Optimisation Dents Engrenages

RPUBLIQUE ALGRIENNE DMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTRE DE LENSEIGNEMENT SUPRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSIT MENTOURI - CONSTANTINE FACULT DES SCIENCES DE L'INGNIEUR

DPARTEMENT DE GNIE MCANIQUE

Mmoire : Prsent en vu dobtention du

Diplme de Magister en Gnie Mcanique

Option : Mcanique applique en engineering

THME :THME :THME :THME :

OPTIMISOPTIMISOPTIMISOPTIMISATION DEATION DEATION DEATION DESSSS STRUCTURES MCANIQUESSTRUCTURES MCANIQUESSTRUCTURES MCANIQUESSTRUCTURES MCANIQUES

Forme optimale dun composantForme optimale dun composantForme optimale dun composantForme optimale dun composant

Par :

KHALFI Mehdi

Soutenu le : 08/07/2009. Devant les membres de jury :

Prsident Mr. MILI Fayal Prof. Universit Mentouri Constantine

Rapporteur Mr. CHOUITER Yacine M.C. Universit Mentouri Constantine

Examinateurs Mr. BENISAAD Smail M.C. Universit Mentouri Constantine

Mme. LABED Zohra M.C. Universit Mentouri Constantine

Juillet 2009

N dordre : 266 / MAG / 2009 Srie : 011 / GM / 2009

i

AVANT PROPOS

Ce mmoire est le rsultat d'un travail qui a pu natre et se drouler grce la

confiance que mon encadreur, Mr. Chouiter Yacine a eue en moi. Je tiens lui

remercier vivement pour son appui et ses conseils donns tout le long de ce travail,

pour sa comprhension et sa patience, et pour son soutien constant tout au long de ce

mmoire.

Je remercie Mr. Mili Fayal qui m'a fait l'honneur davoir accept de prsider le

jury. Mes remerciements s'adressent galement Mr. Benisaad Smail et Mme. Labed

Zohra qui m'ont fait l'honneur d'accepter d'tre examinateurs de ce travail. Je leur

exprime, ainsi qu' Mr. Mili ma profonde gratitude pour leurs commentaires sur mon

mmoire.

Jadresse ma reconnaissance galement Mr. Boughouas Hamlaoui pour ses

prcieux conseils ainsi que pour son encouragement.

Mes remerciements s'adressent aussi Mr. Benchaker Yacine, Mr. Djilali et Mr.

Nacer pour leur aide considrable dans diffrents sujets.

Je ddie ce mmoire mes chers parents qui ont toujours t mes cts avec

leur soutien et leurs encouragements. Il est aussi ddi mes frres, ma sur et son

poux, ma famille, ainsi qu' mes amis les plus proches.

Khalfi Mehdi, Avril 2009.

ii

RSUM

Le mmoire porte sur l'optimisation de la forme de la trochode d'un engrenage

cylindrique dentures droites. Il commence par une prsentation des techniques

d'optimisation de structures mcaniques et plus particulirement son outil

incontournable : le calcul des variations.

L'objectif de ce travail est de chercher une forme optimise de la trochode pour

laquelle la contrainte maximale due la flexion au niveau du pied de la dent sera

diminue afin de rduire le risque de rupture par fatigue des dents de l'engrenage.

Les calculs sont effectus sur la base d'une formule exprimant la contrainte

maximale au niveau de la trochode obtenu analytiquement par une tude rcente. La

trochode est considre de forme semi-circulaire et le rayon optimal pour lequel la

contrainte a tait le plus bas possible est dtermin.

Les rsultats montrent qu'on peut aller jusqu' 14% de rduction de la contrainte

maximale.

Mots cls : Optimisation de forme, Calcul des variations, Trochode, Engrenages

denture droite.

iii

ABSTRACT

Optimization of mechanical structures: optimal shape of a component.

This work relates to the trochoid shape optimization of a cylindrical straight teeth

gear. It starts with a presentation of the optimization techniques of mechanical

structures and more particularly its essential tool: the calculus of variations.

The objective of this work is to seek the optimized shape of the trochoid for

which the maximum constraint due to the bending on the root of the tooth will be

decreased in order to reduce the risk of rupture by tiredness of the gear teeth.

Calculations are carried out on the basis of a formula expressing the maximum

constraint on the root of the tooth obtained analytically by a recent work. The trochoid

is considered of semicircular form and the optimal ray for which the constraint was

low as possible as we can is deduced.

The results show that we can go up to 14 percent of reduction of the maximum

constraint.

Key words: Shape optimization, Calculus of variations, Trochoid, Straight teeth gears.

vi

. :

.

.

.

.

.

%.41

. , , :

Table des matires

v

TABLE DES MATIRES

AVANT PROPOS ..............................................................................................................................i

RSUM .......................................................................................................................................ii

INTRODUCTION GNRALE.............................................................................................1

Chapitre I

INTRODUCTION LOPTIMISATION

I.1. Historique.....................................................................................................................5

I.2. Gnralits ...................................................................................................................5

I.3. Types doptimisation ...................................................................................................6

I.3.1. Optimisation paramtrique......................................................................................6

I.3.2. Optimisation gomtrique.......................................................................................8

I.3.3. Optimisation topologique......................................................................................10

I.4. Ingrdients d'un problme d'optimisation ..................................................................11

I.4.1. Modlisation .........................................................................................................11

I.4.2. Critres doptimisation..........................................................................................12

I.4.3. L'ensemble de formes admissibles........................................................................14

I.5. Processus doptimisation ...........................................................................................14

I.6. Applications ...............................................................................................................16

Chapitre II

CALCUL DES VARIATIONS

II.1. Introduction................................................................................................................19

II.2. Fonctionnelle .............................................................................................................20

II.2.1. Dfinition ..............................................................................................................20

II.2.2. Rsultats concernant les fonctionnelles ................................................................21

II.3. Problmes types du calcul des variations...................................................................22

II.3.1. Problme de Lagrange ..........................................................................................23

II.3.2. Problme de Bolza ................................................................................................23

II.3.3. Problme de Mayer ...............................................................................................23

II.4. Premire et second variations ....................................................................................23

Table des matires

vi

II.5. quation d'Euler-Lagrange ........................................................................................25

II.5.1. Multiplicateurs de Lagrange .................................................................................25

II.5.2. quation d'Euler-Lagrange ...................................................................................27

II.5.3. Cas particuliers......................................................................................................28

II.6. Quelques exemples ....................................................................................................29

II.6.1. Principe de la moindre action de Hamilton...........................................................29

II.6.2. Problme de la brachistochrone ............................................................................29

II.7. Problme d'optimisation limites variables ..............................................................30

Chapitre III

FORMULATION DU PROBLME

III.1. Introduction................................................................................................................35

III.2. But de l'tude .............................................................................................................36

III.3. Bibliographie .............................................................................................................36

III.4. La dent d'engrenage ...................................................................................................42

III.4.1. Gomtrie..............................................................................................................42

III.4.2. Rsistance la flexion ..........................................................................................43

III.5. Hypothses et contraintes ..........................................................................................46

III.5.1. Intrt des profils en dveloppante de cercle ........................................................46

III.5.2. Symtrie des dents ................................................................................................46

III.5.3. Profil de la trochode.............................................................................................46

III.6. Dtermination de la contrainte en fonction du rayon.................................................47

III.7. Condition de rsistance ..............................................................................................50

Chapitre IV

CALCULS, RSULTATS ET DISCUSSIONS

IV.1. Introduction................................................................................................................53

IV.2. Calcul du rayon optimum ..........................................................................................54

IV.2.1 L'algorithme ..........................................................................................................54

IV.2.2. Le rayon optimum.................................................................................................55

IV.3. La diffrence entre les profils des engrenages...........................................................55

IV.4. Analyse des contraintes .............................................................................................56

IV.5. Rsultats et discussions..............................................................................................57

IV.6. Conclusion .................................................................................................................60

Table des matires

vii

CONCLUSION GNRALE................................................................................................62

ANNEXES

A. Rayon du cong au niveau du pied de la dent............................................................65

B. Coefficient de forme de Lewis Y...............................................................................66

C. Coefficient de forme de l'AGMA .............................................................................66

D. Facteur dynamique.....................................................................................................67

E. Facteur de surcharge ..................................................................................................67

F. Facteur de taille..........................................................................................................68

G. Facteur de distribution de la charge ...........................................................................68

H. Profil en dveloppante de cercle ................................................................................68

RFRENCES.............................................................................................................................70

IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN GGNNRRAALLEE

Introduction

1

INTRODUCTIONINTRODUCTIONINTRODUCTIONINTRODUCTION

GNRALEGNRALEGNRALEGNRALE

La perception du calcul numrique par les industriels a volu trs

fortement ces dernires dcennies. En effet, il y a seulement une quinzaine

dannes, les calculs par lments finis taient le plus souvent ddis la

vrification dhypothses concernant le comportement dune structure

partir dune conception donne ou bien comme moyen dexpertise en cas de

problme. De plus, ces simulations taient le plus souvent ralises dans un

cadre lastique et en petites dformations. Le dveloppement des mthodes

de calcul (lments finis, techniques de rsolution et de discrtisation)

associ lefficacit croissante des moyens informatiques permettent

laide dinvestissements relativement modestes de simuler le comportement

de structures industrielles dans des conditions gnrales de sollicitations ou

de dformation. De plus, ces outils constituent maintenant un moyen

efficace de conception en sappuyant sur des procdures doptimisation et

vitent la ralisation de conceptions ou de maquettes intermdiaires toujours

trs coteuses.

