Opinions et débats n°5

Institut Louis BachelierPalais Brongniart 28, place de la Bourse 75002 Paris Tél. : +33 (0)1 73 01 93 40Fax : +33 (0)1 73 01 93 [email protected]

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XVAA propos des CVA, DVA, FVA et autres ajustementsde marché

XVAAbout CVA, DVA, FVA and other market adjustments

Stéphane Crépey

COUV OPINIONS & DEBATS 5_Mise en page 1 28/05/14 15:38 Page1

Sommaire / Content

6 Introduction

8 1 L’ajustement de valorisation du crédit

8 1.1 Flux financiers9 1.2 Modèles10 1.3 Calcul10 1.4 Gestion du risque

11 2 Risque de contrepartie bilatéral et coûts de financementnon-linéaires

11 2.1 L’ajustement de valorisation de la dette11 2.2 Ajustement de valorisation pour tenir compte du coût du financement

15 3 CVA, DVA, LVA, RC : les quatre piliers de la TVA 15 3.1 Equation de la TVA17 3.2 Solution numérique17 3.3 Exemple simplifié

19 4 Collatéral19 4.1 Risque de dépendance adverse et risque de dérive20 4.2 Liquidité

20 5 Chambres de compensation et trading centralisé21 5.1 Appels de marge et procédure de défaut

38 Références

23 Introduction

25 1 Credit Valuation Adjustment

25 1.1 Cash Flows25 1.2 Models26 1.3 Computation27 1.4 Risk management

27 2 Bilateral Counterparty Risk and Nonlinear Funding Costs

27 2.1 Debt Valuation Adjustment29 2.2 Funding Valuation Adjustment

31 3 CVA, DVA, LVA, RC: The Four Wings of the TVA31 3.1 TVA Equation33 3.2 Numerical Solution33 3.3 Toy example

35 4 Collateral35 4.1 Wrong-Way and Gap Risks36 4.2 Liquidity

36 5 Clearinghouses and Centrally Cleared Trading37 5.1 Margining and default processes

38 References

Opinions & DébatsN°5 - Juin 2014

Publicationde l'Institut Louis BachelierPalais Brongniart28 place de la Bourse75002 ParisTél. : 01 49 27 56 40www.institutlouisbachelier.orghttp://www.labexlouisbachelier.org

DIRECTEUR DE LA PUBLICATIONJean-Michel Beacco

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CONCEPTION GRAPHIQUEVega Conseil : 45 rue Garibaldi 94100 Saint Maur Tél. : 01 48 85 92 01

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Les articles publiés dans la série"Opinions & Débats" offrent auxspécialistes, aux universitaires et auxdécideurs économiques un accès auxtravaux de recherche les plus récents. Ils abordent les principales questionsd’actualité économique et financière etfournissent des recommandations entermes de politiques publiques.

The Opinion and Debates series shedsscientific light on current topics ineconomics and finance. Bringingtogether several types of expertise (from mathematicians, statisticians,economists, lawyers, etc.) thispublication makes recommendations inthe formulation and implementation ofgovernment economic policies.

LABEX LOUIS BACHELIER1


&



Stéphane Crépey

OPINIONS ET DEBATS N 5 27-05_Mise en page 1 28/05/14 15:47 Page2

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In this issue of Opinions et Débats, we look at a majorchallenge currently confronting investment banks,namely the calculation of various counterparty riskrelated pricing adlustments (CVA, DVA, FVA and otherthree letter acronyms, generically denoted by XVA). Forvarious reasons, this is a critical issue.

Firstly, the very definition of these adjustments isproblematic, astestified by the various terms used inthis article to define them: complex derivatives, hybridderivatives, blurred derivatives, etc. This complexitymakes calculating it difficult. For there is no standardcounterparty risk model. Banks therefore face amultiplicity of scenarios and the XVA calculations havebecome their most difficult computational task. Inaddition, the current context has added freshdifficulties. On the one hand, the crisis has increasedthe volatility. And on the other, it has weakened thebanks. Their own credit risk must now be taken intoaccount in these adjustments.

In this article, Stéphane Crépey examines the solutionsavailable to investment banks and to the market ingeneral – a market that is heavily involved, sincecounterparty risk now concerns all OTC derivatives. Herecommends creating a dynamic model. Such a modelshould also take into account the systemic risk dimensionthat accompanies counterparty risk. As for solutions thathave been proposed to reduce this risk, they haverevealed their limitations or shortcomings, as for exampleCSA (Credit Support Annex) contracts. Moreover,counterparty risk hedging mechanisms can lead toinstability in the markets through procyclicality effects.

Another solution is emerging, encouraged by regulation,namely trading interfaced by clearing houses. This wayof hedging against derivative risks is on the rise: in thefuture, half of all transactions are likely be handledcentrally. Is this a good thing? It remains to be seen, asStéphane Crépey here tells us.

Dans ce numéro d’Opinions et Débats, nousavons choisi de nous confronter au défi majeurqu’affrontent actuellement les banques d’investis-

sement. Il s’agit du calcul des ajustements liés au risquede contrepartie (CVA, DVA, FVA et autres acronymes àtrois lettres génériquement regroupés sous le sigle deXVA). Défi majeur donc, et ce pour plusieurs raisons.

Tout d’abord, la définition même de ces ajustements estun travail ardu, en témoignent les expressions qui lesdéfinissent dans cet article : produits dérivés complexes,hybrides, aux contours flous… Cette complexité a pourconséquence une valorisation difficile. Il n’existe en effetaucune modélisation standard du risque de contrepartie.Les banques font donc face à une multiplicité descénarios et les calculs de XVA sont devenus la tâchela plus lourde de leurs calculs. De plus, le contexteactuel est venu ajouter de nouvelles difficultés. D’unepart, la crise a accru la volatilité. D’autre part, elle aaffaibli les banques. Leur propre risque de crédit doitdésormais être pris en compte dans ces ajustements.

Dans cet article, Stéphane Crépey étudie les solutionsqui s’offrent aux banques d’investissement et aumarché en général – marché largement concerné,puisque le risque de contrepartie concerne désormaisl’ensemble des produits dérivés de gré à gré. Ilrecommande la création d’une modélisation dynamique,intégrant un horizon long terme de plusieurs décennies.Un tel modèle devrait également prendre en compte ladimension de risque systémique qui accompagne lerisque de contrepartie. Quant aux solutions qui ont déjàété envisagées pour réduire ce risque, elles ont prouvéleurs limites ou leurs défauts, comme par exemple lescontrats de CSA (credit support annex). Il est apparuque les garanties apportées par ces contrats étaientinsuffisantes. Inadaptés également sont les mécanismesde couverture du risque de contrepartie, puisqu’ilspeuvent engendrer de l’instabilité sur les marchés etcréer de la procyclicité.

Une autre solution se dessine, encouragée par larèglementation. Il s’agit du trading interfacé par leschambres de compensation. Ce moyen de garantircontre le risque de dérive a le vent en poupe : à l’avenirla moitié des transactions devrait être traitée de manièrecentralisée. Est-ce une bonne chose ? Cela n’est pascertain, comme nous en avertit ici Stéphane Crépey.

Editorial

Par Jean-Michel BeaccoDirecteur général de l'Institut Louis Bachelier

Allocation de l’épargne et investissements de long terme

Prochain Numéro Opinions & Débats

Luc ArrondelCNRS-Paris School of Economics - Banque de France

André MassonCNRS-Paris School of Economics - EHESS



Stéphane Crépey

est professeur au département de mathématiques de l'Universitéd'Evry. Ses intérêts de recherche sont le risque de contrepartie, leséquations différentielles stochastiques rétrogrades et la financenumérique. Il est l’auteur de "Financial Modeling: A Backward StochasticDifferential Equations Perspective" (juin 2013, Springer) et de"Counterparty Risk and Funding, a Tale of Two Puzzles" (S. Crépey, T.Bielecki and D. Brigo, printemps 2014, Taylor & Francis).

Stéphane Crépey is professor at the mathematics department ofUniversity of Evry. His research interests are counterparty risk,backward stochastic differential equations and numerical finance. He is the author of "Financial Modeling: A Backward StochasticDifferential Equations Perspective" (June 2013, Springer) and of"Counterparty Risk and Funding, a Tale of Two Puzzles" (S. Crépey, T. Bielecki and D. Brigo, Taylor & Francis, Spring 2014).

BiographieOpinions & Débats N°5


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Résumé

Depuis la crise, un certain nombre d’ajustements sont nécessaires dans la gestion des risques des produitsdérivés de gré-à-gré afin de prendre en compte le risque de contrepartie et les coûts de financement, enparticulier l’ajustement de valorisation du crédit (Credit Valuation Adjustment, CVA), de la dette (Debt

Valuation Adjustment, DVA), et du financement (Funding Valuation Adjustment, FVA). Ces ajustements, qui sont,dans une certaine mesure, interdépendants et doivent être calculés conjointement, font désormais partie desprincipaux enjeux pour les banques. Ils sont au cœur de nombreux domaines : la modélisation, le calcul, latarification, la gestion du risque, la réglementation, l’économie, le droit, le lobbying et la politique, avec des objectifssouvent contradictoires. Les banques doivent ainsi gérer simultanément risque économique, revenus comptableset contraintes réglementaires en termes de capital. La tendance réglementaire actuelle est d’inciter les participantsà traiter via des chambres de compensation, ou à apporter d’importantes garanties en termes de collatéralisation.Cependant, une telle évolution est porteuse de risque de liquidité et de risque systémique.

*Ce travail a été soutenu par le laboratoire Louis Bachelier et la Chaire "Marchés en transition", une initiative commune de l’Ecole Polytechnique, l’Université d’Evry-Val-d’Essonne et la Fédération Bancaire Française.

Clause de non-responsabilitéLes avis exprimés dans cet article sont ceux des auteurs et ne reflètent pas nécessairement ceux de l’Institut Louis Bachelier ouceux du LABEX Louis Bachelier Finance et croissance durable.

XVAA propos des CVA, DVA, FVA et autres ajustements de marché

Stéphane Crépey*Laboratoire de Mathématiques et Modélisation d’Evry,

Université d’Evry-Val-d’Essonne

Juin 2014



La crise mondiale du crédit puis celledes dettes souveraines européennesont mis en exergue la forme native durisque de crédit (pour ne pas dire durisque financier), à savoir le risque decontrepartie. Le risque de contrepartieest le risque de non-paiement suite audéfaut de l’une des parties d’une trans-action de gré-à-gré sur un produitdérivé. Par extension, il s’agit égale-ment de la volatilité du coût quereprésente ce risque, appelé ajuste-ment de valorisation du crédit (CVA). Unaspect important du problème, en parti-culier pour les dérivés de crédit, est lerisque de dépendence adverse (wrong-way risk) entre l’exposition, i.e. lemontant sur lequel porte le risque decontrepartie, et le risque de défaut de lacontrepartie. En outre, dans la mesureoù les banques sont elles-mêmes deve-nues risquées, le risque de contreparties’entend désormais de façon bilatérale(il ne s’agit pas seulement de la CVA,mais aussi de la DVA, ajustement pourtenir compte de son propre risque decrédit ou dette). Dans ce contexte, l’hy-pothèse classique d’un actif sans risqueutilisable pour le financement (prêt ouemprunt) n’est plus vérifiée. Vient doncs’ajouter un nouvel ajustement, celui ducoût du financement (FVA), ou plus spé-cifiquement LVA (composante liquiditéde ce coût, hors spread de crédit déjàpris en compte dans la DVA). Commenous le verrons, il existe un autre ajus-tement, appelé coût de remplacement(RC), correspondant à l’écart entre lavaleur économique du contrat et sonévaluation par le liquidateur au momentdu défaut. Et cette liste n’est pasexhaustive, d’aucuns évoquant désor-mais la KVA, pour ajustement de

valorisation du capital (en référence aucoût en capital de la volatilité de laCVA), ou l’AVA, pour ajustement devalorisation additionnel (en vue d’unevalorisation "prudente", tenant comptedu risque de modèle et des spreads decrédit dont le sien, récemment opposéepar Bâle à la traditionnelle fair value("valorisation juste"). Un nouvel acro-nyme, XVA, a même été introduit afind’évoquer cette liste croissante d’ajus-tements (voir Carver (2013)). Enfin, enaoût 2007 est apparue une dimensionde risque de contrepartie systémique,avec l’émergence de spreads (écarts)entre des quantités qui étaient trèsproches auparavant, comme entre lestaux de swap OIS et les taux LIBOR (làencore une conséquence du risque decontrepartie des banques, mais à unniveau macro-économique). A traverssa relation avec le concept d’escompte,cette composante systémique durisque de contrepartie a impacté l’en-semble des marchés de produitsdérivés. L’ensemble des ajustementscités ci-dessus, qui sont interdépen-dants et doivent être calculésconjointement, font désormais partiedes principales sources de P&L desbanques d’investissement. La tendanceréglementaire actuelle est d’inciter lesparticipants à traiter via des chambresde compensation, ou à apporter d’im-portantes garanties en termes decollatéralisation. Cependant, une telleévolution est porteuse de risque deliquidité et de risque systémique.

Le premier outil de réduction du risquede contrepartie est un contrat de CSA(credit support annex, ou accord ISDA),qui détermine le schéma de valorisation

qui sera appliqué par le liquidateur encas de défaut de l’une des parties, ainsique les règles de "netting" applicablesau portefeuille sous-jacent. Le proces-sus de valorisation CSA sert égalementde référence dans le calcul des appelsde marge, similaires à ceux descontrats futures, à l’exception du faitque le collatéral échangé dans le cadred’un CSA reste la propriété de la partiequi l’a délivré, et qu’il est à ce titrerémunéré. Cependant, le risque dedépendance adverse (voir plus haut), etle risque de dérive de la valeur du por-tefeuille entre le défaut et la liquidation("gap risk") font que ces garanties peuventêtre insuffisantes. La collatéralisation poseégalement des problèmes de liquidité.Aussi ne peut-on se contenter deréduire le risque de contrepartie (via lacollatéralisation), il faut également lecouvrir en termes de risque de défautet/ou marché. Enfin, le portefeuille col-latéralisé et couvert doit être financé, cequi soulève la question controversée durecoupement (double counting) entre laDVA et la FVA.Au sein d’une banque, le netting despositions implique un calcul du risquede contrepartie au niveau portefeuille(ensemble des contrats couverts par unmême CSA, voire, en ce qui concerneles coûts de financement, le portefeuilleglobal de la banque). Par conséquent,la tendance est à la création d’équipesde XVA centrales, chargées d’évaluer etde couvrir le risque de contrepartie (lescoûts de financement sont générale-ment gérés par la trésorerie ou l’ALM dela banque). Un prix "de référence"(mark-to-market) et une couvertureignorant le risque de contrepartie etsupposant que la stratégie est financée

INTRODUCTION


7

au taux sans risque (ou au taux OIS,voir Encadré 7) est d’abord fourni parchaque équipe de trading. L’équipe XVAévalue ensuite le risque de contrepartiedu portefeuille et le transmet aux diffé-rentes équipes de trading aprèsdésallocation et conversion d’unecharge globale en une série de couponsfixes. Le prix ainsi que la couverturefinale d’un produit sont finalement obte-nus comme l’écart entre le prix et lacouverture de référence et les ajuste-ments fournis par l’équipe XVA,intégrant aussi les coûts de finance-ment facturés par l’ALM.

Revue de la littérature

Voici une brève revue d’ouvrages abor-dant le risque de contrepartie et lefinancement1 :

• Le livre de Pykhtin (2005) consiste enune collection d’articles précurseurs surla CVA.

• Le livre de Gregory (2009, 2012)explique clairement les notions essen-tielles de la CVA. Il est particulièrementadapté aux managers ou aux profes-sionnels de la finance qui ont besoind’une présentation générale des fonda-mentaux de la CVA, ainsi que decertains éléments sur le financement,sans entrer dans les détails techniques.

• Le livre de Cesari, Aquilina, Charpillon,Filipovic, Lee et Manda (2010) restesimple quant à la modélisation, maiss’intéresse aux défis informatiques de laconstruction d’un système de CVA ettente de résoudre un certain nombre deproblèmes pratiques rencontrés pour

des portefeuilles de grande taille. Il seconcentre sur la méthode de MonteCarlo dit "américain" (ou des moindrescarrés), appliquée pour la première foisà la CVA dans Brigo et Pallavicini (2007,2008).

•Le livre de Kenyon et Stamm (2012),bien que basique en termes techniques,est original en ce qu’il porte sur desproblèmes actuels et pertinents tels quela modélisation de courbes multiples etles ajustements de valorisation du cré-dit, les effets de liquidation et deréputation (qui dépend de la solvabilitéd’une société et peut donc être utiliséepour la couverture de la DVA). Sontégalement évoqués les coûts de finan-cement, le risque systémique, laréglementation et Bâle 3.

•Le livre de Brigo, Morini et Pallavicini(2013) repose principalement sur lestravaux de Brigo et de ses co-auteursentre 2002 et 2012. Il traite de CVA,DVA, dépendance adverse sur plusieursclasses d’actifs, du collatéral, du risquede dérive, de la liquidation et des coûtsde financement. Une partie finaleaborde la restructuration de la CVA parle biais de CDS contingents (CCDS), destructures par tranches de type CDO,ou de prêt de collatéral.

•Le livre de Crépey, Bielecki et Brigo(2014) met l’accent sur la structure dedépendance mathématique du pro-blème, utilisant des outils classiquesd’analyse stochastique : les EDSR enparticulier, dans la lignée de Crépey(2013), permettent un traitement systé-matique des difficultés liées à la naturerécursive et non-linéaire du coût du

financement ; et les copules dyna-miques afin de concilier les aspects"bottom-up" et "top-down" de l’analysedu risque de contrepartie dans le cadredes dérivés de crédit.

