Optique électronique.pdf

E 1

30

0

6

- 19

93

Optique électronique

par Peter HAWKESDirecteur de Recherche au Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

e faisceau d’électrons, ou plus généralement le faisceau de particuleschargées, joue le rôle principal dans un large éventail d’appareils, allant des

postes de télévision et des consoles d’ordinateur jusqu’aux instruments haute-ment spécialisés tels que les microscopes électroniques et les grands accélé-rateurs de particules. Bien plus, il est à l’origine de certains phénomènes naturels,tels que l’aurore boréale.

Très souvent, le comportement des électrons est soumis à des lois identiquesà celles qui régissent l’optique photonique et un vocabulaire similaire estemployé : on parle de lentilles (magnétiques ou électrostatiques), de prismes,de longueur et distance focales, d’aberrations (géométriques et chromatiques).

Tout comme dans l’optique photonique, on distingue l’optique géométrique,que l’on utilise quand les effets dus à la longueur d’onde des électrons sontnégligeables, de l’optique ondulatoire, que l’on emploie pour une compré-hension plus poussée des phénomènes observés.

Les lois de l’optique géométrique sont établies à partir de la loi de mouvementde Newton, cette dernière étant modifiée pour tenir compte des effets relati-vistes. Il est possible également de partir d’une loi variationnelle, ce qui permetde se rapprocher du principe de Fermat.

L’optique ondulatoire est développée à partir de l’équation de Dirac, car lesélectrons sont des particules à spin 1/2, mais en pratique, le spin ne jouant aucun

1. Principes de l’optique électronique géométrique .......................... E 1 300 - 31.1 Généralités ................................................................................................... — 31.2 Potentiels et champs ................................................................................... — 31.3 Trajectoires................................................................................................... — 51.4 Lois de l’optique paraxiale.......................................................................... — 61.5 Aberrations................................................................................................... — 8

2. Composantes de base............................................................................. — 102.1 Sources d’électrons..................................................................................... — 102.2 Lentilles à symétrie de révolution.............................................................. — 11

2.2.1 Lentilles électrostatiques ................................................................... — 112.2.2 Lentilles magnétiques ........................................................................ — 11

2.3 Lentilles quadrupolaires.............................................................................. — 122.4 Systèmes de déflexion................................................................................ — 122.5 Prismes......................................................................................................... — 15

3. Calcul des systèmes................................................................................ — 16

4. Optique ondulatoire ................................................................................ — 164.1 Introduction.................................................................................................. — 164.2 Limite de résolution du microscope électronique .................................... — 174.3 Holographie électronique ........................................................................... — 18

5. Exemples d’applications ........................................................................ — 185.1 Vie courante ................................................................................................. — 185.2 Industrie. Défense........................................................................................ — 195.3 Laboratoire recherche ................................................................................. — 20

Pour en savoir plus........................................................................................... Doc. E 1 300

L

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.© Techniques de l’Ingénieur, traité Électronique E 1 300 − 1

OPTIQUE ÉLECTRONIQUE ________________________________________________________________________________________________________________

rôle sauf dans des cas très exceptionnels (microscopie à balayage à bassetension), il est toujours mis de côté. On se contente alors d’une forme relativistede l’équation de Schrödinger.

Les lois optiques ne conviennent pas pour caractériser tous les faisceaux d’élec-trons. Pour qu’un formalisme optique décrive correctement la propagation desélectrons, ceux-ci doivent respecter certaines conditions. D’abord, ils doiventrester ensemble autour d’un axe, qui peut en principe être une courbe quelconquemais qui en pratique se limite à un petit nombre de courbes simples, une lignedroite ou circulaire par exemple. De plus, la densité du courant dans le faisceaudoit être suffisamment faible pour que les interactions inter-électrons restentnégligeables. Dans le paragraphe consacré aux sources d’électrons (§ 2.1),nous verrons quelles sont les conséquences d’une densité de courant locale tropélevée (effet Boersch).

Un paragraphe entier (§ 2.2) est consacré aux lentilles électroniques maisnous serons amenés à les évoquer à titre d’exemple partout. Nous rappelonsdonc ici qu’une lentille électrostatique typique comporte trois électrodes(figure Aa ) portées à des tensions variées. Ces électrodes peuvent être desplaques percées de trous circulaires ou des cylindres à section circulaire maispas nécessairement à rayon constant.

Une lentille magnétique (figure Ab ) est un électroaimant au centre duquelun trou a été percé pour le passage des électrons. Le champ est concentré dansune petite région au niveau de l’entrefer.

De nombreux résultats sont donnés dans cet article sans démonstration ; pourtrouver des informations complémentaires, le lecteur est invité à se reporter àun des ouvrages [1] à [10]. La notation adoptée ici est identique à celle de Prin-ciples of Electron Optics par Hawkes et Kasper [6] [7], le plus récent des traitéssur l’optique électronique. Il n’existe pas de texte récent en langue française.

Figure A – Lentilles électroniques : principe

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.E 1 300 − 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Électronique

________________________________________________________________________________________________________________ OPTIQUE ÉLECTRONIQUE

1. Principes de l’optique électronique géométrique

1.1 Généralités

La force F exercée par un champ électrostatique E (r ) et un champd’induction magnétique B (r ) sur un électron dont la vitesse est vest donnée par :

F = – e E (r ) + v × B (r )

avec e valeur absolue de la charge de l’électron,

r vecteur de position.

La trajectoire de l’électron est la solution de l’équation deNewton-Lorentz :

(1)

où m représente la masse relativiste de l’électron :

et c la vitesse de la lumière (3 · 108 m/s).

Les calculs s’expriment plus facilement à l’aide du potentielélectrostatique Φ (r ) :

E = – grad Φ

et on montre facilement que :

où

et

Nous avons choisi de faire coïncider la valeur Φ = 0 avec lavitesse .

Il est clair que l’équation des trajectoires ne peut être résolue quelorsque les répartitions de E ou Φ et de B sont connues. Le para-graphe 1.2 est donc consacré aux méthodes de calcul de ces fonc-tions. Les techniques numériques ont complètement remplacé lesdispositifs analogiques (cuve rhéographique, réseau de résistances)employés jadis.

1.2 Potentiels et champs

Dans un domaine sans charge d’espace, le potentiel électros-tatique satisfait à l’équation de Laplace :

∇2 Φ (r ) = 0 (2)

Celle-ci est un cas particulier de l’équation de Poisson,

div [ε (r ) grad Φ (r )] = – ρ (r ) (3)

où ρ (r ) représente la répartition de charges d’espace et ε lapermittivité.

Pour un champ d’induction B, on introduit un potentiel vecteurA et parfois un potentiel scalaire χ lorsque la perméabilité magné-tique µ est uniforme :

B = rot A H = B /µ = – grad χ (4)

En général, les équations de Maxwell montrent que :

(5)

où j représente la densité de courant.

Sauf dans les milieux ferromagnétiques qui peuvent se saturer,µ–1 est constant et nous trouvons :

∇2 A = – µj avec div A ≡ 0

Dans un domaine sans courant, j = 0, et :

∇2 A = 0 et ∇2 χ = 0 (6)

Nous allons considérer les trajectoires d’électrons qui restentdans le voisinage immédiat d’un axe z ; c’est une des raisons pourlesquelles il est utile de développer les potentiels en série autour

Notations et Symboles

Symbole Définition

A Facteur de forme d’une lentilleB Champ d’induction magnétique

Brillance, quantité analogue à la luminance,mais qui se mesure en A · m–2 · sr–1

c Vitesse de la lumière (= 3 · 108 m/s)C Contraste

Cs , Cc Coefficients d’aberration sphérique, chromatiquee Charge de l’électron (= 1,602 · 10–19 C)E Champ électrostatiqueF Force exercée par un champ électrostatique

Solutions des équations des rayons paraxiaux (12)

h Constante de Planck (= 6,62 · 10–34 J/s)i Imaginaire (i2 = – 1)j Densité de courantk Constante de Boltzmann (= 1,38 · 10–23 J/K)

Grandissement (longitudinal, angulaire)m0 Masse au repos de l’électron (= 0,91 · 10–30 kg)m Masse relativiste de l’électronr Vecteur de positiont TempsT Températurev Vitesseγ Angleγ = m /m0ε Permittivité, coefficient de correction relativisteε = e /m0 c 2

ηθ (z ) Angle entre deux repères (x, y, z ) et (X, Y, z)

λ Longueur d’onde, coefficientµ Perméabilité magnétique

ρ (r ) Répartition des charges d’espaceσ (r’ ) Répartition des charges sur la surface

ϕ Angle dans un repère cylindriqueφ (z ) Potentiel électrostatique sur l’axe optiqueΦ (r ) Potentiel électrostatique

= Φ (1 + ε Φ) potentiel électrostatique avec correction relativiste

χ Potentiel scalaire

∇ : Laplaciena, i, o : indices employés pour les plans respectivement d’ouverture, image, objet

g z( ), h z( ),G z( ), G z( )

M M, Mα( )

e/2m0=

Φ^

ddt--------- m v ( ) F =

m γ m0 m0/ 1 v 2/c 2( )– ; m 0 m v 0 = ( ) ; m 0 0,91 10 30 – kg ⋅ == = =

mv 2m0eΦ= et γ 1/ 1 v 2/c 2– 1 4εΦ += =

^ ^

Φ Φ 1 εΦ+( )=^

ε e/ 2m0c 2( ) 1,602 10 19–⋅2 0,91 10 30– 9 1016⋅ ⋅ ⋅ ⋅-------------------------------------------------------------- 0,98 MV 1 – ≈ = =

v v 0= =

rot rot A

µ

rot A ( ) ---------------------------------

j r

( )

=



de cet axe. Un calcul assez long mais sans difficulté (voir [5] pourles détails) montre que :

(7)

(8)

(Pour obtenir

A

y

à partir de

A

x

, on remplacera

x

par

y

et

y

par –

x ).

Les fonctions φ (z ), F1 (z ), ..., q 4 (z ) qui figurent dans le dévelop-pement de Φ (r ) et les fonctions B (z ), B 1 (z ), B 2 (z ) ... Q 4 (z ) quifigurent dans celui de A (r ) caractérisent des symétries différentes.Pour les faire ressortir, on exprime Φ en coordonnées cylindriques(r, ϕ, z ) :

Lorsque le système est symétrique autour de l’axe z, seule la fonc-tion φ (z ) peut être différente de zéro, ou B (z ) dans le cas magnétique.Pour un système qui possède deux plans de symétrie, p2 , q2 , p4et q4 peuvent être différents de zéro, ainsi que φ (z ) et si ces planssont les plans (x, z ) et (y, z ), seuls p2 et p4 ne sont pas nuls.

Dans le cas magnétique (figure 1), ce sont Q2 et Q4 qui subsistent.On voit que le champ perpendiculaire à l’axe, (∂Φ /∂x, ∂Φ/∂y ), ne tendpas vers zéro sur l’axe, si une des fonctions F1 ou F2 est différentede zéro. Par conséquent, ces fonctions doivent représenter deschamps déflecteurs.

Le cas le plus important correspond à la symétrie de révolutionautour de l’axe, qui est décrit par les deux répartitions φ (z ) et B (z ).Ce sera surtout ce cas que l’on étudiera par la suite. Néanmoins,moyennant un calcul plus lourd, les mêmes méthodes permettentde calculer les champs dans toute autre configuration.

Les électrodes et les milieux magnétiques qui créent les champsélectrostatiques et magnétiques définissent les valeurs de potentielcorrespondantes sur des surfaces, à l’intérieur desquelles les réparti-tions de potentiel sont à calculer. Il s’agit donc d’un problème devaleurs aux limites : problème de Dirichlet ou problème deNeumann. Une solution générale est connue :

avec da’ un élément de surface,

σ (r ’) la répartition des charges sur la surface.

L’intégration s’effectue sur toutes les surfaces.

Le potentiel est donné sur les électrodes et on peut donc calculerσ. Ensuite, le potentiel peut être évalué en tout autre point del’espace entouré par les électrodes (figure Aa ). Un raisonnementanalogue permet de calculer les champs magnétiques.