Dautre part, le fait de concevoir et de raliser n'est plus une "fin en

soi" d'un point de vue industriel. une concurrence trs ardue entre

industriels, il faut faire face, galement, des contraintes de fiabilit et

d'esthtique o tout producteur de composants ou densembles mcaniques

de nos jours fait face une question omniprsente : Quel est le meilleur

produit possible obtenir ?

Introduction

2

Par "meilleur", on entend non seulement le moindre cot mais aussi,

"le plus rsistant", "le plus lger", "le plus durable". C'est ces questions

que l'optimisation des structures mcaniques doit apporter les rponses

adquates.

Dans le prsent travail, on abordera, en premier lieu, tous ce qui

concerne loptimisation de structures mcaniques savoir son historique,

ses types, outils, techniques, etc., en donnant plus dintrt la thorie

mathmatique du calcul des variances qui reprsente l'outil incontournable

utiliser en optimisation de structures mcaniques.

Deux chapitres seront consacrs ce qui tait dit ci-dessus : le

premier qui est une "Introduction loptimisation", consiste en une tude

bibliographique sur loptimisation des structures mcaniques. Aprs un bref

historique, les concepts gnraux de loptimisation serrant signaler dans ce

chapitre ainsi que ses types, sa procdure et plus.

Le "Calcul des variations" reprsente un outil incontournable dans le

processus d'optimisation, c'est pour cela que le second chapitre sera

consacr a sa prsentation, ses problmes typiques, ses techniques, ainsi que

quelque exemple de calcul de variations.

Une application dans le domaine industriel occupera le reste de ce

mmoire, elle est comprend deux chapitres. Le premier, qui est le chapitre

N III, consiste en une formalisation du problme tudier, ce dernier vise

l'optimisation de la forme de la trochode dans un engrenage denture

droite.

Dans ce chapitre, une revue des travaux effectus dans le sens de la

dtermination des contraintes engendrer par les charges agissant sur les dent

d'un engrenage sera effectue, ainsi que les travaux visant l'optimisation de

la forme de la trochode. Quelques rappels de mcanique relative ltude

tel que la rsistance des dents la flexion et leur dimensionnement seront

aussi runis dans ce chapitre qui mettra fin ltude bibliographique.

Introduction

3

Le dernier chapitre comprend les calculs effectuer pour dterminer la

forme optimise. Une analyse de contraintes sera effectue l'aide d'un

software de simulation afin de valider les rsultats obtenus permettant ainsi

leur discussion.

Une conclusion gnrale runira les rsultats obtenus et mettra fin

ce travail.

IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN LLOOPPTTIIMMIISSAATTIIOONN Sommaire du chapitre :

I.1. Historique ........................................................................................................................................... 5

I.2. Gnralits.......................................................................................................................................... 5

I.3. Types doptimisation....................................................................................................................... 6

I.3.1. Optimisation paramtrique ............................................................................................................ 6

I.3.2. Optimisation gomtrique ............................................................................................................. 8

I.3.3. Optimisation topologique ............................................................................................................ 10

I.4. Ingrdients d'un problme d'optimisation ............................................................................... 11

I.4.1. Modlisation .................................................................................................................................... 11

I.4.2. Critres doptimisation ................................................................................................................. 12

I.4.3. L'ensemble de formes admissibles ............................................................................................ 14

I.5. Processus doptimisation.............................................................................................................. 14

I.6. Applications ..................................................................................................................................... 16

Chapitre

I

Chapitre I Introduction loptimisation

5

INTRODUCTIONINTRODUCTIONINTRODUCTIONINTRODUCTION

LOPTIMISATIONLOPTIMISATIONLOPTIMISATIONLOPTIMISATION

I.1. HISTORIQUE

L'histoire raconte quen 814 avant Jsus-Christ, la reine Didon fuyant les

Assyriens accosta sur les rives de lactuelle Tunisie. Souhaitant sy installer et fonder

une ville (la future Carthage), Didon demanda au chef de la tribu qui occupait les lieux

lautorisation de disposer dun territoire. Celui-ci lui tendit alors une peau de buf en

lui disant dun air goguenard : "Le territoire que vous arriverez couvrir avec cette

peau est vous !". Didon dcoupa la peau en une trs fine lanire et se trouva alors

confronte au problme suivant : disposant dune lanire de longueur donne,

comment enclore un territoire de surface maximale ? Loptimisation de forme

tait ne ! [1].

I.2. GNRALITS

Vu la concurrence accrue entre les industriels, loptimisation de formes est

devenue indispensable dans la conception des nouveaux produits, elle intervient dans

presque tous les domaines des sciences de lingnieur. Elle a par exemple pour cadre

soit lamlioration de lexistant par modification des paramtres vis vis de nouveaux

objectifs ou limitations, soit lmergence de nouvelles conceptions par loptimisation

topologique. Autrement dit, elle consiste dterminer la meilleure forme, les

meilleures proprits internes et/ou meilleures conditions de travail dune structure

obissant des contraintes connues, produisant ainsi un extremum (soit minimum ou

maximum) dune quantit choisi caractrisant la structure [2].


6

Dans les problmes d'optimisation simples, la solution (l'optimum) est la plupart

du temps obtenue en cherchant les zros de la drive de la fonction optimiser, ou de

son gradient dans les cas de dimension suprieure. Ceci fournit dans la plupart des cas

des optima locaux, parmi lesquels on doit trouver le vrai optimum.

Le choix dune forme estime est essentiel pour lanalyse ainsi que loptimisation

dune structure mcanique. Loptimisation est donc possible sont tablir une tude

prliminaire des hypothses mises propos des aspects de la rponse de la structure,

soit relle ou imagine.

I.3. TYPES DOPTIMISATION

Parmi les problmes doptimisation de formes on peut distinguer trois grandes

catgories, du plus facile au plus difficile :

I.3.1. Optimisation paramtrique

Dans ce type doptimisation de formes, les formes sont paramtres par un

nombre rduit de variables (par exemple, une paisseur, un diamtre, des dimensions),

ce qui limite considrablement la varit des formes possibles (ou admissibles).

Lexemple le plus simple de cette optimisation est loptimisation de lpaisseur dune

membrane.

On considre une membrane lastique qui, au repos, occupe un domaine plan ,

et que lon suppose tendue et fixe sur son contour. Lorsquelle est soumise un

chargement ou force verticale f, elle se dforme en dehors de son plan dquilibre.

Dans le cadre dune thorie mcanique de petits dplacements et de petites

dformations, et si lon ne considre que des efforts de membranes (en ngligeant ceux

de flexion), la dformation de cette membrane est modlis par son dplacement

vertical u(x) : IR , solution de lquation aux drives partielles suivante, dite

modle de membrane :

( )

=

=

sur

dans

0u

fuAdiv (I-1)


7

o A(x) est le coefficient (en toute gnralit le tenseur) qui reprsente les proprits

de rsistance mcanique en x. Ce coefficient varie en espace, refltant ainsi une

variation de lpaisseur de la membrane ou bien un changement de matriau lastique.

Nous supposons ici que le matriau est homogne isotrope, mais que lpaisseur peut

varier dun point un autre (voir Fig. I-1). Dans ce cas le coefficient A est reli

lpaisseur h par la formule :

( ) ( )IxhxA =

o I est le tenseur identit, et > 0 est le module de Young du matriau.

Dun point de vue pratique lpaisseur est limite par des valeurs minimale et

maximale : 0 < hmin h(x) hmax < +. Lpaisseur h sera notre variable

doptimisation.

Il reste dfinir de manire plus prcise lensemble des paisseurs admissibles en

tenant compte dventuelles contraintes de ressource ou de faisabilit pratique ;

contrainte sur le poids par exemple. Dans un tel cas on obtient :

( ){ } )(et )( que tel: 0maxmin == hdxxhhxhhRxhUad (I-2) o h0 est une paisseur moyenne impose.

Figure I-1 : Membrane dpaisseur variable.

Il ne reste maintenant que prciser le dernier ingrdient dun problme

doptimisation, savoir le critre doptimisation. En gnral, on cherche optimiser


8

une proprit mcanique de la membrane qui est value laide du dplacement u,

solution de (I-1). Un critre assez gnral est donc :

= dxujhJ )()( (I-3)

o u dpend bien sr de h travers lquation (I-1), et j(u) prend diffrentes forme

selon besoins, par exemple j(u) = fu si en jouer sur la rigidit dune structure savoir

quelle est souvent mesure par le travail des forces extrieures (moins la structure

travaille, plus elle est rigide). Un autre exemple consiste obtenir (ou du moins

sapprocher) dun dplacement cible u0(x), ainsi, on aura : j(u) = |u u0|.

