OndesetlectromagntismePARCOURSINGNIEURCours avec applicationsTests de connaissancesExercices avec corrigs dtaillsMaxime NICOLASPeiP1ercycle ingnieurPrpa intgreMaxime NICOLASProfesseur Polytech MarseilleOndeset lectromagntisme Dunod, Paris, 2009ISBN 978-2-10-054276-5Table des matiresAvant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiChapitre 1. Temps, espace, nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Temps, frquence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Espace, longueur donde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Chapitre 2. Les oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1 Quest-ce quun oscillateur ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Quatre exemples doscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Oscillateur harmonique non amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Oscillateur amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Forage et rsonance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6 Couplage de deux oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7 Couplage linaire de Noscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Chapitre 3. Lquation donde simple et ses solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1 quation donde simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2 Fonction donde monochromatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3 Superpositions et interfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64DunodLaphotocopienonautoriseestundlitiv Table des matiresSynthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Chapitre 4. Ondes et vibrations mcaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.1 Ondes de compression dans un solide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2 Corde vibrante : ondes transverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3 Vibrations transversales des membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.4 Vibration des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Chapitre 5. Ondes dans les uides : lacoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.1 Introduction sur les uides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.2 quations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.3 Hypothses de lacoustique linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.4 Linarisation des quations de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.5 quation donde acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.6 Vitesse du son. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.7 Ondes dans les tuyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.8 Intensit et niveau acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.9 Vrication des hypothses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.10Acoustique musicale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Chapitre 6. Ondes lectromagntiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.1 Dimensions, units et constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.2 Lois de llectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.3 Charges mobiles et courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.4 Lois de la magntostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.5 Induction lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.6 quations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.7 quation donde lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Table des matires v6.8 Propagation dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.9 Onde plane lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.10Polarisation des ondes lectromagntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.11nergie lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Chapitre 7. Ondes lectromagntiques et matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1607.1 Ce quest la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.2 Conduction lectrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627.3 Polarisation dun milieu matriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647.4 Induction magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.5 quations de Maxwell dans la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.6 quation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747.7 Propagation dans les milieux matriels homognes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.8 Ondes et interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.9 Lois de Snell-Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.10Rexion totale sur une interface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877.11Propagation guide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Chapitre 8. Ondes et vibrations non linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.1 Pendule pesant faiblement non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.2 Oscillations de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2048.3 Frottement solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2068.4 Optique non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2108.5 Loscillateur de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Annexe A. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219A.1 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219DunodLaphotocopienonautoriseestundlitvi Table des matiresA.2 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220A.3 Oprations vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221A.4 Oprateurs diffrentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221A.5 Relations utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223A.6 Thormes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Annexe B. Index des symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Bibliographie et rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Avant-proposPrsentesdansdesdomainesaussi diffrentsquelacoustiqueet llectromagn-tisme, lesondessontuniverselles.Cet ouvragesuit doncunchoixthmatiqueetpropose un parcours riche et vari dans la physique contemporaine, les phnomnesnaturels, les systmes appliqus et industriels et les dispositifs de laboratoire.Le premier chapitre met en place le vocabulaire, les dimensions et units des quan-titsphysiques utilespourdcrirelesphnomnes vibratoiresetondulatoires.Ledeuximechapitreestentirementconsacrauxoscillateurs, briquedebasepourconstruire une thorie des ondes. Plus mathmatique, le chapitre 3 prsente les outilset mthodes danalyse qui seront utiliss dans les chapitres suivants. Le chapitre 4offreunpanoramadesvibrationsetondesmcaniquesdansdessystmessolideset lastiques une, deux ou trois dimensions. Le chapitre 5 porte sur lacoustiquelinaire, avec une attention particulire pour les ondes sonores. Les chapitres 6 et 7sont consacrs llectromagntisme avec dabord des rappels sur llectrostatique,lamagntostatique,puisltablissementdesquationsdeMaxwell. Lessolutionsde propagation donde dans le vide puis dans les milieux matriels sont prsentes.Enn le chapitre 8 montre une ouverture vers les systmes non linaires.Cet ouvragesadresseprioritairement auxtudiantsdescyclesprparatoiresdescoles dingnieurs Polytech mais aussi aux lves ingnieurs ainsi quaux tudiantsde licence scientique. Peu de connaissances pralables sont ncessaires, si ce nestune bonne matrise de la loi de Newton, des lois de base de llectrostatique et de lamagntostatique, des techniques de drivation et dintgration et une bonne connais-sancedesfonctionscirculaireset exponentielles. Lesprincipauxoutilsmathma-tiques utiliss dans cet ouvrage sont rappels dans un formulaire (Annexe A).Dans chaque chapitre le lecteur trouvera des encarts loupe , qui dtaillent un pointun peu technique ou abordent un calcul plus spcialis, et des encarts application qui illustrent la thorie avec des exemples concrets.DunodLaphotocopienonautoriseestundlitviii Avant-proposLes exercices, dont les corrigs sont dtaills, sont classs en trois catgories : destests de connaissance sous forme de QCM, des exercices dapplication qui viennentillustrerlesrsultatsdunchapitre, etdesexercicesdapprofondissement quiper-mettent daller un peu plus loin ou de dtailler certains calculs qui ne sont pas dve-lopps compltement dans le chapitre. Le niveau de difcult des exercices dapplica-tion et dapprofondissement est signal par , ou . Les exercices de niveau seront plus protables aux tudiants de niveau L3 ou en formation dingnieur.En n douvrage, un index des symboles et un index terminologique pourront aiderle lecteur retrouver rapidement une notation, un terme ou une formule et le chapitrecorrespondant.Temps, espace, nergie1Plan ObjectifsCours1.1 Gnralits1.2 Temps, frquence1.3 Espace, longueur donde1.4 nergieSynthseExercicesCorrigs Dnir le vocabulaire Connatre quelques ordres degrandeur Comprendre et utiliser la notionde dimension dune grandeurphysiqueCoursNous sommes entours par les ondes. La lumire,leson, les vibrations dusol oudunemachine, lesvagues, sont des exemples varis qui peuvent toustredcritscomme des ondes. Ltude des ondes se place au carrefour de nombreux domaines dela physique microscopique ou macroscopique, de la mcanique, des mathmatiquesappliques, des sciences de la Terre, et mme des sciences de la vie. Malgr la varitdes phnomnes rencontrs, nous pouvons dgager une description commune, cartoutes les ondes impliquent un couplage entre le temps et lespace.1.1 GNRALITSDriv du latin unda, le mot onde dsigne dabord leau mobile, en particulier lesmouvements de la surface de la mer. partir duXVIIIesicle, le mot onde dsigneune propagation la surface dun liquide. Il est ensuite gnralis tout phnomnede propagation, support par un milieu matriel (les ondes mcaniques) ou sans sup-port matriel (les ondes lectromagntiques). Cest dans ce cadre gnral que nousallons dnir une onde.Toute onde est associe une vibration, une oscillation, qui se transmet de procheen proche. Une oscillationou une vibration est un changement priodique dunequantit physique : une position, une hauteur, un champ lectrique, une force, etc.Celaimpliqueunenotionfortedepriodicit, quiindiqueleretourlasituationinitiale intervalle de temps rgulier. Cet intervalle de temps dnit une priode.2 Chap. 1. Temps, espace, nergieDans un milieucontinu (un uide ou un solide par exemple), une perturbation ouune information locale priodique va avoir un effet sur levoisinage. Ce voisinageva son tour perturber un autre voisinage et, par cet enchanement, la perturbationinitialement localise va se dplacer dans le milieu.La vitesse de propagation est lie aux proprits physiques du milieu. Pour un uide,cette vitesse dpend principalement de la masse volumique et de la compressibilit. Parexemple, la vitesse du son dans lair est de lordre de 340 ms1, mais cette vitesse peutchanger en fonction de la temprature et de la pression de lair. Dans le cas dun solidela vitesse de propagation dune perturbation (un choc par exemple) dpend de la massevolumique et de llasticit. Pour un milieu non matriel, et en particulier pour le vide,ce sont les proprits lectriques et magntiques qui gouvernent cette vitesse. La vitessede la lumire, proche de 300000000 ms1, est relie deux constantes physiques delUnivers : la permittivit lectrique et la permabilit magntique du vide. partir dun intervalle de temps (la priode) mesur en secondes et dune vitessemesure en mtrespar seconde, leproduit des deux donne une longueur. Cest ladistanceparcourueparlaperturbationoulinformationdurantunepriode. Si lavitesse est constante, la distance parcourue augmente avec le temps et la perturbationsest dplace dune certaine longueur appele la longueur donde.Encart 1.1 Dimensions des quantits physiquesChaque quantit physique mesurable est lie une dimension, elle-mme lie une ou plusieurs units. Ainsi, une distance a la dimension dune longueur(L)et peut avoir commeunitlemtre(unitdusystme international),lepouce, le dcamtre, le parsec, etc. Les dimensions de base et les units dusystme international sont :Dimension Symbole Unit SIcourant 1 Ampre (A)longueur L mtre (m)masse / kilogramme (kg)temps T seconde (s)On peut construire les dimensions de quantits plus complexes partir de cesdimensionsdebase.Parexemple,lavitesseacommedimension LT1etsexprime en ms1, et lacclration a comme dimension LT2et sexprimeen ms2. Une force, la force de pesanteur par exemple, a comme dimensionle produit dune masse par une acclration, soit L/T2.On utilise parfois des quantits sans dimension. Un angle en est un exempleutile. Cest une quantit qui peut varier entre 0 et 2p (ou 0 et 360 degrs) maisdont la dimension est 1. Toutefois un angle a une unit de mesure, le degr, leradian ou le grade.1.2 Temps, frquence 31.2 TEMPS, FRQUENCEPourdcrireunsystmeenmouvement, lvolutiondunequantitphysique, unevariationdunnombre, onutilisedesfonctionsmathmatiquesqui dpendentdutemps. Note t , la variable temps ne peut quaugmenter, et lvolution dune quantitne peut que dpendre du pass. Cest la notion de causalit.Parmitouteslesfonctions quidpendent dunevariable,ilexisteunensemble defonctions appeles fonctions priodiques. Ces fonctions ont une reprsentation gra-phique qui peut tre fractionne en une innit de motifs identiques. La priodetdune fonction est le plus petit intervalle de temps pour lequel la fonction retrouve savaleur initiale. La priode se mesure en unit de temps, avec une unit de base qui estla seconde (abrviation s) dans le systme international dunits (SI). On appelleraces fonctions les fonctions t-priodiques.Dnitions Une fonction est t -priodique de priode t sif (t ) =f (t + t)quel que soit linstant t . La priode est une dure et se mesure en s. La frquence n est linverse de la priode :n =1tet son unit est le hertz (Hz), 1 Hz est quivalent 1 s1. La pulsation ou frquence angulaire v est le produit de la frquence par 2p :v = 2pn =2ptet se mesure en rads1.On peut facilement dmontrer que si une fonction est priodique de priode t, elle estgalement priodique de priode nt, o n est un nombre entier strictement suprieur un. En effet, si on note t

