Ondes mécaniques Notes de cours - Alain Le Rillealain.lerille.free.fr/2016/Corriges10.pdf ·...

physique année scolaire 2016/2017

Ondes mécaniques

Notes de coursmardi 22 novembre 2016

On peut visualiser la propagation d'ondes mécaniques le long d'une corde et d'un ressort.à installer mardi 22 novembre 2016 en salle L111.

Des ondes mécaniques qui se propagent sur une corde et un ressort expérience de

cours

Figure 1 Des ondes mécaniques qui se propagent sur une corde et un ressort

I- Etablissement de l'équation de D'Alembert

1. Onde le long d'une corde

On s'intéresse à une corde inextensible prin-cipalement suivant un axe Ox tendue avecla tension T0, de masse linéique µl. On né-glige la pesanteur. On note ~T (x, t) la tensionqu'exerce à l'instant t la partie de l d'abscissesupérieure à x sur la partie de l d'abscisse in-férieure à x. Le petit élément de longueur dxentre les abscisses x et x+ dx est à l'altitudey(x, t) à l'instant t. Cet élément fait avec l'axeOx un angle α(t) petit.

Montrer que l'altitude y(x, t) à l'instant t suit l'équation

∂2y

∂t2= c20

∂2y

∂x2avec c0 =

√T0

µl

1 Etablissement de l'équation de propagation pour une corde vibrante tenduehorizontalement exercice

Le théorème du centre de masse s'écrit :

µl.dxd2~r

dt2= ~T (x+ dx, t)− ~T (x, t)

dont la projection suivant ~ux donne :

µl.dxd2x

dt2≈ 0 = Tx (x+ dx, t)− Tx (x, t) =

∂Tx∂x

dx

Aussi, on pourra considérer Tx =∣∣∣~T ∣∣∣ cosα ≈

∣∣∣~T ∣∣∣ = T0, constante. Donc, la projection suivant ~uy de la tension

est Ty =∣∣∣~T ∣∣∣ sinα ≈ T0α, ce qui permet d'exprimer la projection suivant cet axe du théorème du centre de

masse :

µl.dx∂2y

∂t2= T0α (x+ dx, t)− T0α (x, t) = T0

∂α

∂xdx

spé PC page n 1 Janson de Sailly


Comme l'angle est α(t) ≈ ∂y∂x on en déduit l'équation

∂2y

∂t2= c20

∂2y

∂x2

avec la célérité de l'onde c0 =√

T0

µl.

2. Propagation du son dans un solide

Dans l'approximation des milieux continus, la dimension entre les atomes, ions ou molécules (notée a)et la longueur d'onde λ des ondes acoustiques qui s'y propagent sont telles que

a λ

Approximation des milieux continus dénition

La gure 2 représente l'élasticité d'un solide. Une barre solide de section S de longueur au repos ` voitcette longueur varier de ∆` sous l'action d'une force ~F .

Elasticité d'un solide schéma

Figure 2 Elasticité d'un solide

La loi de Hooke stipule que la force pour faire varier la longueur ` d'une barre solide de section S estproportionnelle à l'allongement ∆` :

F = E S∆`

`

où E est le module d'Young (ou module d'élasticité), typiquement de l'ordre de E ≈ 1011 N ·m−2.

Loi de Hooke et module d'Young à retenir



On s'intéresse à une tige solide de masse vo-lumique µ, suivant la loi de Hooke avec le mo-dule d'Young E. On néglige la pesanteur.

Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2avec c0 =

√E

µ

2 Etablissement de l'équation de D'Alembert dans le cas de la tige solideexercice

La longueur du système à vide est` = [(x+ dx)]− [x] = dx

La longueur du système allongé est

`′ = [(x+ dx) + ξ(x+ dx, t)]− [x+ ξ(x, t)] = `+∂ξ

∂xdx⇒ ∆` =

∂ξ

∂xdx

Le théorème de la résultante cinétique donne

µS dx∂2x

∂t2= µS dx

∂2ξ

∂t2Fx(x+ dx, t)− Fx(x, t) =

∂Fx∂x

dx

Enn la loi de Hooke donne

∂Fx∂x

=∂

∂x

(E S

∆`

`

)= E S

∂

∂x

(∂ξ

∂x

)= E S

(∂2ξ

∂x2

)En remplaçant, on trouve

µS dx∂2x

∂t2= E S

(∂2ξ

∂x2

)dx

On a donc bien

c0 =

√E

µ

On s'intéresse à une chaîne horizontale (d'axeOx) de ressorts sans masse, tous identiques, delongueur à vide l0, de constante de raideur k,séparés par des particules ponctuelles toutesidentiques, de masse m. La masse numéro nest à l'abscisse xn(t). On négligera la pesan-teur.

Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2avec c0 = a

√k

m

3 Etablissement de l'équation de D'Alembert dans le cas de la chaîne inniede ressorts exercice



Le théorème de la résultante cinétique donne

md2xndt2

= md2ξndt2

= −k. (Xn + ξn −Xn−1 − ξn−1 − l0) + k. (Xn+1 + ξn+1 −Xn − ξn − l0)

En prenant en compte ce qui se passe à l'équilibre, on trouve :

d2ξndt2

=k

m(ξn+1 + ξn−1 − 2.ξn)

Dans l'approximation des milieux continus, on va pouvoir écrire que la déformation ξn varie lentement devanta :

ξn(t) = ψ(x ≈ n.a, t)

Aussi, on pourra déterminer la déformation en x ≈ (n− 1) .a et en x ≈ (n+ 1) .aξn+1(t) = ψ(x ≈ (n+ 1) .a, t) ≈ ψ(x ≈ n.a, t) + ∂ψ

∂x a+ ∂2ψ∂x2

a2

2

ξn−1(t) = ψ(x ≈ (n− 1) .a, t) ≈ ψ(x ≈ n.a, t)− ∂ψ∂x a+ ∂2ψ

∂x2a2

2

L'équation de la déformation devient alors∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2

avec c0 = a√

km .

Le tableau 1 présente des vitesses du son dans diérents solides.

Valeurs de la vitesse du son dans diérents solides tableau

solide plomb plexiglass cuivre aluminium fer granit

c0 en km/s 1,2 1,8 3,8 5,1 5,1 6,0

Table 1 Vitesse du son dans diérents solides

3. Généralisation : équation de d'Alembert

à une dimension, ψ (x, t) suit l'équation de d'Alembert

∂2ψ

∂x2=

1

c20

∂2ψ

∂t2

La célérité de l'onde c0 s'exprime en m · s−1

A trois dimensions, on peut généraliser sans peine quand la grandeur ψ dépend non seulement de x etde t, mais aussi de y et z, en remarquant que le laplacien est ∆ψ = O2ψ = ∂2ψ

∂x2 + ∂2ψ∂y2 + ∂2ψ

∂z2 . L'équationde d'Alembert à trois dimensions est

∆ψ =1

c20

∂2ψ

∂t2

Equation de d'Alembert dénition

l'équation de d'Alembert est une équation de propagation d'onde. Il s'agit d'une équation diérentielleen x, y, z et t.La linéarité de cette équation induit le théorème de superposition. Si ψ1 et ψ2 sont solutions de l'équationde D'Alembert, alors a1.ψ1 + a2.ψ2 est aussi solution (avec n'importe quelles constantes a1 et a2).L'équation de D'Alembert est réversible. En eet t → −t laisse invariante l'équation. En optique, on

Propriétés de l'équation de D'Alembert s'y retrouver



parle de la loi du retour inverse de la lumière.

II- Solutions de l'équation de D'Alembert : ondes planes monochro-matiques

1. Ondes planes stationnaires monochromatiques

Dans le cas d'une onde stationnaire plane,

ψ(x, t) = F (x) ·G(t)

Onde stationnaire plane dénition

les dépendances d'une onde stationnaire vis-à-vis des variables d'espace et de temps sont découplées.

s'y retrouver

ψ(x, t) = F (x).G(t) vérie l'équation de D'Alembert ∂2ψ∂x2 = 1

c20

∂2ψ∂t2 , qui devient

F”(x).G(t) =1

c20F (x).G”(t)⇔ c20

F”(x)

F (x)=G”(t)

G(t)= cste

en eet, le premier terme ne dépend que de x, le second que de t : il ne peut s'agir que d'une constante.Si cette constante est positive, les fonctions sont exponentielles, et divergent à l'inni : ce n'est pasphysiquement acceptable. Aussi, cette constante est négative, et on la notera −ω2. On trouve la solutionde G”(t)

G(t) = −ω2 : G(t) = G0. cos (ω.t+ ϕG). De même, la solution de F”(x)F (x) = −ω

2

c20est : F (x) =

F0. cos(ωc0.x+ ϕF

). ⇒

En utilisant la méthode de la séparation des variables, on peut réécrire les solutions stationnaires del'équation de D'Alembert sous la forme

ψ (x, t) = ψ0. cos (k.x+ ϕF ) . cos (ω.t+ ϕG)

avec k = ωc0.

4 Forme mathématique des ondes stationnaires planes monochromatiques(OSPM) théorème

Les n÷uds de vibration sont les endroits où ψ(x, t) = 0∀t.N÷uds de vibration dénition

Les ventres de vibration sont les endroits où l'amplitude est maximale.

Ventres de vibration dénition



cos (k.xn + ϕF ) = cos (k.xn+1 + ϕF ) = 0 sik.xn + ϕF = π

2 + n.πk.xn+1 + ϕF = π

2 + (n+ 1) .π

soit k. (xn+1 − xn) = π, ou bien encore xn+1 − xn = λ2 .

de même pour les ventres : cos (k.xk + ϕF ) = cos (k.xk+1 + ϕF ) = ±1 sik.xk + ϕF = k.π

k.xk+1 + ϕF = (k + 1) .π

soit k. (xk+1 − xk) = π, ou bien encore xk+1 − xk = λ2 . ⇒

Deux n÷uds de vibration successifs sont éloignés de λ2 .

Deux ventres de vibration successifs sont éloignés de λ2 .

5 Espace entre deux n÷uds de vibration successifs ou deux ventres théorème

Les fuseaux sont séparés par deux n÷uds de vibration. Ils contiennent chacun un ventre de vibration.La largeur d'un fuseau est la distance entre deux n÷uds de vibration consécutifs, donc elle vaut λ

2 .

Fuseaux s'y retrouver

La gure 3 représente un fuseau avec un n÷ud et un ventre de vibration.

Fuseau avec un n÷ud et un ventre de vibration schéma

Figure 3 Fuseau avec un n÷ud et un ventre de vibration

A l'intérieur du fuseau, l'onde stationnaire oscille au cours du temps. Elle reste toujours nulle aux n÷udsde vibration.

Comportement temporel d'une onde stationnaire animation



Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.

B Montrer que les fréquences des modes propres d'une corde de longueur L xée à ses deux extrémitéssont

fn =n c02L

où n est un entier non nul.

6 Modes propres d'une corde vibrante xée à ses deux extrémités exercice

Les conditions aux limites pour une corde de longueur L xée à ses deux extrémités imposent un n÷ud auxdeux extrémités donc un nombre entier de fuseaux donc

L = nλ

2⇒ f =

n c02L

Le dispositif de la corde de Melde consiste à faire vibrer une extrémité de la corde, tandis que l'autreest xée. On s'aperçoit expérimentalement que les vibrations sont importantes uniquement si la fréquenced'excitation est une fréquence propre de la corde. Il y a alors résonance.Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.

Résonances sur la corde de Melde vidéo

2. Ondes planes progressives monochromatiques

Une onde plane progressive monochromatique (ou harmonique, ou encore OPPM) vers les x croissantspeut s'écrire :

hω = A. cos

[ω.

(t− x

c0

)− ϕ0

]= A. cos [ω.t− k.x− ϕ0]

avec k = ωc .

Une onde plane progressive monochromatique (ou harmonique) vers les x décroissants peut s'écrire :

mω = A. cos

[ω.

(t+

x

c0

)− ϕ0

]= A. cos [ω.t+ k.x− ϕ0]

On peut généraliser avec la forme :

ψ = A. cos[ω.t− ~k.~r − ϕ0

]où∣∣∣~k∣∣∣ = ω

c .

Forme d'une OPPM dénition

Sous quelle condition A. cos [ω.t− k.x− ϕ0], A. cos [ω.t+ k.x− ϕ0] et A. cos[ω.t− ~k.~r − ϕ0

]sont-elles

solutions de l'équation de D'Alembert ?