On retrouve bien dans ce problme les trois ingrdients essentiels de tout

problme doptimisation de structures : un modle (1-1), un ensemble admissible (1-2)

et un critre (1-3).

I.3.2. Optimisation gomtrique

Lide principale en optimisation gomtrique est de faire varier la position des

frontires dune forme, sans toutefois changer sa topologie (cest--dire le nombre de

trous en 2D) qui reste la mme que celle de la forme initiale.

Par rapport loptimisation paramtrique, un certain nombre de difficults

nouvelles se prsentent. En particulier, se posent les questions de la reprsentation

mathmatique des formes et des variations de formes. Par exemple, on peut reprsenter

une forme par la fonction caractristique de son domaine (qui vaut 1 lintrieur et 0

lextrieur) ; mais dans ce cas, comment faire des variations de forme ? En effet, une

combinaison linaire de fonctions caractristiques nest pas, en gnral, une fonction

caractristique. On ne peut donc pas faire de "calcul des variations" dans lespace des

fonctions caractristiques, et calculer un gradient. Il sagit dune difficult typique de

loptimisation de formes gomtrique quil est important de contourner pour des

raisons thoriques tout autant que numriques.

Un exemple doptimisation gomtrique est loptimisation de la forme dune

membrane, mais cette fois-ci frontires variable ; lpaisseur est considre

constante, cest la forme de la membrane qui est la variable doptimisation.


9

Un domaine de rfrence de la membrane est not , et son bord est divis en

trois parties disjointes DN = , o est la partie variable de la frontire, D

et N sont des parties fixe de la frontire (condition aux limites).

Figure I-2 : Membrane frontires variables.

On suppose que la partie variable de la frontire est libre de tout effort,

autrement dit, le dplacement vertical u est solution du modle de membrane suivant :

=

=

=

=

sur 0

sur

sur 0

dans 0

nu

gnu

u

u

N

D (I-4)

On rajoutant une contrainte sur le poids ou la masse de la membrane qui est

proportionnel au volume de , lensemble des formes admissibles sera donc :

{ } et que telR 0N == VxU NDad U (I-5) o V0 est un volume impos.

Il ne manque que le critre doptimisation pour dfinir compltement ce

problme, celui-ci peut tre la compliance quon peut formuler comme suite :

=N

dxguJ .)( (I-6)


10

ou un dplacement cible u0 (x) pour lequel :

= dxuuJ2

0)( (I-7)

I.3.3. Optimisation topologique

Dans loptimisation de formes topologique on cherche, sans aucune restriction

explicite ou implicite, la meilleure forme possible quitte changer de topologie.

Ce dernier type doptimisation est, bien sr, le plus gnral mais aussi le plus difficile.

Notons que, si la dfinition de la topologie dune forme est assez simple en

dimension deux despace (nombre de composantes connexes de son bord ou de trous),

elle est nettement plus complique en dimension trois o ce qui compte nest pas

seulement le nombre de composantes connexes du bord de la forme, mais aussi, son

nombre danses ou de boucles (une boule un tore un bretzel, etc.).

Figure I-3 : Formes de topologie dfrentes.

On peut dire que deux formes ont la mme topologie si on peut passer de lune

lautre par une dformation continue.

Si lon considre lexemple prcdent, le but de loptimisation topologique est

donc doptimiser aussi la topologie de la forme (comparer les Figures 1-2 et 1-4).

Pour cela, il ne faut pas reprsenter une forme par la position de sa frontire, mais

plutt par une fonction indicatrice ou densit de matriau qui vaut 1 si lon se trouve

lintrieur de la forme et 0 lextrieur.

Il faudra aussi tenir compte de la prsence de trous minuscules qui permettent

damliorer les performances de la structure et considrer donc une classe plus large

de formes admissibles qui pourront tre des matriaux composites de type milieux

poreux microperfors.


11

Figure I-4 : Structure trous en optimisation topologique.

I.4. INGRDIENTS D'UN PROBLME D'OPTIMISATION

Afin de rsoudre un problme d'optimisation de structures en mcanique, le

mathmaticien ou le numricien travaille partir de trois ingrdients essentiels pour

concevoir une mthode ou un algorithme de rsolution du problme.

Ces ingrdients sont :

Un modle (typiquement une quation aux drives partielles) qui permet

danalyser le comportement mcanique dune structure,

Un critre que lon cherche minimiser ou maximiser, et ventuellement

plusieurs critres (on parle aussi de fonction objective ou cot),

Un ensemble admissible de variables doptimisation qui tient compte

dventuelles contraintes que lon impose aux variables [3].

Cependant, il faut garder lesprit quen pratique, les choses sont beaucoup plus

compliques. En effet, le choix de ces trois ingrdients est rarement vident et

naturel et constitue une partie non ngligeable du travail de loptimisation. Jamais le

vieil adage "Bien poser le problme, cest le rsoudre moiti" na t aussi vrai !

I.4.1. Modlisation

Le choix du modle doit tre un compromis entre un modle prcis, mais

certainement coteux en temps de calcul, et un modle plus grossier, mais plus

conomique du point de vue du calcul. Un tel compromis simpose car la rsolution


12

numrique de problmes doptimisation de formes est fondamentalement itrative et

ncessite donc de nombreuses valuations du modle. On amliore une succession de

formes et pour chacune dentre elles on calcule sa performance en rsolvant le modle.

Nous identifierons toujours un modle une quation aux drives partielles (ou

une discrtisation de celle-ci). Cest en quelque sorte le cas idal, et le plus frquent,

o lon dispose dune modlisation prcise, ou "exacte", de la ralit. Nanmoins, il

peut arriver dans certaines situations trs complexes quun tel modle soit inutilisable

car trop coteux, voire impossible, valuer.

Cest particulirement vrai en optimisation multidisciplinaire o lon considre

en fait plusieurs modles concurremment : par exemple, un avion dont on optimise les

proprits arodynamiques, acoustiques, structurelles et lectromagntiques (signature

radar). Dans une telle ventualit une approche populaire est dutiliser un modle de

substitution.

Lide est de remplacer le modle exact par un modle trs simplifi

(typiquement un polynme des variables doptimisation) dont les paramtres sont

ajusts afin de minimiser lerreur dapproximation. On parle aussi de mthode de

surfaces de rponse.

La conception optimale a lieu alors en deux tapes : premirement, un certain

nombre dvaluations du modle exact permet dtablir un modle de substitution;

deuximement, on optimise la structure laide de ce modle simplifi. En gnral, la

seconde tape ne pose pas de problmes, et toutes les difficults sont concentres dans

la premire [3].

I.4.2. Critres doptimisation

Le choix du critre nest pas plus simple. Il existe des facteurs de performance

non quantifiables mathmatiquement (par exemple, la beaut, le plaisir, ou tout ce qui

est du ressort des sensations). Sans mme en arriver ces extrmits, certains critres

physiques ou mcaniques sont difficilement traduisibles en termes mathmatiques.

Par exemple, si lon veut minimiser le risque de ruine dune structure, il est difficile de


13

trouver un critre absolu car les origines de la rupture sont nombreuses

(endommagement, plasticit, fissuration, etc.) [3].

Bien que le critre doptimisation quon a vu dans la sous-section I.3.1,

concernant lexemple de loptimisation de lpaisseur dune membrane, ait lair assez

gnral, il nen est rien : de trs nombreux critres essentiels du point de vue des

applications ne se mettent pas sous la forme (I-3).

Ceci va nous permettre de faire quelques remarques sur les critres

doptimisation, valables aussi pour la plupart des autres modles en optimisation.

En premier lieu, il est possible de faire dpendre le critre, non seulement du

dplacement u, mais aussi de ses drives. Par exemple, il est courant dutiliser des

critres portant sur le vecteur des contraintes, dfini par : )()(.)( xuxhx =

Un critre classique pour viter lendommagement ou la rupture est le maximum

des contraintes :

( )xhJx

sup)(

= (I-8)

o lon a utilis la norme du vecteur (en lasticit on utilise plutt la contrainte

quivalente de Von Mises). La difficult avec ce critre est sa non-diffrentiabilit, on

lui prfre souvent le critre plus rgulier suivant :

( ) += pxhJpp

1 avec )(1

(I-9)

Ce dernier redonne la limite p + le critre sur le maximum des contraintes.

Les critres prcdents correspondent des chargements stationnaires en temps.

En pratique de nombreuses structures sont soumises des chargements cycliques ou

des vibrations.

Cest pourquoi un autre critre trs utilis en pratique consiste optimiser des

frquences propres de vibration . En gnral, pour maximiser la rigidit des

structures vibrantes on maximise la premire frquence propre, cest--dire quon

choisit de minimiser le critre :

( )21)( hJ = (I-10)


14

On peut aussi avoir plusieurs critres diffrents optimiser, on parle alors

doptimisation multicritres. Par exemple, on peut vouloir minimiser la fois la

compliance et le maximum des contraintes dune membrane. On peut, soit agrger ces

deux critres en une seule combinaison linaire, soit imposer une valeur maximale

un premier critre et optimiser sous contrainte le deuxime, soit chercher un optimum

au sens de Pareto, cest--dire une solution telle que lon ne peut pas amliorer un

critre sans en dtriorer un autre.