= t + t, on a f (t + 2t) =f (t

+ t) =f (t

) =f (t ). Lemot priode dsigne donc la plus petite valeur de lensemble des intervalles de tempspour lesquels la fonction est priodique.La gure 1.1 montre quatre exemples de fonctions priodiques temporelles. La repr-sentation graphique de ces fonctions peut tre complexe, comme dans lexemple desbattements cardiaques, ou trs simple, comme dans le cas dune fonction en crneaux.DunodLaphotocopienonautoriseestundlit4 Chap. 1. Temps, espace, nergiet(a)(c)(b)(d)tttf(t)f(t)f(t)f(t)Figure 1.1 Exemples de fonctionst-priodiques.(a) fonction en dents de scie, (b) fonction crneau, (c) fonction circulaire,(d) signal lectrique typique dun lectrocardiogramme.Exemple 1 : les battements cardiaquesLes battements cardiaques sont un exemple de mouvement priodique pour un orga-nisme vivant. Chez lhomme, on peut les mesurer au travers de lactivit lectriquedes muscles du cur. Le signal obtenu est appel un lectrocardiogramme (ECG).La frquence cardiaque est bien sr variable dun individu lautre et dpend gale-ment des efforts demands au cur. La frquence cardiaque peut tre trs variabledune espce lautre mais, en rgle gnrale, plus lanimal est gros, plus sa fr-quence cardiaque est basse. Ainsi la frquence cardiaque dune baleine est de 10battements par minute (bpm), de 25 pour un lphant, de 60 100 chez lhommeadulte, et de 500 chez les oiseaux de petite taille. Cette rgle se vrie mme ausein dune mme espce : la frquence cardiaque dun ftus de 10 semaines estproche de 200 bpm, puis baisse 150 bpm vers la 14esemaine.Exemple 2 : des frquences astronomiques une chelle beaucoup plus grande, les mouvements des toiles et des plantes sontgalement priodiques. Par exemple, la position de la Terre autour du Soleil est unefonction priodique dune priode dun an, soit 31536000 secondes. La frquenceassocie est donc denviron 3, 17108Hz. Parmi tous les objets clestes, les pulsarstirent leur nom de leur luminosit variable. Un pulsar est une toile neutrons quiest en rotation rapide autour delle-mme et qui met un rayonnement puissant dansune direction diffrente de son axe de rotation. Un observateur loign, sur la Terreen particulier, voit donc un signal apparatre puis disparatre de faon priodique.Certains pulsars ont une priode de lordre de la seconde, mais le plus rapide observactuellement, baptis Ter5ad, a une frquence de rotation de 716 Hz.1.3 Espace, longueur donde 5Exemple 3 : les frquences lectromagntiquesToujours dans le domaine de la physique, le rayonnement lectromagntique (dve-lopp au chapitre 6) montre une trs large gamme de frquences, appele spectre.Mme si la nature physique du rayonnement est identique, le spectre est dcoupen bandes de frquences lies aux applications ou la provenance du rayonnement.Par exemple, les ondes radio sont des ondes lectromagntiques dont la frquenceest comprise entre 9 kHz et 3 000 GHz, selon lUnion internationale des tlcom-munications dont le rle est de rglementer lutilisation des diffrentes frquences.lautre extrmit du spectre lectromagntique, on trouve le rayonnement gamma(g), issu par exemple de la raction dannihilation lectron + positron. Ce rayon-nement, trs dangereux pour les organismes vivants, a une frquence suprieure 1019Hz.Le tableau 1.1 regroupe quelques frquences remarquables que lon peut rencontrerdans la vie quotidienne.Tableau 1.1 Quelques frquences remarquables.Domaine Frquences Dnomination, applicationgophysique 0,01 10 Hz ondes sismiquesacoustique < 20 Hz infrasonsde 20 20 000 Hz bande de frquences audibles440 Hz diapason (LA), tonalit tlphonique> 20 000 Hz ultrasonshorlogerie 32 768 Hz oscillation dun quartz de montre9,192631770 GHz horloge atomique au csiumlectromagntisme 2 450 MHz four micro-ondes, wi88 108 MHz radio FM174 223 MHz radio numrique terrestre470 860 MHz tlvision numrique terrestrephysique atomique 1014Hz vibration des atomes dans les solides1.3 ESPACE, LONGUEUR DONDEAprs avoir dni des fonctions t -priodiques, on peut dnir des fonctions prio-diques selon une ou plusieurs coordonnes de lespace. Dans un espace tridimension-nel, chaque point est dni par trois coordonnes (x, y, z) dans un repre cartsien.DunodLaphotocopienonautoriseestundlit6 Chap. 1. Temps, espace, nergieLa gure 1.2a montre une surface qui est priodique dans une direction, la directionx. Il sagit dune forme ondule dont llvation h(x) est une fonction sinusodale :h(x) = h0 sin(2px/l). La fonction sinus est une fonction de priodicit 2p, ce quiindique que sin(u + 2p)=sin u pour nimporte quel angleu. En appliquant cetterelation la forme ondule, on asin_2pxl+ 2p_= sin_2pl(x + l)_= sin_2pxl_,cequi montreque lalongueurlest lapriode spatialede lafonction h(x). Cettequantit est appele longueur donde, cest--dire la longueur pour laquelle la fonc-tion x-priodique retrouve sa valeur.xxxyyyzz z(a) (b)(c)Figure 1.2 Reprsentation de surfaces priodiques.(a) surface x-priodique, (b) surface priodique dans les deux directions xet y, (c) motif priodique selon les trois dimensions de lespace. Ce motifest bas sur la rptition dune maille cubique (en bleu).Dnitions Une fonction est x-priodique de priode l sif (x) =f (x + l)quelle que soit la position x. La longueur l est la longueur donde de la fonctionf .1.4 nergie 7 Le nombre donde kxest dni par :kx=2pl,sa dimension est L1et son unit est le m1.Onpeut dnirdesfonctionsquisontmulti-priodiques,cest--direquelafonc-tion est priodique pour plusieurs variables. La gure 1.2b montre une surface prio-dique selon les deux directions xety. Cest une fonction du type sin(kxx) sin(kyy)avec deux nombres dondes kxet ky. Dans lexemple de la gure, les deux nombresdondes sont gaux.Ne pas confondre la longueur donde avec le nombre donde. La longueurdonde se mesure en m, tandis que le nombre donde se mesure en m1.Comme une frquence, une longueur donde est un nombre positif. On va principa-lement rencontrer les longueurs dondes les plus courtes dans le domaine de llec-tromagntisme et de la physique des particules. Dans le tableau 1.2 sont indiquesquelques longueurs dondes remarquables.Tableau 1.2 Quelques longueurs dondes remarquables.Domaine Longueur donde Dnomination, applicationlectromagntisme >10 cm ondes radio1 300 mm infra-rouge400 700 nm lumire visible10 400 nm ultravioletacoustique 1,7 cm 17 m domaine audibleondes de surface de 1 m 100 km vagues ocaniques1.4 NERGIELnergie dun systme physique est une quantit qui peut prendre plusieurs formes.La dimension de lnergie est L2/T2, et lunit standard est le joule (J). En mca-nique, lnergie totale se dcompose en une nergie cintique, lie au mouvement,en une nergie potentielle, lie la prsence dune masse dans un champ de force, eten un travail des diffrentes forces qui agissent sur le systme, par exemple une forcede frottement.DunodLaphotocopienonautoriseestundlit8 Chap. 1. Temps, espace, nergieExemple : nergie cintique dune masse oscillanteUne massemqui se dplace une vitesse v possdeune nergie cintiqueEc =12mv2. Si cette masse suit un mouvement priodique de la formex(t ) = x0 sin vt ,sa vitesse estv(t ) = x(t ) = x0vcos vt ,et son nergie cintique estEc =12m x2=12mx20v2cos2vt .Dautres formes existent : lnergie lectrique, magntique, thermique, et des proces-sus complexes font souvent intervenir de nombreux changes entre ces diffrentesformes dnergie. La technologie prsente de nombreux dispositifs qui permettent deconvertir lnergie dune forme une autre. Un microphone assure la conversion delnergie mcanique acoustique en nergie lectrique. Cette conversion correspond la traduction dun signal acoustique en un signal lectrique. Une fois ampli etconditionn, ce signal peut tre envoy vers un dispositif metteur, une antenne, quivaconvertirlnergielectriqueennergielectromagntique transportepar uneonde radio. En inversant le processus, le signal lectromagntique est converti par unrcepteur en signal lectrique qui son tour est converti en signal acoustique par undispositif haut-parleur. Cette chane de transformation des nergies est un exempledun systme de communication utilis pour la diffusion par radio hertzienne ou partlphonie, pour ne citer que des applications de la vie courante.Danslesmilieuxcontinus, lnergieest rpartiedansunvolume, espacetroisdimensions. Si la rpartition est homogne, on peut dnir une densit volumiquednergie, mesure en Jm3. Cest le cas des ondes lectromagntiques dans le videqui transportent lnergie dans tout le volume disponible.SYNTHSESavoirs Une onde est la propagation de proche en proche dune oscillation, dune vibra-tion ou dune information priodique. La priode est lintervalle de temps ncessaire pour retrouver ltat initial. La longueur donde est la distance entre deux valeurs identiques dune fonc-tion dune variable spatiale. La frquence n est linverse de la priode t ; le nombre donde est 2p/l.Exercices 9Savoir-faire Convertir une priode en frquence et une longueur donde en nombre donde. Connaissant la vitesse de propagation dune onde, relier la frquence la lon-gueur donde.Mots-cls Frquence Priode Pulsation Longueur donde Nombre dondeExercicesTester ses connaissances1 La quantit 2px/l a comme unit :a. le mtre. b. le m1. c. sans unit.2 Un nombre donde a comme unit :a. le mtre. b. le m1. c. sans unit.3 La vitesse de la lumire (vitesse de propagation des ondes lectromagntiques)est proche de :a. 300 000 kms1. b. 300 000 ms1. c. 300000000 kmh1.4 La pression est une force par unit de surface. Sa dimension est :a. LT1. b. L1/T2. c. L2/T1.Exercices dapplication5Donner la priode en secondes, la frquence en Hz et la pulsation en rad s1associes un rythme cardiaque de 80 