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OPM3001 - Techniques quantitatives de gestion -Cahier du cours 2015

Eric LALLET , Jean-Luc RAFFY

TELECOM ÉCOLE DE MANAGEMENT - 1re ANNÉE

Année 2014-2015

Eric LALLET , Jean-Luc RAFFY 1

1 Présentation du module OPM3001 (TGQ)

1.1 Les objectifs d’OPM3001, Techniques quantitatives de gestion

L’objectif de ce cours est de vous sensibiliser à la gestion de production et à la gestion de qualité, ainsique de vous présenter un éventail de techniques qui permettent d’optimiser des problèmes classiques degestion (durée d’un projet, gestion de stock, optimisationd’un profit, etc. . . ). Il existe de nombreux outilsqui implémentent ces techniques et qui sauront faire tous les calculs à votre place. Mais pour réussir àutiliser ces outils il vous faudra déjà savoir modéliser le problème pour le rendre conforme aux attentes dela technique utilisée. Donc le véritable enjeu de cours n’est pas de connaître les algorithmes des techniques,mais de savoir modéliser les problèmes pour pouvoir les utiliser. Mais il vous sera impossible de faire cettemodélisation si vous ne connaissez pas déjà parfaitement latechnique visée.

Donc en résumé :– Ne perdez pas de vue que le véritable objectif de ce cours estde savoir modéliser les problèmes pour

utiliser une technique d’optimisation.– Sachez que vous ne pourrez faire cette modélisation que si vous maîtrisez les techniques utilisées.

1.2 Le programme

Ce module se compose de 21h de cours intégrés, d’un contrôle continu et d’un contrôle final. Éventuel-lement, pour ceux qui s’attachent vraiment à ce sujet, un second contrôle final est prévu fin août.

Les cours sont divisés en trois grandes parties :– La première s’interesse à la gestion de production et à la gestion de la qualité totale (6h de cours

intégrés)– La deuxième repose sur les techniques utilisant les graphes (12h de cours intégrés).– Le troisième concerne la programmation linéaire (3h de cours intégrés).

Voici le programme plus détaillé :

CI1-4 : introduction à la gestion de production et à la gestion de la qualité totale

CI5-6 : les problèmes d’ordonnancement.

CI7-8 : les arbres de recouvrement minimal.

CI9-10 : les recherches de plus court chemin.

CI11-12 : les calculs de flot maximal.

Contrôle continu : le jeudi 19 février1 de 11h00 à 12h00. Il porte sur tous les sujets précédents.

CI13-14 : programmation linéaire (simplexe).

Contrôle final 1 : le vendredi 13 mars entre 9h30 et 11h30. Il porte sur tout le programme.

Contrôle final 2 : rattrapage du module, fin août. Il porte sur tout le programme.

1.3 Trois secrets pour échouer à ce module

Pour échouer à ce module, il faudra y mettre un peu du votre, mais il y a trois secrets qui permettent d’yarriver :

1. Le moyen le plus simple d’échouer est de ne pas venir en cours. Rien qu’avec ce premier secret onexplique 80% des échecs de ce module. Bien sûr beaucoup d’entre vous réussiraient ce module avecou sans les cours. Mais il se trouve que cette partie assiste généralement aux cours. Par contre ceuxqui n’y viennent pas en ont souvent besoin. Voici une petite anecdote pour illustrer mon propos : en2010, 50 étudiants ont échoué (ou ont été absents) au CF1. Lors du rattrapage, on a failli faire demi-tour en entrant dans la salle d’examen. Au début on pensait s’être trompé de salle, car alors qu’onétait censé connaître tous les étudiants, on ne reconnaissait aucune tête dans la salle. En s’y penchantde plus près, sur les 50 présents, on en a reconnu une petite dizaine. Tous les autres étaient parmi lesabsents récurrents des cours. . .

1les dates données dans ce cahier sont à titre indicatif. Il faut vérifier sur l’agenda du SI étdudiant les dates définitives

2 Eric LALLET , Jean-Luc RAFFY

2. Si vous tenez vraiment à venir aux cours, il vous suffit de nepas l’écouter soit en dormant, ou enlisant votre journal, ou encore mieux en discutant avec votre voisin. En fait c’est une version subtiledu premier secret : être absent, tout en étant dans la salle decours. En tant qu’enseignant, on atendance à préférer la première version, car là avec la seconde vous trichez. Vous aidez vos voisins àéchouer, alors qu’eux n’y ont pas mis du leur pour cela.

3. Si vraiment vous venez en cours et que vous l’écoutez, votre échec devient plus qu’improbable. Maisje vois encore un moyen d’y parvenir : ne poser aucune question quand vous ne comprenez pasquelque chose, et ne faites aucun des nombreux exercices quivous seront proposés durant les coursintégrés. Tout cela pour vous dire que vous avez le droit de nepas comprendre du premier coup,qu’aussi géniaux soient vos enseignants (si si !) ils n’ont peut-être pas trouvé d’entrée la bonne façonde vous expliquer. Alors n’hésitez pas à poser une question,soit durant le cours à chaud, soit lorsquevous tentez de faire un exercice et que vous voyez que ça bloque. Ils seront là pour trouver ce qui estmal passé, et vous le ré-expliquer.

Enfin, faites aussi attention : le mieux est l’ennemi du bien.Ce cours demande de dessiner beaucoupde graphes et tableaux. Il n’est pas toujours possible de prévoir à l’avance une belle mise en page de toutcela. Et chaque année je vois plein d’étudiants en train de fignoler au propre le dessin du dernier grapheou tableau alors que le cours est déjà passé à l’étape suivante. Même si on fera un maximum pour vousattendre, il faut faire tenir le cours dans les horaires. Alors n’hésitez pas à tracer vos tableaux à main levéepour pouvoir suivre le cours, plutôt que d’avoir un tableau réglé au millimètre près en ayant loupé la moitiédes explications du cours.

1.4 Les exercices

Lors des cours de nombreux exercices vous seront proposés (et corrigés).

Un cahier d’exercices corrigés vous est fourni avec leur correction complète. Il y a une section pourchaque technique vue en cours, mais aussi une section «Non classifiés» où vous trouverez une série d’exer-cices sans indication de la technique à utiliser pour les résoudre (ce qui correspond aux conditions d’exa-men).

