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Cours 3

NOTIONS de section efficace

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Deacutefinitions et notations

Pour explorer les proprieacuteteacutes du noyau on fait geacuteneacuteralement des expeacuteriences de diffusion (laquo collision raquo) de particules drsquoun faisceau qursquoon envoie sur une cible et on observe la diffusion laquo derriegravere raquo la cible Ce qui inteacuteresse en geacuteneacuteral le physicien crsquoest la probabiliteacute qursquoune laquo reacuteaction se produise raquo En fait la mesure consiste agrave faire un grand nombre de mesures entre un grand nombre de particules incidentes et un grand nombre de noyaux cible et de mesurer les particules diffuseacutees par un deacutetecteur On srsquointeacuteresse agrave la moyenne des valeurs mesureacutees La probabiliteacute qui nous inteacuteresse crsquoest le rapport entre le taux drsquointeraction et le flux incident Nous allons voir que cette probabiliteacute qursquoon appelle section efficace est indeacutependante des variables caracteacuterisant le faisceau et la cible crsquoest-agrave-dire lrsquointensiteacute du faisceau et la geacuteomeacutetrie et densiteacute de la cible

3

Particule transmise

Particule diffuseacutee

Flux incident de particules

Cible

d

Particules incidentes

Cible

Deacutetecteur

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5

Section efficace

Le nombre de particules que lrsquoon deacutetecte est bien sucircr proportionnel au nombre de particules incidentes et au nombre de noyaux cible La relation de proportionnaliteacute

srsquoexprime par lrsquointermeacutediaire drsquoun coefficient de proportionnaliteacute

La relation entre le taux drsquointeraction (T) (nombre de particules laquo diffuseacutees raquo par uniteacute du

temps) et la section efficace () est alors

SsΦσNΦσT ciblecible

avec

- le flux crsquoest-agrave-dire le nombre de particules incidentes par uniteacute de surface et par uniteacute du temps

Ncible - le nombre de particules cible dans le volume de la cible correspondant agrave la surface (S) couverte par le faisceau

scible - le nombre de particules cible par uniteacute de surface (densiteacute surfacique de particules)

6

Calcul du nombre de particules par uniteacute de volume (ncible) ou par uniteacute de surface (densiteacute des particules volumique ou surfacique) (scible)

Soit d lrsquoeacutepaisseur la masse volumique et A est la masse atomique du milieu cible NA le nombre drsquoAvogadro Le nombre de particules cible par uniteacute de volume ncible est donneacute par

AρNVNA

M)VN(nVNn AAAmolciblecible

AρNn Acible

On peut aussi exprimer le nombre de particules dans la cible Ncible

SdA)N(ρSdnVnN Acibleciblecible

et le nombre de particules cible par uniteacute de surface Scible

ANd(dnSd)S(nSNs Aciblecibleciblecible ) ANd(s Acible )

scible=NcibleS (uniteacute de mesure cm-2)

7

Probabiliteacute drsquointeraction

Dans la discussion de lrsquointeraction des particules avec la matiegravere on srsquointeacuteresse souvent agrave la probabiliteacute (p) qursquoune particule interagisse avec un milieu drsquoeacutepaisseur donneacutee qui est

donneacutee par le rapport entre le taux drsquointeraction T et le taux de particules incidentes S

d)A(ρNσsσ

S

Tp Acible

On voit que la probabiliteacute drsquointeraction deacutepend directement de la quantiteacute (d) appeleacutee la densiteacute de masse surfacique qui a comme uniteacute de mesure le gcm

2De plus on voit

apparaicirctre lrsquouniteacute de mesure de p eacutetant sans dimension a les dimensions drsquoune

surface On peut imaginer comme une surface geacuteomeacutetrique une particule qui frapperait la cible dans cette aire serait diffuseacutee tandis qursquoagrave lrsquoexteacuterieur de cette aire elle traverserait la cible sans diffusion Cependant il faut faire tregraves attention cette aire repreacutesente la probabiliteacute drsquoun processus elle nrsquoa rien agrave voir avec la taille physique des

centres diffuseurs de la cible par exemple

Exemple une mesure reacutecente de diffusions de neutrons froids sur une cible de Gd donne une section efficace de 10

-20 m

2 ce qui eacutequivaudrait agrave un rayon drsquoenviron 10

-10 m

ce qui repreacutesente le rayon drsquoun atome

8

Uniteacute usuelle pour la section efficace

1 barn = 10-24

cm2 = 10

-28 m

2

Calcul geacuteneacuteral de la probabiliteacute drsquointeraction

Puisque la probabiliteacute drsquointeraction par uniteacute de distance est

cibleAnσρ(σA)Ndpw

ougrave ncible deacutesigne le nombre de noyaux cible par uniteacute de volume (densiteacute volumique des noyaux cible)

La probabiliteacute pour une particule incidente drsquoavoir une interaction entre x et x+dx est

dxnσdxA)ρ(Ndxw cibleA

Le flux de particules incidentes apregraves le passage de la tranche dx aura varieacute de

dxndxwd cible

En inteacutegrant sur une eacutepaisseur x on obtient la loi de variation du flux de particules incidentes

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xncibleex

0

ougrave (x) crsquoest le flux de particules qui nrsquoont pas interagi apregraves la distance x

Le nombre de particules qui ont interagi est donc

xncibleex

10

Exemple Quelle est la fraction de rayons gammas transmises derriegravere une cible de Plomb de 1 cm drsquoeacutepaisseur si la section efficace totale drsquointeraction est de 10 barns On donne la

masse volumique du Plomb = 113104 kgm

3 et la masse molaire du Plomb A= 0207

kgmole NA=6021023

mole-1

ncible= (A)∙6021023

mole-1 = 3310

28 m

-3

x=10-2 m = 10

-27 m

2 ncible∙∙ x = 033 drsquoougrave 0 = e

-033 = 072

Ce calcul suppose que lrsquoon srsquointeacuteresse agrave tous les processus drsquointeractions et que lrsquoon ne srsquointeacuteresse pas agrave la direction drsquoeacutemission des particules diffuseacutees Ce sera le cas de lrsquoobservation drsquoun flux de neutrons (voir cours sur les neutrons) et on verra aussi des

applications dans le cours sur les interactions des rayons gammas

10

Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule

Section efficace diffeacuterentielle

La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction

deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)

d

d()

11

Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle

d

d

Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide

eacuteleacutementaire d est

xnd

d

dNxnNdn cibleiciblei

En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr

ddθθπ π

dΩ

dσdΩ

dΩ

dσTσ sin

2

0 0

)()(

ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment

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Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford

Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel

Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace

diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de

la diffusion de particules sur un noyau

On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)

b

+Ze

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Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris

entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une

laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau

Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)

dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (

d

d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface

2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (

d

d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb

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Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient

d

dbb

d

πbdbπbdb

d

d

sinsin2

2

d

2

Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que

2

22e

E

Zzaavec

b

atg

En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme

22

θctg

ab

on obtient

dθθa

db -

2sin

4

2

15

En utilisant

2cos

2sin2sin

θθ θ

on arrive facilement agrave

2sin

1

16 4

2

θ

a

dΩ

dσ

la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel

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Diffusion par une sphegravere dure de rayon R

2cos

2

)-(sin

RRb

2sin

2

R

d

db

drsquoougrave

4

2

2sin

2sin

)2cos()( RθR

θ

R

dΩ

dσ

La section efficace diffeacuterentielle est isotrope

La section efficace totale est donneacutee par

22

4πRdΩ

RσT

(-)2

(-)2

b R

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Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute

Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la

distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310

-14 cm qui est beaucoup plus faible que le

rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10

-10 cm avec une

distribution de charge uniforme

Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante

Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature

18

19

Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules

laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT

T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)

La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible

T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

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Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

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La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

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Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

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Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

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elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

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Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

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Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

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Deacutefinitions et notations