battements par minute.6Un tambour de machine laver tourne 1 500 tours par minute. Dterminer lapriode, la frquence et la pulsation correspondantes.7Unevoiturerouleunevitessev =90km h1. Undespneus(diamtreD=62cm)aundfautsouslaformedunepetitebossesurlabandederoulement. Dterminer la frquence de vibration qui peut tre ressentie par leconducteur.DunodLaphotocopienonautoriseestundlit10 Chap. 1. Temps, espace, nergie8Donner les longueurs dondes associes aux frquences sonores 20 Hz (limitebassedelaudition), 440Hz(diapason),20kHz(limitehautedelaudition),5 MHz (ultrasons).9Quelles sont les frquences associes aux couleurs dont les longueurs dondessont donnes ci-dessous :Couleur Longueur donde lbleu 470 nmrouge 650 nmjaune 580 nmvert 530 nm10Quelles sont les longueurs donde associes aux ondes lectromagntiques defrquences n = 100 MHz (radio en modulation de frquence) et n = 2 450 MHz(chauffage par micro-onde) ?Exercices dapprofondissement11 La perception du relief sonore ra. Dterminer la diffrence de temps de propagationentreunesourcesonoreet lesoreillesgaucheetdroitedunauditeur. Ladistanceentreles deuxoreilles est 2d = 20 cm. On placera un repre dontlorigineestentrelesoreillesetlasourcesonoreest repre par des coordonnes polaires (r, u).b. Simplierlexpressionobtenueensupposant quela source est loigne de lauditeur : r d.c. Calculer la diffrence de temps de parcours delonde sonore pour une source place r =10 met oriente u = 45.CorrigsTester ses connaissancesa. b. c.1 2 3 4 Un nombre donde est calcul comme linverse dune longueur.Exercices dapplication5 Un rythme de 80 battements par minute correspond 1,33 battements par seconde. Lafrquence est doncn=1, 33 Hz et la priodet=1/n=0, 67 s.La pulsation est2pn = 8, 37 rads1.6 Larotationcorrespond1 500/60 =25toursparseconde, lafrquenceest doncn = 25 Hz, la priode t = 40 ms et la pulsation est v = 157 rads1.7 Si on noten lafrquence de rotation des roues, lavitesse est leproduit de cette fr-quence et de la distance parcourue pour un tour de roue, soit v=pDn. La frquenceest donc n =v/pD = 12, 8 Hz pour les donnes numriques proposes.8 Les ondes sonores se propagent la vitesse de c=340 m s1. La longueur dondeassocie une frquence n est l =c/n, ce qui donne pour les frquences proposes :17 m pour la frquence de 20 Hz, 77 cm pour la frquence de 440 Hz, 1,7 cm pour lafrquence de 20 kHz et 340 mm pour les ultrasons 1 MHz.9 Les ondes lectromagntiques se dplacent la vitesse de la lumire c = 3108m/s. Lafrquence associe une longueur donde est n = c/l ce qui donne pour les couleursproposes :Couleur Longueur donde l (nm) Frquence (Hz)bleu 470 6, 381014rouge 650 4, 621014jaune 580 5, 171014vert 530 5, 66101410 Avec la relation l=c/n et avec c=3 108m/s, la longueur donde associe unefrquence de 100 MHz est l = 3 m et la longueur donde gnre par un four micro-ondes est l = 12 cm.Corrigs 11Exercices dapprofondissement11 La perception du relief sonorea. Letracgomtriquedelacongurationmontrequeladistanceentrelasourceestloreillegauche rGestpluscourtequeladistanceentrelasourceetloreilledroite rD.GAB SDxyrd ddLarelationdePythagoreappliqueauxtrianglesrectanglesAGSet BDSdonner2G = r2cos2u + (r sin u d)2et r2D = r2cos2u + (r sin u + d)2, soitrG= r_1 2drsin u + d2r2,rD= r_1 +2drsin u +d2r2,et la diffrence de temps de vol de londe acoustique estDt =rD rGc.b. Si on suppose que d/r 1, alors le terme quadratique d2/r2dans lesexpressions de rGet rDpeut tre nglig, et on peut galement dvelopper12 Chap. 1. Temps, espace, nergie_1 2d/r 1 d/R, ce qui donne pour la diffrence de temps :Dt =2d sin uc, pour d r.On remarque que, par cette hypothse, la diffrence de temps est indpendante dela distance rde la source.c. Avec un angle u = 45 et une vitesse c = 340 ms1, on trouve une diffrence detemps de 0,3 ms. Cette diffrence de temps de perception nest pas la seule informa-tion utilise par le cerveau pour localiser une source sonore. Lattnuation ainsi quele dphasage entre les deux signaux sont galement importants.Corrigs 132Les oscillateursPlan ObjectifsCours2.1 Quest-ce quunoscillateur ?2.2 Quatre exemplesdoscillateurs2.3 Oscillateur harmoniquenon amorti2.4 Oscillateur amorti2.5 Forage et rsonance2.6 Couplage de deuxoscillateurs2.7 Couplage linaire deNoscillateursSynthseExercicesCorrigs Dnir la notion doscillateur Dterminer lafrquencepropredun oscillateur Identier les phnomnes dersonance Modliser lamortissement et ladissipation dnergieCoursLa propagation dune onde repose sur des oscillations ou vibrations locales. Loscil-lation la plus simple est obtenue par la prsence de deux forces : une force motrice etune force de rappel. partir des principes de base de la physique et de la mcanique,il est possible de dcrire le mouvement dun oscillateur simple par deux quantits :lamplitude doscillation et la frquence doscillation. Si en plus on prend en comptela dissipation dnergie (frottement par exemple), on peut calculer comment loscil-lation sattnue au cours du temps. Enn, quand loscillateur est en contact avec unesource dnergie, on peut modliser ladaptation de loscillateur cette source.2.1 Quest-ce quun oscillateur ? 152.1 QUEST-CE QUUN OSCILLATEUR?Commenons par une vritable exprience de table. Sur le bord dune table, main-tenez fermement lextrmitdune rgle (en plastique ou en mtal) avec le pouce.Lautre extrmit est dans le vide. Appuyez sur lextrmit libre et relchez. La rglevibreenmettantunsoncaractristiquedauxchocsrptsentrelargleetlatable. En changeant la longueur de la rgle au-dessus du vide, on change la sonorit.Exprience simple raliser mais complexe transcrire mathmatiquement : la rgleoscille autour dune position de repos qui est trs proche de lhorizontale. la suite de cet exemple, nous choisirons une dnition trs gnrale :DnitionUnoscillateurest unobjet ouunequantitphysiquequi dcrit unevariationpriodique autour dune position dquilibre.Un systme physique en quilibre est un systme dont les caractristiques physiquessont constantes dans le temps. Ces caractristiques peuvent tre la position, la vitesse,la charge lectrique, etc.Par exemple, une bille au fond dune cuvette est un systme en quilibre. Si on per-turbe la bille en lui donnant un coup, elle va retourner au fond de la cuvette et retrou-ver sa position dquilibre (gure 2.1). Au contraire, une bille immobile au sommetg(a) (b)(c) (d)Figure 2.1 Les positions dquilibres (en bleu) peuvent tre stables (a, c) ouinstables (b, d). Dans ces exemples, cest la force de pesanteur qui est motrice.DunodLaphotocopienonautoriseestundlit16 Chap. 2. Les oscillateursdune colline ne retrouvera jamais sa position dquilibre si on lui donne une impul-sion. Cet exemple montre la distinction entre un quilibre stable (la cuvette) et unquilibre instable (la colline).Un quilibre stable est donc dni par lexistence dune force de rappel qui ramne lesystme vers la congurationdquilibre. Dans le cas de la cuvette, la force de gravitcouple avec la forme incurve du sol impose un retour de la bille vers le fond.Lexprience de la rgle montre quau bout dun certain temps, la vibration samortitetlargleredevient immobile:lnergieinitialefourniepar ladformationde largle sest dissipe au cours du mouvement.Pour commencer ltude des oscillateurs, nous ne prenons pas en compteces pertes dnergie.2.2 QUATRE EXEMPLES DOSCILLATEURSCes quatre exemples nexistent que dans un monde idal o les frottements, la fric-tion et, plus gnralement, la dissipation dnergie nexistent pas. Lnergie initialedusystmeest doncindnimentconserve,mmesi cettenergiepeutprendreplusieurs formes. Malgr cette hypothse, il convient de se pencher avec beaucoupdattention sur ces modles car ils sont la base de toute la physique des ondes etdes vibrations.2.2.1 Systme masse-ressortLe premier exemple doscillateur est un ressort attach un point xe une extrmitet une masse libre son autre extrmit (gure 2.2). Comme tous les frottementssont ngligs, laseuleforcelelongdelaxeOxest laforcede rappel duressortR= kx. Laconstantekestlaraideurduressort, dontlavaleursemesureenNm1. Plus cette valeur est leve, plus le ressort va rsister lallongement ou lacompression.Lquation du mouvement masseaccleration = somme des forces scrit ici sim-plementmd2xdt2=R = kx (2.1)ou encored2xdt2+kmx = 0. (2.2)Le seul coefcient du second terme k/ma la dimension dun temps la puissance2. En effet_km_= /.T2/= T22.2 Quatre exemples doscillateurs 17positiond'quilibrela force de rappeldu ressort ramnela masse vers laposition d'quilibre.mORxxtx(t)(a) (b)Figure 2.2 Oscillation dune masse lie un point xe par un ressort.Ce coefcient est homogne une pulsation au carr et on choisit dcrire lquation(2.2) sous la formed2xdt2+ v20x = 0, avec v0 =_km. (2.3)Ce systme vibrant est larchtype des oscillateurs. Cest pourquoi dansla suite de ce chapitre, cest ce modle qui sera choisi comme exemplelorsquune description physique sera ncessaire.2.2.2 Pendule simpleUn pendule est constitu dune masse m au bout dune tige (ou corde) de longueur l.La masse est soumise la gravit et la position dquilibre est la verticale sous lepoint de xation. Ce point dquilibre est stable. Un autre point dquilibre, instablecelui-l, se trouve la verticale au-dessus du point de xation.Quel que soit son mouvement, la masse se dplace sur un arc de cercle de rayon l(gure 2.3). La coordonne curviligne qui permet de reprer la position de la masseest lu ou est langle de la tige par rapport la verticale. En projection sur laxetangent la trajectoire, la loi de Newton scritmld2udt2= mg sin u, (2.4)et aprs simplicationd2udt2+glsin u = 0. (2.5) DunodLaphotocopienonautoriseestundlit18 Chap. 2. Les oscillateurs

