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IPSA | Partiel de thermodynamique du 20 mai 2019 1/15

SUJET D’EXAMEN

Année universitaire 2018-2019 Classe : Aéro-2

Type d’examen : Partiel Matière : Thermodynamique b Code matière : Ph 21b Date : 20 mai 2019 Horaire : Durée : 2 h Enseignant : Bouguechal Documents autorisés : NON Calculatrices autorisées : NON programmable

CADRE RÉSERVÉ A L’ENSEIGNANT : Si au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l’énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l’examen en proposant une solution. Le barème est donné à titre indicatif. Rédigez directement sur la copie. Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction.

Exercice1: /6.0

Exercice2: /7.0 Exercice3: /7 Diagramme T - s et log(p) - h

Bonus : 1

CADRE RÉSERVÉ A L’ETUDIANT(E) : Merci de compléter ce cadre et votre numéro en haut de page à gauche : NOM : Prénom : Classe :

/20

Numéro :

Corrigé


Exercice 1 : Cycle Stirling et Carnot (6.0 points)

Le moteur Stirling est un système fermé, le gaz contenu dans l’enceinte est chauffé par

une source thermique externe. La combustion est donc externe, ce qui est un des avantages

de ce moteur : on peut alors utiliser divers combustibles. Son deuxième avantage est son

rendement, qui peut être optimal en théorie. C'est l'objectif de cet exercice de le

démontrer.

Le cycle est supposé réversible ; il est parcouru dans le sens moteur par une mole de gaz

parfait de capacité calorifique molaire à volume constant cV constante.

Un cycle de Stirling ABCD est formé de deux isothermes Tc et TF et de deux isochores V1

et V2. Le cycle de Carnot ABC’D’ est formé de deux isothermes et deux adiabatiques. Les

deux cycles sont représentés sur la figure suivante :

On appellera a =V2/V1

1. Représenter les deux cycles sur le diagramme T-s.

Les isochores d’un gaz parfait sont des exponentielles croissantes comme les isobares

C’

D’

V1

TC

TF A

P

V

D

C

B

V2 V’1 V’2

A B

D’ C’ C D

TC

TF

T

s


2. Expliquer pourquoi 𝒂 = 𝑽𝟐

𝑽𝟏=

𝑽𝟐′

𝑽𝟏′ . La démonstration n’est pas demandée.

3. Compléter le tableau suivant en utilisant les grandeurs données Tc , Tf , Cv et a.

On fera apparaitre le signe + si la grandeur est positive et le signe – si la grandeur est

négative.

Sur le bilan du cycle, pour la chaleur, on appellera Q1 la quantité de chaleur reçue par le

système et Q2 la quantité de chaleur cédée par le système.

Cycle de Stirling Cycle de Carnot

Grandeurs W Q

Grandeurs W Q

Transformations Transformations

T=TF

Transformation

A → B

𝑹𝑻𝑭𝒍𝒏(𝒂) −𝑹𝑻𝑭𝒍𝒏(𝒂)

T = TF

Transformation

A → B

𝑹𝑻𝑭𝒍𝒏(𝒂) −𝑹𝑻𝑭𝒍𝒏(𝒂)

V=V1

Transformation

B → C

0 𝑪𝑽(𝑻𝑪 − 𝑻𝑭)

δQ = 0 Transformation

B → C’

𝑪𝑽(𝑻𝑪 − 𝑻𝑭) 0

T=TC

Transformation

C → D

−𝑹𝑻𝑪𝒍𝒏(𝒂) +𝑹𝑻𝑪𝒍𝒏(𝒂)

T = TC

Transformation

C’ → D’

−𝑹𝑻𝑪𝒍𝒏(𝒂) +𝑹𝑻𝑪𝒍𝒏(𝒂)

V=V2

Transformation

D → A 0 −𝑪𝑽(𝑻𝑪 − 𝑻𝑭)

δQ = 0

Transformation

D’ → A

−𝑪𝑽(𝑻𝑪

− 𝑻𝑭) 0

Cycle

W =

−𝑹(𝑻𝑪

− 𝑻𝑭)𝒍𝒏(𝒂)