Cet article passe en revue les différentsaspects du risque de contrepartie etdes coûts de financement tels que CVA,DVA, FVA, LVA et RC (Sections 1 à 3), lecollatéral, le risque de dépendanceadverse (Section 4) et les chambres decompensation (Section 5). En parallèle,nous évoquerons sous forme d’enca-drés un certain nombre de questionsannexes telles que valorisation histo-rique versus risque neutre ("P versusQ"), les courbes multiples, et nousintroduirons de façon brève et infor-melle les EDSR. Les encadrés soulignentégalement les principaux messagesvéhiculés dans cet article.

1 Cette revue est principalement tirée du premier chapitre de Crépey, Bielecki et Brigo (2014).



1. L’ajustement devalorisation ducrédit

L’ajustement de valorisation du crédit(CVA) est le prix du risque de contrepartie.Par extension, le risque de contrepartieest également le risque de volatilité dela CVA. En effet, durant la crise financière,seulement un tiers environ des pertesliées au risque de contrepartie a étéattribué à de réels défauts, les deuxautres tiers étant imputable à cettevolatilité (voir Lambe (2011)).

Une dette envers une contrepartie endéfaut est entièrement due au liquidateur(une partie qui ne paierait pas sa detteserait elle-même déclarée en défaut).Ainsi, l’exposition au risque decontrepartie ne représente que la partpositive de la valeur d’un contrat (ouportefeuille). S’ensuit que pour toutcontrat de swap (à l’opposé d’uneposition obligataire par exemple, qui nepeut être que créditrice ou débitrice), laperte associée au risque de contrepartie

présente une caractéristique optionnelle(voir Figure 1) dont il ne peut être renducompte par l’application d’un simplespread (prime) au taux d’escompte (àmoins qu’elle ne soit implicite etstochastique). En outre, en raison dunetting à l’échelle du portefeuille CSA,qui peut comporter des dizaines demilliers de contrats, souvent à traversdifférentes classes d’actifs, la CVAapparaît non seulement comme unproduit dérivé, mais comme un dérivéextrêmement complexe, une sorted’énorme option hybride. Elle estd’ailleurs traitée comme telle par lecontrôle des risques, qui impose deslimites au desk de CVA en termes deVaR et de sensibilités.

Enfin, la CVA revêt deux aspects : l’uncomptable, l’autre réglementaire. Suiteaux évolutions réglementaires de cesdernières années, IFRS 13 autorise lesbanques à prendre en compte les pertesde CVA et les gains de DVA, alors quedans la mesure où la DVA ne sert pasde tampon en cas de défaut, Bâle 3 nereconnaît que la CVA dans le calcul desbesoins en capital. Ceci est énoncécomme suit au paragraphe 75 du Comitéde Bâle sur la Supervision Bancaire (2013):

"Décomptabiliser du calcul des actionsordinaires de première catégorie tousles gains et pertes non réalisés issus dechangements dans la "juste valeur" desdettes dus à des variations dans lerisque de crédit propre à la banque."(voir également le Comité de Bâle sur laSupervision Bancaire (2012) pour unargumentaire détaillé).

1.1 Flux financiers

La CVA n’est pas un objet aux contoursparfaitement définis. Le pay-off de"l’option" correspondante est, pour par-tie, sujet à interprétation. En effet, en cequi concerne le processus d’évaluationdu CSA, les documents de l’ISDA utili-sent une formulation en termes de"valeur de remplacement" laissantouvertes plusieurs possibilités, notam-ment une valorisation sans risque dedéfaut ou par substitution, où le termede "substitution" n’est pas non plusdéterminé : signifie-t-il de ne prendre encompte que le risque de défaut de lapartie restante, ou faut-il supposer uncontrat entre la partie restante et unenouvelle partie "similaire en tous points"(risque de crédit inclus) à la partie ayant

Figure 1

Processus de taux court correspondant à une structure par termes croissante des taux d’intérêts (à droite) etprocessus de prix de référence correspondant d’un swap payeur (à gauche). Les paramètres sont définis de sorteque la patte fixe du swap soit égale à 100 € à l’origine. Chaque échantillon présente vingt trajectoires simulées surune période de 10 ans discrétisée par 200 points de temps, ainsi que la moyenne et les quantiles 2.5% et 97.5% (enfonction du temps, courbes noires) calculés sur m=104 trajectoires simulées (voir Crépey, Gerboud, Grbac et Ngor(2013)). On remarque sur le graphique de gauche que la valeur du swap peut prendre des valeurs positives ounégatives selon la date et les scénarios de marché, avec une tendance positive en raison de la structure par termescroissante des taux d’intérêts visible sur le graphique de droite.


9

fait défaut ? Dans ce dernier cas, com-ment déterminer le risque de crédit decette dernière : a-t-on en tête son risquede crédit juste avant son défaut ? Maisque signifie exactement "juste avantson défaut" ? Une alternative évoquéedans Brigo, Buescu et Morini (2012) estun processus d’évaluation du CSAtenant compte d’une DVA univariée dela partie restante. Une approche semblecohérente avec les indications sui-vantes du Protocole de ValeurLiquidative de l’ISDA (2009):

"L’entité en charge du calcul de laValeur Liquidative peut prendre enconsidération tout élément pertinent,incluant, sans limitation, l’une ou plu-sieurs des informations suivantes : (i) lesprix (exacts ou indicatifs) de transac-tions de remplacement fournis par unou plusieurs tiers, qui peuvent intégrerla solvabilité de l’entité au moment où leprix est donné."

Quoi qu’il en soit, l’écart entre la valori-sation du contrat avant le défaut et lavaleur du CSA au moment du défaut faitapparaître un ajustement du risque decontrepartie que nous appelons coût deremplacement (RC).

L’une des façons de résoudre ces diffi-cultés serait la standardisation, maiscelle-ci est difficilement envisageableen raison de la complexité du sujet.L’on pourrait également créer desindices CVA, mais leur mise en place

serait délicate, et les expériences deBear Sterns et Lehman en ce quiconcerne les tranches de CDO surmesure n’encouragent pas en ce sens.

L’autre solution concernant la CVA (et laDVA), celle qui a actuellement la faveurdes politiques et régulateurs, est l’im-munisation à travers des mécanismesde compensation et schémas de colla-téralisation très conservateurs (voir lessections 4 et 5). Mais, du moins pourcertains produits, cette solution ne peutêtre complètement efficace (voir la table3 de la section 4). En outre, elle repré-sente un coût important pour lesbanques (et donc, in fine, pour lesclients finaux).

1.2 Modèles

Outre le "risque de pay-off" présenté ci-dessus, la CVA présente également unrisque de modèle important.

D’abord, le choix d’une mesure histo-rique ou risque-neutre pour les calculsde CVA n’est pas clairement défini.Celui-ci dépend tout d’abord du cadredans lequel on se place, selon qu’ils’agit de faire un calcul de prix ou debesoins en capital. Mais, même dans lecas d’un calcul de prix, en principesous une mesure risque-neutre, lasituation n’est pas si claire. En effet, uneapproche risque-neutre n’est justifiée

que dans un marché financier parfait,sans friction. En ce qui concerne lesproduits dérivés, elle n’est valable quedans le cas d’un produit réplicable, ouen tout cas suffisamment liquide. Dansle cas contraire, il faut prendre encompte une prime de risque. Mais,dans le cas d’une CVA (et d’autant pluspour une DVA comme nous le verronsdans la section 2.1), le marché est par-ticulièrement incomplet. Certains partisansde l’approche risque-neutre soutiennentque celle-ci peut aussi être légitiméesur la base de considérations de typeéquilibre économique, mais là encore,certains écueils demeurent.

Lors de l’apparition de la CVA, d’aucunsont tenté d’adopter une méthodologiehybride, visant à valoriser en historiqueles risques non couverts, et en risque-neutre les risques couverts. Une telleapproche est cependant difficile à implé-menter et aboutit généralement à dessolutions ad-hoc, voire incohérentes.Lors de l’apparition de la CVA, d’aucunsont tenté d’adopter une méthodologiehybride, visant à valoriser en historiqueles risques non couverts, et en risque-neutre les risques couverts. Une telleapproche est cependant difficile à implé-menter et aboutit généralement à dessolutions ad-hoc, voire incohérentes.

L’une des difficultés majeures et non résolue soulevée par la modélisation du risque de contrepartie est le choix de lamesure de probabilité à utiliser, historique ou risque-neutre.

Il existe deux points de vue sur l’approche risque-neutre. Le premier repose sur des arguments de couverture, et considèrela mesure risque-neutre comme un outil d’interprétation. Il s’agit alors d’une mesure risque-neutre "locale", associée à unproduit donnée (ou à plusieurs produits considérés conjointement dans le cadre d’une même stratégie de trading). Danscette optique, de nombreuses mesures risque-neutre peuvent coexister sur différents segments de marché. Comme il n’esten général pas possible de couvrir son propre risque de défaut, une valorisation risque-neutre du risque de contrepartie nese justifie pas dans une telle approche.

Cependant, un autre point de vue, plus généralement applicable et de portée globale (une seule mesure pour l’ensemble dumarché), permet de justifier une approche risque-neutre. Cette alternative s’appuie sur une analyse d’équilibre économiquede type CPAM (voir Cochrane (2005) et les débats sur la CVA, la DVA, et la FVA dans Hull et White (2013a, 2013b), ouBurgard et Kjaer (2012)). On est ici dans une logique d’optimisation et de prix d’indifférence. Mais une telle approche estmieux adaptée à la modélisation de prix de marché définis par l’offre et la demande qu’à la valorisation économique, laprise de décision par les traders ou la couverture. En outre, le prix associé reflète la notion d’utilité marginale, ce quisuppose implicitement (comme dans la première approche) que la part non couverte de la position est "petite" relativementà la part couverte. Enfin, à moins que l’on ne recoure à des notions dynamiques de prix d’indifférence (voir Musiela etZariphopoulou (2011) et El Karoui et Mrad (2010)), la mesure de probabilité risque-neutre en résultant dépend d’un horizontemporel (maturité du produit considéré), ce qui est peu satisfaisant.

Encadré 1 “� versus �”2

2 Nous remercions Nicole El Karoui (Université Paris 6) pour la discussion que nous avons eue avec elle sur ce sujet.



Ensuite, la CVA est très sensible à cer-tains paramètres non observables ounon valorisés de manière liquide par lemarché, comme les corrélations (entre lecrédit et les taux d’intérêt par exemple).Aussi ces paramètres ne peuvent-ils pasêtre calibrés, mais seulement ajustés àdes "vues" du trader, économiques ouautres. En outre, les corrélations sontdes quantités instables, en particulieren période de crise. Ceci nous ramèneau risque de dépendance adverse (enparticulier pour le risque de contrepartiesur produits dérivés de crédit) entre leniveau d’exposition et le risque de cré-dit des parties (voir section 4.1). En prin-cipe, le risque opposé, de dépendance‘favorable’, n’est d’ailleurs pas vraimentpréférable, un desk de CVA n’ayant pasvocation à réaliser des profits mais plu-tôt à couvrir ses risques.

Enfin, étant donnés les mécanismes denetting entre les contrats, les calculs deCVA supposent une modélisation glo-bale cohérente à travers les différentesclasses d’actifs. Le caractère optionnelde la CVA implique également unemodélisation dynamique. S’ajoutent àcela les aspects change et les optiona-lités de livraison du collatéral lorsquecelui-ci peut être fourni dans différentesdevises, en particulier pour les dérivésde change (voir Fujii et Takahashi (2011),Piterbarg (2012) et la section 4.1). Ilserait également souhaitable d’intégreraux modèles de CVA la dimension durisque systémique.

Tout ceci suppose le recours à des mo-dèles dynamiques avancés pour l’en-semble des facteurs de risques, dontles risques de crédit des diversescontreparties. Par ailleurs, d’impor-tantes difficultés mathématiques appa-raissent dès lors que l’on reconsidèreles fondements théoriques de l’ap-proche d’ingénierie financière décrite ci-dessus : problématiques de marchéstrès incomplets, de maximisation d’uti-lité en horizon aléatoire, de coûts non-li-néaires, d’information imparfaite, etc.

1.3 Calcul

Les calculs de CVA (et aussi des quan-tités jointes DVA, FVA etc.) représententà l’heure actuelle la tâche de calcul laplus lourde au sein de la banque d’in-vestissement :

• Ils supposent la valorisation de l’ordred’un million de transactions selon unmillier de scenarios sur une centaine depoints dans le temps – soit une centainede milliards de valorisations, encore àmultiplier par le nombre de grecs liés à lacouverture !

• Ils nécessitent des modèles dynamiquescohérents à travers différentes classesd’actifs.

• Il ne s’agit pas seulement de calculsd’espérances risque-neutres néces-saires pour la valorisation et la gestiondes risques, mais aussi de la détermina-tion de quantiles historiques et d’autresmesures de risque à des fins réglemen-taires, et de la cohérence entre les deux.

• Ils portent sur de très longs horizonsde temps, de l’ordre de vingt ou trenteans, sur lesquels toutes tentative de"linéarisation" ou "passage à l’échelle"est problématique. Par exemple, lesapproches standards qui permettent decalculer une VaR 10 jours (plus lourdeen principe) comme une VaR journalière(plus simple) multipliée par √10, ne sontpas licites à de telles échelles de temps,pour lesquelles il ne s’agit pas d’ailleurspas seulement d’horizon de temps,mais aussi de vie des portefeuilles, cer-tains produits arrivant à expiration,d’autres étant modifiés, etc. Les simu-lations sur de tels horizons de tempsinterdisent également l’utilisation demodèles standards (comme les martin-gales lognormales), qui divergent àcette échelle, et requièrent des tech-niques spécifiques afin de pallier aumanque de données de calibration au-delà de quelques années et d’éviter queles données disponibles ne soient utili-sées hors de leur domaine de validité(par exemple, prétendre déduire uncomportement à 30 ans des taux à par-tir de prix de marché à 10 ans n’a pasde sens ; comme l’explique Sokol(2013), mieux vaut alors s’en remettre àdes considérations ou "vues" de natureplus économique).

En définitive, la CVA et les autres ajus-tements que nous évoquerons plus basreprésentent un défi de calcul sans pré-cédent pour la banque d’investissement.Une valorisation par Monte Carlo estincontournable, et la nature de la CVA,proche d’une option composée (sur lavaleur future de produits dérivés), ainsique sa multi-dimensionnalité, requièrentdes programmes intensifs de simula-tion, voire de simulation/régression (ou"Monte Carlo américain", cf. Cesari,Aquilina, Charpillon, Filipovic Lee etMada (2010) et Crépey (2013)). Ceci dit,les technologies parallèles multi-cœuractuelles (GCP, voir Albanese, Bellaj,Gimonet et Pietronero (2011)) permet-tent globalement de faire face à de telsdéfis. Des calculs incrémentaux inter-médiaires sont également nécessaires,afin d’évaluer la rentabilité d’une nou-velle transaction, et ceux-ci peuventgénéralement être faits en moins d’uneminute sur un ordinateur individuel.

1.4 Gestion du risque

La couverture de la CVA n’est possibleque pour les contreparties bénéficiantd’un marché de CDS liquide, ce quin’est au mieux le cas que pour desmaturités de 3 et 5 ans, alors que l’hori-zon de la CVA, plus de vingt ans,requerrait l’ensemble des maturités desCDS. De plus, les instruments de cou-verture de la CVA doivent être peusensibles au risque de contrepartie,donc collatéralisés, ce qui peut être lecas pour les CDS, mais pas pour lesswaptions que l’on pourrait par exem-ple envisager d’utiliser pour couvrir lerisque de taux d’intérêt de la CVA.

Dans la formule des besoins en capitalde Bâle 3, le risque de défaut est pris encompte à travers les spreads de CDS,et non pas en termes de ratings oud’analyse fondamentale. Cela incite lesbanques à gérer dynamiquement laCVA via des contrats de CDS. Lesmécanismes de couverture de la CVApeuvent ainsi altérer la stabilité desmarchés et générer de la pro-cyclicité.Lors de la crise de la dette européenne,la couverture de la CVA par les banquesa été montrée du doigt comme un fac-teur de pression important sur lesmarchés de CDS souverains.


11

2. Risque decontrepartiebilatéral et coûtsde financementnon-linéaires

Les banques étant elles-mêmes ris-quées depuis la crise, deux termessupplémentaires, qui se recoupent par-tiellement, doivent être pris en compte :l’ajustement de valorisation pour tenircompte du risque de crédit de labanque et l’ajustement de valorisationdu coût de son financement.

2.1 L’ajustement de valorisationde la dette

Dans un cadre d’un risque de contre-partie bilatéral, la CVA se double de laDVA (l’ajustement de valorisation de ladette), qui correspond à la CVA de labanque d’après sa contrepartie. Suiteaux recommandations de l’IFRS I3 cesdernières années, il est devenu possiblepour les banques d’intégrer les gains enDVA dans leurs résultats (voir lesnormes comptables financières 157 etles normes comptables internationales39), ce qu’elles pratiquent couramment(voir, par exemple, Moyer et Burne(2011)).

Cependant, la DVA soulève des ques-tions importantes. En particulier, couvrirsa DVA signifierait vendre de la protec-tion par rapport à son propre risque decrédit, ce qui est soit impossible (quil’achèterait), soit la dernière chose àfaire étant donné le risque de dépen-dance adverse associé. Sauf danscertains cas très spécifiques (par exem-ple si l’on est en situation de racheterdes obligations qu’on aurait préalable-ment émises), la seule chose que l’onpuisse faire est de couvrir, par des posi-tions sur des pairs, la composantesystémique de son spread de crédit(approche pratiquée Goldman Sachsselon Moyer et Burne (2011)). Mais,comme toute couverture basée sur descorrélations, une telle stratégie peut s’avé-rer très dangereuse en cas de scénarios

adverses (de non seulement dégrada-tion, mais de défaut effectif d’un pair).

