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Opérations sur les fonctions

Table des matières

1 fonctions usuelles 21.1 activité 1 : sens de variation des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 corrigé activité 1 : sens de variation des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 fonctions associées 62.1 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 corrigé exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 évaluation 16

4 corrigé devoir maison 18

5 corrigé devoir maison 2 23

6 évaluation 26

1

1 fonctions usuelles

1.1 activité 1 : sens de variation des fonctions usuelles

1. compléter sans démonstration les tableaux ci dessous concernant les fonctions usuelles

fonction variations courbe

fonction affinef(x) = ax+ b avec a > 0Df = ...

x

f(x)

... l’ordre sur ...

fonction affinef(x) = ax+ b avec a < 0Df = ...

x

f(x)


fonction carréef(x) = x2

Df = ...

x

f(x)

...

fonction inversef(x) = ...

Df = ...

x

f(x)

...

fonction racinef(x) = ...

Df = ...

x

f(x)

...

fonction valeur absoluef(x) = ...

Df = ...

x

f(x)

...

2.(a) démontrer le sens de variation pour chacune des fonctions précédentes(on pourra étudier le signe de f(x2)− f(x1) en fonction du signe de x2 − x1 pour x1 < x2 )

(b) sachant que 0 <√2 < π , ordonner les couples de nombres suivants sans aucun calcul et

en justifiant

i. 3√2− 10 et 3π − 10

ii. −4√2 + 5 et −4π + 5

iii.1√2

et1

π

iv. (√2)2 et π2

v. |√2| et |π|

vi.√√

2 et√π

(c) est-il vrai que ? : "∀x ∈ R si x < 9 alors x2 < 81"

(d) est-il vrai que ? : "∀x ∈ R si x > −10 alors1

x< − 1

10"

1.2 corrigé activité 1 : sens de variation des fonctions usuelles



fonction affinef(x) = ax+ b avec a > 0Df = R

x −∞ +∞+∞

f(x) ր−∞

conserve l’ordre sur R

fonction affinef(x) = ax+ b avec a < 0Df = R

x −∞ +∞+∞

f(x) ց−∞

change l’ordre sur R

fonction carréef(x) = x2

Df = R

x −∞ +∞+∞ +∞

f(x) ց ր0

change l’ordre sur R−

conserve l’ordre sur R+

fonction inverse

f(x) =1

xDf = R

∗

x −∞ 0 +∞0 || +∞

f(x) ց || ց−∞ || 0

change l’ordre sur R∗−

change l’ordre sur R∗+

fonction racinef(x) =

√x

Df = R+

x −∞ +∞+∞

f(x) ր0


fonction valeur absoluef(x) = |x|Df = R

x −∞ +∞+∞ +∞

f(x) ց ր0

change l’ordre sur R−


2.(a) démontrer le sens de variation pour chacune des fonctions précédentes(on pourra étudier le signe de f(x2)− f(x1) en fonction du signe de x2 − x1 pour x1 < x2 )

i. montrons que la fonction affine f(x) = ax+ b avec a > 0 croît sur R

Pour cela, on étudie le signe de f(x2)− f(x1) sachant que x1 et x2 sont deux réels avecx1 < x2

Soient x1 < x2 deux réelson a donc x2 − x1 > 0de plus f(x2)− f(x1) = (ax2 + b)− (ax1 + b) = ax2 + b− ax1 − b = a(x2 − x1)donc f(x2)− f(x1) > 0 en tant que produit de deux réels positifs x2 − x1 et adonc f(x1) < f(x2)pour résumer : x1 < x2 =⇒ f(x1) < f(x2)conclusion : x 7−→ ax+ b avec a > 0 croît sur R

ii. montrons que la fonction carrée décroît sur R−

Pour cela, on étudie le signe de f(x2) − f(x1) sachant que x1 et x2 sont deux réels né-gatifs avec x1 < x2

Soient x1 < x2 < 0 deux réelson a donc x2 − x1 > 0 et x2 < 0 et x1 < 0de plus f(x2)− f(x1) = (x2)

2 − (x1)2 = (x2 − x1)(x2 + x1)

donc f(x2) − f(x1) < 0 en tant que produit d’un réels positifs x2 − x1 par un réelnégatif x2 + x1donc f(x2) < f(x1)pour résumer : x1 < x2 < 0 =⇒ f(x1) > f(x2)conclusion : x 7−→ x2 décroît sur R