Il est assez rare quune structure ne soit soumise en permanence qu un seul

chargement, cest--dire une seule force f, ou bien que les forces auxquelles elle est

soumise soient uniques et bien dtermines. On prfre donc parfois pratiquer une

optimisation multi-chargements.

I.4.3. L'ensemble de formes admissibles

La dfinition dun ensemble de formes admissibles est plus dlicate. Trs

souvent, on doit imposer des contraintes de "faisabilit", difficiles quantifier

prcisment, ou bien on doit tenir compte de limitations imposes par dautres

phnomnes physiques. Ainsi, minimiser la trane dun profil daile ( portance fixe)

na pas de sens si on oublie que laile doit supporter des contraintes mcaniques en

liaison avec le reste de lavion [3].

I.5. PROCESSUS DOPTIMISATION

Le dimensionnement classique dans un bureau dtudes repose souvent sur une

approche essais-erreurs, cest dire, pour raliser un composant, le concepteur doit :

Raliser un modle initial partir dun cahier des charges, de son exprience

et de lenvironnement gnral o se situe sa pice ;

Raliser ensuite des modlisations (statique, dynamique, etc.) permettant de

vrifier les critres de dimensionnement ;

Itrer en modifiant sa conception de manire respecter son cahier des

charges.


15

Divers logiciels doptimisation dusage industriel existent actuellement sur le

march, on peut citer parmi eux : Optistruct, ANSYS DesignSpace, Genesis, MSC-

Nastran, Tosca, devDept, etc. Leurs principe de base est de pouvoir reproduire

de faon automatique ce quun concepteur ralisait auparavant manuellement, en

y ajoutant :

La possibilit de balayer un espace de conception plus large ;

Les calculs automatiques ;

Les possibilits de raliser des plans dexpriences et de crer ainsi des

fonctions dapproximation.

Latteinte doptimum grce des algorithmes de plus en plus performants

Pour le concepteur, les tapes-clefs en optimisation de forme sont donc :

La ralisation du modle de CAO paramtre ;

La dtermination des analyses effectuer (statique, dynamique, etc.) ;

La ralisation dun modle paramtr lments finis et associ la gomtrie ;

La dfinition des critres de dimensionnement associs la pice (contraintes

maximales, plage de frquence interdite, masse, dplacements maximaux, etc.).

Le logiciel doptimisation va tre charg de reconnatre et de grer ces modles

(lments Finis, CAO, etc.), de permettre lutilisateur didentifier les paramtres

sensibles, de piloter automatiquement le processus complet de calcul et de traiter les

rsultats en fonction des paramtres.

Modle CAO paramtr Maillage paramtr Rsultats

Figure I-5 : Processus doptimisation par un software.


16

Le plan dexpriences se contentera de permettre la cration de fonction

dapproximation des fonctions (mais possibilits derreurs importante entre la fonction

estime et les points rels), tandis que loptimisation directe utilisera les valeurs relles

des fonctions et les sensibilits pour atteindre des valeurs optimales [4].

I.6. APPLICATIONS

Concernant ses applications, loptimisation de formes intervient dans presque

tous les domaines des sciences de lingnieur ; il pourra sagir de cristaux photoniques

(optique), conception dantennes ou de composants (lectromagntisme, lectronique),

panneaux anti-bruit (acoustique), chercher la meilleure aile davion (aronautique), le

meilleur pare-brise,, etc.

Par exemple, les astronomes danois se sont lancs dernirement dans la

ralisation dun petit satellite capable de dtecter des sources de rayon gamma en

provenance de galaxies lointaines. Ce satellite est quip de quatre camras (situes

chaque angle) et de divers autres instruments. Les diffrents instruments sont prsents

sur la Figure I-6. La taille du satellite est limite 606080 cm3 et le poids 80 kg.

Figure I-6 : Optimisation dun satellite. a) Rgion de dessin et instrumentation. b) Structure obtenue par optimisation topologique. c) Structure optimise avec les instruments.

Botier d'instruments

Camras

Tlescope

Structure optimiser en

topologie


17

La question pose tait de trouver la structure permettant daccrocher ensemble

ces divers instruments avec le minimum de poids et une rsistance suffisante,

compte tenu des efforts mcaniques endurs par le satellite lors du dcollage.

Cest typiquement une question laquelle loptimisation topologique apporte une

trs bonne rponse. La Figure I-5b reprsente le domaine optimal avant post-traitement

et la Figure I-5c la structure avec les instruments.

Ce type de calcul tridimensionnel peut prendre plusieurs jours sur une machine

trs puissante [1].

CCAALLCCUULL DDEESS VVAARRIIAATTIIOONNSS Sommaire du chapitre :

II.1. Introduction........................................................................................................................................ 19

II.2. Fonctionnelle ..................................................................................................................................... 20

II.2.1. Dfinition ........................................................................................................................................... 20

II.2.2. Rsultats concernant les fonctionnelles ......................................................................................... 21

II.3. Problmes types du calcul des variations ...................................................................................... 22

II.3.1. Problme de Lagrange...................................................................................................................... 23

II.3.2. Problme de Bolza ............................................................................................................................ 23

II.3.3. Problme de Mayer ........................................................................................................................... 23

II.4. Premire et second variations.......................................................................................................... 23

II.5. quation d'Euler-Lagrange .............................................................................................................. 25

II.5.1. Multiplicateurs de Lagrange............................................................................................................ 25

II.5.2. quation d'Euler-Lagrange .............................................................................................................. 27

II.5.3. Cas particuliers .................................................................................................................................. 28

II.6. Quelques exemples ........................................................................................................................... 29

II.6.1. Principe de la moindre action de Hamilton ................................................................................... 29

II.6.2. Problme de la brachistochrone ...................................................................................................... 29

II.7. Problme d'optimisation limites variables.................................................................................. 30

Chapitre

II

Chapitre II Calcul des variations

19

CALCULCALCULCALCULCALCUL DESDESDESDES

VARIATIONSVARIATIONSVARIATIONSVARIATIONS

II.1. INTRODUCTION

Le prsent chapitre est consacr au calcul des variations qui est l'un des sujets

classiques des mathmatiques. Il a attir un grand nombre de mathmaticiens clbres,

en mathmatiques, en physique, dans les sciences de l'ingnieur ou mme en conomie

ou en cologie.

Comme dfinition, on peu dire que l'tude d'une fonction valeurs relles

comporte en particulier la dtermination de ses extremums. Ceci est l'un des objets du

calcul diffrentiel classique lorsque la source de cette fonction est un espace

numrique ; lorsque cette source est un espace fonctionnel, c'est l'objet de ce qu'Euler a

appel le calcul des variations.

De nombreux problmes de la physique peuvent tre poss sous ce que l'on

appelle une formulation variationnelle, c'est dire comme la recherche d'un optimum

parmi une famille de solutions possibles. C'est notamment le cas de la mcanique de

Hamilton (principe de moindre action), mais aussi du principe de Fermat en optique et

de multiples autres exemples [5].

On rencontre dj dans la plus haute antiquit des problmes d'une telle nature,

mais ; ce n'est qu'au XVIIIe sicle, la suite de l'essor du calcul infinitsimal, qu'Euler

et Lagrange tablirent les fondements du calcul des variations et donnrent une

premire condition d'extremum. Cette quation d'Euler-Lagrange allait jouer un rle

trs important, surtout en physique, o elle justifiait les principes variationnels :

principe de Fermat pour la propagation de la lumire dans les milieux diffremment


20

rfringents ; principe de moindre action de Maupertuis et Hamilton pour la

dtermination des mouvements en mcanique analytique [6].

Dans les problmes d'optimisation, les modles sont souvent exprims en termes

d'un principe de minimalit ou de maximalit qui est prcisment la question centrale

du calcul des variations.

Par exemple, en mathmatiques, on peut tre intress trouver, sous certaines

contraintes, une courbe de longueur minimale ou une surface d'aire minimale. En

physique, un exemple typique est le principe de moindre action.

Par ailleurs, les lois de conservation, qui correspondent mathmatiquement des

quations diffrentielles, sont souvent drives partir d'un principe variationnel. Les

solutions du problme variationnel sont alors des solutions dquations diffrentielles

associes [7].

II.2. FONCTIONNELLE

II.2.1. Dfinition

Une fonctionnelle J est une loi de correspondance qui, chaque fonction dune

certaine classe, fait correspondre un nombre rel.

Soit par exemple la fonctionnelle J dfini par : ( )=1

0 dxxyJ . Si on substitue

y(x) diverses fonctions, J prendra diffrentes valeurs numriques.

Pour xy = ; =1

0

4dxxJ ; [ ]105 5/xJ = ; 2,0=J .

Pour 3xy = ; =1

0

6dxxJ ; [ ]107 7/xJ = ; 143,0=J .

Pour xy sin= ; =1

0 sin dxxJ ; [ ]102sin24

1xxJ = ; 273,0=J .

Dune certaine faon, on peut dire quune fonctionnelle est une fonction de

fonction [8].