P= mgT g Figure 2.3 Dnition des paramtres pour le pendule simple.Comme dans lexemple du systme masse-ressort, le seul coefcient de lquation,g/l, est homogne au carr dune pulsation :_gl_= L.T2L= T2,et lquation du pendule scritd2udt2+ v20 sin u = 0, avec v0 =_gl . (2.6)La projection de la force de pesanteur sur laxe donne un terme en sin u. Lquationdupendulesimpleestdoncnonlinaire. Sionlimitelemouvementauxpetitesoscillations (u 1), on peut utiliser un dveloppement de la fonction sinus en sriede Taylor :sin u = u u33!+u55!+ , u 1.Encart2.1DveloppementdefonctionsensrieetlinarisationdquationsToutes les fonctions peuvent tre dveloppes en polynme autour dun point,sous rserve quelles soient drivables. Soit f (x) une fonction et x0 un pointautour duquel on cherche un dveloppement, appel dveloppement de Taylor-Young. Le dveloppement estf (x)xx0=f (x0) +

n =11n!_dnfdxn_(x0)(x x0)n(2.7)2.2 Quatre exemples doscillateurs 19Les fonctions circulaires ont comme dveloppement lordre au voisinage dex = 0 :sin u =n

j =0(1)j(2 j + 1)!u2 j +1,cos u =n

j =0(1)j(2 j )! u2 j.Grce au dveloppement (2.7), une quation non linaire (par exemple lqua-tiondupendule2.6)peuttrelinariseautourdunpointparticulier. Unequation est dite linaire pour une variable ou une fonction xsi toute combi-naison linaire de deux solutions x1 et x2 indpendantes forme une solution.En ne gardant que le premier terme de ce dveloppement, on fait lapproximationsin u u, et lquation du mouvement est alors rendue linaire, mais restreinte auxpetites oscillations :d2udt2+ v20u = 0. (2.8)Lhypothse dune petite oscillation est dans la pratique difcile formu-ler, car cela dpend de la prcision choisie. Si on accepte une erreur dunpour-cent dans le dveloppement sin u u, cela correspond un angleu < 0, 25 rad, soit un maximum de 14 degrs.Encart 2.2 Mesure du tempsLa frquence dun pendule pesant ne dpend que de sa longueur. Ainsi, un pen-dule dune exacte longueur de 9, 81/p2= 99,4 cm oscille avec une priodededeux secondes. Comme lependule passe deux foispar priode aupointdquilibre, on peut dnir la seconde comme lintervalle de temps entre deuxpassages successifs au point dquilibre dun pendule de cette longueur.2.2.3 Oscillateur lectroniqueLoscillateur lectronique le plus simple est compos de deux diples : une induc-tance idale et un condensateur (gure 2.4). Cet oscillateur est idal car il ny a pasdeperte. Danslaralit, larsistancedesconducteursetdescontactsinduituneperte dnergie sous forme de chaleur (leffet Joule). Une modlisation plus ralistecomporte une rsistance en srie R.DunodLaphotocopienonautoriseestundlit20 Chap. 2. Les oscillateursLICFigure 2.4 Loscillateur lectronique le plus simple.Ilestcomposduneinductance(self)Letduncondensateurdecapa-cit C.Si on noteI lintensit du courant dans le circuit et qla charge du condensateur, ladiffrence de potentiel aux bornes de linductance est LdI /dt et celle aux bornes ducondensateur est q/C. Dautre part, lintensit est relie la charge par I = dq/dt.La loi des mailles applique ce circuit donne doncLd2qdt2+qC= 0, (2.9)ou encored2qdt2+1LCq = 0. (2.10)Encore une fois, la constante 1/LC est homogne linverse dun temps au carr, eton crit lquation pour la charge instantane :d2qdt2+ v20q = 0, avec v0 =1LC. (2.11)Encart 2.3 Oscillateurs lectroniquesCe principe est prsent dans tous les oscillateurs lectroniques, de haute oubasse frquence. De nombreux oscillateurs ont t invents dans le premierquart du XXesicle lors du dveloppement des communications par radio. Lesoscillateurs sont utiliss pour slectionner une frquence particulire et mettreainsi en communication deux appareils distants.Dans les annes 1960, les oscillateurs ont t utiliss pour la synthse sonoreavec la mise en uvre des premiers synthtiseurs analogiques, les oscillateursdeplusbasse frquence (lowfrequency oscillator,LFO)tantutilisspourmoduler la frquence ou la phase dun signal cr par un oscillateur de fr-quence audible (typiquement on considre que loreille humaine est sensibleaux vibrations acoustiques entre 20 et 20 000 Hz).2.2 Quatre exemples doscillateurs 212.2.4 Modle harmonique de la liaison atomiqueUne liaison atomique est la mise en commun dun ou plusieurs lectrons par deuxatomes. Deux atomes ainsi lis forment une molcule. Linteraction entre ces deuxatomesest reprsenteparunpotentiel qui dpenddeladistancer sparant lescentres (noyaux) des deux atomes (gure 2.5).V(r)rreOH HkmHmH(a) (b)Figure 2.5(a)Modle mcaniquedune liaisonatomiquesimple:lesdeux atomes(par exemple deux atomes dhydrogne) sont modliss par deux massesrelies par une liaison lastique, un ressort. (b) Reprsentation du poten-tiel dinteractionVentre les deux atomes (trait continu), et son approxi-mation parabolique (trait pointill).Le potentiel est en gnral une fonction complique mais il peut se dcomposer endeux parties : une partie attractive longue porte (r> re) ; une partie fortement rpulsive courte porte (r< re).Pour une distance dquilibre r =rele potentiel passe par un minimum. La forcedinteractionFentre les deux atomes drive du potentiel et passe donc par zro cette distance particulire :F(re) = _dVdr_r =re= 0.Si la distance entre les atomes varie peu par rapport la valeur dquilibre re, on peutdvelopper le potentiel sous la formeV(r re) = V(re) +

n =11n!_dnVdxn_r =re(r re)n.DunodLaphotocopienonautoriseestundlit22 Chap. 2. Les oscillateursComme le potentiel admet un minimum, la drive premire du potentiel est nulle etles deux premiers termes du dveloppement sontV(r re) V(re) + 12_d2Vdx2_r =re(r re)2+ et le potentiel approch est de forme parabolique (gure 2.5b). Avec cette approxi-mation, la force de liaison estF = _d2Vdx2_r =re(r re) + ,qui est de la mme forme que la force de rappel du ressort prsent plus haut ( 2.2.1).Lanalogie montre que la raideur du ressort est quivalente la drive seconde dupotentiel valu la distance dquilibre.Exemple : la molcule H2Le modle mcanique de cette molcule est compos de deux masses identiquesmHrelies par un ressort de raideur k. Notons x1 et x2 les carts de chaque massepar rapport leurs positions dquilibre respectives. Les quations du mouvementdes atomes sontmHd2x1dt2= k(x1 x2), (2.12)mHd2x2dt2= +k(x1 x2). (2.13)Danscesystme,cestlcartdepositionentrelesmasses quiproduitlaforce,cest donc la seule variable x12 = x1x2 qui est pertinente. La diffrence des deuxquations ci-dessus produitmHd2(x1 x2)dt2= 2k(x1 x2), (2.14)ou encored2x12dt2+ v0x12 = 0, (2.15)avecv0 =_ 2kmH=2mH_d2Vdr2_r =re.Le facteur 2 dans cette quation vient de la prsence de deux masses identiques. Lesystme est un systme masse-ressort avec une masse rduite mH/2. Dans le caso les masses sont diffrentes (m1 et m2), la masse rduite est m1m2/(m1 + m2).2.3 Oscillateur harmonique non amorti 23Encart 2.4 Spectroscopie infrarougeCe modle simple est largement utilis en spectroscopie infrarouge (IR). Unspectromtre est un appareil qui compare les spectres lectromagntiques avantetaprs latraverse dun chantillon. Ladiffrence des spectres montre lesbandes des frquences absorbes par lchantillonde matire analyser. Ces fr-quences sont relies aux diffrentes liaisons atomiques prsentes. Chaque liai-son est rpertoriepar une frquencepropre et on peut lui associer une constantede raideur kselon le modle mcanique. Quelques exemples de constantes deraideur et de frquences propres n0 = v0/2p sont donns ci-dessous :Liaison k(Nm1) n0(1013Hz)H-Cl 480 8,66H-F 970 8,72H-Br 410 7,68H-I 320 6,69C-O 1 860 6,42N-O 1 530 6,632.3 OSCILLATEUR HARMONIQUE NON AMORTILes quatre exemples prcdents aboutissent tous une quation de la mme forme.Onpeutdonccrireunequationgnralepourlamplitudedeloscillateur A(t ).Cette amplitude peut tre la position de la masse, lcart du pendule avec la verticale,etc. Cette quation est :d2Adt2+ v20A = 0. (2.16)Lquation(2.16)estunequationdiffrentielleordinairedudeuximeordre. Ladtermination complte de la solution ncessite donc la connaissance de deux condi-tions initiales sur lamplitude et la vitesse de loscillateur t = 0. Posons : lamplitude initialeA0 =A(t = 0) ; la vitesse initialeA0 = d A/dt(t = 0).2.3.1 Solution gnralePour rsoudre lquation (2.16), on doit chercher une fonctionA(t ) telle que sa dri-ve seconde soit gale v20A. Sans hypothse particulire, la solution gnrale de(2.16) scrit sous la forme dexponentielles complexes :A(t ) =A1ei v0t+ A2ei v0t,DunodLaphotocopienonautoriseestundlit24 Chap. 2. Les oscillateurso les constantes A1 etA2 sont dtermines par les conditions initiales (t = 0) :A1=12_A0 iA0v0_,A2=12_A0 + iA0v0_.Finalement, aprs rarrangement, la solution gnrale estA(t ) =A0 cos v0t +A0v0sin v0t . (2.17)Cette solution peut galement scrire sous la forme dune seule fonction circulaire,mais avec une phase initiale f0 :A(t ) =A

1 cos(v0t + f0). (2.18)Graphiquement, lamplitude dcrit une sinusode de priode 2p/v0 (gure 2.6a) etla vitesse montre la mme forme, mais avec un dcalage temporel (un dphasage)det/2 (gure 2.6b). Une autre faon de reprsenter graphiquement lvolution deloscillateurconsistetracerlavitesseAenfonctiondelamplitudeA:cestleportrait de phase (gure 2.6c). La proprit principale de ce trac est de montrerA(t)A(t)A(t)A(t)ttt = 0t =4t =34t =22 3 2 3 A0(a)(b) (c)Figure 2.6Au cours du temps, lamplitude (a) dun oscillateur non amorti dcrit unecourbe sinusodale, de mme que savitesse (b). Cesdeux courbes sontdcalesdunedemi-priodet/2,cequi correspondundphasagedep.SiontracelavitesseA(t) enfonction de lamplitudeA(t),leportraitdephaseestunecourbeferme(c). Lesconditionsinitialessontuneamplitude non nulle A0 ,= 0 et une vitesse nulleA0 = 0.2.3 Oscillateur harmonique non amorti 25une forme ferme : le systme retrouve son tat aprs chaque intervalle de temps gal la priode t.Lquation (2.16) a t obtenue pour des systmes idaux, en labsence de dissipationdnergie. La courbe ferme du portrait de phase montre non seulement la priodicitde loscillateur, mais galement la conservation de lnergie totale du systme.2.3.2 Conservation de lnergie totaleUne nergie a comme dimension /L2T 2et lunit SI associ est le joule (J). Pourconstruire une nergie partir de lquation (2.16), il est plus ais de revenir unmodlemcanique, par exemple lesystme masse-ressort. LamplitudeAdsignedonc lallongement du ressort x par rapport sa position dquilibre.Lquation (2.16) met en relation lamplitudeA et laccleration d2A/dt2. On peutfaire apparatre la vitesseA en crivant :dAdt+ v20A = 0.En multipliant par mA, on a :mAdAdt+ mv20AA = 0,puis en intgrant une fois par rapport au temps, on obtient :12mA2+ 12mv20A2= c, (2.19)o c est une constante, lnergie totale du systme.En rintroduisant la masse m et la raideur k, et en posant A = x et v = dx/dt on a :12mv2+ 12kx2= cc + cp = c. (2.20)soit la somme de lnergie cintique et de lnergie potentielle crites sous une formetraditionnelle.Aucoursdumouvementoscillatoire, lnergieeffectueunva-et-vient: ensloi-gnantdelapositiondquilibrestable, lesystmeralentitjusqularrt completavecunenergiepotentiellemaximum. Aucontraire,aupassage aupointdqui-libre, la vitesse donc lnergie cintique est maximale et lnergie potentielleest nulle.La solution tant priodique de priode t, on peut calculer la moyenne temporelle delnergie :c)t =1t_t012mA2dt + 1t_t012mv20A2dt,DunodLaphotocopienonautoriseestundlit26 Chap. 2. Les oscillateursce qui donnec)t =14m(v20A20 +A20) + 14m(v20A20 +A20).On constate donc que, sur une priode, lnergie cintique moyenne est gale lner-gie potentielle moyenne.2.4 OSCILLATEUR AMORTIDans les systmes rels, il y a change dnergie entre loscillateur et lenvironne-ment extrieur : soit loscillateur transmet de lnergie donc il en perd soit ilen absorbe. On peut imaginer de nombreuses sources de frottement, ainsi que dif-frents modes de dissipation dnergie. Dans la suite de ce chapitre, nous discutonsuniquement du frottement de type visqueux o la force est proportionnelle lavitesse.Encart 2.5 Le frottement visqueuxUn objet solide qui se dplace dans un milieu uide (gaz ou liquide) subit uneforce de frottement de direction oppose la vitesse. La force de frottementest dautant plus forte que la viscosit du milieu est grande. Lexpression de laforce de frottement dpend de la gomtrie de lcoulement autour de lobjetconsidret cet coulementest caractrisparunnombresansdimensionappel nombre de Reynolds :Re =rfULhf,o rfet hfsont la masse volumique et la viscosit dynamique du uide, Uest la vitesse caractristique relative entre le solide et le uide, etLla taillecaractristique de lobjet solide. Quand le nombre de Reynolds est petit devant1 (Re 1), la force de frottement est proportionnelle la vitesse de lobjet

