NORME IAS 19 DU CALIBRAGE DES HYPOTHÈSES … · EURO-INSTITUT D’ACTUARIAT JEAN DIEUDONNÉ...

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EURO-INSTITUT D’ACTUARIAT JEAN DIEUDONNÉ Université de Bretagne Occidentale TELECOM BRETAGNE Institut Telecom NORME IAS 19 - DU CALIBRAGE DES HYPOTHÈSES ACTUARIELLES Application aux Indemnités de Fin de Carrière Mémoire présenté en vue de l’obtention du Master Actuariat cohabilité entre l’EURIA et TELECOM BRETAGNE et pour l’obtention du titre d’Actuaire Présenté et soutenu le 28 septembre 2009 par Charles TESSON

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EURO-INSTITUT D’ACTUARIAT JEAN DIEUDONNÉ Université de Bretagne Occidentale

TELECOM BRETAGNE Institut Telecom

NORME IAS 19

-

DU CALIBRAGE DES HYPOTHÈSES ACTUARIELLES

Application aux Indemnités de Fin de Carrière

Mémoire présenté en vue de l’obtention du Master Actuariat

cohabilité entre l’EURIA et TELECOM BRETAGNE

et pour l’obtention du titre d’Actuaire

Présenté et soutenu le 28 septembre 2009

par

Charles TESSON

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Je tiens à remercier Monsieur Patrice PLOUVIER, manager chez WINTER

& Associés, ainsi que tous les membres de son équipe IAS 19 pour leur gentillesse

et la richesse de leur formation tout au long de mes six mois de stage. Sans cette

dernière, il m’aurait été impossible de mettre au point ce mémoire.

Je remercie également Monsieur Cyril STOCCHETTI pour m’avoir

accueilli chez FEDERAL FINANCE, me permettant ainsi d’obtenir une partie des

données nécessaires à l’élaboration du présent document.

Enfin, je souhaiterais adresser toute ma gratitude, d’une part aux corps

professoral et administratif de l’EURIA qui chaque année accomplissent un travail

formidable, et d’autre part à Monsieur Philippe LENCA pour la qualité de son

encadrement durant ces deux années de double cursus entre

l’EURIA et TELECOM BRETAGNE.

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RÉSUMÉ

Depuis le 1er janvier 2005, l’Union Européenne impose à toutes les sociétés cotées sur les

marchés réglementés de publier leurs comptes consolidés conformément aux normes IFRS, et

notamment à la norme IAS 19, relative aux engagements sociaux.

La valorisation et la comptabilisation du passif social d’une entreprise sont fortement

dépendantes du choix d’un ensemble d’hypothèses actuarielles, hypothèses peu encadrées par la

norme IAS 19. Il incombe donc aux actuaires de déterminer celles-ci de manière prudente et en accord

avec les réalités économiques et démographiques du moment.

Ce mémoire traite du calibrage de ces hypothèses ; nous mettons en évidence dans un premier

temps les faiblesses de certains des processus de détermination actuellement usités. Puis, dans un

second temps, nous en proposons des améliorations, le but étant de se rapprocher au maximum des

réalités précédemment évoquées.

Mots-clés : IFRS, IAS 19, engagements sociaux, hypothèses actuarielles, indemnités de fin de carrière,

actualisation, revalorisation salariale, âge de départ à la retraite, mortalité, turnover.

ABSTRACT

Since the 1st January of 2005, European Union requires that companies listed on regulated

markets release their consolidated accounts according to the IFRS standards, which include the IAS 19

standard, related to employee benefits.

Valuation and accounting of a company’s social benefit liabilities are highly dependent on the

choice of a set of actuarial assumptions, which are poorly supervised by the IAS 19 standard.

Consequently, it falls to actuaries to determine these ones through prudential processes and in

conformity with economic and demographic realities.

This essay deals with the calibration of these assumptions; first, we highlight the weaknesses of

some currently-used determination processes. Then, considering that previous realities are to be

approached as much as possible, we suggest improvements for these processes.

Keywords : IFRS, IAS 19, employee benefits, actuarial assumptions, termination benefits, discounting,

wage increase, voluntary retirement age, mortality, turnover.

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TABLE DES MATIÈRES

RAPPORT DE STAGE ................................................................................................................................... 5 

INTRODUCTION ...................................................................................................................................... 6  LE CABINET WINTER & ASSOCIÉS .................................................................................................... 7 

1.1 – PRÉSENTATION GÉNÉRALE .................................................................................................. 7 1.2 – LES DIFFÉRENTES ACTIVITÉS DU CABINET ................................................................... 7 

1.2.1 – La stratégie .............................................................................................................................. 7 1.2.2 – Le pilotage ............................................................................................................................... 8 1.2.3 – L’ingénierie actuarielle ........................................................................................................... 9 1.2.4 – En résumé ................................................................................................................................ 9 

1.3 – LES CLIENTS .............................................................................................................................. 9 1.4 – LES EFFECTIFS ........................................................................................................................ 10 

PROCESSUS D’ÉVALUATION DES ENGAGEMENTS SOCIAUX ................................................. 11 

2.1 – RAPPELS SUR LES ENGAGEMENTS SOCIAUX ............................................................... 11 2.2 – LA NORME ISO 9001 ................................................................................................................ 12 2.3 – VISION D’ENSEMBLE DU PROCESSUS .............................................................................. 13 