21

II.2.2. Rsultats concernant les fonctionnelles

Argument dune fonctionnelle

Soit par exemple la fonctionnelle J donne par :

( ) =2

1

,,x

xdxyyxFJ (II-1)

La fonction y = y(x) est appele argument de la fonctionnelle.

Variation de largument dune fonctionnelle

Laccroissement de largument dune fonctionnelle est la diffrence de deux

fonctions (voir Fig. II-1).

On le note y = y(x).

y = y(x) y*(x) (II-2)

Il y a une diffrence essentielle entre y et dy qui sont toutes deux des variations

infinitsimales de y ; dy provient dune variation de la fonction donne par une

variation infinitsimale de x, le temps que y est un changement infinitsimal de y

caus par une nouvelle fonction. Gnralement, on prend la variation y(x) sous la

forme :

( )xy .= (II-3)

Figure II-1 : Accroissement de la fonctionnelle.


22

Variation de la drive

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

( )xydx

d

xyxydx

d

xyxyxy

=

=

=

*

*

La variation de la drive est gale la drive de la variation.

Variation de lintgrale

( ) ( ) ( )

( )

=

=

2

1

2

1

2

1

2

1

*

x

x

x

x

x

x

x

x

dxxy

dxxydxxydxxy

La variation de lintgrale est gale lintgrale de la variation.

Lemme fondamental du calcul des variations

Si lintgrale ( ) ( )2

1

.x

xdxxgxf est nulle quelle que soit la fonction f(x) continue

pour x [x1, x2] et nulle pour x = x1 et x = x2, et si g(x) est une fonction continue, alors

la fonction g(x) est nulle.

II.3. PROBLMES TYPES DU CALCUL DES VARIATIONS

Dans le cas gnral du calcul des variations le problme consiste trouver la

courbe y = y(x) o y(x1) = y1, y(x2) = y2 tels que pour une certaine fonction donne

F(x, y, y), l'intgral

( ) 2

1

,,x

xdxyyxF

est un extremum (maximum ou un minimum), galement appel valeur stationnaire.

Une courbe qui satisfait cette proprit sappelle une extrmale.

Les problmes doptimisation par le calcul des variations peuvent tre ramens

trois types classiques.


23

II.3.1. Problme de Lagrange

Il sagit de minimiser ou de maximiser une fonctionnelle avec des conditions aux

limites et des conditions de contraintes, J tant de la forme :

( )[ ] ( ) =2

1

,,x

xdxyyxFxyJ (II-4)

x tant la variable indpendante, y = y(x) et y' =dy/dx.

Par exemple, si F est le lagrangien, on a la fonctionnelle ( ) =2

1

,,t

t iidtqqxLS dite

action hamiltonnienne.

II.3.2. Problme de Bolza

Il sagit de minimiser ou de maximiser une fonctionnelle avec des conditions aux

limites et des conditions de contraintes, J tant de la forme :

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) +=2

1

,,,,, 2211x

xdxyyxFxyxxyxGxyJ (II-5)

II.3.3. Problme de Mayer

Cest un problme de Bolza pour lequel F(x,y,y') = 0.

Le problme de Bolza englobe les problmes de Lagrange et de Mayer, et peut

tre ramen un problme de Lagrange.

II.4. PREMIRE ET SECOND VARIATIONS

Soit la fonctionnelle J exprimer par l'quation (II.4) et y*(x) la courbe qui rend

cette fonctionnelle extrmale, c'est--dire que y*(x) est la solution rechercher [9].

Pour dterminer cette solution, on dfinit une variation .(x) telle que :

( ) ( ) ( )xxyxy .* += (II-6)

tant un rel indpendant de x avec et petit.

(x) est dfinit comme tant non nulle, sauf aux bornes dintgrations x1 et x2. De

ce fait ( ) ( ) 021 == xx , ( ) ( ) 111 * yxyxy == et ( ) ( ) 222 * yxyxy == .


24

Figure II-2 : Variables courbes admissible (en haut) et courbe

arbitraire qui s'annule au borne de l'intervalle [x1,x2] (en bas).

On calcule la drive en de lintgrale, ce qui donne [10]:

( )

( )

( ) ( )

+

++

=

+

+

=

=

=

2

1

2

1

2

1

2

1

'*''

*

'

'

,,

,,

x

x

x

x

x

x

x

x

dxyd

d

y

Fy

d

d

y

F

dxd

dy

y

F

d

dy

y

F

d

dx

x

F

dxyyxFd

d

dxyyxFd

d

d

dJ

alors : ( )

+

=2

1

''

'x

xdx

y

F

y

FJ (II-7)

On intgrant le terme ''

y

F

par parties, on obtient :

= 2

1

2

1

2

1

.''

''

x

x

x

x

x

xdx

y

F

dx

d

y

Fdx

y

F

donc : ( )

+

=2

1

2

1

2

1

.''

.'x

x

x

x

x

xdx

y

F

dx

d

y

Fdx

y

FJ (II-8)

y*(x)

x

y

y1

y2

x1 x2

x

x1 x2


25

Comme ( ) ( ) 021 == xx , le terme 'yF

valu de x1 x2 sera nul, et on aura :

( )

=2

1

2

1

.'

.'x

x

x

xdx

y

F

dx

ddx

y

FJ

( )

=2

1 ''

x

xdx

y

F

dx

d

y

FJ

( )

=2

1

.'

'x

xdx

y

F

dx

d

y

FJ (II-9)

C'est la drive premire de la fonctionnelle.

De l'quation (II-7) et par une deuxime drivation on obtient la drive second :

( )

+

+

=2

1

22

222

2

2

''

''

"x

xdx

y

F

yy

F

y

FJ (II-10)

II.5. QUATION D'EULER-LAGRANGE

II.5.1. Multiplicateurs de Lagrange

Pour comprendre lintrt des multiplicateurs de Lagrange, considrons une

fonction f :

( ) ( )yxfyxRUf

,,

:

a

U est un ouvert de R. f est suppose continue et admettant des drives premire

et seconde continues sur U.

dyy

fdx

x

fdf

+

= (II-11)

Si en (x0, y0), on a f (x0, y0)/x = 0 et f (x0, y0)/y = 0 alors (x0, y0) est un

extremum de f. La nature de cet extremum dpend des drives dordres suprieurs.

Que se passe-t-il si (x, y) au lieu de parcourir tout U, se dplace sur une

trajectoire g(x, y) = Cte et g une fonction de classe C sur U? [11].


26

Soit par exemple g(x, y) = x + y. On peut exprime une variable par rapport

lautre ( 1 xy = ) et on rsout 0/ =dxdf .

Cette mthode se rvle peu praticable pour les fonctions de plus de deux

variables. Par contre, l'utilisation des multiplicateurs de Lagrange est plus pratique.

Partons de : dyy

fdx

x

fdf

+

=

Si dx et dy sont indpendants, alors : = 0df 0=x

f et 0=

y

f

Mais ici, ce nest pas le cas puisque dx et dy sont relis par la relation

g(x, y) = Cte.

dyy

gdx

x

gdy

y

gdx

x

gdg

=

=

+

= 0

Donc, en supposant que 0y

g, on a : dx

y

g

x

g

y

f

x

fdf

=

On cherche les points (x, y) de la trajectoire autorise (g(x, y) = Cte) pour

lesquels df = 0.

=

=

=

=

y

gy

f

x

gx

f

y

g

x

g

y

f

x

fdf 0

est appel multiplicateur de Lagrange.

Aux points recherchs, fr

et gr

doivent tre colinaires pour que f soit

extrmale sur le chemin dfini par g ; on a alors :

0=

x

g

x

f (II-12)

0=

y

g

y

f (II-13)


27

Ce systme donne (x, y) en fonction de . En rinjectant x() et y() dans

g(x, y) = Cte, on trouve les valeurs possibles de et les ventuelles solutions du

problme.

II.5.2. quation d'Euler-Lagrange

L'quation (II-9) exprime la drive premire de la fonctionnelle J ayant comme

argument ( ) ( ) ( )xxyxy .* += . Puisque y*(x) rend la fonctionnelle J extrmale, alors ;

pour = 0 on aura ( ) ( )xyxy *= et la valeur de la drive premire doit tre nulle pour

cette valeur de [9].

Ainsi on aura : ( ) 0.'

0'2

1

=

= x

xdx

y

F

dx

d

y

FJ (II-14)

Puisque est non nulle entre x1 et x2, il faut alors que son facteur soit nul, donc :

0'=

y

F

dx

d

y

F (II-15)

c'est l'quation d'EulerLagrange. La rsolution de cette quation donnera la fonction

y(x) pour laquelle la fonctionnelle J sera stationnaire.

L'quation d'EulerLagrange peut tre crite aussi sous la forme :

x

Fy

y

FF

dx

d

=

''

(II-16)

ou bien, en dveloppant (II-15), sous la forme :

0'

''

"'

22

2

2

=

+

+

y

F

xy

Fy

yy

Fy

y

F (II-17)

qui est une quation diffrentielle du second ordre non linaire. Sa solution dpend de

deux constantes arbitraires qui se dterminent par les conditions aux limites.

La valeur de la drive seconde pour = 0 est :

( )

+

+

=2

1

22

222

2

2

''

''

0"x

xdx

y

F

yy

F

y

FJ (II-18)

Elle permet de dterminer la nature de l'extremum (soit minimum ou maximum).