Dans le cahier de cours vous trouverez aussi deux sections d’exercices (sans correction) :– La première (page 4) est classée par thème et servira lors des cours à illustrer le sujet traité.– La seconde («Usine à gérer», page 10) contient 6 exercices qui n’indiquent pas le type la technique à

utiliser.Entre deux cours, vous aurez à trouver parmi les 6, le ou lesquels se rapportent au sujetdu cours réalisé et vous devrez le modéliser pour la séance suivante. Cette recherche de modéli-sation est très importante : vous ne pourrez appliquer une technique que si vous savez modéliser.

1.5 Les contrôles

Comme il est déjà dit précédemment dans le programme, deux contrôles, plus éventuellement un troi-sième pour ceux qui ont échoué, sont programmés.

Le premier est un contrôle continu d’une heure (le jeudi 19 février de 11h00 à 12h00). Il porte sur lagestion de production et de qualité ainsi que sur les techniques reposant sur la théorie des graphes (CI 1 à 12,et chapitre 1 à 6 de la documentation du cours). Durant ce contrôle on ne vous demandera pas de construirele moindre modèle, mais juste savoir appliquer les techniques vues en cours. Il se fera sans document nicalculatrice. Il comportera environ 6 questions. Ce qui vous laisse 10 minutes pour savoir mettre en œuvre latechnique de bout en bout. Il vous faudra bien la connaître. Un exemple de contrôle continu (page 15) ainsique sa correction vous sont fournis en annexe de ce cahier. Deplus vous trouverez les annales des dernièresannées (depuis 2011), avec sujets, corrections, barèmes détaillés et analyses des principales erreurs à cetteURL : http ://www-lor.int-evry.fr/~epsi/TQG/ .

Arrive ensuite le contrôle final 1 (le vendredi 13 mars entre 9h30 et 11h30). Il concerne tout le pro-gramme vu en cours. Pour ce contrôle vous aurez 2 problèmes à résoudre en 2 heures. Les problèmes vousseront donnés de façon informelle (un texte en français), etvous devrez trouver le modèle avant d’appliquerla technique (et enfin d’interpréter vos résultats). La barème mettra l’accent sur la modélisation (même s’il ya toujours quelques points sur la technique). Vos documentsde cours et calculatrices seront autorisés, maisle moyen de trouver le bon modèle commence par la maîtrise de la technique. Donc si vous ne la connaissezpas avant le contrôle, vous ne réussirez jamais à modéliser le problème. Un exemple de contrôle final (page


22) ainsi que sa correction vous sont fournis en annexe de ce cahier. De plus vous trouverez les annalesdes dernières années (depuis 2008), avec sujets, corrections, barèmes détaillés et analyses des principaleserreurs à cette URL :http ://www-lor.int-evry.fr/~epsi/TQG/

Arrive enfin le contrôle de rattrapage, ou contrôle final 2 à lafin du mois d’août. Oui, il a lieu finaoût et non pas en juin. Si vous avez envisagé d’être ailleursà cette date, arrangez vous pour ne pas avoirbesoin du rattrapage, car il ne sera pas déplacé. Pour éviterde venir au rattrapage il faut faire en sorte que(CC + 2 × CF1)/3 ≥ 10 (CC = votre note de contrôle continu, CF1 = votre note du contrôle final). LeCF2 est un problème semblable au CF1, mais jamais plus facile. Pour le CF2 la note de CC n’est comptéeque si elle vous est favorable, sinon il vous suffira d’avoir au moins 10 au CF2 pour valider cette UV. Notezaussi, que conformément au réglement de TEM, même si vous obtenez un très bonne note au CF2, la noted’UV sera au maximum de 12 (et de 10 en cas de CF3).

2 Exercices

2.1 Ordonnancement

Exercice 2.1.1En trois dimensions.

Une toute petite agence de publicité a été chargée d’organiser un mini show pour la présentation d’unnouveau jeu utilisant la 3D. Elle doit prendre en charge la logistique, mais aussi la publicité de cet événe-ment auprès du grand public et de la presse. La boite de développement à l’origine du jeu demande un droitde regard sur cette organisation.

Un communiquant (C) et un graphiste (G) de la boite de publicité ont pris en charge ce projet. Legraphiste va créer des flyers avec des images 3D pour sensibiliser le grand public. Le communiquant vad’une part trouver le lieu où le show se passera et d’autre part utiliser son carnet d’adresses pour prévenir lapresse. Voici, après analyse, comment ils comptent s’organiser (le communiquant mènera certaines de sestâches en parallèle) :

Code de qui Description Durée Contraintesla tâche (jours)

A C et G Réunion de lancement avec la boite de développement1B G Dessin des maquettes des flyers 10 après AC C Sélection d’une liste de lieux et de traiteurs 16 après AD C et G Réunion de validation avec la boite de développement 1 après B et C

Sélection d’une maquette et choix du lieu et du traiteurE G Finalisation des flyers 5 après DF G Impression des flyers 1 après EG C Sélection des lieux de distributions des flyers 11 après DH C Campagne d’information auprès de la presse 20 après DI C Distribution des flyers au grand public. 21 après F et GJ C et G Le show 1 après H et I

Combien de temps au minimum il faut prévoir pour mener tout leprojet à terme ?

Quelles sont les tâches pour lesquelles aucun retard n’est permis sous peine d’allonger le projet ?

Exercice 2.1.2Ça tourne.

Un producteur de cinéma est confronté au problème du planning de son film, «Le chemin le plus long».Il vous soumet les tâches qui doivent être exécutées afin que vous l’aidiez à s’organiser.

Donnez la durée du projet, ainsi que les tâches et le chemin critique.


Codede latâche

Définition Durée (jours) Antériorités

A Écriture du scénario 30B Choix et recrutement des comé-

diens12 ne peut commencer que 15 jours après le

début de AC Choix du lieu du tournage 8 ne peut commencer que 20 jours après le

début de AD Découpage technique 4 A et C doivent être terminéesE Préparation des décors 7 C et D doivent être terminéesF Tournage des extérieurs 10 A, B, C et D doivent être terminéesG Tournage des intérieurs 12 D,E et F doivent être terminéesH Synchronisation 3 F et G doivent être terminéesI Montage 14 H doit être terminéeJ Accompagnement sonore 7 Ne peut commencer que 3 jours après le

début de I et après la fin de HK Mixage 6 I et J doivent être terminéesL Tirage de la copie zéro 1 Ne peut commencer que 3 jours après la fin

de K

2.2 Arbre de recouvrement minimum

Exercice 2.2.1Conception d’un réseau de transmission de données

Une banque désire installer au moindre coût un réseau de transmission de données entre son agencecentrale située dans le quartier de la Bourse et sept de ses succursales.

