Objectifs du Chapitre Initiatiaon a l’Analyse ... · I Introduction a la Th eorie de Maquettes et...

Objectifs du Chapitre

I Initiatiaon a l’Analyse Dimensionnelle.

I Introduction a la Theorie de Maquettes et Similitude.

Adil Ridha (Universite de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 1 / 31

Introduction et remarques

Difficultes theoriques ....

I Les equations de mouvement(Eqs N.S. + Continuite + energie +Conditions aux limites et initiales)sont difficiles a resoudre.

I Les solution sont encore plus difficile pourles ecoulements turbulents.

I Les solutions numeriques sont parfois lourdesde mise en oeuvre et coeteuses en temps decalcul.

Cout d’etudes experimentales

I Difficultes theoriques =⇒ etudesexperimentales.

I Couts exuberants d’etudes experimentalessur prototypes en vrai grandeur.

I Recours aux etudes sur maquettes auxechelles reduites des prototypes.

I Avantage : moins couteux et plus simple ametter en oeuvre experimentalement.


Analyse Dimensionnelle

Unites fondamentales

I Toute relation entre des grandeursphysiques est independante du systemed’unites de mesure

I Toute relation entre des grandeursphysiques est dimensionnellementhomogene.

Grandeurs fondamentales

I Longueur L, dimension de [distance] =L

I Masse M, dimension de [masse] = M

I Temps T , dimension de [temps] = T

I Temperature Θ, dimension[temperature] = [Θ]



Remarques ..........

I L, M, T et Θ constituent les unites fondamentales en mecanique.

I En fonction de L, M, T et Θ on constitue des unites derivees.

I Les grandeurs fondamentales de tout systeme sont independantes l’une de l’autre.

I Le passage d’un systeme d’unites a un autre n’entraıne que des multiplicateurs de conversion.



Grandeur physique symbole Dimension Unite, Systeme International S.I.

Unites fondamentales

Longueur ` L mTemps t T sMasse m M kgTemperature T Θ ◦K, degree Kelvin

Unites derivees

Vitesse U [U] = L T−1 m s−1

Acceleration a =dv

dt[a] = L T−2 m s−2

Force F [F ] = M L T−2 kg m s−2 = N, Newton

Masse volumique ρ [ρ] = M L−3 kg m−3

Debit Q [Q] = L3 T−1 m3 s−1

Pression p [p] = M L−1 T−2 N m−2 = Pa, Pascal

Contrainte σ ou τ [σ] = M L−1 T−2 N m−2

Travail W [W ] = M L2 T−2 N m = J, joule

Energie E [E ] = M L2 T−2 N m = J, joule

Quantite de chaleur ∆Q [∆Q] = M L2 T−2 N m = J, joule

Puissance P [P] = M L2 T−3 N m s−1 = W, Watt

Viscosite dynamique µ [µ] = M L−1 T−1 kg m −1 s−1

Viscosite cinematique ν [ν] = L2 T−1 m2 s−1

Tension superficielle σs [σs ] = M T−2 N m−1 = kg s−2



Encore des remarques !!! .....

I La dimension de toute grandeur physique se derive de sa definition, exemple :

Force = masse × acceleration =⇒

[F ] = [m]× [a] = M × L T−2 = M L T−2

I La dimension de toute grandeur physique peut aussi se deriver d’autres grandeurs physiques :

[`] = [U]−1 ×[ρ]−1/2 ×[F ]1/2,

[m] = [U] ×[ρ]−1/2 ×(F ]3/2,

[t] = [U]−2 ×[ρ]−1/2 ×[F ]1/2.



Procedure a suivre dans un probleme d’analyse dimensionnelle

I identifier toutes les variables independantes intervenant dans le probleme etudie, soit au nombre N,

I specifier les dimensions de ces variables en utilisant les dimensions de base (L,T ,M,Θ),

I choisir les grandeurs fondamentale convenables, disons au nombre r ,

I utiliser une methode appropriee pour identifier le nombre et la forme des parametres sans dimensions(parametres adimensionnels)

∃ 2 methodes d’analyse dimensionnelle :

i- le theoreme des π, ou theoreme de Vaschy–Buckingham.

ii- la methode de Rayleigh.