7 Vérication qu'une OPPM est solution de l'équation de D'alembert exercice

Il faut que∣∣∣~k∣∣∣ = ω

c .



Une onde plane progressive monochromatique (ou harmonique) vers les x croissants est un sinus qui sedéplace vers la droite.Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.

Comportement temporel d'une OPPM se déplaçant vers la droite animation

Une onde plane progressive monochromatique (ou harmonique) vers les x décroissants est un sinus qui sedéplace vers la gauche.Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.

Comportement temporel d'une OPPM se déplaçant vers la gauche animation

• ω : pulsation (en rad.s−1) ;

• ν = ω2π : fréquence (en Hz) ;

• T = 1ν = 2π

ω : période (en s).

Grandeurs temporelles d'une OPPM : pulsation, fréquence, période dénition

• ~k : vecteur d'onde (en rad.m−1) ;

• σ =|~k|2π : nombre d'onde (en m−1) ;

• λ = 1σ = 2π

|~k| : longueur d'onde (en m).

Grandeurs spatiales d'une OPPM : vecteur d'onde, longueur d'onde, nombred'onde dénition

une onde plane progressive monochromatique a pour amplitude :

ψ(~r, t) = <(ψ(~r, t)

)où ψ est l'OPPM complexe associée.L'amplitude complexe (en ~r, à l'instant t), associée à une onde plane monochromatique de pulsation ωet de vecteur d'onde ~k est :

ψ = ψ0.ej(~k.~r−ω.t+ϕ0)

où ψ0 et ϕ sont des constantes.

Relation entre OPPM complexe et réelle s'y retrouver

on aurait pu choisir le complexe conjugué ψ0.e−j(~k.~r−ω.t+ϕ0) qui a la même partie réelle. Mais, une fois

choisie la convention, il faut s'y tenir.

remarque

Si l'OPPM se propage suivant ~uz, ~k = k.~uz, et on peut réécrire :

ψ = ψ0.ej(k.z−ω.t+ϕ)

remarque



On pourra remplacer l'OPPM réelle ψ par sa forme complexe associée ψ dans toute équation suivie parψ, pour peu que cette équation soit linéaire. L'intérêt est de rendre, avec les complexes, les calculs...plus simples qu'avec des fonctions trigonométriques !

Intérêt des OPPM complexes s'y retrouver

Sous quelle condition ψ0.ej(~k.~r−ω.t+ϕ0) est-elle solution de l'équation de D'Alembert ?

8 Vérication qu'une OPPM complexe est solution de l'équation de D'alem-bert exercice

Il faut que∣∣∣~k∣∣∣ = ω

c .

3. Lien entre ondes progressives et ondes stationnaires

ψ = ψ0.ej.k.x.e−j.ω.t semble être de la forme F (x) ·G(t), cependant seule compte l'onde réelle ψ = <(ψ) =

ψ0 cos (ω.t− k.x). On voit ainsi qu'il ne s'agit pas d'une onde stationnaire.

remarque

Montrer que l'onde stationnaire apparaît comme la superposition

• d'une onde plane progressive monochromatique

ψ+ =ψ0

2cos (ω.t− k.x+ ϕG − ϕF )

qui se propage vers les x croissants ;

• et d'une onde plane progressive monochromatique

ψ− =ψ0

2cos (ω.t+ k.x+ ϕG + ϕF )

de même amplitude qui se propage vers les x décroissants.

9 Onde stationnaire comme somme d'ondes progressives exercice

ψ = ψ0. cos (k.x+ ϕF ) . cos (ω.t+ ϕG)

peut se réécrire

ψ =ψ0

2[cos (ω.t− k.x+ ϕG − ϕF ) + cos (ω.t+ k.x+ ϕG + ϕF )]

cette onde stationnaire peut donc naître en particulier de la réexion totale d'une OPPM incidente, dufait de la superposition de l'OPPM se propageant vers les x croissants (onde incidente) et de l'OPPMse propageant vers les x décroissants (onde rééchie).

Ondes stationnaires et réexion s'y retrouver

III- Paquet d'ondes

1. Notion de paquet d'ondes



une OPPM n'est pas physique car elle a une extension innie dans l'espace et dans le temps. Elle nenit jamais, et a débuté il y a un temps inni ! // L'OPPM est un outil mathématique intéressant caron peut décomposer une onde sous la forme de superposition d'OPPM.

Nécessité du paquet d'ondes s'y retrouver

La décomposition continue d'une onde plane complexe se propageant suivant Ox par une superpositiond'OPPM peut s'écrire

ψ =

∫ ∞0

A (ω) .ej.(ωt−k.x)dω

où A (ω) est le spectre de cette onde.

Forme mathématique d'un paquet d'onde dénition

Bien souvent A (ω) 6= 0 dans un domaine très limité, de largeur ∆ω : on parle de paquet d'ondes.Dans le domaine des fréquences, le paquet d'ondes a une extension ∆ν = ∆ω

2π .

Extension d'un paquet d'ondes s'y retrouver

La gure 4 représente un paquet d'ondes. Il a été généré en superposant une vingtaine d'OPPM.

Paquet d'ondes schéma

Figure 4 Paquet d'ondes

On peut montrer que le paquet d'onde a, en un endroit, une durée ∆t telle que

∆t.∆ω ≈ 1

De la même façon, un instantané montrerait que l'extension spatiale de l'onde est ∆x, reliée à la largeuren vecteur d'onde ∆k par :

∆x.∆k ≈ 1

"Petit" paquet d'ondes s'y retrouver



2. Vitesse de groupe

On s'intéresse à un petit paquet d'ondes : on suppose que k = k0 + δk et ω = ω0 + δω, avec δω ω0 etδk k0

Petit paquet d'ondes s'y retrouver

On dénit la vitesse de groupe par

vg =dω

dk

au voisinage de (k0;ω0).

Vitesse de groupe dénition

B Montrer queψ = A′.ej.(ω0.t−k0.x)

pour peu que l'on pose l'enveloppe

A′ =

∫A (ω0 + δω) .e

j.δω.(t− x

vg

)dδω

10 Enveloppe d'un paquet d'ondes exercice

On peut faire un développement limité autour de (k0;ω0) :

k (ω) ≈ k (ω0) +dk

dω(ω − ω0) = k0 +

δω

vg

En remplaçant dans l'onde plane complexe, on trouve

ψ =

∫A (ω0 + δω) .e

j.(ω0.t+δω.t−k0.x− δωvg x

)dδω

on a donc trouvé une onde moyenne (autour de (k0;ω0) : ej.(ω0.t−k0.x)), modulée par une enveloppe A′

qui se déplace donc vers les x croissants à la vitesse de groupe vg car on retrouve le facteur ej.δω.

(t− x

vg

).

Interprétation du paquet d'onde s'y retrouver

La gure 5 représente les vitesses de phase et de groupe dans le cas de la dispersion de Klein-Gordon. Onvoit que la vitesse de groupe dière a priori de la vitesse de phase. De plus, la vitesse de phase dépendde ω : le milieu est dispersif.

Vitesses de phase et de groupe dans le cas de la dispersion de Klein-Gordonschéma

3. Propagation d'un paquet d'ondes

Montrer que vitesses de phase et de groupe sont égales dans le cas de l'équation de D'Alembert :

vϕ = vg = c0

11 Propagation d'un paquet d'ondes suivant l'équation de D'Alembert exercice



Figure 5 Vitesses de phase et de groupe dans le cas de la dispersion de Klein-Gordon

Il n'y a pas de dispersion.

Dans le cas de l'équation de D'Alembert, l'équation de dispersion se réécrit

k2 =ω2

c20⇒ k =

ω

c0

pour une onde se propageant vers les x croissants. Donc

vϕ = vg = c0

La propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu non dispersif ni absorbant se caractérise par latransmission du paquet d'ondes identique à lui-même au cours de la propagation.Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.

Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu non dispersif ni absorbantanimation

Dans le cas de l'équation de Klein-Gordon, montrer que vitesses de phase et de groupe sont diérenteset que

vg.vϕ = c2

12 Propagation d'un paquet d'ondes suivant l'équation de Klein-Gordon exercice

k =

√ω2 − ω2

c

cpour tout ω > ωc

La vitesse de groupe se calcule ainsi :dk

dω=

2.ω

2.c.√ω2 − ω2

c

vϕ =c√

1−(ωcω

)2la vitesse de groupe est :

vg = c.

√1−

(ωcω

)2

et vitesses de phase et de groupe sont diérentes car

vg.vϕ = c2



La gure 6 représente la propagation dans un milieu absorbant. Le paquet d'onde va se déformer : il vas'étaler et s'amenuiser.

Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et absorbant schéma

Figure 6 Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et absorbant

La propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif fait apparaître un élargissement de ce paquetd'ondes. Le fait que le milieu soit absorbant se caractérise par l'aaiblissement de l'amplitude du paquetd'ondes au cours de la propagation.Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.

Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et absorbant animation

pour transmettre une information, un émetteur doit envoyer à un récepteur une onde limitée dans letemps et l'espace : une impulsion, un petit paquet d'ondes.Le récepteur détectera le passage de ce paquet d'onde, c'est à dire, en gros, le passage du maximum del'enveloppe qui se propage à la vitesse de groupe.La transmission de l'information se fait donc à la vitesse vg.

Transmission de l'information s'y retrouver

IV- Ondes électriques dans un câble coaxial (TP cours)

1. OPPM dans un câble coaxial

La gure 7 représente un câble coaxial. Celui-ci est constitué de trois cylindres de même axe Oz :

• l'âme, conducteur électrique, pour r < a ;

Structure du câble coaxial schéma



• la gaine , isolant de permittivité relative εr, pour r ∈ [a; b] ;

• la masse, conducteur, pour r > b.

Figure 7 Structure du câble coaxial

En électrocinétique(dans l'ARQS), on né-glige la propagation desgrandeurs électriques :tension et intensité nedépendent que du temps.Aussi les éléments ducircuit (dipôles) sont desconstantes localisées :on notera l'inductancepropre par unité delongueur l et la capacitépropre par unité delongueur c.

Montrer que tension V et intensité I vérient l'équation de D'Alembert et que la célérité des ondes dansle câble est c0 = 1√

l.c.

13 Equation de propagation dans un câble coaxial sans perte exercice

Une loi des mailles donne :

l.dx.∂I(x, t)

∂t= −V (x+ dx, t) + V (x, t) = −∂V

∂xdx

La loi des n÷uds donne :

I(x, t)− I(x+ dx, t) = c.dx∂V (x+ dx, t)

∂tsoit − ∂I

∂xdx ≈ c.dx∂V

∂t

L'étude électrocinétique du petit élément de longueur dx qui présente une inductance l.dx et une capacité c.dxnous amène à deux équations couplées :

∂V

∂x= −l ∂I(x, t)

∂tet

∂I

∂x= −c∂V

∂t

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au temps t et à l'espace xcommutant. Ainsi, en dérivant par rapport à x la première et par rapport à t la seconde, on trouve :

∂2V

∂x2= l.c

∂2V

∂t2



De même, en dérivant par rapport à x la seconde équation et par rapport à t la première, on trouve :

∂2I

∂x2= l.c

∂2I

∂t2

Ainsi, tension V et intensité I vérient ainsi la même équation de propagation, celle de D'Alembert :

∂2V

∂t2= c20

∂2V

∂x2et

∂2I

∂t2= c20

∂2I

∂x2

avec la célérité c0 = 1√l.c.

L'impédance ne dépend que des caractéristiques du câble :

Zc = `.c0 =

√`

c=

1

c.c0

car c0 = 1√`.c. Elle est réelle, positive et s'exprime en Ω.

Dans le cas du câble d'antenne Zc v 50Ω.