Le coût de construction d’une ligne entre 2 agences est donnédans le tableau suivant (en unités moné-taires).

B O E R SL L N CBourseOpéra 5Étoile 18 17

République 9 11 27St-Lazare 13 11 23 20Louvre 12 12 15 15 6Neuilly 38 38 20 40 40 35Chatelet 22 15 25 25 30 10 45

2.3 Plus court chemin

Exercice 2.3.1Sécurisation d’un réseau

Le trafic issu de La Rochelle à destination de Chambéry est actuellement acheminé par la route sui-vante : La Rochelle, Limoges, Clermont-Ferrant, Lyon, Chambéry. Cependant pour répondre à des règlesde sécurité et de qualité, ce trafic doit être birouté. Un étatdes possibilités sur les différents arcs du réseaua été réalisé, et les arcs pouvant accueillir un surcroît de trafic sont ceux appartenant au graphe ci-joint.

Pour réaliser ce biroutage, les règles suivantes doivent être respectées :– La route existante est maintenue telle qu’actuellement– Les deux routes ne devront avoir aucun noeud en commun, à part les noeuds extrémités– La route devra être réalisée au meilleur coût (les coûts de liaison sont indiqués sur les arcs.Quelle sera cette deuxième route, et quel sera son coût ?


Le Mans Paris Troyes

Nantes Poitiers Orléans Nevers Dijon Lons

La Rochelle Limoges Clermont-Ferrant Lyon Chambéry

7

56

3

54

4 2

8 71

2

34

2

7

2

3

2

1

1

Exercice 2.3.2Gestion de production

Une unité de production de téléphones portables doit satisfaire durant 4 périodes consécutives aux de-mandesDi (i=1..4).

Elle peut produire de manière habituelle une quantitéMi durant la période i, au coût unitairePi. Ellepeut aussi pendant cette même période, produire en supplément une quantitéSi au coût unitaireQi> Pi.

Enfin le stockage est possible avec un coût de stockage par article et par période égal a K.

Sachant que les articles fabriqués durant la période i peuvent être utilisés pour satisfaire les demandesDj (j >= i), on cherche à établir un plan de production minimisant les coûts et permettant de satisfaire toutesles demandes.

Les données qui suivent sont en milliers de téléphones et lescoûts associés en milliers d’euros.

Période 1 2 3 4Di 30 40 60 80Mi 20 40 40 50Si 20 10 20 30Pi 100 120 150 200Qi 150 150 180 250

K=20 quelque soit la période (coût par millier).

Remarque : On commence et on termine avec un stock nul.

Exercice 2.3.3Logistique : Trafic du Beurre.

L’histoire se passe dans 7 pays : La France, les Pays-Bas, la Belgique, l’Allemagne, la Suisse, l’Italie etl’Espagne.

Dans chacun de ces pays le beurre a un prix différent. Certains surproduisent quand d’autres doiventimporter. Les gouvernements de ces pays décident de créer unorganisme de régulation afin d’aider lesproducteurs.

Pour cela chaque pays passe un accord commercial avec chacunde ces voisins sous forme d’aide auxproducteurs ou de taxes aux importations. Ceci peut se résumer en 2 tableaux (voir les tableaux 1 et 2, lescoûts sont donnés en milliers d’euros pour 20 tonnes transportées).

Une société des Pays-Bas doit transporter son beurre jusqu’en Espagne. Elle décide de tirer parti desaccords passés et contacte dans chaque pays ses transitaires. Ses coût de transport sont donnés en milliersd’euros par 20 tonnes de beurre dans le tableau 3.


TAB . 1: TaxesPB B A S I F E

PBB 15 8 22A 5 5 15S 5I 15 8FE 5

TAB . 2: AidesPB B A S I F E

PB 15 5BA 10S 5 15IF 10 11 5 8 5E

TAB . 3: Coûts de transport et de manutentionPB B A S I F E

PB 2 4B 2 3 2A 4 3 3 4S 3 2 5I 2 6F 2 4 5 6 6E 6

Le transport s’effectue par camion de 20 tonnes.

Quel chemin devra parcourir le beurre et à quel coût la société pourra t-elle le transporter jusqu’enEspagne ?

2.4 Flot max

Exercice 2.4.1Logistique

Trois dépôts A, B et C disposent respectivement de 30, 20 et 45tonnes de marchandises. Cinq desti-nations D, E, F, G, H en demandent des quantités respectives de 10, 25, 20, 25 et 15 tonnes. Des camionsfaisant route entre les points désignés offrent les disponibilités suivantes :

D E F G HA 5 5 20 10B 20 10 5C 10 5 10 10 10

Donnez le meilleur plan d’approvisionnement.

Exercice 2.4.2Gestion de production et logistique

Chaque semaine la succursaleSi (i=1..5) d’une société laitière peut acheminer jusqu’àAij litres de laità l’établissementEj (j=1..6). Voir le tableau ci-dessous.

Sachant que durant la semaine les succursales disposent respectivement de 2000, 3000, 2500, 3000,1500 litres et qu’un établissement n’arrive jamais à consommer plus de 2500 litres, trouver la quantité


maximale de lait pouvant être utilisée hebdomadairement dans l’ensemble des établissements (détaillez lesapprovisionnement pour chaque établissement).

E1 E2 E3 E4 E5 E6

S1 1000 800 400 0 0 0S2 1200 1100 1500 0 0 0S3 0 400 900 1000 0 0S4 0 0 900 1000 400 900S5 0 0 0 800 1000 500

Exercice 2.4.3Optimisation et logistique : Voyage organisé.

Lors de la mise en place d’un voyage organisé, un vol charter est prévu au départ d’une ville F, unsamedi soir.

Les participants à ce voyage viennent de 3 villes, A, B et C.

Les possibilités d’acheminement sont limitées.

Les départs sont prévus de A, B et C, les jeudi, vendredi et samedi matin. Les destinations possibles etle nombre de places disponibles sont indiquées dans le tableau suivant :

Départs de A vers C A vers F B vers C B vers F C vers FJeudi matin 10 20 30 20 20

Vendredi matin 10 20 30 20 20Samedi matin 0 25 0 65 40

Pour chacun de ces départs, l’arrivée a lieu le soir même. Il est possible de prévoir des transits et depasser une ou plusieurs nuits dans chacune des villes en fonction des capacités d’hébergement suivantes.

Villes A B C Fnuit jeudi-vendredi 30 50 40 25

nuit vendredi-samedi 15 55 40 40

Le nombre de personnes pouvant rester dans une ville durant la journée n’est pas limité. Cependant tousles participants au voyage doivent être pris en charge à partir du jeudi matin (transport et hébergement).