2.3.1 – sous-processus AO : définir et signer le contrat .................................................................... 14 2.3.2 – sous-processus A1 : analyser et formater les données ........................................................... 15 2.3.3 – sous-processus A2 : évaluer les engagements ....................................................................... 17 

Le logiciel LASER ....................................................................................................................... 17 2.3.4 – sous-processus A3 : présenter et livrer les résultats au client ................................................ 19 

2.4 – MON RÔLE AU SEIN DU PÔLE IAS 19 ................................................................................ 20  CONCLUSION ......................................................................................................................................... 23 

ÉMERGENCE DE LA PROBLÉMATIQUE DE MON MÉMOIRE ............................................. 23 

MÉMOIRE .................................................................................................................................................... 24 

INTRODUCTION GÉNÉRALE ............................................................................................................. 25 

LA NORME IAS 19 .................................................................................................................................. 27 

1.1 – INTRODUCTION ....................................................................................................................... 27 1.2 – LES NORMES IFRS / IAS ......................................................................................................... 27 

1.2.1 – Place des normes IFRS / IAS en Europe et dans le monde ................................................... 27 1.2.2 – Buts fondamentaux des normes IFRS ................................................................................... 28 1.2.3 – La notion de juste valeur ....................................................................................................... 29 

1.3 – PRÉSENTATION DE LA NORME IAS 19 ............................................................................. 29 1.3.1 – Les buts de la norme IAS 19 ................................................................................................. 29 1.3.2 – Engagements à cotisations définies, engagements à prestations définies .............................. 30 

Engagements à cotisations définies .............................................................................................. 30 Engagements à prestations définies .............................................................................................. 30 

1.3.3 – Types d’engagements sociaux définis par l’IAS 19 .............................................................. 31 1.4 – COMPTABILISATION SELON LA NORME IAS 19 ........................................................... 32 

1.4.1 – Valorisation des engagements sociaux .................................................................................. 32 Actualisation et probabilisation .................................................................................................... 32 

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Extension de la VAP et de la PBO à un ensemble de plusieurs avantages sociaux ...................... 34 Méthode des unités de crédit projetées ......................................................................................... 34 

1.4.2 – Coût des services rendus ....................................................................................................... 36 1.4.3 – Charge d’intérêt ..................................................................................................................... 37 1.4.4 – L’actif de couverture ............................................................................................................. 38 1.4.5 – Gains et pertes actuariels ....................................................................................................... 38 

Description des écarts actuariels .................................................................................................. 38 Comptabilisation des écarts actuariels .......................................................................................... 40 

1.4.6 – Mécanisme du corridor.......................................................................................................... 41 Retour sur les amortissements ...................................................................................................... 41 

1.4.7 – Les états comptables ............................................................................................................. 42 Le bilan ......................................................................................................................................... 42 Le compte de résultat ................................................................................................................... 42 L’état comptable en annexe .......................................................................................................... 43 

1.5 – CONCLUSION ........................................................................................................................... 43  LES INDEMNITÉS DE FIN DE CARRIÈRE ........................................................................................ 44 

2.1 – INTRODUCTION ....................................................................................................................... 44 2.2 – DES DROITS À LA PBO ........................................................................................................... 44 

2.2.1 – Les droits ............................................................................................................................... 44 2.2.2 – Les notations ......................................................................................................................... 45 2.2.3 – Expression de la PBO ............................................................................................................ 46 

2.3 – LES HYPOTHÈSES ACTUARIELLES ................................................................................... 47 2.3.1 – Les hypothèses économiques ................................................................................................ 47 

La structure d’actualisation .......................................................................................................... 47 Le profil de carrière ...................................................................................................................... 47 

2.3.2 – Les hypothèses démographiques ........................................................................................... 47 L’âge de départ à la retraite .......................................................................................................... 47 La mortalité .................................................................................................................................. 48 La probabilité de présence ............................................................................................................ 48 

2.4 – PRÉSENTATION DES DONNÉES SALARIALES UTILISÉES .......................................... 49 2.5 – HYPOTHÈSES ACTUARIELLES DE DÉPART ................................................................... 50 2.6 – EXEMPLE DE CALCUL DE LA PBO D’UNE IFC ............................................................... 51 

Ancienneté .................................................................................................................................... 51 Salaire au terme ............................................................................................................................ 51 Droits au terme ............................................................................................................................. 51 Engagement de l’entreprise au terme ........................................................................................... 51 Probabilité d’être en vie au terme ................................................................................................. 51 Probabilité de ne pas avoir quitté l’entreprise .............................................................................. 52 VAP .............................................................................................................................................. 52 PBO .............................................................................................................................................. 52 

2.7 – CONCLUSION ........................................................................................................................... 52  L’ACTUALISATION .............................................................................................................................. 53 

3.1 – INTRODUCTION ....................................................................................................................... 53 3.2 – LES DIFFÉRENTES MÉTHODES D’ACTUALISATION ................................................... 53 

3.2.1 – Méthodes d’actualisation selon les textes .............................................................................. 53 3.2.2 – Méthodes d’actualisation en pratique .................................................................................... 54 

La méthode du taux d’actualisation moyen .................................................................................. 54 La méthode d’actualisation par structure de taux réelle ............................................................... 57 

