Optimisation dans les réseaux
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Optimisation dans les réseaux
Recherche OpérationnelleGC-SIE
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Le problème de transbordement
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Transbordement Michel Bierlaire 3
Énoncé
sous contraintes
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Transbordement Michel Bierlaire 4
Dualité
Lagrangien
Fonction duale
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Transbordement Michel Bierlaire 5
Dualité
Comme L(x,p) est séparable en x,
avec
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Transbordement Michel Bierlaire 6
Dualité
cijbij
xij
aij-0 aij-0
(aij-
)xij
cijbij
xij
(aij-
)xij
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Transbordement Michel Bierlaire 7
Dualité
Condition des écarts complémentaires (CEC)
La paire (x,p) vérifie la condition des écarts complémentaires si x vérifie les contraintes de capacité et
pi-pj aij (i,j)A tel que xij < cij
pi-pj aij (i,j)A tel que bij < xij
Note pi-pj aij (i,j)A tel que bij < xij < cij
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Transbordement Michel Bierlaire 8
Dualité
Théorème : Un vecteur de flot admissible x* et
un vecteur p* satisfont la CEC ssi x* et p* sont solutions primales et duales (resp.) et les coûts optimaux sont égaux.
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Transbordement Michel Bierlaire 9
Dualité
Note : Si bij = 0 et cij = +
La CEC pi-pj aij (i,j)A tel que xij < cij
pi-pj aij (i,j)A tel que bij < xij
s’écrit pi-pj aij (i,j)A
pi-pj aij (i,j)A tel que xij > 0
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Transbordement Michel Bierlaire 10
Transformations
Mettre les capacités inférieures à 0bij xij cij
Posons zij = xij – bij ou xij = zij + bij
Fonction objectif
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Transbordement Michel Bierlaire 11
Transformations
Contraintes d’offre-demande
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Transbordement Michel Bierlaire 12
Transformations
Contraintes de capacitébij xij cij
bij zij+bij cij
0 zij cij-bij
On peut donc supposer bij = 0 (i,j)A sans perte de généralité.
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Transbordement Michel Bierlaire 13
Transformations
Supprimer les contraintes supérieures de capacité
Idée : ajouter des variables d’écartxij + zij = cij avec zij 0
Fonction objectif : inchangée Contraintes de capacité :
0 xij cij
xij cij zij 0
xij 0 et zij 0
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Transbordement Michel Bierlaire 14
Transformations
Contraintes d’offre-demande
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Transbordement Michel Bierlaire 15
Transformations
Interprétation :
jiFlot xij
Coût aij
si sj
jFlot xij
Coût aij
cij sj-kcjk
iFlot zij
si-kcik
Coût 0
Capacité [0,cij] Capacité [0,[
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Transbordement Michel Bierlaire 16
Transformations
Interprétation :
jiFlot 50
Coût aij
50 -50
jFlot 50
Coût aij
1000 -50
iFlot 950
-950
Coût 0
Capacité [0,1000] Capacité [0,[
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Transbordement Michel Bierlaire 17
Transformations
Interprétation :
jiFlot 50
Coût aij
50 -50
jFlot 50
Coût aij
50 -50
iFlot 0
0
Coût 0
Capacité [0,50] Capacité [0,[
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Transbordement Michel Bierlaire 18
Problème transformé
sous contraintes
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Transbordement Michel Bierlaire 19
Problème transformé
Attention : En l’absence de capacités supérieures,
le problème peut être non borné. Cela n’arrive cependant pas s’il s’agit
d’un problème transformé. Le problème est non borné ssi il
possède au moins un solution admissible, et s’il existe un cycle avançant de coût négatif.
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Transbordement Michel Bierlaire 20
Méthode du simplexe
Idée : exploiter explicitement la structure de réseau.
Élément principal : arbre maximalDéfinitions : Un arbre est un graphe connexe sans
cycle Un arbre maximal d’un graphe G est un
sous-graphe qui soit un arbre et qui inclue tous les nœuds du graphe
Une feuille est un nœud de degré 1 dans un arbre.