Dans un calcul pratique, les surfaces sont découpées en petiteszones et l’intégrale est discrétisée (BEM : Boundary-ElementMethod ).

Pour ce faire, sans perdre de précision, des procédés ultra-sophistiqués ont été développés. Voir [6] et les publications citéesdans ces livres, ainsi que les traités de Durand [11] [12].

Deux autres groupes de méthodes sont employés courammentpour résoudre l’équation de Laplace : les méthodes de différencesfinies (FDM) et les méthodes d’éléments finis (FEM).

Φ r( ) φ z( ) 14----- x 2 y 2+( ) φ″ z ( )

164 -------- x 2 y 2 + ( ) 2 φ IV z ( ) +–=

xF

1

z

( )

–

yF

2

z

( )

–

18

-----

x

2

y 2+( ) x F ″1 yF ″2+( )+

12----- x 2 y 2–( ) p 2 z ( ) xyq 2 z ( ) 1

24 ------- x 4 y 4 – ( ) p ″ 2 z ( ) –+ +

112

--------

xy x

2

y

2

+

( ) q ″2 z( )–16----- p 3 z ( ) x 3 3 xy 2 – ( ) –

16

----- q 3 z ( ) y 3 3 x 2 y – ( ) 124

-------- p 4 z ( ) x 4 6 x 2 y 2 y 4 +– ( ) + +

16

----- q 4 z ( ) x 3 y xy 3 – ( ) ... + +

Ax r( ) 12 ----- y B 1

8 ----- x 2 y 2 + ( ) B ″ –

–=

14

-----

x

2

y

2

–

( ) B ′ 2 1

48 -------- x 4 y 4 – ( ) B ′ ′ ′ 2 –+

12 ----- xyB ′ 1

124

-------- xy x 2 y 2 + ( ) B ′ ′ ′ 1 +–

112 -------- x x 2 3 y 2 – ( ) Q ′ 2 1

12 -------- y y 2 3 x 2 – ( ) P ′ 2 ––

148

--------

x

4

6

x

2

y

2

y

4

+–

( ) Q ′ 3 1

12 -------- xy x 2 y 2 – ( ) P ′ 3 ... +–+

Az r( ) xB2 yB1+–18----- x 2 y 2+( ) xB ″ 2 yB ″ 1 – ( ) +=

12

-----

x

2

y

2

–

( ) Q 2 xyP 2 – 124

-------- x 4 y 4 – ( ) Q ″ 2 112

-------- xy x 2 y 2 + ( ) P ″ 2 +–+

16 ----- x x 2 3 y 2 – ( ) Q 3 1

6 ----- y y 2 3 x 2 – ( ) P 3 ––

124

--------

x

4

6

x

2

y

2

y

4

+–

( ) Q 4 16

----- xy x 2 y 2 – ( ) P 4 ... +–+

Φ r, ϕ, z( ) φ r 2

4------- φ″

r

4

64 ------- φ IV +–=

r F

1

ϕ

cos

F

2

ϕ

sin

+

( )

r

3

8

-------

F

″

1

ϕ

cos

F

″

2

ϕ

sin

+

( )

+–

r

2

2

-------

p

2

2

ϕ

cos

q

2

2

ϕ

sin

+

( )

r

4

24

-------

p

″2 2ϕcos q ″2 2ϕsin+( )–+

r 3

6------- p3 3ϕcos q3 3ϕsin+( ) r 4

24------- p4 4ϕcos q4 4ϕsin+( )+–

...+

Figure 1 – Plans de symétrie de lentilles quadrupolairespour lesquels

q

2

(

z

) =

P

2

(

z

)

≡

0

Φ r ( ) 14

π

--------- σ r ′( ) d a ′ r r

′

–

----------------------------=



Dans les FDM, on recouvre la zone à l’intérieur de laquelle onsouhaite connaître le potentiel d’un maillage, carré ou rectangulairedans la plupart des cas, et on utilise l’équation de Laplace pour établirla relation entre le potentiel d’un point donné et les potentiels deses voisins. On suppose qu’une approximation linéaire est adéquate,ce qui rend le problème linéaire : on a autant d’équations qu’il y ade nœuds. Les nœuds sur les électrodes définissent les conditionsaux limites. Le nombre de points, donc le nombre d’équations, esten général très grand (toujours plusieurs centaines, souvent plu-sieurs milliers) et l’ensemble est résolu par une méthode itérativecomme celle, typique, de

sur-relaxation successive

(

SOR

:

Succes-sive Over-Relaxation

). Pour atteindre la précision souhaitée, onrépète le calcul en réduisant la taille des mailles jusqu’à ce que ladifférence entre deux calculs soit suffisamment petite. Une discus-sion très détaillée est donnée par Durand [11].

L’inconvénient de cette méthode est que souvent le maillage nereflète pas bien le tracé de la surface des électrodes.

A priori

, onaimerait que le maillage soit fin dans des zones où la surface changerapidement (arêtes, structure compliquée) et plus gros là où la sur-face varie lentement. Certes, le multi-maillage pourrait être utilisémais non seulement il rend le calcul plus long mais des précautionsparticulières doivent être prises pour que les dérivées du potentielsoient continues aux interfaces.

Une meilleure solution consiste à renoncer à la FDM en faveurde la FEM, dans laquelle la discrétisation prend la forme de petitstriangles, de dimensions variées. Ici encore, l’équation de Laplace(dans une version variationnelle) permet d’établir un grand systèmelinéaire d’équations reliant les potentiels dans les éléments finisvoisins.

Un exemple simple est donné dans la figure

2

, qui montre l’entre-fer d’une lentille magnétique loin de la saturation. On peut voir quele maillage épouse parfaitement les contours du circuit magnétiqueet que les mailles sont plus fines dans le voisinage de l’entrefer, làoù se trouvent des arêtes, alors qu’alentour les mailles sont pluslarges.

Dans certains cas, une combinaison de ces méthodes se montreefficace, parfois indispensable. Pour la lentille très ouverte de lafigure

3

, ni la FEM ni la FDM ne conviendraient pour l’espace àl’extérieur du circuit magnétique car l’étendue du champ estinconnue et en toute probabilité assez vaste. L’intérieur du circuit(qui risque de se saturer) est donc calculé à l’aide de la FEM, dontle maillage est illustré sur la figure

3

, alors que pour l’extérieur ducircuit, c’est la BEM qui est utilisée.

Toutes ces méthodes peuvent être appliquées aux structurestridimensionnelles, le calcul est bien entendu beaucoup plus lourddans ces cas. Un exemple très impressionnant de l’utilisation de laBEM en trois dimensions est présenté sur la figure

4

.

1.3 Trajectoires

L’équation de Newton-Lorentz (1) peut être résolue à l’aide deméthodes numériques classiques, malheureusement, de telles solu-tions ne nous donnent aucune information sur le comportementgénéral du système en question. Avant de considérer les méthodesnumériques, il convient donc de transformer cette équation et d’endéduire l’équation différentielle approchée qui décrit les trajectoiresvoisines de l’axe, l’

équation des rayons paraxiaux

.

Figure 2 – Discrétisation pour la méthode d’éléments finis ;entrefer et canal autour de l’axe

z

d’une lentille magnétique

Figure 3 – Calcul hybride : cas d’une lentille plate dite

de Mulvey

Figure 4 – Discrétisation en trois dimensions :cas d’une pointe à extrémité d’un filament en épingle à cheveux



Les variables indépendantes dans l’équation de Newton-Lorentz(1) sont les coordonnées de position et le temps. Dans un grandnombre d’instruments d’optique électronique, on s’intéresse uni-quement aux trajectoires des particules et le temps est sans intérêt(il existe toutefois des exceptions importantes, notamment certainstypes de spectromètres dits

à temps de vol

). Il est facile d’éliminerle temps

t

à l’aide de la relation entre l’élément de longueur d’arcd

s

et l’élément de temps, d

t

. On a d

s

=

v

d

t

et, pour un système àaxe optique rectiligne (

z

), on trouve :

(9)

où

et

B

t

= (Bz + X ’BX + Y ’BY)/ρ

Nous avons noté les coordonnées cartésiennes X, Y, z provisoi-rement, pour des raisons qui apparaîtront évidentes plus loin [cf.relation (11)].

Ces équations s’appliquent à tout système ayant un axe rectiligne.Le cas où le système possède une symétrie de révolution autour decet axe est particulièrement important. Nous avons vu [relations (7)et (8)] que pour un tel système, seules les fonctions φ (z ) et B (z ) sub-sistent dans les développements de Φ et de A. En substituant cesséries dans les équations (9) et en se limitant aux termes de premierordre, on trouve :

(10)

avec γ = m /m0 .

Ces équations sont couplées : X et Y figurent dans chacune d’elles.Pour essayer de les découpler, nous pouvons introduire de nouvellescoordonnées (x, y, z ) obtenues par rotation d’un angle θ (z ) autourde l’axe z. Soit w = X + iY et u = w exp [– iθ (z )].

L’équation (10) s’écrit alors :

et ensuite :

Les termes imaginaires disparaissent si θ ’ prend la valeur

(11)

et nous trouvons :

(12)

Avec u = x + iy, nous obtenons deux équations différentiellespour x et pour y, chacune identique à (12). Celles-ci sont les équa-tions des rayons paraxiaux. Elles sont linéaires, homogènes et dedeuxième ordre. La solution générale s’écrit :

u (z ) = A1u1(z ) + A2u2 (z ) (13)

où A1 et A2 sont des constantes, u1 et u2 sont deux solutions quel-conques mais indépendantes de (12). Deux solutions sont particu-lièrement utiles (figure 5) : g (zo) = 1 et h (zo) = h (zi) = 0. Un pinceaude rayons qui passe par un point dans le plan z = zo s’écrit :

u (z ) = uog (z ) + λh (z )

où λ est un paramètre.

Dans le plan z = zi , nous avons u (zi ) = uog (zi ), ce qui démontreque tous les rayons du pinceau passent par un seul point dans leplan z = zi . De plus, le rapport u (zi )/uo est constant et on conclutque le système forme une image du plan z = zo dans le plan z = zi ,avec un grandissement M = g (zi ). Cependant, l’image est tournéepar rapport à l’objet, à cause de la torsion des coordonnées (x, y, z).

1.4 Lois de l’optique paraxiale

De nombreuses lois d’optique découlent de l’équation des rayonsparaxiaux. Nous attirons l’attention sur le rôle de la wronskienne.Soit u1 et u2 deux solutions de l’équation des rayons paraxiaux.Remplaçons u par u1 et multiplions l’équation par u2 ; faisons demême pour u2 et u1 . La soustraction des équations donne :

(14)

Cette invariante est appelée la wronskienne de (12).