Q1 = + +𝑹𝑻𝑪𝒍𝒏(𝒂)+ 𝑪𝑽(𝑻𝑪

− 𝑻𝑭)

Cycle

W =

−𝑹(𝑻𝑪

− 𝑻𝑭)𝒍𝒏(𝒂)

Q1 = +

+𝑹𝑻𝑪𝒍𝒏(𝒂)

Q2 = - −𝑹𝑻𝑭𝒍𝒏(𝒂)− 𝑪𝑽(𝑻𝑪

− 𝑻𝑭)

Q2 = -

−𝑹𝑻𝑭𝒍𝒏(𝒂)


4. Le rendement étant défini par le rapport gain sur dépenses,

𝒓 = 𝒈𝒂𝒊𝒏 𝒅𝒆 𝒍′𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒔𝒂𝒕𝒆𝒖𝒓

𝒅é𝒑𝒆𝒏𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝒍′𝒖𝒕𝒊𝒍𝒔𝒂𝒕𝒆𝒖𝒓=

|𝑾𝒄𝒚𝒄𝒍𝒆|

+𝑸𝟏

Déterminer l’expression de r

✓ Dans le cas d’un cycle de Stirling.

✓ Dans le cas d’un cycle de Carnot.

5. En supposant qu'un régénérateur parfait dans le cycle de Stirling permette de

récupérer entièrement l'énergie nécessaire au réchauffage isochore au cours du

refroidissement isochore, comparer à nouveau le rendement de ce moteur de

Stirling à celui du cycle de Carnot.

6. Conclusion.

Réponse :

1. Diagramme T-s

2. Dans le cycle de Carnot on a :

𝑽𝑨

𝑽𝑩=

𝑽𝑫′

𝑽𝑪′=

𝑽𝟐′

𝑽𝟏′

3. Voir tableau

4. Rendement :

✓ Stirling :

𝒓 = |𝑾𝒄𝒚𝒄𝒍𝒆|

+𝑸𝟏=

𝑹(𝑻𝑪 − 𝑻𝑭)𝒍𝒏(𝒂)

𝑹𝑻𝑪𝒍𝒏(𝒂) + 𝑪𝑽(𝑻𝑪 − 𝑻𝑭)

✓ Carnot :


+𝑸𝟏=


𝑹𝑻𝑪𝒍𝒏(𝒂)

𝒓 = (𝑻𝑪 − 𝑻𝑭)

𝑻𝑪

5. 𝒓 = |𝑾𝒄𝒚𝒄𝒍𝒆|

+𝑸𝟏=

𝑹(𝑻𝑪−𝑻𝑭)𝒍𝒏(𝒂)

𝑹𝑻𝑪𝒍𝒏(𝒂)+𝑪𝑽(𝑻𝑪−𝑻𝑭)

𝑪𝑽(𝑻𝑪 − 𝑻𝑭) est compensé par

−𝑪𝑽(𝑻𝑪 − 𝑻𝑭)


+𝑸𝟏=


𝑹𝑻𝑪𝒍𝒏(𝒂)


+𝑸𝟏=

(𝑻𝑪 − 𝑻𝑭)

𝑻𝑪

6. Le rendement de Stirling est le

même que celui de Carnot avec le

régénérateur.


Exercice 2 : Etude d’une pompe à chaleur ( 7 points )

La pompe à chaleur est une machine thermique qui fait subir un certain nombre de

transformations à un fluide. Une pompe à chaleur permet, grâce à un apport d'énergie

sous forme de travail W, d'extraire une énergie sous forme de chaleur Qf à une source

froide de température Tf et de restituer une énergie sous forme de chaleur Qc à la source

chaude de température Tc, par exemple une salle que l’on veut chauffer.

Le fluide subit deux transformations isobares aux cours desquelles les échanges

thermiques avec les sources froide et chaude se produisent.

On se place dans cette étude dans le cas de transformations réversibles.

Le fluide qui circule à travers le circuit est du 1, 1, 1, 2-tétrafluoroéthane nommé R134a.