Il y a, a priori, une limitation sur le nombre d’inscriptions: 100 au plus au départ de chaque ville.

Déterminer le nombre maximal de participants pouvant être acheminer vers F pour prendre le vol charterdu samedi soir.

Indiquer la façon de les acheminer.

Exercice 2.4.4Logistique : Transport de sable.

Du sable importé par cargo au port A, situé à l’embouchure d’un fleuve doit être acheminé vers uneusine de fabrication de verre.

Son transport peut être effectué :– soit par train du port A à l’usine C.– soit par péniche du port A à l’usine C.– soit par bateau de petit tonnage du port A à un port B, puis partrain ou péniche du port B vers l’usine

C.Au début de chaque heure, il est possible de faire partir de A vers C au plus 300 tonnes de sable par le

train et 500 par péniche, de B vers C au plus 150 tonnes par train et 400 tonnes par péniche et enfin au plus1500 tonnes par bateau de petit tonnage de A vers B.

Les capacités de stockage sur les quais de chargement sont limités à 500 tonnes en A et à 400 tonnes enB (initialement le stock en B est nul).

Les temps de transport, en heures, compte tenu des temps de chargement et de déchargement sont lessuivants :


– de A vers C : 6 heures par train, 7 heures par péniche.– de B vers C : 3 heures par train, 5 heures par péniche.– de A vers B : 4 heures par bateau de petit tonnage.Le tonnage qui arrive par cargo au port A sera considéré commeillimité. On ne procède qu’à un seul

déchargement du cargo.

Donner une modélisation du problème.

Quelle quantité maximale de sable peut-on acheminer de A vers C en 8 heures et quels moyens detransport doivent alors être utilisés ?

2.5 Programmation linéaire

Exercice 2.5.1Gestion de production et optimisation

Une raffinerie peut traiter 2 pétroles bruts différents. Elle tire du brut 1 : 20% d’essence, 40% de gas-oilet 40% de fuel lourd et du brut 2 : 40% d’essence, 20% de gas-oilet 40% de fuel lourd.

Pour des raisons de capacité de stockage et de débouchés sur le marché, la production annuelle de cetteraffinerie est limitée à 1,2Mt d’essence, 1,2 Mt de gas-oil et1,4 Mt de fuel lourd.

Quelle quantité de chacun des 2 bruts la raffinerie devra traiter pour réaliser un bénéfice maximal sachantqu’elle a une marge de 4e/t de brut 1 et de 5e/t de brut 2 ?

Exercice 2.5.2Optimisation : Élagage des manguiers

L’élagage des manguiers présente de nombreux avantages. Ilpermet surtout de produire plus de manguessur une même superficie.

De plus, les arrosages et les traitements des arbres sont plus faciles d’exécution et la récolte des manguesse fait plus rapidement. L’élagage présente aussi des désavantages : il requiert une main-d’oeuvre expéri-mentée et nombreuse car il faut prévoir en saison un élagage tous les 15 jours. Le risque des infectionscryptogamiques au niveau des blessures est élevé et les fruits produits bien que plus nombreux sont pluspetits.

Un producteur de mangue sénégalais dispose d’un verger de 5 hectares. Il obtient un rendement de 0,6m3 de fruits par are en consacrant 5h/are de main-d’oeuvre pour l’élagage durant la saison. Le même arede manguiers fournit 0,4 m3 de fruits, plus gros cependant, lorsqu’il se contente d’un bref émondage, cequi exige 1h/are de main-d’oeuvre pour la saison. La main-d’oeuvre familiale peut consacrer 600 heures detravail à la récolte et 1800 heures en saison à l’émondage et àl’élagage des manguiers. La récolte d’un areélagué prend 1 heure, tandis qu’un are simplement émondé exige 1,5 h. Enfin, le producteur et sa familledispose de suffisamment de temps pour arroser et traiter les arbres du verger.

Le producteur écoule toute sa production auprès d’intermédiaires qui assurent le transport des manguesvers les marchés ou les usines de transformation. Il obtient900 F CFA par m3 de petits fruits provenant desarbres élagués et 12000 F CFA par m3 de grosses mangues. Certains intermédiaires lui offrent également31 200 F CFA pour un lot comprenant 2 m3 de petites mangues et 1 m3 de grosses mangues.

De quelle manière le producteur doit-il procéder pour maximiser les revenus qu’il tire de son verger ?

Exercice 2.5.3Optimisation : Les piles.

Une entreprise fabrique trois types de piles : sèches de type1 (PS1), sèches de type 2 (PS2) et à com-bustible.

Le processus de fabrication comporte trois étapes :

1. l’assemblage

2. un test de qualité

3. un traitement d’isolation

Seules les piles satisfaisant au test de qualité sont soumises au traitement d’isolation. Les piles qui ratentle test sont mises au rebut.

Au cours du prochain mois, l’entreprise disposera en temps-machine de 10000 heures pour l’assem-blage, de 1300 heures pour les tests de qualité et de 7500 heures pour le traitement d’isolation.


Le tableau suivant résume les informations pertinentes du procédé de fabrication.

Type Assemblage(sec/unité)

Test(sec/unité)

Isolation(sec/unité)

Profit(e/unité)

Taux d’échec Perte(e/unité)

PS1 30 3 15 1,25 3% 0,5PS2 25 4,5 22 1 1% 0,65PC 24 4 21 1,1 2% 0,75

Quel doit être le plan de production pour maximiser le bénéfice, et quel est celui-ci ?

Exercice 2.5.4Optimisation : Alimentation du bétail.

On désire déterminer la composition, à coût minimal, d’un aliment pour bétail qui est obtenu en mélan-geant au plus trois produits bruts : orge, arachide et sésame.

L’aliment devra comporter au moins 22% de protéines, et 3,6%de graisse. Le tableau ci-dessous indiqueles pourcentages de protéines et de graisse de chacun des aliments de base ainsi que leur coût.

Produit brut Orge Arachide Sésame % requisProtéines 12% 52% 42% 22%Graisse 2% 2% 10% 3,6%

Coût par tonne 25 41 39

3 Usine à gérer

3.1 Introduction

Le véritable problème de ce cours n’est pas d’appliquer une technique, mais de trouver quelle techniqueil faut utiliser, et savoir modéliser le problème pour la mettre en œuvre. Le but des petits problèmes suivantsest de vous exercer sur ce point.

