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Nouvelles relaxations basées sur la programmation linéaire en nombres entiers pour le problème d’ordonnancement de projet sous contraintes de ressources Christian Artigues 1 , Alain Haït 2 , Pierre Lopez 1 et Sandra Ulrich Ngueveu 1 1 LAAS - CNRS & Université de Toulouse, France artigues,lopez,[email protected] 2 Université de Toulouse, ISAE – SUPAÉRO [email protected] C. Artigues, A. Haït, P. Lopez, S. U. Ngueveu PLNE pour le RCPSP ROADEF 2015, Marseille 1 / 33

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Nouvelles relaxations basées sur laprogrammation linéaire en nombres entiers pourle problème d’ordonnancement de projet sous

contraintes de ressources

Christian Artigues1, Alain Haït2,Pierre Lopez1 et Sandra Ulrich Ngueveu1

1LAAS - CNRS & Université de Toulouse, France

artigues,lopez,[email protected]é de Toulouse, ISAE – SUPAÉRO

[email protected]

C. Artigues, A. Haït, P. Lopez, S. U. Ngueveu PLNE pour le RCPSP ROADEF 2015, Marseille 1 / 33

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1 Introduction

2 Relaxation basée sur les ensembles admissibles

3 Relaxation temporelle des contraintes de ressources

C. Artigues, A. Haït, P. Lopez, S. U. Ngueveu PLNE pour le RCPSP ROADEF 2015, Marseille 2 / 33

Introduction

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1 Introductionle RCPSPPrétraitement , bornes et propagationFormulation de PLNE pour le RCPSP : intérêts et limites

2 Relaxation basée sur les ensembles admissiblesUne «nouvelle» formulation à temps discret : variables on-offFormulation «destructive» basée sur les ensembles admissibles

3 Relaxation temporelle des contraintes de ressourcesFormulation à temps mixteExploitation pour le RCPSP

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Introduction le RCPSP

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1 Introductionle RCPSPPrétraitement , bornes et propagationFormulation de PLNE pour le RCPSP : intérêts et limites

2 Relaxation basée sur les ensembles admissiblesUne «nouvelle» formulation à temps discret : variables on-offFormulation «destructive» basée sur les ensembles admissibles

3 Relaxation temporelle des contraintes de ressourcesFormulation à temps mixteExploitation pour le RCPSP

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Introduction le RCPSP

Le problème d’ordonnancement de projet souscontraintes de ressources (RCPSP)

Un problème central dans beaucoup d’applications industrielles.Gestion de projet, production, industrie des procédés,architectures de processeurs parallèles

Le RCPSP “standard” : un problème NP-difficile qui pose undéfi computationnel

Jeux de données [Patterson 1984], [Alvarez-Valdes and Tamarit1989], [Kolisch, Sprecher and Drexl 1995,1997] (PSPLIB),[Baptiste and Le Pape 2000], [Carlier and Néron 2003].686 citations sur la PSPLIB (Google Scholar) 1/1/201448 (sur 480) instances de la PSPLIB encore ouvertes (60activités et 4 ressources)

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Introduction le RCPSP

The RCPSP : donnéesR ensemble des ressources, capacité limitée Bk ≥ 0,

A ensemble des activités, durée pi ≥ 0, demande bik ≥ 0 sur chaqueress. k,

E ensemble des contraintes de précédence (i , j), i , j ∈ A, i < j

T intervalle de temps (horizon d’ordonnancement)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

|R| = 1, B = 4, T = [0, 30)i pi bi1 3 22 5 33 1 34 3 15 2 16 4 27 5 38 6 19 4 110 4 1

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Introduction le RCPSP

Le RCPSP : variables, objectif et constraintes

Si ≥ 0 date de début de l’activité iCmax makespan ou durée totale du projet

RCPSP (formulation conceptuelle)minCmax = max

i∈ASi + pi

s.t.