Impédance caractéristique d'un câble coaxial s'y retrouver

B Montrer que V+ = Zc I+ pour une propagation selon xV− = −Zc I− pour une propagation selon x

14 Relation entre tension et intensité pour une OPPM se propageant dans uncâble coaxial exercice

On a vu que pour l'onde plane se propageant vers les x croissants

V

(t− x

c0

)= Zc.I

(t− x

c0

)et on a vu que pour l'onde plane se propageant vers les x décroissants

V

(t+

x

c0

)= −Zc.I

(t+

x

c0

)

Attention au signe !Pour une onde plane quelconque, il y a superposition d'une onde se propageant vers les x croissants (I+)et d'une onde se propageant vers les x décroissants (I−) :

I (t, x) = I+

(t− x

c0

)+ I−

(t+

x

c0

)

⇒ V (t, x) = Zc.I+

(t− x

c0

)− Zc.I−

(t+

x

c0

)

remarque

l'énergie dans `.dx est dEL = 12`.dx.I

2, qui donne une densité linéique d'énergie inductive

eL =1

2`.I2

L'énergie dans c.dx est dEC = 12c.dx.V

2, qui donne une densité linéique d'énergie capacitive

eC =1

2c.V 2

Densités d'énergies s'y retrouver



L'énergie dans le petit élément de longueur dx est dE = dEL + dEC = 12`.dx.I

2 + 12c.dx.V

2 qui faitapparaître la densité linéique d'énergie

e = eL + eC =1

2` · I2 +

1

2c.V 2

B Montrer qu'il y a équipartition de l'énergie sous ses deux formes (inductive et capacitive) pour uneonde plane dans un câble coaxial.

15 Equipartition de l'énergie dans le cas d'une onde progressive exercice

En utilisant l'impédance caractéristique Zc = `.c0 =√

`c = 1

c.c0, on montre que, s'il s'agit d'une onde plane

progressive (dans un sens ou dans l'autre),

eL = eC ⇒ e = `.I2 = c.V 2

la partie du câble pour les abscisses x < x0 transfère une puissance à la partie x > x0 :

P (t) = V (x0, t).I(x0, t)

On peut le retrouver en électricité : c'est la puissance qu'échange un dipôle, celui qui correspond à lapartie x > x0 du câble.

Puissance transférée d'un morceau à l'autre du câble s'y retrouver

Déterminer le signe de la puissance transférée de la partie du câble coaxial pour les abscisses x < x0 àla partie x > x0 dans le cas d'une onde plane progressive, suivant son sens de propagation.

16 Puissance transférée par une onde plane suivant le sens de propagationexercice

Pour une onde se propageant vers les x croissants, comme V (x0, t) = Zc.I(x0, t), on trouve P (t) = Zc.I(x0, t)2 >

0 : la partie x > x0 du câble gagne du travail électrique.Pour une onde se propageant vers les x décroissants, comme V (x0, t) = −Zc.I(x0, t), on trouve P (t) =−Zc.I(x0, t)

2 < 0 : la partie x > x0 du câble perd du travail électrique.

B Montrer que∂e

∂t= −∂P

∂x

17 Bilan énergétique local exercice

pour la partie du câble comprise entre x0 et x0 + dx, la variation d'énergie électrique est

dE

dt= +P (x0, t)− P (x0 + dx, t) = −∂P

∂xdx

D'autre part, comme E = e.dx,dE

dt=∂e

∂tdx

On trouve donc le bilan local. On retrouve le fait qu'une onde correspond à un transfert d'énergie sans transfertde matière

2. Réexion en bout de ligne



La gure 8 représente un câble coaxial d'impédance caractéristique Zc relié en x = x0 à une impédanceZ.

Câble coaxial terminé par une impédance schéma

Figure 8 Câble coaxial terminé par une impédance

On dénit le coecient de réexion

en intensité : rI =Ir(x = x0, t)

Ii(x = x0, t)et en tension : rV =

Vr(x = x0, t)

Vi(x = x0, t)

Coecients de réexion en amplitude s'y retrouver

on dénit le coecient de réexion énergétique par

R =

∣∣∣∣ 〈Pr〉〈Pi〉∣∣∣∣ ∈ [0, 1]

où la puissance moyenne est 〈P 〉 = 12<(V .I∗

).

Coecient de réexion en énergie s'y retrouver

On peut montrer que le coecient de réexion en énergie au bout d'un câble coaxial d'impédancecaractéristique Zc fermé sur une impédance terminale Z est :

R =

∣∣∣Z − Zc∣∣∣2∣∣∣Zc + Z∣∣∣2

Que vaut R dans le cas :

• d'une ligne ouverte

• d'une ligne en court-circuit

• d'une ligne fermée sur une inductance pure

• d'une ligne fermée sur une capacité pure

18 Etude de quelques terminaisons particulières exercice



• d'une ligne fermée sur une impédance égale à l'impédance caractéristique du câble ?

Dans le cas où Z →∞, R = 1 : la réexion est totale.Dans le cas où Z = 0, R = 1 : la réexion est encore totale.Dans le cas où Z = j.L.ω, R = 1 : la réexion est totale.Dans le cas où Z = 1

j.C.ω = −jC.ω , R = 1 : la réexion est totale.

R =

∣∣∣Z − Zc∣∣∣2∣∣∣Zc + Z∣∣∣2 = 0⇔ Z = Zc

On dit qu'il y a "adaptation d'impédance" si toute l'énergie est absorbée dans l'impédance terminale.C'est le cas si Z = Zc.

Adaptation d'impédance s'y retrouver

3. Réexion et transmission à une interface

La gure 9 représente un câble coaxial d'impédance caractéristique Z1 relié en x = x0 à un autre câblecoaxial d'impédance caractéristique Z2.

Deux câbles coaxiaux schéma

Figure 9 Deux câbles coaxiaux

on dénit le coecient de transmission par

en intensité : tI =It(x = x0, t)

Ii(x = x0, t)et en tension : tV =

Vt(x = x0, t)

Vi(x = x0, t)

Coecient de transmission en amplitude s'y retrouver

on dénit le coecient de transmission énergétique par

T =

∣∣∣∣ 〈Pt〉〈Pi〉∣∣∣∣⇒ R+ T = 1

Coecient de transmission en énergie s'y retrouver



4. Equations d'onde et relation de dispersion

On s'intéresse à un câblecoaxial dispersif. Cecâble a une inductancepropre par unité delongueur l, une capacitépropre par unité de lon-gueur c, une résistancepar unité de longueur r1

et une conductance parunité de longueur g2.

Déterminer l'équation d'onde (dite "des télégraphistes") suivie par la tension et l'intensité dans le câbleet vérier que l'on retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r1 = 0 et g2 = 0.

19 Equation de propagation dans un câble coaxial résistif exercice


l.dx.∂I(x, t)

∂t+ r1.dx.I(x, t) = −V (x+ dx, t) + V (x, t) = −∂V

∂xdx



∂t+ g2.dx.V (x+ dx, t)

soit

−∂I∂xdx ≈ c.dx∂V

∂t+ g2.dx.V (x, t)

On arrive à deux équations couplées :

c∂V

∂t+ g2.V (x, t) = −∂I

∂xet l

∂I(x, t)

∂t+ r1.I(x, t) = −∂V

∂x

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au temps t et à l'espace xcommutant. En dérivant la seconde par rapport à x, on trouve :

∂2V

∂x2= −l ∂

∂t

(∂I(x, t)

∂x

)− r1

∂I(x, t)

∂x

et en utilisant la première,

∂2V

∂x2= l

∂

∂t

(c∂V

∂t+ g2.V (x, t)

)+ r1

(c∂V

∂t+ g2.V (x, t)

)Ce qui nous mène à l'équation "des télégraphistes" que I(x, t) suit aussi :

∂2V

∂x2= l.c

∂2V

∂t2+ (r1.c+ l.g2)

∂V

∂t+ r1.g2.V (x, t)

On retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r1 = 0 et g2 = 0.

On va chercher des solutions sous la forme :

ψ(~r, t) = <(ψ(~r, t)

)où

ψ = ψ0.ej(k x−ω t+ϕ0)

où ψ0 et ϕ sont des constantes. Cette fois, k est a priori complexe.

Recherche des solutions d'une équation d'onde s'y retrouver



La relation de dispersion est l'équation entre le vecteur d'onde complexe k et la pulsation ω des OPPMqui composent l'onde qui se propage dans ce milieu.

Relation de dispersion dénition

Déterminer la relation de dispersion qui correspond à l'équation d'onde des télégraphistes.

20 Relation de dispersion dans le cas d'un câble coaxial résistif exercice

Cela donne l'équation de dispersion

k2 = l.c.ω2 + j. (r1.c+ l.g2)ω − r1.g2

En général, on cherche un vecteur d'onde complexe

k = kr + j.ki avec kr = <(k)

et ki = =(k)

La forme de l'onde sera :ψ = ψ0.e

−ki.x.e−j.(ω.t−kr.x−ϕ0)

Solution d'une équation de dispersion s'y retrouver

5. Milieu absorbant / Onde amortie

Dans le cas du câble coaxial résistif, pour une propagation vers les x croissants, montrer que ki > 0.

21 Vecteur d'onde complexe dans le cas du câble coaxial résistif exercice

On aboutissait à l'équation de dispersion

k2 = l.c.ω2 + j. (r1.c+ l.g2)ω − r1.g2 = k2r − k2

i + 2 j kr ki

Dans le cas d'une propagation vers les x croissants, c'est à dire pour kr > 0, on trouve :

ki =(r1.c+ l.g2)ω

2.kr> 0

L'onde est de la forme :ψ = ψ0.e


Donc l'amplitude de l'onde estψ0.e

−ki.x = ψ0.e− xδ

L'amplitude de l'onde décroît sur une taille caractéristique (appelée longueur de pénétration)

δ =1

ki=

1

=(k)

Puisque l'amplitude de l'onde décroît avec x si l'onde se propage vers les x croissants, on parle d'ondeabsorbée.

Onde amortie s'y retrouver



La gure 10 représente la "photographie" d'une onde amortie sur une corde. L'atténuation a lieu dansle sens de propagation de l'onde. L'onde perd de l'énergie au prot du milieu de propagation : il y aabsorption de l'onde.

"Photographie" d'une onde amortie sur une corde schéma

Figure 10 "Photographie" d'une onde amortie sur une corde

6. Milieu dispersif

Pour une onde plane de pulsation ω ayant une partie réelle du vecteur d'onde kr, on dénit une vitessede phase

vϕ =ω

kr

Vitesse de phase dénition

Un milieu est dit dispersif si la vitesse de phase dépend de la pulsation ω de l'onde plane.

Milieu dispersif dénition

Montrer qu'un milieu qui suit l'équation de D'Alembert est non dispersif.

22 Cas de l'équation de D'Alembert exercice

L'équation de dispersion se réécrit

k2 =ω2

c20=(k2r − k2

i

)+ j.2.kr.ki

k est alors réel : k = k = kr = ± ωc0

et ki = 0.



en optique, on dénit l'indice optique par n = cv où v est la vitesse de l'onde électromagnétique dans un

milieu (transparent) et c la vitesse de la lumière dans le vide. La loi empirique de Cauchy relie n à lalongueur d'onde (dans le vide) λ = c

ν = 2π.cω :

n = A+B

λ2

où A et B sont des constantes.On voit donc que les milieux matériels sont dispersifs pour les ondes lumineuses : vϕ = c

n est fonctionde λ donc de ω.

Exemple de la loi de Cauchy s'y retrouver

Dans certains cas, les équations de propagation mènent à la relation suivante(ωc

)2

= k2 +(ωcc

)2

entre le vecteur d'onde k = kr + j.ki et la pulsation ω.Montrer que le milieu est non absorbant mais dispersif.

23 Équation de dispersion de Klein-Gordon exercice

Le vecteur d'onde est réel, et pour tout ω > ωc

k = kr =

√ω2 − ω2

c

c

On a alors pour tout ω > ωc

vϕ =c√

1−(ωcω

)2La vitesse de phase dépend de ω : le milieu est dispersif.



Technique à maîtriserjeudi 24 novembre 2016

I- Les capacités exigibles

1. Etablir une équation d'onde

Établir l'équation d'onde pour des ondes transversales sur une corde vibrante inniment souple dansl'approximation des petits mouvements transverses en utilisant un système innitésimal.Relier la raideur des ressorts ctifs à l'énergie de liaison et évaluer l'ordre de grandeur du moduled'Young.Établir l'équation d'onde dans une tige solide dans l'approximation des milieux continus en utilisant unsystème innitésimalReconnaître une équation de d'Alembert.Associer qualitativement la célérité d'ondes mécaniques, la raideur et l'inertie du milieu support.

ce qu'il faut savoir faire capacités

2. Chercher des solutions à l'équation d'onde

Diérencier une onde stationnaire d'une onde progressive par la forme de leur représentation réelle.Décrire les modes propres.En négligeant l'amortissement, associer mode propre et résonance en régime forcé.Utiliser qualitativement l'analyse de Fourier pour décrire une onde non harmonique.Déterminer la vitesse de groupe à partir de la relation de dispersion. Associer la vitesse de groupe à lapropagation de l'enveloppe du paquet d'ondes.