Analyse Dimensionnelle Theoreme de Vaschy–Buckingham

Enonce de Theoreme de Vaschy–Buckingham ou theoreme des π

Toute grandeur B d’un phenomene physique et fonction de N variables (ou causes) independantes B1, · · · ,BN , mesuree par r unites fondamentales,

r < N, s’ecrit comme

B = F (B1,B2, · · · ,BN )

soit B =

a1,a2,··· ,arexposantes a determinerz }| {B

a11 B

a22 · · ·B

arr F (π1, π2, · · · , πN−r| {z }

parametres de similitude

)

π1 =Br+1

Bar+1,11 B

ar+1,22 · · ·B

ar+1,rr

π2 =Br+2

Bar+2,11 B

ar+2,22 · · ·B

ar+2,rr

.

.

.

πN−r =BN

BaN,11 B

aN,22 · · ·B

aN,rr

9>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>;

{B1, · · · ,Br}un sous-ensemble

de grandeurs physiques

aux dimensions independantes



En general, on pose

π =B

Ba11 Ba2

2 · · ·Barr

et par consequentπ = F (π1, π2, · · · , πN−r )



Tableau des exposants aux dimensions de [B,B1, · · · ,BN ]

[Grandeur] L T M Θ

[B ] α β γ δ[B1] α1 β1 γ1 δ1

[B2] α2 β2 γ2 δ2

... · · · · · · · · · · · ·[BN−4] αN−4 βN−4 γN−4 δN−4


Analyse Dimensionnelle Exemple

Exemple

Un navire, de taille caracterisee par une longueur `, est en mouvement a la vitesse U. L’eau danslaquelle la navire avance exerce une force de resistance (force de traınee), Ftraınee, au mouvementque l’on peut penser dependre, a part de ` et U, de la masse volumique ρ, de la viscositedynamique µ et de la tension superficielle σs de l’eau ainsi que de l’acceleration de la pesanteur g



Solution par la methode de Rayleigh

Forme de relation recherche : F = ρα1 Uα2 `α3 µα4 gα5 σα6s ,

Tableau des exposants :

[Grandeur] L T M Θ exposante

[Ftraınee ] 1 -2 1 0 1[ρ ] -3 0 1 0 α1

[U ] 1 -1 0 0 α2

[` ] 1 0 0 0 α3

[µ ] -1 -1 1 0 α4

[g ] 1 - 2 0 0 α5

[σs ] 0 -2 1 0 α6

Choix des variables fondamentales : `, U et ρ.



Relation recherchee doit etre dimensionellement homogene :

Ftraınee ρ U ` µ g σs

somme d’exposants en L : + 1 =− 3α1 + α2 + α3 − α4 + α5 + 0

somme d’exposants en T : − 2 = + 0 − α2 + 0 − α4 − 2α5 − 2α6

somme d’exposants en M : + 1 = + α1 + 0 + 0 + α4 + 0 + α6

Solution par rapport aux variables fondamentales `, U et ρ :

α1 = 1− α4 − α6

α2 = +2− α4 − 2α5 − 2α6

α3 = +2− α4 + α5 − α6



Resultats

Ftraınee = ρ1−α4−α6 U2−α4−2α5−2α6 `2−α4+α5−α6µα4 gα5 σα6s

= ρU2`2

„µ

ρU`

«α4„

g `

U2

«α5„

σs

ρU2`

«α6

.

Soit Ftraınee =1

2ρU2S F (Re,Fr ,We)

avec S = `2

Nombres sans dimensions de Reynolds, de Froude et de Weber

Re =ρ`U

µ=`U

ν, Fr =

U2

g`, We =

ρU2L

σs



Solution par la methode de π

I Choix des variables fondamentales : ρ, U et L t.q. les variables restant µ, g et σs soit dedimensions independantes.

I Consequence : r = 3, N − r = 3 parametres sans dimensions.I

π1 =µ

ρα1 Uβ1`γ1,

8<: −1 = −3α1 + β1 + γ1

−1 = −β1

1 = α1

=⇒

8<: α1 = 1,β1 = 1,γ1 = 1,

π2 =g

ρα2 Uβ2`γ2,

8<: 1 = −3α2 + β2 + γ2

−2 = −β2

0 = α2

=⇒

8<: α2 = 0,β2 = 2,γ2 = −1

π3 =σs

ρα3 Uβ3`γ3,

8<: 0 = −3α3 + β3 + γ3

−2 = −β3

1 = α3

=⇒

8<: α3 = 1 ,β3 = 2,γ3 = 1



Resultats ...