−

iii. montrons que la fonction inverse décroît sur R∗−

Pour cela, on étudie le signe de f(x2) − f(x1) sachant que x1 et x2 sont deux réels né-gatifs avec x1 < x2

Soient x1 < x2 < 0 deux réelson a donc x2 − x1 > 0 et x2 < 0 et x1 < 0

de plus f(x2)− f(x1) =1

x2− 1

x1=

x1 − x2

x1x2donc f(x2)− f(x1) < 0 en tant que quotient d’un réels négatif x1 − x2 par un réelpositif x1x2donc f(x2) < f(x1)pour résumer : x1 < x2 < 0 =⇒ f(x1) > f(x2)

conclusion : x 7−→ 1

xdécroît sur R

∗−

(b) sachant que 0 <√2 < π , ordonner les couples de nombres suivants sans aucun calcul et

en justifiant

i. 3√2− 10 < 3π − 10 car x 7−→ 3x− 10 croît sur R

ii. −4√2 + 5 > −4π + 5 car x 7−→ −4x+ 5 décroît sur R

iii.1√2>

1

πcar x 7−→ 1

xdécroît sur R

+∗

iv. (√2)2 < π2 car x 7−→ x2 croît sur R

+

v. |√2| < |π| car x 7−→ |x| croît sur R

+

vi.√√

2 <√π car x 7−→ √

x croît sur R+

(c) est-il vrai que ? : "∀x ∈ R si x < 9 alors x2 < 81" : non car (−10)2 > 81 et pourtant −10 < 9

(d) est-il vrai que ? : "∀x ∈ R si x > −10 alors1

x< − 1

10" : non car

1

5> − 1

10et pourtant 5 > −10

2 fonctions associées

2.1 à retenir

propriété 1 : (somme d’une fonction avec un nombre)

quelles que soient les fonctions f et u définies sur un intervalle I de R et ∀k ∈ R

si✞✝

☎✆∀x ∈ I, f(x) = u(x) + k alors

✞✝

☎✆f et u ont les mêmes sens de variations sur I

remarque : on peut noter plus simplement f = u+ k sur I ⊂ R

et on dit : "ajouter une constante à une fonction ne change pas son sens de variation"

exemple : f(x) = x2 + 100 pour x ∈ [0; 10]

f = u+ k avec

{

u : x 7−→ x2

k = 100donc f et u ont les mêmes sens de variations sur [0; 10]

or u : x 7−→ x2 croît sur [0; 10] donc f croît sur [0; 10]

propriété 2 : (produit d’une fonction par un nombre)

quelles que soient les fonctions f et u définies sur un intervalle I de R et ∀k ∈ R∗

si✞✝

☎✆∀x ∈ I, f(x) = k × u(x)

alors

{

si k > 0 alors✞✝


si k < 0 alors✞✝

☎✆f et u ont des variations contraires sur I

remarque : on peut noter plus simplement f = ku sur I ⊂ R

et on dit : "multiplier une fonction par une constante positive (resp : négative) strict nechange pas (resp : change) son sens de variation"

exemple : f(x) = −100x2 pour x ∈ [−10; 0]

f = ku avec

{

u : x 7−→ x2

k = −100 et k < 0donc f et u ont des variations contraires sur [−10; 0]

or u : x 7−→ x2 décroît sur [−10; 0] donc f croît sur [−10; 0]

propriété 3 : (racine carrée d’une fonction positive)

quelles que soient les fonctions f et u définies sur un intervalle I de R

si✞✝

☎✆∀x ∈ I, f(x) =

√

u(x) et✞✝

☎✆u(x) ≥ 0 alors

✞✝


remarque : on peut noter plus simplement f =√u et u > 0 sur I ⊂ R

on dit : "u et√u ont mêmes sens de variations pour u > 0"

exemple : f(x) =√3x− 30 pour x ∈ [10;+∞[

f =√u avec

{

u : x 7−→ 3x− 30u(x) ≥ 0 sur [10;+∞[

donc f et u ont mêmes sens de variations sur [10;+∞[

or u : x 7−→ 3x− 30 croît sur [10;+∞[ donc f croît sur [10;+∞[

propriété 4 : (inverse d’une fonction non nulle )