3. Etudier la discontinuité à une interface

Expliciter des conditions aux limites à une interface.Établir les expressions des coecients de transmission et de réexion.Associer l'adaptation des impédances au transfert maximum de puissance.


II- Méthodes


On part de l'étude d'un petit élément de longueur dx, et on prend garde à faire la diérence entre lesactions qui s'exercent à gauche (−~F (x)) et à droite (+~F (x+ dx)).

A) Equation de propagation dans un milieu continu méthode



On part de l'étude d'un élément n, on observe l'équilibre, puis ce qui se passe hors équilibre, ce qui donneune équation de récurrence sur les déformations. Ensuite, on utilise l'hypothèse des milieux continus enfaisant un développement limité au deuxième ordre des déformations pour les éléments n, n− 1 et n+ 1.On réinjecte dans la relation de récurrence pour trouver l'équation de propagation.

B) Equation de propagation dans un milieu discontinu méthode


On injecte dans l'équation de propagation des ondes stationnaires. Cela donne la relation de dispersionentre k et ω. Puis on utilise les deux conditions aux limites pour déterminer la partie spatiale.

C) Ondes stationnaires sur une corde méthode

On cherche une onde de la forme :

ψ = ψ0.e−j.(ω t−veck ~r−ϕ0) = ψ0 e

−j.(ω.t−kx.x−ϕ0)

On repasse ensuite aux réels.

D) Forme de l'onde solution méthode

On part de l'étude d'un petit élément de longueur dx, et on écrit la loi des mailles et celle des n÷uds.On découple les deux équations couplées en les re-dérivant.

E) Equation de propagation dans un câble coaxial méthode

An d'arriver à la relation de dispersion, on recherche les solutions de l'équation de propagation sous la

forme ψ = ψ0.e−j.(ω t−k x−ϕ0). NB : on aurait pu tout aussi bien choisir ψ = ψ0.e

+j.(ω.t−k.x−ϕ0). Maisune fois fait le choix, on n'en change plus !On trouve ensuite k = f(ω).

F) Etablir la relation de dispersion méthode

Il faut trouver la solution de la relation de dispersion de en utilisant k = kr + j.ki qui donne deuxéquations réelles.Une fois déterminés kr et ki, on réinjecte dans la forme de l'onde :

ψ = ψ0.e−j.(ω t−k x−ϕ0) = ψ0.e


G) Forme de l'onde solution méthode

L'onde complexe est la superposition d'ondes monochromatiques :

ψ =

∫ ∞0

A (ω) .ej.(ωt−k.x)dω

où A (ω) est le spectre de cette onde.

H) Paquets d'onde méthode



En faisant le développement limité autour de ω0, k0 :ω = ω0 + u

k(ω) ≈ k0 + ∂k∂ωu = k0 + u

vg

on peut déterminer le paquet d'onde par le changement de variable ω → u :

ψ =

∫ ∞−∞

A (ω0 + u) .ej.(u t− u

vg

)ej.(ω0 t−k0 x)du


Il s'agit d'abord de déterminer la condition à l'interface. On écrit ensuite les ondes incidente, transmiseet rééchie en complexe. Puis on réécrit les conditions de continuité à l'interface en faisant apparaître lescoecients de transmission et réexion en amplitude. Le tout donne un système d'équations qui permetde déterminer les coecients.

I) Coecients de transmission et de réexion méthode

Les conditions de continuité à l'interface sont :- la continuité de la déformation y

(y = y−0 , t

)= y

(y = y+

0 , t)∀t ;

- la continuité de la force Ty(y = y−0 , t

)= Ty

(y = y+

0 , t)∀t.

J) Transmission et de réexion pour une onde mécanique sur une corde méthode

III- Exercices


1.1) Corde tendue horizontalement

On s'intéresse à une corde inextensible principalement suivant un axe Ox tendue avec la tension T0, de masselinéique µl. Montrer que l'altitude y(x, t) à l'instant t suit l'équation

∂2y

∂t2= c20

∂2y

∂x2

On note ~T (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la partie de l d'abscisse supérieure à x sur la partie del d'abscisse inférieure à x. On négligera l'eet de la pesanteur. Le petit élément de longueur dx entre lesabscisses x et x+ dx est à l'altitude y(x, t) à l'instant t. Cet élément fait avec l'axe Ox un angle α(t) petit.


µl.dxd2~r

dt2= ~T (x+ dx, t)− ~T (x, t)


µl.dxd2x

dt2≈ 0 = Tx (x+ dx, t)− Tx (x, t) =

∂Tx∂x

dx


∣∣∣~T ∣∣∣ = T0, constante. Donc, la projection suivant ~uy de la

tension est Ty =∣∣∣~T ∣∣∣ sinα ≈ T0α, ce qui permet d'exprimer la projection suivant cet axe du théorème du

centre de masse :

µl.dx∂2y

∂t2= T0α (x+ dx, t)− T0α (x, t) = T0

∂α

∂xdx




∂2y

∂t2= c20

∂2y

∂x2


T0

µl.

1.2) Corde de violoncelle

Un violoncelle baroque joue le la3 dont la fréquence est ν = 415Hz.1) Quelle est la tension T de la corde de longueur l = 50, 0cm, de masse volumique µ = 8000kg.m−3 et de

rayon r = 250µm ?

1) La longueur de la corde est reliée à la longueur d'onde par l = λ2 (la corde est xée aux deux bouts).

La masse linéique de la corde est µl = µ.π.r2. La célérité est c =√

Tµl

= ν.λ = 2.ν.l qui conduit à la tension

T = µ.π.r2.4.ν2.l2 = 67 N

1.3) Corde verticale

On s'intéresse à une corde inextensible, de masse linéique µl, accrochée en un point O, l'axe Ox étant vertical,vers le bas. Déterminer l'équation d'onde que suit y(x, t), la coordonnée orthogonale à Ox.

On note ~T (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la partie de l d'abscisse supérieure à x sur la partie del d'abscisse inférieure à x. On négligera pas l'eet de la pesanteur. Le petit élément de longueur dx entre lesabscisses x et x+ dx est à l'altitude y(x, t) à l'instant t. Cet élément fait avec l'axe Ox un angle α(t) petit.


µl.dxd2~r

dt2= ~T (x+ dx, t)− ~T (x, t) + µl.dx.~g


µl.dxd2x

dt2≈ 0 = Tx (x+ dx, t)− Tx (x, t) + µl.g.dx =

∂Tx∂x

dx+ µl.g.dx


∣∣∣~T ∣∣∣ = T0−µl.g.x, constante. Donc, la projection suivant ~uy du

théorème du centre de masse donne :

µl.dx∂2y

∂t2= (T.α)(x+dx,t) − (T.α)(x,t) =

∂ (T.α)

∂xdx


µl∂2y

∂t2= (T0 − µl.g.x) .

∂2y

∂x2+∂T

∂x

∂y

∂x= (T0 − µl.g.x) .

∂2y

∂x2− µl.g

∂y

∂x

soit∂2y

∂t2=

(T0

µl− g.x

).∂2y

∂x2− g ∂y

∂x

1.4) Corde avec frottement

On considère une corde inextensive tendue principalement suivant un axe Ox, de masse linéique µl soumiseà une tension T0 avec une force de frottement uide par unité de longueur ~ff = −λ.~v.On note ~T (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la partie de l d'abscisse supérieure à x sur la partie de ld'abscisse inférieure à x.Déterminer l'équation de propagation des ondes sur une telle corde.



Le petit élément de longueur dx entre les abscisses x et x + dx est à l'altitude y(x, t) à l'instant t. Cetélément fait avec l'axe Ox un angle

α(t) ≈ y (x+ dx, t)− y (x, t)

dx=∂y

∂x

car cet angle est petit. Le théorème du centre de masse s'écrit :

µl.dxd2~r

dt2= ~T (x+ dx, t)− ~T (x, t)− λ.dx.~v


µl.dxd2x

dt2≈ 0 = Tx (x+ dx, t)− Tx (x, t)− λ.dx∂x

∂t≈ ∂Tx

∂xdx

car le déplacement de la corde se fait selon une direction Oy perpendiculaire à Ox. Aussi, on pourra considérer

Tx =∣∣∣~T ∣∣∣ cosα ≈

∣∣∣~T ∣∣∣ = T0, constante. Donc, la projection suivant ~uy de la tension est Ty =∣∣∣~T ∣∣∣ sinα ≈ T0α,

ce qui permet d'exprimer la projection suivant cet axe du théorème du centre de masse :

µl.dx∂2y

∂t2= T0α (x+ dx, t)− T0α (x, t)− λ.dx∂y

∂t= T0

∂α

∂xdx− λ.dx∂y

∂t

Comme l'angle est α(t) ≈ ∂y∂x , soit une équation de propagation

∂2y

∂t2+

1

τ

∂y

∂t= c20

∂2y

∂x2


T0

µlet le temps caractéristique d'amortissement τ = µl

λ .

1.5) Chaine de ressorts

On s'intéresse à une chaîne horizontale (d'axe Ox) de ressorts sans masse, tous identiques, de longueur àvide l0, de constante de raideur k, séparés par des particules ponctuelles toutes identiques, de masse m. Lamasse numéro n est à l'abscisse xn(t). On négligera la pesanteur.

1) Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2

1) Le théorème de la résultante cinétique donne

md2xndt2

= 0 = −k. (Xn −Xn−1 − l0) + k. (Xn+1 −Xn − l0)

2) Le théorème de la résultante cinétique donne

md2xndt2

= md2ξndt2

= −k. (Xn + ξn −Xn−1 − ξn−1 − l0) + k. (Xn+1 + ξn+1 −Xn − ξn − l0)


d2ξndt2

=k

m(ξn+1 + ξn−1 − 2.ξn)

3) Dans l'approximation des milieux continus, on va pouvoir écrire que la déformation ξn varie lentementdevant a :

ξn(t) = ψ(x ≈ n.a, t)Aussi, on pourra déterminer la déformation en x ≈ (n− 1) .a et en x ≈ (n+ 1) .a

ξn+1(t) = ψ(x ≈ (n+ 1) .a, t) ≈ ψ(x ≈ n.a, t) + ∂ψ∂x a+ ∂2ψ

∂x2a2

2

ξn−1(t) = ψ(x ≈ (n− 1) .a, t) ≈ ψ(x ≈ n.a, t)− ∂ψ∂x a+ ∂2ψ

∂x2a2

2



L'équation de la déformation devient alors

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2

avec c0 = a√

km .

1.6) Echelle de perroquet

On s'intéresse à un l de torsion suivant un axe Oz vertical, le long duquel sont disposées à des distances ades barrettes horizontales identiques, de moment d'inertie J par rapport à Ox.

La barrette numéro n fait un angle θn(t) avec un axe Ox horizontal. Le l entre les barrettes numéro n etn+ 1 exerce sur la barrette numéro n le moment

~Mn+1→n = Γ. (θn+1 − θn) ~uz

1) Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂z2

1) A l'équilibre, le théorème du moment cinétique donne pour la barrette numéro n qui fait l'angleθn(t) = αn avec Ox :

Jd2θndt2

= 0 = −Γ. (θn−1 − θn) + Γ. (θn+1 − θn) = Γ. (αn+1 + αn−1 − 2.αn) = Γ. (αn+1 + αn−1 − 2.αn)

Hors équilibre, le théorème du moment cinétique donne pour la barrette numéro n fait maintenant l'angleθn(t) = αn + ξn(t) :

Jd2θndt2

= Jd2ξndt2

= −Γ. (αn + ξn − αn−1 − ξn−1) + Γ. (αn+1 + ξn+1 − αn − ξn)


d2ξndt2

=Γ

J(ξn+1 + ξn−1 − 2.ξn)

Dans l'approximation des milieux continus, on va pouvoir écrire que la déformation ξn varie lentement devanta :

ξn(t) = ψ(z ≈ n.a, t)

Aussi, on pourra déterminer la déformation en z ≈ (n− 1) .a et en z ≈ (n+ 1) .aξn+1(t) = ψ(z ≈ (n+ 1) .a, t) ≈ ψ(z ≈ n.a, t) + ∂ψ

∂z a+ ∂2ψ∂z2

a2

2

ξn−1(t) = ψ(z ≈ (n− 1) .a, t) ≈ ψ(z ≈ n.a, t)− ∂ψ∂z a+ ∂2ψ

∂z2a2

2

L'équation de la déformation devient alors

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂z2

avec c0 = a√

ΓJ .