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Transbordement Michel Bierlaire 21
Méthode du simplexe
Graphe :
3
2
1 4 5
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Transbordement Michel Bierlaire 22
Méthode du simplexe
3
2
1 4 5
Arbre maximal :
i = feuilles
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Transbordement Michel Bierlaire 23
Méthode du simplexe
3
2
1 4 5
Arbre maximal :
i = feuilles
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Transbordement Michel Bierlaire 24
Méthode du simplexe
Propriétés : Soit T le sous-graphe d’un graphe à N nœuds.1. Si T est sans cycle et possède au moins un arc, alors il
a au moins une feuille.2. T est un arbre maximal ssi T est connexe et contient N
nœuds et N-1 arcs.3. Si T est un arbre, il y a un chemin unique reliant deux
nœuds i et j de cet arbre. 4. Soit e T un arc dont les extrémités sont dans T. Le
graphe T{e} contient un cycle simple unique, dont e est un arc avançant.
5. Si T est un arbre contenant (i,j), et si (i,j) est supprimé, les arcs restant forment deux arbres disjoints, l’un contenant i l’autre j.
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Transbordement Michel Bierlaire 25
Méthode du simplexe
La base en programmation linéaire « générale » peut être représentée ici grâce aux arbres maximaux.
Pour chaque arbre maximal T, il existe un vecteur de flots unique x tel que– x vérifie les contraintes de conservation des
flots– xi = 0 si i T
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Transbordement Michel Bierlaire 26
Méthode du simplexeProcédure : Soit R=T, x=0, wi=si i. Pas 1 :
– choisir une feuille i de R.– si (i,j) est l’unique arc incident à i
xij=wi et wj=wj+wi
– si (j,i) est l’unique arc incident à ixij=-wi et wj=wj+wi
Pas 2 : supprimer i et son arc incident de R. Si R n’a plus que 1 nœud, STOP. Sinon retour au pas 1.
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Transbordement Michel Bierlaire 27
Méthode du simplexe
Problème :
3
2
1 4 5
Sur chaque arc : coût Sur chaque nœud : offre
2
3
0
-236
2
2
51
2
-2
0 -1
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Transbordement Michel Bierlaire 28
Méthode du simplexe
Problème :
3
2
1 4 5
Sur chaque arc : - Sur chaque nœud : offre (wi)
1 (1)
2 (2)
-2 (-2)
0 (0) -1 (-1)
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Transbordement Michel Bierlaire 29
Méthode du simplexe
Problème :
3
2
1 4 5
Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (wi)
11 (1)
2 (3)
-2 (-2)
0 (0) -1 (-1)
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Transbordement Michel Bierlaire 30
Méthode du simplexe
Problème :
3
2
1 4 5
Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (wi)
2
11 (1)
2 (1)
-2 (-2)
0 (0) -1 (-1)
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Transbordement Michel Bierlaire 31
Méthode du simplexe
Problème :
3
2
1 4 5
Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (wi)
02
11 (1)
2 (1)
-2 (-2)
0 (0) -1 (-1)
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Transbordement Michel Bierlaire 32
Méthode du simplexe
Problème :
3
2
1 4 5
Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (wi)
02
11
1 (1)
2 (1)
-2 (-2)
0 (0) -1 (0)
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Transbordement Michel Bierlaire 33
Méthode du simplexe
Problème :
3
2
1 4 5
Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (wi)
1 (1)
2 (2)
-2 (-2)
0 (0) -1 (-1)
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Transbordement Michel Bierlaire 34
Méthode du simplexe
Problème :
3
2
1 4 5
Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (wi)
1
1 (1)
2 (2)
-2 (-1)
0 (0) -1 (-1)
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Transbordement Michel Bierlaire 35
Méthode du simplexe
Problème :
3
2
1 4 5
Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (wi)
-2
1
1 (1)
2 (2)
-2 (1)
0 (0) -1 (-1)
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Transbordement Michel Bierlaire 36
Méthode du simplexe
Problème :
3
2
1 4 5
Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (wi)
-1-2
1
1 (1)
2 (2)
-2 (1)
0 (-1) -1 (-1)
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Transbordement Michel Bierlaire 37
Méthode du simplexe
Problème :
3
2
1 4 5
Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (wi)
-1-1
-2
1
1 (1)
2 (2)
-2 (0)
0 (-1) -1 (-1)
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Transbordement Michel Bierlaire 38
Méthode du simplexe
Ce vecteur de flots est appelé une solution de base
Si, de plus, le vecteur de flots vérifie les contraintes de capacité xij 0, il est appelé une solution de base admissible.