Posons u1 → h et u2 → g ; nous trouvons que :

mais h ’(zi )/h ’(zo) est le grandissement angulaire, Mα , et on voit que :

On démontre aisément que le grandissement longitudinal, ,est donné par :

L’équation paraxiale permet de définir les éléments cardinaux quicaractérisent toute lentille : longueur focale, distance focale et plansprincipaux. En optique électronique, il est nécessaire de distinguerdeux types d’éléments cardinaux ; d’une part, les éléments asympto-tiques et, d’autre part, les éléments réels. En effet, dans certaineslentilles, dites objectifs ou lentilles à sonde, un échantillon, ou unecible, est couramment situé dans le champ de la lentille. Seule unepartie de ce champ agit sur les électrons se trouvant au-delà del’échantillon ou en deçà de la cible. En revanche, d’autres lentillesservent à agrandir une image intermédiaire ; dans ce cas, toutel’étendue du champ est parcourue par les électrons. Un ensembled’éléments cardinaux doit donc être défini pour chaque situation.

d2Xdz 2-------------

ρ2

2Φ---------- ∂Φ

∂X--------- X ′ ∂Φ

∂z---------–

ηρ2

Φ1/2------------ ρBY Y ′Bt–( )+=

d2Ydz 2------------

ρ2

2Φ---------- ∂Φ

∂Y--------- Y ′ ∂Φ

∂z---------–

ηρ2

Φ1/2----------- ρBX– X ′Bt+( )+=

^

^

^

^

^

^

^

^

ρ 1 X ′2 Y ′2+ += , η e/ 2m0( ) 3 105 C1/2 · kg 1/2 – × ≈ =

d2Xdz 2-------------

γ φ′2φ

----------- dXdz

----------γ φ″4φ

----------- X ηBφ 1/2---------- dY

dz---------- ηB ′

2φ1/2-------------- Y+ + + + 0=

d2Ydz 2------------

γ φ′2φ

----------- dYdz

---------- γ φ″4φ

------------ Y ηBφ1/2---------- dX

dz---------- ηB ′

2φ1/2-------------- X––+ + 0=

^

^

^

^

^

^

^

^

w ″ γ φ′2φ

---------- w ′ γ φ″4φ

----------- w iηBφ1/2----------- w ′ iηB ′

2φ1/2-------------- w––+ + 0=^ ^ ^ ^

u iθ″ θ′2 iθ′ γ φ′2φ

----------- iηB2φ1/2---------------–

γ φ″4φ

----------- iηB ′2φ1/2---------------–+ +–

+ 0=

u ″ u ′ 2iθ′ γ φ′2φ

----------iηBφ1/2------------–+

+

^ ^ ^ ^

^ ^

θ′ ηB/2φ1/2= ^

u ″ γ φ′/2φ( )u ′ γ φ″ η2B2+( )/4φ u+ + 0=^ ^

Figure 5 – Rayons g (z ) et h (z )

ddz-------- φ1/2 u1u ′2 u ′1 u2–( ) 0= φ1/2 u1u ′2 u ′1 u2–( ) Cte=⇒^ ^

φ o1/2h ′ zo( ) φ i

1/2h ′ zi( )M=^ ^

MMα φo / φi( )1/2=^ ^

M

MMα M=



Examinons tout d’abord les éléments asymptotiques. Soit G (z ), solutions de (12) parallèles à l’axe loin de la lentille, en amont

et en aval de celle-ci (figure 6a ) :

(15)

À la sortie de la lentille, G (z ) tend vers l’asymptote est le gradient du rayon G dans

l’espace image. Tout rayon parallèle à G (z ) dans l’espace en amonts’écrit λ G (z ), avec asymptote en aval . Ces dernièresse coupent donc sur l’axe dans le plan z = zFi , que nous appelonsle foyer image. Tous les rayons incidents λG coupent leursasymptotes émergentes dans le plan z = zPi où et

on a ; c’est le plan principal image de la lentille. Onécrit , c’est la longueur focale (figure 6b ). À l’aide de

, on définit également les éléments cardinaux objets, zFo et

zPo , , où l’asymptote à dans l’espace objets’écrit :

On écrit . La wronskienne nous permet de trouver la

relation entre fo et fi :

ce qui implique que :

et

Nota : l’indice i se rapporte au plan image, l’indice o au plan objet.

Pour les lentilles magnétiques et pour les lentilles électrostatiquesde type unipotentiel [on dit aussi du type einzel (§ 2.2.1)], quin’apportent aucune modification permanente à l’énergie des élec-trons, et donc fo = fi .

Il s’avère que les lentilles électroniques à symétrie de révolutionsont toujours convergentes. Si on augmente l’excitation d’unelentille jusqu’au point où , les asymptotes incidentes etémergentes sont parallèles à l’axe et la lentille a dégénéré en téle-scope. Au-delà de ce point, le rayon G (z ) retourne vers l’axe, est positif et fi devient négatif. Il semble que la lentille soit mainte-nant divergente mais ce terme n’est pas utilisé car la lentille paraîtêtre divergente, sa convergence étant tellement forte !

La solution générale (13) peut s’écrire :

et de même pour y (z ) avec les asymptotes :

donc (16)

où x2 représente x (z ) dans un plan quelconque z = z2 sur l’asymptote

émergente et le gradient ; x1 représente x (z ) dans un

plan z = z 1 sur l ’asymptote inc idente e t ;Q12 = (z1 – zFo )(z2 – zFi ).

Avec

nous pouvons écrire :x2 = Tx1

où T est la matrice dans l’équation (16), on l’appelle la matrice detransfert. De telles matrices sont très largement utilisées dansl’optique des accélérateurs.

Dans quelles conditions deux plans zo , zi sont-ils conjugués l’unpar rapport à l’autre ? Dans ce cas, tous les rayons passant par unpoint Po dans z = zo se recoupent en un point Pi dans z = zi . Pourcela, l’expression de xi doit être indépendante de . On voit immé-diatement, à partir de l’équation (16), que les plans sont conjuguéssi :

fo + [(zo – zFo )(zi – zFi )/fi ] = 0

ou (zo – zFo )(zi – zFi ) = – fi fo (équation de Newton)

On peut également l’écrire :

ou

Pour un objectif, il faut tenir compte du fait que l’échantillon (oula cible) est souvent immergé dans le champ. Une position très avan-tageuse se trouve au maximum de la répartition axiale B (z ) : seulela partie en aval de l’objet participe à la formation de l’image tandisque la partie en amont doit être considérée comme une dernièrelentille condenseur.

Dans des conditions normales, un objectif fonctionne à fort gran-dissement et l’image est donc formée loin de la lentille. Un ensemblede rayons qui quitte la lentille parallèlement à l’axe aura coupécelui-ci en un point , foyer objet (figure 7). Tout autre ensemblede rayons quittant la lentille parallèlement à eux-mêmes (mais pasà l’axe) se recoupe dans le plan du foyer .

Figure 6 – Éléments cardinaux asymptotiques

G z( )

G z( )z ∞ – → lim 1

=

G z

( )

z ∞→ lim 1

=

G z( )z ∞→lim z zFi–( )G ′i où G ′i=

λ z zFi–( )G ′i

λ λ z zFi–( )G ′i=

zPi zFi– 1/G ′i=

fi 1/G ′i–=

G z( )

zPo zFo– 1/ G ′o= G z( )

G z( )z ∞–→lim z zFo–( ) G ′o=

fo 1/ G ′o=

φ1/2 G G ′ G ′ G–( ) Cte=^

φo1/2 G ′o φ i

1/2– G ′i=

^ ^

fo

fi------

φo

φi--------

1/2=

^

^

φi φo=^ ^

G ′i 0=

G ′i

x z( ) A1G z( ) A2 G z( )+=

x z( )z ∞–→lim A1 A2 z zFo–( )/fo[ ]+=

x z( )z ∞→lim A1 z zFi–( )/fi[ ]– A2+=

x2

x ′2 =

z

2 z

Fi

– f i -------------------– f o Q 12 / f i +

1

–

/

f

i

z

1

z

Fo

–

f

i

---------------------

x 1

x

′

1

x ′2 A1– /fi( )

x ′1 A2/fo=

xx

x ′ =

x ′o

fo

zPo zo–--------------------

fi

zi zPi–-----------------+ 1=

φo1/2

zPo zFo–----------------------

φi1/2

zi zPi–-----------------+

φoφi( )1/4

fofi( )1/2-------------------------=

^ ^ ^^

F ′o

F ′o



Le plan principal objet est défini par l’intersection de

l’asymptote émergente et de la tangente à au foyer (figure 7).

La longueur focale est donnée par :

En réalité, le grandissement n’est pas infini : l’objet est situé prèsdu plan à une distance ζ de celui-ci (figure 8). La figure 8amontre que le grandissement M peut s’écrire :

alors que la figure 8b montre que :

On retrouve l’équation de Newton :

ce qui justifie le choix de définition de longueur focale.

1.5 Aberrations

Lors de la dérivation de l’équation des rayons paraxiaux, seuls lestermes de bas ordre en x, y ont été retenus. Cette restriction permetde calculer les propriétés paraxiales d’une lentille mais ne donneaucune indication sur les écarts dus aux termes d’ordre supérieur.Pour calculer ces écarts, il convient de retenir les termes de troisièmeordre (dans un système à axe rectiligne, il n’y a pas de termes d’ordrepair). Les équations paraxiales (homogènes) sont remplacées pardes équations hétérogènes dont le premier membre revêt la mêmeforme que les équations paraxiales alors que le deuxième membrecaractérise les aberrations géométriques. De plus, nous avons sup-posé implicitement que le faisceau d’électrons est monoénergétiqueet monochromatique. En effet, on s’efforce de limiter la gammed’énergie dans le faisceau autant que possible mais une certainevariation persiste toujours. Il en résulte une aberration chromatique.

Nous ne pouvons exposer la théorie des aberrations ici ; des trai-tements détaillés se trouvent dans les ouvrages [1] [2] [3] [4] [5] [6].

Les aberrations géométriques des lentilles à symétrie de révolu-tion forment cinq groupes. Dans un plan image z = zi , conjugué duplan objet z = zo , entre lesquels se trouve un plan d’ouverture z = za ,l’écart entre le point d’arrivée d’un rayon paraxial et un rayon avecaberrations, divisé par le grandissement M, s’écrit [1] [2] [3] [4] [5][6] :

(17)

avec uo = xo + iyo , ua = xa + iya , r = x 2 + y 2 et u* = x – iy

En pratique, seules l’aberration sphérique et la distorsion sontimportantes, la première pour les objectifs et la deuxième pour leslentilles de projection (projecteurs). Examinons chacune avec plusde détail.

Aberration sphérique : il est commode de remplacer les coor-données xa , ya par le gradient dans le plan objet. On montreque [relation (17)] :

où Cs = C /t ’3, C un coefficient d’aberration et t’ est le gradient dansle plan objet d’un rayon qui coupe l’axe dans ce plan et coupe leplan de l’ouverture en un point distant de 1 (distance unité) de l’axe.C’est le coefficient Cs qui est nommé coefficient d’aberrationsphérique ; un calcul détaillé montre que Cs ne change pas de signeet cette aberration ne peut donc jamais être éliminée par un choixjudicieux de la géométrie et de l’excitation de la lentille. En effet, ontrouve pour une lentille magnétique :

(18)

et l’on voit que l’expression entre crochets est strictement positive.

Des expressions similaires sont connues pour les lentillesélectrostatiques et pour les lentilles mixtes. Dans une étuderemarquable, Tretner a pu établir les limites inférieures de Cs pourles différentes lentilles [13].

Distorsion : dans la discussion sur l’aberration sphérique, nousnous adressions à l’objectif et donc à l’aberration réelle. L’effet de ladistorsion est important dans les projecteurs, et c’est l’aberrationasymptotique qu’il faut examiner. On comprend facilement la diffé-rence. Pour l’objectif, seul le champ au-delà de l’objet est importantet nous voyons que l’intégrale à partir de laquelle on calcule Cs a pour

limites zo et zi . Pour un projecteur, ce sont les rayons ou G(figure 6a ) qui apparaissent dans l’intégrale, dont les limites sontinfinies. L’aberration sphérique domine dans l’objectif car les anglesy sont plus élevés que dans les autres lentilles d’un systèmegrandissant ; en effet, nous avons vu (§ 1.4) que Mα = 1/M (quandfo = fi ) et qu’au fur et à mesure que l’image est agrandie, les anglessont réduits. De plus, l’aberration sphérique ne disparaît pas, mêmepour un point objet situé sur l’axe.

Figure 7 – Foyer, plan principal et longueur focale réels d’un objectif

z z ′Po=

G z( ) G z( ) F ′o

f ′o

f ′o z ′Po z ′Fo– 1/ G ′ z ′Fo( )= =

z z ′Fo=

M αo /αi Zi / f ′o ζ+( ) Zi /f ′o≈= =

M xi /xo f ′o /ζ≈=

ζZi f ′o2=

2 K ik+( ) ra2uo K ik–( )ua

2u *o (coma)+ +

D id+( ) ro2uo (distorsion)+

A ia+( ) uo2u *a (astigmatisme)+

∆xi i∆yi+ Cra2

= ua (aberration sphérique)

Fro2ua+ (courbure de champ)

Figure 8 – Formation de l’image par un objectifà grandissement élevé mais fini

x ′o , y ′o

∆xi Cxa xa2 ya

2+( ) Cs x ′o x ′o

2 y ′o2+( )= =

∆yi Cya xa2 ya

2+( ) Cs y ′o x ′o

2 y ′o2+( )= =

Cs zo

zi

η4B4

16φ2--------------- h4 hB ′ h ′B+( )2 η2h2

8φ-------------- η2B2

8φ-------------- h2h ′2+ + dz= ^ ^ ^

G



Dans la dernière lentille de projection, la distance r devient impor-tante alors que les angles sont extrêmement faibles. Au niveau del’objet, les angles de diffusion peuvent atteindre 10–2 rad ; à un gran-dissement de 100 000, cet angle est réduit à 0,1 µrad. C’est donc ladistorsion qui est importante. Pour les lentilles magnétiques, elle aune composante isotrope et une composante anisotrope, ou enspirale. La figure 9 montre les effets associés à ces composantes.