quelles que soient les fonctions f et u définies sur un intervalle I de R

si

✎

✍

☞

✌∀x ∈ I, f(x) =

1

u(x)et

✞✝

☎✆u(x) 6= 0 alors

✞✝

☎✆f et u ont des variations contraires sur I

remarque : on peut noter plus simplement f =1

uet u 6= 0 sur I ⊂ R

on dit : "u et1

uont des variations contraires pour u 6= 0"

exemple : f(x) =1

3x− 30pour x ∈]10;+∞[

f =1

uavec

{

u : x 7−→ 3x− 30u(x) 6= 0 sur ]10;+∞[

donc f et u ont des variations contraires sur ]10;+∞[

or u : x 7−→ 3x− 30 croît sur ]10;+∞[ donc f décroît sur ]10;+∞[

2.2 exercices

exercice 1 :

1. étudier le sens de variation de la fonction et vérifier à la calculatrice graphique

(a) f(x) =√x− 4 pour x ≥ 0

(b) f(x) =−5

xpour x > 0

(c) f(x) =1

|x| pour x < 0

(d) f(x) =√x2 pour x < 0

2. de même en raisonnant en plusieurs étapes

(a) f(x) = −2x2 + 5 sur R+

(b) f(x) =−2

3x− 5 sur R

+∗

(c) f(x) =−5

−x+ 3− 2 pour x > 3

(d) f(x) = −3√x+ 12 sur R

+

(e) f(x) =3

−2√x+ 6

pour x > 9

(f) f(x) = 3− 4

x− 6pour x > 6

exercice 2 :

1. la période T (en secondes) d’un pendule pesant, pour de petites oscillations, est donnéeen fonction de la longueur du fil l (en m) et de l’accélération de la pesanteur g en (ms−2)

par T = 2π

√

l

g

(a) i. la période est-elle une fonction croissante ou décroissante de la longueur du fil ? (donner une démonstration)

ii. toutes choses égales par ailleur, deux pendules ont des longueurs de fil l1 < l2, lequela la plus grande période d’oscillation ?

(b) i. la période est-elle une fonction croissante ou décroissante de l’accélération de lapesanteur ? ( donner une démonstration)

ii. toutes choses égales par ailleur, deux pendules sont placés dans des champs de pe-santeurs différents g1 < g2, lequel a la plus grande période d’oscillation ?

2. la force d’attraction F qu’exerce un corps de masse m1 (en kg) sur un corps de masse m2

est donnée en fonction de la distance d 6= 0 (en m) qui les sépares par F = Gm1m2

d2où G

est une constante universelle

(a) la force F est-elle une fonction croissante ou décroissante de d ? ( donner une démons-tration)

(b) donner une interprétation de ce résultat

exercice 3 :

Soit f la fonction dont le tableau de variations est donné ci dessousx -10 -4 -2 2 3 10

9 16ց ր ց

f(x) 0 0 0ց ր

-4

1. donner les tableaux de variations des fonctions définies ci dessous :

(a) g(x) = f(x)− 10

(b) h(x) = 10− f(x)

(c) i(x) =√

f(x)

(d) j(x) =1

f(x)

exercice 4 :

Deux cargos (de longueurs 100m) suivent des routes rectilignes et perpendiculaires à lamême vitesse.Quand le premier est encore à 10 kilomètres de l’intersection de leurs trajectoires, l’autreest à 8 kilomètres de ce point.Il y a de la brume et la visibilité n’excède pas 1,4 kilomètres.Le problème est le suivant : pourront-ils se voir à un moment de leurs parcours ?

1. soit v = 10 (en km.h−1) la vitesse commune aux deux cargossoit t (en heures) la durée écoulée depuis leurs passages respectifs à 10km et 8km del’intersection de leurs trajectoires

(a) montrer que la distance entre les deux cargos est donnée en fonction de t pard(t) =

√200t2 − 360t + 164

(b) étudier les variations de la fonction f définie sur R par f(t) = 200t2 − 360t+ 164

(c) en déduire les variations de la fonction d sur R

(d) en déduire la réponse à la question posée initialement

2. cette fois, on ne connaît pas la valeur de la vitesse v,reprendre les questions précédentes en gardant la vitesse v en paramètres et conclure