3.2.3 – Premières critiques concernant les deux méthodes ............................................................... 57 3.3 – DÉTERMINATION DE LA STRUCTURE DE TAUX .......................................................... 59 3.4 – RECONSTITUTION DE STRUCTURES DE TAUX HISTORIQUES ................................ 61 

3.4.1 – Présentation des données utilisées ......................................................................................... 61 3.4.2 – Le modèle de Vasicek-Fong .................................................................................................. 63 3.4.3 – Le modèle de Nelson et Siegel .............................................................................................. 64 3.4.4 – Le modèle de Nelson et Siegel augmenté.............................................................................. 66 3.4.5 – Implémentation des modèles de Nelson et Siegel sous Matlab ............................................. 66 

Ecriture matricielle du problème .................................................................................................. 67 Le programme Matlab .................................................................................................................. 68 

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3.4.6 – Analyse des résultats des modèles de Nelson et Siegel ......................................................... 69 Comment mesurer la précision des modèles ? .............................................................................. 69 Retour sur les courbes de l’Institut des Actuaires ........................................................................ 69 Protocole de mesure de la précision des modèles ......................................................................... 70 Deux exemples graphiques des résultats ...................................................................................... 70 Étude des résidus .......................................................................................................................... 72 Considérations sur la précision de l’historique reconstitué .......................................................... 74 Aperçu de l’historique reconstitué ................................................................................................ 75 

3.5 – COMPARAISON QUANTITATIVE DES MÉTHODES D’ACTUALISATION ................ 75 Comment mesurer les biais générés par la méthode du taux moyen ? ......................................... 75 Les résultats .................................................................................................................................. 76 Analyse des spreads ..................................................................................................................... 78 Sensibilité de la PBO totale au taux actuariel ............................................................................... 80 

3.6 – PRÉVISION DE STRUCTURES DE TAUX ........................................................................... 81 3.7 – CONCLUSION ........................................................................................................................... 82 

LA REVALORISATION SALARIALE ................................................................................................. 83 

4.1 – INTRODUCTION ....................................................................................................................... 83 4.2 – ÉTUDE DE L’INFLATION ....................................................................................................... 84 

4.2.1 – Présentation du modèle de WILKIE ..................................................................................... 84 4.2.2 – Détermination de l’espérance du processus d’inflation ......................................................... 85 4.2.3 – Estimation des paramètres du modèle d’inflation ................................................................. 86 

Stationnarité de la première sous-série ......................................................................................... 88 Estimation des paramètres de la première sous-série ................................................................... 88 Test de normalité des résidus ....................................................................................................... 88 Modèle retenu ............................................................................................................................... 89 Stabilité des paramètres ................................................................................................................ 90 

4.2.4 – Mise en perspective des résultats par rapport aux engagements sociaux .............................. 90 4.3 – PASSAGE DU STATUT DE NON-CADRE AU STATUT DE CADRE ............................... 91 

4.3.1 – Situation actuelle et sensibilité de la PBO aux promotions ................................................... 91 4.3.2 – Aperçu des probabilités de passage vers le statut de cadre ................................................... 92 4.3. 3 – Introduction des probabilités de passage dans le calcul des IFC .......................................... 95 

4.4 – CONCLUSION ........................................................................................................................... 96  LES AUTRES HYPOTHÈSES ACTUARIELLES ................................................................................ 97 

5.1 – INTRODUCTION ....................................................................................................................... 97 5.2 – ÂGE DE DÉPART VOLONTAIRE .......................................................................................... 97 

5.2.1 – Dynamique des systèmes de retraite nationaux ..................................................................... 97 5.2.2 – Modélisation de l’âge de départ volontaire ........................................................................... 99 

Le modèle de Giuseppe CARONE ............................................................................................... 99 Le modèle Sidre ......................................................................................................................... 101 

5.2.3 – Traitement actuel de l’hypothèse de l’âge de départ à la retraite ........................................ 102 5.2.4 – Comment améliorer le calibrage de l’hypothèse d’âge de départ volontaire ? .................... 102 5.2.5 – Evaluation de l’impact d’un calibrage plus réaliste de l’âge de départ ............................... 103 5.2.6 – Introduction de distributions normales ................................................................................ 105 

5.3 – TABLES DE MORTALITÉ .................................................................................................... 108 5.4 – TURNOVER .............................................................................................................................. 109 

5.4.1 – Sensibilité de la PBO au turnover ....................................................................................... 110 5.4.2 – Modélisation du turnover par une loi de Weibull ................................................................ 111 

Détermination du turnover annuel .............................................................................................. 111 Adéquation de ce modèle avec les turnovers historiques ........................................................... 113 

5.5 – CONCLUSION ......................................................................................................................... 115  CONCLUSION GÉNÉRALE ................................................................................................................ 116  ANNEXES ............................................................................................................................................... 117 

ANNEXE 1 : LISTE DES NORMES IFRS / IAS ............................................................................ 117 ANNEXE 2 : ACTUALISATION SELON LA NORME IAS 19 ................................................... 118 ANNEXE 3 : EXEMPLE DE CONSTRUCTION DES MATRICES A, TT ET AA ................... 119 ANNEXE 4 : CODE MATLAB POUR LES MODÈLES DE NELSON ET SIEGEL ................. 120 