Pour explorer les proprieacuteteacutes du noyau on fait geacuteneacuteralement des expeacuteriences de diffusion (laquo collision raquo) de particules drsquoun faisceau qursquoon envoie sur une cible et on observe la diffusion laquo derriegravere raquo la cible Ce qui inteacuteresse en geacuteneacuteral le physicien crsquoest la probabiliteacute qursquoune laquo reacuteaction se produise raquo En fait la mesure consiste agrave faire un grand nombre de mesures entre un grand nombre de particules incidentes et un grand nombre de noyaux cible et de mesurer les particules diffuseacutees par un deacutetecteur On srsquointeacuteresse agrave la moyenne des valeurs mesureacutees La probabiliteacute qui nous inteacuteresse crsquoest le rapport entre le taux drsquointeraction et le flux incident Nous allons voir que cette probabiliteacute qursquoon appelle section efficace est indeacutependante des variables caracteacuterisant le faisceau et la cible crsquoest-agrave-dire lrsquointensiteacute du faisceau et la geacuteomeacutetrie et densiteacute de la cible

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Particule transmise

Particule diffuseacutee

Flux incident de particules

Cible

d

Particules incidentes

Cible

Deacutetecteur

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Section efficace

Le nombre de particules que lrsquoon deacutetecte est bien sucircr proportionnel au nombre de particules incidentes et au nombre de noyaux cible La relation de proportionnaliteacute

srsquoexprime par lrsquointermeacutediaire drsquoun coefficient de proportionnaliteacute

La relation entre le taux drsquointeraction (T) (nombre de particules laquo diffuseacutees raquo par uniteacute du

temps) et la section efficace () est alors

SsΦσNΦσT ciblecible

avec

- le flux crsquoest-agrave-dire le nombre de particules incidentes par uniteacute de surface et par uniteacute du temps

Ncible - le nombre de particules cible dans le volume de la cible correspondant agrave la surface (S) couverte par le faisceau

scible - le nombre de particules cible par uniteacute de surface (densiteacute surfacique de particules)

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Calcul du nombre de particules par uniteacute de volume (ncible) ou par uniteacute de surface (densiteacute des particules volumique ou surfacique) (scible)

Soit d lrsquoeacutepaisseur la masse volumique et A est la masse atomique du milieu cible NA le nombre drsquoAvogadro Le nombre de particules cible par uniteacute de volume ncible est donneacute par

AρNVNA

M)VN(nVNn AAAmolciblecible

AρNn Acible

On peut aussi exprimer le nombre de particules dans la cible Ncible

SdA)N(ρSdnVnN Acibleciblecible

et le nombre de particules cible par uniteacute de surface Scible

ANd(dnSd)S(nSNs Aciblecibleciblecible ) ANd(s Acible )

scible=NcibleS (uniteacute de mesure cm-2)

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Probabiliteacute drsquointeraction

Dans la discussion de lrsquointeraction des particules avec la matiegravere on srsquointeacuteresse souvent agrave la probabiliteacute (p) qursquoune particule interagisse avec un milieu drsquoeacutepaisseur donneacutee qui est

donneacutee par le rapport entre le taux drsquointeraction T et le taux de particules incidentes S

d)A(ρNσsσ

S

Tp Acible

On voit que la probabiliteacute drsquointeraction deacutepend directement de la quantiteacute (d) appeleacutee la densiteacute de masse surfacique qui a comme uniteacute de mesure le gcm

2De plus on voit

apparaicirctre lrsquouniteacute de mesure de p eacutetant sans dimension a les dimensions drsquoune

surface On peut imaginer comme une surface geacuteomeacutetrique une particule qui frapperait la cible dans cette aire serait diffuseacutee tandis qursquoagrave lrsquoexteacuterieur de cette aire elle traverserait la cible sans diffusion Cependant il faut faire tregraves attention cette aire repreacutesente la probabiliteacute drsquoun processus elle nrsquoa rien agrave voir avec la taille physique des

centres diffuseurs de la cible par exemple

Exemple une mesure reacutecente de diffusions de neutrons froids sur une cible de Gd donne une section efficace de 10

-20 m

2 ce qui eacutequivaudrait agrave un rayon drsquoenviron 10

-10 m

ce qui repreacutesente le rayon drsquoun atome

8

Uniteacute usuelle pour la section efficace

1 barn = 10-24

cm2 = 10

-28 m

2

Calcul geacuteneacuteral de la probabiliteacute drsquointeraction

Puisque la probabiliteacute drsquointeraction par uniteacute de distance est

cibleAnσρ(σA)Ndpw

ougrave ncible deacutesigne le nombre de noyaux cible par uniteacute de volume (densiteacute volumique des noyaux cible)

La probabiliteacute pour une particule incidente drsquoavoir une interaction entre x et x+dx est

dxnσdxA)ρ(Ndxw cibleA

Le flux de particules incidentes apregraves le passage de la tranche dx aura varieacute de

dxndxwd cible

En inteacutegrant sur une eacutepaisseur x on obtient la loi de variation du flux de particules incidentes

9

xncibleex

0

ougrave (x) crsquoest le flux de particules qui nrsquoont pas interagi apregraves la distance x

Le nombre de particules qui ont interagi est donc

xncibleex

10

Exemple Quelle est la fraction de rayons gammas transmises derriegravere une cible de Plomb de 1 cm drsquoeacutepaisseur si la section efficace totale drsquointeraction est de 10 barns On donne la

masse volumique du Plomb = 113104 kgm

3 et la masse molaire du Plomb A= 0207

kgmole NA=6021023

mole-1

ncible= (A)∙6021023

mole-1 = 3310

28 m

-3

x=10-2 m = 10

-27 m

2 ncible∙∙ x = 033 drsquoougrave 0 = e

-033 = 072

Ce calcul suppose que lrsquoon srsquointeacuteresse agrave tous les processus drsquointeractions et que lrsquoon ne srsquointeacuteresse pas agrave la direction drsquoeacutemission des particules diffuseacutees Ce sera le cas de lrsquoobservation drsquoun flux de neutrons (voir cours sur les neutrons) et on verra aussi des

applications dans le cours sur les interactions des rayons gammas

10

Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule

Section efficace diffeacuterentielle

La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction

deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)

d

d()

11

Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle

d

d

Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide

eacuteleacutementaire d est

xnd

d

dNxnNdn cibleiciblei

En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr

ddθθπ π

dΩ

dσdΩ

dΩ

dσTσ sin

2

0 0

)()(

ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment

12

Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford

Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel

Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace

diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de

la diffusion de particules sur un noyau

On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)

b

+Ze

13

Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris

entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une

laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau

Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)

dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (

d

d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface

2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (

d

d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb

14

Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient

d

dbb

d

πbdbπbdb

d

d

sinsin2

2

d

2

Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que

2

22e

E

Zzaavec

b

atg

En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme

22

θctg

ab

on obtient

dθθa

db -

2sin

4

2

15

En utilisant

2cos

2sin2sin

θθ θ

on arrive facilement agrave

2sin

1

16 4

2

θ

a

dΩ

dσ

la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel

16

Diffusion par une sphegravere dure de rayon R

2cos

2

)-(sin

RRb

2sin

2

R

d

db

drsquoougrave

4

2

2sin

2sin

)2cos()( RθR

θ

R

dΩ

dσ

La section efficace diffeacuterentielle est isotrope

La section efficace totale est donneacutee par

22

4πRdΩ

RσT

(-)2

(-)2

b R

17

Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute

Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la

distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310

-14 cm qui est beaucoup plus faible que le

rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10

-10 cm avec une

distribution de charge uniforme

Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante

Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature

18

19

Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules

laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT

T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)

La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible

T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

3

Particule transmise

Particule diffuseacutee

Flux incident de particules

Cible

d

Particules incidentes

Cible

Deacutetecteur

4

5

Section efficace

Le nombre de particules que lrsquoon deacutetecte est bien sucircr proportionnel au nombre de particules incidentes et au nombre de noyaux cible La relation de proportionnaliteacute

srsquoexprime par lrsquointermeacutediaire drsquoun coefficient de proportionnaliteacute