L’on voit parfois affirmer que la DVA estune 'couverture naturelle' d’autresrisques, en ce qu’elle est contra-cyclique. Mais, à nouveau, cela n’estvrai que de sa composante spread, desorte que la couverture de la DVA(risque de saut au défaut en particulier)est, in fine, loin d’être évidente ; et qu’ilest par conséquent ardu de la monéti-ser (réaliser le profit correspondantavant de faire défaut). Si cela ne peutêtre fait, les gains en DVA n’existent quesur le papier (et représentent par ailleursune perte effective via les taxes qui leursont appliquées). De ce point de vue, larecommandation d’IFRS 13 concernantla DVA peut sembler issue du lobbyingdes banques, dans la mesure où laprise en compte de gains de DVA dansles environnements de spreads de cré-dit élevés et volatiles est d’un enjeuconsidérable pour elles. A l’inverse, ilfaut reconnaître que ne pas inclure laDVA dans les résultats soumettrait lesbanques à une énorme pression enaccroissant la volatilité de leur P&L – unrésultat mensuel passant de 600 M€ à500 M€ est un scénario banal dans lecadre d’une CVA unilatérale dont lescoûts ne peuvent être compensés pardes gains en DVA, banal mais dévasta-teur pour une banque si les 100 millionsde différence sont vraiment considéréscomme une perte. Rappelons que IFRS13 tolère ou autorise la prise en comptedes gains en DVA par les banques, sansobligation, et que l’esprit de la recom-mandation est la prédominance d’unerègle prudentielle globale. Cependant,et c’est l’un des effets pervers du sys-tème, la concurrence tend à faire detelles tolérances une obligation.

L’argumentaire ci-dessus concernait lacouverture, mais, tout comme la cou-verture de la DVA implique la vented’une protection contre son propredéfaut, la valorisation de la DVAimplique l’achat d’une protection contreson propre défaut. Le principe peut ensembler également absurde, c’est pour-tant bien ce qui se passe lors de toutetransaction à un prix incluant une DVA.Le modèle commercial lié à la DVA estl’acceptation d’une perte tant que l’onest en vie, dans l’attente d’une com-pensation lorsque l’on fait défaut – enun sens, une incitation au défaut !

Enfin, dans la mesure où les régulateursexaminent les pertes et non les gains, lesexigences en capital de Bâle 3 ne tien-nent pas compte du pendant négatif dela CVA, c’est-à-dire de la DVA (voir la findu paragraphe introductif de la section 1).La différence entre, d’une part, des règlescomptables autorisant CVA et DVA, et,d’autre part, des calculs de capital neconsidérant que la CVA, fait sens auregard de motivations divergentes, maiselle rend la tâche des banques difficile, etce alors même qu’elles doivent en pre-mier lieu gérer leur CVA économique,c’est-à-dire le coût de couvrir leur risquede contrepartie – le résultat comptableétant sans doute l’enjeu le plus pressantpour les banques, comme nous l’avonsvu précédemment.

2.2 Ajustement de valorisationpour tenir compte du coût dufinancement

Bien qu’il n’y ait pas de cadre régle-mentaire sur ce point, il est crucial pourune banque d’avoir une vision claire deses coûts de financement, en vued’avoir une appréciation juste de sonP&L, en particulier sur le long terme.Nous évoquerons désormais ces coûtsde financement par l’acronyme FVA (ouLVA pour sa composante liquidité nettede spread de crédit ; voir section 3).L’une des raisons pour lesquelles il n’ya pas de cadre réglementaire pour laFVA est un principe comptable fonda-mental, qui veut que ne soient reconnusau plan comptable que les passifs (ouactifs) effectivement détenus, par oppo-sition à prévus. Une banque serefinançant à court-terme pour financerdes investissements long-terme, lepoint de vue comptable ne tient pascompte des remboursements du passifqui devront avoir lieu tout au long del’investissement. Cependant, les coûtsde financement associés s’accumulentau fil des années et modifient la struc-ture du P&L.

Or, dans le cadre d’un risque de contre-partie bilatéral où la banque peut elle-même faire défaut, l’hypothèse clas-sique d’un actif sans risque utilisé par labanque pour se financer, au prêtcomme à l’emprunt, n’est plus vérifiée.L’invalidation de cette hypothèse com-plique grandement le problème de


valorisation, en raison du caractèrerécursif et non-linéaire des coûts definancement (voir l’Encadré 2 et Crépey(2011, 2012a, 2012b) ou Pallavicini,Perini et Brigo (2011, 2012)). En résumé,les flux issus du financement sont à toutinstant proportionnels à la dette de labanque, qui dépend elle-même desavoirs de la banque à cet instant, ycompris son portefeuille de couverture(l’opposé de la valeur du portefeuillecouvert, si la réplication est correcte).Dans la mesure où le prix initial ducontrat est une anticipation de ses fluxfuturs, dont ses flux de financement, leprix initial du contrat dépend alors desprix futurs. Si la banque est sans risqueet a accès aux mêmes taux de prêt etd’emprunt non garantis, alors cettedépendance est linéaire et on peut s’endéfaire en introduisant un facteur d’es-

compte au taux sans risque et obtenirune formule explicite pour le prix initial.A l’inverse, si la banque présente unrisque de défaut (et/ou en raisond’éventuels problèmes de liquidité), sontaux d’emprunt non garanti sera plusélevé que (du moins, différent de) sontaux de prêt (par souci de simplification,nous supposons que l’émetteur du prêtnon garanti pour la banque est sansrisque). Par conséquent, la dépendancementionnée ci-dessus est non-linéaire(voir l’exemple 1.1 dans El Karoui, Penget Quenez (1997)), il n’est alors plus pos-sible de rendre explicite la formulerécursive en actualisant (à moins que lecontrat ne soit toujours du même côté dela monnaie, comme pour une obligation,auquel cas l’on y parvient en introdui-sant un facteur d’escompte ajusté durisque de crédit). Le risque de contre-

partie bilatéral et les questions de finan-cement associés entraînent ainsi desrègles de valorisation récursives (ouimplicites), non-linéaires. D’un point devue mathématique, l’outil approprié estla théorie des équations différentiellesstochastiques rétrogrades (EDSR, voirl’Encadré 3).

Les EDSR étant par essence des outilsde valorisation non-linéaires, elles peu-vent également intégrer d’autres non-linéarités (autres que la FVA) qui seraientprésentes dans le problème (voir parexemple la spécification e. de la CSAdans l’équation (7)). De plus, les schémasnumérique par simulation/ régression detype "Monte Carlo américain", déjà évo-qués pour faire face aux problématiquesde grande dimension qui se posent dansle cadre de la CVA, s’étendent aux EDSR(voir la section 3.2 et l’Encadré 9).

Les équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) sont une alternative aux équations différentielles partielles(PDE) pour décrire les prix des produits financiers dérivés ainsi que leurs grecs. Les EDSR sont un outil mathématiqueflexible et puissant. Elles fournissent également un cadre pédagogique efficace pour la présentation de la théorie devalorisation et de la couverture des produits dérivés. Enfin, les EDSR sont utiles pour la résolution numérique desproblèmes de valorisation non-linéaires en grande dimension, comme l’on en trouve dans les calculs de XVA.

Le terme "rétrograde" provient du fait que ces équations sont définies en termes d’une condition terminale (une variablealéatoire), ξ, à une date de maturité future T. Les EDSR furent introduites pour la première fois par Bismut (1973) dans lecas d’une dynamique linéaire, puis plus généralement par Pardoux et Peng (1990). Depuis lors, elles ont été abondammentétudiées, en particulier dans le cadre des mathématiques financières (voir El Karoui, Peng, et Quenez (1997) pour un articlefondateur et Crépey (2013) ou Delong (2013) pour deux livres récents). La solution d’une EDSR est un couple de processus(Π, Δ), où Π correspond au prix d’un instrument financier dérivé, et Δ à sa couverture. Dans le cas le plus simple, unesolution à une équation différentielle stochastique rétrograde s’obtient par un théorème de représentation de martingales.Cependant, la théorie des équations différentielles stochastiques rétrogrades à proprement parler commence avec laprésence dans l’équation d’un coefficient implicite g = gt(Πt, Δt) (correspondant au "coût" dans un problème de contrôle).Si g est non-linéaire, comme dans le cas du problème de financement, une itération de Picard et un argument decontraction sont nécessaires, en sus d’un théorème de représentation de martingales, pour résoudre l’EDSR.

Encadré 3 Equations différentielles stochastiques rétrogrades

La CVA est non-linéaire en ce que son payoff (exposition au moment du défaut) correspond à la partie positive de la valeurmarché (en supposant qu’il n’y a pas de collatéralisation). C’est pourquoi la CVA doit être vue comme une option quiconfère même aux produits de flux les plus simples une dimension dynamique.

La prise en compte de la FVA introduit une non-linéarité au sens où, comme l’explique la section 2.2, si l’on inclut la FVA, lavaleur initiale d’un contrat (ou d’un portefeuille) dépend non-linéairement de ses valeurs futures. Il ne s’agit alors nonseulement d’un payoff non-linéaire (condition au bord " à maturité ", ou au moment du défaut de la contrepartie dans le casde la CVA), mais plus généralement d’une équation non-linéaire.

Si l’équation est linéaire, un payoff, même non-linéaire, peut être valorisé par une boucle de Monte Carlo classique (commedans le cas pour la CVA). Cependant, une équation non-linéaire, comme pour la FVA, ne peut s’appréhender que par desschémas numériques plus élaborés, tels que simulation/régression (voir Cesari, Aquilina, Charpillon, Filipovic, Lee et Mancha(2010), Crépey (2013)) expansions (voir Fujii et Takahashi (2012)) ou particules branchantes (voir Henry-Labordère (2012)).

Encadré 2 Effets non-linéaires



13

La crise des subprimes de 2007 a généré une divergence durable entre les marchés de dérivés Libor de différentes maturi-tés et le marché des swaps sur taux OIS. Les explications généralement avancées des spreads qui en résultent mentionnentun effet combiné de risque de crédit et de risque de liquidité des banques. Cependant, dans la littérature, la notion de liqui-dité est souvent imprécise, ou simplement définie comme le spread résiduel après retrait de la composante crédit. Crépey etDouady (2013) proposent un modèle de valorisation par indifférence dans lequel le spread Libor-OIS (LOIS dans Bloomberg)est la résultante :

•D’une part, d’une composante "crédit" déterminée par la pente de la courbe de crédit d’un membre représentatif du Libor(jouant le rôle de l’ "emprunteur" dans un prêt interbancaire) ;

•De l’autre, d’une composante "liquidité" correspondant à la volatilité de l’écart entre le taux de financement d’un membrereprésentatif du Libor (jouant le rôle du "prêteur") et le taux OIS.

La composante "crédit" est ainsi, en réalité, une composante de "pente" de la courbe de crédit (en lien avec le mécanismede renouvellement du panel de banques constitutives du Libor). La notion de liquidité apparaît comme la valeur del’optionalité d’ajuster au cours du temps le montant d’un prêt à un jour reconductible, contrairement à un prêt d’un montantfixe jusqu’à la maturité côté Libor (optionalité quantifiée grâce à la volatilité mentionnée ci-dessus). Lorsque le taux definancement du prêteur et le taux interbancaire à un jour sont égaux en moyenne, l’on obtient, sous des hypothèses dediffusion, une structure par termes en racine carrée de la maturité du LOIS. Sur le marché de l’euro étudié entre mi-2007 etmi-2012 dans Crépey et Douady (2013), on observe bien une structure par termes en racine carrée, cohérente avecl’analyse théorique (voir la Figure 3), avec un LOIS expliqué à parts égales par la composante "crédit" et la composante"liquidité" jusqu’à début 2009, puis principalement par la composante " liquidité " (voir la Figure 4).

Encadré 4 Les déterminants du LOIS

La complexité du problème de la FVApeut expliquer pourquoi il n’existe pas,à ce jour, de méthodologie standard ausein des banques à ce sujet (voir Carver

(2012) et Cameron (2013)). Ceci dit, au-delà des difficultés techniques (mathé-matiques et informatiques), la FVA sou-lève des questions financières importantes.

Dans le passé, une banque utilisait untaux de financement Libor, abordable etprincipalement sans risque, et en réper-cutait la charge à son client. Durant lacrise, avec l’explosion du spread Libor-OIS (un autre effet du risque de contre-partie des banques, mais à l’échelle ma-croéconomique : voir la Figure 2 etl’Encadré 4), ce coût supplémentaire estdevenu problématique.

En principe, un taux de financementplus élevé compense un risque de cré-dit et/ou des coûts de liquidité plusimportants. Si l’on s’en remet à uneexplication 'crédit' du spread de finan-cement (écart entre le taux definancement d’une banque et les tauxOIS), et autant qu’un bénéfice lors deson propre défaut mérite réellementd’être pris en compte, une charge deFVA imputée par la banque à son clientn’est pas justifiée, puisque la FVAreprésente simplement la valeur pré-sente pour la banque de ce bénéficefutur. Dans cette optique (qui restecependant sujette au même problème de "valeur sur le papier" que la DVA entant que bénéfice lors de son propredéfaut), une transaction est intéressantedès lors que les revenus que la banqueen attend sont plus élevés que son coût

Divergence entre taux Euribor et taux de swap EONIA : l’écart se creuse soudainement, le 6 août 2007, entre les deux taux àtrois mois.

Figure 2



Le 16 avril 2012. En haut : structure par termes des taux Euribor ettaux de swap EONIA (T=1 à 12 mois).En bas : structure par termes en racine carrée du LOIS.

Figure 3

Séries temporelles de la composante "crédit" du LOIS (rouge) et de lacomposante "liquidité" du LOIS 3 mois (bleu) et 6 mois (violet), en %,entre le 15 août 2007 et le 16 avril 2012 (voir Crépey et Douady (2013)).

Figure 4

Avec en filigrane le théorèmeModigliani-Miller, qui établit que,sous certaines conditions, la valeurd’un projet ne dépend pas de lafaçon dont il est financé, Hull etWhite (2013a) ont argué que lesbanques ne devaient pas prendre encompte la FVA, initiant le "débat surla FVA". Cependant, Morini (2013) aexpliqué comment le raisonnementde Hull et White (2013a)

" revient à dire que, si les troishypothèses suivantes sont vérifiées,il n’y a pas de FVA :

1. Le marché est efficient à chaqueinstant : ce n’est pas le cas enréalité des marchés de financement,bien que cette hypothèse soittoujours indirectement utilisée dansles valorisations ;

2. Le financement d’une transactionne se fait qu’après que le marché enait été informé : cela peut être vrailorsque le projet est financé à court-terme et de façon reconductible,mais la gestion prudentiellecomporte souvent une part definancement à maturité ;

3. L’effet d’une nouvelle transactionsur les coûts de financement d’unebanque est linéaire : (…) sous deshypothèses relativement réalistes,cet effet est en fait hautement non-linéaire.

(…) Hull et White ont le mérite desouligner le fait que la FVA est unedistorsion par rapport à un marchéefficient (…) Cependant, dans la si-tuation de marché actuelle, un gé-rant qui souhaite continuer son acti-vité doit prendre en compte la FVA."

Encadré 5 Le débat sur la FVA


15

de financement de la banque net deson spread de crédit ; et répercuter latotalité de la FVA au client relève dudouble comptage. En d’autres termes,l’ajustement de valorisation du finance-ment imputé par la banque au client nedevrait pas représenter le coût de finan-cement total, mais seulement sacomposante "liquidité", nette du spreadde crédit de la banque ; il devrait doncêtre une LVA (coût de la liquidité dufinancement) plutôt qu’une FVA inté-grale (crédit et liquidité). Avec l’articlede Hull et White (2013a) (voir égalementBurgard et Kjaer (2012)), les débats surce sujet sont devenus plus passionnésencore que ceux de 2011 et 2012 sur laDVA (voir l’Encadré 5).

Etant données les difficultés rencon-trées pendant la crise en termes deliquidité, le financement a parfois été laprincipale motivation d’une transaction,permettant à une banque de se financerau taux OIS (le taux de rémunérationusuel du collatéral) pour une transactionentièrement collatéralisée, plutôt qu’à untaux beaucoup plus élevé dans le cadred’une transaction non collatéralisée. Le financement ne devrait pas être lamotivation première d’une banque dansune transaction, mais l’on peut dire quele financement devrait être un argumentpour refuser une transaction qui pour-rait s’avérer avantageuse si l’on ne leprenait pas en compte. A nouveau, lefinancement peut, à long-terme, dégra-der le P&L d’une transaction qui sembleintéressante à plus court-terme.

3. CVA, DVA, LVA,RC : les quatrepiliers de la TVA

Nous reprenons ici en termes mathéma-tiques les développements des partiesprécédentes et nous les illustrons numé-riquement. Nous étudions une situationsimplifiée dans laquelle une banque ris-quée fait face à une seule contrepartierisquée. En réalité, une banque doitgérer des centaines voire des milliers deportefeuilles agrégés et de contreparties,dont tous les crédits devraient êtremodélisés conjointement, si l’on veutappréhender correctement les flux definancement qui sont agrégés à l’échelledu portefeuille global de la banque.