On utilise 200 g de 1, 1, 1, 2-tétrafluoroéthane. Le diagramme pression-enthalpie du

R134a est donné. La courbe de saturation limitant le domaine de coexistence de deux

phases est tracée.

Passage du fluide dans le compresseur

1. Le point (1) sur le diagramme caractérise le fluide à l'entrée du compresseur. On

mesure une pression P1 =3,00 bars et une température θ1 = 5°C.

Le fluide est comprimé dans le compresseur, la transformation est isentropique.

La pression passe de 3,00 bars à 10,0 bars. Le point (2) caractérise le fluide à la

sortie du compresseur.

• Sur le diagramme enthalpique du R134a, placer les points (1) et (2) et les

relier.

Passage du fluide dans le condenseur

2. Dans le condenseur, la transformation est isobare et sa pression est de 10,0 bars.

La température du fluide à la sortie du condenseur est de 15°C. le point (3)

caractérise l'état du fluide à la sortie du condenseur. On appellera 2a le point de la

transformation sur la courbe de rosée et 3a le point de la transformation sur la

courbe d’ébullition.

• Placer les points (2a), (3a) et (3) et les relier.


Passage dans le détendeur

Le détendeur permet la détente du fluide et la transformation est isenthalpique.

A la sortie du condenseur, le fluide est détendu à basse pression et engendre un début de

vaporisation avec production de froid.

Le point (4) caractérise le fluide à sa sortie du détendeur.

• Placer le point (4) et le relier au point (3).

Passage dans l'évaporateur.

Au cours du passage dans l'évaporateur, le fluide frigorigène passe de l'état diphasique

liquide-gaz à l'état gazeux : ce phénomène d’évaporation produit du froid.

Le fluide va se réchauffer tout au long du passage dans l'évaporateur, captant la chaleur

du milieu dans lequel il se trouve (source froide : eau ou air).

Relier les points (4) au point (1).

• Débit massique du fluide frigorigène : 0,3 kg/s

1. Relevez les pressions, les températures, les volumes massiques, les enthalpies

massiques et les titres en vapeur des différents points et les reporter sur le tableau.

Etats 1 2 2a 3a 3 4

Pression

(bar) 3 10 10 10 10 3

Température

(°C) 5 48 40 40 15 1

Volume

(m3/kg) 0,070 0,021 0,020

0,008

Enthalpie

(kJ/kg) 400 425 410 258 220 220

Titre x

1,00 1,00 1,00 0 0 0,10

2. Le théorème des moments en thermodynamique permet de déterminer le titre en

vapeur x dans la zone diphasique. Il est donné par :

𝒙 =𝒉𝒙 − 𝒉𝑳

𝒉𝑽 − 𝒉𝑳

𝒉𝒙 représente l’enthalpie au point considéré.

𝒉𝑳 représente l’enthalpie sur la courbe d’ébullition ( Liquide : L)

𝒉𝑽 représente l’enthalpie sur la courbe de rosée ( Vapeur : V)

Déterminer le titre x au point 4. Vérifier le résultat avec le relevé du tableau.

Dans sa forme simplifiée, le premier principe de la thermodynamique pour un système

ouvert s’écrit :

𝚫𝒉 = 𝑾 + 𝑸


Sachant que le compresseur n’échange que du travail et les deux échangeurs de chaleur

n’échangent que de la chaleur, on demande de :

3. Calculez la quantité de chaleur Qf ainsi que la puissance Pf de réfrigération.

4. Calculer le travail du compresseur Wc ainsi que la puissance Pco du compresseur.

5. Calculer la quantité de chaleur Qc ainsi que puissance Pc évacuée au condenseur.

6. Calculer l’efficacité de la pompe à chaleur.

Réponse :

Voir diagramme.

1. Voir tableau

2. 𝒙 =𝒉𝒙−𝒉𝑳

𝒉𝑽−𝒉𝑳=

𝟐𝟐𝟎−𝟐𝟎𝟎

𝟒𝟎𝟎−𝟐𝟎𝟎= 𝟎, 𝟏𝟎

x titre au point 4 ( on retrouve la même

valeur).