3. avec géogébra, créer deux curseurs 0 ≤ v ≤ 20 de pas 0.01 et 0 ≤ t ≤ 10 de pas 0.01représenter les cargos par des points A et B définis par leurs coordonnéesreprésenter le segment [AB] et afficher la distance AB

représenter le cercle de centre A et de rayon 1, 4 (champ de vision du cargos A) ainsique le champ de vision de B

vérifier s’il y a cohérence avec les résultats précédents (estimer la distance minimaleet les positions respectives des deux cargos pour ce minimum)

exercice 5 : étude de fonction rationnelle

ce mois ci, une centrale de distribution fournit de manière exclusive 120 magasins d’ undépartement qui compte 150 points de ventes au total.on suppose que dans ce département, en moyenne et chaque mois, il se crée 4 nouveauxpoints de ventes et que la centrale de distribution arrive à convaincre un de ces 4 nouveauxpoints de ventes d’être son fournisseur exclusif.

i. calculer selon les données ci dessus la proportion des points de ventes que « détient »la centrale ce mois ci ainsi que dans 30 ans.

ii. montrer que la proportion des points de ventes détenus par la centrale dans x mois

est donnée par p(x) =x+ 120

4x+ 150pour x ≥ 0 puis que p(x) =

1

4+

165

8x+ 300iii. étudier les variations de p sur x ∈ [0; 360]

iv. la centrale de distribution gagne t-elle ou perd-elle des points de ventes mensuelle-ment ? (en données absolues puis relatives) (justifier)

v. dans combien de mois la centrale n’aurait-elle plus que 40% (puis 25%) des points deventes ?

vi. que semble t-il pour le pourcentage quand x devient très grand( x = 10000 par exemple ) ? donner une interprétation graphique.

Annexe : (courbe de p)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380

x

y

exercice 6 : étude de fonction rationnelleil y a actuellement 10000 personnes dans un stade dont 4000 femmes et 6000 hommeson suppose qu’il part chaque minute 100 femmes et 100 hommes (sans aucune arrivée)

1. calculer la proportion d’hommes actuellement ainsi que dans une une demi-heure.

2. montrer que la proportion d’hommes dans x mn est donnée par :

h(x) =−x+ 60

−2x+ 100pour 0 ≤ x ≤ 40

3. montrer que h(x) =1

2− 10

2x− 100pour 0 ≤ x ≤ 40

4. étudier les variations de h sur [0; 40]

5. commentez la "variation des hommes" dans le stade sur les premières 40 minutes desortie du stade

6. tracer la courbe de h, pour la sortie des hommes du stade sur les premières 40 minutesde sortie et compléter celle ci jusqu’au moment où le stade est vide

7. au bout de combien de temps le stade contient-il 90% d’hommes ?

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

x

y

2.3 corrigé exercices

corrigé exercice 1 :

1. étudier le sens de variation de la fonction et vérifier à la calculatrice graphique

(a) f(x) =√x− 4 pour x ≥ 0

x 7−→ √x croît pour x ≥ 0 (fonction usuelle)

x 7−→ √x + (-4) croît pour x ≥ 0 ( u mêmes variations que u+ k avec k = 4)(p1)

f est donc croissante pour x ≥ 0

(b) f(x) =−5

xpour x > 0

x 7−→ 1

xdécroît pour x > 0 (fonction usuelle)

x 7−→ 1

x×(−5) =

−5

xcroît pour x ≥ 0 (u variations contraires de ku avec k = −5)(p2)

f est donc croissante pour x > 0

(c) f(x) =1

|x| pour x < 0

x 7−→ |x| décroît pour x < 0 (fonction usuelle)

x 7−→ 1

|x| croît pour x < 0 (1

uvariations contraires de u avec u 6= 0)(p4)