3.1 Equation de la TVA

Comme expliqué précédemment, dif-férents ajustements de valorisationinterdépendants, ou XVA, doivent êtrecalculés en sus d’un prix de référence Pafin de prendre en compte le risque decontrepartie et les coûts de finance-ment. Nous renvoyons à la section 3 dulivre de Crépey, Bielecki et Brigo (2014)pour une présentation détaillée. Rap-pelons simplement que l’ajustementagrégé, nommé TVA pour ajustementde valorisation total, peut être vucomme le prix d’une option sur le prixde référence P à l’instant du premierdéfaut τ de l’une des parties. De plus,cette option paie des dividendes quicorrespondent aux coûts de finance-ment (en excédent par rapport au tauxOIS rt). Plus précisément, pour un CSAde maturité T, l’équation de la TVAprend la forme suivante, sous unemesure de valorisation risque-neutre �:

où Θt et ft(ϑ) représentent respective-ment le processus de TVA que l’oncherche et le coefficient qui la génère.Notons que (1) est une équation diffé-rentielle stochastique rétrograde (EDSR)en le processus de TVA Θ voir l’Encadré3). Le prix 'tout-compris' pour la banque(coût de la couverture correspondante,

risque de contrepartie et coût dufinancement inclus) est Π = P − Θ

Le coefficient f de l’EDSR (1) vérifie,pour tout réel ϑ (représentant la TVA Θtque l’on cherche dans l’interprétationprobabiliste) :

où

•�tb, ��t

c, et �t sont les intensités dedéfaut de la banque, de sa contrepartieet l’intensité de leur premier instant dedéfaut (dans un modèle où la banque etsa contrepartie peuvent faire défaut aumême moment, ��t est plus faible que��t

b+ �tc ),

•Rb et Rc sont les taux de recouvre-ment de la banque envers sa contrepartieet réciproquement,

•Qt est la valeur du contrat selon leschéma utilisé par le liquidateur en casde défaut à un instant t < T, par exempleQt = Pt (formule qui sera désormais utilisée,sauf mention contraire), ou Qt = Pt − �Θt ,

•�t = �t+- �t

-, où �t+ (respectivement,

�t- ) représente la valeur du collatéral

fourni à la banque par sa contrepartie(respectivement, à la contrepartie par labanque), par exemple, �t = 0 (formulequi sera désormais utilisée, sauf men-tion contraire) ou �t = Qt ,

•bt et bt sont les écarts au taux courtOIS (sans risque) rt pour la rémunérationdu collatéral �t

+ et �t- fourni par la

contrepartie et par la banque,

•�t (respectivement, �t) est le spread deliquidité du financement par rapport autaux court OIS rt correspondant à larémunération du prêt (respectivement,de la dette) de financement externe dela banque. Par "spread de liquidité dufinancement" on entend le spread definancement net de sa composante crédit,c’est-à-dire :

-

�(1)

DVA coefficient (dvat)

CVA coefficient (cvat)

LVA coefficient (lvat)

RC coefficient (rct)

(2)



où λt est le spread emprunteur de labanque et Rb représente son taux derecouvrement vis-à-vis de son prêteurnon garanti. Rappelons que le prêteurnon garanti est supposé sans risque desorte que λt ne comporte pas de risquede crédit.

Les données Qt, �t , bt and bt sontspécifiées dans le contrat CSA qui unitles deux parties. Notons que la présentation ci-dessuscorrespond à une modélisation dite "àforme réduite" (ou "pré-défaut"), sousl’hypothèse d’immersion d’une sous-filtration "de référence" � dans la filtration� du modèle. D’un point de vuefinancier, l’hypothèse d’immersion estune hypothèse de dépendance faible ou

indirecte entre le risque de contrepartieet l’exposition du contrat. Pour plus dedétails, le lecteur est invité à consulterla remarque 2.1 dans Crépey (2012b)ainsi que Crépey et Song (2014). Danscet article, nous ne travaillerons qu’avecdes valeurs pré-défaut (c’est la raisonpour laquelle les temps de défaut desparties ne sont représentés que par lesintensités �t

c , �tb and ��t dans les

équations précédentes).

(3)-

--

Dans le cas où � = Q = Π, où Π = P � Θ, l’équation (2) entraîne :

Le coefficient se réduit alors à la rémunération du collatéral, échangée entre les deux parties. Le prix de la banque, Π, estalors égal au prix de la contrepartie (le coût de sa propre couverture), disons Π, tel que � = Q = Π = Π. Le contrat peut alorsêtre qualifié d’entièrement collatéralisé. Cependant, si b or b � 0, il reste une part de TVA. Seul le cas particulier b = b = 0(cas où rt est un taux d’intérêt de rémunération symétrique du collatéral, typiquement le taux OIS) permet d’obtenir Θ = 0 etΠ = P = � = Q = Π. Il n’est alors plus nécessaire de valoriser ni de couvrir la TVA (qui est nulle). Le problème se réduit aucalcul du prix de référence P et de la couverture associée.

Encadré 7 CSA entièrement collatéralisé

D’après les équations (1) et (2), la valeur de la TVA à l’instant 0 peut s’écrire de la façon suivante :

Les quatre volets de la TVA sont les composantes CVA, DVA, LVA et RC. Ces termes ont chacun une interprétation financièreclaire et distincte, ce qui justifie de les prendre en compte séparément. Cependant, il convient d’insister sur le fait qu’ils sontinterdépendants et qu’ils doivent être calculés conjointement, comme le montre la présence de Θt dans les expressions de LVA0et RC0 dans l’équation (4). En réalité, la vraie décomposition est locale, au niveau du coefficient instantané ft(ϑ) de l’équation (2).Les composantes positives (resp. négatives) de la TVA, telles que la CVA (resp. DVA), sont défavorables (resp. favorables) à latransaction dans la mesure où elles augmentent la TVA Θ, et diminuent par conséquent le prix Π = P � Θ -avec, selon le signe dece dernier Π, un prix "moins positif" Π interprété comme un prix d’achat moindre par la banque et un prix "plus négatif" Πcomme un prix de vente plus élevé. A noter que de tels "prix d’achat et de vente" ne font que refléter le coût du financementpour la banque, ils ne répondent en rien à la notion de différentes mesures de valorisation qui peuvent exister dans un marchéincomplet (voir El Karoui et Quenez (1995) ou Eberlein, Madan, Pistorius et Yor (2013), ainsi que l’Encadré 1).

Encadré 6 Les quatre volets de la TVA

LVA0

DVA0

RC0

CVA0

Nous abordons désormais, sous forme d’encadrés, les conséquences importantes de la structure (2) du coefficient f de TVA del’équation (1), en ce qui concerne la décomposition du processus de TVA agrégé Θt Encadré 6), le cas d’une collatéralisationcomplète (Encadré 7), ainsi qu’une approche de TVA dite asymétrique qui peut être utilisée pour résoudre le paradoxe dubénéfice lors de son propre défaut (Encadré 8).

(4)

- -- -

-


17

3.2 Solution numérique

Pour résoudre l’EDSR (1) numériquement,la première étape ("forwardation")consiste à générer au cours du temps,par un schéma d’Euler, une grillestochastique composée de n intervallesde temps et m = 104 scenarios pour unprocessus de facteurs sous-jacent Xt(de sorte tous les processus f = ft(ω)concernés se réécrivent sous la forme f(t, Xt(ω)) pour une fonction notée par lamême lettre que le processus), ainsi quepour le processus de prix de référencePt = P(t, Xt) .

La seconde étape ("backwardation")consiste à calculer le processus de TVAΘt, en temps décroissant, par régressionnon-linéaire sur la grille générée lors del’étape précédente. On obtient alors uneapproximation �j

t sur la grille de lasolution Θt(ω) de l’équation (1), oùl’indice temporel i parcourt l’intervalle[1,n] et l’indice spatial j l’intervalle [1,m].En notant Θi = (Θj

t)1�j�m le vecteur desvaleurs de la TVA sur la grille au tempsi, on a Θn = 0 et, pour tout i = n - 1, ..., 0et j = 1, ..., m (en supposant un pas detemps uniforme h = ):

où est un estimateur de l’espéranceconditionnelle sachant

(voir par exemple la section 6.10.2 deCrépey (2013)).

Notons que dans le cas d’un produitexotique pour lequel il n’existe pas deformule explicite pour la fonction P(t, x)dans la première étape, un calculapproché du processus Pt peut êtreeffectué conjointement à celui duprocessus Θt lors de la seconde étape(voir l’Encadré 9).

3.3 Exemple simplifié

D’après la méthodologie introduite dans lasection 3.2, nous calculons la TVA d’unebanque pour le swap de taux d’intérêtillustré en Figure 1. Nous considérons

n=100 pas de temps uniformes, m=104

scenarios et (essentiellement3 ) Xt = rt . Lesrésultats de la première étape sont visiblesFigure 1. Pour la seconde étape, nousutilisons les paramètres de TVA suivants :γb = 5%, γc = 7%, γ = 10%, b = b = λ = 1.5%,λ = 4.5%

Et nous étudions cinq cas possibles deCSA (a. avec bénéfice de DVA en cas dedéfaut, b. avec collatéralisation, c. avecbénéfices de DVA et de financement encas de défaut, d. sans bénéfice en casde défaut, e. sans bénéfice en cas dedéfaut et avec valeur liquidative vue dupoint de vue de la banque juste avant ledéfaut) :

En pratique, une banque ne peut pas couvrir son propre saut au défaut, et ne peut donc pas le monétiser (ou en "bénéficier") avant qu’il ne se produise réellement. Pour être cohérent avec ce point de vue, on peut ignorer tout gain de labanque au moment de son défaut en fixant Rb = Rb = 1, Rb = Rb = 1. En effet, dans ce cas, l’équation (2) devient :

où le coefficient de DVA disparaît plus (à Rb = 1) et où le coefficient de coût de financement de l’emprunt λt s’interprètedans son intégralité comme un coût de liquidité. Une telle approche "asymétrique" (mais toujours bilatérale) à la TVApermet d’éviter les difficultés et paradoxe liés à la notion de bénéfice résultant de son propre défaut (voir section 2). Cetteapproche se justifie également par le fait que, si bénéfice de la banque en son défaut il y a, ce bénéfice ne profite qu’auxcréanciers de la banque (détenteurs d’obligations qui pourront être mieux servis lors de la liquidation), alors que seuls lesactionnaires devraient être pris en compte dans le processus d’optimisation (ou de couverture) de la banque (voir Albanese,Brigo et Oertel (2013) et Albanese et Iabichino (2013)).

Encadré 8 Bonne pratique : une approche asymétrique de la TVA ?

Tn

3 Négligeant une légère path dependence du swap en raison des paiements en arrières (voir la section 5.1 dans Crépey, Gerboud, Grbac et Ngor (2013)).

(6)

(5)

-

-

� �

�

�

-

Les schémas de simulation/régression requièrent toujours une certaine imagina-tion pour identifier les régresseurs appropriés aux marchés et produits qui sontétudiés. A cet égard, il convient de distinguer :

• Le calcul par simulation/régression de l’exposition (prix de référence et colla-téral) en chaque point d’une grille simulée des facteurs de risque, pour lequel desrégressions de faible dimension peuvent être appliquées indépendamment pourles différents contrats constitutifs d’un portefeuille CSA, en utilisant les quelques(disons un à trois) facteurs de risques les plus importants pour chaque produit,

• De la résolution d’une équation de TVA, qui comprend la FVA, intrinsèquementnon-linéaire et en grande dimension, à l’échelle du portefeuille et sur l’ensembledes facteurs de risque. Hormis pour certains exemples simplifiés en basse dimen-sion (voir la Figure 5 et 6), les schémas de simulation/régression ne sont alors plusadaptés. Les schémas à particules branchantes de Henry–Labordère (2012) sontpour leur part soumis à des problèmes de variance lorsque la dimension augmente.Il faut alors avoir recours à des approximations (voir Fujii et Takahashi (2012)).

Encadré 9 Régressions non-linéaires



a. (Rb, Rb, Rc) = (100, 40, 40)%, Q = P, � = 0

b. (Rb, Rb, Rc) = (100, 40, 40)%, Q = P, � = Q = P

c. (Rb, Rb, Rc) = (40, 40, 40)%,Q = P, � = 0

d. (Rb, Rb, Rc) = (100, 100, 40)%, Q = P, � = 0

e. (Rb, Rb, Rc) = (100, 100, 40)%, Q = P � Θ, � = 0.

L’égalité Q = P � Θ dans le cas e.représente la situation (certes assezartificielle) d’une banque qui serait "enposition dominante", capable d’imposerla valeur du contrat Π, de son point devue ("coût de sa propre couverture")comme processus de valeur liquidativeQ du CSA. La Figure 5, dont le formatest le même que pour le processus deprix propre en haut de la Figure 1,montre le processus de TVA obtenudans les cas a. (en haut) et b. (en bas),en utilisant pour le termede l’équation (6) un estimateur demoyenne sur les plus proches voisins (voirHastie, Tibshirani et Friedman (2009)).Notons que les échelles des deux sous-graphiques sont différentes (valeursmoindres dans le cas, collatéralisé, de b.,pour lequel il n’y a ni CVA ni DVA).

La table 1 indique la TVA de la banqueau temps 0, ainsi que sa décompositionen CVA, DVA, LVA et RC, pour le swapdes Figures 1 et 5, pour chaque cas deCSA a. à e. (rappelons que la valeurinitiale de la patte fixe du swap est égaleà 100 ⇔). Les résultats numériques sontcohérents avec l’interprétation enCVA/DVA/LVA/RC des quatre termes dumembre de droite de l’équation (2). Dansle cas a, une CVA élevée (3.28) reflète lefait que la banque est, en moyenne surla durée de vie du swap, dans lamonnaie, en raison de la structure partermes croissante des taux. La DVA est,au contraire, faible (-0.64). La LVA estassez élevé (2.41). Un RC de (-1.92)n’est pas négligeable par rapport auxtrois autres termes. Puis, en passant de :

a à b : la CVA et la DVA disparaissent ;l’effet dominant est l’annulation du

terme auparavant élevé de CVA, ce quioccasionne une TVA plus faible, et doncun prix d’achat plus élevé pour labanque ;

a à c :un bénéfice de financement encas de son défaut est pris en comptepar la banque, ce qui réduit ses LVA etTVA, et augmente le prix d’achat;

a à d : la DVA est ignorée par la banque,qui la considère comme un bénéficefictif, la TVA est donc plus élevée, le prixd’achat plus faible ;

a à e : le RC disparaît et la valeur de laCVA est modifiée.

(7)-

-

-

-

-

Θ0 CVA0 DVA0 LVA0 RC0a 3.17 3.28 -0.64 2.41 -1.92

b 0.51 0.00 0.00 0.81 -0.31

c 2.08 3.28 -0.64 0.66 -1.25

d 3.59 3.28 0.00 2.38 -2.11

e 4.80 2.49 0.00 2.26 0.00

Table 1 : Valeur initiale de la TVA et de ses composantes CVA, DVA et RC, pour une position longue surle swap des Figures 1 et 5.

Figure 5

Le processus de TVA de la banque pour le swap de la Figure 1, calculé par simulation/régression, selon les spécificationsde CSA a (à gauche) et b (à droite). Chaque graphe montre vingt trajectoires du processus de TVA sur deux cent pas detemps, ainsi que sa moyenne et ses quantiles 2.5/97.5% en fonction du temps, calculés sur la base de m = 104 trajectoiressimulées de rt.


19

Sur ces données, la LVA est significativeet positive dans les cas a, d et e. A noterque tous ces chiffres pourraient êtrebien plus élevés dans un modèleintégrant un risque de dépendanceadverse entre les taux d’intérêt et lerisque de crédit (voir par exemple Brigo,Morini et Pallavicini (2013)).

Cas d’une position courte La table 2 et la Figure 6 illustrent lesmêmes résultats lorsque la banquedétient une position courte sur le swapde la Figure 1. Notons qu’en raison desdonnées de financement asymétriqueset non-linéaires, la table 2 n’est passimplement l’opposée de la table 1.Dans le cas a, la DVA "très négative" (-2.34) reflète le fait que la banquevendeuse est, en moyenne sur la duréede vie du swap, en-dehors de la monnaie,en raison de la structure par termescroissante des taux d’intérêts. A l’inverse,la CVA est relativement faible (0.90).

Cette fois, en passant de :

a à b : la CVA et la DVA disparaissent ;l’effet dominant est l’annulation duterme très négatif de DVA dans le cas a,occasionnant un TVA plus élevé (malgréla diminution de la LVA), et donc un prixd’achat plus faible pour la banque ;

a à c : un bénéfice de financement en casde son défaut est pris en compte par labanque, ce qui réduit la LVA ainsi que laTVA , et augmente ainsi le prix d’achat ;

a à d : la DVA est ignorée par la banque,qui le considère comme un bénéficefictif, la TVA est donc plus élevée, le prixd’achat plus faible ;

a à e : le RC disparaît et la valeur de laCVA change.

Sur ces données, la LVA est significativeet négative dans les cas c. (en raison dela prise en compte d’un bénéfice definancement en cas de son propredéfaut) et b.

En conclusion, l’interprétation et lechoix des paramètres, en particulier desparamètres de bénéfice résultant deson propre défaut, Rb et Rb, a desconséquences significatives en termespar exemple de la pertinence ou nond’engager une transaction.

4. Collatéral4.1 Risque de dépendanceadverse et risque de dérive

Les marges postées à intervalles régu-liers par les deux contreparties afin decompenser les variations de valeur duportefeuille ne peuvent suffire à garantirune parfaite collatéralisation. L’intervallede temps entre le dernier appel de margeavant le défaut et la clôture de la positionentraîne un risque de dérive entre la posi-tion et son collatéral. Sur certainesclasses d’actifs, notamment les dérivésde crédit (puisque les flux de crédit sont,dans une certaine mesure, imprévisibles ;en témoigne la faillite de Lehman en unweek-end), l’obtention d’un schéma decollatéralisation efficace est particulière-ment difficile (voir la table 3).

Θ0 CVA0 DVA0 LVA0 RC0a -0.93 0.90 -2.34 -0.15 0.68

b -0.44 0.00 0.00 -0.72 0.29

c -1.34 0.90 -2.34 -0.72 0.85

d 0.45 0.90 0.00 -0.32 -0.12

e 0.43 0.76 0.00 -0.32 0.00

Figure 6 Analogue à la Figure 5, dans le cas d’une position courte de la banque sur le swap de la Figure 1.

Table 2 : analogue à la table 1, dans le cas d’une position courte de la banque sur le swap de la Figure 1.