Un arbre maximal sera dit admissible si le vecteur de flots correspondant est une solution de base admissible.
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Transbordement Michel Bierlaire 39
Méthode du simplexe
Aperçu de la méthode Soit un arbre maximal admissible initial. Chaque itération (pivotage) génère un autre
arbre admissible dont le coût n’est pas plus élevé que le précédent.
Chaque itération est composée de trois opérations principales
1. Ajout d’un arc à l’arbre afin de former un cycle à coût négatif
2. Envoyer le plus de flot possible le long de ce cycle, sans violer les contraintes
3. Supprimer un arc du cycle pour obtenir à nouveau un arbre.
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Transbordement Michel Bierlaire 40
Méthode du simplexe
Arbre maximal initial :
3
2
1 4 5
Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : offre
2
3 (0)
0
-236 (2)
2 (1)
2
5 (1)1
2 (1)
-2
0 -1
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Transbordement Michel Bierlaire 41
Méthode du simplexe
Formation d’un cycle. Coût = -9
3
2
1 4 5
Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : offre
2
3(0)
0
-236 (2)
2 (1)
2
5 (1)1
2 (1)
-2
0 -1
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Transbordement Michel Bierlaire 42
Méthode du simplexe
Envoi d’une unité de flot
3
2
1 4 5
Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : offre
2
3 (0)
0
-236 (1)
2 (1)
2(1)
5 (0)1
2 (1)
-2
0 -1
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Transbordement Michel Bierlaire 43
Méthode du simplexe
Suppression d’un arc du cycle
3
2
1 4 5
Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : offre
2
3 (0)
0
-236 (1)
2 (1)
2(1)
51
2 (1)
-2
0 -1
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Transbordement Michel Bierlaire 44
Méthode du simplexe
Questions : Comment choisir l’arc entrant ? Comment choisir l’arc sortant ? Comment gérer les cas de
dégénérescence ?
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Transbordement Michel Bierlaire 45
Choix de l’arc entrant
Idée : utiliser la condition des écarts complémentaires
pi-pj aij (i,j)A
pi-pj aij (i,j)A tel que xij > 0
Nous allons affecter des prix pi aux nœuds tels que
pi-pj aij (i,j)T
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Transbordement Michel Bierlaire 46
Choix de l’arc entrant
Procédure récursive : Soit un nœud r arbitraire (racine). pr est initialisé à une valeur
quelconque. pi = +, ir CalculeVoisins(r) ;
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Transbordement Michel Bierlaire 47
Choix de l’arc entrant
CalculVoisins(i) Pour tout j adjacent à i t.q. pj = + Si (i,j) T, alors pj = pi-aij
Si (j,i) T, alors pj = pi+aij
CalculVoisins(j)
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Transbordement Michel Bierlaire 48
Choix de l’arc entrant
Arbre maximal :
3
2
1 4 5
Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : offre [pi]
2
3 (0)
0
-236 (2)
2 (1)
2
5 (1)1
2
-2
0 -1
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Transbordement Michel Bierlaire 49
Choix de l’arc entrant
Calcul des prix :
0
Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix
2
3 (0)
0
-236 (2)
2 (1)
2
5 (1)1
2
-2
0 -1racine
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Transbordement Michel Bierlaire 50
Choix de l’arc entrant
Arbre maximal :
-5
0
Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix
2
3 (0)
0
-236 (2)
2 (1)
2
5 (1)1
2
-2
0 -1racine
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Transbordement Michel Bierlaire 51
Choix de l’arc entrant
Arbre maximal :
-11
-5
0
Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix
2
3 (0)
0
-236 (2)
2 (1)
2
5 (1)1
2
-2
0 -1racine
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Transbordement Michel Bierlaire 52
Choix de l’arc entrant
Arbre maximal :
-11
-5
0 -7
Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix
2
3 (0)
0
-236 (2)
2 (1)
2
5 (1)1
2
-2
0 -1racine
![Page 53: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/53.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 53
Choix de l’arc entrant
Arbre maximal :
-11
-5
0 -4 -7
Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix
2
3 (0)
0
-236 (2)
2 (1)
2
5 (1)1
2
-2
0 -1racine
![Page 54: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/54.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 54
Choix de l’arc entrant
Calcul des prix (autre racine) :
23
Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix
2
3 (0)
0
-236 (2)
2 (1)
2
5 (1)1
2
-2
0 -1
racine
![Page 55: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/55.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 55
Choix de l’arc entrant
Calcul des prix (autre racine) :
26 23
Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix
2
3 (0)
0
-236 (2)
2 (1)
2
5 (1)1
2
-2
0 -1
racine
![Page 56: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/56.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 56
Choix de l’arc entrant
Calcul des prix (autre racine) :
25
26 23
Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix
2
3 (0)
0
-236 (2)
2 (1)
2
5 (1)1
2
-2
0 -1
racine
![Page 57: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/57.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 57
Choix de l’arc entrant
Calcul des prix (autre racine) :
25
30 26 23
Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix
2
3 (0)
0
-236 (2)
2 (1)
2
5 (1)1
2
-2
0 -1
racine
![Page 58: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/58.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 58
Choix de l’arc entrant
Calcul des prix (autre racine) :
19
25
30 26 23
Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix
2
3 (0)
0
-236 (2)
2 (1)
2
5 (1)1
2
-2
0 -1
racine
![Page 59: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/59.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 59
Choix de l’arc entrant
Notes : Les prix dépendent
– du choix de la racine– du prix de la racine
La différence de prix entre deux nœuds quelconques est indépendantes des décisions liées à la racine.
Notamment, la quantitérij = aij + pj – pi
dépend uniquement de l’arbre maximal T
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Transbordement Michel Bierlaire 60
Choix de l’arc entrant
Par définition des prix,rij = aij + pj – pi = 0 si (i,j) T
Si, de plus, rij 0 (i,j) A, la CEC est vérifiée– pi-pj aij (i,j)A – pi-pj aij (i,j)A tel que xij > 0
Dans ce cas, x est une solution optimale du primal, et p du dual.
rij est appelé le coût réduit de (i,j)
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Transbordement Michel Bierlaire 61
Choix de l’arc entrant
Dans le cas contraire, il existe (k,l) tel que – (k,l) A, – (k,l) T– rkl = akl + pl - pk < 0
Si l’on rajoute (k,l) à l’arbre, on crée un cycle. Par convention, (k,l) doit être avançant dans le cycle.
![Page 62: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/62.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 62
Choix de l’arc entrant
Coût du cycle formé :
Cycle à coût négatif
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Transbordement Michel Bierlaire 63
Choix de l’arc entrant
Solution de base admissible :
-11
-5
0 -4 -7
Sur chaque arc : coût (flot) [rij] Sur chaque nœud : prix
2 [-5]
3(0)
0 [3]
-2 [-1]3 [9]
6 (2)
2 (1)
2 [-9]
5 (1)1
2
-2
0 -1racine
![Page 64: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/64.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 64
Cycle
Soit C le cycle formé par T et (k,l) Si C est vide, tous les arcs sont
orientés comme (k,l) C est donc un cycle à coût négatif,
le long duquel le flot peut être augmenté arbitrairement.
Le problème est donc non-borné.
![Page 65: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/65.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 65
Cycle
Si C n’est pas vide, notons = min(i,j)C xij
le plus petit flot sur les arcs reculant.
Il n’est pas possible d’envoyer plus que unités de flots sans violer les contraintes de non négativité.
![Page 66: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/66.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 66
Cycle
Flot maximum le long du cycle :
-11
-5
0 -4 -7
Sur chaque arc : coût (flot) [rij] Sur chaque nœud : prix
2 [-5]
3(0)
0 [3]
-2 [-1]3 [9]
6 (2)
2 (1)
2 [-9]
5 (1)1
2
-2
0 -1racine
=1
![Page 67: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/67.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 67
Cycle
Flot maximum le long du cycle :
-11
-5
0 -4 -7
Sur chaque arc : coût (flot) [rij] Sur chaque nœud : prix
2 [-5]
3(0)
0 [3]
-2 [-1]3 [9]
6 (2)
2 (1)
2 [-9]
5 (1)1
2
-2
0 -1racine
=0
![Page 68: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/68.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 68
Choix de l’arc sortant
Le nouveau vecteur de flot sera
Tout arc (i,j) du cycle tel que xij+ =
0 est candidat pour sortir.