La relation entre le taux drsquointeraction (T) (nombre de particules laquo diffuseacutees raquo par uniteacute du

temps) et la section efficace () est alors

SsΦσNΦσT ciblecible

avec

- le flux crsquoest-agrave-dire le nombre de particules incidentes par uniteacute de surface et par uniteacute du temps

Ncible - le nombre de particules cible dans le volume de la cible correspondant agrave la surface (S) couverte par le faisceau

scible - le nombre de particules cible par uniteacute de surface (densiteacute surfacique de particules)

6

Calcul du nombre de particules par uniteacute de volume (ncible) ou par uniteacute de surface (densiteacute des particules volumique ou surfacique) (scible)

Soit d lrsquoeacutepaisseur la masse volumique et A est la masse atomique du milieu cible NA le nombre drsquoAvogadro Le nombre de particules cible par uniteacute de volume ncible est donneacute par

AρNVNA

M)VN(nVNn AAAmolciblecible

AρNn Acible

On peut aussi exprimer le nombre de particules dans la cible Ncible

SdA)N(ρSdnVnN Acibleciblecible

et le nombre de particules cible par uniteacute de surface Scible

ANd(dnSd)S(nSNs Aciblecibleciblecible ) ANd(s Acible )

scible=NcibleS (uniteacute de mesure cm-2)

7

Probabiliteacute drsquointeraction

Dans la discussion de lrsquointeraction des particules avec la matiegravere on srsquointeacuteresse souvent agrave la probabiliteacute (p) qursquoune particule interagisse avec un milieu drsquoeacutepaisseur donneacutee qui est

donneacutee par le rapport entre le taux drsquointeraction T et le taux de particules incidentes S

d)A(ρNσsσ

S

Tp Acible

On voit que la probabiliteacute drsquointeraction deacutepend directement de la quantiteacute (d) appeleacutee la densiteacute de masse surfacique qui a comme uniteacute de mesure le gcm

2De plus on voit

apparaicirctre lrsquouniteacute de mesure de p eacutetant sans dimension a les dimensions drsquoune

surface On peut imaginer comme une surface geacuteomeacutetrique une particule qui frapperait la cible dans cette aire serait diffuseacutee tandis qursquoagrave lrsquoexteacuterieur de cette aire elle traverserait la cible sans diffusion Cependant il faut faire tregraves attention cette aire repreacutesente la probabiliteacute drsquoun processus elle nrsquoa rien agrave voir avec la taille physique des

centres diffuseurs de la cible par exemple

Exemple une mesure reacutecente de diffusions de neutrons froids sur une cible de Gd donne une section efficace de 10

-20 m

2 ce qui eacutequivaudrait agrave un rayon drsquoenviron 10

-10 m

ce qui repreacutesente le rayon drsquoun atome

8

Uniteacute usuelle pour la section efficace

1 barn = 10-24

cm2 = 10

-28 m

2

Calcul geacuteneacuteral de la probabiliteacute drsquointeraction

Puisque la probabiliteacute drsquointeraction par uniteacute de distance est

cibleAnσρ(σA)Ndpw

ougrave ncible deacutesigne le nombre de noyaux cible par uniteacute de volume (densiteacute volumique des noyaux cible)

La probabiliteacute pour une particule incidente drsquoavoir une interaction entre x et x+dx est

dxnσdxA)ρ(Ndxw cibleA

Le flux de particules incidentes apregraves le passage de la tranche dx aura varieacute de

dxndxwd cible

En inteacutegrant sur une eacutepaisseur x on obtient la loi de variation du flux de particules incidentes

9

xncibleex

0

ougrave (x) crsquoest le flux de particules qui nrsquoont pas interagi apregraves la distance x

Le nombre de particules qui ont interagi est donc

xncibleex

10

Exemple Quelle est la fraction de rayons gammas transmises derriegravere une cible de Plomb de 1 cm drsquoeacutepaisseur si la section efficace totale drsquointeraction est de 10 barns On donne la

masse volumique du Plomb = 113104 kgm

3 et la masse molaire du Plomb A= 0207

kgmole NA=6021023

mole-1

ncible= (A)∙6021023

mole-1 = 3310

28 m

-3

x=10-2 m = 10

-27 m

2 ncible∙∙ x = 033 drsquoougrave 0 = e

-033 = 072

Ce calcul suppose que lrsquoon srsquointeacuteresse agrave tous les processus drsquointeractions et que lrsquoon ne srsquointeacuteresse pas agrave la direction drsquoeacutemission des particules diffuseacutees Ce sera le cas de lrsquoobservation drsquoun flux de neutrons (voir cours sur les neutrons) et on verra aussi des

applications dans le cours sur les interactions des rayons gammas

10

Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule

Section efficace diffeacuterentielle

La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction

deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)

d

d()

11

Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle

d

d

Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide

eacuteleacutementaire d est

xnd

d

dNxnNdn cibleiciblei

En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr

ddθθπ π

dΩ

dσdΩ

dΩ

dσTσ sin

2

0 0

)()(

ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment

12

Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford

Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel

Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace

diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de

la diffusion de particules sur un noyau

On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)

b

+Ze

13

Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris

entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une

laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau

Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)

dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (

d

d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface

2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (

d

d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb

14

Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient

d

dbb

d

πbdbπbdb

d

d

sinsin2

2

d

2

Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que

2

22e

E

Zzaavec

b

atg

En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme

22

θctg

ab

on obtient

dθθa

db -

2sin

4

2

15

En utilisant

2cos

2sin2sin

θθ θ

on arrive facilement agrave

2sin

1

16 4

2

θ

a

dΩ

dσ

la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel

16

Diffusion par une sphegravere dure de rayon R

2cos

2

)-(sin

RRb

2sin

2

R

d

db

drsquoougrave

4

2

2sin

2sin

)2cos()( RθR

θ

R

dΩ

dσ

La section efficace diffeacuterentielle est isotrope

La section efficace totale est donneacutee par

22

4πRdΩ

RσT

(-)2

(-)2

b R

17

Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute

Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la

distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310

-14 cm qui est beaucoup plus faible que le

rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10

-10 cm avec une

distribution de charge uniforme

Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante

Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature

18

19

Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules

laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT

T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)

La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible

T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

4

5

Section efficace

Le nombre de particules que lrsquoon deacutetecte est bien sucircr proportionnel au nombre de particules incidentes et au nombre de noyaux cible La relation de proportionnaliteacute

srsquoexprime par lrsquointermeacutediaire drsquoun coefficient de proportionnaliteacute

La relation entre le taux drsquointeraction (T) (nombre de particules laquo diffuseacutees raquo par uniteacute du

temps) et la section efficace () est alors

SsΦσNΦσT ciblecible

avec

- le flux crsquoest-agrave-dire le nombre de particules incidentes par uniteacute de surface et par uniteacute du temps

Ncible - le nombre de particules cible dans le volume de la cible correspondant agrave la surface (S) couverte par le faisceau

scible - le nombre de particules cible par uniteacute de surface (densiteacute surfacique de particules)

6

Calcul du nombre de particules par uniteacute de volume (ncible) ou par uniteacute de surface (densiteacute des particules volumique ou surfacique) (scible)

Soit d lrsquoeacutepaisseur la masse volumique et A est la masse atomique du milieu cible NA le nombre drsquoAvogadro Le nombre de particules cible par uniteacute de volume ncible est donneacute par

AρNVNA

M)VN(nVNn AAAmolciblecible

AρNn Acible

On peut aussi exprimer le nombre de particules dans la cible Ncible

SdA)N(ρSdnVnN Acibleciblecible

et le nombre de particules cible par uniteacute de surface Scible

ANd(dnSd)S(nSNs Aciblecibleciblecible ) ANd(s Acible )

scible=NcibleS (uniteacute de mesure cm-2)