Sj ≥ Si + pi (i , j) ∈ E cont. de précédence∑

i∈A(t)bik ≤ Bk t ∈ T , k ∈ R cont. de ressource

Sj ≥ 0 i ∈ A

où A(t) = {j ∈ A|t ∈ [Sj , Sj + pj)}, ∀t ∈ T

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Introduction le RCPSP

Le RCPSP : complexité, variantes et méthodesFortement NP-dfficileGénéralise les problèmes à machines parallèles et de «X-shop»Beaucoup de variantes pertinentes sur le plan industriel :

Autres objectifs : min∑

i∈A wi(Si + pi)Contraintes de précédences généralisées Sj ≥ Si + lijTemps de préparation, modes multiples, resourcesconsommables, . . .Incertitudes pi ∈ [pmin

i , pmaxi ], pi ∼ N (xi , σ

2i )

Méthodes exactes et approchéesHeuristiques and métaheuristiquesMéthodes de séparation et d’évaluations dédiéesBornes inférieures spécifiquesProgrammation par Contraintes (PPC) ou Méthodes hybridesPPC/SATProgrammation linéaire en Nombres Entiers (PLNE)

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Introduction Prétraitement , bornes et propagation

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1 Introductionle RCPSPPrétraitement , bornes et propagationFormulation de PLNE pour le RCPSP : intérêts et limites

2 Relaxation basée sur les ensembles admissiblesUne «nouvelle» formulation à temps discret : variables on-offFormulation «destructive» basée sur les ensembles admissibles

3 Relaxation temporelle des contraintes de ressourcesFormulation à temps mixteExploitation pour le RCPSP

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Introduction Prétraitement , bornes et propagation

Bornes et propagation de contraintesBorne supérieure BS : heuristiques parallèle ou sériellesBorne du chemin critique de 0 à n + 1 path (16)Borne «ressources» maxk∈R

∑i∈A bik ∗ pi/Bk (16.5 → 17)

Fenêtres de temps FTi = [ESi , LSi ] par propag. de contraintes[Brucker and Knust 2000, Baptiste and Demassey 2004, Demassey etal. 2005]

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

propagation des contraintes deprécédence FT+ propagation des contraintesde ressource FT+

UB = 24 (Heur parallèle / Règle Min LF)i pi bi FT FT+

1 3 2 [0, 10] [0, 10]2 5 3 [0, 8] [0, 6]3 1 3 [0, 12] [0, 12]4 3 1 [3, 13] [3, 13]5 2 1 [5, 13] [6, 13]6 4 2 [6, 16] [8, 16]7 5 3 [7, 15] [9, 15]8 6 1 [7, 18] [8, 18]9 4 1 [7, 20] [8, 20]10 4 1 [12, 20] [18, 20]11 0 0 [16, 24] [22, 24]

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Introduction Formulation de PLNE pour le RCPSP : intérêts et limites

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1 Introductionle RCPSPPrétraitement , bornes et propagationFormulation de PLNE pour le RCPSP : intérêts et limites

2 Relaxation basée sur les ensembles admissiblesUne «nouvelle» formulation à temps discret : variables on-offFormulation «destructive» basée sur les ensembles admissibles

3 Relaxation temporelle des contraintes de ressourcesFormulation à temps mixteExploitation pour le RCPSP

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Introduction Formulation de PLNE pour le RCPSP : intérêts et limites

Familles de formulations & notation

[Queyranne and Schulz 1994] classifient les formulations PLNE selonles variables de decision.

1 Dates de début des activités (continues) et ordre relatif (0-1)2 Dates d’événements (continues) et affectation (0-1) des activités

aux événements3 Variables (0-1) indexées par le temps

Données entières, ordo ⇒ entiers : S → S ∩ N|A|

Horizon discret T = T ∩ N où |T | = UBPour tout t ∈ T et pour chaque i ∈ A, variable binaire vit

Nombre pseudo-polynomial de variables |A||T | (peut être réduità ∑

i∈A(LSi − ESi + 1))

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Introduction Formulation de PLNE pour le RCPSP : intérêts et limites

Avantages/limites des formulations à temps discret

1 Meilleurs relaxations connues pour le RCPSP [Brucker and Knust2000, Demassey et al 2004, Baptiste and Demassey 2004,Moukrim etal. 2013]

2 Mais ne peuvent pas être utilisées lorsque les horizons de tempssont trop grands

Exemples avec 15 activités dans [Kone et al. 2011]3 Des formulations avec des relaxations équivalentes ou même plus

mauvaises peuvent donner des solutions entières meilleures, ex :[Bianco and Caramia 2013]

4 Meilleures BI trouvées par la génération de clauses retardées(explications des échecs de la propagation de contraintes suivantle principe des solveurs SAT) [Schutt et al 2013]

Formulations hybridesC. Artigues, A. Haït, P. Lopez, S. U. Ngueveu PLNE pour le RCPSP ROADEF 2015, Marseille 13 / 33