![Page 69: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/69.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 69
Choix de l’arc sortant
Avant d’envoyer le flot :
-11
-5
0 -4 -7
Sur chaque arc : coût (flot) [rij] Sur chaque nœud : prix
2 [-5]
3(0)
0 [3]
-2 [-1]3 [9]
6 (2)
2 (1)
2 [-9]
5 (1)1
2
-2
0 -1racine
=1
![Page 70: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/70.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 70
Choix de l’arc sortant
Après avoir envoyé le flot :
-11
-5
0 -4 -7
Sur chaque arc : coût (flot) [rij] Sur chaque nœud : prix
2 [-5]
3(0)
0 [3]
-2 [-1]3 [9]
6 (1)
2 (1)
2 (1) [-9]
5 (0)1
2
-2
0 -1racine
=1
![Page 71: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/71.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 71
Choix de l’arc sortant
Nouvelle solution de base admissible :
-11
-5
0 -4 -7
Sur chaque arc : coût (flot)
2
3(0)
0
-23
6 (1)
2 (1)
2 (1)
51
2
-2
0 -1racine
=1
![Page 72: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/72.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 72
Mise à jour des prix
Soit (k,l) l’arc entrant Soit e l’arc sortant Soit
T+=T+(k,l)-el’arbre correspondant à la nouvelle base.
Considérons le sous-graphe T-e. Il est composé de deux arbres :
– Tk contient le nœud k– Tl contient le nœud l
![Page 73: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/73.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 73
Mise à jour des prix
-11
-5
0 -4 -7
Sur chaque arc : coût (flot)
2
3(0)
0
-23
6 (1)
2 (1)
2 (1)
51
2
-2
0 -1
arc entrant (k,l)
arc sortant
Tk
Tl
![Page 74: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/74.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 74
Mise à jour des prix
Méthode 1 pi
+ = pi si i Tk
pi+ = pi-rkl si i Tl
Méthode K pi
+ = pi + K si i Tk
pi+ = pi-rkl + K si i Tl
Méthode 2 [K=rkl] pi
+ = pi+rkl si i Tk
pi+ = pi si i Tl
![Page 75: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/75.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 75
Dégénérescence
Impossible d’envoyer du flot
-11
-5
0 -4 -7
Sur chaque arc : coût (flot) [rij] Sur chaque nœud : prix
2 [-5]
3(0)
0 [3]
-2 [-1]3 [9]
6 (2)
2 (1)
2 [-9]
5 (1)1
2
-2
0 -1racine
=0
![Page 76: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/76.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 76
Dégénérescence
On change de base mais la fonction objectif ne change pas.
Risque que l’algorithme cycle. Pour garantir l’absence de cyclage,
on introduit la notion de base fortement admissible.
![Page 77: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/77.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 77
Dégénérescence
Définition Soit T un arbre admissible. Soit r la racine de l’arbre. On dit que (i,j) T s’écarte de la racine
si le seul chemin entre r et j passe par i. Un arbre admissible T est fortement
admissible si tous les arcs (i,j) tels que xij = 0 s’écartent de la racine.
![Page 78: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/78.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 78
Dégénérescence
Arbre admissible, mais pas fortement
-11
-5
0 -4 -7
Sur chaque arc : coût (flot) [rij] Sur chaque nœud : prix
2 [-5]
3(0)
0 [3]
-2 [-1]3 [9]
6 (2)
2 (1)
2 [-9]
5 (1)1
2
-2
0 -1racine
![Page 79: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/79.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 79
Dégénérescence
Arbre fortement admissible
-11
-5
0 -4 -7
Sur chaque arc : coût (flot) [rij] Sur chaque nœud : prix
2 [-5]
3(0)
0 [3]
-2 [-1]3 [9]
6 (2)
2 (1)
2 [-9]
5 (1)1
2
-2
0 -1
racine
![Page 80: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/80.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 80
Dégénérescence
Théorème Si les arbres admissibles générés
par la méthode du simplexe sont tous fortement admissibles, alors tous ces arbres sont distincts.