28

II.5.3. Cas particuliers

Si F ne dpend pas de x :

Dans ce cas, on cherche minimiser l'intgrale : ( ) 2

1

,x

xdxyyF

L'quation d'EulerLagrange (II-16) devient ainsi :

0''

=

yy

FF

dx

d (II-19)

donc : Cyy

FF =

''

(II-20)

et qui est une quation diffrentielle du premier ordre (C est une constante).

Si F ne dpend pas de y :

L'intgrale minimiser est : ( ) 2

1

,x

xdxyxF

L'quation d'EulerLagrange (II-15) devient dans ce cas :

0'=

y

F

dx

d (II-21)

donc : Cy

F=

'

(II-22)

C'est une quation diffrentielle du premier ordre (C est une constante).

Si F ne dpend pas de y' :

L'quation d'EulerLagrange (II-15) devient :

0=y

F (II-23)

qui n'est pas une quation diffrentielle, mais plutt une quation algbrique.


29

II.6. QUELQUES EXEMPLES

II.6.1. Principe de la moindre action de Hamilton

La mcanique Hamiltonnienne est l'exemple le plus classique d'application du

calcul variationnel. Cherchant calquer la mcanique sur loptique gomtrique,

Hamilton a observ que le mouvement dun point matriel dans un champ de potentiel

est solution dun problme variationnel lagrangien.

Considrons un point matriel de masse m se dplaant sur laxe des x dans un

potentiel V(x). Soit xA, la position de la particule en t = tA et xB, la position de la

particule en t = tB. Quelle va tre la trajectoire x(t) de cette particule ?

On considre la fonctionnelle S, laction qui associe une trajectoire x(t) le

nombre

( )

=B

A

t

tdtxVxmS 2

2

1& (II-24)

La quantit ( )xVxm 2/2& est le Lagrangien, gal la diffrence entre l'nergie cintique et l'nergie potentielle et qui est en fait une fonctionnelle, qui dpend de la

trajectoire suivie.

La trajectoire effectivement suivie est celle qui minimise laction. C'est ce que

l'on appelle le principe de moindre action.

II.6.2. Problme de la brachistochrone

Le problme de la brachistochrone fut soumis par Jean Bernoulli ses

contemporains en 1696 et donna naissance au calcul des variations. Leibniz, Newton,

de lHpital ainsi que son frre Jacques Bernoulli trouvrent la solution : il sagit dun

arc de cyclode [12].

tant donn deux points A et B de hauteurs diffrentes, non situs sur une mme

verticale, il s'agit de rechercher la trajectoire permettant la descente la plus rapide de A

B d'un point M, de masse m, soumis seulement la pesanteur. L'objectif est d'valuer

le temps de descente et de le minimiser.


30

Figure II-3 : Problme de la brachistochrone.

En admettant que sa solution soit une courbe plane ayant une quation de la

forme y = y(x), on peut en donner la formulation analytique suivante : Dterminer la

fonction continment drivable y = y(x) vrifiant les conditions y(x1) = y1 et y(x2) = y2

qui minimise l'intgrale suivante [13] :

( )

+=

2

11

2

2

1xx

dxyyg

yT (II-25)

II.7. PROBLME D'OPTIMISATION LIMITES VARIABLES

Nous n'avons considr auparavant que les problmes d'optimisation dans

lesquels la forme optimiser est borne par deux points limites, connus et fixes.

Cependant, la plupart des problmes d'optimisation consiste en une optimisation

d'une forme dont l'une ou les deux extrmits sont variables (voir Fig. II-4).

Ainsi, nous allons tudier dans cette section le cas gnral d'un problme

d'optimisation de forme. Pour cela, considrons le problme qui consiste rendre

extrmale la fonctionnelle [8,9] :

( ) =2

1

,,x

xdxyyxFJ (II-26)

dont la solution est une courbe :

( ) 21 : xxxxyy

o x1 et x2 peuvent varis en satisfaisant :

( ) ( ) 1,2 == ixYxy iii (II-27)

M

y = y(x) B

A

x

y

y1

y2

x1 x2


31

Ceci est un problme d'optimisation avec Y1(x) comme tant la courbe de

frontire gauche et Y2(x) celle de droite.

Figure II-4 : Problme gnrale d'optimisation.

Soit la famille des courbes :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 .* xxxxxyy += (II-28)

avec y* solution du problme, courbe arbitraire et < < ( petit).

Afin que chaque courbe de la famille des courbes (II-28) satisfait (II-27) on doit

avoir :

( )( ) ( )( ) ( )( ) 1,2 .* ==+ ixYxxy iiii (II-29)

En drivant par rapport et pour une valeur nulle de on obtient :

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1,2 0000*' ==+ id

xdYx

d

dxxy iii

ii

(II-30)

L'quation (II-30) donne une relation entre ( )

d

dxi 0 , aux points limites de la

courbe solution y* et ( )d

dYi 0 des courbes de frontires.

On admettant la notation ( )0* ii xx = pour les points limites de y*, on a :

( ) ( ) ( ) ( ) 1,2 0**'0* == id

dxxy

d

dYx ii

ii

(II-31)


32

Se sont les seules courbes (x) qui peuvent tre utilises dans ce problme et les

seules crant la famille des courbes (II-28) satisfaisant (II-27). On appel ces courbes

les (x) admissibles.

Pour ces courbes (x), on a :

( ) ( )( )

( )

++=

2

1

'*',*,x

xdxyyxFJ (II-32)

alors : ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

+

++

+

=

2

1

.'*''

*'x

xdxy

d

d

y

Fy

d

d

y

F

d

dx

x

FJ

Suivant les mmes tapes de la section II.4 et d'aprs l'quation (II-9) on obtient :

( )( )

( )

( )

( ) ( )( )

( )

2

1

2

1

2

1

.'

.'

'x

x

x

x

x

x d

dxF

y

Fdx

y

F

dx

d

y

FJ +

+

= (II-33)

Comme prcdemment, on doit avoir ( )'J nulle pour y*, ainsi, une valuation

pour = 0 donne :

( ) ( ) 00.'

.'

0'*

*

*

*

2

1

2

1

=

+

+

= x

x

x

x d

dxF

y

Fdx

y

F

dx

d

y

FJ

(II-34)

Si la courbe y* est une extrmale pour le problme limite fixes, cest aussi une

extrmale pour le problme limites variables dont le point terminal serait (x2*, y2*).

On a donc ncessairement :

0*

'

*=

y

F

dx

d

y

F (II-35)

qui est bien sr l'quation d'Euler tirer du premier terme

2

1

*

*.

'

x

xdx

y

F

dx

d

y

F .

Remarque : la notation ( )*.... signifie que le terme est valuer le long de la courbe solution y*,

c'est--dire : ( )y

yyxF

y

F

=

*'*,,

* et ( )

'

*'*,,*

' y

yyxF

y

F

=

.


33

En plus, le terme restant dans lexpression (II-34) doit tre nul, donc :

( )

00

.**

'=+

d

dxF

y

F (II-36)

Remplaons maintenant par sa valeur exprime en (II-31), on obtient :

( ) ( ) ( ) ( ) 1,2 00*0**'0

*

' **

==+

=

=

id

dxF

d

dxxy

d

dY

y

F ixx

ii

i

xxi

i

( ) ( ) ( ) 1,2 00

*

'**'*

*

'

0

*

*

*

==

+

=

=

=

id

dx

y

FxyF

y

F

d

dY i

xx

ixx

xx

i

i

i

i

( )( ) ( ) ( ) 1,2 00

*

'**'*

*

'

0

*

*

*

==

+

=

=

=

id

dx

y

FxyF

y

F

dx

xdY i

xx

ixx

xxi

ii

i

i

i

Finalement : ( )( ) ( ) 1,2 0

*

'**'

0*

*

* ==

+

=

= iy

Fxy

dx

xdYF

i

i

xx

ii

iixx (II-37)

Cette relation est dite Condition de transversalit ; elle remplace les conditions

aux limites. Si cette condition est satisfaite, la courbe y* rencontrera orthogonalement

les courbes de frontire ; d'o vient le vocable condition de transversalit [8].

Remarque : la notation ( )*.... *ixx= signifie que le terme est valuer le long de la courbe solution

y* pour x = xi*, c'est--dire : ( ) ( )( )**',***,* * iiixx xyxyxFF i == et ( ) ( )( )

'

**',***,*

'*

y

xyxyxF

y

F iii

xx i

=

=

.