Voir hL et hV sur le diagramme.

3. Quantité de chaleur et puissance

frigorifique :

𝑸𝒇 = ∆𝒉𝟒→𝟏 = 𝒉𝟏 − 𝒉𝟒 = 𝟒𝟎𝟎 − 𝟐𝟐𝟎

= 𝟏𝟖𝟎 𝒌𝑱/𝒌𝒈

𝑷𝒇 = 𝒒𝒎 ∆𝒉𝟒→𝟏 = 𝟎, 𝟑 ∗ 𝟏𝟖𝟎 = 𝟓𝟒 𝒌𝑾

4. Travail et puissance du compresseur :

𝑾𝑪 = ∆𝒉𝟏→𝟐 = 𝒉𝟐 − 𝒉𝟏 = 𝟒𝟐𝟓 − 𝟒𝟎𝟎= 𝟐𝟓 𝒌𝑱/𝒌𝒈

𝑷𝑪𝒐 = 𝒒𝒎 ∆𝒉𝟏→𝟐 = 𝟎, 𝟑 ∗ 𝟐𝟓 = 𝟕, 𝟓 𝒌 𝑾

5. Quantité de chaleur et puissance du

condenseur :

𝑸𝑪 = ∆𝒉𝟐→𝟑 = 𝒉𝟑 − 𝒉𝟐 = 𝟐𝟐𝟎 − 𝟒𝟐𝟓= − 𝟐𝟎𝟓 𝒌𝑱/𝒌𝒈

𝑷𝑪 = 𝒒𝒎 ∆𝒉𝟐→𝟑 = 𝟎, 𝟑 ∗ 𝟐𝟎𝟓 = 𝟔𝟏, 𝟓 𝒌𝑾

6. Efficacité

𝒆 = 𝒈𝒂𝒊𝒏 𝒅𝒆 𝒍′𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒔𝒂𝒕𝒆𝒖𝒓

𝒅é𝒑𝒆𝒏𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝒍′𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒔𝒂𝒕𝒆𝒖𝒓

=𝑸𝑪

𝑾𝑪=

𝟐𝟎𝟓

𝟐𝟓= 𝟖, 𝟐


2

2a

3a

3

4

hL

hV

Evap

orate

ur

Con

den

seu

r

Détendeur


Exercice 3 : Etude d’une centrale à vapeur (7 points)

Une centrale thermique est une machine à vapeur utilisant l’eau comme fluide

caloporteur. L'eau qui circule dans la centrale subit des transformations

thermodynamiques dont certaines sont des échanges de chaleur avec deux sources de

chaleur. Ces échanges de chaleur donnent lieu à des transitions de phase de l’eau de l’état

liquide vers l’état vapeur ou de l’état vapeur vers l’état liquide.

La centrale thermique comporte une turbine, un condenseur, une pompe et une chaudière

dans laquelle le liquide est chauffée et ensuite évaporée. Voir figure.

En sortie de la chaudière, de l’eau est portée à l’état vapeur surchauffée à la pression P3

= 150 bars et à la température T3 = 500°C : c’est le point 3.

La vapeur entre alors dans la turbine où elle subit une détente isentropique jusqu’au point

4 avec P4 = 0.05 bar. On notera 3a, le point sur la détente isentropique où la vapeur

commence à se condenser. A partir du point 4 le mélange liquide-vapeur se condense

totalement dans le condenseur à pression constante jusqu’au point 1.

L’eau, par l’intermédiaire d’une pompe, subit une compression isentropique du liquide

saturant en 1 vers 2, de la pression P4 à la pression P3, dans la pompe.

Dans la chaudière, un échauffement isobare se produit à partir du point 2 jusqu’au point

2a et ensuite une vaporisation vers le point 3 à pression constante P3 en passant par le

point 2b, point où la vaporisation est terminée.

Etude du cycle :

1. Le diagramme T-s fourni permet de visualiser l'évolution de l'eau au cours du cycle.

Indiquer sur ce diagramme (ne pas utiliser de crayon à papier noir) :

✓ La courbe de rosée

✓ La courbe d'ébullition


✓ Le point critique C

✓ La zone liquide (L) , vapeur (V) et la zone diphasique (L+V).