-



Pour cette raison ainsi que pour desconsidérations de risque systémique,sous-estimé auparavant, Bâle 3, Dodd-Franck aux Etats-Unis et EMIR enEurope incitent au trading centraliséinterfacé par des chambres de compen-sation. Celui-ci (que nous évoqueronsplus en détails dans la section 5) devien-dra même obligatoire pour les produitsvanilles négociés sur un marché orga-nisé. En sus des marges dites devariation au sens ci-dessus, une cham-bre de compensation garantit le risquede dérive à travers un second niveau demarges, dites initiales, qu’elle demandeà chacun de ses clients. En outre, àcompter de janvier 2015, toute transac-tion même bilatérale (non interfacée parune chambre de compensation ) et degré-à-gré entre deux parties (du moinsfinancières, pas dans le cas d’un clientfinal pour lequel cela constituerait unepression excessive en termes de liqui-dité) devra être collatéralisée dans lecadre d’un sCSA, ou "CSA standard",incluant lui aussi un double niveau demarges (marges de variations et margesinitiales, ces dernières étant parfoisappelées dans ce contexte "montantindépendant"), et excluant les clausesde CSA exotiques telles que des optio-nalités concernant le collatéral. Ladétermination des procédures d’appelsde marges, dont la possibilité ou non deles calculer de façon agrégée sur plu-sieurs classes d’actifs, a été l’objet dedébats animés entre les banques et lesrégulateurs (voir le Comité de Bâle surla Supervision Bancaire et le Conseil del’Organisation Internationale des Com-missions de Valeur (2012, 2013)).

Selon les estimations actuelles, environla moitié des transactions sera traitéede façon centralisée, le reste (en parti-culier la majorité des transactions surproduits exotiques) restant bilatéral.Quoiqu’il en soit, la CVA sera toujoursprésente, en particulier pour les activi-tés bancaires "cachées" (les transactionsde gré-à-gré entre les banques et lesfonds spéculatifs), qui ne sont pasréglementées.

4.2 Liquidité

Une collatéralisation intensive mobilisede grandes quantités d’actifs liquides(voir Singh et Aitken (2009), Singh(2010), Levels et Capel (2012)), de sorteque l’évolution actuelle de la réglemen-tation exerce une forte pression sur laliquidité des marchés. Cela peut s’avé-rer très difficile pour les entreprises, cequi explique que les clients finaux nesoient pas soumis à l’obligation decompensation de leurs transactions. D’aucuns pointent du doigt de vastesréserves de liquidités qui ne seraientpas exploitées par le système, coincéeschez les dépositaires (comme laBanque de New York) qui suivent la "loiromaine" de conserver les dépôts sansles réinvestir, et ont été très populairesdurant la crise (même à des taux derémunération des dépôts négatifs !).Une autre possibilité serait une titrisa-tion de la CVA, à travers laquelle lepaiement des appels de marge seraittransféré à des investisseurs (voir Alba-nese, Brigo et Oertel (2013)). Uneapproche analogue a été proposéepour la FVA par Albanese et Iabichino(2013). Peut-être la mise en place de

mécanismes financiers permettant detels transfert des risques pourrait-elleen effet enrayer la spirale des CVA,DVA, FVA et autres XVA. Cependant,après la débâcle sur les subprimes en2008 suite à la titrisation d’actifs aussisimples que des obligations, l’approba-tion des régulateurs est très incertaine.Enfin, une collatéralisation excessivepeut dégrader les taux de recouvrement(voir Kanyon et Stamm (2012)). La col-latéralisation ne créée donc passeulement des problèmes de liquidité etde risque systémique, elle peut aussiaggraver les défauts lorsqu’ils se pro-duisent.

5. Chambres decompensation ettrading centraliséLa réglementation actuelle incite lesparticipants à négocier via des cham-bres de compensations (ou CCPs pour"contreparties centrales"). Le risque decontrepartie est alors transféré descontreparties elles-mêmes aux cham-bres de compensation et des contrats(ou portefeuilles) aux appels de marge.Une chambre de compensation peutgérer ses risques différemment, parmutualisation. Elle demande un doubleniveau de collatéralisation à ses clients,marge de variation et marge initiale. Lestransactions compensées se sont avé-rées mieux gérées durant la crise que

Naked Collateralized

Tranche 0-5% 5-35% 35+% 0-5% 5-35% 35+%

CVA 4.78 2.96 2.44 3.41 2.73 2.26

σ 0.08 0.24 0.20 0.05 0.16 0.14

%σ 1.6 8.1 8.2 1.4 6.0 6.0

Table 3 : CVA non garantie (non collatéralisée) versus CVA collatéralisée en temps continu sur des tranches de CDO dans le modèle de chocs communs uti-lisé dans Crépey et Rahal (2013). Chacun des cent débiteurs présente un notionnel de 100, de sorte que la perte maximale sur la tranche (a,b) est égale à (b-a) x 104, par exemple 5% x 104 = 500 pour la tranche equities. Dans le modèle de chocs commun (voir la Partie IV de Crépey, Bielecki et Brigo (2014), ouBielecki, Cousin, Crépey et Herbertsson (2013) pour une introduction informelle), l’impact de la collatéralisation est très limité, en particulier pour les tranchesles plus élevées. Ainsi, pour la tranche equities 0-5%, la CVA non garantie est égal à 4.78, alors que la CVA collatéralisée en temps continu vaut 3.41. Pour latranche 35+%, ces chiffres deviennent respectivement 2.44 et 2.26. Cela vient du fait que les défauts simultanés sont la principale source de risque de contre-partie de ce modèle, et que ceux-ci peuvent difficilement être collatéralisés (du moins par une marge de variation comme c’est le cas ici, d’où le besoin demarges initiales).


les transactions bilatérales, mais àl’époque les actifs les plus toxiquesn’étaient généralement pas compensés.Plusieurs caractéristiques distinguent letrading centralisé du trading bilatéral,parmi lesquelles les procédures de cal-cul des marges ou encore un systèmed'enchères en cas de défaut (voir lasection 5.1). Les différences de procé-dures d’appel de marges ont desimplications en termes de pricing quisont analysées dans Cont, Mondescuet Yu (2011) (voir également Pallaviciniet Brigo (2013)). Ainsi, selon Morini(2013) (voir aussi le Risk Magazine deJuillet 2013) : "Il est bien connu que,pour des raisons mathématiques debiais de convexité, le prix d’un contratfuture doit être plus élevé que celui ducontrat forward correspondant. Cepen-dant, on a observé l’inverse sur lesmarchés en juillet 2013, ce que les par-ticipants ont attribué au transfert desFRA vers des CCP et à l’impact qui s’enest ensuivi des marges initiales sur lavalorisation."

Une chambre de compensation peutmieux gérer le collatéral, en faisant desappels de marge de variation jusqu’àcinq à six fois par jour, contre une foispar jour tout au plus dans le cas d’unebanque. Les marges initiales peuventelle aussi être actualisées (quotidienne-ment). Cependant, un certain nombrede questions demeurent. La premièreest la fragmentation. La compensationdoit fonctionner par classe d’actifs pouréviter qu’en cas de défaut, les déten-teurs d’actifs plus liquides (comme parexemple les swaps de taux d’intérêts)ne soient mieux servis et plus rapide-ment que les détenteurs d’actifs moinsliquides (comme par exemple les CDS).Mais cela suppose un grand nombre dechambres de compensation, ce qui,selon Duffie et Zhu (2011), fragmente lemarché et le rend inefficient. Cont etKokholm (2012) vont à l’encontre decette analyse, en affirmant qu’elle estfortement basée sur d’irréalistes hypo-thèses d’homogénéité du réseaufinancier. Notons que l’un comme l’autrearticle ignorent le risque de contrepartiedes chambres.

Avellaneda et Cont (2013) abordent laquestion de la stratégie de liquidationpar la chambre en cas de défaut d’unmembre. Cependant la solution qu’ilspréconisent suppose un marché relati-vement liquide, alors que, dans le casdes CDS, mais également des swaps

de taux d’intérêt, le marché est concen-tré autour de quelques acteurs majeurs.

La généralisation de la compensation etde la collatéralisation soulève d’impor-tantes questions de liquidité, de risquesystémique et de concentration (voirDuffie (2010), Cont, Santos et Moussa(2013)), avec le danger de créer deschambres de compensation "tropimportantes pour faire défaut" (ou "tropconnectées pour faire défaut").

5.1 Appels de marge et procédurede défaut4

Dans le cadre du trading centralisé avecdouble niveau de marges (de variationset initiales) régulièrement mises à jour,le principal enjeu de la modélisationconcerne précisément ces appels demarge (le risque de contrepartie rési-duel à l’issue de ceux-ci pouvant êtreconsidéré comme négligeable, la ques-tion de la couverture devient d’importancesecondaire). La marge de variation suitle mark-to-market du portefeuille, avecune tolérance définie par des "seuils"(lignes de crédit gratuites) accordés auxclients et des minima sur les niveaux demarge appelés (afin d’éviter des trans-ferts peu utiles). En ce qui concerne lamarge initiale abondée par les clientsde la chambre, la procédure standardrepose sur des quantiles de la distribu-tion des pertes du portefeuille, à unhorizon de temps basé à la fois par lafréquence de réévaluation des margesde variation (fréquence qui peut êtretrès élevée dans le cas de transactionscentralisées, de l’ordre de quelquesheures) et sur un temps de liquidationtypiquement estimé à cinq jours.Depuis la crise, le calcul des quantilesexclut généralement les modèles deVaR gaussiens, auxquels sont préféréesdes lois de Pareto ou des VaR histo-riques (parfois bootstrapées pourenrichir l’univers de simulation). Lefocus s’est ainsi déplacé des cœurs desdistributions, dominés par des effets devolatilité, vers les queues de distribu-tion, dominées par les scénarios decrise et évènements de défaut. Un"bon" modèle (voir Lopez, Harris, Hurlinet Pérignon (2013) pour une tentatived’axiomatisation) est censé débouchersur des marges qui augmentent suffi-samment vite avec la volatilité dumarché, sans diminuer trop rapidementquand celui-ci se stabilise. Le proces-sus d’appels de marge doit donc

présenter une certaine asymétrie. Deuxproblèmes peuvent se poser : la pro-cyclicité, dans la mesure où les margess’adaptent à la volatilité du marché (enparticulier via des haircuts, ou décotesappliquées à la valorisation du collaté-ral, qui augmentent lorsqu’un client esten difficulté) ; et la liquidité, avec lagénéralisation du trading centralisé etde la collatéralisation des transactions.Malgré ces réserves, l’on peut affirmerque le processus d’appels de marge abien fonctionné pour les swaps de tauxd’intérêt durant la crise (il n’y avait pas àl’époque de compensation sur lesCDS).

La procédure de défaut définit ce qui seproduit en cas de défaut d’un membrede la chambre. La liquidation estconfiée à une équipe de traders dési-gnés des membres. Leur premièremission est de couvrir les positions dela partie en défaut afin d’éviter les trans-actions spéculatives. Les membresdoivent ensuite faire des offres derachat pour les actifs du nom en défaut.Cette procédure, appelée enchères, estfondée sur des offres volontaires desmembres. En cas de pertes résiduellesau-delà des marges (de variation et ini-tiale) du nom en défaut, il est fait appelau fonds de garantie (ou fonds dedéfaut, alimenté par les membres sur labase de quantiles d’ordres supérieurs,correspondant à des évènements plusrares que ceux garantis à travers lesmarges initiales et de variation).

Remerciements

Cet article a bénéficié de discussions etéchanges avec Claudio Albanese (Glo-bal Valuation Limited et King’s CollegeLondon), Tom Bielecki (IIT Chicago),Damiano Brigo (Imperial College Lon-don), Antonio Castagna (Iasonconsulting), Giovanni Cesari (UBS Lon-don), François Dezorme (InstitutEuroplace de Finance), RaphaëlDouady (CNRS/Université Paris 1-Sor-bonne et Riskdata), Nicole El Karoui(Université Paris 6-Jussieu), Jean-PaulLaurent (Université Paris 1-Sorbonne etBNP-Paribas London), Andrea Pallavi-cini (Banca IMI), Marek Rutkowski(Université de Sydney) et Gary Wong(Ipotecs). Nous remercions égalementMonique Jeanblanc (Université d’Evry)pour sa lecture attentive du manuscrit.

214 Nous remercions François Dezorme (Institut Europlace de Finance) pour la discussion que nous avons eue avec lui à ce sujet.


LABEX LOUIS BACHELIER

Abstract

Since the crisis, different adjustments are needed to account for counterparty risk and funding costs in the riskmanagement of OTC derivatives, notably credit valuation adjustment (CVA), debt valuation adjustment (DVA)and funding valuation adjustment (FVA). These adjustments, which are, to some extent, interdependent and

must be computed jointly, count today among the main P&L centers of investment banks. They touch on manyareas: modeling, computation, pricing, risk management, regulation, economics, legal, lobbying, politics, often inconflicting perspectives. Banks have to cope simultaneously with economic risk, accounting P&L and regulatorycapital con¬siderations. The current trend of the regulation is to push participants to negotiate centrally via clearinghouses or to bring strong guarantees in terms of collateralization. But this evolution poses liquidity and systemicrisks issues.

22

* This work benefited from the support of the Louis Bachelier laboratory and the “Chair Markets in Transition”, a joint initiative of Ecole polytechnique, Universite d’Evry Val d’Essonne and Federation Bancaire Française.

Disclaimer

The views expressed in the paper are those of the authors and do not necessarily reflect those of the Institut Louis Bachelier.

Stéphane Crépey*Laboratoire de Mathématiques et Modélisation d’Evry,

Université d’Evry-Val-d’Essonne

June, 2014



Introduction

The global credit crisis followed by theEuropean sovereign debt crisis havehighlighted the native form of credit (notto say financial) risk, namely counter-party risk. Counterparty risk is the riskof non-payment due to the default of aparty in an OTC derivatives transaction.By extension this is also the volatility ofthe price of this risk, the CVA (creditvaluation adjustment). An importantaspect of the problem, especially withcredit derivatives, is the wrong-way risk,i.e. the risk of adverse dependence bet-ween the size of the counterparty riskexposure and the default riskiness ofthe counterparty. Moreover, as banksthemselves have become risky, coun-terparty risk must now be understood ina bilateral perspective (not only CVA butalso DVA, i.e. debt valuation adjust-ment), where the counterparty risk ofthe two parties are jointly accounted forin the modeling. In this context, theclassical assumption of a risk-free assetthat can be used for financing purposes(lending or borrowing as needed) is notsustainable anymore. Hence, anotheradjustment is needed in the form of anFVA, i.e. funding valuation adjustment,or a more specific LVA (liquidity compo-nent of the FVA, net of credit spread, inorder to avoid double counting withDVA). As will be seen, there is still ano-ther adjustment, called replacementcost (RC), corresponding to the mis-match between the economical value ofthe contract and its valuation by theliquidator at default time. And the list isnot closed since people now talk aboutKVA for capital valuation adjustment (inreference to the capital cost of CVAvolatility), or AVA for additional valuationadjustment (toward “prudent valuation”,accounting for model risk and creditspreads including own, recently oppo-sed to fair value by Basel). An acronymXVA was even introduced to genericallyrefer to this increasing list of adjust-ments (see Carver (2013)).

Finally, in August 2007 a new dimensionof systemic counterparty risk hasappeared, with the emergence ofspreads between quantities that werevery similar before, such as OIS swaprates and LIBOR rates (again a conse-quence of banks’ counterparty risk, butat a macro level). Through its relationwith the concept of discounting, thissystemic component of counterpartyrisk has impacted on all derivativesmarkets. All the above adjustments,which are interdependent and must becomputed jointly, now count among themain P&L centers of investment banks.The current trend of the regulation is topush participants to negotiate centrallyvia clearing houses or to bring strongguarantees in terms of collateralization.But this evolution poses liquidity andsystemic risks issues.

The basic counterparty risk mitigationtool is a credit support annex (CSA,sometimes also-called ISDA agree-ment) specifying the valuation schemethat will be applied by the liquidator incase of default of a party, including thenetting rules applicable to the under-lying portfolio. The CSA value processalso serves of reference for the determi-nation of margin calls, similar to amargining procedure for futurescontracts, except that the collateralposted through a CSA remains the pro-perty of the posting party, so that it isremunerated. However, wrong-way risk(see above) and gap risk (slippage of thevalue of the portfolio between defaultand liquidation) imply that collateraliza-tion cannot be a panacea. It also posesliquidity problems. Therefore counter-party risk cannot be simply mitigated,through collateralization, it also needs tobe hedged against default and/or marketrisk. Eventually, the collateralized andhedged portfolio needs to be funded,which raises the controversial issue ofDVA/FVA overlap or double counting.

From the point of view of the organiza-tion of the bank, due to netting,counterparty risk and funding costs canonly be assessed at the CSA portfoliolevel (or better, regarding funding costs,at the level of the whole book of thebank). Therefore the trend is to have acentral XVA desk in charge of valuingand hedging counterparty risk (fundingcosts are typically managed by the trea-sury or ALM of the bank). A “clean”price and hedge ignoring counterpartyrisk and assuming that all trading stra-tegies are funded at the risk-free rate (orOIS rate, see Box 7) is first computedby the different business trading desks.Then the XVA desk values the counter-party risk of the portfolio and channelsthis charge back to the various tradingdesks, after a desallocation and conver-sion of a global and upfront charge intostreams of fixed coupons. The all-inclu-sive price-and-hedge of a contract arefinally obtained as the difference bet-ween the clean price-and-hedge andthe price-and-hedge adjustment provi-ded by the XVA desk (also accountingfor funding costs as provided by theALM).

Review of the literatureHere is a brief review of books aboutcounterparty risk and funding1:

• The first book one can mention is thecollection of seminal CVA papers inPykhtin (2005) (now of course a littleoutdated).

• The book by Gregory (2009, 2012) istechnically quite simple but explainsbasic CVA concepts in a clear way. It isgood for managers and finance peoplewho need to get a general grasp of CVAfundamentals with some elements aboutfunding/discounting, without going tootechnical.