(d) f(x) =√x2 pour x < 0

x 7−→ x2 décroît pour x < 0 (fonction usuelle)

x 7−→√x2 décroît pour x < 0 (u mêmes variations que

√u avec u ≥ 0)(p3)

f est donc décroissante pour x > 0

2. de même en raisonnant en plusieurs étapes

(a) f(x) = −2x2 + 5 sur R+

x 7−→ x2 croît sur R+ (fonction usuelle)

x 7−→ −2x2 décroît sur R+ (u variations contraires de ku avec k = −2)(p2)

x 7−→ −2x2 + 5 décroît sur R+ ( u mêmes variations que u + k avec k = 5)(p1)

f est donc décroissante sur R+

(b) f(x) =−2

3x− 5 sur R

+∗

x 7−→ 3x croît sur R+∗ (fonction usuelle)

x 7−→ 1

3xdécroît sur R

+∗ (1

uvariations contraires de u avec u 6= 0)(p4)

x 7−→ −2

3xcroît sur R

+∗ (u variations contraires de ku avec k = −2)(p2)

x 7−→ −2

3x− 5 croît sur R

+∗ (u mêmes variations que u+ k )(p1)

f est donc croissante sur R+∗

(c) f(x) =−5

−x+ 3− 2 pour x > 3

pour la correction, s’inpirer du f)

(d) f(x) = −3√x+ 12 sur R

+

pour la correction, s’inpirer a)

(e) f(x) =3

−2√x+ 6

pour x > 9

pour la correction, s’inpirer f)

(f) f(x) = 3− 4

x− 6pour x > 6

x 7−→ x− 6 croît pour x > 6 (fonction usuelle)

x 7−→ 1

x− 6décroît pour x > 6 (u variations contraires de

1

uavec u 6= 0)(p4)

x 7−→ 4× 1

x− 6=

4

x− 6décroît pour x > 6 (u mêmes variations que ku ; k = 4)(p2)

x 7−→ −1× 4

x− 6= − 4

x− 6croît pour x > 6 (u variations contraires de ku ; k = −1)(p2)

x 7−→ − 4

x− 6+ 3 = 3 − 4

x− 6croît pour x > 6 (u mêmes variations que u + k )(p1)



1. la période T (en secondes) d’un pendule pesant, pour de petites oscillations, est donnéeen fonction de la longueur du fil l (en m) et de l’accélération de la pesanteur g en (ms−2)

par T = 2π

√

l

g

(a) i. la période est-elle une fonction croissante ou décroissante de la longueur du fil ? (donner une démonstration)

ii. toutes choses égales par ailleur, deux pendules ont des longueurs de fil l1 < l2, lequela la plus grande période d’oscillation ?

(b) i. la période est-elle une fonction croissante ou décroissante de l’accélération de lapesanteur ? ( donner une démonstration)

ii. toutes choses égales par ailleur, deux pendules sont placés dans des champs de pe-santeurs différents g1 < g2, lequel a la plus grande période d’oscillation ?

2. la force d’attraction F qu’exerce un corps de masse m1 (en kg) sur un corps de masse m2

est donnée en fonction de la distance d 6= 0 (en m) qui les sépares par F = Gm1m2

d2où G

est une constante universelle

(a) la force F est-elle une fonction croissante ou décroissante de d ? ( donner une démons-tration)

(b) donner une interprétation de ce résultat


Soit f la fonction dont le tableau de variations est donné ci dessousx -10 -4 -2 2 3 10

9 16ց ր ց

f(x) 0 0 0ց ր

-4

1. donner les tableaux de variations des fonctions définies ci dessous :

(a) g(x) = f(x)− 10

(b) h(x) = 10− f(x)

(c) i(x) =√

f(x)

(d) j(x) =1

f(x)


Deux cargos (de longueurs 100m) suivent des routes rectilignes et perpendiculaires à lamême vitesse.Quand le premier est encore à 10 kilomètres de l’intersection de leurs trajectoires, l’autreest à 8 kilomètres de ce point.Il y a de la brume et la visibilité n’excède pas 1,4 kilomètres.Le problème est le suivant : pourront-ils se voir à un moment de leurs parcours ?