Uet la taille de lobjet :

Ff= Chf L

U.Par exemple, pour une sphre de rayon a se dplaant une vitesse

U dans unuide au repos, G. G. Stokes (18191903) a montr que la force de frottementest

Ff= 6phfa

U.2.4 Oscillateur amorti 27Pour rendre compte de ce frottement, on ajoute un terme proportionnel la vitesseAdans lquation damplitude (2.16) :d2Adt2+ gd Adt+ v20A = 0 (2.21)o g est une constante damortissement qui a la dimension de linverse dun temps([g] = T1).La solution gnrale dune telle quation diffrentielle est du typeA=eut, ce quidonne une quation caractristique du second degr u2+gu +v20 = 0 dont les racinessontu1,2 =12_g _g24v20_= g2 a avec a =12_g24v20.La solution de (2.21) est donc de la formeA(t ) = egt /2_A1eat+ A2eat_et les conditions initiales (A0,A0) permettent de dterminer les constantes A1 etA2,pour obtenir nalement la solution gnrale de (2.21) :A(t ) =egt /22a_aA0_eat+ eat_+_g2 A0 +A0__eateat__. (2.22)Selon la nature de a (imaginaire, nul ou rel), on peut distinguer trois rgimes dcritsci-dessous.2.4.1 Rgime oscillantSi (g24v20) < 0, alors a est un imaginaire pur, que lon crit sous la forme a = i v1avecv1 = v01 g24v20. (2.23)Dans ce cas, la solution (2.22) devientA(t ) = egt /2_A0 cos v1t +1v1_g2 A0 +A0_sin v1t_(2.24)et lamplitude dcrit une oscillation de pulsation v1 avec une enveloppe exponentiel-lement dcroissante. Ce rgime est appel pseudo-priodique car il ne satisfait pas la dnition de la priodicit vue au chapitre 1. La gure 2.7 montre lamplitude(a), la vitesse (b) et le portrait de phase (c) pour un exemple damortissement faible.DunodLaphotocopienonautoriseestundlit28 Chap. 2. Les oscillateurs(c)(a)(b)ttA(t)A(t)A(t)A(t)t =14t =12t =314Figure 2.7Aucoursdutemps, lamplitudedunoscillateur nonamorti dcrit unecourbe sinusodale (en haut gauche) dont lamplitude est module parunefonctionexponentielledcroissante(pointille), demmequesavitesse(enbasgauche). Cesdeuxcourbessontdcalesdunedemipriodet1/2, cequi correspondundphasagedep. Si ontracelavitesse A en fonction de lamplitude A, le portrait de phase est une courbespirale(droite). Lesconditionsinitialessont uneamplitudenonnulleA0 ,= 0 et une vitesse nulleA0 = 0.Lamortissement introduit une diffrence importante par rapport au cas de loscilla-teuridal carilmodiesapulsation.Lexpression (2.23)montrequelapulsationv1 est plus petite que la pulsation v0 de loscillateur idal. En faisant augmenter lefacteur damortissement jusqu une valeur critique 4v0, la pulsationv1tend vers0, et lamortissement supprime totalement les oscillations. On parle alors de rgimecritique pour g = 4v0 et de rgime apriodique pour g> 4v0. Ces rgimes sontabords dans les exercices 12 et 13 de ce chapitre.2.4.2 Dissipation dnergieOn peut appliquer lquation (2.21) le mme traitement quau 2.3.2, savoir unemultiplication parA et une intgration par rapport au temps, ce qui donne12A2+ 12v20A2= g_A2dt.Lnergie du systme est maintenant une fonction du temps :c(t ) = g_A2dt,2.5 Forage et rsonance 29et son volution dpend du signe de g. Dans les cas ralistes o g est positif, lnergiedcrot vers 0 avec le taux de dcroissancedcdt= g A2.Lamortissement dunoscillateur est caractrispar unnombresans dimensionappel le facteur de qualit.DnitionLe facteur de qualit est calcul parQ =v0g. (2.25)En rgime oscillant, lenveloppe de lamplitude de loscillateur dcrot exponentiel-lement avec le temps, et le temps ncessaire pour diminuer lamplitude dun facteure 2, 7 est Qt/p, avec t la priode. Q/p est donc le nombre doscillations nces-saires pour que lenveloppe diminue dun facteur e.Exemple 1 : oscillateur quartzLes oscillateurs quartz utiliss pour les horloges lectroniques ont un facteur dequalit de lordre de 106.Exemple 2 : amortisseur de voitureUn amortisseur de voiture doit au contraire amortir trs rapidement lnergie appor-te par une irrgularit de la route, et son facteur de qualit doit tre lgrementsuprieur 1.2.5 FORAGE ET RSONANCE2.5.1 quation damplitude de loscillateur forcQuand le systme est soumis une force extrieure variable, lquation damplitudedevientd2Adt2+ gd Adt+ v20A = F(t ),oF(t )estunefonctiondeforage.Cestunequationlinaireinhomogne carelle contient un terme sourceF(t ) qui ne dpend pas deA. Grce la linarit, onDunodLaphotocopienonautoriseestundlit30 Chap. 2. Les oscillateurspeut toujours dcomposer lafonctionF(t )enune srie de Fourier et ne travaillerquavec un seul mode de pulsation v (cet aspect est dvelopp dans le chapitre sui-vant). Lquation rsoudre devient doncd2Adt2+ gd Adt+ v20A =AF cos(vt ). (2.26)avec une constante damplitude de forageAF. La solution complte de cette qua-tion comprend deux termes : la solution gnrale de lquation sans second membre, solution obtenue dans lasection prcdente. Cette solution est un mouvement amorti avec une amplitudequi tend vers 0 pour t . Cest un transitoire ; une solution particulire relie au rgime permanent, une fois le transitoire com-pltement amorti.Lasolutionparticuliredevrareterplusoumoinsdlement leforagequiluifournit lnergie. On choisit donc comme solution gnrale une fonctionA(t ) =A1 cos(vt + f),oA1 est une constante inconnue et f un dphasage dterminer. En injectant cettesolution dans (2.26), on obtient la relation(v20 v2) cos(vt + f) vgsin(vt + f) =AFA1cos(vt ).Pour dterminerA1 et f partir dune seule quation, on choisit dabord un instantt

