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VILLE DE LIEGE INSTITUT DE TRAVAUX PUBLICS Enseignement de promotion sociale Mathématiques orientées construction Notes de cours provisoires Jean-Luc Becker

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VILLE DE LIEGE INSTITUT DE TRAVAUX PUBLICS Enseignement de promotion sociale

Mathématiques orientées construction

Notes de cours provisoires

Jean-Luc Becker

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Trigonométrie

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Mathématiques orientées construction - trigonométrie

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1. Nombres trigonométriques des angles aigus Soit un angle aigu quelconque. Construisons un triangle rectangle contenant cet angle.

1.1. Définitions

On appelle SINUS d’un angle aigu α le rapport entre le côté opposé à l’angle et l’hypoténuse, COSINUS de cet angle α le rapport entre le côté adjacent à l’angle et l’hypoténuse, TANGENTE le rapport entre le côté opposé à l’angle et le côté adjacent à l’angle, et COTANGENTE le rapport entre le côté adjacent à l’angle et le côté opposé à l’angle. En résumé :

sin cosα α α= = =

coté opposé coté adjacent coté opposécoté adjacenthypotenuse hypotenuse

tg

On peut facilement montrer à l’aide des triangles semblables que ces nombres sont indépendants du triangle rectangle choisi. Ces nombres ne dépendent donc que de l’angle α ( ou de son amplitude ) et son appelés nombres trigonométriques de l’angle aigu αααα.

Avec les notations du triangle ci-dessus, on a donc

sin $ cos $ $ sin $ cos $ $Cca

Cba

tg Ccb

ba

Bca

tg Bbc

= = = = = =B

1.2. Propriétés En observant les définitions et le tableau des valeurs ci-dessus, on voit de suite que :

( ) ( )sin $ cos $ cos $ sin $ cos $ cos $B C B C B C= = °− = = °−90 90

Le théorème de Pythagore a une conséquence remarquable appelée relation fondamentale de la trigonométrie. En effet, on a

( ) ( )

AB AC BC

ABBC

ACBC

ABBC

ACBC

² ² ²

²²

²²

sin cos

+ =

+ =

+

=

+ =

1

1

1

2 2

2 2α α

ce que les mathématiciens écrivent souvent

sin² cos²α α+ = 1

A

B

C

α

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Mathématiques orientées construction - trigonométrie

4

2. Unités de mesure des angles 2.1. Le degré

Le degré est par définition la nonantième partie de l’angle droit. Ainsi, un angle plat a pour mesure 180°. Le degré est subdivisé en 60 minutes et une minute en 60 secondes : 1° = 60’, 1’ = 60’’, donc 1° = 3600’’. Notons cependant qu’en pratique, on utilise de moins en mois les degrés-minutes-secondes au profit des degrés décimaux. 2.2. Le grade Le grade est par définition la centième partie de l’angle droit. Ainsi, un angle plat a pour mesure 200 g. Le grade est subdivisé décimalement comme beaucoup d'autres unités du système international. Notons cependant un sous-multiple du grade souvent utilisé en topométrie : le décimilligrade (dmg) qui vaut bien entendu un dix-millième de grade :

1 dmg =1

10000g g g= =−10 0 00014 ,

2.3. Relation entre les unités

La relation entre ces deux unité découle d'une simple règle de trois. En effet, on a

100 g = 90° ⇔ 1 g = 0,9° ⇔ 1° = 109

g

3. Formulaire

3.1. Triangles rectangles $ $ $

s in $ c o s $

s in $ c o s $

$ c o t $

$ c o t $

A B C g

Bba

C

Cca

B

t g Bbc

g C

t g Ccb

g B

a b c

+ + + =

= =

= =

= =

= =

= +

2 0 0

2 2 2

3.2. Triangles quelconques

$ $ $

sin $ sin $ sin $

cos $

cos $

cos $

A B C g

a

A

b

B

c

C

a b c bc A

b c a ca B

c a b ab C

+ + =

= =

= + −

= + −

= + −

200

2

2

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

A

B

C

a

b

c

A

B C a

b c

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Mathématiques orientées construction - trigonométrie

5

4. Exercices 1/ Un point O est situé à 5 m au-dessus du plan horizontal α passant par le pied d’une tour. De 0, on voit le sommet de la tour sous un angle de 55 g au-dessus de l’horizontale passant par O et le pied sous un angle de 11 g au-dessous de la même horizontale. Calculer la hauteur de la tour.

55g

11g

5,0

0

H ?

2/ Un observateur est à 30 m du pied d’une tour verticale de 25 m de hauteur. On demande sous quel angle il voit la tour, son œil étant à 1 m 50 du sol supposé horizontal.

?

25

,00

30,00

1,5

0

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Mathématiques orientées construction - trigonométrie

6

3/ Deux observateurs, distants de 1750 m sur une horizontale, mesurent au même instant les angles d’élévation d’un point remarquable d’un nuage, lorsque celui-ci traverse le plan vertical de la base d’observation; ils trouvent 80 g et 93 g. Quelle est la hauteur du nuage, si celui-ci passe entre les deux observateurs ?

80g 93g

1750

4/ Une personne placée au bord d’une rivière voit dans une direction perpendiculaire à la rivière, un arbre planté sur la rive opposée sous un angle de 53 g; elle recule de 50 m et cet angle n’est plus que de 20 g. Quelle est la hauteur de l’arbre et la largeur de la rivière?

50,00

53g

20

g

?

?

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5/ Sur un terrain horizontal, on observe une tour sous un angle d’élévation de 78,6434 g. En reculant de 37,84 mètres, on observe alors la tour sous un angle d'élévation de 31,3733 g. Quelle est la hauteur de la tour sachant que l’observation a été faite à 1,55 m du sol?

37,84

78,6

434g

31,

373

3g

?

1,5

5

6/ Un bateau quitte son embarcadère pour prendre le large. Sachant que sa plus haute structure est 42 mètres au dessus du niveau de l’eau et que le rayon de la terre est de 6378 km, à quelle distance du rivage le paquebot disparaîtra-t-il à l’horizon ?

?

42

m6

37

8 k

m

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Mathématiques orientées construction - trigonométrie

8

7/ Du sommet S d’une colline de hauteur H, on observe deux points X et Y dans la plaine. Déterminer la distance d entre les points X et Y sachant que les lignes de visée SX et SY forment respectivement des angles α et β avec l’horizontale en S et que SX et SY forment une angle γ. Calculer la distance d sachant que α = 28,5741 g, β = 26,2957 g, γ = 73,2051 g et H = 290 m.

8/ Un géomètre se trouve sur le bord d’une rivière à 63 m du pied d’un pylône d’un pont suspendu et observe le sommet de ce pylône sous un angle d'élévation de 44,5254 g par rapport à l’horizontale. Un pylône identique, situé sur l’autre rive, est vu sous un angle d'élévation de 12,6298 g. Calculer la portée du pont sachant que l’écart entre les deux pylônes se voit sous un angle horizontal de 84,6377 g.

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Mathématiques orientées construction - trigonométrie

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9/ Deux observateurs au sol sont situés dans l’axe d’un couloir aérien à une distance de 1 km l’un de l’autre. A l’approche d’un avion, ces observateurs notent au même moment l’angle d’élévation de l’avion par rapport à l’horizon ( l’avion n’est pas entre les observateurs). L’observateur le plus proche de l’avion mesure 62,2875 g tandis que l’autre 34 g. Sachant que l’avion passe au-dessus du premier observateur 4 secondes plus tard, calculer sa vitesse horaire et son altitude.

34g

62,2875g

1 km

10/ D’un point P d’une plaine, on vise les sommets A et B de deux collines. La colline de sommet A est située au Nord-Ouest de P, a une altitude de 250 mètres et est vue sous un angle d'élévation de 70,4833 g. La colline de sommet B est située au nord-est de P, a une altitude de 525 mètres et est vue sous un angle d'élévation de 73,7133 g. Quelle est la distance horizontale entre A et B (estimée d’après une carte) et la distance réelle entre A et B ?

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Mathématiques orientées construction - trigonométrie

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11/ On observe au NO une antenne de radio. Après avoir progressé vers le NE sur 3055 m, on observe l’antenne plein ouest sous un angle d'élévation de 8,6403 g. Quelle est la hauteur de l’antenne si elle est vue à 1,4 m du sol ?

12/ On observe un réservoir sphérique depuis une base AB longue de 53 m. Les visées horizontales tangentes à ce réservoir issues de A forment avec AB des angles de 33,6313 g et de 63,3547 g; celles issues de B des angles de 43,8206 g et de 79,4406 g. Quel est le volume de ce réservoir ?

33,6

313

g

63,3

547g

43,

8206g

79,4

406g

53,00

A B

C

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Géométrie descriptive (méthode des plans cotés)

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Mathématiques orientées construction – géométrie descriptive

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1. Introduction La géométrie cotée a pour but de représenter dans un seul plan n'importe qu'elle figure déterminée géométriquement dans l'espace. Ce plan unique est appelé plan horizontal de comparaison. Dans la pratique, ce mode de représentation est utilisé en topographie et en cartographie, pour dessiner le tracé des routes et des canaux par exemple. 1.1. Plan de comparaison

Le plan de comparaison est habituellement un plan horizontal au sens physique du terme. Il partage l'espace en deux régions, à savoir : • une région positive, située par convention au-dessus de ce plan; • une région négative, située au-dessous de ce plan. Un point de l'espace est défini par sa projection sur le plan de comparaison et par sa cote, nombre réel dont la valeur absolue est donnée par la distance du point au plan de comparaison, et du même signe que la région dans laquelle se trouve le point. Un point du plan de comparaison a évidemment une cote nulle. Le plan de comparaison est souvent appelé plan coté parce que on y inscrit les cotes des points projetés. Nous le désignerons par H0. 1.2. Echelle numérique Dans la pratique, les objets représentés ont des dimensions très grandes par rapport à la feuille de dessin. Il y a donc lieu de réduire toutes les longueurs dans un même rapport. De cette manière, la figure obtenue sur la feuille de dessin sera semblable à celle existant dans la réalité; c'est l'épure de la figure de l'espace. Le rapport entre la représentation d'une longueur et la longueur réelle porte le nom d'échelle numérique. On utilise habituellement les échelle 1/2, 1/5, 1/10, 1/20, 1/100, 1/1000, 1/2500.

A

B

C

Ah Ch Ch(60)

Bh(0)

Ah(-100)

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1.3. Echelle graphique L'échelle graphique d'un plan coté est l'échelle de reproduction employée pour représenter les longueurs des segments en projection horizontale.

0 1 2 3 4 5 6

Elle doit toujours accompagner l'épure. Pour la construire, on se donne une unité arbitraire que l'on porte plusieurs fois bout à bout sur une droite. On numérote 0, 1, 2, 3 ... de gauche à droite les points obtenus. Pour mesurer les longueurs au dixième près, on porte à gauche de 0 l'unité choisie que l'on divise en 10 parties égales. Ce petit segment gradué porte le nom de talon.

2. Etude de la droite 2.1. Représentation de la droite Une droite étant définie dès que l'on connaît deux de ses points, il suffit donc pour en dresser l'épure de tracer les projections de deux points quelconques de la droite. Il s'en suit qu'une droite est parfaitement déterminée par les projections de deux de ses points A et B.

Une droite horizontale est parallèle au plan horizontal de projection. Tous ses points ayant la même cote, elle est représentée par sa projection et la cotes de ses points. Observons que tout segment AB pris sur cette droite horizontale est vu en vraie grandeur en projection horizontale. Une droite verticale est perpendiculaire au plan horizontal de projection. Tous les points de cette droite se projettent en un seul point qui est le point de percée de la droite dans le plan horizontal de projection. On la représente par ce point sans cote.

2.2. Rabattement d'un plan vertical sur le plan horizontal de comparaison

2.2.1 Figure de l'espace Le plan vertical α, perpendiculaire au plan horizontal de comparaison, se représente par sa trace αh sur le plan horizontal de comparaison. Une petite flèche, menée

A B

Ah Bh

v

h

Ah(7,5)

Bh(5,3)

hh(2,5) vh

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perpendiculairement à la trace αh du plan vertical α, indiquera le sens du rabattement. L'intersection du plan vertical α avec le plan horizontal de comparaison est appelée charnière du rabattement. Les points situés au-dessus du plan horizontal de comparaison, c'est-à-dire les points de cotes positives, se rabattront dans le sens de la flèche; les autres dans le sens opposé à celui de la flèche. En pratique, un tel rabattement ne s'effectue pas dans le plan horizontal de comparaison mais plutôt dans un plan horizontal de cote donnée. L'intersection du plan vertical α avec le plan horizontal sur lequel on rabat est la charnière du rabattement; sa projection est confondue avec la trace du plan α. Ici encore, une petite flèche, menée perpendiculairement à la trace αh du plan vertical α, indiquera le sens du rabattement. Les points situés au-dessus du plan horizontal sur lequel on rabat, c'est-à-dire les points de cotes supérieures à la cote de ce plan, se rabattront dans le sens de la flèche; les autres dans le sens opposé à celui de la flèche.

2.2.2. Epure

Effectuons à titre d'exemple un rabattement sur un plan horizontal de cote 3.

0 1 2 3 4 5 6

2,40,7

α

αh

A

Ah

Ar

Arh

Ah(5,4)

Arh

αh Bh(2,3)

Brh

A'

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La distance |AA'| entre le point A de cote 5,4 et ce plan est alors de 5,4 - 3 = 2,4. Lors du rabattement, le point A subit une rotation et décrit un cercle dans un plan vertical perpendiculaire à la charnière dont la trace sur le plan horizontal de comparaison est perpendiculaire à la trace αh du plan α que l'on rabat. Ce cercle est centré sur la charnière et de rayon |AA'| = 2,4. De plus, le point A est situé au dessus du plan sur le quel on rabat, on reporte donc la distance |AA'| dans le sens de la flèche et perpendiculairement à αh, puisque |A'Ar| se projette en vraie grandeur suivant |AhAh

r|. Pour le point B de cote 2,3, on procède évidemment de même en reportant 2,3 - 3 = -0,7 unité graphique, c'est-à-dire 0,7 unité graphique perpendiculairement à αh mais dans le sens contraire de la flèche. 2.2.3 Vraie grandeur d'un segment de droite

0 1 2 3 4 5 6

2,4

Soit un segment [AB] dont on connaît les projections et cotes des extrémités. On se propose de calculer la vraie grandeur du segment [AB]. Pour ce faire, faisons passer un plan vertical α par AB. Rabattons ce plan vertical sur le plan horizontal de comparaison. Après rabattement, le segment [AB] se trouve en [Ar

h Brh]. Constatons que ce segment [Ar

h Brh]

est l'hypoténuse du triangle rectangle ArhIr

hBrh.

Il en résulte la règle :

La distance entre deux points A et B est donnée par l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont respectivement la distance entre les projections de ces points et la différence entre les cotes des points.

2.3. Pente, angle de pente et échelle de pente d'une droite

2.3.1. Angle de pente

On appelle angle de pente d'une droite l'angle aigu formé par cette droite et sa projection sur le plan horizontal de comparaison . On le note souvent θ.

A

B

I

Arh

Brh

Irh

Brh

Bh (5,5)

Ah (3,1) VG

A

Ah P

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2.3.2. Pente d'une droite Rappelons que par définition, la pente d'une droite est le rapport entre la différence d'altitude et la distance des projections de deux quelconques de ses points. Sur la figure

ci-dessus, la pente peut être donnée par le rapport AA

PA

h

h. La trigonométrie nous dit de plus

que ce rapport vaut aussi la tangente de θ : pente d'une droite = tg θ

2.3.3 Echelle de pente d'une droite

L'échelle de pente d'une droite est la projection sur le plan horizontal de comparaison d'une suite de points de cote entière de cette droite. La distance séparant les projections horizontales de deux points dont la cote diffère de 1 unité s'appelle l'intervalle, souvent noté i. En prenant comme points A de cote 0 et B de cote 1, on voit de suite que la pente s'écrit BB

A B i

h

h h=

1 . L'intervalle est donc l'inverse de la

pente : pente tgi

= =θ1

Il résulte de toutes ces considérations qu'une droite est parfaitement définie : • par la connaissance de deux de ses points; • par la connaissance de sa projection, de sa pente, d'un de ses points et de son sens

ascendant (sens suivant lequel croissent en projection les cotes de ses points); • par son échelle de pente.

2.4. Problèmes divers concernant la droite

2.4.1. Une droite étant connue par les projections et les cotes de deux de ses points, déterminer son échelle de pente.

0

1

2

3

4

5

A=Ah

B

Bh(1)

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Considérons par exemple une droite dont on connaît les point A de cote 2,2 et B de cote 5,7. Désignons par β le plan vertical passant par A et B et rabattons ce plan sur le plan horizontal α de cote 2,2. La charnière du rabattement est la droite AI, intersection de α et β. Elle est horizontale et donc parallèle à AhBh. Sa projection est donc confondue avec AhBh. De plus, le plan α étant horizontal, tout ce qu'il contient se projette en vraie grandeur sur le plan horizontal de comparaison. Pour conclure, il reste à remarquer que les différences d'altitude des points de cote entière de la droite AB se retrouvent en vraie grandeur sur IB, donc sur BhBh

r, ce qui donne l'épure suivante :

2.4.2. Porter sur une droite à partir d'un de ses points un segment de longueur

donnée.

Ah(2,2)

Ch(3)

Dh(4)

Eh(5)

Bh(5,7)

A

B

C

D

E

Cr Dr Er Br

I

α

Crh Dr

h Erh Br

h Ah

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0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

5

1,3

2

La droite est donnée par son échelle de pente. Portons y un segment de longueur 2 à partir du point A de cote 1,3. pour ce faire, il suffit de rabattre la droite sur le plan horizontal de comparaison (ou tout autre plan horizontal), de porte la longueur donnée (ici, 2) en vraie grandeur à partir du point rabattu, puis de remonter sur la droite. 2.4.3. Connaissant la projection d'un point d'une droite définie par son échelle de

pente, trouver la cote de ce point. Cette cote s'obtient soit par lecture directe sur l'échelle de pente de la droite, quitte à effectuer une subdivision décimale d'un intervalle; soit en rabattant dans un plan horizontal et en lisant la différence des cotes sur l'échelle graphique. 2.5. Positions relatives de deux droites 2.5.1 Droites sécantes

Pour que deux droites soient sécantes, il faut et il suffit que leurs projections soient sécantes en un point ayant la même cote sur chacune d'entre elles.

En pratique se pose alors le problème suivant : comment reconnaître en épure si deux droites sont sécantes. trois cas sont possibles :

Ah(1,3)

Ahr

Bhr

Bh

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• les échelles de pente sont sécantes. il suffit alors de vérifier que leur point d'intersection a la même cote sur chacune des droites.

• les échelles de pente ne se coupent pas dans les limites de l'épure.

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

5

ah

bh

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Dans ce cas, si les deux droites se coupent, elles définissent un plan. Ce même plan peut être défini par deux autres droites sécantes AB et CD. Choisissons A et B sur une des droites et C et D sur l'autre, de manière que l'intersection de leurs échelles de pente soit sur l'épure. On détermine ensuite l'échelle de pente de ces deux nouvelles droites (plus facilement si on a choisi comme points A,B,C et D des points de cotes entières) et on est ramené au cas précédent. • les échelles de pente sont confondues. Dans ce cas les deux droites sont dans un même

plan vertical et il suffit de rabattre ce plan vertical sur un plan horizontal.

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4 0

1

23

45

2.5.2. Droites parallèles

Deux droites, données par leurs échelles de pente, sont parallèles, si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites : • leurs échelles de pente sont parallèles, • les intervalles de leurs échelles de pente

sont égaux, • les cotes croissent dans le même sens.

Ihr

Ih

ah

bh

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On peut grâce à ce théorème résoudre simplement et rapidement le problème suivant : mener par un point donné une droite parallèle à une droite donnée par son échelle de pente.

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6

3. Etude du plan 3.1. Déterminations du plan

La géométrie nous enseigne qu'un plan est parfaitement déterminé par

• deux droites sécantes, • deux droites parallèles, • une droite et un point extérieur à celle-ci, • trois points non en ligne droite.

3.2. Horizontale d'un plan

On appelle horizontale d'un plan toute droite de ce plan qui est parallèle au plan horizontal de comparaison. Pour les obtenir, il suffit de couper ce plan par des plan horizontaux. On en déduit qu'elles sont toutes parallèles entre elles.

3.3. Droite de plus grande pente d'un plan

On appelle droite de plus grande pente d'un plan, toute droite de ce plan qui forme avec le plan horizontal de comparaison le plus grand angle possible. Rappelons que l'angle entre une droite et un plan est l'angle entre cette droite et sa projection orthogonale sur ce plan.

H0

H1

H2

α h2

h1

h0

ah

bh

Ah(3)

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Mathématiques orientées construction – géométrie descriptive

22

On démontre alors l'important théorème suivant.

De toutes les droites d'un plan, celles ce plus grande pente sont celles qui sont perpendiculaires aux horizontales de ce plan.

Il en découle qu'un plan quelconque contient une infinité de droites de plus grande pente qui sont toutes perpendiculaires aux horizontales du plan, donc parallèles entre elles.

3.4. Echelle de pente d'un plan On appelle échelle de pente d'un plan l'échelle de pente de ses droite de plus grande pente. On la représente comme ci-contre par deux traits parallèles et rapprochés, ou bien par une droite graduée se terminant par un trait renforcé. On annote en général l'échelle de pente du plan α du sigle (α).

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

En vertu du théorème précédent, les horizontales du plan sont perpendiculaires à ses droites de plus grande pente. Comme les droites de plus grande pente du plan sont parallèles entre elles, la connaissance d'une de celles-ci permet de déterminer deux horizontales quelconques du plan, donc le plan lui-même. D'autre part, un théorème de géométrie dans l'espace stipule qu'un angle droit se projette sur un plan suivant un angle droit si et seulement si un de ses côtés au moins est parallèle au plan de projection. Il en résulte que les projections horizontales des horizontales du plan sont perpendiculaires à l'échelle de pente du plan. Un plan est donc parfaitement déterminé par la connaissance de son échelle de pente. 3.5. Problèmes divers

3.5.1. Echelle de pente d'un plan donné par deux droites sécantes Soient a et b deux droites sécantes en P de cote 2 et données par leur échelle de pente. Si nous joignons les points de cote 3, 4, ..., nous obtenons des horizontales de cote 3, 4, ... du plan formé par a et b. Pour obtenir l'échelle de pente de ce plan , il suffit de mener une perpendiculaire à ces horizontales.