On démontre que :D = (D1/M ) + D0

où D1 et D0 sont des constantes pour une lentille donnée et uneexcitation donnée. Le coefficient anisotrope est indépendant de M.

où

Les lentilles électroniques souffrent également d’aberrations chro-matiques. Leurs propriétés varient selon l’énergie des électronsincidents. Cette variation est tellement rapide que l’on s’efforce d’uti-liser des faisceaux quasi monochromatiques (variation d’énergiede 1 ou 2 eV pour une tension accélératrice de plus de 100 kV). Lescourants dans les lentilles doivent de même atteindre une stabilitéd’au moins 10–5.

L’aberration chromatique est caractérisée par des coefficients :

Le coefficient Cc d’aberration chromatique axiale est importantpour l’objectif ; comme Cs , il est strictement positif. Les coefficientsCD et Cθ sont les parties isotrope et anisotrope de l’aberration chro-matique de distorsion, qui affecte les projecteurs. On trouve :

(19)

avec

Notons par ailleurs que est la variation relativiste de l’énergiedes électrons par rapport à la valeur moyenne, ∆B0 la variation duchamp d’induction magnétique due aux fluctuations de courant dansla bobine.

Un dernier groupe d’aberrations est présent dans toute lentille.Nous avons supposé que le système avait une symétrie particulièrede révolution autour de l’axe dans le cas considéré ici, alors qu’enréalité cette symétrie n’est jamais parfaite. Les ouvertures présententtoujours des écarts par rapport à une circularité exacte et ces défautscréent des aberrations dites parasites. Souvent, il en résulte un faibleastigmatisme que l’on corrige à l’aide d’un petit dispositif, appeléstigmateur, qui crée un défaut similaire, mais de signe opposé.

D1

– f ∞–

∞ΛmG4 zd

– fo ∞–

∞ΛeG4 zd

=

(cas magnétique)

(cas électrostatique)

D0

f ∞–

∞ΛmG3 G zd 3/ 8f 2( )+

fo ∞–

∞ΛeG3 G zd 3/ 8f i

2( )+

=

d ∞–

∞ΛaG2 zd=

Λm1

48-------- 4η4B4

φ2------------------- 5η2B ′2

φ--------------------

η2BB″φ

-------------------–+ = ^

Λe1

192φ01/2

-------------------- 3 5εφ+( ) φ″2

φ 3/2------------ 3 4εφ+( ) φ′φ′′′

φ3/2---------------–=

^^

6 5 17 ε φ + ( ) γ φ′

2 φ″

φ 5/2 ------------------ 22 γ 4 7 γ 2 1 + + ( ) φ′

4

φ

7/2 ------------ +–

Λ

a

116

------

η

B

″φ

1/2

-----------

2

η

3

B

3

φ

3/2

------------------+

=

^

^

^

^

^

^

^ ^

^ ^

∆ui ∆xi i∆yi+ Ccu ′o CD iCθ+( )uo+[ ] 2∆B0

B0------------

∆φ0

φ0

-----------– = =

^

^

CD foC2 /M foC1+–=

Cc η2B 2

4φ0--------------- h 2 zd=

Cθη2

4φ0---------- B 2 zd=

^

^

Figure 9 – Effets de la distorsion

C2η2

4φ0---------- B 2G2 zd=

C1η2

4φ0---------- B 2G G zd=

^

^

e∆φ0^



2. Composantes de base

2.1 Sources d’électrons

Une source comporte une cathode, ou filament, qui émet des élec-trons, une anode qui définit l’énergie de sortie des électrons etd’autres électrodes intermédiaires qui servent à focaliser ou àcontenir le faisceau d’électrons. L’émission est provoquée par l’appli-cation d’un champ électrostatique élevé à la surface de la cathode(émission de champ) ou par le chauffage de celle-ci (émissionthermoïonique). On peut également exciter l’émission par bombar-dement ionique de la cathode ou par rayonnement laser.

La géométrie de la source, que l’on appelle couramment un canonélectronique, varie beaucoup selon l’utilisation envisagée. Dans unmicroscope électronique, par exemple, on cherche une configurationdonnant un faisceau aussi monoénergétique que possible provenantd’une zone émettrice très petite.

Le canon d’un microscope a normalement trois électrodes (canontriode) : un filament en tungstène, chauffé à une température del’ordre de 2 600 K, une électrode intermédiaire que l’on appelle lewehnelt, et l’anode qui est maintenue à la tension accélératrice del’instrument. En réalité, l’anode et toute la colonne du microscopesont reliées à la terre et c’est au filament que l’on applique la hautetension (négative). Le wehnelt est maintenu à une tension faiblementnégative par rapport à celle du filament, ce qui permet de limiterla zone émettrice de la cathode (figure

10

).

Pour les appareils de haute performance, pour l’holographie, pourle

microscope à balayage en transmission

(

STEM

:

Scanning Trans-mission Electron Microscope

) et pour certains microscopes àbalayage classiques, l’émission de champ s’impose à cause de sabrillance élevée. Nous reviendrons sur la brillance, qui joue enoptique électronique le rôle de la luminance en optique photoniqueà la fin de ce paragraphe. Un canon à émission de champ a troisélectrodes mais le rôle du wehnelt est maintenant de créer un champélectrique élevé au niveau du filament, très pointu (figure

11

). Le

rayon de courbure de la pointe est de l’ordre de 0,1

µ

m et le champappliqué est de 10

8

V/cm. La tension du wehnelt est positive parrapport à celle de l’émetteur. La troisième électrode, l’anode, accélèreet focalise les électrons.

Le canon à émission de champ a certains inconvénients parrapport au canon thermoïonique. Bien que la brillance soit plusélevée (elle peut atteindre 10

9

A · cm

–2 · sr–1), le courant émis estplus faible (de l’ordre du microampère). La brillance élevée est dueessentiellement aux dimensions réduites de la zone émettrice. Deplus, un vide de l’ordre de 10–7 Pa est indispensable pour le bon fonc-tionnement d’un canon à émission de champ, alors que 10–3 Pa estlargement suffisant pour un canon thermoïonique en tungstène(ou 10–5 Pa avec LaB6).

Dans ces canons, le filament a la forme d’une pointe. Dans d’autresapplications, notamment quand un courant total plus élevé estnécessaire, la cathode est plate et les électrodes du canon serventà concentrer le faisceau autour de l’axe. On trouve des canons dece type dans les tubes électroniques, pour caméras de télévision parexemple, et pour les convertisseurs d’images en général.

Quand la densité de courant souhaitée devient si élevée que laforce inter-électrons dans le faisceau devient très importante, onentre dans le domaine des canons de Pierce ou canons à pervéance

élevée ; la pervéance est proportionnelle à (I courant, potentiel relativiste). Nous ne les traiterons pas ici mais ils jouentun rôle très important dans la physique des plasmas, par exemple,et le soudage par faisceau électronique.

Cependant, dans tout canon qui forme un crossover réel, la densitéde courant est localement élevée et il semble que la région du cros-sover échappe à la règle que nous nous sommes imposée. Cette ano-malie locale a pourtant des conséquences importantes.

En effet, en 1954 Boersch [6] a trouvé que la répartition en énergiemesurée du faisceau d’un canon à émission thermoïonique était endésaccord avec les prévisions théoriques : la répartition était pluslarge que prévue et devenait symétrique par rapport à son maximum.Plus le courant dans le faisceau était élevé, plus les effets étaientgrands. Cet élargissement de la répartition est appelé effet Boerschénergétique. Depuis, on a trouvé un élargissement spatial dessondes électroniques, lorsque le courant est élevé, que l’on nommeeffet Boersch spatial.

I / φ3/2^ φ^

Figure 10 – Canon thermoïonique du type triode

Figure 11 – Canon à émission de champ



De nombreuses théories ont été élaborées pour expliquer ceseffets inattendus qui viennent s’ajouter aux effets dus à l’inter-actioncoulombienne moyenne des électrons du faisceau. En effet, il s’agitd’interactions coulombiennes résiduelles, difficiles à modéliser, sibien qu’aucune des théories n’est complètement satisfaisante.

Pour caractériser un canon, les quantités les plus utiles sont ladensité de courant maximale et la brillance. Des expressions simplesdonnent la densité de courant à saturation, j.

Pour l’émission thermoïonique :

(20)

avec k constante de Boltzmann,

T (K) température,

W (J) fonction de travail de sortie du métal émetteur,

h constante de Planck

C’est la formule de Richardson-Dushman.

Pour l’émission de champ :

(21)

avec p = kT /d,

d = eF λ /2π,

F champ électrique à l’émetteur,

λ longueur d’onde correspondant à W,

jF = (4π med 2/h 3) exp (bW /d ), expression de Fowler-Nordheim avec b ≈ 0,6,

W énergie analogue à la fonction de travail du métal émetteur.

La brillance moyenne d’un canon mesure la densité de courantpar élément d’angle solide :

La brillance est donc le courant émis ∆I par élément de surface∆a normale au faisceau et par élément d’angle solide ∆Ω. Ondémontre que la brillance prend une valeur maximale ; pour uncanon thermoïonique, on trouve :

avec j donné par (20). Pour un canon à émission de champ,

avec j donné par (21).

Nota : pour des valeurs réalistes des paramètres, ≈ 100 A · cm–2 · sr–1 pour l’émission

thermoïonique (pour LaB6 on a ≈ 104 A · cm–2 · sr–1) et pour l’émission de champ,

peut atteindre 109 A · cm–2 · sr–1 dans les meilleures conditions.

Pour conclure cette discussion sur les sources et les paramètresqui permettent de les caractériser, nous devons mentionner la notiond’émittance, très largement employée pour décrire le faisceau dansles accélérateurs. En effet, la source effective peut être grande etl’émittance caractérise la répartition de positions et directions demouvement des particules dans le faisceau. Nous renvoyons auxtextes de Lejeune et Aubert [14] et de Lauer [15] ainsi qu’aux traitéssur l’optique des accélérateurs [16] [17].

2.2 Lentilles à symétrie de révolution

2.2.1 Lentilles électrostatiques

On distingue :— les lentilles qui ont un effet global accélérateur (ou retarda-

teur) ;— les lentilles dites unipotentielles ou einzel qui laissent l’énergie

des électrons inchangée.

Dans la première catégorie se placent : les lentilles à une électrodepercée d’un trou circulaire séparant deux espaces dans lesquelsrègnent des champs électriques différents ; les lentilles à deuxcylindres ou à deux plaques qui sont maintenus à des tensionsdifférentes ; les lentilles formées de plusieurs anneaux ou cylindres,maintenus à des tensions croissantes pour l’accélération des élec-trons à des énergies de l’ordre du mégaélectronvolt et au-delà. Pourtous ces cas, des modèles du potentiel sont connus mais aujourd’huiil est tellement facile de calculer les propriétés d’un systèmequelconque avec rapidité et précision qu’il est usuel de recalculerchaque configuration prometteuse.

Dans la seconde catégorie, les lentilles dites einzel ont en généraltrois électrodes, les exceptions sont rares ; la première et la dernièreélectrodes sont au même potentiel que l’anode alors que l’électrodecentrale est maintenue à une tension différente. Cette dernière peutêtre plus élevée, ou moins élevée, que celle des deux autres. Dansle cas où l’électrode centrale a un effet retardateur sur les électrons,le potentiel ne doit pas être trop bas car, au-delà de la valeurcorrespondant au potentiel du filament, les électrons sont réfléchis :la lentille devient un miroir.