Dans ce cas, l’algorithme effectuera un nombre fini d’itérations.
![Page 81: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/81.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 81
Dégénérescence
Supposons que l’on dispose au début d’un arbre fortement admissible.
Il faut s’arranger pour que le nouvel arbre produit soit aussi fortement admissible.
Il faut choisir l’arc sortant de manière appropriée.
![Page 82: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/82.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 82
Dégénérescence
Procédure de choix de l’arc sortant Soit T un arbre fortement admissible Soit (k,l) l’arc entrant Soit C le cycle formé par T et (k,l) Supposons que C est non vide. Soit = min(i,j)C xij
Soit C*={(i,j)C¦xij = } l’ensemble des candidats à sortir.
![Page 83: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/83.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 83
Dégénérescence
Procédure de choix de l’arc sortant (suite) Le joint de C est le premier nœud du
cycle sur le chemin entre r et k. Choisir comme arc sortant le premier
arc de C* rencontré lorsque l’on parcourt le cycle en partant du joint.
Dans ce cas, le nouvel arbre sera également fortement admissible.
![Page 84: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/84.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 84
Dégénérescence
joint
k l
r
Flot = 1
Flot = 0
Flot = 3
Flot = 1
Flot = 2
Flot = 0
arc sortant
![Page 85: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/85.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 85
Initialisation
Comment trouver un premier arbre fortement admissible ?
Idée : – ajouter un nœud artificiel 0 avec s0=0– ajouter un arc entre 0 et chaque nœud i
Arc (i,0) si si > 0 Arc (0,i) si si 0
– coût des arcs artificiels : M > 0, très grand
![Page 86: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/86.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 86
Initialisation
3
2
1 4 5
2
3
0
-236
2
2
51
2
-2
0 -1
0
MMM
MM
![Page 87: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/87.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 87
Initialisation
Arbre initial : Uniquement les arcs artificiels. Racine : nœud 0 Par construction, les arcs
transportant un flot nul s’éloignent de la racine
Il s’agit donc bien d’un arbre fortement admissible
![Page 88: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/88.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 88
Initialisation
3
2
1 4 5
2
3
0
-236
2
2
51
2
-2
0 -1
0
M(1) M(2)M(2) M(0)M (1)
Coûts(Flots)
![Page 89: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/89.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 89
Calcul des prix
-M
M
M -M -M
2
3
0
-236
2
2
5
0
M(1) M(2)M(2) M(0)M (1)
Coûts(Flots)
![Page 90: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/90.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 90
Coûts réduits
-M
M
M -M -M
2
3
0
-236
2
2[-2M+2]
5
0
M(1) M(2)M(2) M(0)M (1)
Coûts(Flots)[coûts réduits]
=1
![Page 91: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/91.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 91
Mise à jour des flots
-M
M
M -M -M
2
3
0
-236
2
2(1)
5
0
M(0) M(2)M(1) M(0)M (1)
Coûts(Flots)[coûts réduits]
=1
![Page 92: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/92.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 92
Mise à jour des prix
-M
M
M -M -M
2
3
0
-236
2
2(1)
5
0
M(0) M(2)M(1) M(0)M (1)
Coûts(Flots)[coûts réduits]
Tk
Tl
rkl = - 2M+2
![Page 93: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/93.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 93
Nouvel arbre
-M
M
-M+2 -M -M
2
3
0
-236
2
2(1)
5
0
M M(2)M(1) M(0)M (1)
Coûts(Flots)[coûts réduits]