(α)

(α)

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Mathématiques orientées construction – géométrie descriptive

23

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

0

1

3

4

5

3.5.2. Echelle de pente d'un plan déterminé par une droite et un point extérieur à

celle-ci Soient une droite a donnée par son échelle de pente et un point A de cote 1. Joignons A au point de cote 1 de a. Nous obtenons une horizontale de cote 1 du plan donné. Pour obtenir les autres horizontales de ce plan, il suffit de mener les parallèles à celle de cote 1 déjà trouvée par les points de cote 2, 3, ... de la droite a, et de conclure comme ci-dessus.

0 1 2 3 4 5 6

2

0

1

3

4

5

ah

bh

Ah(1)

ah

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Mathématiques orientées construction – géométrie descriptive

24

3.5.3. Echelle de pente d'un plan déterminé par trois points non alignés

Il suffit de déterminer les échelles de pente de deux des trois droites passant par ces trois points; on est alors ramené au cas 3.5.1. 3.5.4. Echelle de pente d'un plan déterminé par deux droites parallèles Ici encore, on procède comme au cas 3.5.1. en joignant les points de même cote de chacune des deux droites, ce qui nous fournit des horizontales du plan, donc son échelle de pente. 3.5.5. Echelle de pente d'une droite d'un plan donné par son échelle de pente Soient un plan α donné par son échelle de pente et une droite a de ce plan dont on connaît la projection horizontale. Pour déterminer l'échelle de pente de a, il suffit de tracer des horizontales de α en menant des perpendiculaires à son échelle de pente. Les points d'intersections de ces horizontales avec la projection de a nous donnent des points de cote entière de a, donc son échelle de pente.

0 1 2 3 4 5 6

2

0

1

3

4

5

3.5.6. Cote d'un point de projection horizontale connue situé sur un plan donné par

son échelle de pente Si nous menons par la projection du point A une perpendiculaire à l'échelle de pente du plan α, nous obtenons la projection de l'horizontale de ce plan passant par A. La cote de A se lit alors directement sur cette échelle de pente.

(α)

ah

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Mathématiques orientées construction – géométrie descriptive

25

0 1 2 3 4 5 6

2

0

1

3

4

5

3.6. Droites et plans parallèles

Si deux plans sont parallèles, leurs droites de plus grande pente sont parallèles.

Il découle de ce théorème et de la propriété du paragraphe 2.5.2. que

Deux plans, donnés par leurs échelles de pente, sont parallèles, si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites : • leurs échelles de pente sont parallèles, • les intervalles de leurs échelles de pente

sont égaux, • les cotes croissent dans le même sens.

Notons le cas particulier des plans verticaux : deux plans verticaux sont parallèles si et seulement si leurs traces sont parallèles.

Ah

(α)

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Mathématiques orientées construction – géométrie descriptive

26

3.7. Problèmes divers 3.7.1. Par un point donné, mener un plan parallèle à un plan donné par son échelle de pente Vu ce qui précède, il suffit de translater l'échelle de pente du plan donné de manière que la cote du point donné coïncide avec la graduation correspondante de l'échelle de pente du plan cherché.

1

0 1 2 3 4 65

0

1

2

3

4

5

3.7.2. Etant données deux droites gauches, mener par une de ces droites un plan parallèle à l'autre. Soient deux droites gauche a et b. Menons par b le plan parallèle à la droite a. Pour ce faire, il suffit de mener par un point de b la parallèle a' à la droite a. Le plan formé par a' et b répond alors à la question. Son échelle de pente se détermine comme en 3.5.1.

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

5

(α)

Ah( )

ah

bh

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Mathématiques orientées construction – géométrie descriptive

27

3.7.3. Par un point donné, mener un plan parallèle à deux droites gauches données.

Soient deux droites gauches a et b données par leurs échelles de pente et un point A de cote 1 par exemple. Pour déterminer le plan cherché, il suffit de mener par A la droite a' parallèle à a et la droite b' parallèle à b. Le plan déterminé par a' et b' répond à la question. son échelle de pente se détermine comme en 3.5.1.

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

5

A

4. Intersection de deux plans 4.1. Figure de l'espace

Soient deux plans quelconques α et β qui se coupent suivant une droite l. Cette droite l sera parfaitement déterminée si nous en connaissons deux points. Pour ce faire, coupons α et β par deux plans horizontaux de cote entière (et éventuellement consécutives), par exemple H1 et H2. Ces deux plans coupent α et β suivant des horizontales, soient respectivement h1, h2, h'1 et h'2. Les horizontales h1 et h'1 se coupent en un point X de cote 1, les horizontales h2 et h'2 en un point Y de cote 2. Nous possédons donc deux points, ainsi que leur cote, de l'intersection l cherchée; ce qui permet aisément d'en déterminer l'échelle de pente.

ah

bh h(1)

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Mathématiques orientées construction – géométrie descriptive

28

4.2. Epure

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6

4.3. Cas particuliers

4.3.1. Les deux plans ont leurs échelles de pente parallèles Dans ce cas, l'intersection est une droite horizontale dont la projection est perpendiculaire aux échelles de pente données. Il suffit donc de trouver un point de cette intersection, qui devra avoir la même cote dans chacun des plans donnés. Pour résoudre ce problème, on utilise la propriété suivante.

Les projections des horizontales, qui s'appuient sur deux droites à projections parallèles, concourent en un même point.

(α)

H1

H2

h1

h2

h'1

h'2

X

Y

α β

H0

(β)

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Mathématiques orientées construction – géométrie descriptive

29

vue de face

vue du dessus

En épure, on détermine alors la projection d'un point de l'horizontale cherchée grâce au théorème ci-dessus, puis on trace la perpendiculaire aux échelles de pente.

0

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

4.3.2. Les deux plans ont leurs échelles de pente confondues Dans ce cas, on se ramène au cas précèdent en remarquant qu'on peut faire glisser une des deux échelles de pente le long d'une horizontale . 4.3.3. L'un des deux plans est vertical

α

(α)

β

(β)

l

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Mathématiques orientées construction – géométrie descriptive

30

Dans ce cas, la projection de l'intersection coïncide avec la trace du plan vertical. Son échelle de pente se détermine comme en 3.5.5.

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31

5. Intersection d'une droite et d'un plan 5.1. Cas général Soit à déterminer le point de percée d'une droite a dans un plan α. Faisons passer par a un plan auxiliaire β de même échelle de pente que la droite a. Nous pouvons déterminer l'intersection l de ces deux plans. Cette droite l coupe la droite donnée a en un point P qui est le point cherché.

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

5

5.2. Cas particuliers

5.2.1. Le plan donné est quelconque, la droite donnée est verticale

Le point de percée P se projette en ah, trace de la droite verticale sur le plan de comparaison. Le problème se ramène donc à déterminer la cote d'un point d'un plan connaissant sa projection horizontale. 5.2.2. Le plan donné est quelconque, la droite donnée est horizontale

Le point P cherché est forcément sur l'horizontale du plan donné de même cote que l'horizontale donnée. Il se trouve alors à l'intersection de ces deux horizontales.

(α)

ah

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Mathématiques orientées construction – géométrie descriptive

32

5.2.3. La droite donnée est quelconque, le plan donné est vertical La projection Ph du point P est l'intersection de la trace αh du plan α avec ah, projection de la droite a. La cote de P s'obtient par lecture directe sur l'échelle de pente de le droite. 5.2.4. La droite donnée est quelconque, le plan donné est horizontal Le point de percé P est le point de la droite donnée de même cote que la cote du plan horizontal donné.

6. Droites et plans perpendiculaires 6.1. Théorème fondamental

Toute droite perpendiculaire à un plan satisfait aux trois conditions suivantes : • la projection de la droite est parallèle à l'échelle de pente du plan: • les intervalles des l'échelle de pente du plan et de l'échelle de pente de la droite sont

inverses l'un de l'autre; • les cotes croissent en sens contraire sur la projection de la droite et la projection du

plan.

6.2. Problèmes divers

6.2.1. Mener par un point la perpendiculaire à un plan donné par son échelle de pente. déterminer le pied de cette perpendiculaire dans le plan donné.

0

1

2

3

4

5

23

45

6

10

1 unité de l'échelle graphique intervalle de la perpendiculaire

0 1 2 3 4 5 6

(α)

Ph(2)

A

B

C

D

ph

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Mathématiques orientées construction – géométrie descriptive

33

Soient α le plan donné et P le point de cote 2 donné. Par Ph, menons la parallèle à l'échelle de pente de α, ce qui nous donne la projection ph de la perpendiculaire cherchée. Sur l'échelle de pente de α, construisons un triangle rectangle ABC dont un des côtés est l'intervalle de l'échelle de pente de α et l'autre 1 unité graphique. Construisons ensuite le triangle rectangle ACD qui admet comme hauteur le segment [BC]. Un théorème

de géométrie plane nous assure alors que BC² = AB . BD, ou encore que BDAB

=1

. La

distance BD est donc l'intervalle de la perpendiculaire cherchée, qu'il suffit de reporter depuis Ph pour obtenir son échelle de pente. Le pied de la perpendiculaire se détermine comme en 5.1. et 4.3.1. 6.2.2. Par un point donné, mener un plan perpendiculaire à une droite donnée par son échelle de pente.

On procède bien évidemment comme ci-dessus. 6.2.3. Par un point donné, mener une droite perpendiculaire à une droite donnée par son échelle de pente.

Pour ce faire, on mène d'abord par le point donné le plan perpendiculaire à la droite donnée. On détermine ensuite le point de percée de la droite donnée dans ce plan. La droite cherchée est celle qui passe par le point donné et le point de percée. 6.2.4. Déterminer la distance d'un point à un plan

Pour ce faire, il suffit d'abaisser la perpendiculaire au plan donné passant par le point donné; et ensuite d'en déterminer le point de percée et enfin de déterminer la vraie grandeur du segment trouvé. 6.2.5. Déterminer la distance d'un point à une droite

Pour ce faire, il suffit de mener par le point donné la perpendiculaire à la droite donnée, puis de déterminer la vraie grandeur du segment joignant le point donné et le point d'intersection des deux droites.

7. Les polyèdres 7.1. Détermination des arêtes visibles et cachées En épure, la détermination de arêtes visibles (tracées en trait plein) et des arêtes cachées (tracées en trait pointillé) repose sur quelques conventions que nous allons définir. On admet que le regard de l'observateur est dirigé dans le long d'une droite verticale orientée vers le plan horizontal de comparaison. Il en résulte que le contour

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Mathématiques orientées construction – géométrie descriptive

34

qui limite la projection horizontale d'un polyèdre (contour apparent) est visible. De plus, lorsqu'une verticale rencontre un polyèdre en deux points M et N, si la cote de M est supérieure à celle de N, nous dirons que M est visible et N caché. De ces diverses conventions, déduisons quelques règles pratiques permettant de déterminer sur une épure les arêtes vues et cachées d'un polyèdre.

• Le contour apparent d'un polyèdre est toujours visible sur le plan horizontal de comparaison.

• Si les projections de plusieurs arêtes concourent en un sommet Sh situé à l'intérieur du contour apparent, toutes ces arêtes seront visibles ou cachées selon que Sh est visible ou caché.

• Si les projections de deux arêtes se coupent à l'intérieur du contour apparent, l'une est visible et l'autre cachée.

7.2. Intersection d'un polyèdre et d'un plan Ce problème peut être résolu de deux manières différentes, à savoir : • en cherchant les points de percée des arêtes du polyèdre dans le plan sécant, nous

trouvons ainsi successivement les sommets de la section; • en déterminant les intersections de chacune des faces du polyèdre avec le plan sécant,

nous trouvons ainsi successivement les côtés de la section. Ces deux méthodes sont longues et peu pratiques. Nous allons exposer sur un exemple un procédé plus rapide pour déterminer la section. 7.2.1. Figure de l'espace Soient une pyramide donnée et un plan sécant quelconque donné. Nous choisirons toujours comme face de départ celle renfermant le plus grand nombre d'arêtes. Soit α le plan de cette face et β le plan sécant donné.

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Mathématiques orientées construction – géométrie descriptive

35

• Déterminons l'intersection l des plans α et β. • Prolongeons les arêtes AB, BC, CD, et AD jusqu'à leur point d'intersection X, Y, Z, et T

avec l. • Déterminons par la méthode classique le point de percée M de l'arête SA avec le plan β

(cette arête est choisie de telle manière que la détermination de son point de percée dans β puisse se trouver facilement).

• Les points X et M appartenant au plan de la face SAB et au plan β, la droite XM est l'intersection du plan de cette face avec le plan β. MN est la partie utile de cette intersection.

• XM étant dans le plan de la face SAB, coupe l'arête SB au point N. Les points Y et N appartenant au plan de la face SBC et au plan β, la droite NY est l'intersection du plan de cette face avec le plan β. NP est la partie utile de cette intersection.

• Les points P et Z appartenant au plan de la face SDC et au plan β, la droite PZ est l'intersection du plan de cette face avec le plan β. PK est la partie utile de cette intersection.

• Les points K et M appartenant au plan de la face SAD et au plan β, la droite KM est l'intersection du plan de cette face avec le plan β.

Afin de vérifier l'exactitude des construction, on remarquera que la droite KM doit passer par le point T. La méthode qui vient d'être expliquée est générale; elle peut s'appliquer au prisme, cube et parallélépipède, ... 7.2.2. Epure

M

S

β

α

A B

C

D

N

P

K

T

Y

Z

X

l

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Mathématiques orientées construction – géométrie descriptive

36

0 1 2 3 4 5 6

2

3

4

5

2

2

3

3

410

2

6

4

8

8. Les rabattements

8.1. Définitions Rabattre un plan β sur un plan horizontal α consiste à faire tourner le plan β autour de son intersection avec le plan α jusqu'à ce qu'il vienne coïncider avec ce dernier. L'intersection des plans α et β s'appelle la charnière. Le but du rabattement est d'amener une figure plane dans une position telle qu'elle soit vue en vraie grandeur. Une figure plane étant définie à partir d'un certain nombre de points, rabattre cette figure revient à rabattre chacun de ces points. Résoudre ce problème revient donc à trouver le rabattement d'un point de la figure considérée.

8.2. Rabattement d'un point d'un plan - géométrie

Sh(9,6)

Ah

Bh

Ch

Dh(1,5)

(β)

(α)

lh

Xh

Yh

Th

Mh Nh

Ph

Kh

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Mathématiques orientées construction – géométrie descriptive

37

Considérons le plan horizontal α sur lequel on rabat et le demi-plan β situé dans la région de l'espace au-dessus du plan α. • On détermine l'intersection ch des plans α

et β (charnière). • Par M, point que l'on désire rabattre, on

mène le plan vertical µ perpendiculaire à la charnière (plan de mouvement).

• Soit I le point de percée du plan µ avec ch (centre de mouvement).

• On détermine l'intersection i du plan µ avec le plan α sur lequel on rabat.

• On détermine la vraie grandeur du segment IM (rayon de mouvement).

• On reporte cette vraie grandeur sur i, dans le sens convenable.

8.3. Sens du rabattement Le sens du rabattement peut être choisi arbitrairement; en général, on est guidé dans ce choix par le souci de disposer les vraies grandeurs des figures étudiées là où l'épure présente le moins de lignes possible. Le sens du rabattement est indiqué par une petite flèche menée perpendiculairement à la projection horizontale de la charnière. Les points de la figure situés au-dessus du plan horizontal sur lequel on rabat se reportent, après rabattement, à partir de la projection horizontale de la charnière et dans le sens de la flèche. Les points de la figure situés en dessous du plan horizontal sur lequel on rabat se reportent, après rabattement, à partir de la projection horizontale de la charnière et dans le sens opposé à celui de la flèche. 8.4. Rabattement d'un point d'un plan - méthode Pour rabattre un point quelconque M d'un plan sur un plan horizontal, on procède comme suit • On détermine la charnière, intersection du plan que l'on rabat avec le plan horizontal sur

lequel on rabat; • On attribue un sens au rabattement, sens que l'on indique par une petite flèche

perpendiculaire à la projection horizontale de la charnière; • Par le point M du plan que l'on désire rabattre, on mène un plan vertical perpendiculaire

à la charnière (plan de mouvement) et l'on désigne par I le point de percée de la charnière dans le plan de mouvement;

• On détermine l'intersection i du plan de mouvement avec le plan horizontal sur lequel on rabat;

• On détermine la vraie grandeur du rayon de mouvement IM;

α

β

ch

M

µ

I i Mr

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Mathématiques orientées construction – géométrie descriptive

38

• On reporte cette vraie grandeur sur i à partir de I, dans le sens convenable. 8.5. Exemple Rabattons par exemple un plan quelconque β défini par son échelle de pente sur un plan horizontal α de cote 1. On se propose de rabattre le point M de cote 4.

2

0

1

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6

8.6. Procédé dit des droites parallèles

Ce procédé est basé sur la propriété suivante : deux droites parallèles a et b ont leurs projections horizontales parallèles et se rabattent suivant des droites parallèles.

Cette remarque nous permet de trouver par parallélisme, à partir du rabattement d'un point d'une figure plane, les rabattements des autres points de la figure. Cette remarque est aussi très utile lors du relèvement d'un point rabattu.

2

0

1

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6

Mh(4)

Chh

(β) Ih(1)

ih µh

Mhr

Nh

Nhr

Mh(4)

Chh

(β) Ih(1)

ih µh

Mhr

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Mathématiques orientées construction – géométrie descriptive

39

9. Talus 9.1. Introduction Dans la pratique, il arrive que l'on doive raccorder un terrain existant avec un nouveau chemin ou une nouvelle route à l'aide d'un talus (en déblai ou en remblai). Les données sont en général la pente du talus (4/4 ou 6/4 par exemple) ainsi que la tracé de l'axe de la nouvelle voirie. Ceci nous amène au problème suivant. 9.2. Mener par une droite donnée un plan de pente donnée

0 1 2 3 4 5 6

2

5

3

5

i

Soit par exemple une droite donné par deux de ses points A de cote 2 et B de cote 5 par laquelle on veut mener un plan de pente 3/5. La pente donné permet de déterminer l'intervalle de pente du plan, soit par calcul

grâce à la relation pente tgi

= =θ1

, soit graphiquement comme indiqué sur la figure ci-

dessus. L'horizontale de cote 2 du plan cherché passe par A et par un point situé en épure à une distance de B égale à 3 fois l'intervalle i. Ce deuxième point est donc sur un cercle de centre B et de rayon 3i. L'échelle de pente du plan cherché est donc la droite passant par B et ce deuxième point. Cette échelle de pente étant perpendiculaire à l'horizontale de cote 2, il s'en suit que cette dernière est tangente au cercle de rayon 3i. Le problème est alors résolu.

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Mathématiques orientées construction – géométrie descriptive

40

10. Exercices On remarquera que ce problème possède deux solutions. Le point supérieur de la droite (ici B) peut être considéré comme le sommet d'un cône droit de révolution dont les génératrices font avec le plan horizontal de comparaison un angle égal à l'angle de pente du plan.

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Géométrie analytique

plane

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Mathématiques orientées construction – géométrie analytique plane

42

1. Repères du plan

Un repère du plan est constitué • d'un point de référence (arbitrairement choisi)

appelé origine du repère et souvent noté O; • d'un ensemble de deux vecteurs non nuls et non

alignés ( )r re e1 2, souvent appelé base du repère.

Nous noterons un tel repère { }O e e; ,r r

1 2 .

Si les vecteurs de la base sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal; si les vecteurs de la base sont de même longueur, le repère dit normé; si les vecteurs de la base sont à la fois perpendiculaires et normés, le repère sera dit orthonormé. Considérons alors un point P quelconque du plan et projetons le sur l'axe ( )1e,O

ren P'

et sur l'axe ( )2e,Or

en P". On a alors les égalités suivantes :

21 eyexOP

"OP'OPOPrr

+=

+=

Cette décomposition de OP suivant les vecteurs de la base est unique. A tout point du plan, on peut donc faire correspondre un et un seul couple de nombres réels et réciproquement. Ce couple (x,y) est appelé coordonnées du point P, qui se note P(x,y) :

21 eyexOP)y,x(Prr

+=⇔

La première coordonnée est appelée abscisse de P et la seconde ordonnée de P. La droite déterminée par O et le vecteur

re1 est un axe ( voir 2.1.) et s'appelle l'axe des abscisses.

Il est souvent noté X. La droite déterminée par O et le vecteur re2 est un axe ( voir 2.1.) et

s'appelle l'axe des ordonnées. Il est souvent noté Y. Avec ces notations, il nous arrivera parfois de parler du repère XOY pour le repère { }O e e; ,

r r

1 2 .

O

re1

re2

P

P'

P"

O

re1

re2

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Mathématiques orientées construction – géométrie analytique plane

43

En procédant de la même manière avec un vecteur (libre ou lié) quelconque, on peut définir la notion de coordonnées d'un vecteur

rv :

r r r rv v v v v e v e( , )1 2 1 1 2 2⇔ = +

On démontre alors le résultat suivant :

Mx x y yA B A B( , )

+ +

2 2

Les coordonnées du milieu d'un segment sont égales à la moyenne arithmétique des coordonnes des extrémités du segment.

2. Produit scalaire 2.1. Définition

Soit

ru et

rv deux vecteurs non nuls. On appelle produit scalaire de ces vecteurs

l'expression

u v u v→ → → →

=. . .cosθ

O

re1

re2

v e1 1

r

v e2 2

r

rv

O

re1

re2

( )A x yA A,

( )B x yB B,

xA xB

yA

yB M

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44

où θ désigne l'angle entre les directions positives des vecteurs ru et

rv . Si l'un des vecteurs

est nul, le produit scalaire est décrété être nul. Remarquons de suite que le produit scalaire de deux vecteurs est positif si θ est aigu et négatif si θ est obtus. On peut donner une autre définition du produit scalaire de deux vecteurs. Pour ce faire, faisons passer par

ru un axe d'origine quelconque mais de même sens que

ru . Faisons

de même pour rv .