Pour avoir plus de détails sur ces lentilles ainsi que les abaquesreprésentant leurs propriétés, le lecteur pourra consulter [18] [19][20].

2.2.2 Lentilles magnétiques

La lentille magnétique typique comporte une bobine entourée d’uncircuit magnétique percé d’un trou central autour de l’axe optique.Un étroit entrefer sépare les pôles nord et sud de l’électroaimant(figure A). Si les diamètres d’ouverture D1 et D2 sont égaux et lechamp sur l’axe B (z ) symétrique, on dit que la lentille est symétrique.Dans certains cas, les propriétés des supraconducteurs sont exploi-tées dans la construction des lentilles et nous reviendrons (figure 14)sur la cryolentille de Dietrich. Il existe aussi des lentilles avec deuxentrefers, notamment les lentilles à aimantation permanente, ainsique des lentilles très plates, dites monopolaires.

L’équation paraxiale pour une lentille purement magnétiques’écrit :

ce qui suggère que la quantité caractérise la lentille. Cettequantité a la dimension [L]–1 si bien que sera sansdimension ; L est une longueur associée à la lentille, l’entrefer parexemple. Cette observation permet d’établir le comportement de f,Cs et Cc (§ 1.5) lors d’un changement d’échelle : si resteinchangé, f /L, Cs /L et Cc /L resteront invariants.

L’application du théorème d’Ampère aux circuits ➀, ➁ et ➂ dela figure 12 permet de relier le nombre d’ampères-tours J dans labobine au champ B (z ) : B = B0 f (z ), B0 étant la valeur maximale deB (z ) :

j 4πmek 2T 2

h 3--------------------------------- W

kT--------–

exp=

j jF πpπpsin

-----------------=

∆I

∆a∆Ω-------------------=

ej

πkT------------ φ= ^

ejπd--------- φ=

^

d2xdz 2-----------

η2B 2

4φ--------------x+ 0=^

ηB/ φ1/2^

ηBL / φ1/2^

ηBL / φ1/2^

∞–

∞B z( ) dz B0 ∞–

∞f z( ) dz µ0J= =



En introduisant le facteur de forme :

nous trouvons

Le facteur de forme A est caractéristique d’une lentille donnéepourvu que le circuit ne se sature nulle part. Mais, à des excitationstrès élevées, les pièces polaires se saturent, la répartition f (z )s’élargit et A varie. Les valeurs de A se situent entre 2 et 2,5.

Les propriétés des lentilles magnétiques ont été étudiées demanière exhaustive et une vaste littérature leur est consacrée, aussibien dans les régimes où la saturation est importante que dans lescas où elle est négligeable. On peut consulter [21] à [27] pour beau-coup d’autres détails et, en particulier, pour des abaques repré-sentant les éléments cardinaux et les coefficients d’aberration enfonction de la géométrie et de l’excitation. Pour donner une idée dela variation de tous ces paramètres, nous reproduisons les abaquescalculés par Lenz [27], qui représentent les propriétés des lentillesmagnétiques symétriques en l’absence de saturation du circuitmagnétique (figure 13).

Pour conclure, nous attirons l’attention sur la cryolentille(figure 14) dans laquelle le champ est comprimé par un écran supra-conducteur, à l’intérieur duquel le champ ne peut pénétrer à causede l’effet Meissner.

2.3 Lentilles quadrupolaires

Les lentilles à symétrie de révolution ne sont pas les seules à pos-séder un axe rectiligne. Les lentilles quadrupolaires ont deux plansde symétrie, (x, z ) et (y, z ), et on démontre facilement que les équa-tions des rayons paraxiaux (10) revêtent la forme suivante :

Seules les fonctions φ (z ), p2 (z ) et Q2 (z ) [(7) et (8)] persistentquand les pôles et les électrodes sont disposés comme dans lafigure 1. Pour d’autres configurations, les équations sont coupléeset ne peuvent être séparées. La focalisation est différente dans lesdeux plans et en général les électrons convergent vers l’axe dansun plan et s’en éloignent dans l’autre. Des éléments cardinaux sontdéfinis pour chaque plan. Une lentille quadrupolaire créera donc uneimage linéaire, une focale, à partir d’un point objet (figure 15).

Les lentilles quadrupolaires sont utilisées dans plusieursdomaines. En microscopie, on a essayé de les employer dans laconception des correcteurs d’aberration sphérique, sans beaucoupde succès. En théorie, de tels correcteurs seraient efficaces mais, enréalité, les problèmes de construction, de précision et d’alignementsont énormes et ont entravé leur usage.

En revanche, ces lentilles sont utilisées couramment commeélément focalisant dans les accélérateurs de particules. Ellesprésentent le grand intérêt d’exercer une force focalisante directe,alors que la force correspondante dans une lentille magnétique àsymétrie de révolution est indirecte car elle provient du couplageentre le champ longitudinal et la rotation azimutale du faisceau.L’énergie nécessaire avec un système composé de quadrupôles estdonc moins importante et ces lentilles sont appelées lentilles à foca-lisation forte [28] [29].

2.4 Systèmes de déflexion

Bobines ou plaques déflectrices sont présentes dans tout appareilà balayage (tubes cathodiques, téléviseurs, microscopes à balayage),ainsi que dans tout autre dispositif nécessitant un alignement élec-trique. Un calcul facile fournit l’équation paraxiale, qui revêt uneforme simple en coordonnées complexes :

w ’’(z ) = A1w* + A2w + A3w ’ + D (22)

avec w = x + iy

et FT = F1 + iF2 , BT = B1 + iB2 , QE = p2 + iq2 , QM = P2 + iQ2

Les fonctions F1 , ..., Q2 sont celles qui figurent dans les dévelop-pements de Φ et de A (§ 1.2). En réalité, une lentille électrostatiqueà symétrie de révolution ne se trouve jamais proche d’un déflecteuret une lentille magnétique n’occupe la même région que dans dessituations très spécialisées ; nous y reviendrons à la fin de ce para-graphe. Le terme A1 peut être négligé car il est à l’origine d’un astig-matisme que l’on s’efforcera d’éliminer.

L’équation (22) se réduit donc à :

Avec les conditions initiales w (z0) = w0 et , la solu-tion s’écrit :

(23)

où

On s’intéresse surtout à l’expression de wd (z ) loin du déflecteuret on trouve :

Cette ligne est donc l’asymptote du rayon dévié mais en généralelle ne coupe pas l’axe. Si on revient aux coordonnées réelles, ona :

où

Figure 12 – Circuits utilisés pour l’application du théorème d’Ampère

A L 1– ∞–

∞f z( ) dz=

B0µ0JAL---------= ;

η

B

0 L

φ

1/2

-------------- ηµ

0 J

A

φ

1/2 ---------------= ^ ^

ddz-------- φ1/2x ′( )

γφ″ 2γp2– 4ηQ2φ1/2+

4φ1/2-------------------------------------------------------------- x+ 0=

ddz-------- φ1/2y ′( )

γφ″ 2γp2 4ηQ2φ1/2–+

4φ1/2-------------------------------------------------------------- y+ 0=

^

^

^

^

^

^

A112----- γ

QE

φ--------– iηφ 1/2– QM+=

A214----- γ φ″

φ-------–

12----- iηφ 1/2– B ′+=

D 12----- γ

FT

φ-------– iηφ 1/2– BT–=

A312----- γ φ′

φ------– iηφ 1/2– B+=

^

^

^

^^

^

^

^

w″ z( ) D 12----- γ FT/ φ( )– iηφ 1 /2– BT–= =

^ ^

w ′ z0( ) w ′0=

w z( ) w0 z z0–( ) w ′0 wd z( )+ +=

wd z( ) z0

z

z z ′–( ) D z ′( ) dz ′=

wd z( ) z∞–

∞D z ′( ) dz ′

∞–

∞z ′D z ′( ) dz ′–→

xd z( ) x ′d ∞( ) z z1–( ), yd z( ) y ′d ∞( ) z z2–( )==

x ′d ∞( ) ∞–

∞

Dx z( ) dz= y ′d ∞( ) ∞–

∞

Dy z( )dz=



Figure 13 – Représentation unifiée des propriétés des lentilles magnétiques symétriques sans saturation. (Les coefficients A... k... sont définis par l’équation (17).)



avec Dx et Dy composantes de D,

et

Ce sont les points pivots (figure 16). En revenant à l’équation (23),on voit que la déflexion est parfaite : un point dans un plan imageest déplacé latéralement sans être rendu flou, au moins à cetteapproximation.

Les champs de déflexion sont créés à l’aide de tensions U1 et U2appliquées aux plaques (cas électrostatique) ou de courants I1 et I2dans les bobines (cas magnétique). En général :

Fj (z ) = Uj aj (z ), Bj (z ) = µ0 Ij bj (z ), j = 1, 2

où aj et bj sont des fonctions ayant la dimension [L]–1 qui carac-térisent la forme de la répartition. On a :

Figure 14 – Cryolentille

z1 ∞–

∞

zDx z( ) dz ∞–

∞

Dx z( ) dz=

z2 ∞–

∞

zDy z( ) dz ∞–

∞

Dy z( ) dz=

Figure 15 – Formation des focales dans une lentille quadrupolaire

Figure 16 – Points pivots z1 et z2 d’un déflecteur

Dx12-----– γ

a1 z( )

φ---------------- U1

µ0ηb2 z( )

φ1/2---------------------------- I2+=

Dy12-----– γ

a2 z( )φ

---------------- U2µ0ηb1 z( )

φ1/2---------------------------- I1–= ^ ^

^ ^



Mais il est rare que cette relation compliquée soit utilisée. Pourun système de déflexion purement électrique, on trouve :

et la déflexion dans un plan image s’écrit :

On appelle les facteurs , les sensitivités :

Dans le cas où , on parle de déflexion isotrope. Un raison-nement similaire est utilisé pour le cas de la déflexion magnétique.

Ces dernières années, les exigences de la microlithographie, voirede la nanolithographie, sont devenues tellement astreignantes quede grands efforts sont consacrés à la lithographie électronique. Ils’avère avantageux de regrouper le champ focalisateur à symétriede révolution et le champ déflecteur dans la même région. Dans lesdéveloppements de Φ et de A (§ 1.2), les fonctions F1 , F2 , B1 et B2peuvent être toutes présentes, ainsi que B (z ), φ (z ) et les fonctionsquadrupolaires. Selon la symétrie adoptée, certaines de ces fonc-tions disparaissent. La figure 17 montre l’aspect général d’unelentille à immersion à axe variable (VAIL : Variable-Axis ImmersionLens ) ou encore Moving-Objective Lens (MOL). Malgré la complexitéde la théorie et de la construction de ces éléments optiques hybrides,des études très complètes de leurs propriétés sont réalisées.

La théorie des aberrations géométriques et chromatiques dessystèmes déflecteurs a été étudiée en profondeur. Des expressionspour les nombreux coefficients sont disponibles sous formed’intégrales, aussi bien dans le cas d’un déflecteur séparé de toutelentille que dans le cas beaucoup plus compliqué où les champsdes lentilles et ceux des déflecteurs se chevauchent.

2.5 Prismes

Jusqu’alors, nous n’avons considéré que les systèmes à axerectiligne. Pour analyser la répartition d’énergie dans un faisceau,un élément dispersif est nécessaire. En optique électronique, unprisme magnétique ou électrostatique remplace le prisme en verrequi sert pour la dispersion de la lumière (figure 18). Le prismemagnétique est un aimant en forme de secteur, à l’intérieur duquell’axe correspondant à l’énergie moyenne du faisceau est circulaire.Pour une configuration simple, le champ sur l’axe B0 , le rayon ducercle R et la charge Q satisfont à la relation :

B0 = mv0 /(RQ )

(pour un faisceau d’électrons, Q = – e et v0 représente la vitessecorrespondant à l’énergie moyenne).

Tout comme la lentille quadrupolaire (§ 2.3), l’effet du prisme surles particules chargées est différent dans le plan radial et dans leplan méridien. Des éléments cardinaux sont définis dans le planradial, et la dispersion est caractérisée dans ce plan à l’aide de coef-ficients de dispersion linéaire et angulaire.