FFOORRMMUULLAATTIIOONN DDUU PPRROOBBLLMMEE Sommaire du chapitre :

III.1. Introduction...................................................................................................................................... 35

III.2. But de l'tude ................................................................................................................................... 36

III.3. Bibliographie ................................................................................................................................... 36

III.4. La dent d'engrenage ....................................................................................................................... 42

III.4.1.Gomtrie ......................................................................................................................................... 42

III.4.2.Rsistance la flexion .................................................................................................................. 43

III.5. Hypothses et contraintes ............................................................................................................ 46

III.5.1.Intrt des profils en dveloppante de cercle ......................................................................... 46

III.5.2.Symtrie des dents ......................................................................................................................... 46

III.5.3.Profil de la trochode ..................................................................................................................... 46

III.6. Dtermination de la contrainte en fonction du rayon........................................................... 47

III.7. Condition de rsistance................................................................................................................. 50

Chapitre

III

Chapitre III Formulation du problme

35

FORMULATIONFORMULATIONFORMULATIONFORMULATION DUDUDUDU

PROBLMEPROBLMEPROBLMEPROBLME

III.1. INTRODUCTION

Nous allons dans ce chapitre tudier un problme d'optimisation dans lequel on

utilisera la thorie et les techniques d'optimisation prsents dans les chapitres

prcdents.

Aujourd'hui les engrenages occupent une place spciale dans les systmes

mcaniques. C'est la faon la plus conomique pour transmettre de la puissance et un

mouvement de rotation dans des conditions uniformes. L'importance de l'engrenage,

comme lment mcanique ncessaire et idal, revient de leurs avantages, savoir : un

excellent rendement et un encombrement plutt faible pour un prix de revient modr.

Le dveloppement des nouvelles technologies, comme l'lectronique, a remplac

quelques applications des engrenages, mais ils restent toujours un lment mcanique

dont l'utilisation crot continuellement dans toutes les industries.

D'autre part, les avaries mcaniques du fonctionnement des engrenages rsultent

en gnral de deux causes principales : soit dune pression de contact leve entre

les dents, soit dune fissuration au niveau du pied de dent par fatigue en flexion. La

figure III-1 qui reprsente une dent en photolasticit montre clairement les deux types

de sollicitations agissant sur une dent.

Le contour dune dent dengrenage cylindrique denture droite comporte deux

parties : la partie engrnement dfinie par une dveloppante de cercle pour des raisons

cinmatiques et la base de la dent de forme trochodale ; puisque cette dernire ne


36

participe pas "lengrnement" proprement dit, on nest pas obliger la respecter si

lon conserve la forme en dveloppante de cercle.

Figure III-1 : Contraintes agissant sur les dents d'un engrenage [14].

La possibilit de varier la forme au niveau du pied de la dent a ouvert la porte

devant la recherche de la meilleure forme parmi les formes possibles, envisageant une

amlioration des performances des engrenages, savoir : une dure de vie plus longue,

un allgement, une diminution des contraintes de flexion, etc.

III.2. BUT DE L'TUDE

Mettant en considration ce qui a tait dit la section prcdente, il est possible

donc d'avoir des dents ayant une forme de la base des dents autre que la forme

habituelle. Si l'on cherche une forme pour laquelle la concentration des contraintes est

limite cet endroit (dents de forme plus rsistante et ventuellement de

moindre volume), on est ainsi conduit un problme doptimisation de la forme de la

base des dents.

III.3. BIBLIOGRAPHIE

La conception d'un engrenage comprend des calculs mathmatiques, l'aspect

gomtrique, la dtrioration, les matriaux, la fabrication et la vrification. Parmi tous

ces paramtres, il est essentiel de connatre avec prcision les contraintes se trouvant

dans la dent d'engrenage pour prvenir les risques de rupture. Par consquent,

plusieurs mthodes thoriques et exprimentales ont t dveloppes afin de

dterminer ces contraintes [15].


37

C'est Lewis (1893), qui a analys les dentures droites symtriques par la thorie

des poutres, il considre la dent comme tant une poutre en porte--faux sollicite par

une force normale son axe de symtrie. Suite cette hypothse, la contrainte en

tension se calcule comme pour une poutre en flexion, avec un encastrement la

section critique.

Un autre moyen d'tude des contraintes dans les engrenages est la photolasticit,

elle permet une tude dtaille des rgions charges. On y observe les zones

disocontraintes ainsi que leur progression. Cette mthode est trs efficace pour ltude

des concentrations de contraintes. Pour modliser lobjet de ltude, on utilise une

matire plastique transparente. Un systme optique spcial (polariscope) permet

dobserver les variations de contraintes avec les modifications de couleurs de la pice.

Ci-dessous, un exemple dune visualisation des contraintes au niveau du contact

entre deux dents dun engrenage : les zones trs colores subissent les contraintes les

plus leves.

Figure III-2 : Visualisation par photolasticit des contraintes

au niveau du contact entre deux dents dun engrenage.

Au moyen de la photolasticit, Timoshenko et Baud (1926) en mesur les

contraintes et ils ont obtenus des valeurs deux fois plus grandes que celles calcules


38

par la formule de Lewis. En pensant que cette diffrence est due la variation rapide

de la section la base de la dent, ils proposent de modifier l'quation de Lewis en y

ajoutant un facteur tenant compte de la concentration de contraintes (Kt), un facteur

qui varie avec la largeur de la section et le rayon de courbure au pied de la dent.

Aprs des tudes photolastiques similaires celles de Timoshenko et Baud,

Dolan et Broghamer (1942) trouvent que le facteur de concentration de contraintes

est aussi li la position de la force sur la dent. Suite cela ils introduisent une

formule empirique pour calculer le facteur de concentration de contraintes en fonction

de la section critique, de la hauteur de la charge, du rayon de courbure au pied de la

dent et de coefficients mesurs par photolasticit. Les rsultats dmontrent que la

section critique est un peu moins leve que celle estime par Lewis.

Une autre recherche photolastique par Heywood (1948) reprsente une dent

comme un trapze quivalent et dveloppe, partir de celui-ci, une formule pour le

calcul de la contrainte maximale. Sa formule comprend en plus du facteur de

concentration de contraintes et du terme de contraintes en flexion, un facteur de

correction de l'effet de la charge.

Toujours grce la photolasticit, Jacobson (1958) compare, les rsultats

recueillis avec les formules proposes par : Timoshenko et Baud, Dolan et Broghamer,

Heywood et d'autres chercheurs, pour des engrenages un angle de pression de 20.

Suite son travail il conseille, pour les engrenages 20 d'angle de pression, ayant

entre 10 et 40 dents, l'utilisation de la formule de Lewis modifie, multiplie par un

facteur de concentration de contraintes dpendant du rayon de courbure du sommet de

l'outil de taillage. Il propose aussi une construction trs simple pour localiser la section

critique ; au point de tangence du profil de la dent avec une tangente 30 par rapport

l'axe de symtrie de celle-ci.

Wilcox et Coleman (1973) dveloppent, l'aide des rsultats obtenus par les

lments finis, une nouvelle formule pour le calcul de la contrainte au pied de la dent.

Elle peut s'appliquer aux dents symtriques ainsi qu'asymtriques, mais elle n'est pas

fiable lorsque la sollicitation se situe dans la partie infrieure de la dent.


39

Depuis 1980, l'orientation des travaux de recherche a surtout t dirige vers

I'application des mthodes numriques : lments Finis, quations Intgrales,

Mthode des Potentiels Complexes, Bandes Finies.

Plusieurs d'autres tudes ont tait labores afin d'amliorer les engrenages en

modifiant le profil de la dent. Parmi celles qui concernent la forme de la trochode on

peut citer les suivantes :

M.E.H. Bouanane et M. Bouchama (2003) ont dvelopp une nouvelle

formulation en termes de dplacements partir du principe de la minimisation de

masse, envisageant une autre forme du pied de dent plus rsistante et de moindre

volume pour limiter la cause de rupture au pied de la dent qui se traduit par une

concentration de contraintes cet endroit.

Leur tude intitule "Optimisation de la forme de la trochode dans un engrenage

droit" consiste en une application de la mthode des lments finis o ils ont effectu

une discrtisation de la forme du pied de dent.

La partie basse du profil a t divise en quatre fragments seulement?! (5 nuds).

Un raffinage du domaine de calcul est ainsi souhait pour avoir une forme plus

"continue" et plus prcise.

Aprs calculs, ils ont aboutis aux rsultats souhaits ; en plus de la diminution de

la contrainte maximale entre la forme de dent initiale et celle obtenue par optimisation,

une diminution du volume est a remarque (voir Fig. III-3). La diminution de la

contrainte maximale tait de 15,473 N/mm 14,356 N/mm c'est--dire une rduction

de 8% de la contrainte maximale.

Les calculs ont tait effectuer pour un pignon dont le nombre de dents est

Z = 25 dents et ayant comme module m = 1, et charger par une force Fn = 10 daN

appliquer au Point le plus Haut de Contact Unique (P.H.C.U). Le matriau est du type

18NCD6 dont la limite lastique est limite = 88 daN/mm, le module de Young

E = 21000 daN/mm et le coefficient de Poisson = 0.3.


40

Figure III-3 : Formes et contraintes des dents initiale et optimise.

La diffrence de forme entre la trochode du cot oppos de la charge et celui de

charge ne peut tre bien distincte, mais les valeurs des dplacements infinitsimaux

obtenues montre que les deux cots de la trochode ne sont pas parfaitement

symtriques, un rsultat trs logique puisque le cot de la charge tant soumis une

traction, le temps que le cot oppos est soumis une compression. Les valeurs sont

tout de mme trs voisines ce qui permet de considrer que la dent est symtrique [16].