7

Probabiliteacute drsquointeraction

Dans la discussion de lrsquointeraction des particules avec la matiegravere on srsquointeacuteresse souvent agrave la probabiliteacute (p) qursquoune particule interagisse avec un milieu drsquoeacutepaisseur donneacutee qui est

donneacutee par le rapport entre le taux drsquointeraction T et le taux de particules incidentes S

d)A(ρNσsσ

S

Tp Acible

On voit que la probabiliteacute drsquointeraction deacutepend directement de la quantiteacute (d) appeleacutee la densiteacute de masse surfacique qui a comme uniteacute de mesure le gcm

2De plus on voit

apparaicirctre lrsquouniteacute de mesure de p eacutetant sans dimension a les dimensions drsquoune

surface On peut imaginer comme une surface geacuteomeacutetrique une particule qui frapperait la cible dans cette aire serait diffuseacutee tandis qursquoagrave lrsquoexteacuterieur de cette aire elle traverserait la cible sans diffusion Cependant il faut faire tregraves attention cette aire repreacutesente la probabiliteacute drsquoun processus elle nrsquoa rien agrave voir avec la taille physique des

centres diffuseurs de la cible par exemple

Exemple une mesure reacutecente de diffusions de neutrons froids sur une cible de Gd donne une section efficace de 10

-20 m

2 ce qui eacutequivaudrait agrave un rayon drsquoenviron 10

-10 m

ce qui repreacutesente le rayon drsquoun atome

8

Uniteacute usuelle pour la section efficace

1 barn = 10-24

cm2 = 10

-28 m

2

Calcul geacuteneacuteral de la probabiliteacute drsquointeraction

Puisque la probabiliteacute drsquointeraction par uniteacute de distance est

cibleAnσρ(σA)Ndpw

ougrave ncible deacutesigne le nombre de noyaux cible par uniteacute de volume (densiteacute volumique des noyaux cible)

La probabiliteacute pour une particule incidente drsquoavoir une interaction entre x et x+dx est

dxnσdxA)ρ(Ndxw cibleA

Le flux de particules incidentes apregraves le passage de la tranche dx aura varieacute de

dxndxwd cible

En inteacutegrant sur une eacutepaisseur x on obtient la loi de variation du flux de particules incidentes

9

xncibleex

0

ougrave (x) crsquoest le flux de particules qui nrsquoont pas interagi apregraves la distance x

Le nombre de particules qui ont interagi est donc

xncibleex

10

Exemple Quelle est la fraction de rayons gammas transmises derriegravere une cible de Plomb de 1 cm drsquoeacutepaisseur si la section efficace totale drsquointeraction est de 10 barns On donne la

masse volumique du Plomb = 113104 kgm

3 et la masse molaire du Plomb A= 0207

kgmole NA=6021023

mole-1

ncible= (A)∙6021023

mole-1 = 3310

28 m

-3

x=10-2 m = 10

-27 m

2 ncible∙∙ x = 033 drsquoougrave 0 = e

-033 = 072

Ce calcul suppose que lrsquoon srsquointeacuteresse agrave tous les processus drsquointeractions et que lrsquoon ne srsquointeacuteresse pas agrave la direction drsquoeacutemission des particules diffuseacutees Ce sera le cas de lrsquoobservation drsquoun flux de neutrons (voir cours sur les neutrons) et on verra aussi des

applications dans le cours sur les interactions des rayons gammas

10

Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule

Section efficace diffeacuterentielle

La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction

deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)

d

d()

11

Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle

d

d

Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide

eacuteleacutementaire d est

xnd

d

dNxnNdn cibleiciblei

En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr

ddθθπ π

dΩ

dσdΩ

dΩ

dσTσ sin

2

0 0

)()(

ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment

12

Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford

Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel

Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace

diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de

la diffusion de particules sur un noyau

On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)

b

+Ze

13

Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris

entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une

laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau

Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)

dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (

d

d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface

2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (

d

d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb

14

Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient

d

dbb

d

πbdbπbdb

d

d

sinsin2

2

d

2

Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que

2

22e

E

Zzaavec

b

atg

En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme

22

θctg

ab

on obtient

dθθa

db -

2sin

4

2

15

En utilisant

2cos

2sin2sin

θθ θ

on arrive facilement agrave

2sin

1

16 4

2

θ

a

dΩ

dσ

la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel

16

Diffusion par une sphegravere dure de rayon R

2cos

2

)-(sin

RRb

2sin

2

R

d

db

drsquoougrave

4

2

2sin

2sin

)2cos()( RθR

θ

R

dΩ

dσ

La section efficace diffeacuterentielle est isotrope

La section efficace totale est donneacutee par

22

4πRdΩ

RσT

(-)2

(-)2

b R

17

Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute

Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la

distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310

-14 cm qui est beaucoup plus faible que le

rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10

-10 cm avec une

distribution de charge uniforme

Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante

Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature

18

19

Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules

laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT

T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)

La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible

T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

5

Section efficace

Le nombre de particules que lrsquoon deacutetecte est bien sucircr proportionnel au nombre de particules incidentes et au nombre de noyaux cible La relation de proportionnaliteacute

srsquoexprime par lrsquointermeacutediaire drsquoun coefficient de proportionnaliteacute

La relation entre le taux drsquointeraction (T) (nombre de particules laquo diffuseacutees raquo par uniteacute du

temps) et la section efficace () est alors

SsΦσNΦσT ciblecible

avec

- le flux crsquoest-agrave-dire le nombre de particules incidentes par uniteacute de surface et par uniteacute du temps

Ncible - le nombre de particules cible dans le volume de la cible correspondant agrave la surface (S) couverte par le faisceau

scible - le nombre de particules cible par uniteacute de surface (densiteacute surfacique de particules)

6

Calcul du nombre de particules par uniteacute de volume (ncible) ou par uniteacute de surface (densiteacute des particules volumique ou surfacique) (scible)

Soit d lrsquoeacutepaisseur la masse volumique et A est la masse atomique du milieu cible NA le nombre drsquoAvogadro Le nombre de particules cible par uniteacute de volume ncible est donneacute par

AρNVNA

M)VN(nVNn AAAmolciblecible

AρNn Acible

On peut aussi exprimer le nombre de particules dans la cible Ncible

SdA)N(ρSdnVnN Acibleciblecible

et le nombre de particules cible par uniteacute de surface Scible

ANd(dnSd)S(nSNs Aciblecibleciblecible ) ANd(s Acible )

scible=NcibleS (uniteacute de mesure cm-2)

7

Probabiliteacute drsquointeraction

Dans la discussion de lrsquointeraction des particules avec la matiegravere on srsquointeacuteresse souvent agrave la probabiliteacute (p) qursquoune particule interagisse avec un milieu drsquoeacutepaisseur donneacutee qui est

donneacutee par le rapport entre le taux drsquointeraction T et le taux de particules incidentes S

d)A(ρNσsσ

S

Tp Acible

On voit que la probabiliteacute drsquointeraction deacutepend directement de la quantiteacute (d) appeleacutee la densiteacute de masse surfacique qui a comme uniteacute de mesure le gcm

2De plus on voit

apparaicirctre lrsquouniteacute de mesure de p eacutetant sans dimension a les dimensions drsquoune

surface On peut imaginer comme une surface geacuteomeacutetrique une particule qui frapperait la cible dans cette aire serait diffuseacutee tandis qursquoagrave lrsquoexteacuterieur de cette aire elle traverserait la cible sans diffusion Cependant il faut faire tregraves attention cette aire repreacutesente la probabiliteacute drsquoun processus elle nrsquoa rien agrave voir avec la taille physique des

centres diffuseurs de la cible par exemple

Exemple une mesure reacutecente de diffusions de neutrons froids sur une cible de Gd donne une section efficace de 10