23

1 This book review is essentially borrowed from Chapter 1 in Crépey, Bielecki, and Brigo (2014).



Figure 1

Short rate process corresponding to an increasing term structure of interest rates (on the right) and related mark-to-market process of a payer interest-rate swap (on the left). Parameters are set so that the fixed leg of the swap is worth € 100 at inception. Each graph shows twenty paths simulated with two hundred time points, along with the mean and2.5/97.5-percentiles (black curves as function of time) computed over m = 104 simulated paths (see Crépey, Gerboud,Grbac, and Ngor (2013)). Observe on the left graph that the mark-to-market of the swap can take positive or negativevalues depending on time and market scenarios, with a positive trend due to the increasing term structure of interestrates visible on the right panel.

• The book by Cesari, Aquilina, Char-pillon, Filipovic, Lee, and Manda (2010)is rather basic from a modeling point ofview but it also looks at the IT implicationsof building a CVA system and tries tosolve a number of practical problemsthat deal with CVA for realistically largeportfolios. The focus is on the so-calledAmerican (or least square) Monte Carlotechnique, first introduced for CVAapplications in Brigo and Pallavicini(2007, 2008).

•The book by Kenyon and Stamm(2012), although technically basic, is ori-ginal, in that it tackles current andrelevant problems such as multi-curvemodeling and credit valuation adjust-ments, closeout and especially goodwill(which depends on the creditworthinessof a firm and can therefore be used forhedging the DVA). Funding costs, hintsat systemic risk, regulation and Basel IIIare also considered.

•The book by Brigo, Morini, and Palla-vicini (2013) is mostly based on Brigo’swork with several co-authors in theperiod 2002-2012 and has been writtento be widely accessible while beingtechnically advanced. It deals with CVA,DVA and wrong-way risk across diffe-rent asset classes, gap risk, collateral,closeout, rehypothecation and fundingcosts. There is also a final part on CVArestructuring through so-called CCDS(“contingent CDS”), CDO tranches typestructures, floating rate CVA and marginlending.

•The book by Crépey, Bielecki, andBrigo (2014) focuses on the mathemati-cal dependence structure of theproblem, using mainstream stochasticanalysis: BSDEs in particular, in line withCrépey (2013), to address the nonlinearrecursive nature of the funding issue ina systematic way, and dynamic copulasto reconcile bottom up and top down

perspectives in the study of counterpartyrisk embedded in credit derivatives.

In this article, we review counterpartyrisk and funding costs in their differentaspects such as CVA, DVA, FVA, LVA,RC (Sect. 1 through 3), collateral,wrong-way risk (Sect. 4) and centralclearing (Sect. 5). On our way, we dis-cuss in box form a number of asideissues such as historical versus risk-neutral valuation (“� versus �”),multiple curves and we provide a briefinformal introduction to BSDEs. Theboxes are also to insist on importantmessages.


1. Credit ValuationAdjustment

The CVA (credit valuation adjustment) isthe price of counterparty risk. Byextension, counterparty risk is also therisk of volatility of the CVA. In fact,during the financial crisis, it was saidthat roughly two-thirds of lossesattributed to counterparty were due toCVA losses and only about one-thirdwere due to actual defaults (see Lambe(2011)).

A debt towards a defaultedcounterparty is due in full to theliquidator (a nonpaying party woulditself be declared in default). Therefore,the counterparty risk exposure is onlythe positive part of the value of acontract (or portfolio). It follows that forany swapped contract (as opposed to,say, a bond position, which is alwaysthe same side of the money, lender orborrower), the loss associated to thisrisk has an optional feature (see Fig. 1).This is why counterparty risk cannot besimply handled by the application of asimple spread in the discount rate (orthis would be an implicit and stochasticspread). Moreover, due to the nettingrules that apply at the CSA portfoliolevel, where a CSA can cover tens ofthousands of contracts, often acrossdifferent classets of assets, in the end aCVA appears not only as a derivative,but as an exceedingly complex one, akind of giant hybrid option. In fact, it istreated as such by risk control, whoimposes market limits and monitors therisks of the CVA desk using VaR andsensitivities.

There are two perspectives on the CVA,an accounting one and a regulatory one.Under last years’ advisory andregulatory developments, IFRS 13allows a bank to account for CVA lossesand DVA gains, whereas, since DVAdoes not act as a buffer againstdefaults, Basel III only reckons CVA intocapital relief calculations. This is statedin Paragraph 75 of Basel Committee onBanking Supervision (2011) as

“Derecognise in the calculation ofCommon Equity Tier 1, all unrealisedgains and losses that have resulted

from changes in the fair value ofliabilities that are due to changes in thebank’s own credit risk.”

(see also Basel Committee on BankingSupervision (2012) for a detailed discus-sion).

1.1 Cash Flows

CVA is not such a well defined quantity.The payoffs of the corresponding “option”are not so clear. Indeed, regarding theCSA value process, ISDA documentsuse a “replacement” formulation whichleaves it open between rather differentpossibilities, notably default-free versussubstitution valuation, where the mea-ning of “substitution” is not fixed:should substitution mean valuationaccounting for the default risk of thesurviving party only, or valuation of thecontract between the surviving and anew party “similar in every regard”(including credit risk) to the defaultedone? in the latter interpretation, whatshould be the assessment of the creditrisk of the defaulted party: its credit riskright before its default? But what wouldbe the exact meaning of “right beforethe default”? one day before? or oneweek? or one month? Another alterna-tive discussed in Brigo, Buescu, andMorini (2012) is a CSA value processaccounting for a univariate debt valua-tion adjustment of the surviving party.Such an approach seems to be consis-tent with the following statement of theISDA (2009) Close-out Amount Protocol:

“In determining a Close-out Amount,the Determining Party may consider anyrelevant information, including, withoutlimitation, one or more of the followingtypes of information: (i) quotations(either firm or indicative) for replace-ment transactions supplied by one ormore third parties that may take intoaccount the creditworthiness of theDetermining Party at the time the quo-tation is provided.”

In any case, the discrepancy betweenthe pre-default value of the contractand its CSA value at default time givesrise to another counterparty risk adjust-ment that we call replacement cost(RC).

A possible fix to these issues would bestandardization, but the complexity ofthe topic makes standardization hardlypossible here. In the same line ofthought one could think of introducingCVA indices, but these would be diffi-cult to set up and the bespoke CDOtranche experiences of Bear Sterns andLehman does not push into the direc-tion of a line of indices that would be“mapped” by some ad-hoc devices toaccount for the variety of situations thatoccur in practice.

Another way out of CVA (and also DVA),which is in fact the current political andregulatory impetus, is the use of veryconservative clearing and collateraliza-tion schemes (see Sect. 4 and 5). But,for at least some products, this cannotcompletely effective (see Tab. 3 in Sect.4). Moreover, this has a high cost tobanks (and therefore ultimately to end-clients).

1.2 Models

In addition to the above (“order zero”and quite uncommon) payoff risk, CVAalso has an important model risk.First, it is not so clear whether CVAshould be regarded under the historicalor under a risk-neutral pricing measure.Of course, this primarily depends onwhether one talks about a pricingadjustment or about a regulatory CVAmeant to enter capital relief calcula-tions. But, even in the case of a pricingadjustment, valued under a risk-neutralmeasure in principle, the situation is not soclear. A risk-neutral modeling approach isonly justified in a perfect financial mar-ket, without frictions of any kind.Regarding a financial derivative, thisapproach is only legitimate for a repli-cable claim, or at least for a liquidlytraded derivative. Otherwise risk premiashould appear explicitly into the picture.But, in the case of CVA (and even morewith DVA in Sect. 2.1), we are in a situa-tion of particularly strong marketincompleteness. Advocates of the risk-neutral pricing approach argue that thelatter can also be justified on an equili-brium ground, but here again there aresome pitfalls (see Box 1).

25


In the early times of CVA there weresome attempts to adopt a hybridmethodology, treating the unhedgedrisk factors “historically” and the hed-ged ones “risk-neutrally”. Such a hybridperspective, however, is complicated toimplement, and typically results in ad-hoc, not to say inconsistent, solutions.

Second, CVA has a significant sensiti-vity to model parameters such ascorrelations (e.g. between interest ratesand credit), which are not observed orliquidly priced in the market. Therefore,these parameters cannot be calibrated,but only fitted to some “views” (econo-mic or so). Correlations are also instablequantities, especially during a crisis.This relates to the important wrong-wayrisk issue (particularly with counterpartyrisk embedded in credit derivatives), i.e.the possibly adverse dependence bet-ween the exposure and the credit risksof the parties (see Sect. 4.1). Right-wayrisk is in principle not much preferablegiven that a CVA desk should target aflat P&L.

Third, via the netting agreements thattie all contracts together (for the goodsake of counterparty credit risk mitiga-tion), CVA appeals to a consistentmodelling across different classes ofassets. This modelling needs to bedynamic in view of the optional featureof the CVA. Cross-currency and best-

to-deliver optionalities issues are alsopresent when the collateral can be pos-ted in different currencies, especially onforeign-exchange derivatives (see Fujiiand Takahashi (2011), Piterbarg (2012)and Sect. 4.1). Finally, it would be advi-sable to incorporate systemic risk into aCVA model.

All these features require advanceddynamic CVA modeling in terms of pro-cesses for all of the risk factors,including the credit risk of the variousparties involved. And this is withouteven mentioning some tough mathema-tical issues that arise if one startsquestioning the theoretical bottom-linesof the above-sketched financial engi-neering approach, which points tomarket incompleteness, utility maximi-zation and imperfect information underrandom horizons, nonlinear pricingrules, imperfect information, etc.

1.3 Computation

CVA (along with DVA, FVA etc.) compu-tations are, as matters stand, by far themost intensive computational task inthe investment bank:

•They entail the overnight valuation ofsomething like one million trades underone thousand scenarios at one hundred

time points—and thus one hundred bil-lion contract valuations, times thenumber of Greeks that are needed forhedging!

•They have to be computed in dynamicglobal models across different assetclasses.

• It’s not only about computing risk-neu-tral expectations for risk-managementand accounting purposes, but alsoabout historical quantiles or other riskmeasures for regulatory purposes, andabout consistency between both.

•They bear on very large time horizons,such as twenty to thirty years, overwhich no “linearization” or kind of sca-ling is possible. For instance, thestandard add-ons, allowing one tocompute a (heavier, in principle) ten-dayVaR as √10 times a (simpler) daily VaR,are prohibited on such time scales, overwhich it is not only a matter of time hori-zon, but also of the ageing of aportfolio, with some products expiringor others being converted into differentones. Simulation over such time hori-zons also precludes the use of standard(notably, martingale lognormal) models,which explode at this time scale, andrequires some special techniques tocope with missing calibration databeyond a time horizon of a few years,so that the available data are not used


An important and widely open counterparty risk issue regards the choice of a probability measure which should be used inthe modeling: historical versus risk-neutral.

There are two possible views on a risk-neutral modeling approach. The first one is based on hedging arguments, mainlyconsidering the risk-neutral measure as an interpretation tool. The corresponding notion of risk-neutral measure is “local” toa given claim (or a few claims jointly considered in a trading strategy). In this understanding, there may be plenty of risk-neutral measures coexisting on different market segments. As own default risk can generally not be hedged in practice, thisline of argument does not support the use of a risk-neutral counterparty risk valuation approach.

However, there is another view on a risk-neutral approach, more generally applicable in principle and also global in scope(one measure for the whole market). This alternative approach is based on an equilibrium CAPM kind of analysis (seeCochrane (2005) and the CVA, DVA and FVA discussions in Hull and White (2013a, 2013b) or Burgard and Kjaer (2012)). In amore mathematical finance perspective (focusing on a given claim and its hedge rather than on the economy as a whole),we are now in a world of optimization and indifference prices. But this second approach is better suited for the modeling ofmarket prices as determined by supply-and-demand, rather than for economical valuation, decision-taking by traders andhedging of OTC derivatives. Moreover, the resulting price corresponds to a notion of marginal utility, which also implicitlyassumes (as in the first approach) that the unhedged part of the position is “small” with respect to the hedged component.Finally, unless one resorts to dynamic notions of indifference prices (see Musiela and Zariphopoulou (2011) and El Karouiand Mrad (2010)), the resulting risk-neutral probability measure depends on the maturity of the claim, a rather undesirableproperty.

Box 1 “� versus �”2

2 We are grateful to Nicole El Karoui (Université Paris 6) for the discussion with her on this issue.


out of their preconditions (e.g. implyingbehavior at 30 years of interest ratesbased on < 10y interest rate derivativequotes; as explained in Sokol (2013),one should better use economic theoryor “views” instead).

In the end, CVA and valuation of otheradjustments to be considered belowrepresent an unprecedented computa-tional challenge for the investmentbank. Monte Carlo valuation is unavoi-dable and the “compound option”feature of the CVA (an option on themark-to-market of derivatives) added tothe high-dimensionality can only beaddressed by intensive simulation orsimulation/regression (“American MonteCarlo”) schemes (see Cesari, Aquilina,Charpillon, Filipovic, Lee, and Manda(2010) and Crépey (2013)). But with cur-rent parallel GCP and multi-coretechnologies (see e.g. Albanese, Bellaj,Gimonet, and Pietronero (2011)), thisfeat is however actually manageable.Intra-day incremental CVA computa-tions are also necessary for assessingthe profitability of a new deal and thesecan typically be carried out in less thanone minute on individual computers.

1.4 Risk management

Hedging of CVA is only possible oncounterparties with a liquid CDS mar-ket. Moreover, when this is the case,this is essentially only true for the 3y-and 5y- maturity, whereas given thetwenty years or more time-horizon ofthe CVA, one would really need a wholeCDS term structure. In addition, CVAhedging instruments must be clean ofcounterparty risk, meaning collaterali-zed, which can be the case for CDScontracts, but not with the swaptionsthat one might for instance considerusing for hedging the interest rate riskof the CVA. In the Basel III CVA capitalrelief formula, credit risk is taken intoaccount based on CDS spreads, not onratings or fundamental analysis. Thispushes banks to dynamic managementof CVA through CDS contracts. Inten-sive CVA hedging by banks can thenraise stability and procyclicity issues. Inthe Euro debt crisis, hedging of CVA bybanks was singled out as a big factor ofpressure on the sovereign CDS markets.

2. BilateralCounterparty Riskand NonlinearFunding Costs

With banks now perceived risky as theyare, two additional and partially over-lapping terms need be considered, adebt valuation adjustment and a fun-ding valuation adjustment.

2.1 Debt Valuation Adjustment

In a bilateral counterparty risk setup, theunavoidable, logical consequence ofCVA is DVA (debt valuation adjustment),which corresponds to the CVA of thebank viewed from the point of view ofits counterparty. Following recent years’IFRS I3 recommendations, it has becomepossible for a bank to account for DVAgains (see the Financial AccountingStandard 157 and the InternationalAccounting Standards 39) and nowa-days many banks are actually doing so(see e.g. Moyer and Burne (2011)).

But the DVA raises important points ofconcern. In particular, hedging one’sDVA means selling protection on one-self, which is either impossible (whowould buy it), or the last thing to do inview of the related wrong-way-risk.Except for very specific cases (for ins-tance when one can repurchase one’sown bonds), all one can do is to hedgethe credit spread component of DVA,through peers (as Goldman Sachs did,according to Moyer and Burne (2011)).But, like with any correlation or factorhedge, in adverse scenarios this can bevery dangerous (in case of not only dete-rioration, but actual default of a peer).

One may also argue that DVA is a natu-ral hedge to other risks, being contra-cyclical. But this also only regards itsspread risk component, so that in theend, the hedging of DVA (jump-to-default risk in particular) is far fromclear, hence it is not clear how to mone-tize DVA (make the corresponding profitbefore defaulting). If this cannot bedone, then DVA gains reduce to paper

money (and are even a direct lossthrough taxes effectively paid on them).In this perspective the IFRS 13 recom-mentation regarding DVA is sometimesperceived as an effect of the lobbying ofbanks, since by times of high and vola-tile credit spreads of the latter, accountingfor DVA gains is of course of considera-ble stake for them. A contrario it is fairto say that not reckoning the DVA in theaccounting result would put a hugepressure on banks by considerablyleveraging the volatility of their P&L—aresult passing from € 600 M in onemonth to € 500 M in the next one (notunusual with a unilateral CVA accoun-ting rule under which the degradation ofthe results could not be offset by com-pensating DVA gains) and thecorresponding €100 M being treated asa loss is really a killer to a bank. In theend it is worth recalling that IFRS 13allows but does not force banks toconsider DVA gains, and that the spiritof IFRS recommendations is an overallprudential rule which should alwayspredominate. A perverse effect of thesystem however is that through compe-titive effects such allowances andtolerances tend to become mandatory.

The above discussion was about hed-ging, but to the extent that hedging theDVA means selling protection on one-self, pricing the DVA in the first placemeans buying pro-tection on oneself.This may seem as nonsensical as sel-ling protection on oneself, but it iseffectively what happens when oneenters a transaction for a price includinga DVA. DVA refers to a business modelin which one accepts to lose moneywhile one is alive, in the perspective of acompensation at one’s default—in asense, an incentive to default!Finally, since regulators look at losses,not at gains, Basel III capital chargesare myopic to the negative side of theCVA, which is DVA (see the end of theintroductory paragraph to Sect. 1). Thisdiscrepancy between an accountingCVA/DVA and a unilateral regulatoryCVA makes sense in view of two diffe-rent perspectives, but it makes lifedifficult for banks, which must also andprimarily deal with their economic CVA,i.e. the cost of hedging their counter-party risk—the accounting P&L beingprobably the most stressful of the threeas seen above.