En utilisant les relations trigonométriques, on voit alors facilement, que θ soit obtus ou aigu, que le produit scalaire de deux vecteurs

ru et

rv est égal au produit des

MESURES ALGEBRIQUES de ru et de la projection de

rv sur

ru , ou encore au produit

des MESURES ALGEBRIQUES de rv et de la projection de

ru sur

rv :

r ru v OU OV OV OU. . ' . '= = .

2.2. Propriétés 2.2.1. Propriétés algébriques

u v v u→ → → →

=. . u v w u w v w→ → → → → → →

+

= +. . .

u v w u v u w→ → → → → → →

+

= +. . . r u v r u v→ → → →

=

. . .

u r v r u v→ → → →

=

. . .

2.2.2. Condition de perpendicularité

Deux vecteurs non nuls sont perpendiculaires si et seulement si leur produit

scalaire est nul : u v u v→ → → →

⊥ ⇔ =. 0 .

2.2.3. Norme

Puisque v v v→ → →

=.2

, on a v v v v v→ → →

= = +. 12

22

ru

rv

O U

U'

V

V'

θ

ru O U

rv

U'

V

V'

θ

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45

2.2.4. Expression analytique

Remarquons bien que ce qui suit exige un repaire ORTHONORME. Soit deux

vecteurs ( ) ( )u u u et v v v→ →

1 2 1 2, , . On a alors

u v u e u e v e v e u v e e u v e e u v e e u v e e→ → → → → → → → → → → → → →

= +

+

= + + +. . . . . .1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2

et comme e e et e e1 2 1 21→ → → →

= = ⊥ , il vient

u v u v u v→ →

= +. 1 1 2 2

3. Equations vectorielles, paramétriques et cartésiennes de la droite du plan 3.1. Notion d'équation d'une droite

On appelle équation d'une droite toute condition nécessaire et suffisante pour qu'un point du plan appartienne à cette droite. 3.2. Equation vectorielle

Soit d une droite quelconque et A et B deux points distincts sur d. Soit enfin P un point quelconque du plan. On a alors les équivalences suivantes :

AB k AP:k

AB vecteur du multiple est AP vecteur le

AB à parallèle est APdP

=ℜ∈∃⇔

⇔∈

On en déduit donc que AB k AP = est une équation vectorielle de la droite d = AB.

Vocabulaire : 1/ k est appelé paramètre réel.

2/ AB est appelé vecteur directeur de la droite d = AB. Remarque : une droite possède de nombreuses équations vectorielles puisqu'elle possède de nombreux vecteurs directeurs : n'importe quel vecteur déterminé par deux points distincts quelconques de la droite.

P

A

B

d

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46

3.3. Equations paramétriques

Munissons le plan d'un repère { }O e e; ,r r

1 2

et désignons par (x,y) les coordonnées de P , par

( )x yA A, les coordonnées de A et par ( )v v1 2, les

coordonnées du vecteur directeur AB . On a alors les équivalences suivantes :

AB k OAOP

AB k OA-OP

AB k AP

+=

=

=

( )( ) ( )

xe y e x e y e k v e v e

xe y e x kv e y kv e

A A

A A

r r r r r r

r r r r1 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 1 2 2

+ = + + +

+ = + + +

ce qui donne le système d'équations suivant

x x kv

y y kvA

A

= +

= +

1

2

appelé système d'équations paramétriques de la droite d. Le couple ( )v v1 2, , coordonnées

du vecteur directeur, s'appelle un couple de paramètres directeurs de la droite. 3.4. Equations cartésiennes

Pour obtenir une équation cartésienne de la droite d, il suffit d'éliminer le paramètre k du système d'équations paramétriques de d.

On sait que ( )v v1 2, sont les coordonnées d'un vecteur directeur de d, donc que

v1 2 et v ne sont pas nuls tous les deux en même temps ( sinon la droite n'a plus de direction

?! ) Dès lors, trois cas sont possibles : 1/ v1 2 et v sont non nuls : le système d'équations paramétriques peut alors s'écrire :

( ) ( ) ( )x x kv

y y kv

kx x

v

ky y

v

x xv

y yv

v x x v y yA

A

A

A

A AA A

− =

− =

=−

=−

⇔−

=−

⇔ − = −1

2

1

2

1 22 1 *

⇔ − = −

⇔ − − + =

v x v x v y v Y

v x v y v x v yA A

A A

2 2 1 1

2 1 2 1 0;

c'est-à-dire une équation de la forme a x + b y + c = 0, où a (=v2) et b (= -v1) ne sont pas nuls. Remarquons que le vecteur directeur

rv (v1,v2) peut aussi s'écrire

rv (-b,a).

2/ v1 0= : le système d'équations paramétriques peut alors s'écrire :

x x

y y kvx xA

AA

=

= +

⇔ =2

;

O re1

re2

( )A x yA A,

( )P x y,

B ( )21 v,v AB

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47

c'est-à-dire une équation de la forme a x + b y + c = 0, où a = 1, b = 0. Remarquons que dans ce cas la droite est parallèle à l'axe Y puisque son vecteur directeur

rv a pour coordonnées

(0, v2). Remarquons qu'un autre vecteur directeur de la droite d est alors (0,1) = (-b,a). 3/ v2 0= : le système d'équations paramétriques peut alors s'écrire :

x x kv

y yy yA

AA

= +

=

⇔ =1 ;

c'est-à-dire une équation de la forme a x + b y + c = 0, où a = 0, b = 1. Remarquons que dans ce cas la droite est parallèle à l'axe X puisque son vecteur directeur

rv a pour coordonnées

(v2,0). Remarquons qu'un autre vecteur directeur de la droite d est alors (-1,0) = (-b,a). Conclusions :

Tout droite du plan admet pour équation cartésienne une équation de la forme

ax + by + c = 0 , où a et b ne sont pas simultanément nuls.

Si l'équation d'une droite est ax + by + c = 0, cette droite admet comme

vecteur directeur le vecteur de coordonnées (-b,a).

Remarques :

1/ En (*), l'équation obtenue peut aussi s'écrire : ( )y yv

vx xA A− = −2

1

. Nous reviendrons plus

loin sur cette formulation.

4. Coefficient de direction et coefficient angulaire, perpendicularité,

distances 4.1. Définition :

Considérons une droite d d'équation ax + by + c = 0. Remarquons d'abord que, dans cette équation, b diffère de 0 si et seulement si la droite n'est pas parallèle à l'axe Y. Dès

lors, si b≠≠≠≠0, l'équation de la droite s'écrit : by ax c yab

xcb

= − − ⇔ = − − .

Le coefficient de x dans l'équation d'une droite résolue par rapport à y

s'appelle coefficient de direction de la droite. On le note souvent m :

mab

= −

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48

4.2. Interprétation graphique En vertu d'un résultat du paragraphe

2.4., la droite d'équation ax + by + c = 0 admet comme vecteur directeur (-b,a). Puisque b≠0, elle admet aussi comme vecteur directeur

( )1 1, ,−

=ab

m . Ceci explique l'appellation de m,

puisque c'est sa valeur qui mesure la "croissance" ou "décroissance" de la droite. En particulier, on obtient les trois cas suivant, selon le signe de m :

Si le repère est orthonormé, on voit facilement que m vaut la tangente

trigonométrique de l'angle qui applique la partie positive de l'axe x sur la droite : m = tg αααα. Dans ce cas le coefficient de direction

s'appelle coefficient angulaire.

X O

Y

re1

re2

α

X O

Y

re1

re2

X O

Y

re1

re2

1

m m>0

X O

Y

re1

re2

m<0

X O

Y

re1

re2

m=0

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49

4.3. Propriétés 4.3.1. Coefficient de direction d'une droite dont on connaît deux points :

Soit deux points du plan muni d'un repère { }O e e; ,r r

1 2 :

( )P x y1 1 1, et ( )P x y2 2 2, . Un vecteur directeur de la droite est

( ) ( )P P OP OP x e y e x e y e

x x e y y e1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2

2 1 1 2 1 2

= − = + − −

= − + −

r r r r

r r

Les coordonnées de P P1 2 sont donc ( )x2 − −x y y1 2 1, . En

prenant le vecteur directeur d'abscisse 1, on déduit que

my y

x x=

−2 1

2 1

4.3.2. Equation de la droite passant par un point donné et de coefficient de direction

donné Le plan étant muni d'un repère { }O e e; ,

r r

1 2 ,

soit une droite d dont on connaît un point P(xP,yP) et le coefficient de direction m. A la première remarque du paragraphe 4.4., on a établit qu'une équation cartésienne de la

droite d est ( )y yvv

x xA A− = −2

1

où ( )x yA A,

désignait les coordonnées d'un point de d et

( )v v1 2, celles d'un vecteur directeur de d. Avec

les notations du présent paragraphe, cette équation s'écrit

( )y yvv

x xP P− = −2

1

.

De plus, puisque ( )v v1 2, est un vecteur directeur, le rapport vv

2

1

est égal au

coefficient de direction m. L'écriture définitive de l'équation de d est donc

( )y y m x xP P− = −

4.3.3. Condition de parallélisme :

Deux droites, non parallèles à l'axe Y, sont parallèles entre elles si et

seulement si elles ont même coefficient de direction.

En effet : si on désigne par m1 le coefficient de direction de la première droite d1 et par m2 celui de la deuxième droite d2, elles admettent pour vecteurs directeurs respectifs

( ) ( )r rv m et v m1 1 2 21 1, , . Alors

X O

Y

re1

re2

X O

Y

re1

re2

( )P x y1 1 1,

( )P x y2 2 2,

P(xP,yP)

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50

( ) ( )d d v v r v r v m r mr

m r mm m1 2 1 2 1 2 1 2

1 21 21 1

1 1⇔ ⇔ ∃ ∈ℜ = ⇔ = ⇔

=

=

⇔ =r r r r

: , ,.

.

4.4. Conditions de perpendicularité de deux droites (repaire ORTHONORME) Soit deux droites d : ax + by + c = 0 et d' ; a'x + b'y + c' = 0. On sait que d admet pour vecteur directeur (-b,a) et d' le vecteur (-b',a'). Dès lors :

d ⊥ d' ⇔ (-b,a) ⊥ (-b',a') ⇔ bb' + aa' = 0 ⇔ aa' + bb' =0

d ⊥⊥⊥⊥ d' ⇔⇔⇔⇔ aa' + bb' =0

Si de plus ces deux droites ne sont pas parallèles à l'axe Y, désignons par md le coefficient angulaire de d et md' le coefficient angulaire de d'. Alors, un vecteur directeur de d est (1, md) et un vecteur directeur de d' est (1, md'). La condition précédente s'écrit alors 1 + md md' = 0.

d ⊥⊥⊥⊥ d' ⇔⇔⇔⇔ md md' = -1

4.5. Distance entre deux points

Soit un repère orthonormé { }O e e; ,r r

1 2 et deux

points ( ) ( )A x y et B x yA A B B, , .Alors,

dist(A,B) = =AB AB AB.

( ) ( ) ( )dist A B x x y yB A B A, = − + −2 2

4.6. Distance d'un point à une droite

Soit un repère orthonormé { }O e e; ,r r

1 2 , un

point ( )P x yp p, et une droite d d'équation

ax + by + c = 0. Un vecteur directeur de d est (-b,a). Un vecteur directeur de la droite perpendiculaire à d passant par P est donc (a,b). Le vecteur

( )rn

a b

a b=

+

,2 2

est donc perpendiculaire à d et de

norme 1. Alors, ( )dist P d PQ n, .=r

, où Q est un

point quelconque de d.

On a donc

( ) ( ) ( )dist P d

x x y y a b

a b

ax ax by by

a b

q P q P Q P Q P,

, . ,=

− −

+=

− + −

+2 2 2 2

O X

Y

re1

re2

O X

Y

re1

re2 ( )P x yp p,

Q

d

rn

( )A x yA A,

( )B x yB B,

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51

Or le point Q est sur d, donc ses coordonnées vérifient l'équation de d : ax by c ax by cQ Q Q Q+ + = ⇔ + = −0 ; et donc

( )dist P dax by c

a b

P P, =+ +

+2 2

5. Le cercle 5.1. Définitions On appelle cercle l'ensemble des points du plan équidistants d'un point fixe appelé centre du cercle. La distance constante est appelée rayon du cercle. 5.2. Equation cartésienne

Soit un repère orthonormé { }O e e; ,r r

1 2 un

cercle de rayon r et de centre ( )C x yC C, . On a

alors les équivalences suivantes :

( )( )

( ) ( )( ) ( )

P x y cercle

dist P C r

x x y y r

x x y y r

C C

C C

,

,

⇔ =

⇔ − + − =

⇔ − + − =

2 2

2 2 2

L'équation générale d'un cercle est donc

( ) ( )x x y y rC C− + − =2 2 2

Si on développe cette dernière équation, on obtient

( ) ( )x x y y r x x x x y y y y r x y x x y y x y rC C C C C C C C C C− + − = ⇔ − + + − + = ⇔ + − − + + − =2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 0

c'est-à-dire une équation de la forme x y ax by c2 2 0+ + + + =

Examinons sous quelles conditions une équation de cette forme est l'équation d'un cercle :

x y ax by c xa

x yb

y c

xa a

yb b

c xa

yb a b

c

xa

yb a b c

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

0 22

22

0

2 4 2 40

2 2 4 4

2 24

4

+ + + + = ⇔ + + + + =

⇔ +

− + +

− + = ⇔ +

+ +

= + −

⇔ +

+ +

=+ −

Dès lors, • si a b c2 2 4 0+ − > , l'équation x y ax by c2 2 0+ + + + = est celle d'un cercle de centre

− −

a b2 2

, et de rayon a b c2 2 4

2+ −

;

O X

Y

re1

re2

( )C x yC C,

P(x,y)

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52

• si a b c2 2 4 0+ − = , l'équation x y ax by c2 2 0+ + + + = est celle du point de coordonnées

− −

a b2 2

, ;

• si a b c2 2 4 0+ − < , l'équation x y ax by c2 2 0+ + + + = est impossible.

6. L'ellipse 6.1. Définition

On appelle ellipse le lieu des points du plan dont la somme des distances à deux points fixes appelés foyers est constante.

6.2. Equation

P ( x , y )

F ’ ( - c , 0 ) F ( c , 0 )

Y

X

Afin d’établir l’équation canonique de l’ellipse, notons 2a la constante donnée et F et F’ les deux foyers. Nous définissons alors notre repère orthonormé comme suit : origine au milieu du segment [F,F’], axe des abscisses passant par les deux foyers F et F’. L’axe des ordonnées est alors automatiquement déterminé. Nous désignerons par (c,0) les coordonnées du foyer F , celles du foyer F’ étant alors (-c,0).

Soit P(x,y) un point quelconque du plan. On a les équivalences suivantes : P(x,y) appartient à l’ellipse ⇔ + =PF PF a' 2

[ ][ ] ( )

⇔ − + + + + =

⇔ − + + + + + − + + + =

⇔ − + + + = − − −

⇔ − + + + = − − −

⇒ − + + + = − − −

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

x c y x c y a

x c y x c y x c y x c y a

x c y x c y a x y c

x c y x c y a x y c

x c y x c y a x y c

a

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 4

2 4 2 2 2

2

2

( )

⇔ − + + − + + + + +

= + + + − − − + + +

⇔ − − − + + + =

⇔ − − − + + + =

⇔ − −

x c x c x y xcy c y x y xcy c y y

a c x y a c a x a y c x c y x y

a a c a x a y c x c y x y

a a c a x a y c x c y x y

c a x a y

4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

4 4 4 4 2 2 2

4 4 4 4 4 4 4 0

0

( ) ( )

2 4 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

0

1

+ − =

⇔ − + = −

a a c

a c x a y a a c ( )

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53

Posons b a c2 2 2= − , ce qui est licite car 2c = FF’ < 2a sinon le lieu est vide puisque dans le triangle PFF’ le côté FF’ est inférieur à la somme des deux autres côtés. L’équation (1) s’écrit alors

xa

y

b

2

2

2

2 1 2+ = ( )

Pour que (2) soit l’équation de l’ellipse, il faut prouver qu’en (a), on a équivalence; c’est-à-dire que si un point P(x,y) vérifie (2), alors on a 2 0 22 2 2 2 2 2 2 2a c x y x y a c− − − ≥ ⇔ + ≤ − .

Or si un point P(x,y) vérifie (2) on a xa

ety

b

y

a c

2

2

2

2

2

2 21 1≤ =−

≤ donc

x a et y a c2 2 2 2 2≤ ≤ − et donc l’inégalité recherchée en additionnant membre à membre ces

deux relations.

CONCLUSION : Dans le repère décrit ci-dessus, l’équation de l’ellipse s’écrit

x

a

y

b1

2

2

2

2+ =

6.3. Etude de la courbe L’équation de l’ellipse peut s’écrire

( )y bx

ay

b

aa x y

ba

a x2 22

22

2

22 2 2 21= − ⇔ = − ⇔ = ± −

Pour tracer le graphique de l’ellipse, il suffit d’étudier la fonction positive ci-dessus, l’autre partie du graphique s’obtenant par symétrie par rapport à l’axe X.

Etudions donc la fonction yba

a x= −2 2 .

Domaine : [ - a , a ] ; zéros : - a et a ; pas d’asymptotes ; dérivée première :

′ =−

−y

ba

x

a x2 2

x - a 0 a

- x + + 0 - -

a x2 2− 0 + + + 0

y‘ + ∞ + 0 - - ∞

y tangente verticale max = b tangente verticale

Dérivée seconde : ( )

′′ =−

−<y

ab

a x2 2 30 sur ] - a , a [

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54

Remarque : si on avait fait passer l’axe Y et non l’axe X par les deux foyers, on aurait

obtenu pour équation de l’ellipse xb

y

a

2

2

2

2 1+ = et le graphique ci dessus à droite.

On voit de suite qu'une ellipse possède deux axes de symétrie orthogonaux; l'un passant par les foyers et l'autre par la médiatrice du segment les reliant. Les points d'intersection des axes de symétrie avec l'ellipse sont appelés sommets de l'ellipse.

7. L’HYPERBOLE 7.1. Définition

On appelle hyperbole le lieu des points du plan dont la différence des distances à deux points fixes appelés foyers est égale à une constante .

7.2. Equation

P ( x , y )

F ’ ( - c , 0 ) F ( c , 0 )

Y

X

Afin d’établir l’équation canonique de l’hyperbole, notons 2a la constante donnée et F et F’ les deux foyers. Nous définissons alors notre repère orthonormé comme suit : origine au milieu du segment [F,F’], axe des abscisses passant par les deux foyers F et F’. L’axe des ordonnées est

alors automatiquement déterminé. Nous désignerons par (c,0) les coordonnées du foyer F , celles du foyer F’ étant alors (-c,0). Soit P(x,y) un point quelconque du plan. On a les équivalences suivantes : P(x,y) appartient à l’hyperbole

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Mathématiques orientées construction – géométrie analytique plane

55

⇔ − =PF PF a' 2

[ ][ ] ( )

⇔ − + − + + =

⇔ − + + + + − − + + + =

⇔ − + + + = + + −

⇔ − + + + = + + −

⇒ − + + + = + + −

⇔ − +

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

x c y x c y a

x c y x c y x c y x c y a

x c y x c y x y c a

x c y x c y x y c a

x c y x c y x y c a

b

x c x

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2

2

2 4

2 2 2 2 4

2

2

2

( )

c x y xcy c y x y xcy c y y

x y c a x y c x a x c y a y a c

a c x a x a y a c

a c x a x a y a c

c a x a y a a c

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 4 2 2

2 2

4 2 2 4 2 4 4

4 4 4 4 4 0

0

0 3

+ − + + + + +

= + + + + + − + − −

⇔ + − − − =

⇔ + − − − =

⇔ − − + − = ( )

Posons b c a2 2 2= − , ce qui est licite car 2c = FF’ > 2a sinon le lieu est vide puisque dans le triangle PFF’ le côté FF’ est supérieur à la différence des deux autres côtés. L’équation (3) s’écrit alors

xa

yb

2

2

2

2 1 4− = ( )

Pour que (4) soit l’équation de l’hyperbole, il faut prouver qu’en (b), on a équivalence; c’est-à-dire que si un point P(x,y) vérifie (4), alors on a x y c a x y a c a b2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 0 2+ + − ≥ ⇔ + ≥ − = − .

Or si un point P(x,y) vérifie (4) on a xa

yb

2

2

2

21 1= + ≥ donc x y x a a b2 2 2 2 2 2+ ≥ ≥ ≥ − .

CONCLUSION : Dans le repère décrit ci-dessus, l’équation de l’hyperbole

s’écrit x

a

y

b1

2

2

2

2− =

7.3. Etude de la courbe L’équation de l’hyperbole peut s’écrire

( )y bxa

yba

x a yba

x a2 22

22

2

22 2 2 21= − ⇔ = − ⇔ = ± −

Pour tracer le graphique de l’hyperbole, il suffit d’étudier la fonction positive ci-dessus, l’autre partie du graphique s’obtenant par symétrie par rapport à l’axe X.

Etudions donc la fonction yba

x a= −2 2 .

Domaine : ] - ∞ , - a [ ∪ ] a , + ∞ [; zéros : - a et a Asymptotes : pas de verticales

ANV : m ba

x ax

ba

xx

bax x± →±∞ →±∞=

−= = ±lim lim

2 2

pba

x a xba

a

x a xx x± →±∞ →±∞= − =

−lim lim2 2

2

2 2m

m

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56

= −+

=→±∞abx xxlim

10

Il y a donc deux asymptotes obliques; l’une en +∞ d'équation y =ba

xet l’autre en −∞

d'équation yba

x= − .

Dérivée première : ′ =−

yba

x

x a2 2

x - a a

x - - + +

x a2 2− + 0 0 +

y’ - - ∞ + ∞ +

y tangente verticale

tangente verticale

Dérivée seconde : ( )

′′ =−

−<y

ab

x a2 2 30 sur ] - ∞ , - a [ ∪ ] a , + ∞ [

Remarque : si on avait fait passer l’axe Y et non l’axe X par les deux foyers, on aurait

obtenu pour équation de l’hyperbole y

axb

2

2

2

2 1− = et le graphique ci dessus à droite.

