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Notes sur le test Q de CochranF.-G. Carpentier - 20 mai 2009

1) Le test Q de Cochran

On a valu une variable dichotomiqueXsur un chantillon de n individus statistiques o1, o2, , on

observs dans ! conditions di""rentes c1, c2, .., c!. #es observations constituent donc un tableau de taille

$n, !% &

c1 c2 ... c!o1 x11 x12 ... x1ko2 x21 x22 ... x2k... ... ... ... ...

on xn1 xn2 ... xnko'xijprend ses valeurs dans (0,1).

On souhaite tudier si les chances de succ*s sont les m+mes dans toutes les conditions, autrement dit, ondsine par 1, 2, ..., !les "rquences de succ*s correspondant au ! conditions dans la population

parente et on souhaite tester lh/poth*se &

0& 1 2 ... !contre &

1& non$0%

#a statistique de test est alors &

Q =

k1( ) Gj2

j=1

k

G2

k Li Li

2

i=1

n

i=1

n

=

k k1( ) Gj G( )2

j=1

k

k Li Li

2

i=1

n

i=1

n

o' Gjdsine la somme sur la colonnej Gj = x iji=1

n

,Lidsine la somme sur la line i Li = x ij

j=1

k

, G

dsine la somme de toutes les valeurs du tableau G = x ij = G jj=1

k

= Lii=1

n

j=1

k

i=1

n

et G dsine la

mo/enne des valeurs Gj G =Gj

j=1

k

k

.

On remarque que cette valeur nest pas a""ecte par la suppression ventuelle des lines sans variation,

cest-3-dire composes uniquement de 1 ou uniquement de 0.

4ar consquent, dans toute la suite,nous supposerons que les lignes ne sont pas composes

uniquement de 1 ou uniquement de 0, cest-3-dire que nous supposerons que &

i =1,2,..,n, 1Li k1 .

5ans ces conditions, il est nralement indiqu que, pour k 4 et6ou nk 24 , la statistique 7 suit une

loi du !hi-2 3 $!-1% ders de libert 82.

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2) Diverses remarques sur le test Q de Cochran

:ous une apparente simplicit, le test de Cochran cache quelques di""icults, ce qui eplique par eemple,

quon ne trouve pas "acilement des tables relatives 3 ce test pour les petites valeurs de n et !.

1) Cas o k=2

#orsque le nombre de roupes kest al 3 2, la valeur de la statistique Qde Cochran est eactement celle

du !hi-2 de ;ac

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R

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X1[j,]

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probabilit dobserver une valeur de 7 suprieure ou ale 3 la valeur indique% est alement

mentionne.

Ku seuil de 1 par eemple, on constate que toute valeur de 7 suprieure ou ale 3 9 est sini"icative,

tandis que toute valeur de 7 in"rieure ou ale 3 J, est non sini"icative.

Ln revanche, au seuil de , la valeur D, par eemple, est sini"icative lorsque le protocole comporte

lines de somme 1 et 1 line de somme 2, alors que m+me H est une valeur est non sini"icative lorsque leprotocole comporte lines de somme 1 et lines de somme 2. #ensemble de ces lines ne peut donc

+tre rsum de mani*re simple en une seule line de table. Ln revanche, il serait possible de "aire des

tables simpli"ies en indiquant que &

- dune part toute valeur strictement suprieure 3 H est sini"icative au seuil de M

- dautre part toute valeur strictement in"rieure 3 D, est non sini"icative au seuil de M

- et en"in, pour les valeurs comprises, au sens lare, entre D, et H, il convient de se r"rer 3 des

tables dtailles.

5e telles tables pourraient +tre disposes comme suit &

:euil

! n :i, assure si 7 N3

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On dispose des observations suivantes &

c1 c2 c #i #i2

O1 1 1 0 2 I

O2 0 1 0 1 1

O 1 1 1 9

OI 0 1 0 1 1

O 0 1 0 1 1

OD 0 1 1 2 IOH 0 0 0 0 0

OJ 0 1 0 1 1

O9 1 1 0 2 2

O10 0 1 0 1 1

O11 0 0 0 0 0

O12 0 0 1 1 1

GQ 9 1 2H

pQ 0,2 0,H 0,2

>ci, le nombre de lines de somme di""rente de 0 ou est n9.

#a valeur de 7 est & Q =2 3 3

2+ 9

2+ 3

2( ) 15

2

( )

31527= 8 .

5e m+me, on peut ne considrer que les lines utiles du tableau &

On dispose des observations suivantes &

c1 c2 c #i #i2

O1 1 1 0 2 I

O2 0 1 0 1 1

OI 0 1 0 1 1

O 0 1 0 1 1OD 0 1 1 2 I

OJ 0 1 0 1 1

O9 1 1 0 2 I

O10 0 1 0 1 1

O12 0 0 1 1 1

GQ 2 J 2 12 1J

pQ 0,22 0,J9 0,22

#a valeur de 7 est & Q =2 3 2

2+ 8

2+ 2

2( )12

2

( )

31218

= 8 .

4our ! et n9, avec D lines ales 3 1 et lines ales 3 , la table de la statistique 7 donne &

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