1.7) Equation de propagation dans un câble coaxial sans perte

On s'intéresse à un câble coaxial sans perte. On notera l'inductance propre par unité de longueur l et lacapacité propre par unité de longueur c.

Montrer que tension V et intensité I vérient l'équation de D'Alembert. Que vaut la célérité des ondes dansle câble ?




l.dx.∂I(x, t)

∂t= −V (x+ dx, t) + V (x, t) = −∂V

∂xdx



∂tsoit − ∂I

∂xdx ≈ c.dx∂V

∂t

L'étude électrocinétique du petit élément de longueur dx qui présente une inductance l.dx et une capacitéc.dx nous amène à deux équations couplées :

∂V

∂x= −l ∂I(x, t)

∂tet

∂I

∂x= −c∂V

∂t

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au temps t et à l'espacex commutant. Ainsi, en dérivant par rapport à x la première et par rapport à t la seconde, on trouve :

∂2V

∂x2= l.c

∂2V

∂t2


∂2I

∂x2= l.c

∂2I

∂t2


∂2V

∂t2= c20

∂2V

∂x2et

∂2I

∂t2= c20

∂2I

∂x2



2.8) Onde sur une corde xée à ses deux extrémités

Soit une corde horizontale tendue de x = 0 à x = L, deux extrémités où elle est xée, telle que l'élongationverticale y(x, t) suit l'équation de D'Alembert avec la célérité c.

Montrer que les solutions possibles peuvent s'écrire

y(x, t) =

∞∑n=1

yn. sin

(2π

x

λn

). cos (2π.νn.t+ ϕG)

On donnera λn et νn.

On peut chercher les solutions de l'équation de D'Alembert sous la forme d'onde stationnaires :

y(x, t) = y0. cos (k.x+ ϕF ) . cos (ω.t+ ϕG)

avec k = ωc0

à cause de l'équation de D'Alembert.Les conditions aux limites imposent : y(x = 0, t) = y(x = L, t) = 0, soit cos (k.x+ ϕF ) = sin (k.x) avec

k.L = n.π où n ∈ Z, soit λ = 2.Ln .

Aussi, on peut réécrire en prenant en compte les conditions aux limites

y(x, t) =

∞∑n=1

yn. sin

(2π

x

λn

). cos (2π.νn.t+ ϕG)

avec

λn =2L

net νn =

n.c02L

où n ∈ N

Ce sont les modes propres de la corde xée aux deux extrémités.



2.9) Onde sur la corde de Melde

Soit une corde horizontale tendue de x = 0 à x = L, telle que l'élongation verticale y(x, t) suit l'équation deD'Alembert avec la célérité c. Une des extrémités est xée

y(x = L, t) = 0 ∀t

quant à l'autre limite, en x = 0, un vibreur eectue des oscillations sinusoïdales d'amplitude a. cos (ω.t), donc :

y(x = 0, t) = a. cos (ω.t) ∀t

1) Donner la forme de la solution de l'équation de propagation pour la corde de Melde.2) Déterminer les conditions de résonance de la corde de Melde.

1) On peut chercher les solutions de l'équation de D'Alembert sous la forme d'onde stationnaires :

y(x, t) = y0. cos (k.x+ ϕF ) . cos (ω.t+ ϕG)

avec k = ωc0. La condition à la limite x = L impose d'une part k.L+ϕF = π

2 , ce qui donne cos (k.x+ ϕF ) =sin (k. (L− x)). D'autre part, la condition à la limite x = 0 impose :

y0. cos (ϕF ) . cos (ω.t+ ϕG) = a. cos (ω.t)

soit ϕG = 0 et y0. cos (ϕF ) = y0. sin (k.L) = a. En prenant en compte les nouvelles conditions aux limites,

y(x, t) =a

sin (k.L)sin (k. (L− x)) . cos (ω.t)

avec k = ωc0.

2) On constate que pour

k = kn =nπ

Loù n ∈ N

l'amplitude tend -théoriquement - vers l'inni : asin(kn.L) →∞. On parle de résonance.

Bien entendu, du fait d'inévitables amortissements, l'amplitude de la corde ne tend en fait pas vers l'inni.

2.10) Onde sur la corde de Melde - le retour

1) Lors d'une manipulation avec la corde de Melde, pour une longueur L de la corde et une masse Maccrochée à celle-ci, on obtient une fréquence de résonance à 19Hz pour deux fuseaux et une à 28Hz pour troisfuseaux.

1.a) Ces valeurs numériques sont-elles compatibles entre elles ?1.b) Quelles seraient les fréquences de résonance suivantes ?

2) On donne la longueur de la corde : L = 117cm. Quelle est la vitesse c de propagation d'une perturbationsur cette corde ?

3) La masse accrochée à la corde est M = 25g.3.a) Quelle est la tension T0 de la corde ?3.b) En déduire un ordre de grandeur de la masse linéique µl de la corde.

1)1.a) Les fréquences de résonance valent

νn = nc

2.L

Or ν2 = 19Hz et ν3 = 28Hz, ce qui donne :

ν3

ν2= 1, 47 au lieu de

3

2= 1, 5

Ces valeurs numériques sont donc compatibles entre elles.1.b) Les fréquences suivantes sont données par la formule νn = n c

2.L , soit :ν4 = 38Hzν5 = 47Hz



2)

c =2.L.νnn

= 22m.s−1

3)3.a) La tension de la corde est donc

T0 = M.g = 0, 25N

3.b) La vitesse de propagation étant c =√

T0

µl, on en déduit la masse linéique de la corde :

µl = 5.10−4kg.m−1 = 0, 5g/m

Cette valeur aurait pu être trouvée en pesant, par exemple, 10m de l sur une balance de précision.

2.11) Solutions de la corde de Melde

Dans l'expérience de la corde de Melde, le vibreur eectue des oscillations sinusoïdales d'amplitude a :

ψ (0, t) = a. cos (ω.t)

La corde, de longueur L, est xée à l'autre extrémité, la tension de la corde étant T0.1) Déterminer les déplacements ψ (x, t) de tout point de la corde à tout instant.2) Donner les valeurs des fréquences de résonance.

1) La solution stationnaire sinusoïdale :

ψ (x, t) = ψ0. cos (ω.t+ ϕt) . cos (k.x+ ϕx)

avec k = ωc convient si elle satisfait aux conditions aux limites, c'est-à-dire :

ψ (0, t) = a. cos (ω.t)ψ (L, t) = 0

Ceci est réalisé si nous prenons ϕx = π

2 − k.Lϕt = 0

ψ0 = asin(k.L)

Conclusion :ψ (x, t) =

a

sin (k.L)cos (ω.t) . sin (k. (L− x))

2) Nous constatons que, pour k = kn = n.πL (avec n entier) l'amplitude devient (théoriquement !) innie :

la corde entre en résonance.À la résonance, a est très faible devant l'amplitude des ventres de vibration. De ce fait, le vibreur peut

quasiment être considéré comme un n÷ud de vibration de la corde. Les fréquences de résonance valent

νn = nc

2.L

2.12) Equation de dispersion dans le cas de l'équation de propagation de D'Alembert

Déterminer l'équation de dispersion dans le cas de l'équation de D'Alembert.

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2⇒ k2 =

ω2

c20



2.13) Forme des ondes planes progressives

1) Montrer que ψ(t, x) = f(x− c0.t) ou h(t− x

c0

)est solution de l'équation de D'Alembert.

2) De même, montrer que ψ(t, x) = g(x+c0.t) oum(t+ x

c0

)est aussi solution de l'équation de D'Alembert.

1) On va chercher f(t, x) = f(u), où u est une fonction de x et de t. Comme f est telle que(∂∂t + c0

∂∂x

)f(t, x) = 0, on en déduit

(∂u∂t + c0

∂u∂x

)dfdu = 0. On voit que u = x− c0.t convient.

2) On va chercher maintenant g(t, x) = g(v), où v est une fonction de x et de t. Comme g est telle que(∂∂t − c0

∂∂x

)g(t, x) = 0, on en déduit

(∂v∂t − c0

∂v∂x

)dgdv = 0. On voit que v = x+ c0.t convient.

2.14) Réécriture de l'équation de D'Alembert à une dimension

1) montrer que l'éqution de D'Alembert à une dimension peut se réécrire sous la forme :

∂

∂u

∂

∂vψ = 0

où les solutions de l'équation de d'Alembert à une dimension sont de type :

• ψ = cste, qu'on exclut habituellement ;

• ψ = f(u) ;

• ψ = g(v).

2) Quel sens donner à ces deux types de solutions ?

1) ∂2ψ∂t2 − c

20∂2ψ∂x2 = 0 en (

∂

∂t− c0

∂

∂x

)(∂

∂t+ c0

∂

∂x

)ψ = 0

Les solutions de l'équation de d'Alembert à une dimension sont de type :

• ψ = cste, qu'on exclut habituellement ;

• ψ = f(t, x), telle que(∂∂t + c0

∂∂x

)f(t, x) = 0 ;

• ψ = g(t, x), telle que(∂∂t − c0

∂∂x

)g(t, x) = 0.

2) Les premières sont des OPP se propageant vers les x croissants ; les secondes vers les x décroissants.

2.15) Vitesse de phase d'une onde plane progressive monochromatique

On dénit la vitesse de phase comme la vitesse à laquelle il faut se déplacer pour que la phase φ = ω t−~k ·~r−ϕsoit constante.

1) Déterminer la vitesse de phase d'une onde plane progressive monochromatique vers la droite.2) Même chose pour une onde plane progressive monochromatique vers la gauche.

1) Dans le premier cas, ψ(t+ ∆t, x+ ∆x) = ψ(t, x), pour peu que

ω t− k x− ϕ = ω (t+ ∆t)− k (x+ ∆x)− ϕ

Aussi, on retrouve la même forme (la même "photographie") à l'instant t + ∆t qu'à l'instant t, pour peuqu'on ait déplacé cette forme de +∆x, avec

∆x =ω

k∆t = +c0.∆t

La phase de l'onde se propage vers les x croissants, avec une vitesse ∆x∆t = +c0

2) Dans le deuxième cas, ψ(t + ∆t, x + ∆x) = ψ(t, x), pour peu que x + c0.t = x + ∆x + c0. (t+ ∆t).Aussi, on retrouve la même forme (la même "photographie") à l'instant t + ∆t qu'à l'instant t, pour peuqu'on ait déplacé cette forme de ∆x, avec

∆x = −c0.∆t

La phase de l'onde se propage vers les x décroissants, avec une vitesse algébrique ∆x∆t = −c0.



2.16) Vitesse de phase d'une onde plane progressive

On dénit la vitesse de phase comme la vitesse ~vϕ = vx~ux à laquelle il faut se déplacer pour qu'on retrouvela même forme (la même "photographie") à l'instant t + ∆t qu'à l'instant t, pour peu qu'on ait déplacé cetteforme de vx ∆t.

1) Déterminer la vitesse de phase d'une onde plane progressive vers la droite.2) Même chose pour une onde plane progressive vers la gauche.

1) Dans le premier cas, ψ(t+∆t, x+∆x) = ψ(t, x), pour peu que x− c0.t = x+∆x− c0. (t+ ∆t). Aussi,on retrouve la même forme (la même "photographie") à l'instant t+ ∆t qu'à l'instant t, pour peu qu'on aitdéplacé cette forme de +∆x, avec

∆x = +c0.∆t

La phase de l'onde se propage vers les x croissants, avec une vitesse ∆x∆t = +c0

2) Dans le deuxième cas, ψ(t + ∆t, x + ∆x) = ψ(t, x), pour peu que x + c0.t = x + ∆x + c0. (t+ ∆t).Aussi, on retrouve la même forme (la même "photographie") à l'instant t + ∆t qu'à l'instant t, pour peuqu'on ait déplacé cette forme de ∆x, avec

∆x = −c0.∆t

La phase de l'onde se propage vers les x décroissants, avec une vitesse algébrique ∆x∆t = −c0.

2.17) Corde avec frottement

On considère une corde inextensive tendue principalement suivant un axe Ox, de masse linéique µl soumiseà une tension T0 avec une force de frottement uide par unité de longueur ~ff = −λ.~v.On note ~T (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la partie de l d'abscisse supérieure à x sur la partie de ld'abscisse inférieure à x.Déterminer l'équation de propagation des ondes sur une telle corde.