On voit de suite qu'une hyperbole possède deux axes de symétrie orthogonaux; l'un passant par les foyers et l'autre par la médiatrice du segment les reliant. Les points d'intersection de l'axe des foyers avec l'hyperbole sont appelés sommets de l'hyperbole.

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57

8. LA PARABOLE 8.1. Définition

On appelle parabole le lieu des points du plan équidistants d’un point fixe appelé foyer et d’une droite fixe appelée directrice.

8.2. Equation

P ( x, y)

F ( p / 2 , 0)

d

x = - p/ 2

Afin d’établir l’équation canonique de la parabole, nommons F le foyer et d la directrice. Nous définissons alors notre repère orthonormé comme suit : origine au milieu du segment issu de F perpendiculaire à d et limitée à celle-ci, axe des abscisses passant par le foyer F (et donc perpendiculaire à d), l’abscisse de F étant positive et désignée par p/2. L’axe des ordonnées est alors automatiquement déterminé. Les coordonnées du foyer F sont alors (p/2,0) et l’équation de la directrice x = -p/2.

Soit P(x,y) un point quelconque du plan. On a alors les équivalences suivantes : P(x,y) appartient à la parabole

⇔ −

+ = +

⇔ −

+ = + +

⇔ − + + = + +

⇔ =

xp

y xp

xp

y x pxp

x pxp

y x pxp

y px

2 2

2 4

4 4

2

22

22 2

2

22

2 22

2

CONCLUSION : Dans le repère décrit ci-dessus, l’équation de la parabole

s’écrit y px2 2=

8.3. Etude de la courbe

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58

L’équation de la parabole peut s’écrire y px= ± 2 .

Domaine : [ 0 , +∞ [, Zéros : 0 Pas d'asymptotes

yp

px'= >

20 sur ] 0 , +∞ [ : fonction

strictement croissante ( décroissante) tangente verticale en 0

( )

yp

px"=

−<

2

32

0 sur ] 0 , +∞ [

On voit de suite qu'une parabole possède un axe de symétrie passant par le foyer et perpendiculaire à la directrice. Le point d'intersection de l'axe avec la parabole est appelé sommet de la parabole. 8.4. Autre forme de l'équation Si on avait fait passer l'axe Y et non l'axe X par le foyer, on aurait obtenu pour

équation de la parabole x py yxp

²²

= ⇔ =22

. Si de plus on effectue un changement d'origine

du repère, défini par des relations du type x x x'= + 0 et y y y'= + 0 , on obtient tous calculs

faits une équation du type y ax bx c= + +² . On retrouve la forme de l'équation de la

parabole bien connue des étudiants du secondaire supérieur. Rappelons en les conclusions : • Si a > 0, la parabole est de concavité positive; si a < 0, la parabole est de concavité

négative.

• La parabole admet pour axe de symétrie la droite parallèle à l'axe Y d'équation xba

=−2

.

• Les coordonnées du sommet sont − −

ba a2 4

,∆

, où ∆ = −b ac² 4 .

10

10

x2

x 6

55 x

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

0

x2

x 1

55 x

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

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59

9. Exercices Enoncés Réponses 1. On donne les droites a : 3x + 2y = 6, b : x - 2y + 6 = 0, c : 2x -

y - 4 = 0. Représenter chacune de ces droites et calculer les coordonnées des sommets du triangle que ces droites déterminent.

(0;3), (2;0), 143

163

;

2. On donne les droites a : 5x + 2y -10 = 0, b : 3x + 4y - 12 = 0, c : 3x - 4y - 12 = 0. Représenter chacune de ces droites et calculer les coordonnées des sommets du triangle que ces droites déterminent.

87

157

;

,3213

1513

;−

et (4;0)

3. On donne les points A(3;0) et B(0;-2). Représenter la droite AB et en calculer l'équation cartésienne.

y x= −23

2

4. On donne les points A(3;-1) et B(0;2). Représenter la droite AB et en calculer l'équation cartésienne.

y x= − + 2

5. On donne les points A(4;3) et B(-3;4). Représenter la droite AB et en calculer l'équation cartésienne.

y x= − +17

257

6. On donne les points A(4;7) et B(1;-5). Représenter la droite AB et en calculer l'équation cartésienne.

y x= −4 9

7. On donne les points A(1;2), B(3;4) et C(0;-2). Déterminer le point commun à AB et à la droite d : x + 1 = 0; le point commun à AC et à la droite d' : y = 3; le point commun à BC et à la droite d" : y + x = 0.

(-1;0), 54

3;

,23

23

;−

8. On donne le triangle ABC avec A(-3;0), B(0;4) et C(6;0).Déterminer les coordonnées des milieux des cotés. Ecrire les équations des médianes. Calculer les coordonnées du centre de gravité.

C' ;−

32

2 ,B' ;32

0

, A'(3;2)

AA' : y x= +13

1

BB' : y x= − +83

4

CC' : y x= − +415

85

G 143

;

9. On donne les points A(2;1) et B(-3;2) et la droite d : x - 3y + 1 = 0. Ecrire l'équation de la droite a passant par A et parallèle à l'axe X; b passant par B et parallèle à l'axe Y; c passant par O et parallèle à AB; e passant par A et parallèle à d; f passant par B et parallèle à d.

a : y = 1 b: x = -3

c : y x= −15

e : x - 3y + 1 =

0 f : x - 3y + 9 = 0

10. On donne le triangle ABC avec A(3,1), B(-4,2) et C(-2,-3). Ecrire l'équation de chacune des droites passant par un sommet de ce triangle et parallèle au côté opposé.

Par A : y x=−

+52

172

Par B : y x= +45

265

Par C : y x=−

−1

7237

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60

11. On considère les points A(2,3) et B(-4,-1). Déterminer l'équation de la droite a passant par A et parallèle à OB; de la droite b passant par B et parallèle à OA; de la droite d passant par O et parallèle à AB. Déterminer les coordonnées des sommets du triangle dont les côtés sont portés par les droites a, b et d.

a : y x= +14

52

b et d (-6;-

4)

b : y x= +32

5 b et a : (-

2;2)

d : y x=23

a et d :

(6;4) 12. On donne les droites a : x + y = 0, b : x - 2y = 0, c : y = 2x et le

point A(1,-3). Par A on mène les droites a' et b' respectivement parallèles aux droites a et b; sur a' on marque le point B d'abscisse -2. Par B on mène la droite c' parallèle à la droite c et on note C son point commun avec b'. Calculer les coordonnées de B et C.

B(-2;0) C(-5;-6)

13. On considère le quadrilatère ABCD avec A(3,2), B(-5,4), C(-3,-4) et D(2,-3). On désigne par P le point commun à AB et CD et par Q le point commun à AD et BC. Démontrer que les droites AC et PQ sont parallèles et que BD passe par le milieu de [PQ].

P413

23

;−

Q − −

13

443

;

m m ACAC PQ= = ⇒1 ...

milieu de [PQ] : 203

233

;−

,

solution de l'équation de BD : y = - x - 1

14. On donne les points A(1,2) et B(-2,1). Démontrer que les droites OA et OB sont perpendiculaires.

mOA = 2 , mmOB

OA

=−

=−1

21

15. On donne les points A(1,2), B(1,- 5). Ecrire les équations des hauteurs du triangle OAB et calculer les coordonnées de leur point commun.

h y xA: = +15

95

h y xB: = − −12

92

h yO: = 0

H(-9;0)

16. On donne le point A(-1,- 2) et la droite d : 2x + 3y = 0. La droite comprenant A et parallèle à d coupe Ox en B. La droite comprenant A et perpendiculaire à d coupe Oy en D. Déterminer les coordonnées des sommets du rectangle ABCD.

B(-4;0)

D 012

;−

C −

332

;

17. On considère le triangle ABC avec A(7,4), B(2,-3) et C(-5,2). Ecrire les équations des médiatrices du triangle ABC. Vérifier par le calcul que ces médiatrices sont concourantes en un point M. Vérifier par le calcul que le point M est équidistant des points A, B et C. Que peut-on en conclure ?

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Mathématiques orientées construction – géométrie analytique plane

61

18. On donne les points A(-3, 3), B(-2, -1) et C(2, 1). Déterminer les coordonnées des milieux des côtés et du centre de gravité du triangle ABC. Déterminer les équations des côtés et des médianes du triangle ABC. Déterminer les équations des hauteurs et les coordonnées de l orthocentre du triangle ABC. Déterminer les équations des médiatrices et les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

B'(-½;2) A'(0;0) C' −

52

1;

G(-1;1) AB : y = -4x - 9

AC : y x= − +25

95

BC :

y x=12

AA' : y = -x BB' : y = 2x + 3 CC' : y = 1

h y xA: = − −2 3 h y xB: = +52

4

h y xC : = +14

12

H −

149

19

;

mé d y xAC: = +52

134

mé d y xBC: = −2

mé d y xAB: = +14

138

centre −

138

139

;

19. On donne les droites a : x - 2y - 1 = 0, b : 7x + y + 8 = 0, c : x + y - 4 = 0. On note T le triangle déterminé par ces trois droites. Déterminer les sommets de T. Déterminer ensuite le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit de T.

sommets (-1;-1) (3;1) (-2;6) G(0;2)

H23

23

;

centre −

13

83

;

20. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation x² + y² = 9

(0;0) 3

21. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation x² + y² + 2x - 2y - 4 = 0

--1;1) 6

22. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation x² + y² + x - 3y = 0

12

32

; 102

23. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation x² + y² -2x + 4y - 20 = 0

(1;-2) 5

24. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation 2x² + 2y² + 2x + 2y -3 = 0

− −

12

12

; 2

25. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation 4(x² + y²) - 4x + 12y + 9 = 0

12

32

;−

12

26. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation 4(x² + y²) - x + 2y - 5 = 0

18

14

;−

858

27. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation 3 x² + 3y² - 5x + 7 y - 1 = 0

56

76

;−

866

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62

28. Déterminer k pour que le cercle d'équation x² + y² - 2x + 4y + k = 0 passe par le point (4,3); ait 4 comme rayon; soit tangent à l'axe X; soit tangent à l'axe Y.

k = -29 k = -11 k = 1 k = 4

29. Déterminer k pour que le cercle d'équation x² + y² - 2kx + 2(k-1)y = 0 passe par le point (4,3); ait 5 comme rayon; soit tangent à l'axe X; soit tangent à l'axe Y.

k =192

k = 4 ou -3

k = 0 k = 1

30. Déterminer les coordonnées des points communs au cercle et à la droite d'équations x² + y² = 65 et 3x + y - 25 = 0.

(8;1) et (7;4)

31. Déterminer les coordonnées des points communs au cercle et à la droite d'équations x² + y² + x + 3y - 4 = 0 et x + y - 1 = 0.

(0;1) et (2:-1)

32. Déterminer les coordonnées des points communs au cercle et à la droite d'équations x² + y² + 2x - 1 = 0 et x - y - 1 = 0.

(0;-1)

33. Déterminer les coordonnées des points communs au cercle et à la droite d'équations x² + y² - 2x + 3y - 3 = 0 et 2x + y + 2 = 0.

(1;-4) et (-1:0)

34. Déterminer les coordonnées des points communs au cercle et à la droite d'équations x² + y² + 2x + 3y - 7 = 0 et 5x + 4y + 11 = 0

(1;-4) et (-3;1)

35. Déterminer les coordonnées des points communs au cercle et à la droite d'équations x² + y² + x - 15y + 24 = 0 et x - 2y + 3 = 0.

(3;3) et (1;2)

36. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est l'origine et le rayon 2

x² + y² = 4

37. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est C(1,-2) et le rayon 5

(x-1)²+(y+2)² = 5

38. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est C(1,2) et qui passe par (-2,-2)

(x-1)²+(y-2)² = 25

39. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est C(0,-3) et qui est tangent à la droite d : 3 x + y + 1 = 0

x² + (y+3)² = 1

40. Ecrire l'équation du cercle passant par (0,0), (3,3) et (4,-4) x² + y² -7x + y = 0 41. Ecrire l'équation du cercle passant par (2,0), (5,0) et (2,-4) x² + y² -7x + 4y + 10 = 0

42. Ecrire l'équation des cercles tangents à d : y = x, à l'axe des y et de rayon est 2

( ) ( )( )x y− + − + =2 2 2 22 2

( ) ( )( )x y+ + + + =2 2 2 22 2

43. Ecrire l'équation du cercle tangent à d : x + y + 2 = O, à d' : x - y + 2 = O et comprenant le point A(O, 2)

(x-2)² + y² = 8

44. Ecrire l'équation du cercle de diamètre [AB] avec A(-1,3) et B(2;-1).

( )x y−

+ − =12

1254

22

45. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est (0,0) et qui est tangent à la droite x + y + 1 = 0

x² + y² = ½

46. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est (1,2) et qui est tangent à la droite 2x + y - 8 = 0

(x-1)² + (y-2)² = 165

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63

47. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est (-1,0) et qui est tangent à la droite 3x - y + 1 = 0

(x+1)² + y² = 25

48. Ecrire l'équation du cercle dont le centre est (2,-3) et qui est tangent à la droite 2x - 3y + 4 = 0

(x-2)² + (y+3)² = 28913

49. Déterminer les tangentes au cercle de centre (0,0) et de rayon 2 parallèles à la droite y = 0

y = 2 et y = -2

50. Déterminer les tangentes au cercle de centre (1,0) et de rayon 3 parallèles à la droite x - 2y = 0

x y− − − =2 1 3 5 0 et

x y− − + =2 1 3 5 0

51. Déterminer les tangentes au cercle de centre (0,2) et de rayon 3 parallèles à la droite x - y = 0

x y− + − =2 3 2 0 et

x y− + + =2 3 2 0

52. Déterminer les tangentes au cercle de centre (1,2) et de rayon 1 parallèles à la droite x = 0

x = 0 et x = 2

53. Déterminer les tangentes au cercle de centre (3,-1) et de rayon 4 parallèles à la droite 2x - y = 0

2 7 4 5 0x y− − + = et

2 7 4 5 0x y− − − =

54. Déterminer les tangentes au cercle de centre (4,2) et de rayon 4 parallèles à la droite x + 2y = 0

x y+ − + =2 8 4 5 0 et

x y+ − − =2 8 4 5 0

55. On donne le cercle C1 , de centre O(0, 0) et de rayon 5 et le

point A(7, 1). Quelle est l'équation du cercle C2 qui a [OA]

comme diamètre ? Quels sont les points communs à C1 et à C2 ?

Quelles sont les équations des tangentes à C1 issues de A ?

Vérifier que ces tangentes sont perpendiculaires.

C x y2

2 272

12

504

: −

+ −

=

intersection : (3;4) et (4;-3)

tangentes : ( )y x− = − −134

7

et ( )y x− = −143

7

56. On donne deux cercles : C1 de centre (3, 2) et de rayon 652

et C2 de centre (0,0) et comprenant le point 132

,

. Déterminer

des équations de ces cercles. Quels sont les points A et B communs à ces cercles ? Chercher les points communs aux tangentes à ces cercles en A et en B.

( ) ( )C x y12 2

3 2654

: − + − =

C x y12 2 13

4: + =

A 132

;−

B −

132

;

pour C1 :

t y xA: = − −47

1314

t y xB: = − −8132

intersection

− −

3952

12

;

pour C2 : t y xA: = +23

136

t y xB: = −23

136

pas d'intersection

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Mathématiques orientées construction – géométrie analytique plane

64

57. On donne les points A(5,0), B(-1, O) et C(-2,-7) ainsi que la droite d : 4y + 3x - 15 = 0. Quels sont le centre et le rayon du cercle comprenant A, B et C ? Prouver que d est tangente à ce cercle et chercher le point de contact. Déterminer une équation de la tangente à ce cercle au point diamétralement opposé à ce point de contact.

centre (2;-4), rayon 5 point de contact (5;0) tangente en (-1;-8) : 4y + 3x + 35 = 0

58. On donne le triangle dont les sommets sont A(1,0), B(5,4), C(3,-2). Quelle est la nature de ce triangle ? Déterminer une équation du cercle de diamètre [AC].

triangle rectangle en A (x-2)² + (y+1)² = 2

59. On donne les points A(0,3), B(0,-3), C(5,2). Quels sont le centre et le rayon du cercle comprenant ces points ? Déterminer une équation de la tangente à ce cercle en C. Quel est le point M commun à cette tangente et à l'axe des y ? Vérifier que MC² = MA . MB.

centre (2;0), rayon 13

t y xC: = − +32

192

M 0192

;

MC²=325

4 MA =

132

MB =252

60. Ecrire les équations des tangentes issues de O au cercle de centre C(5,3) et de rayon 3.

y = 0 et y x=158

61. Ecrire les équations des tangentes au cercle de centre C(-4,-9) et de rayon 13 en ses points d'abscisses 1 et 8.

en (1;3) : 5x + 12y - 41 = 0 en (1;-21) : 5x - 12y - 257 = 0 en (8;-4) : 12x + 5y - 76 =0 en (8;-14) : 12x - 5y - 166 = 0

62. Ecrire les équations des tangentes au cercle de centre C(1,-

3) et de rayon 5 et qui ont 34

et −43

comme coefficients de

direction.

y x= −34

10 et y x= +34

52

y x= − +43

203

et

y x= − −43

10

63. Ecrire l équation de la corde de contact des tangentes parallèles à la droite y = 5x/12 au cercle de centre C(4,-3) et de rayon 13. Ecrire ensuite les équations de ces tangentes.

corde : y x= − +125

335

tangentes : y x= −512

13512

et y x= +512

11312

64. Déterminer l'équation de la tangente et de la normale à la parabole d'équation y² = 2x en son point d'abscisse 2 et d'ordonnée positive.

point (2;2) t : x - 2y + 2 = 0 n : 2x + y - 6 = 0

65. Déterminer les équations des tangentes issues du point M(-1; ½ ) à la parabole d'équation y² = 2x. Calculer les coordonnées des points de contact.

t x y1 2 2 1 0: + − = , ( ½ ;-1) t x y2 2 2 0: − + = , (2;2)

66. Quelle est l'équation de l'ellipse dont les sommets ont pour coordonnées (5;0), (-5;0), (3;0) et (-3;0) ?

x y² ²25 9

1+ =

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Mathématiques orientées construction – géométrie analytique plane

65

67. Déterminer l'équation de la tangente et de la normale à l'ellipse d'équation 25x² + 16y² = 100 en son point d'abscisse 1 et d'ordonnée négative.

point : −

1

5 34

;

t : ( )y x+ = −

5 34

5 312

1

n : ( )y x+ =

−−

5 34

4 35

1

68. Déterminer l'équation des tangentes à l'ellipse d'équation 25x² + 16y² = 100 parallèles à la droite d'équation 5x - 4y = 0. Calculer les coordonnées des points de contact.

t : y x= ±

54

5 22 ;

2

5 24

;

25 24

;−

69. Quelle est l'équation de l'hyperbole dont les sommets ont

pour coordonnées (3;0) et (-3;0) et les foyers (5;0) et (-5;0) ?

x y² ²9 16

1− =

70. Déterminer l'équation de la tangente et de la normale à l'hyperbole d'équation 9x² - 16y² + 144 = 0 en son point d'ordonné 5 et d'abscisse négative.

point :

163

5;

t : 3x + 5y - 9 = 0 n : 15x - 9y + 125 = 0

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Géométrie analytique

de l’espace

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Mathématiques orientées construction – géométrie analytique de l’espace

67

1. Repères de l’espace

Un repère des l’espace est constitué • d'un point de référence

(arbitrairement choisi) appelé origine du repère et souvent noté O;

• d'un ensemble de trois vecteurs non nuls et non coplanaires ( )321 e,e,e

rrr

souvent appelé base du repère. Nous noterons un tel repère { }321 e,e,e;O

rrr.

Nous obtenons ainsi trois axes de même origine : l’axe X de repère { }1e;O

r

l’axe Y de repère { }2e;Or

l’axe Z de repère { }3e;Or

Si les vecteurs de la base sont perpendiculaires deux à deux, le repère est dit orthogonal; si les vecteurs de la base sont de même longueur, le repère dit normé; si les vecteurs de la base sont à la fois perpendiculaires deux à deux et normés, le repère sera dit orthonormé. Considérons alors un point P quelconque et projetons le sur l'axe X en P1 , sue l’axe Y en P2 et sur l'axe Z en P3. On a alors les égalités suivantes :

321

321

ezeyexOP

OPOPOPOPrrr

++=

++=

Cette décomposition de OP suivant les vecteurs de la base est unique. A tout point, on peut donc faire correspondre un et un seul triple de nombres réels et réciproquement. Ce triple (x,y,z) est appelé coordonnées du point P, qui se note P(x,y,z) :

321 ezeyexOP)z,y,x(Prrr

++=⇔

La première coordonnée est appelée abscisse de P, la deuxième ordonnée de P et la dernière cote de P.

En procédant de la même manière avec un vecteur quelconque, on peut définir la notion de coordonnées d'un vecteur

rv : 332211321 evevevv)v,v,v(v

rrrrr++=⇔

O

P1

1e

2e

3e

P

P2

P3

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Mathématiques orientées construction – géométrie analytique de l’espace

68

2. Produit scalaire de deux vecteurs et distance entre deux points Remarquons bien que ce qui suit exige un repaire ORTHONORME. Soit deux

vecteurs ( ) ( )321321 v,v,vvetu,u,uu→→

. On a alors

→→→→→→→→→→→→→→→→→→

→→→→→→→→

++++++++=

++

++=

333323231313323222221212313121211111

332211332211

e.evue.evue.evue.evue.evue.evue.evue.evue.evu

evevev.eueueuv.u

et comme les vecteurs du repère sont perpendiculaires deux à deux et que

1eee 321 ===→→→

, il vient

332211 vuvuvuv.u ++=→→

Rappelons l’importante propriété suivante :

Deux vecteurs non nuls sont perpendiculaires si et seulement si leur produit

scalaire est nul : u v u v→ → → →

⊥ ⇔ =. 0 .

Si le repère est orthonormé, cette condition s’écrit :

0vuvuvu0v.uvu 332211 =++⇔=⇔⊥→→→→

.

