UE LP103 – Optique géométrique – TD 1 - 03/10/07 1/6

Université Pierre et Marie Curie - LP1 - UE 103 - Année 2007 - 2008 Reza.Samadi@obspm.fr

Optique Géométrique – TD Série N°1 Faisceaux lumineux ; lois de Snell-Descartes ; Notion de stigmatisme ; Approximation de Gauss ; Relation de conjugaison des dioptres sphériques. (Remarque : les quantités en gras désigneront des valeurs algébriques).

1) Réflexion totale On dispose d’un flotteur mince,de rayon R au centre duquel on a planté un clou, perpendiculaire au plan du disque. La tête du clou est à la distance b du centre du disque. Le disque est placé dans l’eau, le clou étant immergé. A quelle condition le clou est-il visible pour un observateur placé dans l’air ? On prendra pour l’indice de l’eau n=1.33.

2) Incidence de Brewster Un dioptre plan sépare l’air d’un milieu n. Pour quelle valeur de l’angle d’incidence le rayon réfléchi est-il perpendiculaire au rayon réfracté ?

3) Mesure de l’indice d’un prisme On considère le prisme montré présenté sur la Fig. 1.

i

r i'

A

Ar'

Figure 1 : Déviation d'un rayon par un prisme

Soit A l’angle que font les deux faces traversées par le rayon incident (la face opposée s’appelle la base du prisme). Montrer que la déviation angulaire du faisceau entrant est égal à D= i + i’ – A. On cherche à déterminer l’indice du prisme : L’expérience montre que pour une radiation monochromatique donnée, la déviation D passe par une valeur minimum. Soit Dm la valeur de cette angle de déviation minimale. Déterminer la condition sur r et r’ et sur i et i’ pour que D=Dm. En déduire la valeur de i en fonction de A et de Dm et enfin la valeur de l’indice du prisme.

4) Faisceau parallèle et miroir sphérique Soit la configuration optique de la Fig. 2 : Le point C est le centre du miroir sphérique et S son sommet. Le faisceau entrant est parallèle à l’axe CS du miroir.

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C M ’S

x

i I

Figure 2

a) Montrer que CM’ = R/( 2 cos i). b) Exprimer CM’ en fonction de R et de l’ordonnée y du point I. Faire une figure et

tracer quelques rayons. En déduire que si l’on est dans les conditions de Gauss tous les rayons viennent pratiquement converger au même point de l’axe. Donner la position de ce point. A quoi correspond ce point ?

5) Mesure de l’indice d’un liquide Deus fils parallèles distants de a sont maintenues à la surface d’un liquide d’indice n, grâce à des flotteurs (non représentés sur la Fig. 3). Le liquide est placé dans un récipient dont le fond est garni de mercure formant un miroir plan. Soit h la hauteur du liquide au-dessus du mercure ; cette hauteur est réglable grâce à un dispositif à vases communicants. On observe l’un des fils sous une incidence i donnée et on règle h de façon que l’image de l’autre fils coïncide avec le fil observé. Donner l’expression de n en fonction de i,a et h.

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i

ah

Figure 3 : Indice d’un liquide

6) Propagation d’un rayon lumineux dans un milieu inhomogène Un rayon lumineux traverse une succession de milieux transparents séparés par des dioptres plans horizontaux parallèles au plan x0z (voir Fig. 4). Le rayon traverse le milieu d’indice n1 avec un angle i1 avec l’axe Oz, il traverse ensuite avec un angle i2 le milieu d’indice n2, …etc.

n1

n2

n3

i1

i2

i3

x0

z

x

Figure 4

a) Montrer qu’en traversant les différents dioptres le rayon reste contenu dans le plan xOz et que : nj sin ij = Cte

b) On considère maintenant le cas où la répartition d’indice est continue et est fonction de l’ordonnée z : n =n(z) .

En vous inspirant du a) montrer qu’entre deux couches voisines : dx/dz = tan i(z) et que l’équation du rayon lumineux passant s’écrit :

∫ −=−

z

dzinzn

inxx0 022

02

00

)(sin)()sin(

où x0 est l’abscisse du point de départ du rayon et n0 est l’indice du milieu en ce point (n0=n(z0)). c) Déterminer explicitement l’équation de ce rayon dans le cas où kznzn −= 2

02 )( .

Quelle est la nature géométrique de cette courbe ?

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7) Principe de Fermat et loi de Descartes pour la réfraction Le but de cette exercice est de redémontrer la formule de Descartes de la réfraction en appliquant le principe de Fermat : On considère deux milieux séparés par un dioptre (voir Fig. 5). Dans le milieu (1) la lumière se déplace à la vitesse V1 et dans le milieu (2) à la vitesse V2.