-20 m

2 ce qui eacutequivaudrait agrave un rayon drsquoenviron 10

-10 m

ce qui repreacutesente le rayon drsquoun atome

8

Uniteacute usuelle pour la section efficace

1 barn = 10-24

cm2 = 10

-28 m

2

Calcul geacuteneacuteral de la probabiliteacute drsquointeraction

Puisque la probabiliteacute drsquointeraction par uniteacute de distance est

cibleAnσρ(σA)Ndpw

ougrave ncible deacutesigne le nombre de noyaux cible par uniteacute de volume (densiteacute volumique des noyaux cible)

La probabiliteacute pour une particule incidente drsquoavoir une interaction entre x et x+dx est

dxnσdxA)ρ(Ndxw cibleA

Le flux de particules incidentes apregraves le passage de la tranche dx aura varieacute de

dxndxwd cible

En inteacutegrant sur une eacutepaisseur x on obtient la loi de variation du flux de particules incidentes

9

xncibleex

0

ougrave (x) crsquoest le flux de particules qui nrsquoont pas interagi apregraves la distance x

Le nombre de particules qui ont interagi est donc

xncibleex

10

Exemple Quelle est la fraction de rayons gammas transmises derriegravere une cible de Plomb de 1 cm drsquoeacutepaisseur si la section efficace totale drsquointeraction est de 10 barns On donne la

masse volumique du Plomb = 113104 kgm

3 et la masse molaire du Plomb A= 0207

kgmole NA=6021023

mole-1

ncible= (A)∙6021023

mole-1 = 3310

28 m

-3

x=10-2 m = 10

-27 m

2 ncible∙∙ x = 033 drsquoougrave 0 = e

-033 = 072

Ce calcul suppose que lrsquoon srsquointeacuteresse agrave tous les processus drsquointeractions et que lrsquoon ne srsquointeacuteresse pas agrave la direction drsquoeacutemission des particules diffuseacutees Ce sera le cas de lrsquoobservation drsquoun flux de neutrons (voir cours sur les neutrons) et on verra aussi des

applications dans le cours sur les interactions des rayons gammas

10

Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule

Section efficace diffeacuterentielle

La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction

deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)

d

d()

11

Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle

d

d

Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide

eacuteleacutementaire d est

xnd

d

dNxnNdn cibleiciblei

En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr

ddθθπ π

dΩ

dσdΩ

dΩ

dσTσ sin

2

0 0

)()(

ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment

12

Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford

Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel

Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace

diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de

la diffusion de particules sur un noyau

On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)

b

+Ze

13

Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris

entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une

laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau

Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)

dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (

d

d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface

2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (

d

d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb

14

Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient

d

dbb

d

πbdbπbdb

d

d

sinsin2

2

d

2

Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que

2

22e

E

Zzaavec

b

atg

En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme

22

θctg

ab

on obtient

dθθa

db -

2sin

4

2

15

En utilisant

2cos

2sin2sin

θθ θ

on arrive facilement agrave

2sin

1

16 4

2

θ

a

dΩ

dσ

la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel

16

Diffusion par une sphegravere dure de rayon R

2cos

2

)-(sin

RRb

2sin

2

R

d

db

drsquoougrave

4

2

2sin

2sin

)2cos()( RθR

θ

R

dΩ

dσ

La section efficace diffeacuterentielle est isotrope

La section efficace totale est donneacutee par

22

4πRdΩ

RσT

(-)2

(-)2

b R

17

Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute

Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la

distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310

-14 cm qui est beaucoup plus faible que le

rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10

-10 cm avec une

distribution de charge uniforme

Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante

Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature

18

19

Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules

laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT

T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)

La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible

T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

6

Calcul du nombre de particules par uniteacute de volume (ncible) ou par uniteacute de surface (densiteacute des particules volumique ou surfacique) (scible)

Soit d lrsquoeacutepaisseur la masse volumique et A est la masse atomique du milieu cible NA le nombre drsquoAvogadro Le nombre de particules cible par uniteacute de volume ncible est donneacute par

AρNVNA

M)VN(nVNn AAAmolciblecible

AρNn Acible

On peut aussi exprimer le nombre de particules dans la cible Ncible

SdA)N(ρSdnVnN Acibleciblecible

et le nombre de particules cible par uniteacute de surface Scible

ANd(dnSd)S(nSNs Aciblecibleciblecible ) ANd(s Acible )

scible=NcibleS (uniteacute de mesure cm-2)

7

Probabiliteacute drsquointeraction

Dans la discussion de lrsquointeraction des particules avec la matiegravere on srsquointeacuteresse souvent agrave la probabiliteacute (p) qursquoune particule interagisse avec un milieu drsquoeacutepaisseur donneacutee qui est

donneacutee par le rapport entre le taux drsquointeraction T et le taux de particules incidentes S

d)A(ρNσsσ

S

Tp Acible

On voit que la probabiliteacute drsquointeraction deacutepend directement de la quantiteacute (d) appeleacutee la densiteacute de masse surfacique qui a comme uniteacute de mesure le gcm

2De plus on voit

apparaicirctre lrsquouniteacute de mesure de p eacutetant sans dimension a les dimensions drsquoune

surface On peut imaginer comme une surface geacuteomeacutetrique une particule qui frapperait la cible dans cette aire serait diffuseacutee tandis qursquoagrave lrsquoexteacuterieur de cette aire elle traverserait la cible sans diffusion Cependant il faut faire tregraves attention cette aire repreacutesente la probabiliteacute drsquoun processus elle nrsquoa rien agrave voir avec la taille physique des

centres diffuseurs de la cible par exemple

Exemple une mesure reacutecente de diffusions de neutrons froids sur une cible de Gd donne une section efficace de 10

-20 m

2 ce qui eacutequivaudrait agrave un rayon drsquoenviron 10

-10 m

ce qui repreacutesente le rayon drsquoun atome

8

Uniteacute usuelle pour la section efficace

1 barn = 10-24

cm2 = 10

-28 m

2

Calcul geacuteneacuteral de la probabiliteacute drsquointeraction

Puisque la probabiliteacute drsquointeraction par uniteacute de distance est

cibleAnσρ(σA)Ndpw

ougrave ncible deacutesigne le nombre de noyaux cible par uniteacute de volume (densiteacute volumique des noyaux cible)

La probabiliteacute pour une particule incidente drsquoavoir une interaction entre x et x+dx est

dxnσdxA)ρ(Ndxw cibleA

Le flux de particules incidentes apregraves le passage de la tranche dx aura varieacute de

dxndxwd cible

En inteacutegrant sur une eacutepaisseur x on obtient la loi de variation du flux de particules incidentes

9

xncibleex

0

ougrave (x) crsquoest le flux de particules qui nrsquoont pas interagi apregraves la distance x

Le nombre de particules qui ont interagi est donc

xncibleex

10

Exemple Quelle est la fraction de rayons gammas transmises derriegravere une cible de Plomb de 1 cm drsquoeacutepaisseur si la section efficace totale drsquointeraction est de 10 barns On donne la

masse volumique du Plomb = 113104 kgm

3 et la masse molaire du Plomb A= 0207

kgmole NA=6021023

mole-1

ncible= (A)∙6021023

mole-1 = 3310

28 m

-3

x=10-2 m = 10

-27 m

2 ncible∙∙ x = 033 drsquoougrave 0 = e

-033 = 072

Ce calcul suppose que lrsquoon srsquointeacuteresse agrave tous les processus drsquointeractions et que lrsquoon ne srsquointeacuteresse pas agrave la direction drsquoeacutemission des particules diffuseacutees Ce sera le cas de lrsquoobservation drsquoun flux de neutrons (voir cours sur les neutrons) et on verra aussi des

applications dans le cours sur les interactions des rayons gammas

10

Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule

Section efficace diffeacuterentielle

La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction

deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)

d

d()

