Notions de fonction Initiation Ci-contre, une courbe dans un repère orthonormé. L axe des...

Notions de fonctionNotions de fonction

Initiation

Ci-contre, une courbe dans un repère orthonormé.

L ’axe des abscisses (l ’axe des « x ») est l ’axe horizontal.

L ’axe des ordonnées (l ’axe des « y ») est l ’axe vertical.

A

B

C

D

Lorsque l ’on donne les coordonnées d ’un point, on donne d ’abord l’abscisse puis l’ordonnée.

Le point A est de coordonnées: ( 2 ; 1 )

Le point B est de coordonnées: ( 1,5 ; -0,5 )

Le point C est de coordonnées: ( 0 ; 0,5 )

Le point D est de coordonnées: ( -1 ; -0,7 )

Notations et vocabulaireNotations et vocabulaire

Cherche les coordonnées des Cherche les coordonnées des points A, B, C et D.points A, B, C et D.

On dit que:

Soit f la fonction définie sur l ’intervalle [-1;3]

ce qui veut dire que l ’on trace la fonction pour les « x »de -1 à 3

et que pour chaque valeur « x » de cet intervalle, il existe un unique f(x) correspondant.

x

f(x)

x est l’ antécédent de f(x) f(x) a pour antécédent x


Images et antécédentsImages et antécédents

x a pour image f(x)

f(x) est l ’image de x

ou encore:

On dit que :

ou encore:

Le maximum est la plus grande ordonnée d ’un point de la courbe

On cherche le point de la courbe le plus « haut »

On lit l ’ordonnée de ce point : c ’est le maximum

On dit que 1 est le maximum de f

On peut préciser: il est atteint pour x = -1


Le minimum est la plus petite ordonnée d ’un point de la courbe

On cherche le point de la courbe le plus « bas »

On lit l ’ordonnée de ce point : c ’est le minimum

On dit que -1 est le minimum de f

On peut préciser: il est atteint pour x = 0


Soit f la fonction définie sur [-1,2 ; 2,2] par f(x) = x2 - 1.

Ce qui signifie que l ’on va calculer des images pour les valeurs de « x » comprises entre -1,2 et 2,2.

Et voilà la formule que l ’on va utiliser pour les calculs.

Calculer une imageCalculer une image


Calculer l ’ image de 0.

Ce qui signifie calculer f(0).

f(x) = x2 - 1

f(0) = 02 - 1 = 0 - 1 = - 1

f(0) = -1

Calcul de f(0):

Réponse: l ’image de 0 est -1.ou



Calculer l ’ image de 1,3.

f(x) = x2 - 1

f(1,3) = 1,32 - 1 = 1,69 - 1= 0,69

f(1,3) = 0,69

Calcul de f(1,3) :

Réponse: l ’image de 1,3 est 0,69.ou

Essayez de trouver la Essayez de trouver la réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer



Calculer l ’ image de -1,1.

f(x) = x2 - 1

f(-1,1) = (-1,1)2 - 1 = 1,21 - 1 = 0,21

f(-1,1) = 0,21

Calcul de f(-1,1) :

Réponse: l ’image de -1,1 est 0,21.ou


Attention:Attention: il est indispensable de mettre des parenthèses autour de -1,1.


Soit g la fonction définie sur [-10 ; 10] par g(x) = x2 + 2x - 6

Calculer l ’ image de 4 par la fonction g.

g(x) = x2 + 2x - 5

g(4) = 42 + 2x4 - 6= 16 + 8 - 6 = 18

g(4) = 18

Calcul de g(4) :

Réponse: l ’image de 4 est 18.ou


g(4)


Soit g la fonction définie sur [-10 ; 10] par g(x) = x2 + 2x - 6

Calculer l ’ image de -5 par la fonction g.

g(x) = x2 + 2x - 5

g(-5) = (-5)2 + 2x(-5) - 6= 25 - 10 - 6 = 9

g(-5) = 9

Calcul de g(-5) :

Réponse: l ’image de -5 est 9.ou


g(-5)



Nous avons calculé précédemment les images de -1,1 ; 0 et 1,3 .

On peut présenter ces résultats dans un tableau de valeurs

x

f(x)

-1,1 0 1,3

f(1,3) = 0,69

f(0) = -1

f(-1,1) = 0,21

0,21 -1 0,69

Remplir un tableau de valeursRemplir un tableau de valeurs

Parfois, on écrit « y » à la place de « f(x)

Déterminer graphiquement l ’image de 0,5 par la fonction f.

On place 0,5 sur l ’axe des abscisses

On recherche l ’ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse 0,5

0,5

-0,8

Ici, on trouve -0,8

Réponse:

L’ image de 0,5 par f est -0,8

Déterminer graphiquement une imageDéterminer graphiquement une image


Déterminer graphiquement l ’image de 3 par la fonction f.