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Fonctions Matlab créées .................................................................................................................. 120 Fonction main ............................................................................................................................. 120 Fonction dataOAT ...................................................................................................................... 122 Fonction matrices_OAT ............................................................................................................. 122 Fonction coupons ....................................................................................................................... 123 Fonction matrices_OAT_suite .................................................................................................... 124 Fonction NelsonSiegel ................................................................................................................ 125 

Routines Matlab utilisées ................................................................................................................ 126 La routine daysdif ....................................................................................................................... 126 La routine datenum ..................................................................................................................... 126 La routine isbusday .................................................................................................................... 127 La routine optimset ..................................................................................................................... 127 La routine fminsearch ................................................................................................................. 127 

ANNEXE 5 : TEST DE JARQUE ET BERA .................................................................................. 128  TABLE DES FIGURES .......................................................................................................................... 129  BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................................. 131 

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RAPPORT DE STAGE

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INTRODUCTION

Dans le cadre de la formation dispensée par l’EURo-Institut d’Actuariat, il est demandé à chaque

étudiant d’effectuer un stage de fin d’études de six mois dans l’entreprise de son choix. Le mien s’est

porté sur le cabinet de conseil en actuariat WINTER & Associés, société dans laquelle j’ai travaillé de

juillet à décembre 2008, à Paris.

Durant ces six mois, j’ai été affecté exclusivement à l’évaluation des engagements sociaux selon

la norme IAS 19, et ce au sein de l’équipe dirigée par M. Patrice PLOUVIER. La législation contraint

en effet les entreprises faisant appel à l’épargne publique à valoriser annuellement leur passif social –

indemnités de fin de carrière, retraites complémentaires, … – en suivant les règles édictées par cette

dernière norme. Les entreprises peuvent effectuer elles-mêmes ces évaluations, ou les confier à des

actuaires. Dans cette optique, le cabinet WINTER & Associés s’est donc doté au fil des ans un

véritable pôle IAS 19.

Ce marché extrêmement concurrentiel impose aux équipes actuarielles de travailler avec rapidité,

rigueur, et précision. Grâce à un encadrement de haut vol, j’ai pu m’adapter promptement et intervenir

sur mes premières missions dès la deuxième semaine de mon stage. Arriver à maîtriser du début à la

fin le processus d’évaluation des engagements sociaux est une tâche de longue haleine qui demande

d’acquérir un socle de connaissances très large : théorie des engagements sociaux, législation et

environnement actuariel correspondants, ou par exemple maîtrise de progiciels.

Mon passage chez WINTER & Associés m’a aussi permis de me plonger dans la vie active et

d’en découvrir les multiples facettes : organisation d’une entreprise, place de celle-ci dans son secteur

d’activité, relations professionnelles, répartition des rôles au sein d’une équipe, nécessité d’une

coopération poussée…

Ce stage m’a en outre donné l’occasion d’utiliser mes compétences en matière d’ingénierie

acquises lors de ma formation à TELECOM BRETAGNE, notamment en termes de conduite de projet.

Après avoir détecté une possible amélioration du processus de valorisation des engagements sociaux et

avoir présenté un projet pour la concrétiser à M. PLOUVIER, je me suis attelé à la réalisation d’un

programme en Visual Basic. Ce programme permet aux équipes IAS 19 de gagner en productivité.

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LE CABINET WINTER & ASSOCIÉS

1.1 – PRÉSENTATION GÉNÉRALE

Créée en 1983, et basée à Paris, WINTER & Associés est une Société par Actions Simplifiée qui

occupe une place prépondérante sur le marché français du conseil en actuariat. L’entreprise emploie

des actuaires et des consultants pour des missions sur des domaines variés : retraite, prévoyance, frais

de santé, etc. Elle apporte à ses clients tout conseil en matière de stratégie sociale, de pilotage des

régimes, de valorisation des sociétés d’assurances, de calculs d’engagements sociaux, de gestion actif-

passif, …

WINTER & Associés est une filiale du groupe ALMA CONSULTING GROUP, dont le principal

métier est de conseiller ses clients dans le but de leur faire réaliser des économies de coûts. Sont

concernés avant tout :

- les coûts sociaux ;

- les frais de fonctionnement : dépenses de télécommunication, d’énergie, … ;

- les contributions et les charges fiscales : immobilisations, environnement, … ;

- le financement de l’innovation : assistance au montage de dossiers de crédit d’impôt

recherche, obtention de subventions nationales et européennes, … .

Cette acquisition permet au groupe ALMA de proposer un panel de services élargi à ses clients.

WINTER & Associés dispose enfin d’un pôle à Lyon spécialisé dans le développement et la

vente de logiciels actuariels, LYNXIAL.

1.2 – LES DIFFÉRENTES ACTIVITÉS DU CABINET

Les consultants du cabinet WINTER & Associés sont amenés à intervenir sur trois registres

complémentaires1 : la stratégie, le pilotage, et l’ingénierie actuarielle, à la base des deux précédents

éléments.

1.2.1 – La stratégie

Pour une entreprise, établir une stratégie consiste à poser et à quantifier enjeux financiers et

objectifs en termes concrets. Les réflexions techniques et actuarielles sont dès lors fondamentales.