11

Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle

d

d

Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide

eacuteleacutementaire d est

xnd

d

dNxnNdn cibleiciblei

En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr

ddθθπ π

dΩ

dσdΩ

dΩ

dσTσ sin

2

0 0

)()(

ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment

12

Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford

Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel

Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace

diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de

la diffusion de particules sur un noyau

On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)

b

+Ze

13

Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris

entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une

laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau

Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)

dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (

d

d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface

2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (

d

d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb

14

Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient

d

dbb

d

πbdbπbdb

d

d

sinsin2

2

d

2

Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que

2

22e

E

Zzaavec

b

atg

En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme

22

θctg

ab

on obtient

dθθa

db -

2sin

4

2

15

En utilisant

2cos

2sin2sin

θθ θ

on arrive facilement agrave

2sin

1

16 4

2

θ

a

dΩ

dσ

la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel

16

Diffusion par une sphegravere dure de rayon R

2cos

2

)-(sin

RRb

2sin

2

R

d

db

drsquoougrave

4

2

2sin

2sin

)2cos()( RθR

θ

R

dΩ

dσ

La section efficace diffeacuterentielle est isotrope

La section efficace totale est donneacutee par

22

4πRdΩ

RσT

(-)2

(-)2

b R

17

Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute

Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la

distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310

-14 cm qui est beaucoup plus faible que le

rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10

-10 cm avec une

distribution de charge uniforme

Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante

Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature

18

19

Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules

laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT

T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)

La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible

T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

7

Probabiliteacute drsquointeraction

Dans la discussion de lrsquointeraction des particules avec la matiegravere on srsquointeacuteresse souvent agrave la probabiliteacute (p) qursquoune particule interagisse avec un milieu drsquoeacutepaisseur donneacutee qui est

donneacutee par le rapport entre le taux drsquointeraction T et le taux de particules incidentes S

d)A(ρNσsσ

S

Tp Acible

On voit que la probabiliteacute drsquointeraction deacutepend directement de la quantiteacute (d) appeleacutee la densiteacute de masse surfacique qui a comme uniteacute de mesure le gcm

2De plus on voit

apparaicirctre lrsquouniteacute de mesure de p eacutetant sans dimension a les dimensions drsquoune

surface On peut imaginer comme une surface geacuteomeacutetrique une particule qui frapperait la cible dans cette aire serait diffuseacutee tandis qursquoagrave lrsquoexteacuterieur de cette aire elle traverserait la cible sans diffusion Cependant il faut faire tregraves attention cette aire repreacutesente la probabiliteacute drsquoun processus elle nrsquoa rien agrave voir avec la taille physique des

centres diffuseurs de la cible par exemple

Exemple une mesure reacutecente de diffusions de neutrons froids sur une cible de Gd donne une section efficace de 10

-20 m

2 ce qui eacutequivaudrait agrave un rayon drsquoenviron 10

-10 m

ce qui repreacutesente le rayon drsquoun atome

8

Uniteacute usuelle pour la section efficace

1 barn = 10-24

cm2 = 10

-28 m

2

Calcul geacuteneacuteral de la probabiliteacute drsquointeraction

Puisque la probabiliteacute drsquointeraction par uniteacute de distance est

cibleAnσρ(σA)Ndpw

ougrave ncible deacutesigne le nombre de noyaux cible par uniteacute de volume (densiteacute volumique des noyaux cible)

La probabiliteacute pour une particule incidente drsquoavoir une interaction entre x et x+dx est

dxnσdxA)ρ(Ndxw cibleA

Le flux de particules incidentes apregraves le passage de la tranche dx aura varieacute de

dxndxwd cible

En inteacutegrant sur une eacutepaisseur x on obtient la loi de variation du flux de particules incidentes

9

xncibleex

0

ougrave (x) crsquoest le flux de particules qui nrsquoont pas interagi apregraves la distance x

Le nombre de particules qui ont interagi est donc

xncibleex

10

Exemple Quelle est la fraction de rayons gammas transmises derriegravere une cible de Plomb de 1 cm drsquoeacutepaisseur si la section efficace totale drsquointeraction est de 10 barns On donne la

masse volumique du Plomb = 113104 kgm

3 et la masse molaire du Plomb A= 0207

kgmole NA=6021023

mole-1

ncible= (A)∙6021023

mole-1 = 3310

28 m

-3

x=10-2 m = 10

-27 m

2 ncible∙∙ x = 033 drsquoougrave 0 = e

-033 = 072

Ce calcul suppose que lrsquoon srsquointeacuteresse agrave tous les processus drsquointeractions et que lrsquoon ne srsquointeacuteresse pas agrave la direction drsquoeacutemission des particules diffuseacutees Ce sera le cas de lrsquoobservation drsquoun flux de neutrons (voir cours sur les neutrons) et on verra aussi des

applications dans le cours sur les interactions des rayons gammas

10

Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule

Section efficace diffeacuterentielle

La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction

deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)

d

d()

11

Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle

d

d

Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide

eacuteleacutementaire d est

xnd

d

dNxnNdn cibleiciblei

En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr

ddθθπ π

dΩ

dσdΩ

dΩ

dσTσ sin

2

0 0

)()(

ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment

12

Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford

Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel

Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace

diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de

la diffusion de particules sur un noyau

On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)

b

+Ze

13

Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris

entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une

laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau

Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)

dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (

d

d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface

2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (

d

d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb

14

Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient

d

dbb

d

πbdbπbdb

d

d

sinsin2

2

d

2

Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que

2

22e

E

Zzaavec

b

atg

En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme

22

θctg

ab

on obtient

dθθa

db -

2sin

4

2

15

En utilisant

2cos

2sin2sin

θθ θ

on arrive facilement agrave

2sin

1

16 4

2

θ

a

dΩ

dσ

la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel

16

Diffusion par une sphegravere dure de rayon R

2cos

2

)-(sin

RRb

2sin

2

R

d

db

drsquoougrave

4

2

2sin

2sin

)2cos()( RθR

θ

R

dΩ

dσ

La section efficace diffeacuterentielle est isotrope

La section efficace totale est donneacutee par

22

4πRdΩ

RσT

(-)2

(-)2

b R

17

Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute

Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la

distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310

-14 cm qui est beaucoup plus faible que le

rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10

-10 cm avec une

distribution de charge uniforme

Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante

Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature

18

19

Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules

laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT

T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)

La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible

T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

8

Uniteacute usuelle pour la section efficace

1 barn = 10-24

cm2 = 10

-28 m

2

Calcul geacuteneacuteral de la probabiliteacute drsquointeraction

Puisque la probabiliteacute drsquointeraction par uniteacute de distance est

cibleAnσρ(σA)Ndpw

ougrave ncible deacutesigne le nombre de noyaux cible par uniteacute de volume (densiteacute volumique des noyaux cible)

La probabiliteacute pour une particule incidente drsquoavoir une interaction entre x et x+dx est

dxnσdxA)ρ(Ndxw cibleA

Le flux de particules incidentes apregraves le passage de la tranche dx aura varieacute de

dxndxwd cible

En inteacutegrant sur une eacutepaisseur x on obtient la loi de variation du flux de particules incidentes

9

xncibleex

0

ougrave (x) crsquoest le flux de particules qui nrsquoont pas interagi apregraves la distance x

Le nombre de particules qui ont interagi est donc

xncibleex

10

Exemple Quelle est la fraction de rayons gammas transmises derriegravere une cible de Plomb de 1 cm drsquoeacutepaisseur si la section efficace totale drsquointeraction est de 10 barns On donne la

masse volumique du Plomb = 113104 kgm

3 et la masse molaire du Plomb A= 0207

kgmole NA=6021023

mole-1

ncible= (A)∙6021023

mole-1 = 3310

28 m

-3

x=10-2 m = 10

-27 m

2 ncible∙∙ x = 033 drsquoougrave 0 = e

-033 = 072

Ce calcul suppose que lrsquoon srsquointeacuteresse agrave tous les processus drsquointeractions et que lrsquoon ne srsquointeacuteresse pas agrave la direction drsquoeacutemission des particules diffuseacutees Ce sera le cas de lrsquoobservation drsquoun flux de neutrons (voir cours sur les neutrons) et on verra aussi des

applications dans le cours sur les interactions des rayons gammas

10

Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule

Section efficace diffeacuterentielle

La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction

deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)

d

d()