Sous les mêmes conditions, le calcul de la distance entre deux points connus en

coordonnées est aisé. En effet, si dans un repère orthonormé { }321 e,e,e;Orr

et deux points

( )AAA z,y,xA et ( )BBB z,y,xB . Alors,

dist(A,B) AB.ABAB ==

( ) ( ) ( ) ( )2AB2

AB2

AB zzyyxxB,Adist −+−+−=

3. Equation cartésienne du plan Nous admettrons que l’équation cartésienne d’un plan est de la forme

0dczbyax =+++ , où a, b et c ne sont pas tous nuls.

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Mathématiques orientées construction – géométrie analytique de l’espace

69

4. Equation cartésienne de la droite

Soit une droite d passant par un point ( )PPP z,y,xP et un vecteur de d : )v,v,v(v 321

r.

Un tel vecteur est souvent appelé vecteur-directeur de la droite d. On montre alors que

La droite d passant par ( )PPP z,y,xP et de vecteur-directeur )v,v,v(v 321

r a pour système

d’équations cartésiennes

3

P

2

P

1

P

v

zz

v

yy

v

xx −=

−=

−,

Avec la convention d’écriture stipulant que si le dénominateur est nul, alors c’est en fait le numérateur qui doit être nul.

5. Conditions de parallélisme et de perpendicularité 5.1. Deux propriétés essentielles

Deux vecteurs non nuls sont parallèles si et seulement s’ils sont multiples l’un de

l’autre.

Autrement dit, )v,v,v(v 321

ret )w,w,w(w 321 sont parallèles si et seulement s’il existe un

nombre k tel que 3

3

2

2

1

1

33

22

11

321321 wv

wv

wv

wkv

wkv

wkv

)w,w,w(k)v,v,v(wkv ==⇔

=

=

=

⇔=⇔= , en

adoptant la même convention d’écriture du paragraphe 4 quant aux dénominateurs.

Dans un repère orthonormé, le plan d’équation 0dczbyax: =+++π est

perpendiculaire au vecteur ( )c,b,ap

En effet, si ( )PPP z,y,xP est un point quelconque de ce plan, on a 0dczbyax PPP =+++ .

De plus, si ( )z,y,xQ est un autre point quelconque de ce plan, alors on a 0dczbyax =+++ .

En retranchant membre à membre ces deux égalités, il vient ( ) ( ) ( ) 0zzcyybxxa PPP =−+−+− .

Cette égalité exprime que le vecteur ( )c,b,ap est perpendiculaire au vecteur

( )PPP zz,yy,xxPQ −−− , qui n’est autre qu’un vecteur quelconque du plan π. Le vecteur

( )c,b,ap est donc perpendiculaire à tous les vecteurs de π, donc à π lui-même.

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Mathématiques orientées construction – géométrie analytique de l’espace

70

5.2. Conditions de parallélisme

5.2.1. Parallélisme des droites

Dans un repère quelconque, soient deux droites d : 3

P

2

P

1

P

v

zz

v

yy

v

xx −=

−=

− et

d’ : 3

'P

2

'P

1

'P

'v

zz

'v

yy

'v

xx −=

−=

−. Les vecteurs )v,v,v(v 321

r et )'v,'v,'v('v 321

r sont respectivement

des vecteurs-directeurs de d e t d’. En conséquence,

Les droites d et d’ sont parallèles ⇔ les vecteurs vr et 'v

rsont parallèles

⇔3

3

2

2

1

1

'vv

'vv

'vv

==

avec la convention habituelle. 5.2.2. Parallélisme des plans

Dans un repère quelconque, soient deux plans 0dczbyax: =+++π et

0'dz'cy'bx'a:' =+++π . Les vecteurs ( )c,b,ap et ( )'c,'b,'a'p sont respectivement

perpendiculaires aux plans π et π’. Dès lors

π est parallèle à π’ ⇔ p est parallèle à 'p ⇔ 'c

c'b

b'a

a==

avec la convention habituelle. Remarquons que notre démonstration utilise la notion de perpendicularité, et donc nécessite un repère orthonormé. Nous admettrons que la condition de parallélisme encadrée ci-dessus reste valable dans un repère quelconque. 5.2.3. Parallélisme d’une droite et d’un plan

Dans un repère quelconque, soient une droite d : 3

P

2

P

1

P

v

zz

v

yy

v

xx −=

−=

− et un plan

0dczbyax: =+++π . Le vecteur )v,v,v(v 321

r est un vecteur-directeur de d et le vecteur

( )c,b,ap est perpendiculaire à π. Dès lors,

d est parallèle à π ⇔ vr est perpendiculaire à p ⇔ av1 + bv2 + cv3 = 0

Remarquons que notre démonstration utilise la notion de perpendicularité, et donc nécessite un repère orthonormé. Nous admettrons que la condition de parallélisme encadrée ci-dessus reste valable dans un repère quelconque.

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Mathématiques orientées construction – géométrie analytique de l’espace

71

5.3. Conditions de perpendicularité

Notons bien que dans tout ce paragraphe, le repère est orthonormé. 5.3.1. Perpendicularité de deux droites

Soient deux droites d : 3

P

2

P

1

P

v

zz

v

yy

v

xx −=

−=

− et

d’ : 3

'P

2

'P

1

'P

'v

zz

'v

yy

'v

xx −=

−=

−. Les vecteurs )v,v,v(v 321

r et )'v,'v,'v('v 321

r sont respectivement

des vecteurs-directeurs de d e t d’. En conséquence,

Les droites d et d’ sont perpendiculaires ⇔ les vecteurs vr et 'v

rsont

perpendiculaires ⇔ v1v’1 + v2v’2 + v3v’3 = 0

5.3.2. Perpendicularité de deux plans

Soient deux plans 0dczbyax: =+++π et 0'dz'cy'bx'a:' =+++π . Les vecteurs

( )c,b,ap et ( )'c,'b,'a'p sont respectivement perpendiculaires aux plans π et π’. Dès lors

π est perpendiculaire à π’ ⇔ p est perpendiculaire à 'p ⇔ aa’ + bb’ + cc’ = 0

5.3.3. Perpendicularité d’une droite et d’un plan

Soient une droite d : 3

P

2

P

1

P

v

zz

v

yy

v

xx −=

−=

− et un plan 0dczbyax: =+++π . Le

vecteur )v,v,v(v 321

r est un vecteur-directeur de d et le vecteur ( )c,b,ap est perpendiculaire

à π. Dès lors,

d est perpendiculaire à π ⇔ vr est parallèle à p ⇔

cv

bv

av 321 ==

avec la convention habituelle.

6. Exercices

1. Voici un cube. L’espace étant muni du

repère { }A'A,'D'A,'B'A,'A , quelles sont

les coordonnées de chacun des sommets du cube ?

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Mathématiques orientées construction – géométrie analytique de l’espace

72

2. Voici un cube. L’espace étant muni du

repère { }'BB,BC,BA,B , quelles sont les

points dont les coordonnées sont (0,0,1), (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1) ?

3. Voici un cube. L’espace étant muni du

repère { }'CB,CD,CB,C , quelles sont les

coordonnées de chacun des sommets du cube ?

4. Voici un tétraèdre. L’espace étant muni

du repère { }BD,BC,BA,B , quelles sont les

coordonnées de chacun des sommets du tétraèdre ? Quelles sont les coordonnées des milieux de chacune des arêtes ?

5. Voici un cube. L’espace étant muni du

repère { }A'A,'D'A,'B'A,'A et M, P, et Q

étant les milieux de [AA’], [B’C’] et [CD], calculer les coordonnées des

vecteurs 'AB , C'B , AC , 'AC , D'B , 'CA ,

AP , MC , 'QB , MP , PQ et QM .

6. Voici un tétraèdre. L’espace étant muni

du repère { }BA,BD,BC,B et M, P, et Q

étant les milieux de [CD], [AD] et [AC],

quelles sont les coordonnées de AM ,

CP et DQ ?

7. Voici un tétraèdre. L’espace étant muni

du repère { }AD,AC,AB,A et M, N, P, Q,

R, et S étant les milieux des arêtes auxquelles ils appartiennent, quelles

sont les coordonnées de MN , PQ et

RS ?

8. Quelles sont les équations des chacun des plans contenant les axes de coordonnées pris deux à deux ?

9. Ecrire une équation du plan ABC si a/ A(2,0,0), B(0,-2,0) et C(0,0,3) b/ A(0,1,1), B(1,0,1) et C(1,1,0)

10. Ecrire une équation du plan ABC si a/ A(2,0,0), B(1,2,0) et C(3,-1,1)

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Mathématiques orientées construction – géométrie analytique de l’espace

73

b/ A(0,1,2), B(0,-1,0) et C(2,1,0) c/ A(4,0,-1), B(-1,0,4) et C(0,0,0) d/ A(3,1,0), B(1,3,0) et C(0,0,2)

11. Déterminer l’équation du plan médiateur de [AB] si A(1,2,3) et B(-1,1,0). 12. Ecrire des équations de la droite passant par P(-1,1,2) et de vecteur-directeur

( )1,3,2v − .

13. Ecrire des équations de chacune des droites passant par P(1,2,-3) et parallèle aux axes de coordonnées.

14. Ecrire des équations de la droite passant par P(1,2,3) et Q(-1,3,1) 15. Déterminer l’intersection du plan π st de la droite d si π : 2x + y – z = 1 et

d : x – 1 = y – 2 = z – 3. 16. Déterminer l’intersection du plan π st de la droite d si π : x + 2y – 3z + 3 = 0 et

d : x = y + 3 = z + 1. 17. Déterminer l’intersection du plan π st de la droite d si π : 3x – y + 2z = 5 et

d : x -1 = y – 3 = 2 – z. 18. Ecrire l’équation de la droite passant par P(1,2,-1) et perpendiculaire au plan

π : x + 2y – 3z = 0 19. Ecrire l’équation du plan passant par P(2,1,-3) et perpendiculaire à la droite

d : x = y – 1 = 2 - z 20. soit le plan π : 2x – y + z – 1 = 0 et le point P(1,-1,1). Ecrire l’équation du plan π’

passant par P et parallèle à π. Ecrire des équations de la droite d passant par P et perpendiculaire à π. Calculer les coordonnées du point de percée de d dans π.

21. Soient les plans α : 2x + y – z – 1 = 0 et β : x – y + 2z + 1 = 0. Ces plans α et β se coupent suivant la droite d. Déterminer un point et un vecteur-directeur de d. En déduire l’équation du plan γ passant par O et perpendiculaire aux plans α et β.

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Fonctions réelles

d'une variable réelle

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Mathématiques orientées construction – analyse

75

1. Introduction De nombreuses démarches scientifiques utilisent les mathématiques comme outil. Un de ces outils intervient dès que le scientifique étudie les variations d'une grandeur déterminée en fonction d'une autre. Il consigne alors les résultats mesurés dans un graphique, dans un tableau de valeurs, et chaque fois que c'est possible, en tire une loi sous forme d'équation qui lui permet alors d'utiliser la théorie des fonctions pour en tirer des conclusions. Voici un exemple. On chauffe une barre métallique et on en mesure à la fois la température et la longueur. On a obtenu les résultats suivants :

température (°C) longueur (mm)

0 1

10 1.0001

20 1.0002

30 1.0003

... ...

100 1.001

Nous constatons que la longueur de la barre est fonction de sa température. Nous pouvons représenter cette situation graphiquement dans un système d'axes (choisis perpendiculaires pour plus de commodité). Pour ce faire, portons en abscisses la température en degrés Celsius et en ordonnées la longueur de la barre en mètres. Nous obtenons le graphique suivant :

longueur d'une barre chauffée

0,9994

0,9996

0,9998

1

1,0002

1,0004

1,0006

1,0008

1,001

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Cette représentation graphique nous suggère la formule suivante :

L tt

t( ) , . , .= + = +1 0 000110

1 0 00001

où L(t) désigne la longueur de la barre de température t.

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Mathématiques orientées construction – analyse

76

Au delà de cette expérience, des questions peuvent se poser . Quelle serait la longueur de la barre chauffée à 70°C ? Quelle serait la température de la barre mesurant 1,0006 m ? Il existe deux manière de répondre à ces questions : algébriquement : L m= + =1 0 00001 70 1 0007, . ,

1 0006 1 0 000011 0006 10 00001

60, , .,

,= + ⇔ =

−= °t t C

graphiquement : on lit directement les résultats obtenus ci-dessus. Commentaires Nous venons de constater que des résultats d'une expérience peuvent se consigner dans un tableau, se représenter dans un graphique, être représentés par une formule. Selon les techniques utilisées, l'ordre de ces trois démarches peut varier. Ainsi, un thermomètre enregistreur, un électrocardiogramme, un sismographe donneront un graphique en premier dont on pourra tirer un tableau numérique et peut-être une formule. Des résultats d'expériences physiques, chimiques, biologiques ou statistiques donneront des tableaux de valeurs qui permettront de construire des graphiques et peut-être des formulations analytiques. Enfin la donnée d'une formule facilite la création d'un tableau numérique, surtout à l'aide des moyens de calculs actuels, dont on pourra tirer un graphique.

2. Définitions générales 2.1. Fonction

On appelle fonction numérique d’une variable réelle ou fonction réelle d’une variable réelle toute relation de ℜ dans ℜ qui à chaque réel associe au plus un réel.

Notation : f x f x: : ( )ℜ → ℜ → ou encore f x y f x: : ( )ℜ → ℜ → = .

Vocabulaire : f(x) est l’expression analytique de la fonction f; pour une valeur particulière de x, f(x) est l’image de x par la fonction f ou la valeur de la fonction f en x. Exemple et contre-exemple : a/ f x f x x: : ( )ℜ → ℜ → = −2 1 est une fonction réelle de la variable réelle x, dont

l’expression analytique est f x x( ) = −2 1 .

f(2) = 3 ⇔ 3 est l’image de 2 par f ⇔ 3 est la valeur de f en 2.

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Mathématiques orientées construction – analyse

77

b/ La relation de ℜ dans ℜ "avoir pour racine carrée" n'est pas une fonction car par exemple 4 a pour racines carrées 2 et -2. c/ La relation "prix du parking" de ℜ dans ℜ décrite par le tableau suivant est bien une fonction :

durée (h) prix ( € )

1

2

3

4

5

6

12 et plus

Remarque : dans un souci de concision et par abus de langage, on parlera le plus souvent de "fonction" pour "fonction réelle d'une variable réelle" et on désignera une fonction par son expression analytique chaque fois que c'est possible. Ainsi, par exemple, on parlera de la fonction f x x( ) = −2 1 pour la fonction

f x f x x: : ( )ℜ → ℜ → = −2 1 .

2.2. Domaine de définition

La fonction f est définie en un réel a si a possède une image par f, ou encore si la valeur de f en a existe.

Ainsi, f x x x( ) = − +2 3 4 est définie en -1 (par exemple) puisque f(-1) = 8;

f x x( ) = −1 n'est pas définie en 2 (par exemple) puisque f( )2 1 2= − !, ce qui est

évidemment dépourvu de sens !

On appelle domaine de définition d'une fonction f l'ensemble des nombres réels en lesquels elle est définie. Il est noté dom f.

2.3. Zéro

On appelle zéro ou racine d'une fonction f tout nombre dont l'image par f est 0 (on dit aussi tout nombre qui annule la fonction).

Pour trouver les éventuelles racines d'une fonction, il suffit de résoudre l'équation f(x) = 0.

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Mathématiques orientées construction – analyse

78

exemples : a/ les racines de la fonction f x x( ) = −2 1 sont 1 et -1;

b/ la fonction f xx

( ) =1

n'a pas de racine.

2.4. Graphe et graphique

On appelle graphe cartésien d'une fonction f l'ensemble des couples de nombres réels de la forme (x,f(x)), où x parcourt le domaine de définition de f.

La représentation graphique du graphe cartésien d'une fonction f se nomme le graphique de la fonction f.

exemples :

f(x)=x²

0

5

10

15

20

25

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

fonction sinus

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

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79

3. Dérivées 3.1. Exemple introductif

Considérons un corps simple en chute

libre dans le vide (ou dans l'air en négligeant les frottements). La physique nous enseigne que si on le lâche avec une vitesse initiale nulle, son mouvement peut être décrit par la fonction

( )e t gt=12

2 où e(t) est l'espace parcouru par le

corps depuis l'instant initial (t = 0) jusqu'à l'instant t. Pour la simplicité des calculs, prenons comme approximation

e(t) = 5t². Tentons de calculer la vitesse du corps à l'instant t = 3s. pour ce faire, calculons la vitesse moyenne du corps entre l'instant t = 3s et un instant ultérieur. Les résultats sont repris dans le tableau suivant : instant initial

instant ultérieur

espace parcouru jusqu'à l'instant initial

espace parcouru jusqu'à l'instant ultérieur

espace parcouru pendant cet intervalle de temps

intervalle de temps

vitesse moyenne

3 5 5.3²=45 5.5²=125 125-45=80 5-3=2 80/2=40 3 4 5.3²=45 5.4²=80 80-45=35 5-4=1 35/1=35 3 3,5 5.3²=45 5.3,5²=61,2

5 16,25 0,5 32,5

3 3,1 5.3²=45 48,05 3,05 0,1 30,5 3 3,01 5.3²=45 45,3005 0,3005 0,01 30,05 3 3,001 5.3²=45 45,030005 0,030005 0,001 30,005 L'examen de ce tableau semble nous indiquer que la vitesse moyenne tend vers 30 m/s lorsque l'intervalle de temps tend vers 0. Vérifions par le calcul :

( ) ( )V

h

h

h h

h

h h

hhmoy =

+ −

+ −=

+ + −=

+= +

5 3 5 3

3 3

5 3 30 5 5 3 30 530 5

2 2 2 2 2. . . .

La vitesse à l'instant t = 3s est donc

( ) ( )lim lim. .

limh

moyh h

Vh

hh

→ → →=

+ −

+ −= + =

0 0

2 2

0

5 3 5 3

3 330 5 30 .

position initiale t = 0

e(t)

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Mathématiques orientées construction – analyse

80

Ce nombre 30 est appelé nombre dérivé de la fonction f(t) = 5t² en t = 3. Si nous étudions cette situations d'une manière un peu plus générale, nous obtenons pour la vitesse à l'instant t :

( ) ( )lim lim. .

lim. . .

limh

moyh h h

Vt h t

t h t

t th h t

ht h t

→ → → →=

+ −

+ −=

+ + −= + =

0 0

2 2

0

2 2 2

0

5 5 5 10 5 510 5 10 .

Cette dernière expression (10t) est appelée fonction dérivée de la fonction f(t) = 5t². 3.2. Définitions

On appelle nombre dérivé d'une fonction f en un point x0 l'expression (quand elle existe)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x Df Lim

f x f x

x xLim

f x h f x

hx x x h' 0

0

00

0 0

0 0

= =−

−=

+ −

→ →

On appelle fonction dérivée d'une fonction f la fonction qui à x associe le nombre dérivé de f en x :

f x f x

Df x Dfx

' : : '( )

: :

ℜ → ℜ →

ℜ → ℜ →

3.3. Propriétés

( )( )

( )

( )

( )

x n x

x x

x x

tg xx

g xx

n n′=

′= −

′=

′=

′=

−1

2

2

1

1

cos sin

sin cos

cos

cotsin

( )

( )

( )

( )

( )

( )

arcsin

arccos

ln

xx

xx

arctg xx

Ln xx

e e

a a a

x x

x x

′=

−′

=−

−′

=+

′=

′=

′=

1

11

11

11

2

2

2

( )K f K f. .′

= ′ ( )f g f g f g.′

= ′ + ′

( )f g f g+′

= ′ + ′ fg

g f f g

g

′=

′ − ′2

( )( )( ) ( ) ( )f g x f g xg x

′= ′ ′.

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Mathématiques orientées construction – analyse

81

3.4. Interprétation géométrique

Soit une fonction f définie au voisinage

d'un point x0 . Désignons par P0 le point de

coordonnées (x0 ,f( x0 )) et par Ph le point de

coordonnées (x0 +h,f(x0 +h)). Traçons la droite

P0 Ph et supposons que la dérivée de f existe en

x0 .

Lorsque h tend vers 0, le point Ph se

rapproche de P0 et la droite P0 Ph tend vers

une position limite qui s'appelle par définition la tangente au graphique de f. De plus, la pente de cette tangente est la limite lorsque h tend vers 0 de la pente des droites P0 Ph , c'est-à-dire

( ) ( )

( ) ( )

lim lim

lim

h

P P

P Ph

h

y y

x x

f x h f x

x h x

f x h f x

h

h

h→ →

−=

+ −

+ −

=+ −

0 0

0 0

0 0

0

0 0

0

0

Le coefficient angulaire (la pente) de la tangente au graphique d'une fonction f en un de ses points est donc égale à la valeur de la dérivée de f en ce point. L'équation de la tangente au graphique d'une fonction f au point ( )( )x f x0 0, est ( ) ( )( )y f x f x x x− = ′ −0 0 0 .

3.5. Rôle de la dérivée • Si la dérivée d'une fonction f est positive sur une intervalle ]a,b[, alors la fonction f est

strictement croissante sur cet intervalle. • Si la dérivée d'une fonction f est négative sur une intervalle ]a,b[, alors la fonction f est

strictement décroissante sur cet intervalle. • Si la dérivée seconde d'une fonction f est positive sur un intervalle ]a,b[, cette fonction

est dite de concavité positive sur ]a,b[. • Si la dérivée seconde d'une fonction f est négative sur un intervalle ]a,b[, cette fonction

est dite de concavité négative sur ]a,b[. On appelle point d'inflexion d'une fonction f un point d'abscisse x0 où f est continue et où la dérivée seconde de f change de signe.

Remarquons que cette définition est valable même si cette dérivée seconde n'est pas définie en x0 .

• Si f est une fonction continue sur ]a,b[ et dérivable sur ]a, x0 [ U ] x0 ,b[, le point

d'abscisse x0 est un point de rebroussement du graphique de f si les limites ( )Lim f xx x→ +

′0

et

( )Lim f xx x→ −

′0

sont infinies et de signe distinct.

x0 x0 +h

f( x0 )

f( x0 +h) Ph

P0

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Mathématiques orientées construction – analyse

82

• Si f est une fonction continue sur ]a,b[ et dérivable sur ]a, x0 [ U ] x0 ,b[, le point

d'abscisse x0 est un point anguleux du graphique de f si les limites ( )Lim f xx x→ +

′0

et ( )Lim f xx x→ −

′0

sont distinctes et non toutes deux infinies.