π =Ftraınee

ραUβ`γ,

8<: 1 = −3α+ β + γ−2 = −β

1 = α=⇒

8<: α = 1,β = 2,γ = 2.

D’ou

π =Ftraınee

ρU2`2, π1 =

µ

ρU`, π2 =

g`

U2, π3 =

σs

ρU2`

Finalement :Ftraınee = ρU2`2F (π1, π2, π3) = ρU2`2F (Re,Fr ,We).



Conclusions particulieres

I L’analyse dimensionnelle permet d’indentifier les differents parametres, mais sans preciser larelation.

I L’etude experimentale de la resistance au mouvement d’un navire se revient a etudier lafonction

Ftraınee = ρU2`2F (Re,Fr ,We),

I Re ⇐⇒ effet de viscosite ou l’influence des forces de traınee de l’eau sur la coque de navire.

I Fr ⇐⇒ effet de la pesanteur ou l’influence de sillage, c-a-d l’influence de systeme de vaguesproduit derriere le navire.

I We ⇐⇒ effet des forces de tension superficielle qui sont negligeables pour cet exemple.


Similitude et theorie des maquettes

Parametre Definition Explication Domained’application

Nombre deReynolds Re =

ρUL

µ

force d’inertie

force visqueuse

Ecoulementsvisqueux

Nombre deFroude Fr =

U2

Lg

force d’inertie

force de la pesanteur

Ecoulement asurface libre

Nombre deMach Ma =

U

c

vitesse d’ecoulement

vitesse de son

Ecoulementcompressible

Rapport decapacites thermique γ =

cp

cv

enthalpie

energieinterne

Transfertthermique

Nombre deStrouhal St =

(L/U)

τ

temps d’advection

temps devariation locale

Ecoulementinstationnaire

Nombre dePrandtl Pr =

κ

ν

diffusivite thermique

diffusivite visqueuse

Transfertthermique

Nombre dePeclet Pe =

(L/U)

λ/(ρ cpU2)

temps d’advection

temps de diffusionthermique

Transfertthermique

Nombred’Eckert Ec =

U2

cv ∆T

variation d’energiecinetique

variation d’energieinterne

Transfertthermique

Nombre deWeber We =

ρU2L

σs

force d’inertie

force de tensionsuperficielle

Ecoulement asurface libre

Coefficient defrottement CD =

τ012ρU2

force de traınee

force dynamiqueAerodynamique,Hydrodynamique

Rugositeadimensionnelle

ε

L

rugosite

longueurcaracteristique

Ecoulement turbulent,surface rugueuse



Pourquoi des maquettes

I Les essais en vraie grandeur : rares et tres couteux.

I Recours aux modeles aux echelles reduites.

Echelles ....

I Echelles geometriques : longueur caracteristique D

I Echelle cinematique : vitesse U et temps D/U

I Echelle dynamique : forces surfaciques t.q. les forces de pression, contraintes de cisaillementou tension superficielle. Forces volumiques t.q. la force de pesanteur ou des forces d’origineelectromagnetique. Toutes exprimees en fonction des grandeurs caracteristiques.



Comment exprimer les differentes grandeurs en fonction des grandeurs caracteristiques

Un asterisque ∗ sera effectue aux grandeurs physiques : t, ~x , ~v , p, ~f = ~g = −g~z

II t∗ =D

Ut,−→x ∗ = D −→x ,−→v ∗ = U −→v , p∗ = ρU2p.

I Les symboles designant t, ~x , ~v , et p sont sans dimensions.

Les equations ....

I Equations avec dimensions ...

∇∗ · −→v ∗ = 0,

∂−→v ∗

∂t∗+−→v ∗ ·∇∗−→v ∗ = −→g ∗ −

1

ρ∇∗p∗ + ν∆∗−→v ∗.