Le petit élément de longueur dx entre les abscisses x et x + dx est à l'altitude y(x, t) à l'instant t. Cetélément fait avec l'axe Ox un angle

α(t) ≈ y (x+ dx, t)− y (x, t)

dx=∂y

∂x

car cet angle est petit. Le théorème du centre de masse s'écrit :

µl.dxd2~r

dt2= ~T (x+ dx, t)− ~T (x, t)− λ.dx.~v


µl.dxd2x

dt2≈ 0 = Tx (x+ dx, t)− Tx (x, t)− λ.dx∂x

∂t≈ ∂Tx

∂xdx

car le déplacement de la corde se fait selon une direction Oy perpendiculaire à Ox. Aussi, on pourra considérer

Tx =∣∣∣~T ∣∣∣ cosα ≈

∣∣∣~T ∣∣∣ = T0, constante. Donc, la projection suivant ~uy de la tension est Ty =∣∣∣~T ∣∣∣ sinα ≈ T0α,

ce qui permet d'exprimer la projection suivant cet axe du théorème du centre de masse :

µl.dx∂2y

∂t2= T0α (x+ dx, t)− T0α (x, t)− λ.dx∂y

∂t= T0

∂α

∂xdx− λ.dx∂y

∂t

Comme l'angle est α(t) ≈ ∂y∂x , soit une équation de propagation

∂2y

∂t2+

1

τ

∂y

∂t= c20

∂2y

∂x2


T0

µlet le temps caractéristique d'amortissement τ = µl

λ .



2.18) Equation de propagation dans un câble coaxial sans perte

On s'intéresse à un câble coaxial sans perte. On notera l'inductance propre par unité de longueur l et lacapacité propre par unité de longueur c.

Montrer que tension V et intensité I vérient l'équation de D'Alembert. Que vaut la célérité des ondes dansle câble ?


l.dx.∂I(x, t)

∂t= −V (x+ dx, t) + V (x, t) = −∂V

∂xdx



∂tsoit − ∂I

∂xdx ≈ c.dx∂V

∂t

L'étude électrocinétique du petit élément de longueur dx qui présente une inductance l.dx et une capacitéc.dx nous amène à deux équations couplées :

∂V

∂x= −l ∂I(x, t)

∂tet

∂I

∂x= −c∂V

∂t

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au temps t et à l'espacex commutant. Ainsi, en dérivant par rapport à x la première et par rapport à t la seconde, on trouve :

∂2V

∂x2= l.c

∂2V

∂t2


∂2I

∂x2= l.c

∂2I

∂t2


∂2V

∂t2= c20

∂2V

∂x2et

∂2I

∂t2= c20

∂2I

∂x2


2.19) ImpedanceCable

Les rayons de l'âme et de la gaine d'un câble coaxial de télévision valent respectivement a = 1mm etb = 3, 5mm.

L'espace séparant l'âme et la gaine n 'est pas vide mais rempli d'un matériau isolant non magnétique(polyéthylène) de permittivité diélectrique relative εr = 2, 26. La capacité et l'inductance linéiques du câblesont respectivement :

c = 2π.ε0.εrln( ba )

l = µ0

2π ln(ba

)1) Calculer la vitesse c0 de propagation des signaux électriques.2) Calculer l'impédance caractéristique Zc du câble.

1) La célérité des ondes est :

c0 =1√l.c

=1

√µ0.ε0.εr

= 2.108m.s−1

2) L'impédance caractéristique est :

Zc =

√l

c=

1

2π

√µ0

ε0.εrln

(b

a

)



2.20) Equation de propagation dans un câble coaxial avec perte

On s'intéresse à un câble coaxial dispersif. Ce câble a une inductance propre par unité de longueur l, unecapacité propre par unité de longueur c, une résistance par unité de longueur r1 et une conductance par unitéde longueur g2.

1) Déterminer l'équation "des télégraphistes" suivie par la tension et l'intensité dans le câble.2) Vérier que l'on retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r1 = 0 et g2 = 0.

1) Une loi des mailles donne :

l.dx.∂I(x, t)

∂t+ r1.dx.I(x, t) = −V (x+ dx, t) + V (x, t) = −∂V

∂xdx



∂t+ g2.dx.V (x+ dx, t)

soit

−∂I∂xdx ≈ c.dx∂V

∂t+ g2.dx.V (x, t)


c∂V

∂t+ g2.V (x, t) = −∂I

∂xet l

∂I(x, t)

∂t+ r1.I(x, t) = −∂V

∂x

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au temps t et à l'espacex commutant. En dérivant la seconde par rapport à x, on trouve :

∂2V

∂x2= −l ∂

∂t

(∂I(x, t)

∂x

)− r1

∂I(x, t)

∂x


∂2V

∂x2= l

∂

∂t

(c∂V

∂t+ g2.V (x, t)

)+ r1

(c∂V

∂t+ g2.V (x, t)

)Ce qui nous mène à l'équation "des télégraphistes" que I(x, t) suit aussi :

∂2V

∂x2= l.c

∂2V

∂t2+ (r1.c+ l.g2)

∂V

∂t+ r1.g2.V (x, t)

2) On retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r1 = 0 et g2 = 0.

2.21) Equation de dispersion dans le cas de l'équation de propagation de D'Alembert

Déterminer l'équation de dispersion dans le cas de l'équation de D'Alembert.

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2⇒ k2 =

ω2

c20

2.22) Equation de dispersion dans le cas d'une corde subissant un frottement uide

Dans le cas de la corde subissant une force de frottement uide, on aboutit à l'équation de propagation

∂2ψ

∂t2+

1

τ

∂ψ

∂t= c20

∂2ψ

∂x2

Déterminer alors l'équation de dispersion.




(−j.ω)2

+−j.ωτ

= c20.(j.k)2

soit l'équation de dispersion

k2 =ω2

c20+j.ω

τ.c20

2.23) Equation de dispersion dans le cas d'un câble coaxial résistif

Dans le cas d'un câble coaxial résistif, on aboutit à l'équation de propagation dite des "télégraphistes" :

∂2ψ

∂x2= l.c

∂2ψ

∂t2+ (r1.c+ l.g2)

∂ψ

∂t+ r1.g2.ψ

Déterminer alors l'équation de dispersion.


k2 = l.c.ω2 + j. (r1.c+ l.g2)ω − r1.g2

2.24) Equation de dispersion dans le cas d'une chaine de pendules couplés

La propagation d'onde le long d'une chaîne de pendules simples, identiques, de masse M et longueur L,couplés par des ressorts de raideur K, disposés à une distance a les uns des autres dans l'approximation desmilieux continus suit l'équation : ∂

2ψ∂t2 + ω2

p.ψ = c2 ∂2ψ∂x2 avec c2 = a2.ω2

p.Déterminer l'équation de dispersion.

L'équation de dispersion est celle de Klein Gordon :

ω2 = ω2p + c2.k2

2.25) Equation de dispersion de Klein Gordon

On s'intéresse à un milieu qui vérie la relation de dispersion de Klein-Gordon :

ω2 = ω2p + k2.c2

1) Calculer en fonction de ω, ωp et c :1.a) la vitesse de phase vϕ,1.b) la vitesse de groupe vg.

2) Exprimer vg en fonction de c et vϕ.3) Comparer chacune des vitesses à c.

1)1.a) la vitesse de phase :

vϕ =c√

1−(ωpω

)21.b) la vitesse de groupe :

vg = c.

√1−

(ωpω

)2

2)

vg =c2

vϕ



3) vg < c < vϕ.

2.26) Diverses ondes à la surface de l'eau

On peut montrer que la relation de dispersion d'une onde à la surface d'une eau de profondeur h est donnéepar :

ω2 =

(g.k +

γ.k3

µ

)th (k.h)

où g = 9, 81m.s−2 est l'accélération de la pesanteur, µ = 1, 0kg/L la masse volumique de l'eau et γ = 72.10−3SIla tension supercielle à l'interface eau-air.

1) Calculer la vitesse de groupe d'une onde :1.a) de marée (λ = 1000km et h = 5km),1.b) de houle (λ = 5m),1.c) de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe en eau profonde (λ = 1cm),1.d) de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe sur une cuve à onde (λ = 2cm et h = 1mm).

1) NB : en eaux profondes, th (k.h) ≈ 1. On trouve :1.a) pour une onde de marée de λ = 1000km et h = 5km,

vg = 800km/h

1.b) pour une onde de houle (λ = 5m),

vg = 5km/h

1.c) pour une onde de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe en eau profonde (λ = 1cm),

vg = 30cm.s−1

1.d) et pour une onde de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe sur une cuve à onde (λ = 2cmet h = 1mm),

vg = 20cm.s−1

2.27) Onde absorbée

1) Une onde plane se déplace dans un milieu absorbant. On suppose que la puissance absorbée par unvolume élémentaire est proportionnelle à ce volume et à l'intensité de l'onde au voisinage du volume considéré.

1.a) Montrer alors que l'intensité de l'onde décroît exponentiellement avec la distance parcourue dansle milieu (loi de Beer-Lambert).

1.b) Que dire alors de l'intensité en décibels ?2) Application : une bre optique présente une absorption de 0, 1dB.km−1. Au bout de quelle longueur

l'intensité d'entrée aura-t elle diminué de moitié ?

1) La puissance incidente sur une tranche de section transversale S comprise entre les abscisses z et z+dzest I(z).S où I(z) est l'intensité de l'onde à l'abscisse z. De même, la puissance transmise est I(z + dz).S.

La puissance absorbée est proportionnelle au volume S.dz traversé et à l'intensité incidente, on a donc :I(z + dz).S − I(z).S = −β.S.I(z).dz où β est un coecient positif.

1.a) On a donc dIdz = −β.I(z) qui s'intègre en :

I(z) = I0.e−β.z

L'intensité décroît exponentiellement.

1.b) L'intensité en décibels est IdB = 10log(I(z)Iref

). C'est donc une fonction ane décroissante de z

de pente − 10.βln(10) :

IdB = 10.log

(I0Iref

)− 10.β

ln(10)z



2) 10.βln(10) = 0, 1dB.km−1. La longueur L au bout de laquelle I(L)

I0= 1

2 est :

L =2

β= 30km

2.28) Paquet d'onde à spectre rectangulaire

Établir l'expression de l'amplitude du paquet d'ondes si le paquet d'ondes est à spectre rectangulaire :A(ω) = A0

∆ω si ω ∈[ωm − ∆ω

2 ;ωm + ∆ω2

]A(ω) = 0 sinon

Un signal physique non périodique représenté par une onde plane peut être mis sous la forme d'unesuperposition continue d'O.P.P.M, (un paquet d'ondes), son amplitude pouvant s'écrire :

ψ(x, t) = <(∫ ω=∞

ω=0

A(ω).ej.(ω.t−k(ω).x).dω

)La répartition A(ω) des amplitudes des composantes spectrales de l'onde dénit son spectre. On supposeraque la largeur spectrale ∆ω de ce paquet d'ondes est faible devant la pulsation moyenne ωm du paquet.

On notera vg la vitesse de groupe correspondante.On trouve :

ψ(x, t) = A0.sinc

[∆ω

2

(t− x

vg

)]. cos (ωm.t− km.x)

2.29) Paquet d'onde à spectre gaussien

Établir l'expression de l'amplitude du paquet d'ondes si le paquet d'ondes est à spectre gaussien :

A(ω) =A0√

2.π.∆ωe−

(ω−ωm)2

2.∆ω2

On donne : ∫ ∞−∞

e−α2.x2+j.β.x.dx =

√π

αe−

β2

4.α2

pour tout réel β et tout complexe α d'argument compris entre −π4 et +π4 .

Un signal physique non périodique représenté par une onde plane peut être mis sous la forme d'unesuperposition continue d'O.P.P.M, (un paquet d'ondes), son amplitude pouvant s'écrire :

ψ(x, t) = <(∫ ω=∞

ω=0

A(ω).ej.(ω.t−k(ω).x).dω

)La répartition A(ω) des amplitudes des composantes spectrales de l'onde dénit son spectre. On supposeraque la largeur spectrale ∆ω de ce paquet d'ondes est faible devant la pulsation moyenne ωm du paquet.

On notera vg la vitesse de groupe correspondante.On trouve :

ψ(x, t) = A0.e− (∆ω)2

2

(t− x

vg

)2

. cos (ωm.t− km.x)

2.30) Interférence d'un paquet d'onde

On s'intéresse à un paquet d'onde de largeur spectrale ∆ω, faible devant la pulsation moyenne ωm dupaquet.