27



The CVA is nonlinear in the sense that the corresponding payoff (exposure at default) is given as the positive part of themark-to-market (assuming no collateralization), so this is a nonlinear payoff. This is why CVA must be viewed as an optionthat gives to even flow, linear products, a dynamic feature.The FVA introduces a nonlinearity into the pricing equation itself since, as explained in Sect. 2.2, if we include FVA, thetime-0 value of a contract nonlinearly depends on its future time-t values. Then it’s not only a nonlinear payoff (boundarycondition “at the maturity”, or at the default time of a party in the case of CVA), but more broadly a nonlinear equation. If theequation is linear, an even nonlinear payoff can be priced by a standard Monte Carlo loop (as is the case for CVA). However,a nonlinear equation, like with FVA, can only be addressed by more elaborate BSDE schemes, such assimulation/regression (see Cesari, Aquilina, Charpillon, Filipovic, Lee, and Manda (2010), Crépey (2013)), expansions (seeFujii and Takahashi (2012)) or branching particles (see Henry-Labordère (2012)).

Box 2 Nonlinearities

Backward stochastic differential equations (BSDEs) are an alternative to partial differential equations (PDEs) for representingprices and Greeks of financial derivatives. BSDEs are a flexible and powerful mathematical tool. They also offer a veryefficient pedagogical setup for presenting the financial derivatives pricing and hedging theory. In addition, they are usefulfor the numerical solution of high-dimensional nonlinear pricing problems, such as those which may appear with XVAcomputations.The backward terminology refers to the fact that these equations are stated in terms of a terminal condition (randomvariable), ξ, at a future maturity time T. BSDEs were first introduced by Bismut (1973) in the case of a linear driver, and thenmore generally by Pardoux and Peng (1990). They have been extensively studied since then, particularly in relation tomathematical finance (see El Karoui, Peng, and Quenez (1997) for a seminal paper and Crépey (2013) or Delong (2013) fortwo recent books). The solution to a BSDE consists of a pair of processes (Π, Δ), in which Π corresponds to the price of afinancial derivative and Δ to its hedge. In the simplest case, a solution to a backward stochastic differential equation isobtained by invocation of a martingale representation theorem. Yet the theory of backward stochastic differential equations,properly speaking, begins with the presence in the equation of an implicit driver coefficient g = gt(Πt, Δt) (corresponding tothe running cost of a control problem). If g is nonlinear, as with the nonlinear funding issue, Picard iteration and acontraction argument are needed, beyond a martingale representation theorem, to solve a BSDE.

Box 3 Backward Stochastic Differential Equations

The 2007 subprime crisis induced a persistent disharmony between the Libor derivative markets of different tenors and the OISmarket. Commonly proposed explanations for the corresponding spreads refer to a combined effect of credit risk and liqui-dity risk of Libor banks. However, in the literature, the meaning of liquidity is often not stated precisely, or it is simply definedas a residual spread after removal of a credit component. Crépey and Douady (2013) propose an indifference valuation modelin which the Libor-OIS spread, named LOIS in Bloomberg, emerges as a consequence of:

•on the one hand, a credit component determined by the skew of the credit curve of a representative Libor panelist (playingthe role of the “borrower” in an interbank loan),

•on the other hand, a liquidity component corresponding to the volatility of the spread between the funding rate of a repre-sentative Libor panelist (playing the role of the “lender”) and the OIS rate.

The credit component is, in fact, a credit skew component (this relates to the refreshment mechanism of the Libor panel).The relevant notion of liquidity appears as the optionality of dynamically adjusting through time the amount of a rollingovernight loan, as opposed to lending a fixed amount up to the tenor horizon on Libor (this optionality is valued by theaforementioned volatility). When the funding rate of the lender and the overnight interbank rate match on average, thisresults, under diffusive features, in a square root term structure of the LOIS. Specifically, on the euro market considered inthe period from mid-2007 to mid-2012 in Crépey and Douady (2013), one observes a square root term structure of the LOIS consistent with this theoretical analysis (see Figure 3), with LOIS found to be explained in a balanced way by thecredit and liquidity components through the beginning of 2009, and then dominantly explained by the liquidity component(see Figure 4).

Box 4 The Whys of the LOIS


2.2 Funding Valuation Adjustment

Even though there is no regulatory envi-ronment in this regard, in order to havea fair appreciation of its P&L, particu-larly in the long term, it is crucial for abank to have a fair view of its fundingcosts, referred henceforth to by FVA, i.e.“funding valuation adjustment” (FVA, orLVA for its liquidity component net of cre-dit spread; see Sect. 3). One of thereasons why there is no regulatory envi-ronment for FVA is a fundamentalaccounting principle to reckon only effec-tively contracted liabilities (or assets), notforeseen ones. Since a bank typicallyfunds itself short-term for financing lon-ger term investment, an accountingperspective misses the refunding liabili-ties which will have to be rolled overthroughout the whole life of the invest-ment. However, the correspondingfunding costs accumulate over years andmodify the structure of the P&L.

Now, in a bilateral counterparty risksetup where the bank is also defaultprone, the classical assumption of alocally risk-free asset which is used bythe bank for financing purposes, len-ding or borrowing as needed, is not

sustainable anymore. Mathematically,this funding issue makes matters a bigstep more complicated, due to recur-sive and nonlinear features of fundingcosts (see Box 2 and Crépey (2011,2012a, 2012b) or Pallavicini, Perini, andBrigo (2011, 2012)). In brief, at any time,the funding cash flows are proportionalto the funding debt of the bank, whichitself depends on the wealth of the bankat that time, including the value of itshedging portfolio (the opposite to theprice of the contract if replicationholds). Since the time-0 price of thecontract is an expectation of its futurecash-flows, including funding ones, the-refore the time-0 price of the contractdepends on its future time-t prices. Ifthe bank is risk-free with the sameunsecured borrowing and lending rates,then this dependence is linear, so thatone can get rid of it via the introductionof a discount factor at the risk-free rateand obtain an explicit time-0 pricing for-mula. But, if the bank is default prone(and also due to possible liquidityeffects), its unsecured borrowing ratewill be greater than (or at least differentfrom) its lending rate (assuming a risk-free “unsecured lender” to the bank forsimplicity). As a consequence, the

above dependence is nonlinear (seee.g. the example 1.1 in El Karoui, Peng,and Quenez (1997)), so that it is no lon-ger possible to transform the recursiveformula into an explicit one by discoun-ting (unless the contract is always thesame side of the money, like a bond, sothat one can still do it by resorting to acredit risk-adjusted discount factor).Bilateral counterparty risk and the rela-ted funding issue thus lead to recursive(or implicit), nonlinear pricing rules.From a mathematical point of view, theappropriate tool is the theory of BSDEs,i.e. backward stochastic differentialequations (see Box 3).

Since BSDEs are in essence a “nonli-near pricing tool”, they can also dealwith other nonlinearities (other thanFVA) that can be present in the problem(see for instance the CSA specificatione in (7)). A good point is that the simu-lation/regression (“American MonteCarlo”) schemes that can be used todeal with the large system feature of theCVA are also suitable to deal withBSDEs (see Sect. 3.2 and Box 9).

The difficulty of the FVA problem maycontribute to explain why, as of today,there is no standard FVA methodologyin banks (see Carver (2012), Cameron(2013)). This be-ing said, before being atechnical (mathematical and computa-tional) issue, FVA, as DVA above, raiseimportant financial concerns. In oldtimes a bank used an affordable andessentially risk-free Libor funding ratethroughout and channeled the corres-ponding charge to the client. With Liborrising over OIS rates as we saw in thecrisis (also an effect of banks’ counter-party risk, but at a macro level; seeFigure 2 and Box 4), this additionalcharge has become problematic.

In principle, a higher funding rate com-pensates for a higher credit risk and/orliquidity costs. Under a credit explana-tion of the funding spread (between thefunding rate and OIS rates) and to theextent that a “benefit at own default”can really be considered as benefit,charging the FVA to the client is not jus-tified, since the FVA is simply thepresent value to the bank of this benefitin the future. In this last perspective(which, however, is subject to the samepaper money issue as DVA regarding

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Divergence Euribor / EONIA-swap rates: sudden divergence betweenthe 3m Euribor and the 3m EONIA-swap rate that occurred on Aug 62007.

Figure 2



With the Modigliani-Miller theoremin the background, which statesthat, under certain conditions, thevalue of a project does not dependon the way it is funded, Hull andWhite (2013a) have claimed thatbanks should not take FVA intoaccount, prompting the so-called“FVA debate”. However, Morini(2013) explains how Hull and White(2013a)’s reasoning

“leads to say that there is no FVAbased on three crucial assumptions:

1. The market has instantaneousefficiency: this is not the case in thereality of funding markets, althoughwe always use indirectly thisassumption in pricing

2. Funding of a deal happens afterthe market knows about the deal:this can be true when a project isfunded rolling short-term funding,but prudential management includesoften part of funding at maturity

3. The effect of a new deal on thefunding costs of a bank is linear: (...)in fact under rather realisticassumptions the effect is highly non-linear.

(...) Hull and White have the merit ofpointing out that FVA is a distortioncompared to an efficient market (...)Yet, in the current market situation adealer following a going concernmust take some FVA into account.”

Box 5 The FVA Debate 16 April 2012. Top: term structure of Euribor vs EONIA-swap rates (T = 1m to 12m). Bottom: square root fit of the LOIS.

Figure 3

Time series of the credit component of the LOIS (red) and of theliquidity component of the 3m- (blue) and 6m- (purple) LOIS (all in %),over the period from 15/08/2007 to 16/04/2012 (see Crépey andDouady (2013)).

Figure 4


benefit at own default), a deal is foundvaluable as soon as its expectedreturns exceed the funding cost of thebank net of its credit spread; channelingthe totality of the FVA to the clientwould be double counting. In otherwords, the relevant funding valuationadjustment charged by the bank shouldnot be the full amount of the fundingcost but only its liquidity component,net of the bank’s credit spread, i.e. anLVA (funding liquidity valuation adjust-ment) rather than a full FVA (credit andliquidity). With the paper of Hull andWhite (2013a) (see also Burgard andKjaer (2012)), the discussion on thisissue has become even more passio-nate than the 2011-12 DVA debate (seeBox 5).

By the difficult liquidity times that havebeen faced during the crisis, fundinghas sometimes been the main motiva-tion for a deal, allowing a bank to getfunded at an OIS rate (the usual remu-neration rate of the collateral) in a fullycollateralized transaction, rather than ata much higher rate in the context of anunsecured transaction. Funding consi-derations should not be the mainmotivation of a bank in a transaction,however one can say that fundingshould be considered for not going intoa trade that could look worthwhilewithout it. Again, in the long run, fun-ding may damage the P&L of a tradewhich looks worthwhile on a shortertime horizon.

3. CVA, DVA, LVA,RC: The Four Wingsof the TVA

We now reformulate in mathematicalterms the developments of the previoussections and we illustrate them numeri-cally. We consider a simplified situationwhere a risky bank faces a single riskycounterparty. In reality a bank has to dealwith hundreds to thousands of netting

sets and counterparties and all the cre-dits should be modeled jointly since, inparticular, the funding cash-flows arenetted at the level of the whole book ofthe bank.

3.1 TVA Equation

As explained above, different interde-pendent valuation adjustments, orXVAs, must be computed on top of aclean price (mark-to-market) P in orderto account for counterparty risk andfunding costs. We refer to Part III ofCrépey, Bielecki, and Brigo (2014) for adetailed presentation. We only recallthat the aggregated adjustment, whichwe call TVA for total valuation adjust-ment, can be viewed as the price of anoption on the clean price P at the first-to-default time τ of a party. Moreover,this option pays dividends that corre-spond to the funding costs (in excessover the OIS rate rt). Specifically, for aCSA with time horizon T, the TVA equa-tion is of the following form, relatively toa risk-neutral (pricing) measure �:

where Θt and ft(ϑ) respectivelyrepresent the TVA process one islooking for and the coefficient thatgenerates this TVA. Note that (1) is abackward stochastic differential equation(BSDE) for the TVA process Θ (see Box3). The all-inclusive price of the contractfor the bank (cost of the correspondinghedge, including the counterparty andfunding risks) isΠ = P − ΘThe coefficient f of the BSDE (1) isgiven, for every real ϑ (representing theTVA Θt that one is looking for in theprobabilistic interpretation), by:

where:

• ��tb, ��t

c, and �t are the default intensi-ties of the bank, of its counterparty andtheir first-to-default intensity (in modelwhere the bank and the counterpartycan default together, ��t can be less than��t

b+ �tc ),

•Rb and Rc are the recovery rates of thebank towards the counterparty and viceversa,

•Qt is the value of the contract accor-ding to the scheme used by the liquidatorin case of a default at time t < T, e.g. Qt = Pt(used henceforth unless otherwise sta-ted) or Qt = Pt − �Θt ,

•�t = �t+ - �t

- ,where �t+ (respectively �t

- )represents the value of the collateralposted by the counterparty to the bank(respectively by the bank to the coun-terparty), e.g. �t = 0 (used henceforthunless otherwise stated) or �t = Qt,

•bt and bt are the spreads over the OIS(risk-free) short rate rt for the remunera-tion of the collateral �t

+ and �t- posted

by the counterparty and the bank toeach other,

• ��t (respectively ��t) is the liquidity fun-ding spread over the OIS short rate rtcorresponding to the remuneration ofthe external funding loan (respectivelydebt) of the bank. By liquidity fundingspreads we mean that these are freefrom credit risk, i.e.

where λt is the all-inclusive fundingborrowing spread of the bank andwhere Rb stands for a recovery rate ofthe bank to its unsecured lender. Recallthat the unsecured lender is assumed tobe risk-free so that in the case of λtthere is no credit risk involved anyway.

The data Qt, �t , bt and bt are specified inthe CSA contracted between the twoparties. Note that the above presentationcorresponds to “reduced-form” (or “pre-default”) modeling approach, under theimmersion hypothesis of a “referencefiltration” � into the full model filtration �.For more details the reader is referred tothe remark 2.1 in Crépey (2012b) and toCrépey and Song (2014). In this article, weonly work with pre-default values (which iswhy the default times of the parties areonly represented by the intensities �t

c , �tb

and ��t in the equations above).

DVA coefficient (dvat)

31

CVA coefficient (cvat)

LVA coefficient (lvat)

RC coefficient (rct)

-

-

-

-

�

(2)

(3)

(1)



In case � = Q = Π, where Π = P � Θ, (2) yields

The coefficient reduces to the remuneration of the collateral, which is exchanged between the two parties. Therefore in thiscase the bank’s price of the contract, Π, is also the counterparty’s price (cost of its hedge), say Π, so that � = Q = Π = Π. Inthis sense, this specification deserves the name of full collateralization. Note however that for b or b � 0, this specificationstill entails a TVA. It is only in the special case b = b = 0 (case where rt represents a symetrical interest rate on the postedcollateral, typically the OIS rate) that we have Θ = 0 and Π = P = � = Q = Π. There is then no need for pricing-and-hedging a(null) TVA. The problem reduces to the computation of a clean price P and a related hedge.

As it follows from the equations (1) and (2), the time-0 TVA can be represented as

By the four wings of the TVA, we mean its CVA, DVA, LVA and RC components. These terms have clear and distinct financialinterpretations so that it is worthwhile to consider them separately. However, it should be emphasized that they areinterdependent and must be computed jointly, as visible in the explicit dependence of LVA0 and RC0 on Θt in (4). In fact, the neatest decomposition is local, at the level of the instantaneous coefficient ft(ϑ) in (2). The positive (resp. negative)TVA terms, e.g. the CVA (resp. the DVA), are “deal adverse” (resp. “deal friendly”) as they increase (resp. decrease) the TVA Θand therefore decrease (resp. increase) the price Π = P � Θ ,with, depending on the sign of Π, a “less positive” Π interpreted asa lower buyer price by the bank or a “more negative” Π interpreted as a higher seller price by the bank. Note that such “buyerand seller” prices only reflect funding costs and not the issue of different pricing measures that can coexist in an incompletemarket (see El Karoui and Quenez (1995) or Eberlein, Madan, Pistorius, and Yor (2013), as well as Box 1).

Box 6 The “four wings” of the TVA

LVA0

DVA0

RC0

(4)

CVA0

Box 7 Full Collateralization CSA

We now discuss in box form important consequences of the structure (2) for the TVA coefficient f in (1), regarding thedecomposition of the all-inclusive TVA Θt (Box 6), the case of full collateralization (Box 7) and an asymetrical TVA approach thatcan be used for solving the puzzle of the benefit at own default (Box 8).


3.2 Numerical Solution

To solve the BSDE (1) numerically, thefirst step (“forwardation”) is to generate,forward in time by an Euler scheme, astochastic grid with n time steps and m =104 scenarios for an underlying factorprocess Xt (so that every involvedprocess f = ft(ω) can be rewritten as f (t,Xt(ω)) for a suitable function denoted bythe same letter as the process) and forthe clean value process Pt = P(t, Xt) ofthe contract.The second step (“backwardation”) is tocompute the TVA process Θt, backwardin time, by nonlinear regression on thetime-space grid generated in theprevious step. We thus approximate by�j

t on the grid the solution Θt(ω) to (1),where the time-index i runs from 1 to nand the space-index j runs from 1 to m.Denoting by Θi = (Θj

t)1�j�m the vector ofTVA values on the space grid at time i,we have Θn = 0 and then, for everyi = n - 1, ..., 0 and j = 1, ..., m (assuming auniform time-step h= ):

where is an estimate for theconditional expectation given (see e.g. Sect. 6.10.2 in Crépey(2013)).

Note that in case of an exotic contractwith no explicit formula for P(t, x) in thefirst step, an approximate computationof the process Pt can be done jointly withthat of Θt in the second step (see Box 9).