4. Fonctions trigonométriques

4.1. Le radian

1

1 radian

1

Considérons un cercle de rayon 1. Le radian est par définition l’angle qui intercepte sur le cercle un arc de longueur égale au rayon, c’est-à-dire 1.

1

1 radian

11

60°

1

Remarque : si on porte à partir de A d’une part un arc de cercle de longueur 1, et d’autre par une corde (un segment de droite) de longueur 1, on voit de suite que 1 radian < 60° (par abus d’écriture).

4.2. Relation entre les unités

Considérons à nouveau le cercle de rayon 1 utilisé ci-dessus : sa longueur est 2πR = 2π.1 = 2π. La longueur d’un tel demi-cercle est donc π. A un arc de cercle de longueur 1 correspond un angle au centre de 1 radian, donc, à un arc de cercle de longueur π correspond un angle au centre de π radians, ou 180°, ou 200 g. D’où la relation

180° = ππππ (radians) =

200 g

Remarque : lorsqu’on mesure les angles en radians, on indique pas l’unité. Ce qui ,explique les parenthèses dans la relation ci-dessus.

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Mathématiques orientées construction – analyse

83

4.3. Angles orientés

4.3.1. Définitions

AO

B

Un angle orienté est un couple de deux demi-droites de même origine. ([OA, [OB) est un angle orienté. [OA est appelé le côté-origine de l’angle orienté, [OB est appelé le côté-extrémité de l’angle orienté.

Un angle orienté a un sens : du côté-origine vers le côté extrémité. Puisq’un angle orienté a un sens, deux demi-droites [OA et [OB de même origine déterminent deux angles orienté différents : l’angle ([OA,[OB) et l’angle ([OB,[OA). Ces angles sont dits opposés : le premier est dit positif et l ’autre négatif. Le sens positif est donc le sens contraire des aiguilles d’une montre.

AO

B

+

AO

B

-

4.3.2. Angles orientés égaux Deux angles orientés sont dits égaux si on peut les superposer de manière que le côté-origine du premier coïncide avec le côté-origine du second et que le côté-extrémité du premier coïncide avec le côté-extrémité du second. Cela revient à dire que deux angles orientés sont égaux s’ils sont de même sens et s’ils correspondent à des angles non orientés égaux.

4.3.3. Mesures des angles orientés

AO

B

+ 31°

Degrés Considérons l’angle orienté de la figure ci-contre. Imaginons que le côté-origine [OA soit mobile autour de O et faisons le pivoter jusqu’à ce que [OA coïncide avec [OB. On peut procéder de plusieurs manières. Tout d’abord, on peut faire tourner [OA depuis sa position initiale jusqu’à la position du côté [OB; on parcourt alors un angle de 31°.

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Mathématiques orientées construction – analyse

84

On peut aussi, toujours en partant de la position initiale de [OA, partir dans l’autre sens jusqu’à la position de [OB; on parcourt alors un angle de -329°. Remarquons que -329° = 31 ° - 360°. On peut aussi, toujours en partant de la position initiale de [OA, parcourir un tour complet pour revenir en [OA, puis poursuivre jusqu’en [OB; on parcourt alors un angle de 360° + 31° = 391° si on va dans le sens positif, ou -360° + 31° = - 329° si on va dans le sens négatif. En généralisant ce processus, pour aller de [OA en [OB, on peut effectuer un nombre quelconque de tours complets, dans le sens positif ou négatif, puis aller de [OA en [OB. Au total, on aura parcouru 31° + k.360° ,avec k entier. Nous dirons que l’angle ([OA,[OB) a une infinité de mesures de la forme 31° + k.360°, où k est un entier. En généralisant encore, nous retiendrons que

tout angle orienté possède une infinité de mesures de la forme d° + k.360°, k

étant un entier.

Radians En procédant comme ci-dessus, on conclut que

tout angle orienté possède une infinité de mesures de la forme r + k.ππππ, k étant

un entier.

4.4. Cercle trigonométrique

4.4.1. Définition

On appelle cercle trigonométrique tout cercle de rayon 1 muni d'un repère orthonormé dont l'origine coïncide avec le centre du cercle. Rappelons qu'un repère orthonormé possède deux vecteurs unitaires perpendiculaires et de même longueur.

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Mathématiques orientées construction – analyse

85

4.4.2. Point image d'un angle orienté

α

β

α

β

P

P

1

1

0

Soit un cercle trigonométrique et un angle orienté α. Rapporter l'angle orienté α au cercle trigonométrique, c'est construire l'angle orienté égal à α dont le sommet est au centre du cercle et dont le côté-origine coïncide avec le demi-axe positif [O,X. Le côté-extrémité coupe alors le cercle en un point Pα appelé point-image de l'angle αααα.

On voit de suite que

1/ à tout ensemble d'angles orientés égaux correspond un et un seul point du cercle

trigonométrique; 2/ à tout point du cercle correspond un et un seul ensemble d'angles orientés égaux.

On en déduit que toute notion concernant un angle orienté peut être définie à l'aide de son point-image.

4.5. Sinus et cosinus 4.5.1 Définitions

αβ

α

β

P

P

1

1

0

cos

sin α

α

Soit un cercle trigonométrique et un angle orienté α, de point-image Pα. Par définition,

cosinus de l'angle αααα = cos αααα = abscisse de Pαααα

sinus de l'angle αααα = sin αααα = ordonnée de Pαααα

Puisque tout angle orienté possède une et une seule famille de mesures (de la forme d° + k.360°), on peut sans confusion identifier un angle à ses mesures et, par exemple, parler de l'angle 35° + k.360°. On peut même aller plus loin et définir le sinus et le cosinus d'un nombre réel :

si r est un nombre réel quelconque,

cos r = cosinus de l'angle dont une mesure est r sin r = sinus de l'angle dont une mesure est r.

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86

4.5.2. Propriétés

1/ sin αααα et cos αααα sont des nombres réels compris entre -1 et 1 : ∀∀∀∀ −−−− ≤≤≤≤ ≤≤≤≤

∀∀∀∀ −−−− ≤≤≤≤ ≤≤≤≤

αααα αααα

αααα αααα

: sin

: cos

1 1

1 1

2/ Relation fondamentale : Dans le triangle rectangle O Pα' Pα, le théorème de Pythagore donne

( ) ( )OP P P OP

ce qui s é crit

α α α

α α

' '

cos sin , '

2 2 2

2 21

+ =

+ =

cos sin2 2 1α α+ = 3/ signe du sinus et du cosinus :

cosinus

+

-

sinus

+

-

4.6. Tangente et cotangente

4.6.1. Définitions

tg αα

α=

sincos

, pour απ

π≠ +2

k cotcossin

g αα

α= , pour α π≠ k

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87

4.6.2. interprétation géométrique

β

βP

1

0

β

tan β

cotg

Q

R

P'

Soit un angle β rapporté à un cercle trigonométrique. Du point A(1,0), menons un axe t parallèle à l'axe des ordonnées Y et d'origine A. Du point B(0,1), menons un axe c parallèle à l'axe des abscisses X et d'origine B. Considérons un angle β du troisième quadrant, les autres cas se démontrant d'une manière analogue. Désignons par Q le point d'intersection du côté-extrémité de β avec l'axe t et par R le point d'intersection du côté-extrémité de α avec l'axe c. Les triangles OP'P et OAQ sont semblables car ils ont un angle ( non orienté )

commun et OP P OAQ$' $= = °90 . Dès lors on a

OP

OA

OP

OQ

P P

AQ

et doncAQ

soit AQ

' '

cos sin,

sincos

= =

= =β β β

β1

Comme β est dans le troisième quadrant, sin α < 0, cos α < 0 et AQ > 0 :

AQ tg= α

On démontre de même que BR g= cot α

4.6.3. Propriétés

+

+

Le signe de la tangente et de la cotangente découlent immédiatement de ceux du sinus et du cosinus ou encore de l'interprétation géométrique ci-dessus. Il est résumé ci-contre.

Si απ

αα

αα

α α≠ = ⇔ = ⇔ =ktg

tg tg2

1 11, alors cotg

cotg cotg .

Si απ

π

αα

≠ +

+ =

2

1122

k

tg

,

cos

Si

cotg

α π

αα

+ =

k ,

sin1

122

A

B

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88

Démontrons par exemple la première :

1 1 112

2 2

2

2 2

2 2+ = +

= + =+

=tg αα

α

α

α

α α

α α

sin

cos

sin

cos

cos sin

cos cos

4.7. Fonction sinus

Nous savons que le sinus d'un nombre réel peut être facilement défini. Dès lors, on peut facilement définir la fonction SINUS. Il faut cependant noter que lorsqu'on

considère les fonctions trigonométriques ( sinus, cosinus, tangente, cotangente ou toute autre qui en découle ), on travaille obligatoirement en RADIANS; et ce entre autre pour des raisons pratiques dans le calcul des limites et des dérivées. Ainsi, la fonction sinus est définie comme suit :Sin x x x en radia: : sin (ℜ → ℜ → ns )

1.5

1.5

sin x( )

4 π.4 π. x

10 5 0 5 10

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

Puisque sin ( ) sin x k x+ =2 π quel que soit x, on en déduit que la fonction sinus prends

la même valeur "tous les 2π". Une telle fonction est dite périodique. Sa période est de 2π. On obtient le graphique de la fonction sinus en le déterminant entre 0 et 2π puis en reportant de proche en proche le dessin obtenu. 4.8. Fonction cosinus

En procédant comme pour la fonction sinus, on définit la fonction cosinus cos : : cos (ℜ → ℜ →x x x en radians ) , qui elle aussi est de période 2π.

1.5

1.5

cos x( )

4 π.4 π. x

10 5 0 5 10

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

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Mathématiques orientées construction – analyse

89

4.9. Fonction tangente

En procédant comme pour la fonction sinus, on définit la fonction tangente

tg x tg x x en radia: : (ℜ → ℜ → ns ) qui elle est de période π et qui n'est pas définie en les points d'abscisse π

π2

+ k .

25.075398

25.081682

tan x( )

π

2

π

2

x

1 0 1

30

20

10

10

20

30

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Mathématiques orientées construction – analyse

90

5. Primitives et intégrales 5.1. Exemple introductif

Pour calculer la surface d’une partie du plan, les Anciens la décomposaient en figures géométriques pour lesquelles le calcul des aires est aisé. Essayons cette méthode pour une surface S limitée par 3 droites A,B,C et une courbe G. Considérons la fonction f x x: :ℜ → ℜ → 2 de

graphique G et les droites d'équation x = 1, x = 3 et y = 0. Nous découpons [1,3] respectivement en 2, 4, 8, 16,..., 2n sous-intervalles de même longueur. Nous construisons des rectangles dont les bases sont les sous-intervalles et dont les hauteurs sont les réels déterminés de la manière suivante: • 1er cas: l’image (par f) de l’origine du sous-intervalle; • 2ème cas: l’image (par f) du milieu du sous-intervalle. • 3ème cas: l’image (par f) de l’extrémité du sous-intervalle. Dans chacun des cas nous calculons la somme des aires des rectangles ainsi construits. Ainsi, nous obtenons successivement pour n=2, n=4, n=8 sous-intervalles les situations suivantes :

n = 2

n = 4

Y

X

1 3

B

G

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91

n = 8

Intuitivement, il est facile de comprendre que l’approximation de l’aire de la surface S s’améliore lorsque l’amplitude des sous-intervalles diminue, c’est-à-dire. lorsque le nombre de divisions augmente. Notons n le nombre de sous-intervalles de [1,3]

S i la somme des aires des rectangles construits dans le 1er cas,

Sm la somme des aires des rectangles construits dans le 2ème cas,

SS la somme des aires des rectangles construits dans le 3ème cas. A l’aide de notre calculatrice ou micro-ordinateur, nous avons obtenu les résultats suivants :

n Si Sm Ss

2 5 8.5 13 4 6.75 8.625 10.75 8 7.6875 8.65625 9.6875

16 8.171875 8.6640625 9.171875 32 8.41796875 8.666015625 8.91796875 64 8.5419921875 8.66650390625 8.7919921875

128 8.604248046875 8.6666259765625 8.729248046875 256 8.63543701171875 8.666656494140625 8.69793701171875 512 8.651046752929687 8.666664123535156 8.682296752929687

1024 8.658855438232422 8.666666030883789 8.674480438232422 2048 8.662760734558105 8.666666507720947 8.670573234558105 4096 8.664713621139526 8.666666626930237 8.668619871139526 8192 8.665690124034882 8.666666656732559 8.667643249034882

16384 8.66617839038372 8.666666664183140 8.66715495288372 32768 8.66642252728343 8.666666666045785 8.66691080853343 65536 8.666544596664608 8.666666666511446 8.666788737289608

Nous pouvons donc admettre que 8.666 est une approximation de l’aire cherchée avec 3

décimales exactes. On peut montrer que celle-ci vaut exactement 263

, mais pour y parvenir,

il nous faut préciser quelque peut notre notion d’aire d’une partie du plan.

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Mathématiques orientées construction – analyse

92

5.2. Intégrale définie d’une fonction continue

5.2.1. Notion d’intégrabilité et d’intégrale définie Soit f: ( )ℜ → ℜ →: x f x une fonction continue sur [a,b].

Effectuons une subdivision finie de [a,b] en n sous-intervalles aient la même longueur

∆xb a

n=

−.

Appelons Fns la somme ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x f c x x f c x x f cn n n1 0 1 2 1 2 1− + − + + − −L où ( )f ci est la

plus grande valeur prise par f sur [ ]x xi i−1, ,et Fni la somme

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x f d x x f d x x f dn n n1 0 1 2 1 2 1− + − + + − −L où ( )f d i est la plus grande valeur prise par f

sur [ ]x xi i−1, ,ce qui se note encore :

( )F x x f cns

i i ii

n

= − −=∑ ( )1

1

et ( )F x x f dni

i i ii

n

= − −=∑ ( )1

1

Si la différence Fn

s -Fni tend vers 0 lorsque n tend vers + ∞ , alors Fn

s et Fni admettent

la même limite lorsque n tend vers + ∞

Dans ce cas, toute somme f xii

n

( )α ∆=∑

1

, où αi est un réel quelconque de [ ]x xi i−1, admet

la même limite que Fns et Fn

i lorsque n → +∞ .

En effet, quel que soit i, on peut écrire f d f f ci i i( ) ( ) ( )≤ ≤α .

Il s’ensuit alors que Fns ≤ f xi

i

n

( )α ∆=∑

1

≤ Fni .

Dès lors l’égalité lim limn

ns

nniF F

→ +∞ → +∞= entraîne la thèse.

On dit alors que f est INTEGRABLE. On peut encore arriver à cette même limite en prenant des subdivisions quelconques de [a,b]. Il faut cependant que, dans ce cas, chacun des ∆ xi ( qui ne sont plus nécessairement égaux ) tende vers 0 lorsque n tend vers + ∞ .

Nous sommes ainsi amenés à la définition suivante:

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Mathématiques orientées construction – analyse

93

Si lim ( )n

x

i i

i

f x x→ + ∞

→∆

∆0

existe et est indépendante des réels intermédiaires αi , ainsi

que du choix des points de la subdivision de [a,b], alors

• f est intégrable sur [a,b]; • cette limite est appelée intégrale définie de f entre les bornes a et b et est

notée f x dxa

b( )∫

Ainsi donc lorsque f est intégrale sur [a,b], son intégrale définie entre les

bornes a et b est donnée par

f x dx f xn

x

i ii

n

a

b

i

( ) lim ( )=→ + ∞

→ =∑∫

∆0 1

α

Remarques:

1/ Le symbole ∫ rappelle la lettre S, première lettre du mot “somme”.

2/ f(x)dx rappelle que les termes de la somme sont de la forme f xi i( )α ∆ .

3/ La lettre x figurant dans la notation utilisée pour noter une intégrale définie peut être remplacée par n’importe quel symbole:

f x dxa

b( )∫ = f u du

a

b( )∫ = f t dt

a

b( )∫

5.2.2. Interprétation géométrique Soient f une fonction réelle à variable réelle continue sur [a,b] et P la partie du plan métrique rapportée à une base orthonormée qui est délimitée par l’axe des abscisses, le graphique cartésien de f et les droites d’équation x = a et x = b.

1er cas : f est positive sur [a,b]

Pour chaque subdivision de [a,b], on a f xi ii

n

( )α ∆=∑ ≥

1

0

d’où f x dxa

b( ) ≥∫ 0 . Ainsi, l’aire de la partie P égale f x dx

a

b( )∫ .

2e cas: f est négative sur [a,b]

Pour chaque subdivision de [a,b], on a f xi ii

n

( )α ∆=∑ ≤

1

0 d’où

f x dxa

b( ) ≤∫ 0 .

Ainsi, l’aire de la partie P égale - f x dxa

b( )∫ .

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Mathématiques orientées construction – analyse

94

3e cas: f est quelconque sur [a,b]

Supposons qu’il existe un réel c de [a,b] tel que f soit positive sur [a,c] et négative sur [c,b]. Dans ce cas, les considérations précédentes permettent

d’affirmer que l’aire de la partie P égale f x dxa

c( )∫ + −

∫ f x dx

c

b( ) .

5.2.3. Propriétés de l’intégrale définie

1/ Toute fonction continue sur [a,b] est intégrable sur [a,b]. 2/ La permutation des bornes de l’intégrale définie d’une fonction continue change le

signe de cette intégrale: f x dx f x dxa

b

b

a( ) ( )∫ ∫= −

3/ Pour toute fonction continue en a , f x dxa

a( )∫ = 0

4/ Additivité de l’intégrale définie : si f est continue sur [a,b], alors quel que soit le

nombre c dans [a,b], f x dx f x dx f x dxa

b

a

c

c

b( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫= +

5/ Linéarité de l’intégrale définie : si f et g sont continues sur [a,b], alors

( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dxa

b

a

b

a

b+ = +∫ ∫ ∫

6/ Linéarité de l’intégrale définie : si f est continue sur [a,b], alors pour tout nombre

réel k on a k f x dx k f x dxa

b

a

b. ( ) . ( )∫ ∫=

7/ théorème de la moyenne : si f est continue sur [a,b], si m est la plus petite valeur prise par f sur [a,b], si M est la plus grande valeur prise par f sur [a,b], alors

m b a f x dx M b aa

b. ( ) ( ) . ( )− ≤ ≤ −∫ et ∃ ∈ = −∫c a b f x dx b a f c

a

b[ , ] : ( ) ( ). ( )

f (c )

ca b

m

M

M .(b -a )

m .(b -a )

(b -a ) . f (c )

f x dxa

b

( )∫f x dxa

b

( )∫

a b

8/ Formule de l’intégrale définie d’une fonction continue : si f est continue sur [a,b] et

si f est la dérivée de la fonction F, sur [a,b], alors

∀ ∈ = −∫x a b f t dt F x F aa

x[ , ] : ( ) ( ) ( )

En particulier : [ ]f t dt F b F a F ta

b

a

b( ) ( ) ( ) ( )∫ = − =

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Mathématiques orientées construction – analyse

95

5.3. Primitives

5.3.1. Définition Dans le théorème 8 ci-dessus, nous avons remarqué que pour calculer l’intégrale d’une fonction f, il faut chercher une fonction F dont la dérivée est f. Ainsi, des fonctions dont la dérivée est la fonction f(x) = x sont

F xx

F xx

F xx

F xx

F xx

1

2

2

2

3

2

4

2

5

2

2 29

21000

20 2536

25( ) , ( ) , ( ) , ( ) . , ( ) . . .= = + = − = + = −

Ces considérations nous amènent à introduire la définition suivante :

La fonction F définie et dérivable sur ]a,b[ est une primitive de la fonction f

définie et continue sur ]a,b[ si la dérivée de F est f.

Exemple : F(x) = sin x est une primitive de f(x) = cos x sur ℜ puisque ( )sin cosx x′

= .

Conséquence d’une propriété des dérivées :

Si F est une primitive de f sur ]a,b[, alors F + C est aussi une primitive de f

sur ]a,b[, quel que soit le réel C.

En effet, (F + C)’ = F’ = f

L'ensemble des primitives d'une fonction f est noté f x dx( )∫ . Ainsi

Si F est une primitive de f, alors f x dx F x C( ) ( )∫ = + , C étant un réel quelconque.

Primitiver une fonction, c’est en déterminer toutes les primitives. Ainsi,

( )3 32 2

2 3 3 22 2

x dx x C car x C x et x dxx

C carx

C x∫ ∫= + +′

= = + +

′=, ,

5.3.2. Primitivation immédiate

Les techniques de primitivation immédiate découlent directement du formulaire de dérivation . Elles sont reprises dans le tableau suivant :

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Mathématiques orientées construction – analyse

96

Dérivées Primitives

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

xn n xn

x x

x x

tg xx

g xx

xx

xx

arctg xx

xx

e e

a a a

x x

x x

′= −

′ = −

′ =

′ =

′ =−

′ =−

′ =−

′ =+

′=

′=

′=

1

12

12

1

1 2

1

1 2

1

1 2

1

cos sin

sin cos

cos

cotsin

arcsin

arccos

ln

ln

x dxxn

C

x dx x C

x dx x C

dxx

tg x C

dxx

g x C

dx

xx C

ar x C

xarctg x C

xdx x C

e dx e C

a dxa

aC

nn

x x

xx

∫∫

=+

+

= − +

= +

= +

= − +

−= +

= − +

+= +

= +

= +

= +

+1

2

2

2

2

1

1

11

1

sin cos

cos sin

cos

sincot

arcsin

cos

ln

ln 5.3.3. Propriétés des primitives La primitivation est une opération linéaire .

On a k f x dx k f x dx. ( ) . ( )∫ ∫= et ( )f x g x dx f x dx g x dx( ) ( ) ( ) ( )+ = +∫ ∫ ∫ , quel que soit le

réel k.