✓ Représenter avec une couleur différente :

o L’isenthalpe h =3300 kJ/kg et h = 1600 kJ/kg.

o L’isobare P=1 bar et P = 500 bars y compris dans la phase liquide.

o L’isotitre x = 0,5.

2. En observant les deux courbes isobares du diagramme T-s, du côté liquide, expliquer

pourquoi sont-elles pratiquement confondues.

3. En observant les courbes isochores du diagramme T-s, expliquer pourquoi ces

courbes, du côté liquide, convergent vers le même point.

4. Pourquoi le point 1 est pratiquement confondu avec le point 2 sur ce diagramme.

5. Représenter le cycle sur le diagramme T-s fourni (voir page 12).

6. Pourquoi les états 1 et 2 sont différents.

7. Par lecture graphique, compléter le tableau suivant :

États 1 2 2a 2b 3 3a 4

P (bar) 0,05 150 150 150 150 20 0,05

T(°C) 30 30 342 342 500 212 30

h( kJ kg-1) ≈150 ≈150 1600 2600 3300 2800 1900

s (kJ K-1 kg-1) 0,4 0,4 3,7 5,2 6,4 6,4 6,4

x 0 0 0 1,0 1,0 1,0 0,75

V(m3 kg-1) 0,01 0,02 0,1 20

8. En utilisant le théorème des moments, déterminer par le calcul le titre au point 4.

(Voir rappel exercice 2 question 2).

On pourra aussi utiliser 𝒙 =𝒔𝒙−𝒔𝑳

𝒔𝑽−𝒔𝑳 , s représente l’entropie.

9. Calculer la quantité de chaleur Qc échangée entre 2 et 3 par kg dans la chaudière.

10. Calculer le travail fourni Wt de 3 vers 4 par la turbine. Commenter son signe.

11. Calculer le travail reçu Wp à la pompe. Conclusion.

12. Calculer l'énergie thermique Qf reçue par kg d'eau lors du transfert thermique avec

la source froide.

13. Calculer le rendement r de ce cycle.

14. Calculer le rendement de Carnot. Conclusion.

Réponse :

1. Voir figure.

2. Le liquide est un fluide incompressible, c’est-à-dire une forte variation de sa

pression ne donne lieu pratiquement à aucune variation des propriétés

thermiques ou mécaniques : température, volume massique…

3. Les isochores représentent des volumes massiques, l’inverse de la masse

volumique, du coté liquide la masse volume est à peu prés la même quel que soit

la pression, les isochores convergent alors vers pratiquement le même point.


4. Le point 1 est pratiquement confondu avec le point 2 car pour un liquide une

forte variation de pression ne donne lieu qu’à une toute petite variation de la

température.

5. Voir cycle.

6. Les états 1 et 2 sont différents parce qu’ils ne sont pas à la même pression.

7. Voir tableau.

8. Théorème des moments :

𝒙(𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕𝟒) =𝒔(𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕𝟒)−𝒔𝑳(𝟎,𝟎𝟓𝒃𝒂𝒓𝒔)

𝒔𝑽(𝟎,𝟎𝟓𝒃𝒂𝒓𝒔)−𝒔𝑳(𝟎,𝟎𝟓𝒃𝒂𝒓𝒔)=

𝟔,𝟒−𝟎,𝟒

𝟖,𝟒−𝟎,𝟒= 𝟎, 𝟕𝟓 * voir plus bas.

9. Chaleur à la chaudière : 𝑸𝑪 = ∆𝒉𝟐→𝟑 = 𝒉𝟑 − 𝒉𝟐 = 𝟑𝟑𝟎𝟎 − 𝟏𝟓𝟎 = 𝟑𝟏𝟓𝟎 𝒌𝑱/𝒌𝒈

10. Travail à la turbine : 𝑾𝒕 = ∆𝒉𝟑→𝟒 = 𝒉𝟒 − 𝒉𝟑 = 𝟏𝟗𝟎𝟎 − 𝟑𝟑𝟎𝟎 = −𝟏𝟒𝟎𝟎 𝒌𝑱/𝒌𝒈

Travail négatif fourni à l’extérieur par la turbine, c’est un cycle moteur.