3.3 Toy example

33

In practice the bank can hardly hedge its jump-to-default and, therefore, cannot monetize (“benefit” from) its default unlessand before it actually happens. To be consistent with this view, one can avoid to reckon any benefit of the bank from its owndefault by setting Rb = Rb = 1, Rb = Rb = 1. Indeed, in this case, (2) reduces to

where the DVA coefficient disappears (for Rb = 1) and where the borrowing funding basis λt is interpreted as a pure liquidityfunding cost. Such an asymmetrical (but still bilateral) TVA approach allows one to avoid the difficulties and the paradoxrelated to the benefit of the bank at its own default time and the puzzle for the bank of having to hedge its own jump-to-default in order to monetize the corresponding “benefit” prior to its default (see Sect. 2). This approach is also justified withregard to the fact that the benefits at own defaults are in effect cashflows to senior bondholders, whereas only the interestof the shareholders should be considered in the optimization (or hedging) process of the bank (see Albanese, Brigo, andOertel (2013) and Albanese and Iabichino (2013)).

Box 8 Best practice: Asymmetrical TVA approach?

Simulation/regression schemes always require imaginative thinking to findappropriate regressors depending on the markets and products underconsideration. In this regard, it is important to distinguish between:• computing by simulation/regression the exposure (mark-to-market and colla-teral) at all points of a simulated grid of the factor processes, for whichlow-dimensional regressions can be performed independently for the differentcontracts of a CSA portfolio, using the one to three (say) more relevant risk fac-tors for each product,

• solving an intrinsically high-dimensional nonlinear TVA (including FVA) equa-tion at the portfolio all-factors level. Then, except for low-dimensional toyexamples (cf. Fig. 5 and 6), simulation/regression schemes are no longer appro-priate. Purely forward branching particles schemes can be used instead but inhigh-dimension they may be subject to variance issues. One can must then useapproximations, such as the expansions of Fujii and Takahashi (2012).

Box 9 Nonlinear regressions

Tn

3 Up to a mild path-dependence of a swap reflecting the payments in arrears (see Sect. 5.1 in Crépey, Gerboud, Grbac, and Ngor (2013)).

(6)

(5)

-

-

�

�

�

�

-

Following the methodology of Sect. 3.2, we compute the TVA of the bank regardingthe interest-rate swap of Figure 1. We use n = 100 uniform time steps, m = 104

scenarios and (essentially3) Xt = rt. The outputs of the first step are visible in Fig. 1. Forthe second step, we use the TVA parametersγb = 5%, γc = 7%, γ = 10%, b = b = λ = 1.5%, λ = 4.5%

and we consider five possible CSA specifications (a with DVA benefit at default, bcollateralized, c with DVA and funding benefits at default, d without benefit at default,e without benefit at default and with pre-default close-out valuation):

a. (Rb, Rb, Rc) = (100, 40, 40)%, Q = P, � = 0b. (Rb, Rb, Rc) = (100, 40, 40)%, Q = P, � = Q = Pc. (Rb, Rb, Rc) = (40, 40, 40)%, Q = P, � = 0d. (Rb, Rb, Rc) = (100, 100, 40)%, Q = P, � = 0e. (Rb, Rb, Rc) = (100, 100, 40)%, Q = P � Θ, � = 0.

--

-

-

-

-

-(7)


Figure 5

TVA process of the bank on the swap of Figure 1, computed by simulation/regression under the CSA specifications a(left) and b (right). Each graph shows twenty paths of the TVA process at two hundred time points, along with theprocess mean and 2.5/97.5-percentiles as a function of time, all computed using m = 104 simulated paths of rt.


The clause Q = P � Θ in case erepresents the situation (admittedlyrather artificial) of a bank that would bein a “dominant” position, able to imposethe value of the contract from its ownperspective (“cost of its own hedge”),i.e. Π, for the CSA close-out valuationprocess Q. Fig. 5 shows, in the sameformat as the clean price process of theupper graph in Figure 1, the TVAprocess obtained in cases a (upperpanel) and b (lower panel), using a

nearest neighbors average estimatefor in (6) (see Hastie, Tibshirani, andFriedman (2009)). Note the differentscales of the y-axis (smaller values inthe case b that corresponds to fullcollateralization, i.e. no CVA/DVA).

Tab. 1 shows the time-0 TVA of the bankand its decomposition into time-0 CVA,DVA, LVA and RC for the swap of Fig. 1and 5, for each CSA specification a to e(recall that the fixed leg of the swap isworth ⇔ 100 at inception). The numericalresults are consistent with the CVA/DVA/LVA/RC interpretation of the fourcomponents in the right-hand side of(2). In case a, the “highly positive” CVA

of 3.28 reflects the fact that the bank is,on average over the lifetime of theswap, in-the-money, due to theincreasing term structure of interestrates. The DVA, on the contrary, ismoderate (-0.64). The LVA is quiteimportant (2.41). ARC of (-1.92) is notnegligible with respect to the other threecomponents. Next, passing from:

a→ b: the CVA and DVA vanish; thedominant effect is the cancellation ofthe previously highly positive CVA,resulting in a lower TVA, whence ahigher buyer price (cost of the hedge)for the bank;

a→ c: a funding benefit at own default isacknowledged by the bank, resulting inlower LVA and TVA, whence a higherbuyer price;

a→ d: the DVA is ignored by the bank asfake benefit, resulting in a higher TVA,whence a lower buyer price;

d→ e: the RC vanishes and the CVA alsochanges.

For these data the LVA is significant andpositive in cases a, d and e. Note that allthese numbers could be much higher (in

Θ0 CVA0 DVA0 LVA0 RC0a 3.17 3.28 -0.64 2.41 -1.92

b 0.51 0.00 0.00 0.81 -0.31

c 2.08 3.28 -0.64 0.66 -1.25

d 3.59 3.28 0.00 2.38 -2.11

e 4.80 2.49 0.00 2.26 0.00

Table 1: Time-0 TVA and CVA, DVA, LVA and RC components corresponding to a long position in theswap of Fig. 1 and 6.


absolute value) in a model accountingfor wrong-way risk dependence effectsbetween interest rates and credit risk(see e.g. Brigo, Morini, and Pallavicini(2013)).

Case of a Short Position Tab. 2 and Fig. 6 display the resultsanalogous to the previous ones in caseof a bank with a short position in theswap of Figure 1. Observe that, becauseof the nonlinear, nonsymetrical fundingdata, the numbers in Tab. 2 are notsimply the opposite of those in Tab. 1. Incase a, the “highly negative” DVA of (-2.34) reflects the fact that the bankshortening the swap is, on average overthe lifetime of the swap, out-of-the-money, due to the increasing termstructure of interest rates. The CVA, onthe contrary, is a moderate 0.90.

This time, passing from:a→ b: the CVA and DVA vanish; thedominant effect is the cancellation ofthe highly negative DVA of case a,resulting in a higher TVA (in spite of adecrease of the LVA), whence a lowerbuyer price for the bank;

a→ c: a funding benefit at own default isacknowledged by the bank, resulting inlower LVA and TVA, whence a higherbuyer price;

a→ d: the DVA is ignored by the bank asfake benefit, resulting in a higher TVA,whence a lower buyer price;d→ e: the RC vanishes and the CVA alsochanges.

For these data, the LVA is significantnegative in cases c (due to theacknowledgement of a funding benefitat own default) and b.

In conclusion, the interpretation andchoice of the parameters, own defaultbenefit parameters Rb and Rb inparticular, has tangible consequences interms of, for instance, the relevance ofentering in a deal or not.

4. Collateral4.1 Wrong-Way and Gap Risks

The variation margin regularly updatedby the two parties to mitigate the coun-terparty risk arising from changes in themark-to-market of the portfolio cannotsuffice to guarantee a perfect collaterali-zation. The margin period of risk betweenthe last margin call before the default andthe close-out of the position induces gaprisk, i.e. risk of mismatch between theposition and its collateral. On certainclasses of assets, notably credit deriva-tives (since credit cash flows are to someextent unpredictable; think of Lehmancollapsing over a weekend), finding anefficient collateralization scheme is parti-cularly difficult (see Tab. 3).

35

Θ0 CVA0 DVA0 LVA0 RC0a -0.93 0.90 -2.34 -0.15 0.68

b -0.44 0.00 0.00 -0.72 0.29

c -1.34 0.90 -2.34 -0.72 0.85

d 0.45 0.90 0.00 -0.32 -0.12

e 0.43 0.76 0.00 -0.32 0.00

Figure 6 Analog of Figure 5 in case of a short swap position of the bank in the swap of Figure 1.

Table 2: Analog of Tab. 1 in case of a short swap position of the bank in the swap of Figure 1.

-


For this reason and also in view of thepreviously under-estimated systemicrisk, Basel III, Dodd-Franck in the USand EMIR in Europe push dealers toclear as many trades as possible. Cen-tral clearing (more specifically dealt within Sect. 5) will even become manda-tory for flow products that are traded onan exchange. On top of the traditionalvariation margin, a clearing house miti-gates gap risk by asking to all its clientsan additional layer of collateralization,the initial margins, which are segrega-ted. In addition, starting January 2015,an even bilateral (non cleared) transac-tion initiated between two dealers (not with end-clients, for which thiswould put an excessive liquidity pres-sure) will have to be collateralized undera so-called sCSA, i.e. standard CSA,including not only variation but also ini-tial margins (called in this contextindependent amount) and excluding“exotic” CSA clauses such as collateraloptionalities. The determination of themargin calls procedure, including thepossibility or not to compute them ataggregated levels across differentclasses of assets, has been the topic ofintensive discussion and debate bet-ween banks and regulators (see BaselCommittee on Banking Supervision andBoard of the International Organizationof Securities Commissions (2012,2013)).

Current estimates are that about half of the business will become centrallytraded and the rest (most of the exoticbusiness in particular) will stay bilateral.Anyway in the future CVA will still bethere via in particular shadow-banking

(OTC trading between banks and hedgefunds), which is not regulated.

4.2 Liquidity

Extensive collateralization requires ahuge amount of cash or liquid assets(see Singh and Aitken (2009), Singh(2010), Levels and Capel (2012)), so thatthe current regulatory trend puts a highpressure on liquidity. This can be parti-cularly tough for corporates, which iswhy end-clients are not commited todealers’ obligations of clearing tradesthat are proposed on an exchange.

Some people claim that huge reservesof liquidity are not exploited by the sys-tem, stuck in custodians (e.g. Bank ofNew York), which follow the “Romanlaw” of keeping deposits without rein-vesting them, and have been verypopular during the crisis (even at nega-tive deposit rates!). Another perspectivecould be a securitization of the CVA,whereby the payment of the margincalls would be transferred to investors(see Albanese, Brigo, and Oertel(2013)). A similar possibility regardingFVA was recently considered in Alba-nese and Iabichino (2013). Perhaps theintroduction of financial devices makingsuch risk transfers possible couldindeed be a solution to the CVA, DVA,FVA and other XVA spiral. However, it isfar from clear that the regulators will buysuch ideas after the 2008 subprimedebacle of securitization of assets assimple as bonds.

Finally, an excessive collateralizationcan damage recovery rates (see Kenyonand Stamm (2012)) So collateralizationdoes not only raise liquidity and syste-mic risk concerns, it can also worsenthe severity of defaults as they occur.

5. Clearinghousesand CentrallyCleared Trading

The current trend of the regulation is topush dealers to negotiate via CCPs, i.e.central counterparties (or clearinghouses).In the case of centrally cleared trading,the counter-party risk is transferredfrom the counterparties themselves tothe clearing house and from contracts(or portfolios) to margin calls. A clearing-house can deal with risk differently, on amutualization basis. A CCP asks for adouble layer of collateralization to itsclients: variation and initial margin.Cleared transactions were found to bebetter managed in the crisis than bilate-ral transactions, but at that time themost toxic assets were not cleared.Centrally cleared trading differs frombilateral trading by several distinguisingfeatures, notably the margining proce-dure and the default/auction procedures(see Sect. 5.1). Differences between themargining procedures of bilaterally andcentrally cleared trades have pricing


Naked Collateralized

Tranche 0-5% 5-35% 35+% 0-5% 5-35% 35+%

CVA 4.78 2.96 2.44 3.41 2.73 2.26

σ 0.08 0.24 0.20 0.05 0.16 0.14

%σ 1.6 8.1 8.2 1.4 6.0 6.0

Table 3: Naked (uncollateralized) versus continuously collateralized CVA on CDO tranches in the common-shock model used in Crépey and Rahal (2014). Each

of the one hundred obligors has a notional of 100, so that the maximal loss on the tranche (a, b) is (b − a) × 104, e.g. 5% × 104 = 500 for the equity tranche.

In the common-shock model (see Part IV of Crépey, Bielecki, and Brigo (2014), or see Bielecki, Cousin, Crépey, and Herbertsson (2013) for an informal intro-

duction), the impact of the collateralization is very limited, especially for higher tranches. So, for the equity tranche 0-5%, the naked CVA is 4.78, whereas the

collateralized CVA is 3.41. For the 35 + % tranche these numbers respectively become 2.44 and 2.26. That’s because in this model the main source of coun-

terparty risk is joint defaults, which can hardly be collateralized (at least by the variation margin that is used here, hence the need for initial margins).


implications that are analyzed in Cont,Mondescu, and Yu (2011) (see also Pal-lavicini and Brigo (2013)). So, quotingMorini (2013) (see also Risk MagazineJuly 2013): “It is well known, throughthe mathematics of convexity adjust-ments, that the price of a futurescon-tract has to be greater than theprice of the corresponding forwardcontract. However, the reverse relationhas been observed in July 2013, andmarket participants say the reason isFRAs have now been moved to CCPs,and initial margin affects pricing.”

A clearinghouse can set up bettermanagement for collateral, by calling forvariation margins five to six times perday, versus daily (at best) for a bank. Ini-tial margins can be updated too, up toa daily basis. However, there are a num-ber of issues with clearinghouses. Thefirst one is fragmentation. Clearing hasto go by asset classes, since otherwise,in case of a default, holders of moreliquid assets (e.g. interest rate swaps)are treated much faster and better thanholders of less liquid ones (e.g. CDS).But this implies a large number of clea-ringhouses, whereas Duffie and Zhu(2011) have argued that a large numberof clearinghouses fragment the marketand make it inefficient in the end. Acontrario Cont and Kokholm (2012)claim that this conclusion only holdsunder irrealistic homogeneity assump-tions on the financial network. Maybe itwould be better to restrict clearing tosome asset classes.

The liquidation strategy of a defaultedmember by the clearinghouse is ano-ther im-portant issue, considered inAvellaneda and Cont (2013). But thesolution they propose requires a ratherliquid market, whereas in the case ofCDS clearly, but even of interest rateswaps, the market is concentratedamong very few major players.

The generalization of central clearingand collateralization poses severe liqui-dity, systemic and concentration issues(see Duffie (2010), Cont, Santos, andMoussa (2013)), along with the dangerof creating “too big to fail” (or “tooconnected to fail”) clearinghouses.

5.1 Margining and defaultprocesses4

In the case of centrally cleared tradingwith double level of margins (variationand initial) updated at regular time inter-vals, the main modeling issue concernsthe margining schemes (since the resi-dual counterparty risk after mitigationby the margins becomes negligeable,the issue of hedging becomes ofsecondary importance). The variationmargin tracks the mark-to-market of theportfolio up to some thresholds (“freecredit lines” of the clients) and minimaltransfer amounts (to avoid transfers oflittle use). As for the initial margins to beprovided by the clients of a CCP, thestandard procedure uses quantiles ofthe portfolio loss distribution, at a timehorizon determined both by the fre-quency of the variation margins call(which for centrally cleared transactionscan be very short, e.g. a few hours) andby a cure period (time of liquidating theportfolio) usually estimated as five days.Regarding the determination of thequantiles, Gaussian VaR models aregenerally banned since the crisis andpeople typically focus on either Paretolaws or on historical VaR (sometimesbootstrapped to make it a bit richer).With the crisis, the focus has shiftedfrom the cores of the distributions,dominated by volatility effects, to theirqueues, dominated by scenarios of cri-sis and default events. A “good” model(see Lopez, Harris, Hurlin, and Pérignon(2013) for a tentative axiomatisation) isone in which the margins increase suffi-ciently fast with the volatility of themarket, without decreasing too quicklywhen the market gets more quiet. So, acertain asymetry of the margining pro-cess matters. Important points ofconcern are: procyclicity, as marginsadjust to market volatility (especially viahaircuts which increase with the dis-tress of the posting party); liquidity,given the generalization of centrallycleared trading and collateralization.This being said, one can say that thewhole margining process worked wellon interest rate swaps during the crisis(at that time there was no clearing ofCDS).

The default process refers to what hap-pens in case of a default of a member.The liquidation of the defaulted name isachieved by a team of traders of themembers. Their first commitment is tohedge the book of the defaulted namein order to avoid speculative trading.Then the members are asked to providebids on the assets of the defaultednames. This procedure, called the auc-tion process, is based on voluntary bidsby the members. In case of residuallosses beyond the margins (variationplus initial margin) of the defaultedname, the clearinghouse uses itsdefault fund (or guarantee fund, contri-buted by the members based onhigher-order, “rarer events” quantilesthan those guaranteed through theirvariation and initial margins).

Acknowledgements

This paper benefited from fruitful dis-cussions and exchanges with ClaudioAlbanese (Global Valuation Limited andKing’s College London), Tom Bielecki(IIT Chicago), Damiano Brigo (ImperialCollege London), Antonio Castagna(Iason consulting), Giovanni Cesari(UBS London), François Dezorme(Europlace Institute of Finance),Raphaël Douady (CNRS/university Paris1-Sorbonne and Riskdata), Nicole ElKaroui (university Paris 6-Jussieu),Jean-Paul Laurent (university Paris 1-Sorbonne and BNP-Paribas London),Andrea Pallavicini (Banca IMI), MarekRutkowski (university of Sydney) andGary Wong (Ipotecs). Thanks toMonique Jeanblanc for her careful rea-ding of the manuscript.

37

4 We thank Françoise Dezorme (Europlace Institute of Finance) for the discussion with him on this topic.



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Stéphane Crépey

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