Il suffit de prouver à chaque fois que les deux membres ont même dérivée :

( ) ( )k.f(x) dx f(x) dx∫ ∫′

= =′

k f x k. ( ) . et ( )[ ] [ ] [ ]f x g x dx f x g x f x dx g x dx( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+′

= + =′

+′

∫ ∫ ∫

Primitivation par parties : f x g x dx f x g x f x g x dx( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )∫ ∫= −

Pour s’en convaincre, il suffit de vérifier que les deux membres ont même dérivée :

[ ] [ ]f x g x dx f x g x f x g x f x g x dx f x g x f x g x f x g x f x g x( ) '( ) ( ) '( ); ( ) ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( )∫ ∫′

= −′

= + − =

Primitivation et composition de fonctions : f g x g x dx f t dtt g x

[ ( )] '( ) ( )( )∫ ∫=

=

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Mathématiques orientées construction – analyse

97

Cela découle de la règle de dérivation des fonctions de fonctions.

6. Applications des primitives 6.1. Centre d'inertie des surfaces planes 6.1.1. Moment d'ordre un d'un élément de surface Considérons un élément de surface et un axe situé dans le plan de celui-ci. On appelle moment d'ordre 1 de cet élément de surface par rapport à cet axe le produit de la surface de l'élément par sa distance à cet axe. Sur la figure ci-contre, le moment d'ordre 1 de l'élément ds, autour de l'axe X, est donné par

y ds, et autour de l'axe Y par

x ds.

6.1.2. Moment d'ordre un d'une surface finie

Le moment d'ordre 1 d'une surface finie autour de tout axe situé dans son plan est par définition la somme de tous les moments d'ordre 1 des ses éléments de surface autour du même axe. On le calcule évidemment à l'aide d'une intégrale, la sommation étant étendue à toute la surface. Le moment d'ordre 1 d'une surface est aussi appelé moment statique de cette surface. Sur la figure ci-contre, le moment statique par rapport à l'axe X est défini par la relation

y dsS∫

ds

x

y

X

Y

O

ds

y

X

Y

O

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Mathématiques orientées construction – analyse

98

6.1.3. Centre d'inertie d'une surface

Les coordonnées du centre d'inertie d'une surface finie S sont données par les relations

x

x ds

SS=∫

y

y ds

SS=∫

On montre dans les cours de stabilité (par exemple) que le centre d'inertie d'une surface est tel que cette surface resterait en équilibre (dans un plan horizontal) si on la posait sur un support ponctuel exactement sous ce centre d'inertie. 6.2. Moment d'inertie des surfaces planes 6.2.1. Définitions En procédant comme ci-dessus, on définit la notion de moment d'ordre 2 d'un élément de surface, puis d'une surface finie. Ce moment d'ordre 2 s'appelle souvent moment d'inertie de la surface en question. Considérons un élément de surface et un axe situé dans le plan de celui-ci. On appelle moment d'ordre 2 de cet élément de surface par rapport à cet axe le produit de la surface de l'élément par le carré de sa distance à cet axe. Sur la figure du paragraphe 6.1.1, le moment d'ordre 2 de l'élément ds, autour de l'axe X, est donné par y² ds, et autour de l'axe Y par x² ds. Le moment d'ordre 2 (ou moment d'inertie) d'une surface finie autour de tout axe situé dans son plan est par définition la somme de tous les moments d'ordre 2 des ses éléments de surface autour du même axe. On le calcule évidemment à l'aide d'une intégrale, la sommation étant étendue à toute la surface. Il est souvent noté IX, où X est l'axe par rapport auquel il est calculé. Sur la figure du paragraphe 6.1.2., le moment d'inertie par rapport à l'axe X est défini par la relation

I y dsX

S

= ∫ ²

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Mathématiques orientées construction – analyse

99

6.2.2. Théorème des axes parallèles

Le moment d'inertie d'une surface autour d'un axe est égal à son moment d'inertie autour de l'axe parallèle au premier et passant par le centre d'inertie de la surface, augmenté du produit de la surface par le carré de la distance entre les axes. Sur la figure ci-contre, cela donne

I I S d

I I S d

X X x

Y Y y

G

G

= +

= +

.

.

2

2

Pour démontrer la première relation, désignons par X l'axe par rapport auquel on calcule le moment d'inertie, XG l'axe parallèle à X passant par le centre d'inertie G de la surface S, ds un élément de surface de S, y la distance entre ds et X, y' la distance entre ds et XG et par dx la distance entre les deux axes. Il vient alors

( )I y ds y d ds y ds y d ds d ds I d y ds d dsX

S

x

S S

x

S

x

S

X x

S

x

SG

= = + = + + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫² ' ² '² ' ² ' ²2 2

I I d S y d S I d SX X x G X X XG G

= + + = +2 ' ² ²

puisque, dans le terme du milieu, y'G = 0 étant donné que G est à l'origine des axes XG et YG . On démontre évidemment la deuxième relation de la même manière. Ce théorème montre que, de tous les moments d'inertie d'une surface par rapport à un faisceau d'axes parallèles, celui qui est minimum est celui relatif à l'axe passant par le centre d'inertie de la surface. 6.3. flexion simple

6.3.1. Cas d'une charge unique centrée Un profil IPE 200 long de 10 m soutient en son milieu C une charge de 7000 N. Il est en appui simple, homogène et en acier de module d'élasticité E = 200 000 N/mm². Le but du présent paragraphe est d'établir l'équation de la fonction y = f(x) décrivant l'état de la barre déformée.

x

y

X

Y

O

XG

YG

G

y' ds x'

dy

dx

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Mathématiques orientées construction – analyse

100

10

Ra

Rb

70

00

N

Définissons tout d'abord nos axes : origine en A, axe X suivant le profil vers B, axe Y perpendiculaire vers le haut. Statique du problème : la somme des forces extérieures est nulle : R RA B+ = 7000 ; la

somme des moments des forces extérieures par rapport à un point quelconque est nulle : en A, on a

M R

R N

R N

A B

B

A

= ⇔ =

= =

= − =

0 10 5 7000

5 7000

103500

7000 3500 3500

.

.

Moment d'inertie d'une section plane droite de la barre par rapport à un axe passant par son centre de gravité :

I cm= 1943 4

Moment d'inertie des forces extérieures le long de la barre : de A à C : M R x xx A= =. .3500

de C à B : ( )M R x p xL

x x xx A= − −

= − − = − +. .2

3500 7000 5 3500 35000

Equation de la déformée : on utilise la relation

( ) ( )y" xM

E IE I y" x Mx

x= ⇔ =

où y"(x) désigne la dérivée seconde de la fonction y(x), c'est-à-dire la dérivée de la dérivée de y(x). La déformation de la barre étant évidemment symétrique par rapport à C, on étudie la barre et sa déformation que de A à C. De A à c, on a donc

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Mathématiques orientées construction – analyse

101

( )

( )

E I y" x x

E I y x x dxx

C x C

=

= = + = +∫

3500

3500 35002

17502

12

1'

où C1 désigne une constante arbitraire qu'il faut bien évidemment déterminer à l'aide du

contexte. Or C est le milieu de la barre (où se trouve la charge) et est donc aussi l'endroit où la barre atteint son fléchissement maximum (flèche). La tangente à la déformée est donc horizontale à cet endroit. Si on se rappelle que l'angle que fait la tangente à une courbe en un de ses point a pour coefficient angulaire la valeur de la dérivée en ce point, on en déduit que, en C, y' = 0. Il vient alors

( ) ( )E I y x E I y C CC' ' . .= = + = ⇔ = − = −5 1750 5 0 1750 5 4375021 1

2

et donc ( )

( ) ( )

( )

( )

E I y x x

E I y x x dx

E I y xx

x C

E I y x x x C

'

,

= −

= −

= − +

= − +

∫1750 43750

1750 43750

17503

43750

583 33 21875

2

2

3

2

32

En A (x = 0), on a évidemment y = 0 et donc C2 0= . On en conclut donc que

( )E I y x x x= −583 33 218753,

( )

( )

y xE I

xE I

x

y x x x

= −

= −− −

58333 21875

1 429633 10 5 361125 10

3

4 3 3

.

, . , .

La flèche maximale se situe évidemment en C et sa valeur est obtenue en remplaçant x par l'abscisse de C (5) dans l'expression de y(x) :

f m mm= − = − ≈− −1 429633 10 5 5 361125 10 5 0 008935 94 3 3, . . , . . , .

6.3.2. Cas d'une charge unique décentrée

Prenons à présent un profil similaire dans des conditions identiques, mais plus court (5 m), plus fin (IPE 120) et chargé de 3000 N à 3 m de A.

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Mathématiques orientées construction – analyse

102

Ra R

b

30

00

N

5

Statique du problème : la somme des forces extérieures est nulle : R RA B+ = 3000 ; la

somme des moments des forces extérieures par rapport à un point quelconque est nulle : en A, on a

M R

R N

R N

A B

B

A

= ⇔ =

= =

= − =

0 5 3 3000

3 3000

51800

3000 1800 1200

.

.

Moment d'inertie d'une section plane droite de la barre par rapport à un axe passant par son centre de gravité :

I cm= 318 4

Moment d'inertie des forces extérieures le long de la barre : de A à C : M R x xx A= =. .1200

de C à B : ( )M x x xx = − − = − +1200 3000 3 1800 9000.

Equation de la déformée : • de A à C :

( )

( )

( ) ( )

E I y" x x

E I y x x dxx

C x C

E I y x x C dx x C x C

=

= = + = +

= + = + +

1200

1200 12002

600

600 200

2

12

1

21

31 2

'

En A (x = 0), on a évidemment y = 0 et donc C2 0= . On en conclut donc que

( )E I y x x C x= +200 31

• de C à B :

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Mathématiques orientées construction – analyse

103

( )

( ) ( )

( ) ( )

E I y" x x

E I y x x dx x x C

E I y x x x C dx x x C x C

= − +

= − + = − + +

= − + + = − + + +

∫∫

1800 9000

1800 9000 900 9000

900 9000 300 4500

23

23

3 23 4

'

Il reste à déterminer les valeurs des quatre constantes restantes. Pour ce faire, il suffit de se rappeler que les deux fonctions (de A à C et de C à B) représentent la même barre, ce qui impliquent que y et y' doivent avoir la même valeur en C (x = 3) pour les deux fonctions. • pour y :

200 3 3 300 3 4500 3 3 3 3 2700031

3 23 4 1 3 4. . .+ = − + + + ⇔ − − =C C C C C C

• pour y' : 600 3 900 3 9000 3 135002

12

3 1 3. . .+ = − + + ⇔ − =C C C C

Un dernière relation nous est donnée par le fait que y = 0 en B (x = 5) : − + + + = ⇔ + = −300 5 4500 5 5 0 5 750003 2

3 4 3 4. . C C C C

Ces trois dernières relations forment un système de 3 équations à 3 inconnues qui donne pour solution : C C C1 3 44200 17700 13500= − = − =; ; . En définitive, on obtient pour

équation de la déformée : • de A à C : ( )E I y x x x= −200 42003

• de C à B : ( )E I y x x x x= − + − +300 4500 17700 135003 2 .

La position de la flèche maximale se situe évidemment là où la dérivée y s'annule (point le plus bas, donc minimum de y), il suffit donc de déterminer la valeur de x qui annule y' sur AC :

600 4200 04200600

7 7 2 6462 2x x x m− = ⇔ = = ⇔ = ≈ , .

La valeur de la flèche s'obtient alors en remplaçant x par 7 dans la fonction y :

( ) ( )E I f E I y

f m cm

= = − = −

=−

= − ≈ −−

7 200 7 4200 7 7408 10367102

7408 10367102

200000 10 318 100 01164796 1 1

3

6 8

,

,

. . ., ,

6.3.3. Cas d'une charge unique décentrée - poids propre Prenons à présent un profil IPE 160 long de 5,2 m chargé de 3900 N à 1 m de A. Le profil est en appui simple en A et B et dans ce paragraphe, contrairement aux précédents, nous allons tenir compte du poids propre du profil. Le poids au mètre du profil est de p = 15,8 . 9,81 = 154,998 N/m, son module d’élasticité E de 200 000 N/mm².

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Mathématiques orientées construction – analyse

104

5,2

Ra

Rb

39

00

N

p

1

Statique du problème : la somme des forces extérieures est nulle : R RA B+ = + =3900 154 998 5 2 4705 9896, . , , ; la somme des moments des forces extérieures

par rapport à un point quelconque est nulle : en A, on a

M R

R N

R N

A B

B

A

= ⇔ = +

=

=

0 5 2 1 3900 154 998 5 25 22

1152 9948

3552 9948

, . ( , . , ) .,

,

,

Moment d'inertie d'une section plane droite de la barre par rapport à un axe passant par son centre de gravité :

I cm m= = −869 869 104 8 4.

Moment d'inertie des forces extérieures le long de la barre :

de A à C : M R x p xx

x A= −. . .2

de C à B : ( )M R x p xx

xx A= − − −. . . .2

3900 1

Equation de la déformée : • de A à C :

( )

( ) ( )( ) ( )

E I y" x x x

E I y x x x dx x x C

E I y x x x C dx x x C x C

= −

= − = − +

= − + = − + +

∫∫

3552 9948 77 499

3552 9948 77 499 1776 4974 25 833

1776 4974 25 833 5921658 6 45825

2

2 2 31

2 31

3 41 2

, ,

' , , , ,

, , , ,

En A (x = 0), on a évidemment y = 0 et donc C2 0= . On en conclut donc que

( )E I y x x x C x= − +5921658 6 458253 41, ,

• de C à B :

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Mathématiques orientées construction – analyse

105

( )

( ) ( )( ) ( )

E I y" x x x

E I y x x x dx x x x C

E I y x x x x C dx x x x C x C

= − − +

= − − + = − − + +

= − − + + = − − + + +

∫∫

347 0052 77 499 3900

347 0052 77 499 3900 173 5026 25 833 3900

173 5026 25 833 3900 57 8342 6 45825 1950

2

2 2 33

2 33

3 4 23 4

, ,

' , , , ,

, , , ,

Il reste à déterminer les valeurs des trois constantes restantes. Pour ce faire, il suffit de se rappeler que les deux fonctions (de A à C et de C à B) représentent la même barre, ce qui impliquent que y et y' doivent avoir la même valeur en C (x = 1) pour les deux fonctions. Un dernière relation nous est donnée par le fait que y = 0 en B (x = 5,2). En procédant comme au paragraphe précédent, on trouve trois relations formant un système de 3 équations à 3 inconnues qui donne pour solution : C C C1 3 45843 0816 7793 0816 650= − = − =, ; , ; . En définitive, on obtient pour équation de la

déformée : • de A à C : ( )E I y x x x xGZ = − −5921658 6 45825 5843 08163 4, , ,

• de C à B : ( )E I y x x x x xGZ = − − + − +57 8342 6 45825 1950 7793 0816 6503 4 2, , , .

La position de la flèche maximale se situe évidemment là où la dérivée y s'annule (point le plus bas, donc minimum de y), il suffit donc de déterminer la valeur de x qui annule y' sur CB :

− − + − =173 5026 25 833 3900 7793 0816 02 3, , ,x x x .

Le problème est qu’ici, l’équation obtenue est du troisième degré; sa résolution nécessite des moyens numériques dont le détail sort du cadre de ce cours. On trouve x = 2,3206. La valeur de la flèche s'obtient alors en remplaçant x par cette valeur dans la fonction y, ce qui fournit f = - 0,0045 m = - 4,5 mm.

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Mathématiques orientées construction – analyse

106

7. Exercices 1/ Calculer les dérivées suivantes (les réponses sont dans la colonne de droite) fonction dérivée

x2

6 x. 9 2 x. 6

8 x4. x

32 x

2. 11 32 x3. 3 x

2. 4 x. 3

x2

6

x3

1

x5

5

x6

x 1

x 1

1

x 1( )2

1

x2

3 x. 2

1

x2

3 x. 222 x. 3( ).

13 2 x.

2 x2. 3 x. 2

4 x2. 52 x. 43

2 x2. 3 x. 2

2

x2

x 1

2 x2. 3 x. 2

x2

1

2 x2. 3 x. 2

2

2 x. 1( )

2 4 (2x+1)

3 x. 1( )19

57 3 x. 1( )18.

6 x2. 3 x. 5

9

27 6 x2. 3 x. 5

8. 4 x. 1( ).

4 x. 1( )5

2 x. 9( )3

2 4 x. 1( )4. 8 x. 87( )

2 x. 9( )4

.

4 x2. 5 x. 12

3

5 x2. 9

2

4 x2. 5 x. 12

2 40 x3. 24 x. 25 x

2. 135

5 x2. 9

3

.

x 1

2 x.

x3

3

2 x3.

x2.

x2

1 1

x2

1

x.

1

3 x. 2

3

2 3 x. 2( )3.

x 1

x 1

1

x 1( )

x 1( )x 1( )

2.

x 1( )31 2 x.( )

2. 10 x. 1( ) 1 2 x.( ). x 1( )2.

5 sin 3 x.( ). 15 cos 3 x.( ). 3 x. sin x( ). 3 sin x( ). 3 x. cos x( ). x2cos 3 x.( ). x 2 cos 3 x.( ). 3 x. sin 3 x.( ).( ). x 1( ) sin x( ).

1 x cos x( ) x

2. 2 sin x( ). cos x( )

x 1( )2

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Mathématiques orientées construction – analyse

107

cos x 1

2

sin x

x

.

4 sin 5 x

2. 3 x. 1. 4 cos 5 x2. 3 x. 1 10 x. 3( )

cosx 1

x 1 2

sinx 1( )

x 1( )

x 1( )2

.

2/ On projette d'installer un bureau sur une surface de 60 m² dont la disposition au sol serait celle du plan ci-dessous. La construction des parois verticales revient à 100 euros le mètre courant et la partie située au-dessus des portes est négligée.

a) Montrer que le coût se calcule selon la formule ( )C x xx

= − +

100 3 2120

.

b) Quel est l'agencement qui minimise le coût ? 3/ Un couloir de 4 m de large est prolongé à angle droit par un couloir de 3 m de large. Quelle est la longueur de la plus longue tige non flexible qui puisse être transportée horizontalement d'un couloir à l'autre ? (on ne tient pas compte de l'épaisseur de la tige) 4/ Un pipe-line pour le transport du pétrole doit relier deux endroits A et B distants de 3 km et situés sur les berges de part et d'autre d'une rivière large de 1 km. De A à C, sur la rive opposée, le pipe-line est immergé, tandis que de C à B, il est déposé sur le sol. Si le coût au km de la partie immergée est quatre fois supérieur à celui de la partie découverte, où faut-il placer C pour minimiser le coût ? (on néglige la profondeur du cours d'eau) 5/ La résistance d'une poutre de bois de section rectangulaire est directement proportionnelle au produit de la largeur par le carré de la hauteur d'une section transversale. Quelle est la poutre la plus résistante que l'on puisse tailler dans un rondin de bois cylindrique de rayon a ?

y

x 1 m

1 m

4 m θ

3 m

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Mathématiques orientées construction – analyse

108

6/ On veut construire une voie ferrée entre les villes A et C mais le relief impose de passer par B situé à 20 km au sud de C et d'ensuite obliquer suivant un angle θ vers C. Si la construction de la voie ferrée coûte 40 000 euros par km sur le tronçon AB et 80 000 euros par km sur le tronçon BC, sous quel angle θ en B la construction de cette infrastructure coûtera-t-elle le moins ? 7/ Le graphique suivant met en évidence le caractère semi-diurne (2 maximums et 2 minimums par jour) des marées sur la côte atlantique. a) Quelles valeurs faut-il donner aux paramètres pour que le niveau y de l'eau en fonction du temps (en heures) soit donné par

y = a sin(bt + c) + d où t = 0 correspond à minuit ? b) A quelle vitesse s'élève le niveau de l'eau à midi ?

8/Un point mobile sous l'action d'un ressort se meut verticalement de sorte que sa

distance d(t) à un point fixe de l'axe de vibration est donnée par d t t( ) sin= +41

25100π où

d(t) est en centimètres et t en secondes. Quelle est la durée d'une vibration complète ? Quelle est la vitesse du point en t = 1; 1,005; 1,01 et 1,015 s ? 9/ On souhaite construire un casier rectangulaire en découpant quatre carrés aux coins d'une feuille cartonnée et en rabattant les bords restants. La feuille mesure 42 cm sur 32 cm. De la taille des carrés découpés dépendra le volume des casiers. Calculer les dimensions des carrés de sorte que le casier ait le plus grand volume possible (on néglige l'épaisseur du carton). 10/ Un panneau publicitaire de 6 m de haut est placé sur le toit d'un building et son bord inférieur est ainsi 18 m plus haut que les yeux d'un observateur. A quelle distance

A B

C

40 km

20 km

θ

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Mathématiques orientées construction – analyse

109

doit se mettre cet observateur juste en face du panneau pour que l'angle sous lequel il le voit soit le plus grand possible ? 11/ Un cylindre de rayon R fixé est surmonté d'un cône. Le cylindre n'est pas fermé à ses extrémités et le volume total du solide ainsi construit est une constante V. Montrer

que l'aire totale A de ce solide est donnée par AVR

R g= + −

2 1 23

2πθ

θsin

cot et que cette

aire est minimale pour θ ≈ °48 2, .(θ est l'angle d'ouverture du cône à son sommet) 12/ Un rectangle en matériau extensible est enroulé de manière à formé un cylindre sans fond. Un fil de fer de longueur fixe L occupe la diagonale du rectangle pour rigidifier le cylindre. Quel est l'angle θ qui donnera lieu au cylindre de plus grand volume ? 13/ Calculer les primitives et intégrales suivantes : Enoncés Réponses (il faut rajouter la constante

arbitraire pour les primitives)

xx5d

xx

5d

1

6x6.

x12 x3

7 x2. 6 x. 2d

x12 x

37 x

2. 6 x. 2d 3 x4. 7

3x3. 3 x

2. 2 x.

x2 x 4( ) 7 x 6( ). d

x2 x 4( ) 7 x 6( ). d

14

3x3. 8 x

2. 24 x.

x12

x2d

x12

x2d

12

x

x5

x8d

x5

x8d

5

7 x7.