![Page 94: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/94.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 94
Coûts réduits
-M
M
-M+2 -M -M
2
3
0
-236
2 [-2M+2]
2(1)
5
0
M M(2)M(1) M(0)M (1)
Coûts(Flots)[coûts réduits]
=1
![Page 95: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/95.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 95
Mise à jour des flots
-M
M
-M+2 -M -M
2
3
0
-236
2 (1)
2(1)
5
0
M M(1)M(1) M(0)M (0)
Coûts(Flots)[coûts réduits]
=1
![Page 96: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/96.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 96
Mise à jour des prix
-M
M
-M+2 -M -M
2
3
0
-236
2 (1)
2(1)
5
0
M M(1)M(1) M(0)M (0)
Coûts(Flots)[coûts réduits]
TkTl
rkl = - 2M+2
![Page 97: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/97.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 97
Nouvel arbre
-3M+2
-M+2
-3M+4 -3M+2 -M
2
3
0
-236
2 (1)
2(1)
5
-2M+2
M M(1)M(1) M(0)M
Coûts(Flots)[coûts réduits]
=1
![Page 98: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/98.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 98
Coûts réduits
-3M+2
-M+2
-3M+4 -3M+2 -M
2
3
0[-2M+2]
-236
2 (1)
2(1)
5
-2M+2
M M(1)M(1) M(0)M
Coûts(Flots)[coûts réduits]
=0
![Page 99: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/99.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 99
Mise à jour des prix
-5M+4
-3M+4
-5M+6 -3M+2 -3M+2
2
3
0(0)
-236
2 (1)
2(1)
5
-4M+4
M M(1)M(1) M(0)M
Coûts(Flots)[coûts réduits]
Tk
Tl
rkl = - 2M+2
![Page 100: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/100.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 100
Nouvel arbre
-5M+4
-3M+4
-5M+6 -3M+2 -3M+2
2
3
0(0)
-236
2 (1)
2(1)
5
-4M+4
M M(1)M(1) MM
Coûts(Flots)[coûts réduits]
![Page 101: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/101.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 101
Coûts réduits
-5M+4
-3M+4
-5M+6 -3M+2 -3M+2
2
3
0(0)
-23
6[-2M+6]
2 (1)
2(1)
5
-4M+4
M M(1)M(1) MM
Coûts(Flots)[coûts réduits]
=1
![Page 102: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/102.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 102
Mise à jour des flots
-5M+4
-3M+4
-5M+6 -3M+2 -3M+2
2
3
0(0)
-23
6(1)
2 (1)
2(1)
5
-4M+4
M M(0)M(0) MM
Coûts(Flots)[coûts réduits]
=1
![Page 103: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/103.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 103
Choix de l’arc sortant
-5M+4
-3M+4
-5M+6 -3M+2 -3M+2
2
3
0(0)
-23
6(1)
2 (1)
2(1)
5
-4M+4
M M(0)M(0) MM
Coûts(Flots)[coûts réduits]
racine=jointarc sortant
![Page 104: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/104.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 104
Mise à jour des prix
-5M+4
-5M+10
-5M+6 -5M+8 -5M+8
2
3
0(0)
-23
6(1)
2 (1)
2(1)
5
-4M+4
M M(0)M(0) MM
Coûts(Flots)[coûts réduits]
racine=jointarc sortant
Tk
Tl
rkl = - 2M+6
![Page 105: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/105.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 105
Nouvel arbre
-5M+4
-5M+10
-5M+6 -5M+8 -5M+8
2
3
0(0)
-23
6(1)
2 (1)
2(1)
5
-4M+4
M MM(0) MM
Coûts(Flots)[coûts réduits]
![Page 106: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/106.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 106
Coûts réduits
-5M+4
-5M+10
-5M+6 -5M+8 -5M+8
2
3
0(0)
-2[-4]3
6(1)
2 (1)
2(1)
5
-4M+4
M MM(0) MM
Coûts(Flots)[coûts réduits]
=0
![Page 107: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/107.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 107
Mise à jour des prix
-5M+4
-5M+10
-5M+6 -5M+8 -5M+8
2
3
0(0)
-2(0)3
6(1)
2 (1)
2(1)
5
-4M+4
M MM(0) MM
Coûts(Flots)[coûts réduits]
Tk
Tl
rkl = - 4
![Page 108: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/108.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 108