11

Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle

d

d

Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide

eacuteleacutementaire d est

xnd

d

dNxnNdn cibleiciblei

En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr

ddθθπ π

dΩ

dσdΩ

dΩ

dσTσ sin

2

0 0

)()(

ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment

12

Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford

Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel

Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace

diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de

la diffusion de particules sur un noyau

On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)

b

+Ze

13

Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris

entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une

laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau

Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)

dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (

d

d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface

2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (

d

d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb

14

Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient

d

dbb

d

πbdbπbdb

d

d

sinsin2

2

d

2

Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que

2

22e

E

Zzaavec

b

atg

En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme

22

θctg

ab

on obtient

dθθa

db -

2sin

4

2

15

En utilisant

2cos

2sin2sin

θθ θ

on arrive facilement agrave

2sin

1

16 4

2

θ

a

dΩ

dσ

la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel

16

Diffusion par une sphegravere dure de rayon R

2cos

2

)-(sin

RRb

2sin

2

R

d

db

drsquoougrave

4

2

2sin

2sin

)2cos()( RθR

θ

R

dΩ

dσ

La section efficace diffeacuterentielle est isotrope

La section efficace totale est donneacutee par

22

4πRdΩ

RσT

(-)2

(-)2

b R

17

Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute

Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la

distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310

-14 cm qui est beaucoup plus faible que le

rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10

-10 cm avec une

distribution de charge uniforme

Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante

Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature

18

19

Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules

laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT

T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)

La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible

T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

9

xncibleex

0

ougrave (x) crsquoest le flux de particules qui nrsquoont pas interagi apregraves la distance x

Le nombre de particules qui ont interagi est donc

xncibleex

10

Exemple Quelle est la fraction de rayons gammas transmises derriegravere une cible de Plomb de 1 cm drsquoeacutepaisseur si la section efficace totale drsquointeraction est de 10 barns On donne la

masse volumique du Plomb = 113104 kgm

3 et la masse molaire du Plomb A= 0207

kgmole NA=6021023

mole-1

ncible= (A)∙6021023

mole-1 = 3310

28 m

-3

x=10-2 m = 10

-27 m

2 ncible∙∙ x = 033 drsquoougrave 0 = e

-033 = 072

Ce calcul suppose que lrsquoon srsquointeacuteresse agrave tous les processus drsquointeractions et que lrsquoon ne srsquointeacuteresse pas agrave la direction drsquoeacutemission des particules diffuseacutees Ce sera le cas de lrsquoobservation drsquoun flux de neutrons (voir cours sur les neutrons) et on verra aussi des

applications dans le cours sur les interactions des rayons gammas

10

Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule

Section efficace diffeacuterentielle

La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction

deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)

d

d()

11

Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle

d

d

Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide

eacuteleacutementaire d est

xnd

d

dNxnNdn cibleiciblei

En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr

ddθθπ π

dΩ

dσdΩ

dΩ

dσTσ sin

2

0 0

)()(

ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment

12

Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford

Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel

Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace

diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de

la diffusion de particules sur un noyau

On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)

b

+Ze

13

Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris

entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une

laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau

Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)

dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (

d

d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface

2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (

d

d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb

14

Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient

d

dbb

d

πbdbπbdb

d

d

sinsin2

2

d

2

Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que

2

22e

E

Zzaavec

b

atg

En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme

22

θctg

ab

on obtient

dθθa

db -

2sin

4

2

15

En utilisant

2cos

2sin2sin

θθ θ

on arrive facilement agrave

2sin

1

16 4

2

θ

a

dΩ

dσ

la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel

16

Diffusion par une sphegravere dure de rayon R

2cos

2

)-(sin

RRb

2sin

2

R

d

db

drsquoougrave

4

2

2sin

2sin

)2cos()( RθR

θ

R

dΩ

dσ

La section efficace diffeacuterentielle est isotrope

La section efficace totale est donneacutee par

22

4πRdΩ

RσT

(-)2

(-)2

b R

17

Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute

Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la

distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310

-14 cm qui est beaucoup plus faible que le

rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10

-10 cm avec une

distribution de charge uniforme

Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante

Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature

18

19

Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules

laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT

T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)

La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible

T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

10

Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule

Section efficace diffeacuterentielle

La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction

deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)

d

d()

11

Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle

d

d

Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide

eacuteleacutementaire d est

xnd

d

dNxnNdn cibleiciblei

En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr

ddθθπ π

dΩ

dσdΩ

dΩ

dσTσ sin

2

0 0

)()(

ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment

12

Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford

Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel

Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace

diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de

la diffusion de particules sur un noyau

On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)

b

+Ze

13

Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris

entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une

laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau

Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)

dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (

d

d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface

2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (

d

d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb

14

Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient

d

dbb

d

πbdbπbdb

d

d

sinsin2

2

d

2

Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que

2

22e

E

Zzaavec

b

atg

En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme

22

θctg

ab

on obtient

dθθa

db -

2sin

4

2

15

En utilisant

2cos

2sin2sin

θθ θ

on arrive facilement agrave

2sin

1

16 4

2

θ

a

dΩ

dσ

la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel

16

Diffusion par une sphegravere dure de rayon R

2cos

2

)-(sin

RRb

2sin

2

R

d

db

drsquoougrave

4

2

2sin

2sin

)2cos()( RθR

θ

R

dΩ

dσ

La section efficace diffeacuterentielle est isotrope

La section efficace totale est donneacutee par

22

4πRdΩ

RσT

(-)2

(-)2

b R

17

Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute

Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la

distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310

-14 cm qui est beaucoup plus faible que le

rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10

-10 cm avec une

distribution de charge uniforme

Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante

Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature

18

19

Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules

laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT

T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)

La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible

T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

11

Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle

d

d

Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide

eacuteleacutementaire d est

xnd

d

dNxnNdn cibleiciblei

En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr

ddθθπ π

dΩ

dσdΩ

dΩ

dσTσ sin

2

0 0

)()(

ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment

12

Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford

Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel

Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace

diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de

la diffusion de particules sur un noyau

On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)

b

+Ze

13

Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris

entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une

laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau

Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)

dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (

d

d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface

2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (

d

d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb

14

Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient

d

dbb

d

πbdbπbdb

d

d

sinsin2

2

d

2

Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que

2

22e

E

Zzaavec

b

atg

En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme

22

θctg

ab

on obtient

dθθa

db -

2sin

4

2

15

En utilisant

2cos

2sin2sin

θθ θ

on arrive facilement agrave

2sin

1

16 4

2

θ

a

dΩ

dσ

la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel

16

Diffusion par une sphegravere dure de rayon R

2cos

2

)-(sin

RRb

2sin

2

R

d

db

drsquoougrave

4

2

2sin

2sin

)2cos()( RθR

θ

R

dΩ

dσ

La section efficace diffeacuterentielle est isotrope

La section efficace totale est donneacutee par

22

4πRdΩ

RσT

(-)2

(-)2

b R

17

Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute

Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la

distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310

-14 cm qui est beaucoup plus faible que le

rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10

-10 cm avec une

distribution de charge uniforme

Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante

Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature

18

19

Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules

laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT

T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)