0

1

xx2

x 1d

0

1

xx2

x 1d11

6

1

8

x7

2 x2d

1

8

x7

2 x2d

49

16

xx3d

2

5x5.

x3xd

3

4

3

x4.

x2

7 x5.

d

4

21 x3.

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Mathématiques orientées construction – analyse

110

1

8

x7

5

x4

d

1

8

x7

5

x4

d 18.05=

x11 sin x( ). d

x11 sin x( ). d 11 cos x( ).

xsin 5 x.( ) d

xsin 5 x.( ) d

1

5cos 5 x.( ).

xcos 8 x.( ) d

xcos 8 x.( ) d

1

8sin 8 x.( ).

π

6

π

3

xsin x( ) d

π

6

π

3

xsin x( ) d 0.366=

1

3

x1

1 x2d

1

3

x1

1 x2d

1

12π. 0.262=

14/ Calculer l'aire des parties du plan comprises entre

a) la courbe d'équation y = sin x et les droites d'équation x = 0 et x = π b) la courbe d'équation y = 9 - x² et l'axe X c) la courbe d'équation y x= ; l'axe X et les droites d'équation x = 2 et x = 7

d) la courbe d'équation y = 4x² - 1; l'axe X et les droites d'équation x=-2 et x = 1 e) les courbes d'équation y = -x + 2 et y = x² - 4 f) les courbes d'équation y = 0 et y x x x= − + −3 26 11 6

g) la courbe d'équation y=-x²+2x-3; l'axe X et les droites d'équation x=2 et x=0 h) la courbe d'équation y x= 3 ; l'axe X et les droites d'équation x = -3 et x = -1

i) la courbe d'équation y = x²-3x; l'axe X et les droites d'équation x = 1 et x = 4

j) les courbes d'équation y x= et yx

=2

k) les courbes d'équation yx

= +2

98 et y = x²

l) les courbes d'équation y = x² et yx x

=− + +11 21 26

6

2

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Mathématiques orientées construction – analyse

111

15/ Calcul de volumes

a) Déterminer la formule donnant le volume d’un cône de révolution de rayon R et de hauteur H.

b) Déterminer la formule donnant le volume d’un tronc de cône de révolution de rayons R1 et R2 et de hauteur H.

c) Déterminer la formule donnant le volume d’une sphère de rayon R. d) Calculer le volume du solide engendré par la rotation autour de l’axe X de la

surface plane limitée par l’axe X, l’axe Y, la droite d’équation x = 1 et la parabole

d’équation 3x2x

y2

−+= .

e) Calculer le volume du solide engendré par la rotation autour de l’axe X de la surface plane limitée par l’axe X, la courbe d’équation y = sin x et les droites d’équation x = 0 et x = π.

16/ Sur l’inertie

a) Déterminer la position du centre d'inertie d'un triangle. b) Déterminer la position du centre d'inertie d'un demi-cercle. c) Déterminer le moment d'inertie d'un rectangle autour d'un axe passant par

son centre d'inertie et parallèle à la base. d) Déterminer le moment d'inertie d'un rectangle autour d'un axe passant par sa

base. e) Déterminer le moment d'inertie d'un triangle autour d'un axe passant par sa

base. f) Déterminer le moment d'inertie d'un triangle autour d'un axe passant par son

centre d'inertie et parallèle à la base. g) Déterminer le moment d'inertie d'un disque autour d'un diamètre.

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MMII��IISSTTEERREE DDEE LLAA CCOOMMMMUU��AAUUTTEE FFRRAA��CCAAIISSEE

AADDMMII��IISSTTRRAATTIIOO�� GGEE��EERRAALLEE DDEE LL’’EE��SSEEIIGG��EEMMEE��TT EETT DDEE LLAA RREECCHHEERRCCHHEE SSCCIIEE��TTIIFFIIQQUUEE

EE��SSEEIIGG��EEMMEE��TT DDEE PPRROOMMOOTTIIOO�� SSOOCCIIAALLEE

UUNNIITTEE DDEE FFOORRMMAATTIIOONN

MMAATTHHEEMMAATTIIQQUUEESS OORRIIEE��TTEEEESS CCOO��SSTTRRUUCCTTIIOO��

EENNSSEEIIGGNNEEMMEENNTT SSUUPPEERRIIEEUURR TTEECCHHNNIIQQUUEE DDEE TTYYPPEE CCOOUURRTT

CCooddee :: 0011 2266 0033 UU 3311 DD11

CCooddee dduu ddoommaaiinnee ddee ffoorrmmaattiioonn :: 000022

DDooccuummeenntt ddee rrééfféérreennccee iinntteerr--rréésseeaauuxx

Approbation du Gouvernement de la Communauté française du 12 juillet 2007, sur avis conforme de la Commission de concertation

DOSSIER PEDAGOGIQUE

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113

MATHEMATIQUES ORIE�TEES CO�STRUCTIO�

E�SEIG�EME�T SUPERIEUR TECH�IQUE DE TYPE COURT

1. FI�ALITES DE L’U�ITE DE FORMATIO�

1.1. Finalités générales

Dans le respect de l’article 7, paragraphes 1 et 2, du décret de la Communauté française du 16 avril 1991

organisant l’enseignement de promotion sociale, cette unité de formation doit :

♦ concourir à l’épanouissement individuel en promouvant une meilleure insertion

professionnelle, sociale, scolaire et culturelle ; ♦ répondre aux besoins et demandes en formation émanant des entreprises, des

administrations, de l’enseignement et d’une manière générale des milieux socio-économiques et culturels.

1.2. Finalités particulières

Cette unité de formation vise à rendre l’étudiant capable :

♦ de découvrir les potentialités du raisonnement mathématique et de ses corollaires (logique, clarté, précision) dans la résolution de problèmes techniques liés au domaine de la construction ;

♦ d’évaluer la plausibilité des résultats obtenus et de les interpréter.

2. CAPACITES PREALABLES REQUISES

2.1. Capacités

Utiliser les notions de base énumérées ci-dessous dans des applications concrètes,

♦ problèmes de proportionnalité, fonctions polynomiales du premier degré et leur graphe,

équations et inéquations du premier degré à une inconnue, ♦ systèmes d’équations du premier degré à deux inconnues, ♦ fonctions polynomiales du deuxième degré et leur graphe, équations et inéquations du

deuxième degré à une inconnue, identités remarquables, ♦ notion de fonction (de R dans R) et de graphe de fonction : domaine de définition, image,

variation, croissance, parité, notammentx

1, a x , sin x et cos x, ….

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114

2.2. Titre pouvant en tenir lieu

Certificat d'enseignement secondaire supérieur (CESS)

3. HORAIRE MINIMUM DE L'UNITE DE FORMATION

1. Dénomination du cours Classement Code U Nombre de périodes

Mathématiques appliquées CT B 80 2. Part d'autonomie P 20

Total des périodes 100

4. PROGRAMME

L’étudiant sera capable, dans le cadre d’applications techniques liées au domaine de la construction : - en analyse :

♦ d’étudier des fonctions élémentaires (polynômes, rationnelles, trigonométriques) ; ♦ de calculer des primitives simples ; ♦ de calculer des intégrales simples et de les appliquer (aire d’une surface plane, volume d’un

solide de révolution, centre de gravité, moment d’inertie) ;

- en trigonométrie et en géométrie synthétique :

♦ de résoudre des triangles rectangles et des triangles quelconques dans des applications orientées ;

♦ d’effectuer des calculs d’angles et de distances dans l’espace ;

- en géométrie analytique plane, en utilisant les notions relatives aux droites, aux cercles et aux coniques réduites à leurs axes de symétrie :

♦ de rechercher des lieux géométriques; ♦ de vérifier des propriétés géométriques classiques ;

- en géométrie analytique dans l’espace :

♦ de résoudre des problèmes simples relatifs aux droites et aux plans ;

♦ d’effectuer des calculs d’angles et de distances dans l’espace;

- en géométrie descriptive :

♦ de représenter des solides et leur pénétration

♦ de construire des sections planes en vraie grandeur.

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5. CAPACITES TERMINALES

Pour atteindre le seuil de réussite, l'étudiant sera capable, face à une situation-problème, dans un temps fixé : ♦ d’étudier une fonction élémentaire (polynôme, rationnelle, trigonométrique) ;

♦ de calculer une intégrale simple ;

♦ de résoudre des triangles quelconques et d’appliquer la résolution des triangles au calcul d’un

angle ou d’une distance dans l’espace;

♦ de calculer l’intersection de 2 droites, d’une droite et d’un cercle ou de deux cercles, de

vérifier une propriété géométrique par la géométrie analytique plane ;

♦ de résoudre un problème simple de géométrie analytique dans l’espace ;

♦ de représenter un solide simple par la géométrie descriptive et de représenter la

pénétration de solides simples ou de construire une section plane d’un solide en vraie

grandeur.

Pour la détermination du degré de maîtrise, il sera tenu compte des critères suivants : ♦ la rigueur et la précision du vocabulaire mathématique employé, ♦ l’habileté et la précision dans le calcul,

♦ la pertinence des choix méthodologiques, ♦ le degré d’autonomie atteint dans l’apprentissage.

6. CHARGE DE COURS

Un enseignant.

7. CONSTITUTION DES GROUPES OU REGROUPEMENT

Néant

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Table des Matières

Trigonométrie ................................................................. 2 1. Nombres trigonométriques des angles aigus..............................................................................3

1.1. Définitions ...................................................................................................................................3 1.2. Propriétés....................................................................................................................................3

2. Unités de mesure des angles .........................................................................................................4 2.1. Le degré.......................................................................................................................................4 2.2. Le grade ......................................................................................................................................4 2.3. Relation entre les unités .........................................................................................................4

3. Formulaire ..........................................................................................................................................4 3.1. Triangles rectangles .................................................................................................................4 3.2. Triangles quelconques ..............................................................................................................4

4. Exercices............................................................................................................................................5

Géométrie descriptive (méthode des plans cotés).......................... 11

1. Introduction..................................................................................................................................... 12

1.1. Plan de comparaison................................................................................................................. 12 1.2. Echelle numérique.................................................................................................................... 12 1.3. Echelle graphique..................................................................................................................... 13

2. Etude de la droite .......................................................................................................................... 13 2.1. Représentation de la droite .................................................................................................. 13 2.2. Rabattement d'un plan vertical sur le plan horizontal de comparaison ..................... 13 2.2.1 Figure de l'espace ................................................................................................................... 13

2.2.2. Epure ..................................................................................................................................... 14

2.2.3 Vraie grandeur d'un segment de droite .................................................................................. 15

2.3. Pente, angle de pente et échelle de pente d'une droite................................................ 15 2.3.1. Angle de pente ...................................................................................................................... 15

2.3.2. Pente d'une droite .................................................................................................................. 16

2.3.3 Echelle de pente d'une droite ................................................................................................. 16

2.4. Problèmes divers concernant la droite .............................................................................. 16 2.4.1. Une droite étant connue par les projections et les cotes de deux de ses points, déterminer son

échelle de pente. .............................................................................................................................. 16

2.4.2. Porter sur une droite à partir d'un de ses points un segment de longueur donnée. ............... 17

2.4.3. Connaissant la projection d'un point d'une droite définie par son échelle de pente, trouver la

cote de ce point. .............................................................................................................................. 18

2.5. Positions relatives de deux droites .................................................................................... 18 2.5.1 Droites sécantes...................................................................................................................... 18

2.5.2. Droites parallèles................................................................................................................... 20

3. Etude du plan................................................................................................................................... 21 3.1. Déterminations du plan .......................................................................................................... 21 3.2. Horizontale d'un plan ............................................................................................................. 21 3.3. Droite de plus grande pente d'un plan............................................................................... 21 3.4. Echelle de pente d'un plan................................................................................................... 22

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3.5. Problèmes divers.................................................................................................................... 22 3.5.1. Echelle de pente d'un plan donné par deux droites sécantes................................................. 22

3.5.2. Echelle de pente d'un plan déterminé par une droite et un point extérieur à celle-ci............ 23

3.5.3. Echelle de pente d'un plan déterminé par trois points non alignés ....................................... 24

3.5.4. Echelle de pente d'un plan déterminé par deux droites parallèles......................................... 24

3.5.5. Echelle de pente d'une droite d'un plan donné par son échelle de pente............................... 24

3.5.6. Cote d'un point de projection horizontale connue situé sur un plan donné par son échelle de

pente ................................................................................................................................................ 24

3.6. Droites et plans parallèles................................................................................................... 25 3.7. Problèmes divers.................................................................................................................... 26 3.7.1. Par un point donné, mener un plan parallèle à un plan donné par son échelle de pente....... 26

3.7.2. Etant données deux droites gauches, mener par une de ces droites un plan parallèle à l'autre.

......................................................................................................................................................... 26

3.7.3. Par un point donné, mener un plan parallèle à deux droites gauches données. .................... 27

4. Intersection de deux plans......................................................................................................... 27 4.1. Figure de l'espace .................................................................................................................. 27 4.2. Epure......................................................................................................................................... 28 4.3. Cas particuliers ...................................................................................................................... 28 4.3.1. Les deux plans ont leurs échelles de pente parallèles ........................................................... 28

4.3.2. Les deux plans ont leurs échelles de pente confondues ........................................................ 29

4.3.3. L'un des deux plans est vertical ............................................................................................ 29

5. Intersection d'une droite et d'un plan ..................................................................................... 31 5.1. Cas général ................................................................................................................................ 31 5.2. Cas particuliers ....................................................................................................................... 31 5.2.1. Le plan donné est quelconque, la droite donnée est verticale ............................................... 31

5.2.2. Le plan donné est quelconque, la droite donnée est horizontale........................................... 31

5.2.3. La droite donnée est quelconque, le plan donné est vertical................................................. 32

5.2.4. La droite donnée est quelconque, le plan donné est horizontal ............................................ 32

6. Droites et plans perpendiculaires ............................................................................................. 32 6.1. Théorème fondamental ......................................................................................................... 32 6.2. Problèmes divers.................................................................................................................... 32 6.2.1. Mener par un point la perpendiculaire à un plan donné par son échelle de pente. déterminer

le pied de cette perpendiculaire dans le plan donné........................................................................ 32

6.2.2. Par un point donné, mener un plan perpendiculaire à une droite donnée par son échelle de

pente. ............................................................................................................................................... 33

6.2.3. Par un point donné, mener une droite perpendiculaire à une droite donnée par son échelle de

pente. ............................................................................................................................................... 33

6.2.4. Déterminer la distance d'un point à un plan.......................................................................... 33

6.2.5. Déterminer la distance d'un point à une droite...................................................................... 33

7. Les polyèdres ................................................................................................................................. 33 7.1. Détermination des arêtes visibles et cachées ................................................................ 33 7.2. Intersection d'un polyèdre et d'un plan .......................................................................... 34 7.2.1. Figure de l'espace .................................................................................................................. 34

7.2.2. Epure ..................................................................................................................................... 35

8. Les rabattements.......................................................................................................................... 36 8.1. Définitions................................................................................................................................ 36 8.2. Rabattement d'un point d'un plan - géométrie............................................................... 36 8.3. Sens du rabattement ............................................................................................................ 37

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8.4. Rabattement d'un point d'un plan - méthode ................................................................. 37 8.5. Exemple .................................................................................................................................... 38 8.6. Procédé dit des droites parallèles..................................................................................... 38

9. Talus ................................................................................................................................................. 39 9.1. Introduction ............................................................................................................................ 39 9.2. Mener par une droite donnée un plan de pente donnée ................................................ 39

Géométrie analytique plane .................................................. 41

1. Repères du plan .............................................................................................................................. 42 2. Produit scalaire.............................................................................................................................. 43

2.1. Définition.................................................................................................................................. 43 2.2. Propriétés ................................................................................................................................ 44 2.2.1. Propriétés algébriques ........................................................................................................... 44

2.2.2. Condition de perpendicularité............................................................................................... 44

2.2.3. Norme.................................................................................................................................... 44

2.2.4. Expression analytique ........................................................................................................... 45

3. Equations vectorielles, paramétriques et cartésiennes de la droite du plan .................. 45 3.1. Notion d'équation d'une droite........................................................................................... 45 3.2. Equation vectorielle............................................................................................................... 45 3.3. Equations paramétriques...................................................................................................... 46 3.4. Equations cartésiennes......................................................................................................... 46

4. Coefficient de direction et coefficient angulaire, perpendicularité, distances............ 47 4.1. Définition : ............................................................................................................................... 47 4.2. Interprétation graphique..................................................................................................... 48 4.3. Propriétés ................................................................................................................................ 49 4.3.1. Coefficient de direction d'une droite dont on connaît deux points : ..................................... 49

4.3.2. Equation de la droite passant par un point donné et de coefficient de direction donné........ 49

4.3.3. Condition de parallélisme : ................................................................................................... 49

4.4. Conditions de perpendicularité de deux droites (repaire ORTHONORME)............ 50 4.5. Distance entre deux points ................................................................................................. 50 4.6. Distance d'un point à une droite........................................................................................ 50

5. Le cercle........................................................................................................................................... 51 5.1. Définitions................................................................................................................................. 51 5.2. Equation cartésienne.............................................................................................................. 51

6. L'ellipse ........................................................................................................................................... 52 6.1. Définition.................................................................................................................................. 52 6.2. Equation.................................................................................................................................... 52 6.3. Etude de la courbe................................................................................................................. 53

7. L’HYPERBOLE................................................................................................................................. 54 7.1. Définition.................................................................................................................................. 54 7.2. Equation.................................................................................................................................... 54 7.3. Etude de la courbe................................................................................................................. 55

8. LA PARABOLE................................................................................................................................ 57

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8.1. Définition.................................................................................................................................. 57 8.2. Equation.................................................................................................................................... 57 8.3. Etude de la courbe................................................................................................................. 57 8.4. Autre forme de l'équation................................................................................................... 58

9. Exercices......................................................................................................................................... 59

Géométrie analytique de l’espace ........................................... 66

1. Repères de l’espace ....................................................................................................................... 67 2. Produit scalaire de deux vecteurs et distance entre deux points .................................... 68 3. Equation cartésienne du plan ...................................................................................................... 68 4. Equation cartésienne de la droite ............................................................................................. 69 5. Conditions de parallélisme et de perpendicularité ................................................................ 69

5.1. Deux propriétés essentielles............................................................................................... 69 5.2. Conditions de parallélisme ................................................................................................... 70 5.2.1. Parallélisme des droites......................................................................................................... 70

5.2.2. Parallélisme des plans ........................................................................................................... 70

5.2.3. Parallélisme d’une droite et d’un plan .................................................................................. 70

5.3. Conditions de perpendicularité............................................................................................ 71 5.3.1. Perpendicularité de deux droites ........................................................................................... 71

5.3.2. Perpendicularité de deux plans ............................................................................................. 71

5.3.3. Perpendicularité d’une droite et d’un plan............................................................................ 71

6. Exercices.......................................................................................................................................... 71

Fonctions réelles d'une variable réelle ..................................... 74

1. Introduction.................................................................................................................................... 75 2. Définitions générales ................................................................................................................... 76

2.1. Fonction .................................................................................................................................... 76 2.2. Domaine de définition........................................................................................................... 77 2.3. Zéro........................................................................................................................................... 77 2.4. Graphe et graphique.............................................................................................................. 78

3. Dérivées........................................................................................................................................... 79 3.1. Exemple introductif............................................................................................................... 79 3.2. Définitions ............................................................................................................................... 80 3.3. Propriétés ................................................................................................................................ 80 3.4. Interprétation géométrique................................................................................................. 81 3.5. Rôle de la dérivée ................................................................................................................... 81

4. Fonctions trigonométriques ........................................................................................................ 82 4.1. Le radian ................................................................................................................................... 82 4.2. Relation entre les unités ...................................................................................................... 82 4.3. Angles orientés....................................................................................................................... 83 4.3.1. Définitions............................................................................................................................. 83

4.3.2. Angles orientés égaux ........................................................................................................... 83

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4.3.3. Mesures des angles orientés.................................................................................................. 83

4.4. Cercle trigonométrique......................................................................................................... 84 4.4.1. Définition .............................................................................................................................. 84

4.4.2. Point image d'un angle orienté .............................................................................................. 85

4.5. Sinus et cosinus...................................................................................................................... 85 4.5.1 Définitions.............................................................................................................................. 85

4.5.2. Propriétés .............................................................................................................................. 86

4.6. Tangente et cotangente ....................................................................................................... 86 4.6.1. Définitions............................................................................................................................. 86

4.6.2. interprétation géométrique .................................................................................................... 87

4.6.3. Propriétés .............................................................................................................................. 87

4.7. Fonction sinus ......................................................................................................................... 88 4.8. Fonction cosinus ..................................................................................................................... 88 4.9. Fonction tangente.................................................................................................................. 89

5. Primitives et intégrales ............................................................................................................... 90 5.1. Exemple introductif............................................................................................................... 90 5.2. Intégrale définie d’une fonction continue ....................................................................... 92 5.2.1. Notion d’intégrabilité et d’intégrale définie.......................................................................... 92

5.2.2. Interprétation géométrique.................................................................................................... 93

5.2.3. Propriétés de l’intégrale définie ............................................................................................ 94

5.3. Primitives ................................................................................................................................. 95 5.3.1. Définition .............................................................................................................................. 95

5.3.2. Primitivation immédiate........................................................................................................ 95

5.3.3. Propriétés des primitives....................................................................................................... 96

6. Applications des primitives......................................................................................................... 97 6.1. Centre d'inertie des surfaces planes ................................................................................ 97 6.1.1. Moment d'ordre un d'un élément de surface ......................................................................... 97

6.1.2. Moment d'ordre un d'une surface finie.................................................................................. 97

6.1.3. Centre d'inertie d'une surface ................................................................................................ 98

6.2. Moment d'inertie des surfaces planes ............................................................................. 98 6.2.1. Définitions............................................................................................................................. 98

6.2.2. Théorème des axes parallèles................................................................................................ 99

6.3. flexion simple.......................................................................................................................... 99 6.3.1. Cas d'une charge unique centrée ........................................................................................... 99

6.3.2. Cas d'une charge unique décentrée ..................................................................................... 101

6.3.3. Cas d'une charge unique décentrée - poids propre.............................................................. 103

7. Exercices........................................................................................................................................106

DOSSIER PEDAGOGIQUE................................................. 112