Ainsi par exemple, l’évaluation actuarielle des engagements sociaux permet de renvoyer une image

claire des tenants et aboutissants financiers de la protection sociale dans la société et d’en optimiser ou

1 Cette partie s’appuie largement sur l’élément bibliographique (WINTER & Associés, 2008).

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d’en modifier les régimes en toute sécurité. Les consultants du cabinet WINTER & Associés peuvent

être amenés à assister les dirigeants et responsables de sociétés dans leurs projets de réforme,

d’optimisation ou de gestion de crises. Ils peuvent aussi mettre à contribution leur expertise en matière

de négociations, tant avec les partenaires sociaux qu’avec les assureurs.

Voici quelques unes des missions fréquemment confiées à WINTER & Associés sur le thème de

la stratégie :

- analyse et mise en perspective sur plusieurs exercices des coûts liés aux régimes –

prévoyance, retraite, frais de santé – souscrits par l’entreprise ;

- mesure et comparaison de la diversité des prestations accordées aux différentes catégories de

personnel présentes dans l’entreprise ;

- mises en place de régimes de retraite et de prévoyance lors d’opérations de fusion,

d’acquisition, de cession ou de création d’activité ;

- réalisations d’appels d’offres d’assurance et de gestion financière ;

- négociations avec les assureurs et les mutuelles lors de la mise en place de couvertures, de

leurs révisions, ou de transferts de contrats ;

- négociations avec les partenaires sociaux ;

- interventions auprès des conseils d’administration en matière de communication et de choix

stratégiques.

1.2.2 – Le pilotage

A travers la mise en place de procédures adaptées et éventuellement la formation de personnel,

les consultants dépêchés par WINTER & Associés accompagnent les responsables de l’entreprise

cliente pour leur donner les moyens de piloter, au mieux de leurs intérêts, les différents engagements

pris en matière de protection sociale.

Les missions de ce type s’effectuent dans un esprit de transfert de savoir-faire avec mise à

disposition progressive des procédures et des outils de pilotage. Parmi ces missions se trouvent

notamment :

- le pilotage des régimes de retraite, de prévoyance et de frais de santé ;

- la mise en œuvre des procédures de gestion des opérations financières et de contrôle des flux

financiers ;

- la mesure continue des performances sociales et financières des régimes sociaux (mise en

œuvre de benchmarks, définition des risques financiers admissibles, audit des comptes de

résultats, …) ;

- l’élaboration de tableaux de bord pour le suivi statistique des régimes ;

- l’évaluation actuarielle des passifs sociaux ;

- la mise en place d’un plan de communication « prévoyance » permettant la tenue de bilans

sociaux individualisés et mettant en valeur la performance du plan de protection sociale

souscrit par l’entreprise au bénéfice des salariés.

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1.2.3 – L’ingénierie actuarielle

Au-delà des missions de conseil stratégique et de pilotage, le cabinet WINTER & Associés a mis

au point au travers de sa filiale informatique LYNXIAL un certain nombre de logiciels et de services

permettant d’optimiser les interventions en matière de calculs actuariels. Des formations à ces logiciels

sont par ailleurs dispensées à la demande.

Ainsi, en matière d’évaluation des engagements sociaux, le logiciel LASER (Logiciel Actuariel

de Simulation et d’Evaluation Retraite) est leader sur son segment. Il permet de calculer rapidement

l’ensemble des avantages sociaux – indemnités de fin de carrière, médailles du travail, retraites

supplémentaires, etc. – d’une population avec prise en compte d’un paramétrage poussé : toutes les

hypothèses actuarielles pouvant intervenir dans la valorisation sont modifiables.

D’autres logiciels spécifiques à la retraite, à la prévoyance, à la gestion, au provisionnement, à la

tarification ou à la simulation de portefeuilles sont par ailleurs proposés.

1.2.4 – En résumé

Dans le tableau suivant sont résumés les différents métiers du cabinet :

Prestations intellectuelles « à façon »

Prestations en régie chez le client

Produits logiciels (LYNXIAL)

conseil évaluation audit intermédiation formation

maîtrise d’œuvre en assurance

maîtrise d’ouvrage en assurance

développement de logiciels

vente de logiciels et maintenance

Figure 1 : les métiers de WINTER & Associés

Précisons enfin que les missions peuvent être de cycle très court, comme elles peuvent être de

cycle très long. Il n’est pas rare que certaines d’entre elles durent ainsi plusieurs semestres, notamment

celles faisant intervenir des consultants en régie chez les clients.

1.3 – LES CLIENTS

WINTER & Associés compte parmi ses clients des entreprises de tailles et de secteurs variés. Le

cabinet les classe en deux groupes :

- les entreprises dites « institutionnelles » : les banques, les compagnies d’assurance, les

mutuelles et les institutions de prévoyance ;

- les autres : les sociétés industrielles et commerciales – sociétés cotées, grandes entreprises,

petites et moyennes entreprises – et les organismes publics.

Les missions assurées par le cabinet sont facturées soit sous la forme de forfaits soit sous la

forme d’honoraires. Chaque mission fait l’objet d’une proposition au client rappelant le contexte, les

objectifs, les modalités d’intervention, les délais et les budgets.