Cette section contient 6 questions différentes. Chaque technique vue en cours peut s’appliquer au moinsà l’une d’entre elles. Il vous faudra entre chaque séance de cours :

– trouver la ou les questions qui peuvent être résolues par les techniques vues lors de la dernière séance,– modéliser le problème pour que cette technique puisse s’appliquer,– mettre en œuvre cette technique pour répondre à la question.Même si les 6 exercices concernent le même univers (une usineà gérer), chaque question est indépen-

dante. Les données d’une question peuvent être contradictoires avec les données d’une autre question. Doncne traitez pas une question avec les données d’une autre.

3.2 Les exercices

Une usine a organisé sa production en quatre ateliers :D, I, F etP . Lors de la modernisation du réseau,elle décide de relier par des fibres ces quatre ateliers au centre informatique (C). Il faut que le réseau atteignetous les ateliers, mais au moindre coût possible. Voici les différents coûts (en k euros) des travaux pour poserune fibre entre deux sites :

C D I F PCD 5I 7 2F 4 3 1P 3 6 4 2

Question 3.2.1Quelles liaisons faut-il choisir pour que le réseau couvre tous les sites au moindre coût ?


L’usine sait produire trois types de pièces :P1, P2 et P3. Le processus de fabrication se fait sur unechaîne de quatre étapes faites dans quatre ateliers différents (D, I, F et P).

La vente de chaque pièce dégage une marge de16 000 euros pour les piècesP1, 11 000 euros pour lespiècesP2, et12 000 euros pour les piècesP3.

– La fabrication de la pièceP1 utilise 4 heures de l’atelier D, 4 heures de l’atelier F, et 4 heures del’atelier P.

– La fabrication de la pièceP2 utilise 1 heure de l’atelier D, 3 heures de l’atelier I, 3 heures de l’atelierF, et 3 heures de l’atelier P.

– La fabrication de la pièceP3 utilise 1 heure de l’atelier D, 2 heures de l’atelier I, 5 heures de l’atelierF, et 1 heure de l’atelier P.

L’atelier D est utilisable 160 heures par mois, l’atelier I est utilisable 180 heures par mois, l’atelier F estutilisable 200 heures par mois, et l’atelier P est utilisable 120 heures par mois.

Question 3.2.2Quelles pièces et en quelle quantité faut-il produire pour gagner un maximum d’argent ?Quelle sera la marge obtenue ?

L’usine peut sous-louer du temps d’atelier à des partenaires. Quels ateliers (et combien de temps) peut-elle sous-louer sans baisser sa production ?

L’usine doit produire chaque jour trois types de pièces détachées :P1, P2 etP3. Le processus de fabri-cation se fait sur une chaîne de quatre étapes gérée par troisouvriers (O1, O2 etO3). La première étape sertà produire les piècesD1, D2 etD3. Le seconde étape sert à produire les piècesI1 et I3. La troisième étapesert à construire les piècesF1 etF3. La dernière étape produit les piècesP1, P2, etP3.

Voici une résumé du processus :

Ouvrier pièce produite pièces nécessairesduréepour la production

O1 D1 aucune 4h00O2 D2 aucune 3h30O3 D3 aucune 4h00O1 I1 D1 etD2 0h30O3 I3 D3 etD2 0h15O1 F1 I1 0h30O3 F3 I3 0h30O1 P1 F1 2h00O2 P2 F1 etF3 3h00O3 P3 F3 2h30

Question 3.2.3Une journée de travail dure 8h. Est-il possible de programmer la fabrication des troispièces dans ces conditions ?

Chaque ouvrier a le droit à une pause de 45 minutes consécutives dans sa journée de travail. L’ouvrierO2 qui n’a rien à faire durant les fabrications des piècesI et F dispose clairement de ce temps de pause,mais est-ce le cas des ouvriersO1 etO3 ?

L’usine sait produire trois types de pièces détachées :P1, P2 et P3. Le processus de fabrication se faitsur une chaîne de quatre étapes gérée par un seul ouvrier. La première étape sert à produire soit la pièceD1,soit la pièceD2, soit la pièceD3. Le seconde étape sert à produire soit la pièceI1, soit laI3. La troisièmeétape sert à construire soit la pièceF1, soit la pièceF3. Enfin, la dernière étape produit soit la pièceP1, soitla pièceP2, soit la pièceP3.



pièce produite pièces nécessairesdurée coûtpour la production (euro)

D1 aucune 4h00 500D2 aucune 3h30 1500D3 aucune 4h00 1000I1 D1 ouD2 0h30 1000I3 D3 ouD2 0h15 500F1 I1 0h30 1000F3 I3 0h30 500P1 F1 2h00 2000P2 F1 ouF3 3h00 2000P3 F3 2h30 2500

Question 3.2.4Laquelle des trois pièces (P1, P2 ou P3) est la plus rapide à produire ? en suivant quelprocessus ?

Laquelle des trois pièces (P1, P2 ouP3) est la moins chère à produire ? en suivant quel processus ?

L’usine reçoit une commande pour des pièces détachées. Trois pièces de son catalogue répondent aucahier des charges :P1, P2 et P3. Le processus de fabrication se fait sur une chaîne en trois ou quatreétapes. La première étape sert à produire les piècesD1, D2, ou D3. La seconde étape sert à transformerla pièceD2 pour l’étape suivante, soit en pièceI1, soit en pièceI3. La troisième étape sert à construire lapièceF1, ou la pièceF3. Enfin, la dernière étape produit la pièceP1, la pièceP2, ou la pièceP3.


pièce produite pièces nécessaires capacité de productionpour la production par jour (nombre de pièces)

D1 aucune 4D2 aucune 5D3 aucune 8I1 D2 5I3 D2 8F1 D1 ou I1 10F3 D3 ou I3 6P1 F1 10P2 F1 ouF3 5P3 F3 8

Lorsqu’une pièce a besoin d’une autre pour être construire,chaque pièce produite utilise une et uneseule autre pièce dans son processus de production. Par exemple pour produire 1 pièceF1, il faut soit 1pièceD1, soit 1 pièceI1.

Question 3.2.5Combien de piècesP1, P2 etP3 peut produire cette usine chaque jour ?


Annexes.


A Exemple de sujet de contrôle continu

durée 1h, sans document ni calculatrice.

Question 0 (1pt)

Nom : Prénom :Groupe : K1 :� K2 : � K3 : � K4 : �

Suite de la question 0 page 17

Question 1 (4pt)

Quels sont les grands mécanismes d’ajustement de la production qu’une entreprise peut utiliser face àune augmentation de la demande ? Distinguez selon les modes de production et l’horizon temporel pour 2niveaux d’augmentation de la demande : marginal ou élevé.