Examinons, à titre d’exemple, le cas magnétique pour lequel on a :

Bx ≈ ynκB0 [– 1 + xκ (1 + n)]

By = B0 (1 + κx )– n ≈ B0 (1 – nκx )

en adoptant un modèle simple pour By , κ étant un paramètre quicaractérise la forme du champ [7].

Le cas n = 0 correspond à un champ magnétique homogène.Pour les équations paraxiales, nous avons :

(24)

où δ mesure la différence entre le mouvement cinétique (g ) de laparticule considérée et celui (g0) d’une particule sur l’axe circulaire :g = g0 (1 + δ ).

Les équations homogènes correspondant à (24) sont appelées leséquations de Kerst-Serber. Elles montrent qu’une solution oscilla-toire n’est obtenue que lorsque 0 < n < 1 et que les fréquencesd’oscillation en x et y sont égales pour n = 1/2. Ce résultat est trèsimportant pour l’optique des accélérateurs circulaires, où les par-ticules circulent plusieurs fois.

Un calcul sans difficulté donne les conditions de focalisation etpermet d’établir les matrices de transfert d’un prisme. Les aberra-tions des prismes magnétiques et électrostatiques sont connues. Ilest à noter que certaines aberrations des systèmes à plusieursprismes peuvent être éliminées en choisissant une symétrie bienadaptée. À titre d’exemple, la figure 19 montre un filtre d’énergiesans aberrations du deuxième ordre [30]. Pour des études spécia-lisées et très claires, se reporter à [31] ou [32].

zj zaj z( ) dz aj z( ) dz j 1, 2==

xi d1EU1,= yi d 2

EU2=

d 1E, d 2

E

d jE 1

2-----– γ

zi zj–

φ----------------= aj z( ) dz j 1, 2=^

d1E d2

E=

Figure 17 – Lentille à immersion à axe variable (VAIL)

Figure 18 – Prismes avec électrodes (a)ou pièces polaires (b) toroïdales

x ″ κ 2 1 n–( ) x+ κδ=

y ″ κ 2ny+ 0=



3. Calcul des systèmesLe calcul d’un élément optique (lentille, lentille quadrupolaire,

prisme, canon) comporte deux étapes (le calcul du champ et le calculdes trajectoires) qui permettent d’établir les éléments cardinaux etles coefficients d’aberration.

Nous avons déjà mentionné (§ 1.2) les principales méthodesutilisées pour établir la répartition de champ ou de potentiel. Ici, nousrappelons les méthodes employées pour résoudre les équations destrajectoires.

Les équations qui caractérisent les trajectoires peuvent toujoursêtre transformées pour revêtir la forme :

De tels ensembles d’équations sont résolus par diversesméthodes en analyse numérique. La méthode de Numerov (encoreappelée de Fox et Goodwin) permet de résoudre l’équationy ’’ (x ) + f (x ) y (x ) = g (x ) directement, sans transformation dans laforme ci-dessus. La formule de discrétisation est :

où a = h2/12 et h représente le pas en x.

L’algorithme qui en résulte est très simple et peut être exploitésur un petit ordinateur mais il a l’inconvénient d’un pas h constantet, d’autre part, y ’ n’est pas fourni sans calcul supplémentaire. Sil’on dispose d’un ordinateur puissant, les méthodes de Runge-Kutta(cf. article Équations différentielles [A 652] du traité Sciences fon-damentales) et de prédiction-correction sont de loin supérieures. Cesméthodes sont présentées en détail dans les ouvrages modernestraitant de l’analyse numérique et brièvement dans [6].

Une fois les champs et les trajectoires connus, les élémentscardinaux sont calculés en choisissant les trajectoires particulièresG (z ) et . Les aberrations sont déterminées soit à partird’expressions intégrales telles que celles données dans le para-graphe 1.5 pour Cs et D, soit à partir de la solution de l’équationde Newton-Lorentz. Pour comprendre ce deuxième choix, nousrappelons que les aberrations sont en général de petits défauts quiviennent perturber les propriétés linéaires. Si la solution de l’équa-tion des trajectoires est connue avec une très haute précision, onpeut en déduire directement aussi bien les propriétés linéaires queles termes non linéaires. Cette précision peut être atteinteaujourd’hui et, bien que le calcul soit long et relativement lourd, c’estla meilleure façon d’analyser un système complexe.

Sans entrer dans les détails, nous mentionnons également quel’équation différentielle pour l’écart entre les trajectoires avec et sansaberrations est connue, ce qui permet de calculer les aberrationsdirectement par la méthode de prédiction-correction [33] [34].

4. Optique ondulatoire

4.1 Introduction

L’optique géométrique suffit pour comprendre en détail la foca-lisation et la déflexion des électrons. En pratique, les faisceaux d’élec-trons sont souvent employés pour former une image (microscopesélectroniques) ou pour écrire avec un spot aussi petit que possible.Dans de tels cas, les effets dus à la longueur d’onde des électrons,introduite par Louis de Broglie, ne sont plus négligeables. Ici, nousprésentons quelques aspects importants de l’optique ondulatoire,branche de l’optique électronique qui étudie ces effets.

Le point de départ est l’équation de Schrödinger pour un électrondans un champ électromagnétique statique. Celle-ci est obtenue parl’introduction des opérateurs :

où = 1,055 · 10–34 J · s (constante de Planck réduite),

dans l’expression de l’hamiltonienne :

ce qui donne :

On cherche une solution ayant la forme :

Ψ (r, t ) = ψ (r ) exp [– iωt ]

et avec E = , on trouve :

En l’absence de champ magnétique (A = 0), cette équation deSchrödinger (indépendante du temps) s’écrit :

avec

En se rappelant que k = 2π /λ, nous retrouvons l’expression deBroglie pour la longueur d’onde d’un électron.

L’équation de Schrödinger permet d’établir toute la théorie de ladiffraction électronique et de l’interférence. Elle permet égalementde construire la théorie de la formation de l’image dans unmicroscope électronique à haute résolution et de prévoir les effetsobservés lorsqu’on travaille à proximité de la limite de résolutiondu microscope. Finalement, elle permet de comprendre l’holo-graphie électronique.

L’approximation paraxiale de l’équation de Schrödinger nouspermet de relier la fonction d’onde ψ dans un plan z quelconque àl’expression de ψ dans un autre plan, que nous appelons le planobjet :

Figure 19 – Filtre d’énergie débarrassé d’aberrationsdu deuxième ordre

y ′i x( ) fi= x, y1 x( ), …, yN x( )[ ], i 1= , …, N

1 afn 1–+( ) yn 1– 2 10afn–( ) yn 1 afn 1++( ) yn 1++–

a gn 1– 10gn gn 1++ +( ) O h6( )+=

G z( )

p i, grad–→ – i,, E i, ∂ /∂t==

,

H 12m0------------- p eA r( )+[ ]2 eΦ r( )– E Cte= = =

12m0------------- i,– eA r( )+[ ]2 Ψ r, t( ) eΦ r( ) Ψ r, t( )– i, ∂Ψ r, t( )

∂t-------------------------=

,ω

12m0------------- i,– eA+( )2 eΦ– ψ r( ) Eψ r( )=

2ψ k 2ψ+ 0=

,k 2m0 E eΦ+( )=

ψ x, y, z( ) Niλh z( )--------------------- ψ x0, y0, z0( )=

x iπλ

-------2 xx0 yy0+( )

h------------------------------------–

gh----- x0

2 y02

+( )+

exp dx0dy0



avec N = exp [i (πh ’ /λh ) (x2 + y2 )]

Certains plans z sont particulièrement intéressants, notammentle plan zF où g (zF) = 0 : c’est le foyer image. Dans ce plan :

et on voit immédiatement que la fonction d’onde dans zF est propor-tionnelle à la transformée de Fourier bidimensionnelle de la fonctiond’onde à l’objet. Un microscope électronique peut être réglé demanière à ce que ce plan soit conjugué du plan image (l’écranfluorescent) ; ceci permet d’observer le diagramme de diffraction del’échantillon.

4.2 Limite de résolutiondu microscope électronique

Nota : le lecteur pourra se reporter en [Doc. E 1 300] aux références bibliographiques[36] [37] [38].

La généralisation de la loi de propagation permet d’y incorporerles effets de l’aberration sphérique de l’objectif et de la présenced’un diaphragme dans le plan focal. Pour caractériser l’échantillon,nous introduisons la notion de transparence :

exp [ – σ0 (x0 , y0 ) + iη0 (x0 , y0 )]

dont la partie réelle exprime une absorption (vraie ou virtuelle) etla partie imaginaire un changement de phase. Par transparence,nous impliquons que l’onde émergeant de l’objet est égale au produitde l’onde incidente par la transparence. À très haute résolution, leséchantillons doivent être très minces (≈ 5 à 10 nm), ce qui nouspermet de supposer que η0 et σ0 sont petits par rapport à l’unitéet donc d’écrire :

exp (iη0 – σ0) ≈ 1 + iη0 – σ0

C’est l’approximation de diffusion faible, excellente en ce quiconcerne l’amplitude σ0, plus douteuse pour ce qui est de la phaseη0 , car une vingtaine de nanomètres de carbone correspondent àune différence de phase de π / 2 pour une tension accélératricede 100 kV.

Pour obtenir l’image observée, nous évaluons le produit ψψ*, ennégligeant tout terme quadratique en η0 et σ0 , ce qui nous fournit

le contraste . Un calcul assez long [7] mèneà :

C = Ca + Cp

avec

où sont les transformées de Fourier de σ et η et où TL englobeles propriétés de l’objectif. La quantité q, appelée fréquence spatiale,a la dimension [L]–1.

Avec (xa , ya ) les coordonnées de position dans le plan dudiaphragme (plan focal de l’objectif), on a :

Re et Im sont respectivement les parties réelle et imaginaire.

L’expression pour C a la forme d’une transformée de Fourier, ce

qui amène à examiner celle de C, notée . Finalement on obtient :

avec sin γ = Im TL

cos γ = Re TL

avec Cs coefficient d’aberration sphérique.

La distance ∆ mesure la légère défocalisation de l’image.

Considérons la composante correspondant à la phase sin γ ; cettefonction est tracée sur la figure 20, où l’on peut voir que, pour ladéfocalisation sélectionnée, l’information dans l’image sur la struc-ture de l’objet est filtrée.

Les basses fréquences spatiales, qui correspondent à des détailsrelativement gros, passent avec peu de modifications mais les fré-quences plus hautes, correspondant aux structures fines, subissentdes distorsions et des suppressions dues aux oscillations. Aucuneinformation utilisable n’atteint l’image pour les fréquences dans levoisinage des zéros de sin γ ; au-delà de ces valeurs, l’informationest difficile à récupérer. De plus, une étude plus poussée tenantcompte des effets chromatiques et de la taille de la source (petitemais jamais ponctuelle) montre que la fonction sin γ est souventfortement atténuée au-delà de la coupure (dans le cas de lafigure 20 ; 4,8 nm–1), ce qui empêche toute tentative d’outrepasserla limite de résolution que l’on situe vers la coupure. La variationde la fonction sin γ est relativement faible dans la première zone(de l’origine jusqu’à la coupure) pour la valeur ∆ = (Cs λ)1/2, ditedéfocalisation de Scherzer. Pour cette valeur de ∆, la coupure sesitue à 0,7 (Cs λ3)1/4. On constate donc que la résolution du micros-cope est caractérisée par la valeur de (Cs λ3)1/4 et pour des raisonsexposées dans la référence [7], on choisit 0,43 (Cs λ3)1/4 pour lalimite de résolution. À 100 kV, nous avons λ ≈ 4 pm et pourCs = 0,4 mm nous trouvons (Cs λ3)1/4 = 0,4 nm.

Lorsqu’une très haute résolution est nécessaire, il est possible,avec des précautions extrêmes, de travailler au-delà de la coupuremais une interprétation sûre de l’image nécessite des traitementssophistiqués à l’aide de l’ordinateur. Pour ce faire, des liaisons direc-tes microscope-ordinateur existent et des suites de programmespour effectuer les traitements sont disponibles. À titre d’exemple,la figure 21 montre la configuration employée dans un des labo-ratoires du CNRS (Centre National de la Recherche Scientifique).