Relaxation basée sur les ensembles admissibles

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1 Introductionle RCPSPPrétraitement , bornes et propagationFormulation de PLNE pour le RCPSP : intérêts et limites

2 Relaxation basée sur les ensembles admissiblesUne «nouvelle» formulation à temps discret : variables on-offFormulation «destructive» basée sur les ensembles admissibles

3 Relaxation temporelle des contraintes de ressourcesFormulation à temps mixteExploitation pour le RCPSP

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Relaxation basée sur les ensembles admissibles Une «nouvelle» formulation à temps discret : variables on-off

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1 Introductionle RCPSPPrétraitement , bornes et propagationFormulation de PLNE pour le RCPSP : intérêts et limites

2 Relaxation basée sur les ensembles admissiblesUne «nouvelle» formulation à temps discret : variables on-offFormulation «destructive» basée sur les ensembles admissibles

3 Relaxation temporelle des contraintes de ressourcesFormulation à temps mixteExploitation pour le RCPSP

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Relaxation basée sur les ensembles admissibles Une «nouvelle» formulation à temps discret : variables on-off

Variables on-off

Variable binaire “On/off” xit = 1⇔ t ∈ [Si , Si + pi − 1]

Equivalent à la formulation classique par transformation nonsingulière ξit =

∑bt/pick=0 xi ,t−kpi −

∑b(t−1)/pick=0 xi ,t−kpi−1 avec

ξit = 1⇔ Si ≤ t :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1 2 34

56 7

8

9 1012345678910

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Relaxation basée sur les ensembles admissibles Une «nouvelle» formulation à temps discret : variables on-off

«Nouvelle» formulation à temps discret on-off

(OODDT )min∑t∈T

txn+1,t

b(t−pi )/pic∑k=0

xi ,t−(k+1)pi −bt/pjc∑k=0

xj,t−kpj ≥ 0 ∀(i , j) ∈ E ,∀t ∈ T∑i∈A,pi >0

bikxit ≤ Bk ∀t ∈ T ,∀k ∈ R

b(LCi−1)/pic∑k=0

xi ,LCi−1−kpi = 1 ∀i ∈ A

bt/pic∑k=0

xi ,t−kpi −b(t−1)/pic∑

k=0xi ,t−kpi−1 ≥ 0 ∀i ∈ V , ∀t ∈ T \ {0}

xit = 0 ∀i ∈ A,∀t ∈ T+ \ {ESi , ..., LCi − 1}xit ∈ {0, 1} ∀i ∈ A,∀t ∈ {ESi , ..., LCi − 1}

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Relaxation basée sur les ensembles admissibles Formulation «destructive» basée sur les ensembles admissibles

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1 Introductionle RCPSPPrétraitement , bornes et propagationFormulation de PLNE pour le RCPSP : intérêts et limites

2 Relaxation basée sur les ensembles admissiblesUne «nouvelle» formulation à temps discret : variables on-offFormulation «destructive» basée sur les ensembles admissibles

3 Relaxation temporelle des contraintes de ressourcesFormulation à temps mixteExploitation pour le RCPSP

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Relaxation basée sur les ensembles admissibles Formulation «destructive» basée sur les ensembles admissibles

Formulation on-off basée sur les ensemblesadmissibles

L ensemble des ensembles d’activités avec |L| ≤ 2|A|.yet variable 0− 1 indiquant si l’ensemble e ∈ L est en cours àl’instant tSoit le modèle obtenu en remplaçant dans (OODT) lescontraintes de ressources par :∑

l∈Lyet ≤ 1 t ∈ T

xit =∑l∈Li

yet i ∈ A; t ∈ T

yet ∈ {0, 1} t ∈ T ; e ∈ L

avec Li l’ensemble des ensembles d’activités contenant i .→Equivalent à la formulation de [Mingozzi et al 1998]

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Relaxation basée sur les ensembles admissibles Formulation «destructive» basée sur les ensembles admissibles

Formulation «destructive» basée sur les ensemblesadmissibles

[Mingozzi et al 1998] : L ensemble des ensembles d’activités quirespectent les contraintes de ressources (∑i∈e bik ≤ Bk)Nouvelle définition : tout ensemble e est admissible |L| = 2|A|mais a un cout ce =

∑k∈R max(∑i∈e bik − Bk , 0).