Donnez des exemples.


.


Question 0 suite

Nom : Prénom :Groupe : K1 :� K2 : � K3 : � K4 : �

Question 2 (3pt)

Calculez la durée du projet, les dates au plus tôt, les dates au plus tard et les marges des tâches du projetmodélisé par le graphe suivant (répondez soit directement sur le graphe, soit dans le tableau en dessous).Surlignez le chemin critique sur le graphe.

FIG. 1: Graphe modélisant les tâches du projet (unité : jour)


Question 3 (2pt)Appliquez l’algorithme de Kruskal en dessinant le graphe des diverses étapes pour legraphe suivant :

(a) Graphe (unité : k euros) (b) Itération 1 (c) Itération 2

(a) Itération 3 (b) Itération 4 (c) Itération 5


Quel est le poids de l’arbre de recouvrement minimal ?

Réponse :


Question 4 (2pt)Appliquez l’algorithme de Prim en utilisant directement lamatrice (faites bien ressortirl’arête choisie à chaque étape). Vous choisirez le sommetS1 comme sommet de départ de l’algorithme.

Unité : semaine.

S1 S2 S3 S4 S5 S1 S2 S3 S4 S5 S1 S2 S3 S4 S5

S1 S1 S1

S2 5 S2 S2

S3 4 4 S3 S3

S4 2 5 1 S4 S4

S5 3 8 6 2 S5 S5

Matrice du graphe Itération 1 Itération 2

S1 S2 S3 S4 S5 S1 S2 S3 S4 S5 S1 S2 S3 S4 S5

S1 S1 S1

S2 S2 S2

S3 S3 S3

S4 S4 S4

S5 S5 S5

Itération 3 Itération 4 Itération 5

Quelles sont les arêtes de l’arbre de recouvrement minimal que vous avez trouvé ?

Réponse :

Quel est le poids de cet arbre ?

Réponse :


Question 5 (4pt)Trouvez le plus court chemin allant de A à F. Appliquez l’algorithme de Ford-Mooredans le tableau.

FIG. 2: Graphe des chemins (unité : k euros)

Tableau pour l’algorithme :

Quel est le chemin le plus court :

Quelle est sa longueur :


Question 6 (4pt)Prouvez grâce au marquage de l’algorithme de Ford-Fulkerson que le flot du graphesuivant n’est pas maximal (faites le marquage sur le graphe ci-dessous) :

Quelle est la chaîne améliorante que vous avez trouvée :

Quel gain permet-elle :

Reportez ce gain sur le graphe, et prouvez avec le marquage del’algorithme de Ford-Fulkerson quemaintenant le flot est maximal.

Quel est ce flot maximal ?


B Exemple de contrôle final

Durée : 2 heures.

Avertissement: Les chiffres ont été très simplifiés pour rendre les calculssimples. Les solutions peuventse trouver de façon triviale. Ce n’est pas le «bon» résultat qui compte, mais la démarche que vous avezsuivie pour le trouver : modélisation, suivie de l’utilisation d’une technique vue en cours, et terminée parson interprétation.

B.1 Les vignes de l’abbaye (10pt)

Une abbaye de Bourgogne possède 2 hectares de vignes pour sa propre consommation. Mais commeelle produit plus de vin qu’elle n’en a besoin, elle commercialise le surplus.

Son vignoble contient deux cépages différents : 1 hectare depinot noir, et 1 hectare de gamay. Cetteannée les vendanges ont permis la récolte de 2400 litres de pinot noir et de 6000 litres de gamay.

Pour son usage propre, l’abbaye met d’entrée de coté 400 bouteilles (1 bouteille = 0,75 litre) de pinotnoir et 4000 bouteilles de gamay.

Elle compte commercialiser le vin restant sous la forme de deux vins :– Des bouteilles de pinot noir : ce vin est composé uniquementde pinot noir. Chaque bouteille (0,75

litre) se vendra à 30 euros.– Des bouteilles de passe-tout-grain : ce vin est composé d’un tiers de pinot noir et deux tiers de gamay.

Chaque bouteille (0,75 litre) se vendra à 12 euros.Question 1Comment cette abbaye doit repartir le vin restant pour gagner le plus d’argent possible ?

Question 2Cette répartition laisse-t-elle encore du vin sans usage ? Si oui lequel ?

B.2 Barcelone ou Dublin ? (10pt)

Une agence de voyage fidélise sa clientèle en délivrant des «Hermès» à chaque voyage acheté. Ellepropose ensuite d’échanger ces Hermès contre des voyages. Chaque semaine elle offre ainsi une liste detrajets possibles avec leur coût en Hermès.

Un client bordelais qui a accumulé une belle somme d’Hermès compte en utiliser une partie pour sepayer un voyage. Deux destinations le tente : soit Dublin, soit Barcelone. Il consulte les propositions devoyages de la semaine, et voici la liste des trajets qu’il a retenus pour aller à destination en partant deBordeaux (dans chaque ville les correspondances sont réalisables) :

– En avion il peut faire :

Bordeaux->Madrid : pour 45 Hermès.

Paris->Londres : pour 25 Hermès.

Paris->Barcelone : pour 50 Hermès.

Madrid->Barcelone : pour 25 Hermès.

Toulouse->Barcelone :pour 15 Hermès.

Toulouse->Dublin : pour 30 Hermès.

Londres->Dublin : pour 25 Hermès.

Bruxelles->Dublin : pour 30 Hermès.

Bruxelles->Barcelone : pour 25 Hermès.

– En train il peut faire :

Bordeaux->Paris : pour 20 Hermès.

Paris->Londres : pour 30 Hermès.

Paris->Bruxelles : pour 20 Hermès.

Question 1Quelle destination doit-il choisir pour minimiser sa dépense d’Hermès. Combien va-t-ildevoir en dépenser et en prenant quels trajets ?


C Correction de l’exemple du sujet de contrôle continu

durée 1h, sans document ni calculatrice.

Question 0 (1pt)

Nom : Parfait Prénom : ModesteGroupe : K1 :� K2 : ⊠ K3 : � K4 : �

Suite de la question 0 page 24

Question 1 (4pt)

Quels sont les grands mécanismes d’ajustement de la production qu’une entreprise peut utiliser face àune augmentation de la demande ? Distinguez selon les modes de production et l’horizon temporel pour 2niveaux d’augmentation de la demande : marginal ou élevé.