On place 3 sur l ’axe des abscisses

On recherche l ’ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse 3

3

0,6

Ici, on trouve 0,6

Réponse:L’ image de 3 par f est 0,6



Déterminer graphiquement l ’image de 2,5 par la fonction f.

On place 2,5 sur l ’axe des abscisses

On recherche l ’ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse 2,5

2,5

0,5

Ici, on trouve 0,5


Réponse:


L’ image de 2,5 par f est 0,5

Déterminer graphiquement l ’image de 0 par la fonction f.

On place 0 sur l ’axe des abscisses

On recherche l ’ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse 0

0

-1

Réponse:

Ici, on trouve -1



l’ image de 0 par f est -1

Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de 1 par la fonction f. D ’abord un peu de syntaxe ...

Il se peut que 0,5 ait un UNIQUE antécédent

Il se peut que 0,5 ait PLUSIEURS antécédents

Il se peut que 0,5 n ’ait AUCUN antécédent

Déterminer graphiquement un antécédentDéterminer graphiquement un antécédent

On place 1 sur l ’axe des ordonnées puis ...On recherche l ’abscisse du point de la courbe qui a pour ordonnée 1Ici, on trouve -1

Réponse:

Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de 1 par la fonction f.



L’ antécédent de 1 par f est -1

On place 0,5 sur l ’axe des ordonnées

On recherche la ou les abscisses du ou des points de la courbe qui ont pour ordonnée 0,5

2,5

0,5

Ici, on trouve -0,9 et 2,5

Réponse:


Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de 0,5 par la fonction f.

Les antécédents de 0,5 par f sont -0,9 et 2,5

-0,9


On place -0,5 sur l ’axe des ordonnéesOn recherche la ou les abscisses du ou des points de la courbe qui ont pour ordonnée -0,5

0,8

-0,5

Ici, on trouve -0,5 et 0,8


Réponse:

Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de -0,5 par la fonction f.

-0,5


Les antécédents de 0,5 par f sont -0,5 et 0,8

On place 1,5 sur l ’axe des ordonnées

On recherche l ’abscisse du point de la courbe qui a pour ordonnée 1,5

1,5

Il n ’y a aucun point de la courbe qui convienne !!!


Réponse:

Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de 1,5 par la fonction f.


1,5 n ’a pas d ’antécédent par la fonction f

Déterminer graphiquement le maximum de la fonction f.


On lit l ’ordonnée de ce point ; c ’est le maximum

3 est le maximum de f


3

Réponse:


Déterminer graphiquement un maximumDéterminer graphiquement un maximum

Déterminer graphiquement le maximum de la fonction f.



1 est le maximum de f


2

Réponse:



Déterminer graphiquement le maximum de la fonction g.



3 est le maximum de g

On peut préciser: il est atteint pour x =1

3

Réponse:



Déterminer graphiquement le minimum de la fonction f.


On lit l ’ordonnée de ce point ; c ’est le minimum

-1 est le minimum de f

On peut préciser: il est atteint pour x = -1

-1

Réponse:

-1Essayez de trouver la Essayez de trouver la

réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer

Déterminer graphiquement un minimumDéterminer graphiquement un minimum

Déterminer graphiquement le minimum de la fonction f.



-1,2 est le minimum de f


Réponse:



Déterminer graphiquement le minimum de la fonction g.



-1 est le minimum de g

On peut préciser: il est atteint pour x =1

-1

Réponse:


-1


Déterminer quand la fonction f est décroissante.

On regarde quand la courbe « descend » puis ...

On donne l ’intervalle ou (les intervalles) des valeurs des abscisses correspondantes

-1,2

l ’intervalle [-1,2 ; 1]

Réponse:

La fonction f est décroissante sur l ’ intervalle [ -1,2 ;1 ]

1

Déterminer le sens de variationDéterminer le sens de variation


Déterminer quand la fonction f est croissante.

On regarde quand la courbe « monte » puis ...


3,2

l ’intervalle [ 1 ; 3,2 ]

Réponse:

La fonction f est croissante sur l ’ intervalle [1 ; 3,2 ]

1



Déterminer les variations de la fonction f.

3,2

Réponse:

La fonction f est croissante sur l ’ intervalle [1 ; 3,2 ]

-1,2

La fonction f est décroissante sur l ’ intervalle [ -1,2 ;1 ]

et

1

C ’est déterminersur quels intervalles la

fonction f est décroissante, sur quels intervalles la

fonction f est croissante, sur quels intervalles la

fonction f est constante.


Déterminer les variations de la fonction f.

3,2-1,2 1

On peut réunir ces informations dans un

tableau de variation.

x

f(x)

-1,2 1 3,2

3,8

3,8

-1

3,8


-1

Déterminer le sens de variation de la fonction f tracée ci-contre.