1. soit v = 10 (en km.h−1) la vitesse commune aux deux cargossoit t (en heures) la durée écoulée depuis leurs passages respectifs à 10km et 8km del’intersection de leurs trajectoires

(a) montrer que la distance entre les deux cargos est donnée en fonction de t pard(t) =

√200t2 − 360t + 164

(b) étudier les variations de la fonction f définie sur R par f(t) = 200t2 − 360t+ 164

(c) en déduire les variations de la fonction d sur R

(d) en déduire la réponse à la question posée initialement

2. cette fois, on ne connaît pas la valeur de la vitesse v,reprendre les questions précédentes en gardant la vitesse v en paramètres et conclure

3. avec géogébra, créer deux curseurs 0 ≤ v ≤ 20 de pas 0.01 et 0 ≤ t ≤ 10 de pas 0.01représenter les cargos par des points A et B définis par leurs coordonnéesreprésenter le segment [AB] et afficher la distance AB

représenter le cercle de centre A et de rayon 1, 4 (champ de vision du cargos A) ainsique le champ de vision de B

vérifier s’il y a cohérence avec les résultats précédents (estimer la distance minimaleet les positions respectives des deux cargos pour ce minimum)

corrigé exercice 5 : étude de fonction rationnelle

ce mois ci, une centrale de distribution fournit de manière exclusive 120 magasins d’ undépartement qui compte 150 points de ventes au total.on suppose que dans ce département, en moyenne et chaque mois, il se crée 4 nouveauxpoints de ventes et que la centrale de distribution arrive à convaincre un de ces 4 nouveauxpoints de ventes d’être son fournisseur exclusif.

i. calculer selon les données ci dessus la proportion des points de ventes que « détient »la centrale ce mois ci ainsi que dans 30 ans.

ii. montrer que la proportion des points de ventes détenus par la centrale dans x mois

est donnée par p(x) =x+ 120

4x+ 150pour x ≥ 0 puis que p(x) =

1

4+

165

8x+ 300iii. étudier les variations de p sur x ∈ [0; 360]

iv. la centrale de distribution gagne t-elle ou perd-elle des points de ventes mensuelle-ment ? (en données absolues puis relatives) (justifier)

v. dans combien de mois la centrale n’aurait-elle plus que 40% (puis 25%) des points deventes ?

vi. que semble t-il pour le pourcentage quand x devient très grand ( x = 10000 par exemple) ? donner une interprétation graphique.

Annexe : (courbe de p)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380

x

y

corrigé exercice 6 : étude de fonction rationnelleil y a actuellement 10000 personnes dans un stade dont 4000 femmes et 6000 hommeson suppose qu’il part chaque minute 100 femmes et 100 hommes (sans aucune arrivée)

1. calculer la proportion d’hommes actuellement ainsi que dans une une demi-heure.

2. montrer que la proportion d’hommes dans x mn est donnée par :

h(x) =−x+ 60

−2x+ 100pour 0 ≤ x ≤ 40

3. montrer que h(x) =1

2− 10

2x− 100pour 0 ≤ x ≤ 40

4. étudier les variations de h sur [0; 40]

5. commentez la "variation des hommes" dans le stade sur les premières 40 minutes desortie du stade

6. tracer la courbe de h, pour la sortie des hommes du stade sur les premières 40 minutesde sortie et compléter celle ci jusqu’au moment où le stade est vide

7. au bout de combien de temps le stade contient-il 90% d’hommes ?

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

x

y

3 évaluation

nom , prénom : ... évaluations fonctions associées



fonction racinef(x) = ...

Df = ...

x

f(x)


fonction valeur absoluef(x) = ...

Df = ...

x

f(x)

...

2. au verso de cette feuille,démontrer le sens de variation de la fonction carrée sur R

−

(on pourra étudier le signe de f(x2)− f(x1) en fonction du signe de x2 − x1 pour x1 < x2 )

3. au verso de cette feuille,étudier le sens de variation des fonctions suivantes en justifiant chaque étape

(a) f(x) = −200− 2√x

pour x > 0

(b) f(x) =

√

10− 4

xpour x < 0

4. compléter le tableau de variations ci dessous

x -10 -4 -2 2 3

100 4ց ր ց

f(x) 0 0ց

-4

1

f(x)

√

f(x)

10− 2f(x)

4 corrigé devoir maison

corrigé exercice 11 page 55 :

f(x) =1√

2x− 5pour x ∈]5

2;+∞[

1. Df =?

f(x) n’existe que si 2x− 5 > 0 donc uniquement si x >5

2donc Df =]

5

2;+∞[

2. étude des variations de f sur I

x 7−→ 2x− 5 croît (fonction affine croissante car a = 2 et 2 > 0)

x 7−→√2x− 5 croît pour x >

5

2( u mêmes variations que

√u avec u > 0)

x 7−→ 1√2x− 5

décroît pour x >5

2( u variations contraires de

1

uavec u 6= 0)