Aucune formule dterminant la forme de la trochode n'a t mise en place,

laissant ainsi la porte ouverte la recherche pour caractriser une nouvelle crmaillre

gnratrice pour la ralisation de tels engrenages.

A. Kapelevich et Y. Shekhtman (2003) ont utilis une mthode de conception

directe des engrenages base sur lanalyse par lments finis.

Contrairement la mthode conventionnelle de conception dengrenages, base

gnralement sur l'quation de Lewis, la mthode de conception directe des

engrenages n'est pas contrainte par un choix du profil des dents (dpend gnralement

des paramtres de l'outil) et emploie des formes non standard de dent pour fournir les

performances requissent pour des applications particulires.

Le premier profil est la trace de la dent de lautre pignon de lengrenage. Ce

profil est la frontire limitant le domaine de recherche d'optimisation pour viter

l'interfrence. La mthode de recherche alatoire dplace les nuds de la dent maile

le long des faisceaux qui traversent le centre de la trochode et les nuds du profil.

Dent optimise

Dent initiale

Dent optimise Dent initiale


41

Figure III-4 : Optimisation du profil de la trochode.

Les contraintes de flexion sont calcules pour la combinaison de chaque nouveau

point de la trochode. Pour un nombre d'itrations limit, le programme analyse les

tapes russies et non russies, trouvant ainsi la direction dans laquelle le profil de la

trochode doit tre chang afin de rduire la contrainte de flexion.

La nature alatoire de cette mthode ne donne pas plusieurs reprises des

rsultats absolument identiques pour le mme ensemble de paramtres dengrenages et

nombre d'itrations. Cependant, elle permet de rduire la contrainte maximum de

flexion au niveau de la racine de la dent de 10 30% (voir Fig. III-5) [17].

Figure III-5 : Concentration des contraintes de flexion.

Contrairement aux autres tentatives de minimisation de la contrainte de flexion au

niveau du pied de la dent, Niels L. Pedersen (2008) n'tait pas intresser par la

modification du profil de la dent ; il a plutt modifi le bout de l'outil de coupe.

En modifiant la conception standard du bout de l'outil de coupe il a ralis que la

partie fonctionnelle des dents reste sans changement tandis qu'en mme temps la

forme du pied de la dent est change de sorte qu'une rduction des efforts en rsulte.

La forme de la pointe de l'outil est dcrite par diffrents paramtres et employant la

super ellipse comme forme centrale. Les nouveaux outils de coupe sont des outils faits

sur commande pour des engrenages spcifiques donns [18].

Avant optimisation Aprs optimisation

Centre de la trochode

Profil de

la dent


42

III.4. LA DENT D'ENGRENAGE

III.4.1. Gomtrie

Le profil dune dent dengrenage cylindrique denture droite est gnralement

constitu de deux parties : une partie haute gnrer par une dveloppante de cercle et

une autre bas de forme trochodale.

D'habitude la trochode n'a pas un rayon constant, elle est plutt une courbe

produite par la fraise-mre ou loutil de coupe, mais ; dans certains cas, une

rectification spcifique de forme est employe pour fournir une forme semi-circulaire

de la trochode entre les dents [19].

Les dents de la fraise-mre ont un rayon au bout normalis : rt = 0.209/dP pour un

angle de pression gale 14.5 et rt = 0.235/dP pour un angle de pression de 20. Ce

rayon produit une trochode de rayon variable dont le rayon minimum est not rf.

Candee a dvelopp une relation entre rf et rt qui est la suivante :

( )

( ) ( ) ttPt

f rrhdN

rhr +

+

=2

2

(III-1)

avec : h : la hauteur de la dent ;

N : le nombre de dents ;

dP : le diamtre primitif.

Les relations empiriques suivantes ont t dveloppes par Dolan et Broghamer

donnant le facteur de concentration de contrainte du ct tension de la trochode :

Pour un angle de pression de 14.5 :

( ) ( ) 4,02,01

22,0tltr

Kf

t += (III-2)

Pour un angle de pression de 20 :

( ) ( ) 45,015,01

18,0tltr

Kf

t += (III-3)


43

En plus de leurs essais photolastiques des modles de dent d'engrenage, Dolan et

Broghamer ont fait des essais des poutres en porte--faux courtes, variant la distance

de l'application de charge ; la formule empirique suivante de Kt a t dveloppe pour

le ct tension [19] :

( ) ( ) 3,02,0'

25,1

tltrK t = (III-4)

III.4.2. Rsistance la flexion

Une dent d'engrenage est essentiellement une poutre courte en porte--faux dont

la contrainte maximale se produit la base de la dent. En raison de l'obliquit de

l'application de la charge les efforts des deux cts ne sont pas les mmes. Le ct

de tension est d'un grand intrt dans la conception des engrenages puisque les

dfaillances de fatigue se produisent l.

Figure III-6 : Notation et modlisation dune dent dengrenage.

Historiquement, la premire quation employe pour dterminer la contrainte de

flexion tait l'quation de Lewis. Cette quation est tire en traitant la dent comme

tant un cantilever simple et avec la charge applique au bout de la dent comme

indiqu la figure III-6. Seulement la composante tangentielle de la charge est

considre. Il est aussi assum que seulement une paire de dents est en contact. La

concentration de contraintes au pied de la dent est ignore. Il peut tre montr que la

contrainte maximale arrive aux points de tangence "a" sur la parabole montre la

figure III-6 ci-dessus.


44

Utilisant lquation conventionnelle de la contrainte de flexion :

I

Mc=

avec lFM t = , 2

12

1btI = et

2

tc =

on a : 23

.6

12/

2/

bt

lF

bt

tlF

I

Mc tt =

== (III-2)

et dautre part : l

tx

t

l

x

t

4

2/

2/==

donc : 22

4

4

6.6

t

l

b

F

bt

lF tt ==

( )

..2

3

2

3

mx

p

b

F

p

p

bx

F tt ==

=

.2

3

. x

p

bm

Ft

Ybm

Ft..

= (III-3)

p

xY

3

.2 = est le coefficient de forme de Lewis, il est une fonction du nombre de

dents N et de l'angle de pression et peut tre calculer ou bien dterminer

graphiquement partir du diagramme Y = F(N) (voir Annexe B).

L'quation de Lewis exprimer par (III-3) reste limiter du fait quelle :

Suppose que la charge sapplique au bout de la dent, le temps quelle agit en

ralit proche du cercle primitif quand une seule dent supporte toute la charge

induite par le couple.

Prend en considration seulement la composante tangentielle de la charge.

Leffet de la force radiale est ainsi nglig malgr quil en rsulte un effort de

compression sur toute la section transversale au pied de la dent.

Ne considre pas les contraintes de contact.

Suppose que les charges sont statiques.


45

Pour tenir compte de l'effet de la force radial, des concentrations de contrainte au

niveau du pied de la dent et les effets davoir plusieurs paires de dents en contact,

lassociation amricaine des fabricants dengrenages (AGMA American Gear

Manufacturers Association) a introduit de nouveaux facteurs dans lquation de Lewis.

La nouvelle expression de la contrainte de flexion est [20] :

smvoJ

t KKKKYbm

F

..= (III-3)

avec : Yj : coefficient de forme de l'AGMA ;

Kv : facteur dynamique ;

Ko : facteur de surcharge ;

Km : facteur de distribution de la charge ;

Ks : facteur de taille.

Le coefficient de forme YJ est tir de labaque prsent en annexe C. De mme,

des abaques et tableaux relatifs aux diffrents facteurs sont contenus dans les annexes

de D G.

Remarque : limportante diffrence remarque ici est que le coefficient YJ, coefficient de

forme de l'AGMA, est fonction des nombres de dents sur la roue et le pignon en mme temps.

Une tude plus rcente par Aida et Terauchi, effectuer pour dterminer la

contrainte maximale au niveau du pied de la dent a abouti la solution analytique

suivante [21] :

( )NcNNbNbrt

15,13640,0 66,008,01 22max ++

+= (III-4)

avec :

cos6

tb

lFNb

=

sin

6

+

= Ftb

ytNc

tb

FN

=

cos (voir Fig. III-6 pour notation)


46

III.5. HYPOTHSES ET CONTRAINTES

III.5.1. Intrt des profils en dveloppante de cercle

Si on considre un engrenage (ensemble de deux roues dentes en contact), les

profils des dents en dveloppante de cercle sont conjugus : la rsultante des efforts

dus aux contacts entre les dents prsente une direction constante au cours de

lengrnement. Cette proprit est trs intressante du point de vue du comportement

dynamique, puisquelle limite les vibrations [22].

Ainsi, et puisque le profil de forme en dveloppante de cercle doit tre conserv

comme noud l'avons dit ci-dessus, le point de dpart de la forme optimiser est le

point le plus bas de contact entre les dents.

III.5.2. Symtrie des dents

Il est clair qu'une dent possde une ligne de symtrie qu'est celle qui passe par le

centre du pignon (ou roue) et divise la dent en deux, mais ; suite la diffrence des

sollicitations des deux cts de la dent (tension d'un ct et compression de l'autre), il

est vidant de trouver des pr

Optimisation Dents Engrenages

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