ψ x, y, zF( ) Niλf--------- ψ x0, y0, z0( ) 2πi

λf-----------– xx0 yy0+( )exp dx0dy0=

C 1 ψ 2–( )/ 1 ψ 2+( )=

Ca σ q( ) Re TL q( )[ ] 2πiq u⋅( ) dqexp= ~

Cp η q( ) Im TL q( )[ ] 2πiq u⋅( )dqexp=~

σ et η~~

q ua /λ= f, ua xa iya+=

Figure 20 – Fonction pour un microscopemoderne CM 30 Philips fonctionnant à 300 kV

C~

C η γsin σ γcos+=~ ~~

γ 2πλ

--------- ∆λ2q 2

2-------------------

Cs λ4q4

4---------------------–

=

sin



4.3 Holographie électronique

Nous nous limiterons à la présentation qualitative de l’holographieélectronique. Cette technique fut conçue en 1948 par D. Gabor, quicherchait à contourner le problème de l’aberration sphérique dontsont affectées toutes les lentilles électroniques. Cette aberrationlimite la résolution du microscope si bien que de grands efforts furentfaits pour la corriger. Au lieu d’introduire un élément correcteur dansle microscope, Gabor proposa d’effectuer la correction dans unedeuxième étape optique. À l’époque, l’expérience échoua car lessources électroniques et photoniques nécessaires n’étaient pasencore disponibles. Mais avec l’arrivée des sources d’électrons àémission de champ et l’invention du laser, l’holographie électroniquedevint possible. Le principe est montré sur la figure 22. Le micros-cope est équipé d’un biprisme électronique ; celui-ci a pour effet descinder la source réelle (le crossover du canon) en deux sourcesvirtuelles. En aval de l’objet, on a donc une onde objet, qui véhiculedes informations sur la structure de l’échantillon, et une onde deréférence. L’interférence entre ces deux ondes crée l’hologramme,qui est enregistré. Dans une deuxième étape, on reconstruit la struc-ture de l’objet, en éliminant les effets dus à l’aberration sphérique.La reconstruction peut en principe être effectuée sur un bancd’optique à l’aide d’un laser mais la tendance actuelle consiste ànumériser l’hologramme et à reconstruire l’objet à l’aide del’ordinateur.

Cette technique, très prometteuse, soulève toutefois quelquesdifficultés. Le pas d’échantillonnage lors de la numérisation doit êtrefin et l’hologramme est donc représenté par un très grand tableau.De plus, la correction de l’aberration sphérique ne peut jamais êtreparfaite et l’aberration chromatique brouille l’information codéedans l’hologramme au-delà d’un certain niveau, d’où la nécessitéde travailler avec un faisceau hautement monochromatique ; pourdes informations complémentaires, se reporter à [39] et [40] ouencore à [7].

5. Exemples d’applications

5.1 Vie courante

Dans cette rubrique sont classés non seulement les postes de télé-vision et les écrans de visualisation des ordinateurs personnels maisaussi les tubes destinés aux appareils de surveillance et les ampli-ficateurs de brillance employés dans le monde médical. Pour plusde détails sur les téléviseurs et sur les écrans de visualisation, voirarticles Restitution des images. Notions de base sur les écrans[E 5 660] dans le traité Télécoms. Ici, nous décrivons brièvement undispositif pour la surveillance et un amplificateur de brillance.

De très nombreux dispositifs enregistrent des signaux infrarouges,pour la protection contre cambriolages et incendies, par exemple,ou pour naviguer dans le brouillard.

Parmi les techniques permettant de créer cette image thermique,l’emploi de la caméra pyroélectrique est très efficace. Au cœur decette caméra se trouve un tube de type Pyricon (Thomson Tubes Élec-troniques), qui ressemble à un tube vidicon traditionnel (figure 23).On voit que le faisceau émis par la cathode est focalisé à l’aide d’unelentille électrostatique à quatre électrodes (g1 , ..., g4) et dévié pardes bobines externes afin de lire la cible pyroélectrique.

Dans le domaine médical, de très nombreux types d’images ontbesoin de conversion et d’amplification. Dans la plupart des cas, lesignal primaire provient de rayons X, qui tombent sur un scintillateurd’entrée ; la lumière ainsi produite est ensuite convertie en photo-électrons, ceux-ci sont alors accélérés par un système d’optique élec-tronique vers l’écran phosphorescent de sortie.

Figure 21 – Système avancé pour la microscopie électroniqueavec traitement des images par ordinateur

Figure 22 – Microscope électronique équipé d’un biprismepour pratiquer l’holographie



5.2 Industrie. Défense

Les tubes à rayons cathodiques (TRC, CRT) et les tubes spécialiséspour la télévision à haute définition (TVHD, HDTV) fournissent denombreux exemples dans ces domaines (cf. article Restitution desimages. Notions de base sur les écrans [E 5 660] dans le traitéTélécoms.

Quelle que soit l’utilisation envisagée, un TRC comporte unesource d’électrons, des électrodes d’accélération ainsi qu’unsystème électrostatique ou magnétique de focalisation. Un systèmede déviation magnétique, ou parfois électrostatique, permet dedéplacer le faisceau focalisé sur l’écran final. La figure 24 montreplusieurs configurations.

Le choix entre la focalisation électrostatique et la focalisationmagnétique se fait selon des critères pratiques : le spot peut êtrerendu plus fin par l’utilisation de la concentration magnétique maiscelle-ci est encombrante et la consommation d’énergie est élevée.

Des éléments complémentaires sont toujours introduits pourcompenser la différence de chemin entre un spot près du centre del’écran et un spot près d’un coin, pour corriger l’astigmatisme et pouréliminer la distorsion du système de déflexion.

Les applications de ces tubes sont extrêmement diverses. Dansun tube à déflexion magnétique, la déviation peut atteindre 110o sansdifficulté, ce qui permet une construction très courte. Cela convientaux moniteurs, par exemple, et aux indicateurs panoramiques(radars).

Dans les domaines de l’avionique et du militaire, les tubes àdéflexion magnétique et à focalisation électrostatique ont unegrande importance. Ils sont du type tête-basse, placés sur le tableaude bord d’un avion, voire d’un char, ou tête-haute, situés sous lepare-brise avec un système optique qui renvoie l’image vers lechamp de vue du pilote. Il existe aussi des viseurs-casques, où letube est suffisamment léger et compact pour être installé dans lecasque même du pilote.

Une autre application concerne la projection d’image sur grandécran (figure 25). Une luminance et une résolution élevées sontindispensables et, à l’heure actuelle, il est nécessaire d’employer unefocalisation et une déflexion magnétiques.

Comme dernier exemple, nous avons choisi de parler d’un tubepour caméras de TVHD, le Primicon de Thomson Tubes Électro-niques. Une telle caméra doit présenter une résolution statique etdynamique maximale, un bon rapport signal/bruit, une distorsionfaible et peu d’erreur de registration (entre les trois couleurs). Seulsla résolution statique et les problèmes de distorsion et de registrationconcernent l’optique électronique. Dans le tube Primicon (figure 26),ces objectifs sont atteints grâce à la déflexion électrostatique et à

un canon dit diode. Ce dernier possède en fait trois électrodes maisl’électrode intermédiaire est portée à une tension positive par rapportà la cathode (tout comme l’anode) alors que le wehnelt d’un canontriode est porté à une tension légèrement négative (figure 10).

Avec une telle configuration, on arrive à un courant de 2 à 3 µAau maximum, un spot de 8 µm de diamètre, un angle de diver-gence inférieur à 2o et une dispersion en énergie de 0,4 eV.

Un domaine très différent où l’on cherche à exploiter le pouvoirdu faisceau électronique est la microlithographie. Les besoins deminiaturisation des circuits intégrés ne peuvent plus être satisfaitspar un système optique, limité par la longueur d’onde de lalumière employée. Par conséquent, on fait appel aux faisceauxd’électrons pour la microfabrication et, en particulier, pour écrireun motif (circuit) sur une couche de silicium. Les contraintes sonttrès sévères : la résolution des bords de lignes écrites doit resterstable et ne doit pas dépasser 0,2 µm (une valeur très inférieure estsouhaitable) pour une région de 10 mm × 10 mm ; le système doitêtre fiable et capable de fournir au moins 20 couches/h. De plus, lefaisceau doit arriver à la couche perpendiculairement à celle-ci,avec une précision de quelques milliradians, sinon, la rugosité dela couche provoquerait des aberrations importantes. Ces exigencesont joué un rôle de catalyseur pour le développement de nouveauxsystèmes d’optique électronique adaptés à ce problème.

La première découverte fut la lentille à axe variable (ou Moving-Objective Lens MOL), dans laquelle l’axe du faisceau est déplacédans une direction latérale lors du balayage, ce qui réduit les aber-rations qui viennent élargir le spot. Chez IBM, cette configurationa été mise en œuvre dans l’élaboration de la VAIL (Variable-AxisImmersion Lens ), déjà représentée sur la figure 17.

Figure 23 – Vue schématique du Pyricon(d’après doc. Thomson Tubes Électroniques)

Figure 24 – Focalisation dans les TRC



Le développement d’un élément optique nouveau dans lequel lesfonctions de focalisation et de déflexion sont réunies ne résoutqu’une partie du problème. Également, le balayage doit êtrerepensé ; en effet, un balayage en lignes, mode télévision, est trèspeu efficace ; le temps passé par le balayage du faisceau sur deszones non exposées est perdu car le faisceau est coupé pendant cettepériode. On a donc introduit le balayage vectoriel (Vector ScanTechnique ), qui permet de diriger le faisceau vers les zones àexposer, sans perdre de temps sur les autres zones. Cela n’est qu’unesolution intermédiaire ; il est préférable de pouvoir contrôler la formedu faisceau, afin d’écrire sur des zones plus ou moins grandes etde formes variables. La figure 27 montre la machine EL 3 d’IBM,conçue pour ces tâches compliquées. Pour plus d’informations, onconsultera [41] et la revue spécialisée Microelectronic Engineering.

5.3 Laboratoire recherche

Les instruments les plus sophistiqués dans le domaine de l’optiqueélectronique sont sans doute les microscopes électroniques ; ils seclassent en deux grandes familles : les microscopes à transmissionet les microscopes à balayage.

Le microscope à balayage en transmission (STEM : ScanningTransmission Electron Microscope ) est plus proche des microscopesà transmission que des microscopes à balayage classiques. Jusqu’àtrès récemment, on considérait que les microscopes à transmissionpermettaient une haute résolution (de l’ordre de 0,2 nm au mieux)alors que les microscopes à balayage n’atteignaient qu’une réso-lution plus modeste (5 à 10 nm). Mais la dernière génération demicroscopes à balayage, équipés de canon à émission de champ,permet également d’atteindre une résolution de l’ordre du nano-mètre ou mieux dans des conditions adaptées.

Dans un microscope électronique, les possibilités de l’optiqueélectronique sont poussées à leur extrême limite. On demande aucanon une brillance très élevée (108 à 109 A · cm–2 · sr–1 pour uncanon à émission de champ) et une dispersion d’énergie très étroite(≈ 1 eV). Une très haute stabilité des alimentations des lentilles(≈ 10–6) est également exigée.

La lentille objectif, dont l’aberration sphérique détermine la réso-lution de l’instrument, et dont l’aberration chromatique associée àla dispersion en énergie du faisceau fixe la limite de l’informationau niveau de l’image, doit être conçue avec des coefficients d’aber-ration faibles. Très souvent, on souhaite compléter les observationssur l’écran en faisant appel à la microscopie analytique, ce quinécessite la présence d’un élément dispersif à l’extrémité de lacolonne du microscope.

Pour diriger le faisceau provenant du canon sur l’échantillon defaçon que seule la zone visible sur l’écran soit irradiée, avec un angled’attaque convenable, il faut au moins deux condenseurs.

Pour agrandir l’image ou le diagramme de diffraction, deux outrois projecteurs sont nécessaires. Tous ces éléments doivent êtrealignés avec une excellente précision si l’on souhaite atteindre uneperformance maximale, cela nécessite la présence de stigmateurs(§ 1.5) et de bobines d’alignement.