✞✝

☎✆f est donc décroissante pour x ∈ I


f(x) =1√x− 1

pour x ∈ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[

1. Df =?f(x) n’existe que si x ≥ 0 et si

√x− 1 6= 0

donc uniquement si x ≥ 0 et si√x 6= 1

donc uniquement si x ≥ 0 et si x 6= 1

donc✞✝

☎✆Df = [0 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[

2. étude des variations de f sur [0; 1[

x 7−→ √x croît sur [0; 1[

x 7−→ √x− 1 croît sur [0; 1[ ( u mêmes variations que u+ k )

x 7−→ 1√x− 1

décroît sur [0; 1[ ( u variations contraires de1

uavec u 6= 0)

✞✝

☎✆f est donc décroissante pour x ∈ [0; 1[ de même

✞✝

☎✆f est décroissante pour x ∈]1 ; +∞[

corrigé 89 page 68

il faut nécessairement que : x ≥ 0il faut aussi que : 2x− 1 ≥ 0 soit x ≥ 0, 5il faut donc pour résumer que : x ≥ 0, 5

√x ≥

√2x− 1

x ≥ 2x− 1

−x+ 1 ≥ 0

1 ≥ x il faut aussi x ≥ 0, 5 conclusion : S = [0, 5; 1]


1. tableaux de variationsx -5 -3 -1 0 1 2 3

1 3ր ց ր ց

f(x) 0 0 0 1ց ր

-1

0 2ր ց ր ց

f(x)− 1 -1 -1 -1 0ց ր

-2

2ր ց

−2f(x) 0 0 0 -2ց ր ց ր

-2 -6

1√3

ր ց ր ց√

f(x) 0 0 0 1

||+∞ +∞|| ||+∞ 1|| ց ր || || ց ր

1

f(x)|| 1 || -1 ||

1

3|| || ր ց |||| ||−∞ −∞||

2.(a) courbes

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

(b)

3.(a)√

f(x) n’existe que si f(x) ≥ 0 donc pour x ∈ E avec E = [−5;−1] ∪ [1; 3]

(b) voir le tableau ci dessus

(c) voir la courbe ci dessus


1.(a) courbe de f

1

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2

y

(b) pour tout nombre x ∈]− 2;+∞[ il semble que f(x) < 2

(c) il semble que le tableau de variations de f soit pour x ∈]− 2;+∞[x -2 +∞

2f(x) ր

−∞

2.(a) 2− 5

x+ 2=

2(x+ 2)− 5

x+ 2=

2x− 1

x+ 2= f(x)

(b) pour x ∈]− 2;+∞[ on a x+ 2 > 0 ainsi que 5 > 0

donc5

x+ 2> 0 donc − 5

x+ 2< 0 donc 2− 5

x+ 2< 2

donc f(x) < 2

(c) x 7−→ x+ 2 croît pour x > −2 (fonction usuelle)

x 7−→ 1

x+ 2décroît pour x > −2 (u variations contraires de

1

uavec u 6= 0)

x 7−→ 5× 1

x+ 2=

5

x+ 2décroît pour x > −2 (u mêmes variations que ku ; k = 5)

x 7−→ −1× 5

x+ 2= − 5

x+ 2croît pour x > −2 (u variations contraires de ku ; k = −1)

x 7−→ − 5

x+ 2+ 2 = 2− 5

x+ 2croît pour x > −2 (u mêmes variations que u+ k )

f est donc croissante pour x > −2


1.(a) AM =√

(xM − xA)2 + (yM − yA)2

(b) AM =√

(xM − xA)2 + (yM − yA)2

AM =√

(x− 0)2 + ((x− 4)− 1)2

AM =√

(x− 0)2 + ((x− 4)− 1)2

AM =√

x2 + (x− 5)2

AM =√2x2 − 10x+ 25

2.(a)√2x2 − 10x+ 25 n’existe que si 2x2 − 10x+ 25 ≥ 0

or ∆ = −100 < 0donc le trinôme 2x2 − 10x+ 25 est du signe de a = 2 pour tout x ∈ R

donc√2x2 − 10x+ 25 existe pour tout x ∈ R

(b) on a :f(x) = 2x2 − 10x+ 25 donc f ′(x) = 4x− 10

x −∞ −(−10)