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1.4 – LES EFFECTIFS

Le cabinet compte une soixantaine de personnes, dont quarante actuaires et chargés d’études

actuarielles. La direction fonctionnelle et opérationnelle est assurée par six associés, tous actuaires, en

coopération avec le groupe ALMA.

Les effectifs sont repartis pour deux tiers à Paris et un tiers à Lyon.

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PROCESSUS D’ÉVALUATION DES ENGAGEMENTS SOCIAUX

Le pôle IAS 19 du cabinet WINTER & Associés a été créé suite à la publication du règlement CE

1606/2002 de l’Union Européenne imposant aux sociétés faisant appel à l’épargne publique de publier

leurs comptes selon les standards des normes IFRS.

M. Patrice PLOUVIER dirige l’une des deux équipes de WINTER & Associés chargées

exclusivement de l’évaluation des engagements sociaux selon la norme IAS 19. Il est secondé par

deux actuaires confirmés, qui gèrent eux-mêmes un peu moins d’une dizaine de consultants.

Les missions traitées sont de durées variables, en fonction de la taille de l’entreprise cliente et de

la complexité des engagements à évaluer : certaines demandent jusqu’à cinq consultants à plein temps

durant plusieurs semaines, d’autres sont accomplies en moins d’une journée.

Cette partie a pour objet la description du processus d’évaluation des engagements sociaux selon

la norme IAS 19 tel qu’il est mené au sein du cabinet WINTER & Associés. Etant données la

complexité de cette norme et les nombreuses notions connexes qu’elle recouvre en matière

d’avantages sociaux, nous ne ferons que rappeler le strict minimum concernant ces derniers nécessaire

à la bonne compréhension du processus de production. Le lecteur intéressé trouvera de plus amples

informations à ce sujet dans le mémoire suivant ce rapport de stage.

2.1 – RAPPELS SUR LES ENGAGEMENTS SOCIAUX

En France, les entreprises sont légalement obligées de contracter des engagements sociaux envers

leurs salariés. Un engagement social impose à une entreprise le versement au salarié concerné de flux

futurs qui peuvent prendre diverses formes : capital ponctuel, rentes, titres, … Ces flux futurs sont

étalés ou non dans le temps et sont toujours soumis à des conditions contractuelles, tant sur leurs

versements effectifs que sur leurs montants. En général ils seront ou commenceront à être versés dès la

liquidation de la retraite du salarié en question.

Il existe de nombreux types d’engagements sociaux. Citons entre autres :

- les indemnités de fin de carrière ;

- les indemnités de décès des actifs ;

- les médailles du travail ;

- les cessations progressives d’activité.

Plaçons-nous par exemple dans le cas de l’indemnité de fin de carrière d’un salarié. Selon la

législation, son entreprise devra lui verser à la date de son départ à la retraite – à condition qu’il fasse

encore partie de la société – un capital fonction de son ancienneté et de son salaire à cette date, ainsi

que de la convention collective à laquelle il est rattaché. Ce n’est donc seulement qu’à la date de la

liquidation de la retraite du salarié que l’entreprise saura exactement ce qu’elle lui doit, la progression

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salariale à venir de ce dernier jusqu’à cette date, elle-même aléatoire à plusieurs années près, n’étant

pas encore connue.

Or, toute entreprise a besoin de mesurer le plus exactement possible le poids de ses engagements

et d’anticiper les charges qu’elle va devoir assumer à court, moyen et long termes sous peine de

risquer de se retrouver insolvable le moment venu. Une bonne gestion prévisionnelle des engagements

sociaux à venir – assimilables à des dettes – est donc vitale pour une société. Celle-ci pourra alors

provisionner à l’avance suffisamment de capitaux pour y faire face en prenant des décisions

rationnelles de couverture et de placement. La norme IAS 19 a été conçue dans ce but, elle impose à

l’entreprise de comptabiliser chaque année ses engagements futurs selon un schéma bien précis.

A ces flux futurs incertains, il convient donc de faire correspondre leurs équivalents dans le

présent, c’est-à-dire à la date de clôture des comptes de l’entreprise. Bien qu’il y ait de nombreux

types d’engagements sociaux, leur valorisation repose globalement toujours sur les mêmes principes :

1. établissement d’une liste des salariés de l’entreprise reprenant toutes leurs caractéristiques :

matricule, date de naissance, sexe, date d’entée dans l’entreprise, salaire annuel actuel,

catégorie socioprofessionnelle ;

2. détermination des hypothèses actuarielles en accord avec l’entreprise : ces hypothèses

modélisent l’évolution future des paramètres des engagements : revalorisation salariale,

inflation, turnover, âge de départ à la retraite moyen, âge de début de carrière moyen … ;

3. projection des salaires actuels des salariés aux dates de versements effectifs des engagements

sociaux (la plupart de ces derniers dépendent en effet des salaires au terme) ;

4. calcul des montants des engagements sociaux à leurs dates de versement respectives ;

5. probabilisation de ces sommes pour tenir compte des probabilités respectives des salariés de

décéder entre la date de comptabilisation et les dates de versements, ainsi que des probabilités

respectives qu’ont les salariés de quitter l’entreprise entre la première et les dernières dates ;

6. actualisation des montants ainsi obtenus pour tenir compte de l’érosion monétaire au fil du

temps ;

7. proratisation des derniers montants selon la méthode des unités de crédits projetées (voir

mémoire) ;

8. établissement des états comptables si nécessaire.