Equations sans dimensions obtenues apres le changement des variables

∇ · −→v = 0,

∂−→v∂t| {z }

accelerationlocale

+ −→v ·∇−→v| {z }acceleration

par convection

=1

Fr~z| {z }

Forces volumiquesForces d’inertie

− ∇p|{z}Forces de pression

Forces d’inertie

+1

Re∆−→v| {z }

Forces visqueusesForces d’inertie

Fr =U2

Dg, Re =

DU

ν

Conclusions

I Equations, sans dimensions, ne faisant intervenir que deux nombres sans dimensionsdependant de l’ecoulement.

I Tout ecoulement n’etant defini que par les valeurs de nombres sans dimensions luicaracterisant



Remarques sur l’application des contions aux limites et initiales

I Conditions aux limites aux frontieres du systeme ⇐⇒ geometrie du systeme

I Conditions initiales ⇐⇒ l’etat du systeme a l’instant initial

I correspondance geometrique des frontieres entre le prototype et le maquette

Comment ?

I Prototype designe par l’indice 1 (respectivement premier ecoulement)

I Maquette designe par l’indice 2 (resp. deuxieme ecoulement)

I Distances d1 et d2 reliant des points homologues (AB)prototype et (AB)maquette :

similitude geometrique ⇐⇒ kg =d1

d2= Cte



Principes de Similitude

Similitude geometrique

Similitude geometrique

1. Correspondance entre tous les points geometriques des solides ainsique des ecoulements.

2. Preservation des angles et orientations des solides et des deuxecoulements

3. Correspondance entre toutes les dimensions lineaire par un facteurd’echelle constante kg . D’abord on pose

x =x∗1D1

=x∗2D2

, y =y∗1D1

=y∗2D2

,

z =z∗1D1

=z∗2D2

, · · · etc.

4. D’oux∗1x∗2

=y∗1y∗2

=z∗1z∗2

=D1

D2

= Cte.

5. Exemple kg =Hp

Hm=

LP

Lm=

Dp

Dm=

D1

D2

= · · · .




Similitude cinematique

Similitude cinematique

1. Vitesses homologues liees aux points homologues par

u =u∗1U1

=u∗2U2

, v =v∗1U1

=v∗2U2

, w =w∗1U1

=w∗2U2

2. Avect2

t1

=

D2

U2D1

U1

=

D2

D1

! U1

U2

!= Cte = kt

3. On tireU1

U2

= ktD1

D2

= kg kt = kc = Cte

4. Etu∗1u∗

2

=v∗1v∗2

=w∗1w∗

2

=U1

U2

= Cte = kc

5. Conclusion : les vitesses aux points homologues sont proportionnelles par unfacteur d’echelle constant, kc .




Similitude dynamique

1. Fluides homogenes : similitude geometrique =⇒ similitude de masse.

2. Principe fondamental de la dynamique : force ∝ acceleration

3.−→F1A1,prototype ∝

−→F2A2,maquette, A un point arbitrarire,

=⇒−→F1A1,prototype = kd

−→F2A2,maquette

4. La similitude dynamique implique pour la pression :p∗1p∗2

=ρ1U2

1

ρ2U22

= kmk3gk2

c = Cte, km =masse de prototype

masse de maquette

5. Pour les forces :F∗1F∗2

=ρ1 U2

1 D21

ρ2 U22 D2

2

= Cte = kd

6. Nombres sans dimensions ont les memes valeurs :

D1U1

ν1=

D2U2

ν2=

D1kgU1kc

ν2=⇒ kgkc = 1




Conditions de la Similitude dynamique

1. Ecoulement incompressible sans surfaces libres : Rep = Rem.

2. Ecoulement incompressible avec surfaces libres : Rep = Rem, FrP = Frm.

3. Ecoulement compressible : Rep = Rem, Map = Mam, γp = γm

4. Ecoulement avec tension superficielle : Rep = Rem, Wep = Wem

Resume

1. La similitude geometrique exige que l’echelle lineaire de longueur kg soit la meme.

2. La similitude cinematique exige que l’echelle lineaire et l’echelle de temps soient les memes, c-a-d, l’echellede vitesse kc soit la meme.

3. La similitude dynamique exige que les echelles lineaires, de temps et de force soient les memes.



Exemple : enoncee

Pour estimer la force de frottement, Fp , sur un prototype sonde, on utilise les donnees obtenues sur une maquette testee dans une soufflerie. Au tableauci-dessous sont montrees les donnees de teste et les caracteristiques du prototype.