4= 2, 5 +∞

f ′(x) - 0 +

+∞ +∞u(x) ց ր

f(2, 5) = 12, 5

(c) u mêmes variations que√u avec u > 0

f a donc les mêmes variations que u

(d) la valeur minimale de AM est f(2, 5) =√12, 5

corrigé 86 page 68

il faut nécessairement que : x+ 7 ≥ 0 soit x ≥ −7il faut aussi que : x+ 1 ≥ 0 soit x ≥ −1il faut donc pour résumer que : x ≥ −1

√x+ 7 = x+ 1

x+ 7 = (x+ 1)2

x+ 7 = x2 + 2x+ 1

−x2 − x+ 6 = 0

∆ = 25, x1 = −3, x2 = 2

x = −3 est à rejeter car il faut x ≥ −1 conclusion : S = {2}

5 corrigé devoir maison 2


f(x) =1√x− 4

pour x ∈]4;+∞[

1. étude des variations de f sur I

x 7−→ x− 4 croît (fonction affine croissante car a = 1 et 1 > 0)

x 7−→√x− 4 croît pour x > 4 ( u mêmes variations que

√u avec u > 0)

x 7−→ 1√x− 4

décroît pour x > 4 ( u variations contraires de1

uavec u 6= 0)

✞✝

☎✆f est donc décroissante pour x ∈ I


f(x) = 2|x| − 1 pour x ∈ R

1. étude des variations de f sur R+

x 7−→ |x| croît (fonction usuelle)

x 7−→ 2|x| croît ( u mêmes variations que ku avec k > 0)

x 7−→ 2|x| − 1 croît ( u mêmes variations que k + u )

✞✝

☎✆f est donc croissante pour R

+

2. étude des variations de f sur R−

x 7−→ |x| décroît (fonction usuelle)

x 7−→ 2|x| décroît ( u mêmes variations que ku avec k > 0)

x 7−→ 2|x| − 1 décroît ( u mêmes variations que k + u )

✞✝

☎✆f est donc décroissante pour R

−


f(x) =−2

x2pour x ∈ R

1. étude des variations de f sur R+

x 7−→ x2 croît (fonction usuelle)

x 7−→ 1

x2décroît ( u et

1

ude variations contraires pour u 6= 0

x 7−→ −2

x2croît ( u et ku de variations contraires avec k < 0)

✞✝

☎✆f est donc croissante pour R

+

2. étude des variations de f sur R−

x 7−→ x2 décroît (fonction usuelle)

x 7−→ 1

x2croît ( u et

1

ude variations contraires pour u 6= 0

x 7−→ −2

x2décroît ( u et ku de variations contraires avec k < 0)

✞✝

☎✆f est donc décroissante pour R

+


1.(a) AM =√

(xM − xA)2 + (yM − yA)2

(b) AM =√

(xM − xA)2 + (yM − yA)2

AM =√

(x− 0)2 + ((x− 4)− 1)2

AM =√

(x− 0)2 + ((x− 4)− 1)2

AM =√

x2 + (x− 5)2

AM =√2x2 − 10x+ 25

2.(a)√2x2 − 10x+ 25 n’existe que si 2x2 − 10x+ 25 ≥ 0

or ∆ = −100 < 0donc le trinôme 2x2 − 10x+ 25 est du signe de a = 2 pour tout x ∈ R

donc√2x2 − 10x+ 25 existe pour tout x ∈ R

(b) on a

x −∞ −(−10)

2× 2= 2, 5 +∞

+∞ +∞u(x) ց ր

f(2, 5) = 12, 5

(c) u mêmes variations que√u avec u > 0

f a donc les mêmes variations que u

(d) la valeur minimale de AM est√12, 5

corrigé 85 page 68

il faut nécessairement que : x− 1 ≥ 0 soit x ≥ 1il faut aussi que : 3− x ≥ 0 soit x ≤ 3il faut donc pour résumer que : 1 ≤ x ≤ 3

√x− 1 = 3− x

x− 1 = (3− x)2

x− 1 = 9− 6x+ x2

x2 − 7x+ 10 = 0

∆ = 9, x1 = 2, x2 = 5

x = 5 est à rejeter car il faut 1 ≤ x ≤ 3 conclusion : S = {2}

6 évaluation

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