Nouvel arbre
-5M
-5M+6
-5M+2 -5M+8 -5M+4
2
3
0
-2(0)3
6(1)
2 (1)
2(1)
5
-4M
M MM(0) MM
Coûts(Flots)[coûts réduits]
![Page 109: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/109.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 109
Coûts réduits
-5M
-5M+6
-5M+2 -5M+8 -5M+4
2[-6]
3
0
-2(0)3
6(1)
2 (1)
2(1)
5
-4M
M MM(0) MM
Coûts(Flots)[coûts réduits]
=1
![Page 110: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/110.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 110
Mise à jour des flots
-5M
-5M+6
-5M+2 -5M+8 -5M+4
2(1)
3
0
-2(1)3
6(0)
2 (1)
2(1)
5
-4M
M MM(0) MM
Coûts(Flots)[coûts réduits]
=1
![Page 111: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/111.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 111
Mise à jour des prix
-5M
-5M+6
-5M+2 -5M+8 -5M+4
2(1)
3
0
-2(1)3
6(0)
2 (1)
2(1)
5
-4M
M MM(0) MM
Coûts(Flots)[coûts réduits]
Tk
Tl
rkl = - 6
![Page 112: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/112.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 112
Nouvel arbre
-5M
-5M
-5M+2 -5M+2 -5M-2
2(1)
3
0
-2(1)3
6
2 (1)
2(1)
5
-4M
M MM(0) MM
Coûts(Flots)[coûts réduits]
![Page 113: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/113.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 113
Coûts réduits
-5M
-5M
-5M+2 -5M+2 -5M-2
2(1)
3[-1]
0
-2(1)3
6
2 (1)
2(1)
5
-4M
M MM(0) MM
Coûts(Flots)[coûts réduits]
=1
![Page 114: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/114.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 114
Mise à jour des flots
-5M
-5M
-5M+2 -5M+2 -5M-2
2(1)
3(1)
0
-2(2)3
6
2 (0)
2(1)
5
-4M
M MM(0) MM
Coûts(Flots)[coûts réduits]
=1
![Page 115: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/115.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 115
Mise à jour des prix
-5M
-5M
-5M+2 -5M+2 -5M-2
2(1)
3(1)
0
-2(2)3
6
2 (0)
2(1)
5
-4M
M MM(0) MM
Coûts(Flots)[coûts réduits]
Tk
Tl
rkl = - 1
![Page 116: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/116.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 116
Nouvel arbre
-5M-1
-5M-1
-5M+1 -5M+1 -5M-2
2(1)
3(1)
0
-2(2)3
6
2
2(1)
5
-4M-1
M MM(0) MM
Coûts(Flots)[coûts réduits]
![Page 117: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/117.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 117
Coûts réduits
-5M-1
-5M-1
-5M+1 -5M+1 -5M-2
2(1)
3(1)
0
-2(2)
3
6
2
2(1)
5
-4M-1
M MM(0) MM[-1]
Coûts(Flots)[coûts réduits]
=0
![Page 118: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/118.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 118
Mise à jour des prix
-5M-1
-5M-1
-5M+1 -5M+1 -5M-2
2(1)
3(1)
0
-2(2)
3
6
2
2(1)
5
-4M-1
M MM MM(0)
Coûts(Flots)[coûts réduits]
=0Tk
Tl
rkl = - 1
![Page 119: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/119.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 119
Nouvel arbre
-5M-1
-5M-1
-5M+1 -5M+1 -5M-2
2(1)
3(1)
0
-2(2)
3
6
2
2(1)
5
-4M-2
M MM MM(0)
Coûts(Flots)[coûts réduits]
![Page 120: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/120.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 120
Coûts réduits : optimum
-5M-1
-5M-1
-5M+1 -5M+1 -5M-2
2(1)
3(1)
0[3]
-2(2)
3[6]
6[6]
2[1]
2(1)
5[3]
-4M-2
M[2M-3]M[2M-1]
M[1]M[3]
M(0)Coûts(Flots)[coûts réduits]
![Page 121: Optimisation dans les réseaux](https://reader035.fdocuments.fr/reader035/viewer/2022062517/56813de4550346895da7b92a/html5/thumbnails/121.jpg)
Transbordement Michel Bierlaire 121
Propriété d’intégralité
Si les si sont tous entiers, alors la solution optimale primale sera aussi entière.
De plus, si le prix arbitraire initial de la racine est entier, et que tous les coefficients de coût sont entiers, alors la solution optimale duale sera aussi entière.