11. Travail de la pompe : 𝑾𝒑 = ∆𝒉𝟏→𝟐 = 𝒉𝟐 − 𝒉𝟏 = 𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟓𝟎 = 𝟎 𝒌𝑱/𝒌𝒈

Travail de la pompe est négligeable par rapport à ce que fournit la turbine.

12. Chaleur à la source froide : 𝑸𝒇 = ∆𝒉𝟒→𝟏 = 𝒉𝟏 − 𝒉𝟒 = 𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟗𝟎𝟎 = − 𝟏𝟕𝟓𝟎 𝒌𝑱/𝒌𝒈

13. Rendement :

𝒓 = 𝒈𝒂𝒊𝒏 𝒅𝒆 𝒍′𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒔𝒂𝒕𝒆𝒖𝒓

𝒅é𝒑𝒆𝒏𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝒍′𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒔𝒂𝒕𝒆𝒖𝒓=

|𝑾𝒕|

𝑸𝑪=

𝟏𝟒𝟎𝟎

𝟑𝟏𝟓𝟎= 𝟎, 𝟒𝟒

14. Rendement de Carnot

𝒓 = 𝟏 − 𝑻𝑭

𝑻𝑪= 𝟏 −

𝟐𝟖 + 𝟐𝟕𝟑

𝟓𝟎𝟎 + 𝟐𝟕𝟑= 𝟎, 𝟔𝟏

Le rendement de Carnot est le rendement maximum qu’on peut avoir, il est donc

supérieur à celui trouvé précédemment.

On peut utiliser la même formule avec l’enthalpie ou les volumes massiques.

• 𝒙(𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕𝟒) =𝒉(𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕𝟒)−𝒉𝑳(𝟎,𝟎𝟓𝒃𝒂𝒓𝒔)

𝒉𝑽(𝟎,𝟎𝟓𝒃𝒂𝒓𝒔)−𝒉𝑳(𝟎,𝟎𝟓𝒃𝒂𝒓𝒔)=

𝟏𝟗𝟎𝟎−𝟏𝟓𝟎

𝟐𝟓𝟓𝟎−𝟏𝟓𝟎= 𝟎, 𝟕𝟑

Il est plus facile de lire les entropies sur le diagramme que les enthalpies ou les volumes

massiques.


Courbe de rosée

Pt

crit

iqu

e

L

V

L+

V

2a

2b

3

4


Exercice Bonus : Transformations élémentaires réversibles d’un gaz parfait

On considère une mole de gaz parfait subissant une transformation élémentaire

réversible.

Donner l’expression de dU, dH, δQ, δW, dS en fonction uniquement des variations

élémentaires dT, dP, dV , dS de la température, de la pression et du volume et des

constantes caractéristiques : R la constante des gaz parfaits et γ la constante adiabatique

qu’on supposera constants.

U, H, Q, W, S étant respectivement l’énergie interne, l’enthalpie, la quantité de chaleur,

le travail et l’entropie.

Remplir uniquement le tableau.

Expressions générales

1er

principe 𝒅𝑼 = 𝜹𝑾 + 𝜹𝑸

dU

1ère de

Joule

𝑪𝑽 𝒅𝑻

dH

2ème loi de

Joule

𝑪𝑷 𝒅𝑻

δW

Travail −𝑷 𝒅𝑽

δQ

Chaleur 𝑪𝑽 𝒅𝑻 + 𝑷𝒅𝑽 𝑻 𝒅𝑺

dS

Entropie 𝑪𝑽

𝒅𝑻

𝑻+ 𝑹

𝒅𝑽

𝑽

Définition

du γ 𝜸 =

𝑪𝑷

𝑪𝑽

Relation

de Mayer 𝑪𝑷 − 𝑪𝑽 = 𝑹

Expressions en fonction de γ

CV 𝑪𝑽 =

𝑹

𝜸 − 𝟏

Cp 𝑪𝑷 =𝜸𝑹

𝜸 − 𝟏

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