Donnez des exemples.

D’autres exemples que ceux qui sont donnés ici sont naturellement possibles.

A court terme, les options sont réduites, mais à long terme onpeut ajuster la capacité de production à lademande puisqu’on peut investir ou désinvestir. Cet ajustement ne doit se faire que s’il est profitable pourl’entreprise, bien sûr.

A court terme donc :– Face à une augmentation marginale de la demande, si la nouvelle demande totale ne dépasse pas la

capacité de production, on peut augmenter la production (industrie automobile) ;– Dans ce cas on peut aussi tirer sur les stocks si l’entreprise en possède (aciérie) ; les services ne se

stockant pas, cette possibilité est fermée pour une entreprise de ce type ;– Si l’augmentation de la demande est élevée, on peut faire l’hypothèse que la nouvelle demande va

dépasser la capacité de production de l’entreprise. Il existe trois possibilités :– On peut sous-traiter la production manquante, si cela est faisable (activité de formation par exemple)

ou reporter temporairement la demande vers ses concurrents(comme le font les hôtels en périodede pointe)

– On peut allonger les délais de livraison, si cela est faisable (industrie automobile) ;– On peut refuser de servir la demande dépassant la capacité de production, si cela est faisable

(électricité – avec l’isolement des parties du réseau).A long terme :

– On a le temps d’ajuster la capacité de production au niveau de la demande (très nombreux exemplesdans l’industrie et les services)

– Si ceci est impossible (ressources rares, barrières juridiques, etc., comme le domaine médical où ilexiste un numerus clausus sur les médecins et où les hôpitauxdoivent obtenir une autorisation pours’équiper de matériels médicaux coûteux), il faut mettre enplace un système de rationnement ouaugmenter les prix pour contenir la demande servie dans les limites de la capacité de production.


Question 0 suite

Nom : Parfait Prénom : ModesteGroupe : K1 :� K2 : ⊠ K3 : � K4 : �

Question 2 (3pt)

Calculez la durée du projet, les dates au plus tôt, les dates au plus tard et les marges des tâches du projetmodélisé par le graphe suivant (répondez soit directement sur le graphe, soit dans le tableau en dessous).Surlignez le chemin critique sur le graphe.

FIG. 3: Graphe modélisant les tâches du projet (unité : jour)


Question 3 (2pt)Appliquez l’algorithme de Kruskal en dessinant le graphe des diverses étapes pour legraphe suivant :

(a) Graphe (unité : k euros) (b) Itération 1 (c) Itération 2



Quel est le poids de l’arbre de recouvrement minimal ?

Réponse : L’arbre pèse 21 unités.


Question 4 (2pt)Appliquez l’algorithme de Prim en utilisant directement lamatrice (faites bien ressortirl’arête choisie à chaque étape). Vous choisirez le sommetS1 comme sommet de départ de l’algorithme.

Unité : semaine.

Quelles sont les arêtes de l’arbre de recouvrement minimal que vous avez trouvé ?

Réponse : les arêtes de l’arbre trouvé sont :S1 − S4, S3 − S4, S4 − S5 etS2 − S3

Quel est le poids de cet arbre ?

Réponse : Son poids est de 9 semaines.


Question 5 (4pt)Trouvez le plus court chemin allant de A à F. Appliquez l’algorithme de Ford-Mooredans le tableau.

FIG. 4: Graphe des chemins (unité : k euros)

Tableau pour l’algorithme :

m λ(A) λ(B) λ(C) λ(D) λ(E) λ(F) Sommets Γ+

changés0 0 ��HH∞ ��HH∞ ��HH∞ ��HH∞ ��HH∞ A B, C, D1 5/A �

�HH4/A 3/A B E, C

C E, FD C, F

2 3/B ��HH9/B ��XXX11/D C E, F

��HH8/C ��XXX12/C E F

F3 7/C ��XXX11/C E F

��HH8/E F

4 7/E F

Quel est le chemin le plus court : Il passe par A, B, C, E, F.

Quelle est sa longueur : Il fait 7 unités.


Question 6 (4pt)Prouvez grâce au marquage de l’algorithme de Ford-Fulkerson que le flot du graphesuivant n’est pas maximal (faites le marquage sur le graphe ci-dessous) :

Quelle est la chaîne améliorante que vous avez trouvée :

2− 0 = 2 2 1− 0 = 1A −→ C ←− B −→ E

Quel gain permet-elle : elle permet un gain de 1 tonne.

Reportez ce gain sur le graphe, et prouvez avec le marquage del’algorithme de Ford-Fulkerson quemaintenant le flot est maximal.

Quel est ce flot maximal ? 6 tonnes peuvent circuler de A vers E.


D Correction de l’exemple du contrôle final

D.1 Les vignes de l’abbaye (10pt)

Question 1

Trouver un gain maximal avec des ressources que l’on doit repartir sur divers produits... c’est typique-ment un problème de programmation linéaire.

Comme toujours, le meilleurs point d’attaque pour modéliser ce type de problème consiste à trouver lafonction économique. Le gain est obtenu grâce à la vente des bouteilles de pinot noir (Bpn) et de passe-tout-grain (Bptg). Les premières rapportent 30 euros et les secondes 12 euros. Donc la fonction économiques’exprime ainsi (Z exprimé en euro) :

Z = 30×Bpn + 12×Bptg

Il faut ensuite exprimer les contraintes. Le nombres de bouteilles que l’on peut produire est limité parles ressources (la quantité de vin obtenu pour chaque cépage). Mais pour ce problème un petit traitementest nécessaire pour retrouver les bonnes données. En effet on nous donne le total des récoltes, mais seul cequi reste après le retrait des quantités utilisées directement par l’abbaye nous intéresse.

– Les vendanges ont permis de récolter2 400 litres de pinot noir, mais400 bouteilles, donc400×0.75 =300 litres sont d’office mis de coté. Il reste donc2 100 litres de pinot noir pour la vente.

– Les vendanges ont permis de récolter6 000 litres de gamay, mais4 000 bouteilles, donc4 000 ×0.75 = 3 000 litres sont d’office mis de coté. Il reste donc3 000 litres de gamay pour la vente.

Maintenant que l’on connaît les véritables ressources utilisables, on peut exprimer les contraintes :

– Chaque bouteille de pinot noir utilise0.75 litre de pinot noir, et chaque bouteille de passe-tout-grainutilise0.75× 1/3 = 0.25 litre de pinot noir. Donc0.75×Bpn + 0.25×Bptg ≤ 2100.