Parametre Prototype Maquette

Geometrie Sphere Sphere

D 0.4 m 0.15 m

V 2.5 m/s a determiner

F a determiner 25 N

ρ 1000 kg/m3 1.2 kg/m3

ν 1.3 × 10−6 m2/s 1.5 × 10−5 m2/s

Determiner la force de frottement exercee par l’ecoulement sur le prototype.



Solution : definitions

I F : force de frottement

I V : vitesse de l’ecoulement

I D : diametre de la sphere

I ρ : densite du fluide

I µ : viscosite dynamique

Solution : methode

I F = F(V , D, ρ, µ)

I Theoreme de π =⇒ N = 4

I D, V et ρ indepandantes⇐⇒ grandeurs fondamentales : r = 3

I π1 =µ

ρα1 Dβ1 Vγ1

I π =F

ραDβVγF(π1)

Solution : resultats

I π1 =µ

ρDV=

ν

DV=

1

Re, π =

F

D2ρV 2

I F = D2ρV 2F(Re) =⇒“F/D2ρV 2

”= F(Re)

I Coefficientde traınee = CD = F

0@ F/D2

ρV 2

1A = F(Re)

I Rep =2.5 m/s × 0.4 m

1.3 × 10−6 m2/s= 7.69 × 106,

I Rem = Rep =

VD

ν

!m

I Vm =

0@ 7.69 × 106 × 1.5 × 10−5 m2/s

0.15 m

1A = 76.9 m/s

I La similitude exige CD |p = CD |m

=⇒ Fp = Fm

0@ ρp

ρm

V 2p

V 2m

D2p

D2m

1A = 156.58 N


Similitude et theorie des maquettes Invariance et solutions auto-semblables

Invariance et similitude – remarques

I Nous avons vu que l’Analyse Dimensionnelle ainsi que la mise sous forme sans dimensionsdes equations, conditions aux limites et initiales y associees mettent en evidence des reglesde similitudes et auto-similtude.

I Nous proposons en ce qui suit d’exploiter cette propriete d’invariance du systeme d’equationsdans un groupe continu de transformations pour regrouper les variables dependantes etindependantes en un nombre reduite de variables de similitude. Dans certain cas, celaconduit :

I a remplacer les equation EDP originelles par un systeme d’equations ordinaires,I la decouverte de solutions auto-semblable en s’appuyant sur l’analyse dimensionnelle.



Introduction et application : l’exemple de premier probleme de Stokes

∂u

∂t= ν

∂2u

∂y2

u(y , t) = 0, t ≤ 0,u(y = 0, t > 0) = U0,u(y →∞, ∀t) = 0,

u = F (y , t; ν,U0)

Analyse dimensionnelle

I Tableau des exposants :

L T M Θ exposante

[u ] 1 -1 0 0 1[y ] 1 0 0 0 α1

[t ] 0 1 0 0 α2

[ν ] 2 -1 0 0 α3

[U0 ] 1 -1 0 0 α4

I N = 4, r = 2

I Grandeurs de dimensions independantes : νet U0

I π =u

Up, π1 =

U0

νy , π2 =

U20

νt.

I u = UpF

„U0

νy ,

U20

νt

«.



Transformations affines

u = Au′, y = By ′, t = Ct′

ν = Dν′, U0 = EU′0

Equation :B2

CD

∂u′

∂t= ν′

∂2u′

∂y ′2

Conditions aux limites :

IA

Eu′(y ′ = 0, t′ > 0) = U′0

I u′(y ′ →∞, ∀t′) = 0I u′(y ′, 0) = 0

Conditions d’invariance

IB2

CD= 1

IA

E= 1

Transformations “invariantes”

u = Eu′, y = (CD)1/2 y ′, t = Ct′

ν = Dν′, U0 = EU′0

En eliminant E :u′

U′0=

u

U0

En eliminant CD :y ′2

ν′t′=

y2

νt

Solution : u = U0f

„y√

2νt

«I Equation : f ′′(η) + 2ηf ′(η) = 0I Conditions aux limites :

I u(0, t > 0) = U0 =⇒ f (η = 0) = 1I u(y →∞, ∀t) = 0 =⇒ f (η →∞) = 0

I Solution : f (η) = 1− erf(η),

erf(η) =2√π

Z η

0e−η

2dη


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