tel que vt

+ f = 0, ce qui donne(v20 v2) =AFA1cos f,puis un instant t

tel que vt

+ f = p/2, ce qui donnevg =AFA1sin f.Aveccesdeuxderniresgalits,onpeutdterminerlamplitude A1et ledpha-sage f :A1AF=1_(v20 v2)2+ v2g2tan f =vgv20 v2.(2.27)(2.28)2.5 Forage et rsonance 312.5.2 RsonanceTrace sur la gure 2.8a, lexpression (2.27) de lamplitude de loscillateur amorti etforc prsente un maximum pour une pulsationvR =_v20 g22= v01 12Q2. (2.29)Cettepulsation est la pulsation de rsonance entreloscillateuret leforage. Lemaximumdelafonction A1(v) augmentequandlamortissement diminue, et lacourbe prsente une divergence v = v0 pour g = 0. Le dphasage f (gure 2.8b)024681000 0A1AF (a)(b) = 1 = 1Figure 2.8 Amplitude et dphasage f de loscillateur harmonique forc,avec et sans amortissement.(a)amplitudeA1/AFenfonctiondelapulsation;(b)dphasagefenfonction de la pulsation.est toujours ngatif car loscillateur est toujours en retard par rapport au forage. Cedphasage passe par la valeur p/2 pour la pulsation propre v0.La gure 2.9 montre un exemple dvolution temporelle dun oscillateur amorti etforc une frquence diffrente de sa frquence propre. Aprs un transitoire, lam-plitudeA(t ) (a) est une fonction circulaire de pulsation v1, et le portrait de phase (b)est une cyclode complique qui converge vers un cycle limite impos par le forage,une fois le transitoire teint.DunodLaphotocopienonautoriseestundlit32 Chap. 2. Les oscillateurstA(t)A(t)A(t)(a) (b)rgime permanentrgime transitoireFigure 2.9 Oscillateur amorti for.Aprs un transitoire, loscillateur adopte la frquence du forage en rgimepermanent,avecuneamplitudeetunephasedniesparlesrelations(2.27) et (2.28).Encart 2.6 La chute du pont de Tacoma NarrowsLe pont de Tacoma est un exemple clbre doscillateur forc qui entre en rso-nance. Construit dans ltat de Washington, il est ouvert la circulation le 1erjuillet 1940. Le 7 novembre de la mme anne, par des conditions mtrolo-giques qui nont rien dexceptionnelles (un vent constant de 65 km/h), le tablierdu pont se met osciller en se tordant puis se brise. Il ny a pas eu de victimes.Soumis un vent de travers qui longe la rivire, le pont a cr un sillage detourbillons, phnomne de mcanique des uides connu sous le nom de tour-billons de Bnard-Von Karman. Les tourbillons se dcrochent du pont inter-valle rgulier, crant une dpression locale priodique. Comme la frquence dedcrochement des tourbillons tait proche de la frquence naturelle doscilla-tion du pont (v v0), il est entr en rsonance, jusqu ce que les amplitudesde balancement, et donc les contraintes mcaniques, soient trop fortes.Encart 2.7 Physiopathologie des vibrationsLorsquun corps humain est soumis des vibrations, mouvements mcaniquespriodiques, ilpeut yavoir deseffets pathologiques. Lacomplexit ducorpshumain incite une modlisationsimplie. Les mdecins et ergonomes qui sin-tressent ces effets utilisent des modles simples o le corps est assimil unensemble de masses lies entre elles par des liaisons lastiques qui jouent aussi lerle damortisseurs (les ligaments, les muscles, les disques intervertbraux).2.6 Couplage de deux oscillateurs 33En dessous de 2 Hz, le corps soumis une vibration se comporte comme unemasseunique.Pourdesfrquencesplusleves, certainespartiesducorpspeuvent entrer en rsonance avec la vibration extrieure. Quelques exemplessont donns dans le tableau ci-dessous. Il faut galement noter que les vibra-tions sont en gnral perceptibles au-dessus dune acclration de 0,01 ms2.Partie du corps Gamme de frquence (Hz)thorax 3 7cur 4 8bassin 4 9tte 20 30globes oculaires 60 90Une exposition prolonge des vibrations (par exemple pour un conducteurdenginde chantier, unmarin) peut provoquer des troubles visuels, destroubles cardiaques, pulmonaires ou osto-articulaires.2.6 COUPLAGE DE DEUX OSCILLATEURS2.6.1 Formulation gnraleUn exemple mcanique de deux oscillateurs coupls est prsent sur la gure 2.10 :un oscillateur compos dune masse m1et dun ressort de raideur k1est reli unoscillateur compos dune masse m2 et dun ressort de raideur k2 par lintermdiairedun ressort de couplage de raideur kc. Chaque masse subit les forces de rappel dedeux ressorts. On crit les quations de mouvement_m1 x1 = k1x1 + kc(x2 x1)m2 x2 = k2x2 kc(x2 x1)(2.30)que lon met sous la forme_ x1 = v201x1 + v2c1(x2 x1) x2 = v202x2 vc2(x2 x1)(2.31)avec les dnitions suivantes :v201 =k1m1, v202 =k2m2, v2c1 =kcm1, v2c2 =kcm2.Les pulsations des deux oscillateurs coupls sont inconnues, mais on peut supposerque les oscillations sont monochromatiques. On choisit donc comme solutions desfonctionsx1(t ) =X1 cos(vt + f1) et x2(t ) =X2 cos(vt + f2).DunodLaphotocopienonautoriseestundlit34 Chap. 2. Les oscillateurskcx1x2(a)(b)(c)m1m2k2k1m1m2k2k1Figure 2.10 Couplage de deux oscillateurs mcaniques par une liaison lastique.(a)oscillateursisols, (b)oscillateurscouplsenpositiondquilibre,(c)oscillateurscouplshorspositiondquilibre.Lesvariablesx1et x2sontlescarts despositionsdesmassespar rapportleurspositionsdquilibre.oX1et X2sont des constantes damplitude. Les acclrations se calculent facile-ment : x1 = v2X1 cos(vt + f1) = v2x1, x2 = v2X2 cos(vt + f2) = v2x2,et le systme (2.31) devient un systme de deux quations pour les positions x1etx2 :_(v2v201 v2c1)x1 + v2c1x2 = 0,v2c2x1 + (v2v202 v2c2)x2 = 0.(2.32)Ce systme peut scrire avantageusement sous forme matricielle_v2v201 v2c1v2c1v2c2v2v202 v2c2__x1x2_= 0, (2.33)et admet une solution non nulle (x1,2 ,=0) si le dterminant de la matrice est nul,cest--dire :_v2(v201 + v2c1) _v2(v202 + v2c2)v2c1v2c2 = 0. (2.34)Cettedernirequationest unpolynmedordre4, mais necomportequedespuissancespaires. Enposant V=v2, onobtient unequationduseconddegrAV2+ BV+ C = 0, avecA = 1,B = (v201 + v202 + v2c1 + v2c2),C = v201v202 + v201v2c2 + v202v2c1.2.6 Couplage de deux oscillateurs 35Comme une pulsation est un nombre positif, seules deux racines de la relation (2.34)sont physiquement pertinentes :v =_12(B _B24C) et v+ =_12(B +_B24C). (2.35)Lintensit du couplage est caractrise directement par la raideur du ressort kc. Pourinterprter leffet du couplage sur les pulsations v et v+, on introduit une pulsationde couplage vc telle quev2c = v2c1 + v2c2 = kc_1m1+1m2_.La gure 2.11 montre comment la pulsation de couplage vc inue sur les pulsationsv et v+. Dans la limite dun couplage trs faible (kc 0), les deux pulsations dusystme coupl sont simplement les deux pulsations des oscillateurs isols. Dans lalimitedun fort couplage (kc ),la liaison entre les deux oscillateurs se com-porte comme une liaison trs rigide. La pulsation v correspond la pulsation dunoscillateur simple de masse m1 + m2 et de raideur k1 + k2 :limvc(v) =_k1 + k2m1 + m2

+0102climc(+) = climc() =k1 +k2m1 +m2mode antisymtrique ( )mode symtrique ( )Figure 2.11 Inuence de lintensit du couplage sur les pulsations propres dedeux oscillateurs coupls.Pour cette pulsation, les deux masses se dplacent en phase, et on dnit ce modedoscillation comme le mode symtrique (gure 2.12a). Comme le couplage entreles deux oscillateurs est trs fort, les raideurs des ressorts k1 et k2 sont ngligeablesdevant kc. Tout se passe comme si les deux masses ntaient relies que par le ressortde couplage. Dans ce cas, la pulsation de vibration est dtermine par la raideur kc etpar la masse rduite du systme. On a donclimvc(v+) =kc_1m1+1m2_= vc.DunodLaphotocopienonautoriseestundlit36 Chap. 2. Les oscillateursCette pulsation correspond un mode de vibration o les masses sont en oppositionde phase. On dnit ce mode comme le mode antisymtrique (gure 2.12b).(a) (b)t+ mode antisymtrique ( ) mode symtrique ( )Figure 2.12 Modes de vibrations de deux oscillateurs coupls.(a) mode symtrique de pulsation v o les deux oscillateurs vibrent enphase, et(b)modeantisymtriquedepulsationv+olesoscillateurssont en opposition de phase.Le couplage de deux oscillateurs donne deux modes de vibration possibles. Puisquele systme est linaire, on peut superposer linairement ces deux solutions indpen-dantes et la forme gnrale de la solution est doncx1(t ) =X cos(vt + f) + X+ cos(v+t + f+), (2.36)x2(t ) =X cos(vt + f) X+ cos(v+t + f+). (2.37)Lesquatre constantesX, X+, fetf+sont dtermines partirdes conditionsinitiales du systme, savoir les positions et vitesses initiales des deux oscillateurs.Encart 2.8 La sparation des frquencesOn peut montrer que lcart entre les pulsations propres dun systme couplest plus grand que lcart entre les pulsations des oscillateurs isols :[v+ v[[v02 v01[.La sparation des frquences ou des pulsations est dautant plus grande quelintensit du couplage est importante. Dans lexemple des masses et des res-sorts, la raideur du ressort de couplage vient sajouter aux raideurs des ressortsisols, ce qui produit une augmentation des frquences du systme.2.6 Couplage de deux oscillateurs 372.6.2 Couplage de deux oscillateurs identiquesQuand les deux oscillateurs sont identiques (m1 = m2 = m et k1 = k2= k), ils ontla mme pulsation proprev01 = v02 = v0 =_km,et lapulsationdecouplageest vc= _2kc/m. Daprslesrsultatstablislasection prcdente, les deux pulsations propres de vibration du systme coupls sontmaintenantv= v0, (2.38)v+=_v20 + 2v2c. (2.39)La pulsation du mode symtrique est indpendante de lintensit du couplage. Si lecouplage est fort, la pulsation du mode antisymtrique tend vers une limitelimvc(v+) =_2kcm= vc.La gure 2.13 illustre lvolution des pulsations propres v et v+ en fonction de lapulsation de couplage.+climc(+) = cmode antisymtrique ( )mode symtrique ( )0Figure 2.13 Inuence de lintensit du couplage sur les pulsations propresde deux oscillateurs coupls identiques.2.6.3 Phnomne de battementsDans le cas dun faible couplage, cest--dire vc v0, les deux frquences v etv+sont trs proches. La superposition des deux modes va produire un phnomnede battements. En effet la solution gnrale est la somme de deux fonctions cosinusavec arguments proches. En utilisant la relationcos u1 + cos u2 = 2 cos_u1 + u22_cos_u1 u22_,DunodLaphotocopienonautoriseestundlit38 Chap. 2. Les oscillateurson peut crire que les solutions (2.36, 2.37) se mettent sous la formex1(t ) = (X X+) cos(vt + f) + 2X+ cos(vmt + fm) cos(Dvt + Df),x2(t ) = (X + X+) cos(vt + f) 2X+ cos(vmt + fm) cos(Dvt + Df),avecvm =12(v + v+), fm =12(f + f+),Dv =12(v v+), Df =12(f f+).La gure 2.14 illustrece comportement avecX=X+. Les oscillationsx1etx2dcrivent une oscillation de pulsation vm avec une amplitude de modulation qui varieselon le cosinus de Dv. Lintervalle de temps entre deux maximums successifs de lamodulation est 2p/Dv.x1(t)x2(t)ttFigure 2.14 Solutions de vibrations pour deux oscillateursidentiques faiblement coupls.Les pulsations propres v et v+ sont proches et produisent un phnomnede battement.Pour terminer, on peut citer une dernire conguration : si le ressort de couplage ala mme raideur que les ressorts des oscillateurs isols, alors la pulsation du modeantisymtrique est v+ = 3v0.2.7 Couplage linaire deNoscillateurs 39Encart 2.9 Les cordes sympathiquesCertains instruments de musique cordes utilisent des cordes qui ne sont pasdirectementmisesenvibrationparlemusicienouparunmcanisme.Cescordes sont mises en vibration par couplage avec dautres cordes via lair, unprocd qui semble avoir t invent par les luthiers anglais au XVIIesicle. lpoque baroque, on trouvait ainsi des violons damour, des violons munis de12 cordes sympathiques (les 12 tons de la gamme) en plus des quatre cordestraditionnelles.En Inde, le sitar, luth traditionnel, sest vu ajout une corde sympathique auXIXesicle, corde qui contribue au timbre particulier de cet instrument. Cescordes ont une fonction denrichissement harmonique, et le trs lger dsac-cord entre la corde sympathique et la corde actionne produit des battementssonores caractristiques.2.7 COUPLAGE LINAIRE DE N OSCILLATEURS2.7.1 Chane linaire de N oscillateurs diffrentsLes calculs prcdents peuvent se gnraliser sans difcultun nombreNdos-cillateurs coupls deux deux. Les quations du mouvement de chaque masse sontrassembles dans un systmem1 x1= k1x1 + kc(x2 x1)m2 x2= k2(x2 x1) + k3(x3 x2)...mi xi= ki(xi xi 1) + ki +1(xi +1 xi)...mN xN= kN(xN xN1) + kN+1xN(2.40)Onavu que lesquations du mouvement tant linaires en dplacement, on peutmettre un tel systme dquations sous une forme matricielle. Ainsi, pour Noscilla-teurs, on peut composer un vecteur

X Ncomposantes pour les Npositions xiet lesystme (2.40) scrit sous la forme matricielleM