Figure 25 – Projection d’image sur grand écran(d’après doc. Thomson Tubes Électroniques)

Figure 26 – Primicon (d’après doc. Thomson Tubes Électroniques)



La complexité est telle qu’il est devenu courant de gérer les cir-cuits de contrôle à l’aide d’un microprocesseur de façon que toutesles excitations changent correctement lorsqu’on modifie le gran-dissement ou le mode de fonctionnement.

Au moins un constructeur (Hitachi) propose un biprisme pourpratiquer l’holographie en option. La figure 28 montre la suite delentilles que l’on trouve dans un microscope moderne (la série CMde Philips).

Le microscope à balayage en transmission (STEM), qui peut êtreconsidéré comme un microscope à transmission fonctionnant ensens inverse, le canon prenant la place de l’écran et inversement,est moins répandu mais permet d’obtenir des informations que lemicroscope à transmission ne peut donner. Son principe est présentésur la figure 29, où l’on voit qu’une petite sonde (quelques dixièmesde nanomètre en diamètre) explore l’échantillon et, pour chaquepoint, un diagramme de diffraction apparaît dans le plan de détec-tion. Dans l’appareil de base, ce plan est divisé en deux zones, unezone annulaire et un disque central ; ce dernier est en fait toujoursremplacé par un système dispersif. Les électrons ayant subi descollisions élastiques dans l’échantillon sont plus déviés en moyenneque ceux qui ont subi des chocs inélastiques. Le détecteur annulairereçoit surtout des électrons élastiques et le disque central les élec-trons non diffusés et les électrons diffusés avec perte d’énergie. Lesimages correspondant à ces différents groupes sont ensuite visua-lisées à l’aide des moniteurs du microscope.

Très récemment, des tentatives ont été faites pour enregistrer lediagramme de diffraction de chaque pixel et pour ne former dessommes (pondérées éventuellement) que dans une étape ultérieure.Cela permettrait en principe d’utiliser toutes les informationsfournies par le STEM mais il faudra travailler avec des signaux trèsfaibles.

Les problèmes optiques du microscope à balayage proviennentplus de la détection des électrons utilisés pour former une imageque de la focalisation. La colonne du microscope comporte unesource, souvent LaB6 , des condenseurs et un objectif qui crée unepetite sonde sur l’échantillon. Des bobines déflectrices dévient lefaisceau sur la surface de celui-ci. La sonde peut exciter plusieurssignaux : des électrons secondaires et rétrodiffusés sont émis, uncourant (EBIC : Electron-Beam-Induced Current ) est excité dans lessemi-conducteurs, des rayons X et des photons fluorescents peuventêtre générés. Chacun de ces signaux doit être détecté mais l’espaceautour de l’échantillon est limité. Si on veut atteindre une bonne réso-lution, la sonde doit être petite (≈ 5 nm) et, pour ce faire, l’échantillondoit être près de la lentille, voire à l’intérieur où la place est encoreplus restreinte. Des solutions très astucieuses à ce problème demanque de place ont été trouvées [42]. Nous indiquons quelquespossibilités sur la figure 30.

Figure 27 – EL 3 (IBM Corp.)

Figure 28 – Coupe d’un microscope électronique (d’après doc. Philips)



Figure 29 – Éléments optiques d’un STEM

Figure 30 – Microscope électronique à balayage(d’après doc. L. Reimer, Scanning Electron Microscopy, Springer Verlag)


Do

c. E

1 3

00

6 -

1993

POUR

EN

Optique électronique

par Peter HAWKESDirecteur de Recherche au Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

SAVOIR

PLUS

BibliographieRéférences[1] GLASER (W.). – Grundlagen der Elektrone-

noptik (Principes de l’optique électronique).699 p, Springer Verlag, Allemagne (1952).

[2] GLASER (W.). – Elecktronen-und lonenoptik(Optique électronique et ionique). DansHandbuch der Physik, Tome 33, p. 123 à 395,Springer Verlag, Allemagne (1956).

[3] GRIVET (P.), BERNARD (M.-Y.) et SEPTIER (A.).– Optique électronique. Tome 1, Lentilles.184 p., Bordas, Paris (1955).

[4] GRIVET (P.), BERNARD (M.-Y.), BERTEIN (F.),CASTAING (R.), GAUZIT (M.) et SEPTIER (A.).– Optique électronique. Tome 2, Microscopes,diffractographes, spectrographes de masse,oscillographes cathodiques, 339 p., Bordas,Paris (1958).

[5] GRIVET (P.). – Electron Optics. 870 p.,Pergamon, Oxford (1972).

[6] HAWKES (P.W.) et KASPER (E.). – Principlesof Electron Optics. Tome 1, Basic GeometricalOptics ; Tome 2, Applied Geometrical Optics.1 188 p., Academic Press, USA (1989).

[7] HAWKES (P.W.) et KASPER (E.). – Principlesof Electron Optics. Tome 3 Wave Optics. Àparaître, Academic Press, USA (1993).

[8] SEPTIER (A.). – Focusing of Charged Particles.Tome 1, 509 p. ; Tome 2, 471 p. AcademicPress, USA (1967).

[9] SEPTIER (A.). – Applied Charged ParticleOptics. Advances in Electronics and ElectronPhysics supplements 13 A-C Academic Press,USA, Tome A, 356 p. ; Tome B, 392 p (1980) ;Tome C, 545 p., (1983).

[10] CHAPMAN (J.N.) et CRAVEN (A.J.). – Quanti-tative Electron Microscopy. 445 p. SUSSPPublications, Edinburgh University, PhysicsDept, Edinburgh (1984).

[11] DURAND (E.). – Électrostatique. Tome 1,516 p. ; Tome 2, 444 p. ; Tome 3, 390 p.,Masson, Paris (1966).

[12] DURAND (E.). – Magnétostatique. 674 p.,Masson, Paris (1968).

[13] TRETNER (W.). – Existenzbereiche rotations-symmetrischer Elektronenlinsen (Domainesd’existence des lentilles électroniques àsymétrie de révolution). Optik 16, p. 155 à 184.Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft, Stutt-gart (1959).

[14] LEJEUNE (C.) et AUBERT (J.). – Emittanceand brightness : definitions and measure-ments. Réf. [9], tome A, p. 159 à 259.

[15] LAUER (R.). – Characteristics of triode electronguns. Advances in Optical and ElectronMicroscopy 8, p. 137 à 206, Academic Press,USA (1982).

[16] HUMPHRIES (S.). – Principles of ChargedParticle Acceleration. 573 p., Wiley-Inter-science, Chichester (1986).

[17] CAREY (D.C.). – The Optics of Charged ParticleBeams. 298 p., Harwood, Paris (1987).

[18] HANSZEN (K.-J.) et LAUER (R.). – Electro-static lenses. Réf. [8], tome 1, p. 251 à 307.

[19] HARTING (E.) et READ (F.H.). – Electrostaticlenses. Pages non numérotées. Elsevier,Amsterdam (1976).

[20] HEDDLE (D.W.O.). – Electrostatic LensSystems. 112 p., IoP Publishing, Bristol (1991).

[21] HAWKES (P.W.). – Magnetic Electron Lenses.462 p., Springer Verlag, Allemagne (1982).

[22] DUGAS (J.), DURANDEAU (P.) et FERT (C.). –Lentilles électroniques magnétiques symé-triques et dissymétriques. Revue d’Optique (F)40, no 6, p. 277-305 (1961).

[23] LIEBMANN (G.). – A unified representation ofmagnetic electron lens properties. Procee-dings of the Physical Society. London B 68,p. 737 à 745. IoP Publishing (1955).

[24] CLEAVER (J.R.A.). – Some optical characteris-tics of the saturated symmetrical condenser-objective lens ; The choice of pole piece shapeand lens operating mode for magnetic objec-tive lenses with saturated pole pieces ; Theoff-axis aberrations of magnetic objective len-ses with saturated pole pieces. Optik 49 p. 413à 431 (1978) ; 57, p. 9 à 34 (1980) ; 58, p. 409 à432 (1981).

[25] KAMMINGA (W.), VERSTER (J.L.) etFRANCKEN (J.C.). – Design considerations formagnetic objective lenses with unsaturatedpole pieces. Optik 28, p. 442 à 461 (1968-1969).

[26] MULVEY (T.) et WALLINGTON (M.J.). –Electron lenses. Reports on Progress inPhysics 36, p. 347 à 421. IoP Publishing (1973).

[27] LENZ (F.). – Properties of electron lenses.Réf. [21], p. 119 à 161.

[28] HAWKES (P.W.). – Quadrupole Optics. 126 p.,Springer Verlag, Allemagne (1966).

[29] HAWKES (P.W.). – Quadrupoles in ElectronLens Design. 379 p. Advances in Electronicsand Electron Physics Supplément 7. AcademicPress, USA (1970).

[30] LANIO (S.). – High-resolution imagingmagnetic energy filters with simple structure.Optik 73, p. 99 à 107 (1986).

[31] LANIO (S.), ROSE (H.) et KRAHL (D.). – Testand improved design of a corrected imagingmagnetic energy filter. Optik 73, p. 56 à 68(1986).

[32] LIVINGOOD (J.J.). – The Optics of DipoleMagnets 261 p. Academic Press (USA) (1969).

[33] WOLLNIK (H.). – Optics of Charged Particles.293 p. Academic Press, USA (1987).

[34] KASPER (E.). – An advanced method of fieldcalculation in electron optical systems withaxisymmetric boundaries. Optik 77, p. 3 à 12(1987).

[35] KASPER (E.). – Computer simulation ofelectron optical systems. Nuclear Instrumentsand Methods in Physics Research A 258,p. 466 à 479 (1987).

[36] HAWKES (P.W.). – Computer Processing ofElectron Microscope Images. 296 p. SpringerVerlag, Allemagne (1980).

[37] HANSZEN (K.-J.). – The optical transfertheory of the electron microscope : funda-mental principles and applications. Advancesin Optical and Electron Microscopy 4, p. 1 à84. Academic Press, USA (1971).

[38] SPENCE (J.C.H.). – Experimental High-Resolution Electron Microscopy. 427 p.Oxford University Press, New York (1988).

[39] TONOMURA (A.). – Electron holography.Progress in Optics 23, p. 183 à 220. North-Holland, Amsterdam (1986).

[40] LICHTE (H.). – Electron image plane off-axisholography of atomic structures. Advancesin Optical and Electron Microscopy 12, p. 25à 91, Academic Press, USA (1991).

[41] NEWMAN (R.). – Fine Line Lithography.481 p., North-Holland, Amsterdam (1980).

[42] KRUIT (P.). – Magnetic through-the-lens detec-tion in electron microscopy and spectroscopy,Part 1. Advances in Optical and ElectronMicroscopy 12, p. 93 à 137 (Part 2 paraîtra dansle tome 13.). Academic Press, USA (1991).

OuvragesLANNES (A.) et PÉREZ (J.P.). – Optique de Fourier en

microscopie électronique. 199 p., Masson, Paris(1983).

REIMER (L.). – Transmission Electron Microscopy.547 p., Springer Verlag, Allemagne (1989).

REIMER (L.). – Scanning Electron Microscopy. 457 p.,Springer Verlag, Allemagne (1985).

HAWKES (P.W.). – Electron Optics and ElectronMicroscopy. 244 p., Taylor and Francis, Londres(1972).

DUPOUY (G.). – Éléments d’Optique Électronique.218 p., Armand Colin, Paris (1961).

RevuesMicroscopy Microanalysis Microstructures (F)

Optik (D)

Ultramicroscopy (Pays-Bas)

Microelectronic Engineering (Pays-Bas)

Nuclear Instruments and Methods in PhysicalResearch (Pays-Bas)

Journal of Microscopy (GB)

Journal of Electron Microscopy (J)

Advances in Optical and Electron Microscopy(G.B.)

Advances in Electronics and Electron Physics(USA)

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copieest strictement interdite. − © Techniques de l’Ingénieur, traité Électronique Doc. E 1 300 − 1

Optique électronique.pdf

Documents

Transcript of Optique électronique.pdf