– Les bouteilles de pinot noir n’utilise pas de gamay, mais chaque bouteille de passe-tout-grain utilise0.75× 2/3 = 0.5 litre de gamay. Donc0.5×Bptg ≤ 3000.

La forme canonique du problème est donc :

Trouver le maximum deZ (exprimé en euro) avec


en respectant les contraintes :

(1) 0.75×Bpn+ 0.25×Bptg ≤ 2100(2) 0.5×Bptg ≤ 3000

Bpn ≥ 0 Bptg ≥ 0

Pour éviter d’avoir des fractions dans nos calculs on va multiplier par 4 l’inégalité (1) et par 2 l’inégalité(2). Mais attention, si à terme on doit interpréter les variables d’écarts qui seront associées à ces contraintes,il faudra se rappeler que leurs unités ont été changées ! On obtient donc :

Trouver le maximum deZ (exprimé en euro) avec


en respectant les contraintes :

(1) 3×Bpn+ Bptg ≤ 8400(2) Bptg ≤ 6000

Bpn ≥ 0 Bptg ≥ 0

Avec 2 variables, il est envisageable d’utiliser la méthodegéométrique. Mais attention, la seconde ques-tion du problème s’intéresse à l’utilisation totale des ressources, autrement dit elle va demander d’interpréterla valeurs des variables d’écart. Même si dans le cas présent(on va voir que ces variables sont nulles) la


méthode géométrique permettrait aussi de connaître simplement le résultat, il vaut mieux passer par unsimplexe lorsque vous voyez qu’il va falloir interpréter ces variables.

Voici donc le premier tableau du simplexe (après l’ajout des2 variables d’écarts nécessaires à notreproblème -une par contrainte-).

Bpn Bptg E1 E2 SommeE1 3 1 1 0 8400E2 0 1 0 1 6000∆ 30 12 0 0 0

Le premier pivot est sur la colonne deBpn (le plus grand∆) sur la ligne deE1 (le plus petit rapportSomme/Colonne du pivot). On obtient donc ce second tableau :

Bpn Bptg E1 E2 SommeBpn 1 1/3 1/3 0 2800E2 0 1 0 1 6000∆ 0 2 -10 0 -84000

Le second pivot est sur la colonne deBptg sur la ligne deE2 . On obtient donc ce troisième tableau.

Bpn Bptg E1 E2 SommeBpn 0 800Bptg 0 1 0 1 6000∆ 0 0 -10 -2 -96000

Comme tous les∆ sont négatifs ou nuls, l’algorithme va s’arrêter à cette itération. Voila pourquoi iln’est même pas nécessaire de calculer les coefficients à l’intérieur du tableau. On ne calcule que la ligne∆(pour vérifier qu’ils sont tous négatifs ou nuls) et la colonne Somme (pour avoir les résultats).

Donc pour la solution optimale, on a :Bpn = 800 etBptg = 6000. Toutes les autres variables (E1, E2)sont nulles (puisqu’elles sont hors base). De plusZ vaut96 000.

L’abbaye doit donc embouteiller et vendre800 bouteilles de pinot noir et6 000 bouteilles de passe-tout-grain. Elle en obtiendra un gain de96 000 euros.

Question 2

La seconde question pose le problème des ressources inutilisés. Il faut donc interpréter les variablesd’écart. Ces deux variables sont nulles. Donc toutes les ressources sont utilisées. Il ne reste aucun vin sansusage.

Si on avait utilisé la méthode géométrique, on aurait constaté que la solution se trouve à l’intersectiondes deux droites «0.75×Bpn +0.25×Bptg = 2100» et «0.5×Bptg = 3000». Les solutions sur la premièredroite sont celles qui consomment tout le pinot noir, et sur la seconde droite celles qui consomment tout legamay. Donc à leur intersection on trouve la solution qui consomme la totalité des deux cépages. Il est doncaussi possible de déduire du modèle géométrique que tout le vin est utilisé. Par contre si la solution avaitlaissé un vin sans usage, il aurait été plus difficile de mesurer les quantités restantes (mais pas impossible,avec un dessin et une règle précis).


D.2 Barcelone ou Dublin ? (10pt)

Ici, il faut trouver le chemin le moins cher entre Bordeaux etsoit Barcelone soit Dublin. On nous indiquetoutes les étapes intermédiaires possibles, avec pour chacune un coût fixe. Aucun doute possible, il s’agitde la recherche d’un plus court chemin (les longueurs étant exprimées en «Hermès»).

La première étape consiste à dessiner le graphe pour modéliser tous les chemins possibles. Pas dedifficulté majeure ici, sauf deux petits pièges qui se cachent dans les données :

– On trouve des possibilités de voyage à partir de Toulouse, mais le client bordelais n’a aucun moyende joindre cette ville. Il faut donc retirer ces données parasites de notre problème.

– Entre Paris et Londres, il y a deux moyens de transport possible. Notre but étant de trouver le pluscourt chemin, c’est à dire le moins cher, on peut d’office oublier le plus cher des deux. Donc on retiredes données le voyage en train entre Paris et Londres.

On obtient le graphe suivant :

Ce graphe a un seul point d’entrée (Bordeaux), mais plusieurs points de sortie (Dublin et Barcelone).Cela ne pose aucun problème puisque les recherches de plus court chemin permettent de trouver la valeurde tous les plus courts chemins depuis 1 point d’origine verstous les autres points du graphe.

Une fois cette modélisation terminée, mais avant de mettre en œuvre la technique de recherche du pluscourt chemin on peut simplifier le graphe : on supprime les états sur lesquels il n’y a qu’un seul arc entrantet un seul arc sortant. On remplace les 2 arcs par un nouvel arcvalué par la somme des deux valeurs.

On obtient ce nouveau graphe :


Il ne reste plus qu’à mettre en œuvre l’algorithme de Ford-Moore

m Bor Par Bru Dub Bar changés Γ+

0 0 ��HH∞ ��HH∞ ��HH∞ ��HH∞ Bor Par, Bar1 20/Bor ��XXX70/Bor Par Bru, Dub, Bar

Bar2 40/Par 70/Par ��XXX70/Par Bru Dub, Bar

BarDub

3 70/Bru 65/Bru BarDub

Le plus court chemin vers Barcelone mesure 65 Hermès, et versDublin 70 Hermès.

Le client bordelais devrait donc choisir d’aller à Barcelone en prenant le train pour Paris, puis le trainjusqu’à Bruxelles pour finir en avion jusqu’à Barcelone.


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