Face à la complexité de ce processus, les entreprises préfèrent externaliser l’évaluation de leurs

passifs sociaux à des cabinets de conseil en actuariat. Outre WINTER & Associés, citons quelques

acteurs majeurs du marché de l’IAS 19 : TOWERS PERRIN, WATSON WYATT, ou bien MERCER.

2.2 – LA NORME ISO 9001

De par l’importance des montants afférents aux engagements sociaux et la méticulosité

nécessaire à leur valorisation, il est indispensable que les consultants dévolus à ce sujet suivent des

règles strictes de travail et de suivi : la moindre erreur peut avoir de lourdes conséquences pour les

entreprises clientes. En effet, la sous-estimation des provisions pour engagements sociaux d’une

société pourrait mettre cette dernière en danger sur le plan financier au moment où elle aurait à payer

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le gros de ses prestations. Inversement, une surestimation des provisions serait autant de fonds

immobilisés inutilement pour la couverture desdits engagements.

Pour éviter ce genre de problèmes, le cabinet WINTER & Associés a donc mis en place pour son

pôle IAS 19 un système poussé de gestion de la qualité du travail accompli, ce qui lui a permis

d’obtenir la certification ISO 9001.

La norme ISO 9001 décrit à quels critères doit répondre un système de gestion de la qualité de

haut niveau. Ses exigences sont relatives à quatre grands domaines :

- la responsabilité de la direction : celle-ci s’engage sur le niveau de qualité des prestations

livrées par l’entreprise ;

- la mise en œuvre d’un système qualité et d’un système de gestion des ressources ;

- la formalisation et la gestion pointues des processus de production de l’entreprise ;

- l’amélioration continue des processus existants : exigences de mesures et d’enregistrements

de la performance à tous les niveaux utiles des processus de production, ainsi que la mise en

place autant que possible de plans d’optimisation.

Le système de gestion de la qualité du cabinet répond à ces contraintes de la manière suivante :

- tout travail accompli par un consultant est contrôlé et vérifié par son supérieur direct, qui

engage sa responsabilité dès qu’il l’avalise. Ainsi, tous les livrables sont visés par au moins

un manager et, pour les plus sensibles, par un associé ;

- toute version achevée d’un document, quel qu’il soit, doit être systématiquement archivée

dans le système de gestion et de stockage informatique de l’entreprise, accessible depuis tout

ordinateur au travers de la plateforme Lotus Notes ; de même, une version papier de la quasi-

totalité des documents produits est archivée ;

- tous les processus relatifs aux traitements des engagements sociaux sont formalisés et

reproduits à la lettre ;

- toute réflexion sur l’amélioration d’un de ces processus est encouragée et remonte la chaîne

hiérarchique si elle s’avère pertinente. Dans le cas où elle a trait aux logiciels développés par

LYNXIAL, les équipes informatiques de cette dernière sont alors informées.

Ces règles requièrent de la part des consultants beaucoup de rigueur et de précision. Elles

permettent en contrepartie de réduire le taux d’erreurs de manière sensible et sont donc un gage de

qualité conséquent pour les clients de WINTER & Associés.

2.3 – VISION D’ENSEMBLE DU PROCESSUS

Pour permettre au lecteur de comprendre aisément le processus d’évaluation des engagements

sociaux du cabinet WINTER & Associés, nous avons opté pour une description schématique de celui-

ci basée sur une adaptation de la méthode SADT (Structured Analysis and Design Technics), relative à

la représentation de systèmes complexes. Chacun des schémas sera bien entendu agrémenté

d’explications complémentaires. Le principe de la représentation est simple : une case symbolise une

étape du processus, une flèche un produit du processus.

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Voici le niveau le plus général du processus d’évaluation :

Figure 2 : décomposition du processus d’évaluation – vue d’ensemble

Quatre sous-processus sont distinguables :

- A0 : définir et signer le contrat ;

- A1 : analyser et formater les données ;

- A2 : évaluer les engagements sociaux ;

- A3 : présenter et livrer les résultats au client.

Tous ces sous-processus sont caractérisés en particulier par l’omniprésence de l’application de la

norme ISO 9001 – une mission est en général menée par deux consultants ; chacun peut ainsi vérifier

le travail de l’autre à chaque étape – et par un dialogue fréquent avec l’entreprise cliente.

2.3.1 – sous-processus AO : définir et signer le contrat

Le sous-processus A0 se présente ainsi :

Figure 3 : sous-processus A0 – réunir WINTER & Associés et le client

Toute mission IAS 19 commence par une réunion préliminaire au cours de laquelle le périmètre

des engagements sociaux et la population salariale cible sont définis en accord avec le client. Suite à

cette discussion, les données relatives aux salariés de l’exercice concerné sont préparées en général par

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le service des ressources humaines de la société et envoyées au cabinet WINTER & Associés ;

l’évolution historique de la masse salariale de l’entreprise est aussi transmise dans la mesure du

possible. A l’aide de toutes ces informations, les consultants du cabinet vont déterminer, outre le

temps nécessaire à la mission et donc le tarif facturé pour celle-ci, un premier jeu d’hypothèses

actuarielles. Ces éléments seront soumis au client et donneront lieu à négociations.