Changement d’objectif min∑t∈T

∑e∈L ceyet

Permet de calculer une borne de manière destructive : prouverque toute solution a un cout positif revient à montrer que lavaleur testée pour le makespan est irréalisable.Approche par génération de colonne et Branch & Price.

Le sous problème revient à chercher un ensemble réalisable avecun cout linéaire par morceau

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Relaxation basée sur les ensembles admissibles Formulation «destructive» basée sur les ensembles admissibles

Bornes inférieures par PL(NE)instance LCG12 %RDDT %DDT(1h) PFS(3h)j609_1 85 17.65% 2.35%j609_3 99 17.17% 9.09%j609_5 81 14.81% 3.70%j609_6 105 11.43% 4.76%j609_7 105 18.10% 2.86%j609_8 95 18.95% 7.37%j609_9 99 12.12% 7.07%j609_10 90 15.56% 3.33%j6013_1 105 16.19% 1.90% -1.90%j6013_2 103 20.39% 1.94%j6013_3 84 19.05% 1.19%j6013_4 98 20.41% 3.06%j6013_5 92 21.74% 1.09%j6013_6 91 16.48% 1.10%j6013_7 83 19.28% 3.61%j6013_8 115 20.00% 3.48%j6013_9 97 16.49% 2.06%j6013_10 114 24.56% 0.88%j6025_2 95 14.74% 5.26%j6025_4 106 18.87% 8.49%j6025_6 105 14.29% 4.76%j6025_7 88 15.91% 6.82%j6025_8 95 22.11% 5.26%j6025_10 107 15.89% 6.54%

instance LCG12 %RDDT %DDT(1h) PFS13(3h)j6029_1 98 19.39% 3.06%j6029_2 123 17.89% 7.32% -3.25%j6029_3 114 19.30% 1.75% -3.51%j6029_4 126 15.87% 7.14% -3.17%j6029_5 102 12.75% 3.92% -2.94%j6029_6 144 17.36% 9.03% -1.39%j6029_7 117 19.66% 4.27%j6029_8 98 13.27% 2.04% -9.18%j6029_9 105 18.10% 4.76%j6029_10 111 20.72% 1.80%j6030_2 69 4.35% 1.45%j6041_3 90 16.67% 4.44%j6041_5 109 20.18% 7.34%j6041_10 108 12.04% 2.78%j6045_1 90 12.22% 4.44% -1.11%j6045_2 134 20.90% 11.94% -2.99%j6045_3 133 13.53% 6.02% -3.76%j6045_4 101 15.84% 4.95% -1.98%j6045_5 99 21.21% 3.03% -2.02%j6045_6 132 21.97% 21.21% -3.79%j6045_7 113 19.47% 5.31% -3.54%j6045_8 119 15.13% 5.04% -3.36%j6045_9 114 16.67% 5.26% -4.39%j6045_10 102 16.67% 3.92% -4.90%

LCG12 : [Schutt et al 2013] (meth. hybride CP/SAT : génération de clauses retardée)

PFS13 : [Moukrim et al 2013] Formulation préemptive (B&P)

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Relaxation temporelle des contraintes de ressources

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1 Introductionle RCPSPPrétraitement , bornes et propagationFormulation de PLNE pour le RCPSP : intérêts et limites

2 Relaxation basée sur les ensembles admissiblesUne «nouvelle» formulation à temps discret : variables on-offFormulation «destructive» basée sur les ensembles admissibles

3 Relaxation temporelle des contraintes de ressourcesFormulation à temps mixteExploitation pour le RCPSP

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Relaxation temporelle des contraintes de ressources Formulation à temps mixte

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1 Introductionle RCPSPPrétraitement , bornes et propagationFormulation de PLNE pour le RCPSP : intérêts et limites

2 Relaxation basée sur les ensembles admissiblesUne «nouvelle» formulation à temps discret : variables on-offFormulation «destructive» basée sur les ensembles admissibles

3 Relaxation temporelle des contraintes de ressourcesFormulation à temps mixteExploitation pour le RCPSP

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Relaxation temporelle des contraintes de ressources Formulation à temps mixte

Relaxation des contraintes de ressources

Les activités peuvent commencer et se terminer à l’intérieurd’une périodeLa consommation de ressource dépend de la durée de l’activitédans la périodeLa durée d’une période n’est pas forcément unitaireNombreuses applications avec activités de durées variables :

Ordonnancement avec tarification électrique par période[Haït & Artigues 2011]Planification tactique de projets[Baydoun, Haït & Pellerin 2014]

