ø Ilestalorsintéressantd’apporterlanouvellenotionarithmétiquequiconduitàconnaitrelesprioritésopératoiresetàutiliseràbonescientleparenthésage.

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Propositiondidactiqueaposterioridel’évaluation:s’appuyersurlesévaluationspourmettreenœuvreuneséancededécouvertepourmettreenavantdesstratégiesdecalculs.Procéderdansunpremiertempsavecunnombrecibleinférieurà100.

Reprendrelarègledujeuetproposerauxélèveslenombrecible73aveclesnombressuivants:10–4–5–3–6et2.

Privilégiezlareprésentationsouslaformed’arbresdecalculscommeétapeintermédiaireàuneécrituremathématiquesurplusieurslignes.Onexcluticil’écrituresuruneseuleligneavecousanslesparenthèsesquiseratravailléetoutaulongducycle3.

Etape1:l’arbredecalcul

Etape2:lamiseenécrituremathématiquesurplusieurslignes.

• 5+2=7• 7x10=70• 70+3=73

Procédezdelamêmefaçonavecd’autrespossibilités(envoici3autresparmi618)

• 10+4=14• 14x5=70• 70+3=73

• 10+3=13• 13x6=78• 78–5=73

• 6+3=9• 5+2=7• 7x9=63• 63+10=73

Dansunsecondtemps,proposerauxélèvesderevenirsurlesévaluationsetderetrouverpargroupeouindividuellementdifférentessolutionsaveclenombrecible103,puis168…Revenirlorsd’unemiseencommunsurlesdifférentesstratégiesAutressituationsàproposerauxélèves:Utilisationdejeuxdedéstelsque«Calculissimo»,«Mathadorflash»ou«1,2,3chiffresenfolie»quiproposentunpaneldesituationspourtravaillerl’intelligenceducalculchezlesélèves.Ilestessentield’adaptercesjeuxenfonctiondesbesoinsdesélèves:faire0avecdesdés,privilégiercertainsopérateursparrapportàd’autres.Certainsdossierspédagogiquesexistent:https://www.mathador.fr/pdf/Livret-pedagogique-Mathador-flash.pdf

10 5 2 4 6 3

5+2=7

10x7=70 70+3=73