1) Calculer l'amplitude du paquet d'ondes suivant :

ψ(x, t) =

n=+N−12∑

n=−N−12

A0. cos (ωn.t− kn.x)



où ωn = ωm + nN∆ω. On supposera pour simplier les calculs que N est impair.

2) Quelle durée caractéristique ∆t peut être attribuée aux bouées d'ondes de ce paquet ? Commenter sadépendance vis-à-vis de sa largeur spectrale ∆ω.

1) On peut changer ψ(x, t) en :

ψ(x, t) = A0.<

ej.(ωm.t−km.x)

n=+N−12∑

n=−N−12

ej. nN ∆ω.

(t− x

vg

)Il s'agit ensuite de calculer la série géométrique. On trouve pour nir :

ψ(x, t) = A0.sin[

∆ω2

(t− x

vg

)]sin[

∆ω2.N

(t− x

vg

)] . cos (ωm.t− km.x)

2) On peut associer à chaque " bouée " du paquet d'ondes une durée

∆t ≈ 1

∆ω

d'autant plus courte que la largeur spectrale est étendue.

2.31) RelationDeuxVitesses

1) Démontrer la relation de Rayleigh entre vitesses de phase et de groupe qui fait intervenir comme variablela longueur d'onde λ :

vg = vφ − λdvφdλ

2) On suppose que la relation de dispersion s'écrit ω = A.kα où A et α sont indépendants de k. Exprimerla vitesse de groupe en fonction de vφ et α.

1) On peut écrire

vg =d(vφ.k)

dk= vφ + k

dvφdk

= vφ + kdλ

dk

dvφdλ

qui donne la formule de Rayleigh car λ = 2.πk , d'où k dλdk = k−2.π

k2 = −λ.2) On peut faire la dérivée logarithmique de la relation de dispersion, et on trouve :

vg = α.vφ


3.32) Coecients de réexion au bout d'un câble coaxial

On considère un câble coaxial d'impédance caractéristique Zc, pour x < x0. Le câble se termine sur uneimpédance Z en x = x0.

1) Déterminer les coecients de réexion en amplitude pour la tension et l'intensité.2) En déduire le coecient de réexion en énergie.

1) En x = x0, le câble se termine sur une impédance Z. Cette impédance impose comme condition à lalimite

V (x0, t) = Z.I(x0, t) ∀t

Pour réaliser une telle condition, il faut supposer que se superposent

• une onde incidente qui se propage vers les x croissants : Vi = Zc.Ii ;

• une onde rééchie qui se propage vers les x décroissants : Vr = −Zc.Ir.



L'onde dans le câble (pour x < x0), estI = Ii + Ir

V = Vi + Vr = Zc.(Ii − Ir

)Donc, en x0, ∀t,

Zc.(Ii − Ir

)= Z.

(Ii + Ir

)En x0, ∀t,

Ii.(Zc − Z

)= Ir.

(Zc + Z

)Il vient d'après la condition à la limite précédemment énoncée

rI =Zc − ZZc + Z

et rV =Z − ZcZc + Z

= −rI

2) Aussi,

R =

∣∣∣∣∣−Zc.I2r

Zc.I2i

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ I2r

I2i

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ V 2r

V 2i

∣∣∣∣∣ce qui permet de conclure

R = |rV |2 = |rI |2 =

∣∣∣Z − Zc∣∣∣2∣∣∣Zc + Z∣∣∣2

3.33) Coecients de réexion et transmission à la jonction de deux câbles coaxiaux

On considère deux câble coaxiaux connectés en x = x0 :

• pour x < x0, l'impédance est Zc1 ;

• pour x > x0, l'impédance est Zc2 .

1) Déterminer les coecients de réexion et transmission en amplitude pour la tension et l'intensité.2) En déduire les coecients de réexion et transmission en énergie.

1) En x = x0, il y a continuité de l'intensité et de la tension à la limite :

V (x−0 , t) = V (x+0 , t) et I(x−0 , t) = I(x+

0 , t) ∀t

Pour réaliser une telle condition, il faut supposer que coexistent

• une onde incidente qui se propage dans le premier câble (pour x < x0) vers les x croissants : Vi = Zc1 .Ii ;

• une onde rééchie qui se propage dans le premier câble (pour x < x0) vers les x décroissants : Vr = −Zc1 .Ir.• une onde transmise qui se propage dans le second câble (pour x > x0) vers les x croissants : Vt = Zc2 .It.

L'onde dans le premier câble (pour x < x0), estI = Ii + Ir

V = Vi + Vr = Zc1 .(Ii − Ir

)En x0, ∀t, Vi + Vr = Vt ⇒ Zc1 .

(Ii − Ir

)= Zc2 It

Ii + Ir = It ⇒ 1Zc1

(Vi − Vr

)= 1

Zc2Vt

On peut réécrire les conditions à la limite de la façon suivante1 + rI = tI

1− rI =Zc2Zc1

tI

1 + rV = tV1− rV =

Zc1Zc2

tV



soit rI =

Zc1−Zc2Zc1+Zc2

= −rVtI =

2.Zc1Zc1+Zc2

=Zc1Zc2

tV

2) Du coup, R = |rV .rI | =

(Zc1−Zc2)2

(Zc1+Zc2)2

T = |tV .tI | =4.Zc1 .Zc2

(Zc1+Zc2)2

3.34) Coecients de réexion et transmission à la jonction de deux cordes

On s'intéresse à une corde très longue qui est composée de deux tronçons de masses linéiques µ1 (si x < 0)et µ2 (si x > 0), la tension étant toujours T0 ; le n÷ud en x = 0 est sans masse.

1) Déterminer les coecients de réexion et transmission en amplitude.

2) Entre quelles limites peuvent-ils varier ? Discuter ces cas suivant la valeur du coecient α =√

µ2

µ1.

1) On écrit

• la continuité de la déformation en x = 0 : y (x = 0−, t) = y (x = 0+, t) ∀t ;• la continuité des projections des tensions puisqu'il n'y a pas de masse discrète en x = 0 : Ty (x = 0−, t) =Ty (x = 0+, t) ∀t.

Or Fy = Zc.vy avec Zc =√µ.T0. Pour réaliser une telle condition, il faut supposer que coexistent

• une onde incidente qui se propage dans le premier câble (pour x < x0) vers les x croissants : Tyi =Zc1 .vyi =

√µ1.T0.j.ω.yi ;

• une onde rééchie qui se propage dans le premier câble (pour x < x0) vers les x décroissants : Tyr =−Zc1 .vyr = −

√µ1.T0.j.ω.yr.

• une onde transmise qui se propage dans le second câble (pour x > x0) vers les x croissants : Tyt =Zc2 .vyt =

√µ2.T0.j.ω.yt.

Ainsi, la première relation donne : yi + yr = yt soit 1 + r = t. D'autre part, la seconde relation donne :√µ1 −

√µ1r =

√µ2t. Ces deux conditions donnent :

r =√µ1−√µ2√

µ1+√µ2

= 1−α1+α

t =2.√µ1√

µ1+√µ2

= 21+α

2)

• α = 1 correspond à une seule corde de dimension innie, d'où r = 0 et t = 1 ;

• α = 0 correspond à une extrémité libre en x = 0 (attention l'onde transmise ne transporte pas d'énergiepuisque la masse de la deuxième corde est nulle), d'où r = 1 et t = 0 ;

• α =∞ correspond à un objet rigide en x = 0, d'où r = −1 et t = 0.



Travaux dirigésvendredi 25 novembre 2016

Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.

Les cordes d'une guitare électrique

extrait de l'article wikipédia Corde de guitare

Changer l'épaisseur pour changer la note.

Accord des cordesL'accord de référence, pour les six cordes à vide, est Mi, Si, Sol, Ré, La, Mi de l'aigu au grave.

Tirant de cordesLe tirant des cordes, c'est leur diamètre. Cette valeur est exprimée en millièmes de pouces.

Exemple en corde souples : le pack 8/38 (.008/.038 : .008/.011/.014/.022/.030/.038 - Extra light) où il fautcomprendre :

• tirant du mi grave = 38 (0, 97 mm)

• tirant du mi aigu = 8 (0, 2 mm)

L'âme et le lage

Une corde de guitare possède une âme (c'est-à-dire un l principal) autour de laquelle vient s'enrouler unsecond l, qui formera le lage.

Les cordes de guitare d'une guitare électrique sont souvent en acier plaqué nickel. L'acier permet une inter-action très forte avec les aimants des micros, pour un son plus fort en sortie de guitare, tandis que le nickelprotège la corde de la corrosion et améliore le toucher.

Enoncé

Combien d'octaves séparent les notes mi de la plus ne et de la plus épaisse corde de guitare électrique pourl'accord de référence ?Données :• Longueur d'une corde de guitare : 25,5 pouces

• Masse volumique du nickel : 8, 9 g · cm−3

• Masse volumique de l'acier : 7, 8 g · cm−3

• 1 pouce =2,54 centimètres



Correction

Si on assimile la corde à un solide homogène de diamètre d, de longueur L et de masse volumique µ, doncde masse linéique

µ` = µπd2

4

il y a résonance pour le fondamental si

L =λ

2=

c

2 ν=

1

2 ν

√T

µ`

où T est la tension de la corde. Donc en passant de la première corde de mi de fréquence ν et de diamètred à la dernière corde de mi de fréquence ν′ et de diamètre d′, on a (si on suppose que les tensions des deuxcordes sont identiques)

1 =ν′

ν

√µ′`µ`⇒ µ`

µ′`=

(ν′

ν

)2

=d2

d′2⇒ ν′

ν=

d

d′

AN :ν′

ν=

38

8= 4, 75 ≈ 22

Aussi, il y a deux octaves entre les deux mi.



Devoir non surveillévendredi 25 novembre 2016

Le document est à lire, l'exercice est à rendre.

Les câbles électriques dans les transports

Extraits de "Développement d'une méthodologie dédiée à la réectométrie en vue du diagnostic laire"thèse de doctorat de MOSTAFA KAMEL SMAIL soutenue le mardi 7 décembre 2010

Utiliser la propagation et la réexion des ondes pour détecter les pannes dans uncâble électrique.

Les câbles et leurs applicationsDepuis l'apparition des premiers systèmes élec-

troniques, le câble électrique fut le premier sup-port physique permettant de faire circuler un cou-rant électrique. Jusqu'à aujourd'hui, le câble élec-trique est toujours d'actualité et a connu des mo-dications intrinsèques permettant de s'adapteraux contraintes électriques et environnementalesde plus en plus sévères. Les câbles électriquessont omniprésents dans beaucoup de domaines oùl'acheminement de l'énergie et de l'information estnécessaire pour garantir le bon fonctionnementd'un système. Le type de câble est diérent suivantla nature du signal que l'on désire transmettre etde l'environnement dans lequel évolue le système.Les signaux peuvent être analogiques ou numé-riques, de faible ou de forte puissance et de basses,moyennes ou hautes fréquences. A titre d'exemple,un réseau informatique peut utiliser trois types decâbles : le câble coaxial, la paire torsadée ou la bre optique. Le choix de ces câbles dépend du débit souhaité, dela longueur du réseau et de l'environnement dans lequel évolue le réseau. Les réseaux électriques haute tensionutilisent des câbles de transport d'énergie dont la constitution est diérente de ceux utilisés pour les réseauxinformatiques car ces câbles sont conçus pour transporter et distribuer de l'énergie électrique à fort courant etbasses fréquences (50 Hz) sur de très longues distances à travers le pays. L'aéronautique et le spatial sont deparfaits exemples d'applications où plusieurs types de câbles sont utilisés avec des longueurs cumulées allantjusqu'à 500 km pour un long courrier (Airbus A380), longueur en constante augmentation depuis les quarantedernières années, Figure 1.1. L'utilisation de câbles légers, souples, peu encombrants, d'une grande abilité etrésistants à divers environnements sont les principales contraintes imposées par ces industries.

La Figure 1.2 donne une très bonne vision des diérents types decâbles utilises et de leur complexité. Nous trouvons des câbles pourles zones pressurisées, des câbles résistant au feu ou a la chaleur, descâbles coaxiaux pour les systèmes de transmission hautes fréquences(radio, radar, données) et des câbles d.alimentation pour transporterde la puissance. En général, ces câbles sont constitues d.un ou plusieursconducteurs en cuivre ou en aluminium protégés par des matériauxisolants comme le polyimide, la bre de verre ou le mica.