La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible

T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

12

Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford

Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel

Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace

diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de

la diffusion de particules sur un noyau

On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)

b

+Ze

13

Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris

entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une

laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau

Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)

dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (

d

d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface

2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (

d

d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb

14

Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient

d

dbb

d

πbdbπbdb

d

d

sinsin2

2

d

2

Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que

2

22e

E

Zzaavec

b

atg

En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme

22

θctg

ab

on obtient

dθθa

db -

2sin

4

2

15

En utilisant

2cos

2sin2sin

θθ θ

on arrive facilement agrave

2sin

1

16 4

2

θ

a

dΩ

dσ

la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel

16

Diffusion par une sphegravere dure de rayon R

2cos

2

)-(sin

RRb

2sin

2

R

d

db

drsquoougrave

4

2

2sin

2sin

)2cos()( RθR

θ

R

dΩ

dσ

La section efficace diffeacuterentielle est isotrope

La section efficace totale est donneacutee par

22

4πRdΩ

RσT

(-)2

(-)2

b R

17

Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute

Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la

distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310

-14 cm qui est beaucoup plus faible que le

rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10

-10 cm avec une

distribution de charge uniforme

Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante

Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature

18

19

Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules

laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT

T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)

La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible

T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

13

Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris

entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une

laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau

Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)

dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (

d

d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface

2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (

d

d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb

14

Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient

d

dbb

d

πbdbπbdb

d

d

sinsin2

2

d

2

Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que

2

22e

E

Zzaavec

b

atg

En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme

22

θctg

ab

on obtient

dθθa

db -

2sin

4

2

15

En utilisant

2cos

2sin2sin

θθ θ

on arrive facilement agrave

2sin

1

16 4

2

θ

a

dΩ

dσ

la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel

16

Diffusion par une sphegravere dure de rayon R

2cos

2

)-(sin

RRb

2sin

2

R

d

db

drsquoougrave

4

2

2sin

2sin

)2cos()( RθR

θ

R

dΩ

dσ

La section efficace diffeacuterentielle est isotrope

La section efficace totale est donneacutee par

22

4πRdΩ

RσT

(-)2

(-)2

b R

17

Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute

Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la

distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310

-14 cm qui est beaucoup plus faible que le

rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10

-10 cm avec une

distribution de charge uniforme

Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante

Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature

18

19

Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules

laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT

T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)

La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible

T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

14

Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient

d

dbb

d

πbdbπbdb

d

d

sinsin2

2

d

2

Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que

2

22e

E

Zzaavec

b

atg

En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme

22

θctg

ab

on obtient

dθθa

db -

2sin

4

2

15

En utilisant

2cos

2sin2sin

θθ θ

on arrive facilement agrave

2sin

1

16 4

2

θ

a

dΩ

dσ

la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel

16

Diffusion par une sphegravere dure de rayon R

2cos

2

)-(sin

RRb

2sin

2

R

d

db

drsquoougrave

4

2

2sin

2sin

)2cos()( RθR

θ

R

dΩ

dσ

La section efficace diffeacuterentielle est isotrope

La section efficace totale est donneacutee par

22

4πRdΩ

RσT

(-)2

(-)2

b R

17

Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute

Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la

distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310

-14 cm qui est beaucoup plus faible que le

rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10

-10 cm avec une

distribution de charge uniforme

Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante

Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature

18

19

Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules

laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT

T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)

La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible

T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

15

En utilisant

2cos

2sin2sin

θθ θ

on arrive facilement agrave

2sin

1

16 4

2

θ

a

dΩ

dσ

la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel

16

Diffusion par une sphegravere dure de rayon R

2cos

2

)-(sin

RRb

2sin

2

R

d

db

drsquoougrave

4

2

2sin

2sin

)2cos()( RθR

θ

R

dΩ

dσ

La section efficace diffeacuterentielle est isotrope

La section efficace totale est donneacutee par

22

4πRdΩ

RσT

(-)2

(-)2

b R

17

Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute

Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la

distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310

-14 cm qui est beaucoup plus faible que le

rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10

-10 cm avec une

distribution de charge uniforme

Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante

Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature

18

19

Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules

laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT

T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)

La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible

T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

16

Diffusion par une sphegravere dure de rayon R

2cos

2

)-(sin

RRb

2sin

2

R

d

db

drsquoougrave

4

2

2sin

2sin

)2cos()( RθR

θ

R

dΩ

dσ

La section efficace diffeacuterentielle est isotrope

La section efficace totale est donneacutee par

22

4πRdΩ

RσT

(-)2

(-)2

b R

17

Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute

Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la

distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310

-14 cm qui est beaucoup plus faible que le

rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10

-10 cm avec une

distribution de charge uniforme

Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante

Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature

18

19

Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules

laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT

T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)

La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible

T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

17

Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute

Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la

distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310

-14 cm qui est beaucoup plus faible que le

rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10

-10 cm avec une

distribution de charge uniforme

Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante

Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature

18

19

Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules

laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT

T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)

La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible

T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

18

19

Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules

laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT

T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)

La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible

T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

19

Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules

laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT

T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)

La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible

T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans

lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

20

Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit

A

NdfNL A

1

- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10

11 ppaquet)

- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10

2 s

-1 x 10

11 ppaquet x 6 x 10

23 mol

-1 x 133 g∙cm

-3 x 10

-1 m (2 g∙mol

-1) =

= 12 middot1036

cm-2

s-1

L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

21

Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

22

Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et

son moment p

sont relieacutes par 222 mpE

et que le carreacute du quadri-moment pEp

est deacutefini comme 2222 mpEp

En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est

bababababaab ppEEmmppEEp

2222222

Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par

22

abba pEEs

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

23

Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur

cible fixe 0bp

et bb mE leacutenergie utile sera

baba mEmms 222

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)

bamEs 2

On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau

collisionneur ba pp

leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules

identiques 222 222 aaa pEms

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

24

Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules

aa mE 22

aa Ep

aa EEs 24 2

Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est

(31)

ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

25

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

26

On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux

S

NNnfL beamrev 21

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

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exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

27

Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par

2

2

2

2

22

2

2

22exp

2zxzx

zxN

zx

Nn

Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

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33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

28

La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est

2ndW p

Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est

dxdzzxNfn

Nd

zxzx

revbeam

2

2

2

2

11

22exp

2

ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel

dxdz

zxNfnnNdNddT

zxzx

revbeampp

2

2

2

2

222

121 exp

2

qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

29

dyy

2

2

exp

pour obtenir

21

4 zx

revbeampp

NNfnNT

et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute

21

4 zx

revbeam NNfnL

qui se mesure en barns-1

middots-1

Ordres de grandeurs

L ~ 1031

cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~1030

cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10

11 particules σx= σy =1 mm

Soit Lnominal~ 1034

cm-2

s-1

=1010

b-1

s-1

=(110-10

b)s-1

= (1100 fb) s-1

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

30

Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit

Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et

donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL

La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2

ou barns

-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra

mesurer dans un temps donneacute

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

31

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

32

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

33

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique

reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou

centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique

atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe

pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la

reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne)

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

34

(146)

Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir

figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee

paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O

est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force

varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si

la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

35

Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son

moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque

la force est centrale

Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par

En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire

Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la

trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et

nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de

nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

36

elle sen eacuteloigne Alors

Ce qui donne

Rappelons que

Ce qui nous donne

Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

37

Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b

Ce qui nous donne aussi

Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la

relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute

Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons

que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la

force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les

expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les

interactions entre particules

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

38

Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons

des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque

autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees

Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera

respectivement comprise dans langle solide de diffusion

d = 2 b db

Avec

d = 2 sin d

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

39

La section efficace eacutetant deacutefinie par

θdθπ

πbdb

dΩ

dσ

sin2

2

En combinant cette relation avec

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

40

Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)

A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille

du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le

raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau

Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique

de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne

en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons

dougrave

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

41

Il en reacutesulte donc

Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente

possegravede une vitesse initiale

en avec et

par symeacutetrie agrave nouveau

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

42

Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum

Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation

ou encore

Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

43

ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport

par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

44

La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le

deacutenominateur srsquoannule

cest-agrave-dire (trivial)

Nous avons donc

Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale

lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de

45

Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont

rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles

qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons

avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)

avec des particules alpha (Z=2) une valeur de