3 5 119 130

La fonction f est décroissante sur les intervalles [ 3 ;5 ] et [ 11 ; 13 ]

la fonction f est constante sur l ’ intervalle [ 9 ;11 ]et

et

La fonction f est croissante sur les intervalles [ 0 ;3 ] et [ 5 ; 9 ]Réponse:

C ’est déterminersur quels intervalles la

fonction f est décroissante, sur quels intervalles la

fonction f est croissante, sur quels intervalles la

fonction f est constante.



Donner le tableau de variations de la fonction f tracée ci-contre.

3 5 119 130

0 3 5 9 11 13x

9

21

3

f(x)

Ici on indique les valeurs des abscisses où les variations changent

là on indique par des flèches les variations de la fonction

Enfin les valeurs des ordonnées atteintes par la courbe

0

2

1

9 9

3



Déterminer quand la fonction f est décroissante.

On regarde quand la courbe « descend »


-3

-1

3

l ’intervalle [-3;-1] l ’intervalle [1;3]

Réponse:

La fonction f est décroissante sur les intervalles [ -3 ;-1 ] et [ 1 ; 3 ]



Déterminer quand la fonction f est croissante.

On regarde quand la courbe « monte »


-1

l ’intervalle [-1;1]

Réponse:

La fonction f est croissante sur l ’ intervalle [ -1 ;1 ]



Déterminer le sens de variation de f.

Réponse:

La fonction f est décroissante sur les intervalles [ -3 ;-1 ] et [ 1 ; 3 ]

la fonction f est croissante sur l ’ intervalle [ -1 ;1 ]et

-3 -1 3Essayez de trouver la Essayez de trouver la

réponse avant de cliquerréponse avant de cliquer


Donner le tableau de variation de f.

Réponse:

-3 -1 3



-3 -1 1 3x

f(x)

1

-1

3

1

Soit la fonction f (x) = x2 + 1

Tracé de la fonction

Pour tracer une fonction il faut placer des points dans un repère.

Un point est désigné par 2 coordonnées :

- une abscisse (horizontale ) représentée par la lettre x

- une ordonnée (verticale ) représentée par f(x) ou y

Comment déterminer les coordonnées des points ?

On complète un tableau de valeurs

Ici on choisit des valeurs de x

f (x) = x2 + 1 pour x entre –2 et 2



xIci on choisit des valeurs de x




x

f(x)


Ici on calcule les valeurs de f (x)



x

f(x)


On choisit des valeurs de x faciles

-2 -1 -0,5 0 0,5 1 2



x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x)


On calcule les valeurs de la deuxième ligne



x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x)


On remplace le x par –2 dans la formule



x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x)


f (-2) = (-2)2 + 1

= 5



x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x)


f (-2) = (-2)2 + 1

= 5

5



x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x) 5


On remplace x par –1 dans la formule



x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x) 5


f(-1) = (-1)2 + 1

= 2



x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x) 5


f(-1) = (-1)2 + 1

= 2

2



x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x) 5 2


f(-0,5) = (-0,5)2 + 1

= 1,25



x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x) 5 2


f(-0,5) = (-0,5)2 + 1

= 1,25

1,25



x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x) 5 2 1,25 1 1,25 1 5


Comment tracer la courbe ?

x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5

f (x) = x2 + 1

On trace un repère

On indique l’échelle

x

f(x)

0 0,5

1

1-0,5On place les points

x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5

f (x) = x2 + 1

x0

1

On place ce point de coordonnées -2 et 5

0,5 1-0,5

f(x)

x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5

f (x) = x2 + 1

x0

1

0,5 1-0,5-2

f(x)


x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5

f (x) = x2 + 1

x0

1

0,5 1-0,5-2

5 f(x)


x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5

f (x) = x2 + 1

x0

1

0,5 1-0,5

f(x)


x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5

f (x) = x2 + 1

x0

1

0,5 1-0,5

f(x)

-1


x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5

f (x) = x2 + 1

x0

1

0,5 1-0,5

f(x)

-1

2


x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5

f (x) = x2 + 1

x0

1

0,5 1-0,5

f(x)

On place ce point de coordonnées –0,5 et 1,25

x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5

f (x) = x2 + 1

x0

1

0,5 1-0,5

f(x)

1,25

On place ce point de coordonnées –0,5 et 1,25

x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5

f (x) = x2 + 1

x0

1On fait cela pour tous les points

0,5 1

f(x)

x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x) 5 2 1,25 1 1,25 2 5

f (x) = x2 + 1

x0

1On relie les points à la main

0,5 1

f(x)

Résolution d’équations de type

f(x) = m

Placer le nombre m sur l’axe des ordonnées

Tracer la droite d’équation y = m

Chercher les points d’intersection de la droite avec la représentation graphique de la fonction f

Les solutions de l’équation sont les abscisses de ces points

Les solutions de l’équation sont les abscisses de ces points

f(x) = m, a donc graphiquement trois solutions

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