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Relaxation temporelle des contraintes de ressources Formulation à temps mixte

Relaxation des contraintes de ressources

Exemple :3 activités A, B, C telles que bAk = 3, bBk = 2,bCk = 1.A et C précèdent B.

t

ActivitésABC

0 1 2

0 périodes

Ressource k

Bk

1 2

1234

Non admissible

t

ActivitésABC

0 1 2

0 périodes

Ressource k

Bk

1

1234

Admissible

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Relaxation temporelle des contraintes de ressources Formulation à temps mixte

Formulation à temps mixte

t0 1 2 3

Si Fi

i

bi ,k,1bi ,k,2 li ,k,3

t1 2 3

Modèle à temps continuDébut et fin des tâches : variables réelles Si et Fi

Modèle à temps discretCharge d’une ressource k à la période t : variables réelles bi ,k,t

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Relaxation temporelle des contraintes de ressources Formulation à temps mixte

Positionnement événement/période

tD(t − 1) D.t

0 tzsi ,t 1

t

Si

La variable binaire zsi ,t vaut 1 si l’événement Si est situé dans lapériode t ou avant, 0 sinon (Pritsker & Watters, 1968).

Si ≥ D.t(1− zsi ,t) ∀t ∈ T (1)Si ≤ D.t + M(1− zsi ,t) ∀t ∈ T (2)zsi ,t+1 ≥ zsi ,t ∀t ∈ Tx (3)

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Relaxation temporelle des contraintes de ressources Formulation à temps mixte

Chevauchement entre tâches et périodes

t0 1 2 3

di ,1 di ,2 di ,3

0 tzsi ,t 1

1 2 3 4

0 tzfi ,t 1

1 2 3 4

Si Fii

Durée du chevauchement : variables réelles di ,t ∈ [0;D]di ,t ≥ 0 if zsi ,t − zfi ,t−1 = 1di ,t = 0 sinon.

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Relaxation temporelle des contraintes de ressources Formulation à temps mixte

Chevauchement entre tâches et périodes

D(t − 1) D.t

Si FiSi Fi

Si Fi

D(t − 1) D.t

Si Fi

Si Fi

Si Fi

Durée du chevauchement di ,t :0 ≤ di ,t ≤ D(zsi ,t − zfi ,t−1) (4)

di ,t ≥ D(zsi ,t−1 − zfi ,t) (5)di ,t ≥ Fi − D.t + D.zsi ,t−1 −M.(1− zfi ,t) (6)di ,t ≥ D.t.(1− zsi ,t−1)− Si − D.zfi ,t (7)∑

tdi ,t = pi (8)

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Relaxation temporelle des contraintes de ressources Formulation à temps mixte

Contraintes du problèmeFenêtres de temps et durée minimale :

Si ≥ ESi ∀i ∈ I (9)Fi ≤ LFi ∀i ∈ I (10)

Fi − Si = pi ∀i ∈ I (11)

Contraintes de précédence :

Si ≥ Fj ∀(i , j) ∈ E (12)

Contraintes de ressources

bi ,k,t = bi ,k .di ,t/D ∀i ∈ I , k ∈ R , t ∈ T (13)∑i

bi ,k,t ≤ Bk ∀k ∈ R , t ∈ T (14)

(15)

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Relaxation temporelle des contraintes de ressources Exploitation pour le RCPSP

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1 Introductionle RCPSPPrétraitement , bornes et propagationFormulation de PLNE pour le RCPSP : intérêts et limites

2 Relaxation basée sur les ensembles admissiblesUne «nouvelle» formulation à temps discret : variables on-offFormulation «destructive» basée sur les ensembles admissibles

3 Relaxation temporelle des contraintes de ressourcesFormulation à temps mixteExploitation pour le RCPSP

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Relaxation temporelle des contraintes de ressources Exploitation pour le RCPSP

Schéma de résolution

Démarche itérative :Réduction progressive de la durée des périodesL’optimum d’un niveau donne une borne inférieure du niveausuivantL’optimum d’un niveau sert à construire une bonne solution duniveau suivant

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Relaxation temporelle des contraintes de ressources Exploitation pour le RCPSP

Exemple

PSPLIB instance 60.9.1 :Meilleure solution connue : 87Meilleure borne : 85

Période

Makespan

60

75

90

5 10 15 20

Capa. infinie

85 Borne inf87 Borne sup

••

••••

••

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