X= 0o M est une matrice N N. Comme le dterminant de la matrice est nul, on obtientun polynme de degr 2Npour la pulsation v. Ce polynme est pair et ne comporteque des termes dordre 0, 2, 4, ... , 2N. Si mathmatiquement le systme a 2Nsolu-tions, il ny a que Nsolutions positives pour v. Ces solutions correspondent aux Nmodes propres de vibration du systme.DunodLaphotocopienonautoriseestundlit40 Chap. 2. Les oscillateurs2.7.2 Chane linaire de N oscillateurs identiquesUn systme mcanique tendu peut comporter un grand nombre doscillateurs iden-tiques sufsamment proches les uns des autres pour que des interactions existent.Exemple : un solide monoatomiqueLe cuivre est un solide mtallique compos dune seule espce datome. Les liai-sons entre atomes voisins sont donc identiques et la modlisation mcanique com-portedoncdesmassesmreliespardesressortsderaideurk. Avecunemasseatomique mCu=1, 55 1025kg et une masse volumiquerCu=8 960 kg m3,on peut calculer quun cm3de cuivre contient 8, 5 1022atomes, soit 44 millionsdatomes par centimtre linaire.La modlisation prcdente peut stendre facilement un nombre arbitraire Ndos-cillateurs aligns. Pour chaque oscillateur, on peut crire une quation de mouvement,ce qui donne un systme deNquations pour lesNvariables de position. PourNoscillateurs, on peut associerNmodes propres de vibration. La gure 2.15 montrequelques modes de vibration dune corde plombe : le mode le plus simple (mode 1)o tous les plombs vibrent en phase, et le mode le plus lev, o les plombs voisinssont en opposition de phase.quilibremode 1mode 2mode NFigure 2.15 Modes de vibration dune corde plombe constitue de N oscillateurscoupls.Une autre conguration est une succession rectiligne de masses et de ressorts. Lqua-tion du mouvement de la masse repre par lindice n est simplementmd2Andt2= k(An+1 An) k(An An+1)car elle est couple aux deux masses voisines n 1 et n +1 par des ressorts de mmeraideur k. Cette quation peut galement scrired2Andt2v2c(An+1 2An + An1) = 0. (2.41)Synthse 41En faisant le choix dune solution oscillanteAn =A0n cos vt , on a donc un systmede Nquations du type_2v2c v2_An v2cAn+1 v2cAn1 = 0qui peut scrire sous la forme dune matrice NN applique un vecteur

A dont lescomposantes sont les amplitudesAn. La diagonale de la matrice contient les termesen_2v2c v2_, et chacun de ces termes est bord de deux termes v2c qui illustre lecouplage avec les oscillateurs voisins. Toutefois il est difcile en pratique de rsoudrele problme quand Nest vraiment grand.Le chapitre suivant montre comment on peut contourner cette difcult,en interprtant le deuxime terme de lquation (2.41) et en dcrivant lesystme de Noscillateurs comme un systme continu.SYNTHSESavoirs Unoscillateur est unsystmephysiquedont le comportement sorganiseautour dune conguration dquilibre stable. Lastabilitdelquilibreest dnieparuneforcederappel quiramnelesystme vers la conguration dquilibre. Un oscillateur non amorti est un systme oscillant dont lnergie est conserve. Lquation linaire dun oscillateur non amorti (sans dissipation dnergie) estunequationdiffrentielletemporelledusecondordreavecunseul coef-cient v0 :d2Adt2+ v20A = 0.La pulsationv0est la pulsation propre de loscillateur,et elledpend de laconstruction physique du systme. Lquation linaire dun oscillateur amorti estd2Adt2+ gd Adt+ v20A = 0avec un coefcient damortissement g positif dans le cas dun systme dissi-patif. Un oscillateur forc adopte la pulsation du forage aprs un rgime transitoire.Son amplitude doscillation dpend de sa pulsation propre, de la pulsation deforage et du facteur damortissement.DunodLaphotocopienonautoriseestundlit42 Chap. 2. Les oscillateurs Le nombre de modes de vibrations et de pulsations propres est gal au nombrede degrs de libert (nombre doscillateurs).Savoir-faire Calculer la frquence propre doscillation dun systme. Identierlesparamtresdersonanceet damortissementpourunsystmedissipatif for. Calculer le facteur de qualit dun systme rsonant. Calculer les pulsations propres et les modes correspondant dun systme cou-pl.Mots-cls Oscillateur, pulsation propre,frquence propre Amortissement, dissipation dnergie,forage, rsonance Oscillateurs coupls, modes propresExercicesTester ses connaissances1 Un coefcient damortissement g ngatif indique :a. que lnergie de loscillateur est conserve.b. que lnergie augmente.c. que lnergie diminue.2 En rgime permanent, un oscillateur amorti et forc a une nergie :a. constante. b. qui augmente. c. qui diminue.3 La frquence de rsonance dun oscillateur dpend :a. uniquement de la frquence de forage.b. de la frquence de forage mais aussi du coefcient damortissement.c. de la frquence propre de loscillateur.Exercices 43Exercices dapplication4Calculer le dveloppement lordre 2 autour de x0 = 3p/2 de la onction sin x.5Dvelopper lordre 6 la fonction sin(x2) autour du point x0 = 0.6Une mesure par acclromtre montre quune machine vibre une frquencen =50 Hz avec une acclration maximale de 20 ms2. Dterminer lampli-tude de la vibration.7Une machine tournante montre un dplacement oscillant de son axe de rotationde 1 mm 18 000 tours par minute. Calculer lacclration maximale subie parlaxe.8 Vibration de la liaison OH dune molcule. On modlise la liaison OH par deuxmasses mHet mOrelies par un ressort de raideur kOH=730 N m1. Aprsavoircrit lesquationsdumouvementdesdeuxmasses, calculerlamasserduite puis la pulsation propre de vibration de cette molcule.Exercices dapprofondissement9 Calcul de la frquence de rsonance dun oscillateur amorti et forc Montrer que la frquence de rsonance dun oscillateur amorti et forc estnR = n01 g28p2n20et donner une expression approche pour un oscillateur faiblement amorti. Onnote n0 la frquence propre de loscillateur.10 Modlisation de la marche humaine Lors de la marche, la jambe en mouvement est analogue un pendule de lon-gueur l. Sachant que la longueur parcourue en faisant un pas est proche de 2l/3,proposerunerelationentrelavitessedemarcheet lalongueurdelajambe.Donner une valeur numrique pour l = 90 cm.11 Le blier mdival Utilis de lAntiquit jusquau XVIesicle, le blier tait un engin de destructionde portes et de murailles. Son principe ainsi que ses dimensions sont prsentssur la gure ci-aprs.DunodLaphotocopienonautoriseestundlit44 Chap. 2. Les oscillateurs10 m3,5m0,75 mSupposons que le blier est une poutre cylindrique en chne (masse volumique700 kg m3) de 50 cm de diamtre et 10 m de long. partir des donnes dela gure, calculer la vitesse maximum atteinte par le blier ainsi que lnergietotale. Donner galement la dure dune oscillation libre.12 Rgime critique de loscillateur amorti partir de lquation (2.22), considrer le cas g = 2v. Montrer que lamplitudede loscillateur estA(t ) = egt /2_A0 + t_g2 A0 +A0__. (2.42)Conseil : utiliser le dveloppement eat 1 + at + ...13 Rgime apriodique de loscillateur amorti partirdelquation(2.22),considrer lecasg2 4v20>0.Montrerquelamplitude de loscillateur estA(t ) = egt /2_A0 coshat +1a_g2 A0 +A0_sinh at_. (2.43)14 Modes de vibration dune molcule triatomique linaire Les molcules triatomiques linaires (par exemple le trs toxique acide cyanhy-drique H-CN) sont composes de trois atomes dont les noyaux sont aligns.Les forces dinteraction entre les atomes sont modlises par deux ressorts deraideurs kHC et kCN. On dsigne par xH, xC et xN les carts des atomes par rap-port leurs positions dquilibre et par mH, mC et mN les masses des atomes.a. crire les quations du mouvement couples pour les atomes de la molculetriatomique HCN.b. En effectuant le changement de variable xHC = xC xH et xCN = xN xC,dterminer les pulsations propres de vibration de la molcule.CorrigsTester ses connaissancesa. b. c.1 2 3 Exercices dapplication4 Le dveloppement de la fonction sinus autour dun point x0 est(sin x)xx0= sin x0 + cos x0 (x x0) 12 sin x0 (x x0)2+ ce qui donne avec x0 = 3p/2(sin x)xx0= 1 + 12_x 3p2_2+ La cuvette de la fonction sinus est donc approche par une parabole.5 En posant a = x2, on cherche le dveloppement de sin a a a3/6+ , ce qui donne_sin x2_x0 = x2x66+ 6 Lamachinesecomportecommeunoscillateurharmoniqueavecuneamplitudededplacement x =A cos vt. Savitesseest x =Avsin vt etsonacclrationest x = Av2cos vt. On a donc :A =max( x)v2=20(2pn)2= 2104m7 Lacclrationmaximaleest donnepar Av2= 4Ap2n2. Lavitesse derotationde18 000tourspar minutecorrespondunefrquencede300Hz, cequi donneAv2= 3, 55 ms2, soit environ 3,6 fois lacclration de la gravit.8 On note xO et xH les positions des atomes doxygne et dhydrogne. Les quations dumouvement sont_mO xO = kOH(xO xH),mH xH = +kOH(xO xH).Corrigs 45En divisant chaque quation par la masse de latome considr et en faisant la diffrencedes deux quations, on obtient : xOH = kOHmOHxOHavec xOH = xOxH et la masse rduite mOH = mOmH/(mO+mH). Cette masse rduitevaut 16/17 u.a. (Lunit atomique est quivalente 1,661027kg) et la pulsation de laliaison OH est vOH =_kOH/mOH = 6,811014s1.Exercices dapprofondissement9 Calcul de la frquence de rsonance dun oscillateur amorti et forcLamplitude de loscillateur amorti et forc est donne par lexpression (2.27) :A1 =AF_(v20 v2)2+ v2g21/2,avec v0 = 2pn0. Cette fonction A1 atteint son maximum quand d A1/dv = 0, soit4v3+ 2v(g22v20) = 0.La frquence de rsonance nR est doncnR = n01 g28p2n20.Dans le cas dun amortissement faible (g v0), le dveloppement limit au premierordre de nR estnR n0_1 g216p2n20_.10 Modlisation de la marche humaineOn note tout dabord v0= _g/lla pulsation du pendule de longueur l reprsentantla jambe en mouvement. Le mouvement dun pas correspond une demi-priode, doncune dure de t/2 = p_l/g. Comme la longueur parcourue par pas est 2l/3, la vitessede marche estv =2lg3pl=23p_gl.Avec une longueur l = 0, 9 m et g 10 m s2, on trouve une vitesse de 0,64 m s1,soit 2,3 km h1. Cette valeur peut paratre faible, mais cest la vitesse calcule sansimpulsion, avec uniquement la gravit comme force motrice. La marche normale estbien sr anime par des forces musculaires qui viennent augmenter la vitesse.46 Chap. 2. Les oscillateurs11 Le blier mdivalDaprs la gure, la puslation estv0= _g/L= _9, 81/3, 5 =1, 67 s1, soit unefrquence de 0,26 Hz et une priode de 3,75 s. Masse du blier : 1 374 kg. nergie :c=mgDh=10 112 J. La vitesse maximum sobtient par la conversion complte delnergie en nergie cintique, on trouve une vitesse maximum de 3,8 ms1.12 Rgime critique de loscillateur amortiAvec g=2v, a =0, on ne peut donc utiliser directement lexpression (2.22) car ontrouve a au dnominateur. En utilisant le dveloppement eat 1 +at et eat 1 at,on peut crire :A(t) =12egt/2_A0 + t_g2 A0 +A0__.13 Rgime apriodique de loscillateur amortiSi g24v20> 0, alors a est un rel, et la solution (2.22) se met sous la formeA(t) = egt/2_A0 cosh(at) +1a_g2 A0 +A0_sinh(at)_et le mouvement est apriodique, cest--dire sans priodicit.14 Modes de vibration dune molcule triatomique linairea. Aveclesnotationsdelnonc,lestroisquationsdumouvement pourlestroisatomes sontmH xH = kHC(xC xH),mC xC = kHC(xC xH) + kCN(xN xC),mN xN = kCN(xN xC).Onpeutvrierquelessignesdesdiffrentesforcesderappelsontcorrectsenfaisant la somme de ces trois quations. La molcule tant un systme isol, on doitvrier que