Le problème de défauts de câblage a eu une grande attention àla n des années 90 en raison de deux accidents tragiques : le 17juillet 1996 l'explosion en plein air du Boeing 747 du vol TWA 800et le crash d'un MD-11 de Swissair le 2 septembre 1998. La NTSB(National Transportation Safety Board) a déterminé par la suite la



cause de l'accident de la TWA 800 qui était une explosion du réservoirde kérosène due à un arc électrique. Pour Swissair c'était à cause d'unincendie provoqué par un court-circuit dans un câble. Bien que les accidents du Boeing 747 de TWA 800 etle MD-11 de Swissair sont cités comme les causes de l'impulsion de la recherche et le développement dansle domaine de la abilité de câblage, il y a eu un nombre considérable d'incidents qui n'ont pas abouti à desaccidents, mais ont été attribués à des défaillances de câblage (en janvier 2008 : Boeing 757 de AA, février 2009 :Airbus340 de VA) [PORT 03]. S'ajoutent à ces problèmes le vieillissement de la otte de la marine américaine, la NAVY , et ses conséquences sur la maintenance des câbles embarqués.

Avec le temps, les réseaux de câbles des avions ou des bateaux sefragilisent et se détériorent en augmentant ainsi la probabilité d'appa-rition de défauts de toutes sortes. Les problèmes liés aux câbles coûtentexcessivement cher et impliquent un temps d'immobilisation assez im-portant. Le gouvernement américain a donc encouragé les industries etles universités à développer des systèmes intelligents de détection, dediagnostic et de prévention pour déceler toute apparition d'anomaliesur les câbles.

Parfois suivant l'environnement où le réseau de câbles évolue (aé-ronautique, automobile, nucléaire, bâtiment...), l'inaccessibilité pourcontrôler son état pose un véritable problème. Cette inaccessibilitédiminue l'ecacité de la maintenance du réseau par les technicienset augmente donc la probabilité d'avoir une défaillance des systèmesélectroniques.

La possibilité de connaître l'état d'un câble est devenue une néces-sité pour rendre plus ecaces les opérations de maintenance lorsqu'undéfaut laire met en panne tout un système.

La constitution d'un câble peut varier d'un fabricant à un autre,mais en général ils sont réalisés à partir de :

• Fils simples constitués d'un conducteur isolé

• Paires de ls parallèles qui peuvent être blindées, Figure 1.7

• Fils blindés constitués d'un conducteur isolé entouré d'un écran

• Paires simples constituées de deux conducteurs isolés torsadés, Fi-gure 1.8

• Paires blindées constituées d'une paire simple entourée d'un écran

• Câbles coaxiaux constitués d'un conducteur central, d'un diélec-trique et d'une tresse extérieure, Figure 1.9

Les méthodes de détection et localisation de défauts dans les câbles électriquesIl existe plusieurs types de défauts ayant chacun leurs propres caractéristiques, c'est pour cette raison que

de nombreuses méthodes ont été développées pour tester l'état des câbles. Il existe diérentes méthodes pourdétecter et localiser des défauts de câblage des techniques basses, moyennes ou hautes fréquences. Certainesméthodes nécessitent des outils de mesure directement couples électriquement aux extrémités du câble et d'autrespar des outils de mesure sans contact (sonde de courant) pour diagnostiquer le câble.

Certaines méthodes de diagnostic ne permettent pas d.analyser un câble lorsque celui-ci n.est pas déconnectéou lorsque d.autres signaux y sont présents (diagnostic hors ligne). D.autres méthodes permettent une analysedu câble lorsque d'autres signaux y sont transmis (diagnostic en ligne).

La méthode capacitive et inductive permet de déterminer la présence d'un circuit ouvert ou d'un court-circuit. La méthode est basée sur la mesure de la capacité ou de l'inductance du câble. La mesure de la capacitéest utilisée pour localiser un circuit ouvert et la mesure de l'inductance est utilisée pour localiser un court-circuitsur le câble.

Il existe une méthode haute fréquence qui a l'avantage d'obtenir une image de l'état du câble en se position-nant a une extrémité de celui-ci. Cette méthode s'appelle la réectométrie et repose sur l'analyse d'une onderééchie par rapport à une onde incidente en utilisant les phénomènes de propagation des ondes dans les milieuxphysiques. Pour l'utiliser dans l'analyse des câbles électriques, il est nécessaire d'injecter des signaux dont lalongueur d'onde est petite ou équivalente à la longueur du câble. Ceci implique donc l'utilisation de signauxhaute fréquence.Théorie des lignes de transmission

La diérence principale entre la théorie des circuits et la théorie des lignes de transmission est la tailleélectrique. L'analyse de type circuit suppose que les dimensions physiques d'un réseau sont beaucoup plus



petites que la longueur d'onde électrique, alors que les lignes de transmission peuvent être une petite fractionde longueur d'onde, voire plusieurs longueurs d'onde. Une ligne de transmission est donc un réseau distribué deparamètres où les tensions et les courants peuvent varier en amplitude et en phase le long de la ligne.

En basse fréquence lorsque la longueur d'onde est grande devant la longueur de la ligne, la diérence depotentiel entre les deux conducteurs est la même tout au long de la ligne. Par contre en haute fréquence lorsquela longueur d'onde est petite ou comparable à la longueur de la ligne, ce n'est plus le cas. Ce phénomène a étémis en évidence par le physicien allemand Heinrich Rudolf Hertz sur la ligne bilaire.

En haute fréquence une ligne de transmission peut se modéliser à l'aide de quatre paramètres qui constituentle modèle à constantes réparties. La Figure 1.19 montre une ligne de transmission qui est souvent représentéeschématiquement comme une ligne bilaire et le modèle équivalent. Il n'est valable que pour une longueurinnitésimale de ligne, à condition que la longueur L de la ligne de transmission soit inférieure ou égale audixième de la longueur d'onde guidée λg.

L'onde peut se propager grâce aux échanges d'énergie électrique et d'énergie magnétique. Ces eets semodélisent respectivement par la présence d'une capacité linéique C et une inductance linéique L. La capacitélinéique C dépend de l'écart entre les deux conducteurs, du diamètre des conducteurs et de la permittivitédu diélectrique et s'exprime en Farad/m. L'inductance linéique L dépend du diamètre des conducteurs, del'écart entre les deux conducteurs et de la perméabilité des matériaux et s'exprime en Henry/m. La capacitéet l'inductance modélisent les eets de propagation dans la ligne. Les pertes par eet de Joule sont modéliséespar une résistance linéique R, qui est due aux pertes ohmiques dans les conducteurs, dépend des diamètreset matériaux des conducteurs et s'exprime en ohms/m. La conductance linéique G traduit les pertes dues audiélectrique. Elle dépend de la capacité linéique et de l'angle de perte du diélectrique et s'exprime en Siemens/m.R et G représentent les pertes.



Les paramètres du modèle à constantes réparties sont appelés paramètres primaires. Ces quatre paramètressusent pour modéliser le comportement d'une ligne de transmission en haute fréquence. Cependant certainsparamètres sont sensibles aux variations de la fréquence. D'une façon générale, l'inductance et la capacitélinéique dépendent de la fréquence jusqu'à environ 1 GHz. La résistance linéique augmente lorsque la fréquenceaugmente et la conductance linéique augmente également avec la fréquence mais reste négligeable en dessousde 1 MHz.

Pour une ligne de transmission réelle (avec pertes), l'impédance caractéristique est une grandeur complexe.Cette impédance caractéristique est diérente selon le type de câble. En vidéo, les câbles utilisés sont des câblescoaxiaux d'impédance caractéristique 75 ohms. En hyperfréquence, les lignes de transmission utilisées ont pour laplupart une impédance caractéristique de 50 ohms. Le réseau CAN utilise une paire torsadée dont l'impédancecaractéristique est de l'ordre de 120 ohms. FlexRay est un protocole qui véhicule des données sur une pairetorsadée d'impédance caractéristique de 90 ohms. L'impédance caractéristique dépend de la géométrie et de laconstitution du câble.

Chaque discontinuité dans un câble est associée à un coecient de réexion qui donne une information surla polarité des champs dans le milieu de propagation et la quantité d'énergie renvoyée vers le plan le générateur.

Enoncé

1) A l'aide du modèle électrique équivalent donné dans le document, déterminer l'équation d'onde (dite"des télégraphistes") suivie par la tension et l'intensité dans les câbles électriques.

2) Vérier que l'on retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas non résistif. En déduire l'expression dela célérité vp des ondes dans le câble en fonction de L et C.

3) A partir des données de L et de C de diérents câbles, vérier les valeurs des vitesses et des impédances

caractéristiques Zc =√

LC indiquées dans le tableau du document.

4) On s'intéresse au montage de la gure 1.20 (on supposera le câble sans résistance).4.a) Donner la formes des OPPM complexes incidentes et rééchies sur le câble.4.b) Rappeler la dénition des coecients de réexion en intensité et en tension en z = 0.4.c) Ecrire les conditions aux limites en z = 0 et en z = −l.4.d) Déterminer les coecients de réexion en intensité et en tension en z = 0 en fonction de ZL et ZC .



Correction

1) Une loi des mailles donne :

Ldz.∂I(z, t)

∂t+R.dx.I(z, t) = −V (x+ dz, t) + V (z, t) = −∂V

∂zdz


I(z, t)− I(x+ dz, t) = C.dz∂V (z + dz, t)

∂t+G.dz.V (z + dz, t)

soit

−∂I∂zdz ≈ C.dz ∂V

∂t+G.dz.V (z, t)


C∂V

∂t+G.V (z, t) = −∂I

∂zet L

∂I(z, t)

∂t+R.I(z, t) = −∂V

∂z

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au temps t et à l'espacez commutant. En dérivant la seconde par rapport à z, on trouve :

∂2V

∂z2= −L ∂

∂t

(∂I(z, t)

∂z

)−R∂I(z, t)

∂z


∂2V

∂z2= L

∂

∂t

(C∂V

∂t+G.V (z, t)

)+R

(C∂V

∂t+G.V (z, t)

)Ce qui nous mène à l'équation "des télégraphistes" que I(z, t) suit aussi :

∂2V

∂z2= L.C

∂2V

∂t2+ (RC + LG)

∂V

∂t+RG.V (z, t)

2) On retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où R = 0 et G = 0. Donc vp = 1√LC

des ondesdans le câble en fonction de L et C.

3) Le tableau suivant donne les valeurs calculées :câble C en pF ·m−1 L en µH ·m−1 vp en m · s−1 X =

vpc Zc en Ω

RG58CU 100 0,250 2, 0× 108 0,67 50AWG22 106,5 0,517 1, 35× 108 0,45 70AWG24 47,28 0,587 1, 90× 108 0,633 111AWG26 49,61 0,659 1, 75× 108 0,583 115AWG20 31,76 0,976 1, 80× 108 0,599 175

Si les valeurs sont les bonnes pour le premier câble, elles dièrent sensiblement pour les suivants, mêmesi l'ordre de grandeur est le bon.

4)4.a) En règle générale :

ψ = ψ0.ej(k z−ω t+ϕ0)

donc pour l'onde se propageant vers les z croissants :V+ = V0+e

j(k z−ω t)

I+ = I0+ej(k z−ω t)

et pour l'onde se propageant vers les z décroissants :V− = V0−e

j(−k z−ω t)

I− = I0−ej(−k z−ω t)

V+ = Zc I+ pour une propagation selon z V− = −Zc I− pour une propagation selon z



4.b) On dénit le coecient de réexion

en intensité : rI =I−(z = 0, t)

I+(z = 0, t)et en tension : rV =

V−(z = 0, t)

V+(z = 0, t)

4.c) Les conditions aux limites sont :en z = 0 :

VL = ZL IL ⇒(V0+ + V0−

)e−jω t = ZL

(I0+ + I0−

)e−jω t ⇒ Zc

(I0+ − I0−

)= ZL

(I0+ + I0−

)en z = −l :

VG − ZG Ii = Vi ⇒(V0+e

−j k l + V0−ej k l)e−jω t = VG − ZG

(I0+e

−j k l + I0−ejk l)e−jω t

4.d) Le coecient de réexion en amplitude pour l'intensité, en z = 0 est donc

rI =ZC − ZLZC + ZL

et en tension

rV = −ZC − ZLZC + ZL


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