A

B

M xO

y r

imilieu 1

milieu 2

Figure 5

Soit deux points A et B fixes, le premier dans le milieu 1 et le second dans le milieu. Soit un point M quelconque situé sur l’interface entre les deux milieux (interface repérée par l’axe des abscisses Ox). On désignera par i l’angle que fait le segment AM avec l’axe des ordonnées Oy et r l’angle que fait le segment MB avec Oy. Calculer le temps que mettrait la lumière si elle pouvait parcourir le segment AM et le segment MB. En appliquant le principe de Fermat en déduire ensuite que : V2 sin i = V1 sin r. En définissant n=C /V où V est la vitesse dans un milieu donné et C la vitesse de la lumière dans le vide, retrouver la formule de Descartes pour la réfraction.

8) Condition de stigmatisme approché Soit la configuration optique de la Fig. 6. La lentille « demi-boule plan» convexe est éclairée par un faisceau parallèle. On se propose d’estimer les limites quantitatives permettant d’avoir un « bon » stigmatisme de ce système optique. Soit un rayon arrivant parallèlement à l’axe optique et situé à une distance h de cet axe. Etablir la relation liant SA et h en fonction de R et des angles i et r. Au delà de quelle valeur de h il n’a plus de rayon émergent (on déterminera pour cela l’angle r au delà duquel il n’y a plus de rayon émergent) ? Montrer que le foyer image F’ de la lentille est situé en SF’= R/(n-1). Déterminer ensuite la valeur maximale de h en dessous de laquelle le stigmatisme est assuré à mieux que 10%. A.N. pour n=1.5.

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h

R

AS

r

i

Figure 6

9) Fibre optique a) On considère une fibre optique (Figure 7) constituée par un cylindre centrale (le cœur) d’indice n2 et d’une gaine cylindrique d’indice n1<n2. Montrer que tout rayon situé dans un plan méridien de la fibre et faisant un angle θ avec l’axe reste prisonnier de la fibre si θ<β où est β un angle que l’on exprimera en fonction de n1 et n2.

Figure 7

b) Soit L la longueur de la fibre et c la vitesse de la lumière dans le vide ; calculer la différence de temps mis par le rayon parcourant le moins de temps dans la fibre et celui parcourant le plus de temps. A.N. : n2=1.6, n1=1, c=3 108 m/s et pour L prendre successivement L= 1m , 100 m et 10 km. Remarque : Les rayons lumineux d’inclinaisons différentes n’ont pas le même chemin optique à parcourir dans la fibre d’indice uniforme (n2=n0). Une impulsion lumineuse de courte durée envoyée dans la fibre subit un élargissement temporel lorsqu’elle ressortira de celle-ci. Ceci limite rapidement le taux maximal de transfert d’informations à grandes distances par ce type de fibre.

10) Dioptre sphérique Soit un dioptre sphérique de rayon de courbure R, de centre C et de sommet S (Figure 8). Le dioptre sépare un milieu d’indice n1 et l’autre d’indice n2. Soit un rayon partant du point A, passant par le point I et émergent au point A’. On suppose que ce rayon vérifie les conditions de Gauss, autrement dit a est très petit ce qui implique que SI << R. Exprimer en fonction de n1, n2 et R la relation reliant SA à SA’. Soit B un point situé dans le plan passant par A et orthogonal à l’axe SC . Ce point est à une distance de l’axe petite devant R si bien que le rayon passant par B et S vérifie les conditions de Gauss. Le rayon issu de B émerge en B’ (voir Figure 9). On notera a l’angle entre AS et AI et a’ entre A’S et A’I.

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Montrer que Γ≡= CteAB

BA ''

où Γ est une constante qui ne dépend que de la position de A

et de A’ et des autres constantes du système. Déterminer cette constante en fonction du rapport SA/SA’, de n1 et n2. Démontrer ensuite l’invariant de Lagrange – Helmholtz, à savoir :

'''21 aBAnaABn =

n1 n2

CS A’A

Ox

I

a

a'

c

+

Figure 8

n1 n2

S

A’

A

Oxa'

Ba

B’

I

Figure 9

On considère maintenant un faisceau parallèle et étroit (de section très petite devant R) qui se propage dans le milieu d’indice n1 suivant l’axe SC (voir Figure 10). Montrer que les rayons constituants ce faisceau convergent tous au point F’ représenté sur la figure. Exprimer SF’ en fonction de n1, n2 et R.

n1 n2

CS F’

Figure 10