imi xi= 0, avec i= H, C, N.b. En divisant les quations du mouvement par les masses respectives puis en faisantla diffrence entre les quations pour C et H dune part, et N et C dautre part, lesystme prcdent peut scrire sous la forme de deux quations :_ xHC= v2HCxHC + v2CxCN, xCN= v2CxHC + v2CNxCN,avecv2HC = kHC_1mH+1mC_, v2CN = kCN_1mC+1mN_,v2C =kCNmC, v2C=kHCmC.DunodLaphotocopienonautoriseestundlitCorrigs 47En choisissant des solutions oscillantes de pulsation v pour les variables xHC et xCN,on obtient le systme linaire_v2v2HCv2Cv2Cv2v2CN__xHCxCN_= 0qui admet comme solutions les pulsations propres du systmev =12_v2HC + v2CN _(v2HC + v2CN)2+ 4v2Cv2C_.La pulsation v correspond au mode symtrique, et la pulsation v+ au mode anti-symtrique.48 Chap. 2. Les oscillateursLquation donde simpleet ses solutions3Plan ObjectifsCours3.1 quation donde simple3.2 Fonction dondemonochromatique3.3 Superpositions etinterfrencesSynthseExercicesCorrigs tablir lquation donde simple Dterminer lasolutiongnralede lquation donde tablir les fonctions dondemonochromatiques de base Dnir lesvitessesdephaseetde groupe Prsenterlephnomnedinter-frences Dnir les ondes progressives etstationnairesCoursLes oscillateurs prsents au chapitre 2 sont des systmes physiques isols dnom-brables. Quand les oscillateurs coupls sont trs nombreux, il devient difcile de lesdcrireindividuellement.Ladescriptionestalorsfaciliteparunmodlecontinu,sous la forme dune quation donde, quation qui relie les variables despace et detemps dune fonction. Cette quation donde a en particulier comme solution la fonc-tion donde monochromatique qui est llment de base pour gnrer des solutionscomplexes. Les caractristiques de cette fonction, le vecteur donde et la pulsationsont relis par une relation de dispersion.50 Chap. 3. Lquation donde simple et ses solutions3.1 QUATION DONDE SIMPLE3.1.1 quation donde une dimensionQuand le nombre doscillateurs coupls Ntend vers linni, il nest plus possible dedcrire individuellement chaque oscillateur qui compose une chane. Le systme phy-sique devient continu, et la description discrte par un nombre entier i =1, . . . , Ndoit tre remplace par une description continue indexe par une variable despace.SilesNoscillateurssontlquilibrespars dunedistancedx,commeillustrsur la gure 3.1, on peut proposer de remplacer lamplitude de chaque oscillateur indexe par le nombre entier i par la valeur dune fonction continue qui prendcette valeur la position de loscillateur :Ai(t ) =A(x, t ).Les oscillateurs voisins i 1 et i + 1 ont comme amplitudesAi 1(t ) =A(x dx, t ) et Ai +1(t ) =A(x + dx, t ),et lquation de mouvement (2.41) de loscillateur i tablie au chapitre prcdentd2Aidt2v2c(Ai +1 2Ai + Ai 1) = 0 (3.1)devient doncd2A(x, t )dt2v2c [ A(x + dx, t ) 2A(x, t ) + A(x dx, t )] = 0.x2x x+ 2x x+x xx xkmA(xx) A(x2x) A(x+ 2x) A(x+x) A(x)i i 1 i 2 i + 2 i + 1Figure 3.1 Chane linaire dun grand nombre doscillateurs identiques.Chaque oscillateur interagit avec ses deux proches voisins par un couplageidentique.3.1 quation donde simple 51Si lcart dx est sufsamment petit par rapport la taille macroscopique du systme,on peut calculer les amplitudes des oscillateurs voisins par un dveloppement limit :Ai +1= A(x + dx) =A(x) + dx_Ax_+ (dx)22_2Ax2_+(3.2)Ai 1= A(x dx) =A(x) dx_Ax_+ (dx)22_2Ax2_+(3.3)et lasommedesquations(3.2)et (3.3)correspondlexpressiondiscrtedeladrive seconde en x de la fonction A(x, t ) :2Ax2=1(dx)2 [A(x + dx, t ) 2A(x, t ) + A(x dx, t )] . (3.4)Cette expression est le calcul en diffrences nies du laplacien une dimension dela fonction A(x, t ).Dans la limite o dx 0, lquation (3.1) scrit donc :2Ax2 _1v2cdx2_2At2= 0,et la quantit v2cdx2tant homogne au carr dune vitesse, on a2Ax2 1c22At2= 0, (3.5)avec une vitessec = vcdx. (3.6)Cette quation est une quation donde simple, quation diffrentielle dordre 2 enespace et dordre 2 en temps. Elle est galement appele quation de dAlembert eton note parfois_2x2 1c22t2_A = A = 0avecloprateur de dAlembert.La simplicit de cette quation est lie au choix du modle utilis pourltablir : dans la chane linaire des oscillateurs identiques, les forces dedissipation ne sont pas prises en compte. Lnergie totale du systme estdonc conserve.DunodLaphotocopienonautoriseestundlit52 Chap. 3. Lquation donde simple et ses solutions3.1.2 Solution gnrale une dimensionLquation donde simple (3.5) peut se dcomposer sous la forme_Ax 1cAt__Ax+ 1cAt_= 0 (3.7)ou encore_x 1ct__x+ 1ct_A = 0. (3.8)La dernire formulation de lquation donde montre quil existe deux vitesses dansle systme : +c et c, associes deux sens de propagation opposs. Pour chercherdes solutions lquation donde, on introduit deux nouvelles variables :_X(x, t ) = x ctY(x, t ) = x + ctquisont des variables despace associes deux rfrentielsmobilesaux vitesses+c et c respectivement. Dans lcriture en (x,t ), le rfrentiel a une position xe,tandis que les variables Xet Ysont associes deux rfrentiels mobiles.Les oprateurs de drivation partielle de lquation donde (3.5) doivent tre trans-forms et on utilise pour cela :x=XXx+YYx=X+Y .De mme, la transformation de loprateur /test :t=XXt+YYt= c_Y X_.Dans lquation(3.5), nous avons besoinde loprateur de drive seconde en x, donc :2x2=_x_2=_X+Y_2,et loprateur 2/t2est2t2=_t_2= c2_Y X_2.Par ce changement de variables, lquation (3.5) devient une quation intgrable :2AXY. .forme1=X_AY_. .forme2=Y_AX_. .forme3=0.La deuxime forme de cette quation montre que la drive deApar rapport Yne dpend pas deX, donc que la fonctionA ne dpend que de Y. Mais la troisime3.1 quation donde simple 53forme montre que la drive deA par rapport Xne dpend pas de Y, donc que lafonctionA ne dpend que deX. La forme gnrale de la solutionA(X, Y) est donclasommededeuxfonctionsindpendantesqui nedpendentchacunequedunevariable, Xou Y:A(x, t ) = F(X) + G(Y) = F(x ct) + G(x + ct). (3.9)Les deux fonctions F et G sont des fonctions donde arbitraires et ne sont dterminesque par les conditions aux limites et initiales du systme. Lquationdonde simple nim-pose aucune forme particulire pour ces fonctions, du moment quelles sont drivables.Dnitions Une fonction donde scalaire est une fonction des coordonnes de lespace etdu temps qui est solution de lquation donde. Une fonction donde vectorielle est un vecteur dont les composantes sont desfonctions des coordonnes de lespace et du temps qui sont solutions de lqua-tion donde. Une onde est longitudinale quand lamplitude de londe est oriente dans lamme direction que sa direction de propagation. Une onde est transverse quand lamplitude de londe est oriente perpendicu-lairement sa direction de propagation.Parexemple, onmontresurlagure3.2, quunefonctionenformedebossesedplaceaucoursdutempsdansladirectiondeszcroissants. CestunefonctionF(x ct). UnefonctionG(x+ ct)enformedecrneau sedplace, elle,dans ladirection des z dcroissants.xtF(xct) G(x+ct)Figure 3.2 Illustration de la propagation de deux solutions de lquation dondesimple.LafonctionG(x+ct) sepropagevers les x dcroissants tandis quelafonction F(x ct) se propage dans la direction des x croissants.DunodLaphotocopienonautoriseestundlit54 Chap. 3. Lquation donde simple et ses solutions3.1.3 quation donde trois dimensionsDans un espace trois dimensions, la fonction donde dpend des trois coordonnesde lespace et du temps. Dans un repre cartsien (x, y,z), on note A =A(x, y,z, t )et lquation donde simple devient_2x2+2y2+2z2_A 1c22At2= 0.Dnitions Loprateur laplacien, not D, est un oprateur de drivation du second ordreet correspond la divergence du gradient dune fonction scalaire :D A = div (

grad A). En coordonnes cartsiennes, le laplacien de la fonction A estD A =_2x2+2y2+2z2_A.Le laplacien en coordonnes cylindriques et sphriques est propos dans lan-nexe A.Avec ces dnitions, lquation donde simple dans un espace trois dimensions estdoncD A 1c22At2= 0, (3.10)o loprateur laplacien dpend du systme de coordonnes choisi.3.1.4 Solution gnrale trois dimensionsDansunespace tridimensionnel,onnote r levecteur positionparrapportlori-gine et k le vecteur unitairequi indique la direction de propagation de londe. Encoordonnes cartsiennes, on ar =xyz, k =kxkykz, avec |k| =_k2x + k2y + k2z= 1.Par analogie avec le cas unidimensionnel, on introduit deux nouvelles variables :_X(x, y, z, t ) = kxx + kyy + kzz ct,Y(x, y,z, t ) = kxx + kyy + kzz + ct,3.2 Fonction donde monochromatique 55qui sont des variables despace associes deux rfrentiels mobiles se dplaant auxvitesses +c et c selon la direction du vecteur k. Les oprateurs 2/x2, 2/y2et2/z2se transformentpar lammemthode quau3.1.2, etlquationdondedevient donc(k2x + k2y + k2z)_X+Y_2_X Y_2= 0,ou encore(k2x + k2y + k2z 1)_2X2+2Y2_+ 2(k2x + k2y + k2z + 1)2AXY= 0.Comme le vecteur k est unitaire, on retrouve la mme quation intgrable que dansle cas unidimensionnel :2AXY= 0et les solutions gn