Une fois un agrément trouvé, un contrat définitif sera édité et signé par les deux parties.

2.3.2 – sous-processus A1 : analyser et formater les données

L’étape suivante consiste alors à analyser et formater les données transmises.

Figure 4 : sous-processus A1 – analyser et formater les données

Celles-ci doivent comprendre les renseignements fondamentaux nécessaires à la bonne conduite

du processus de valorisation du passif social de l’entreprise. Sont ainsi requises dans la plupart des cas

et pour tous les salariés les informations suivantes :

- le matricule, unique par définition ;

- le sexe, les tables de mortalité récentes en tenant compte ;

- la date de naissance ;

- la date d’entrée dans l’entreprise ;

- la catégorie socioprofessionnelle ;

- les éléments de rémunération, certains avantages ou certaines conventions collectives étant

parfois indexés et sur les parties fixes et sur les parties variables des salaires.

Certains types d’engagements nécessitent la mise à disposition de renseignements additionnels :

- situation familiale ;

- nombre d’enfants ;

- etc.

Les données récupérées, usuellement sous forme de fichier Microsoft Excel ou plus rarement de

base de données Microsoft Access, un consultant va procéder à une « analyse de données » (ADD) :

une batterie de tests informatisés et visuels va être appliquée aux données pour détecter toute anomalie

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ou erreur potentielle : filtres, tests conditionnels, … Dans le cas où le cabinet a déjà évalué le passif

social de l’entreprise l’année précédente, les nouvelles et les anciennes données seront croisées : en

sus d’améliorer l’analyse de données, cela permettra de comprendre les éventuels écarts actuariels

survenant plus en amont dans le processus d’évaluation.

Une erreur est définie par l’oubli d’un champ indispensable, ou par un champ prenant une valeur

intrinsèquement impossible : date de naissance absurde, omission, salaire négatif, redondance de

numéros de matricules, …

Une anomalie est détectée quand un champ prend une valeur inattendue : salaire trop en deçà ou

au-delà de moyennes attendues, catégorie socioprofessionnelle changée d’une année sur l’autre, …

Un rapport sous forme de fichier Microsoft Word ou Microsoft Excel est envoyé au client une

fois l’analyse de données terminée. Ce rapport reprend sous forme de tableaux des statistiques

ventilées par catégories socioprofessionnelles – comparées si possible avec les statistiques de la masse

salariale telle qu’elle se présentait lors de la dernière évaluation – et les listes des erreurs et anomalies

mises en exergue. Les salariés entrants et sortants du périmètre par rapport à l’évaluation précédente

sont aussi listés. Ci-dessous, deux exemples de tableaux se retrouvant typiquement dans les analyses

de données du cabinet WINTER & Associés (le nom de l’entreprise, la date, et les données ont été

créés de toutes pièces) :

Figure 5 : exemple d’un tableau de statistiques d’une analyse de données

Figure 6 : exemple d’un tableau d’anomalies d’une analyse de données

Le rapport d’analyse de données a deux objectifs : il permet d’une part à l’entreprise cliente

d’apporter des corrections à ses données, corrections sans lesquelles l’évaluation de ses engagements

Catégorie Effectifs Age moyen au

31/12/2008Ancienneté moyenne

au 31/12/2008Salaire annuel moyen

en 2008

Directeurs 5 46,8 ans 7,5 ans 160 558 €

Cadres Administratifs 101 43,1 ans 9,9 ans 46 302 €

Cadres Commerciaux 54 42,9 ans 12,4 ans 77 092 €

Non Cadres Administratifs 34 39,0 ans 14,7 ans 25 142 €

Non Cadres Commerciaux 158 39,3 ans 5,0 ans 33 978 €

Total 352 41,0 ans 8,5 ans 45 073 €

1234 - FONDASStatistiques descriptives au 31/12/2008

> Statistiques descriptives au 31/12/2008

> Liste des 4 matricules dont le salaire a augmenté de plus de 10 % entre 2007 et 2008 :

Matricule Date de naissance Date d'entrée Sexe Catégorie 2007 Catégorie 2008 Salaire 2007 Salaire 2008 Hausse salariale

1534 23/07/1973 05/01/2000 Femme Non cadre Non cadre 59 431 € 117 283 € 97,3%980 06/05/1972 26/09/1995 Femme Cadre Cadre 87 245 € 171 283 € 96,3%

2003 21/04/1961 28/02/2000 Homme Non cadre Non cadre 54 030 € 102 231 € 89,2%

345 23/05/1963 10/06/1986 Femme Cadre Cadre 112 560 € 211 509 € 87,9%

1234 - FONDASAnomalies - Hausses salariales supérieures à 10 %

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pourrait être faussée. Il y a ainsi échanges entre la société et le cabinet jusqu’à ce que celui-ci

considère que le fichier de données est de qualité suffisante. D’autre part, il permet au cabinet de se

couvrir si jamais l’entreprise se retournait contre lui en cas de mauvaise estimation due à ces données.

Une fois la qualité requise pour le fichier de données atteinte, d’éventuels précalculs y sont

effectués pour répondre à certaines spécificités des engagements; puis le fichier est formaté suivant un

corpus de règles de manière à ce qu’il puisse être importé sans incident par le logiciel LASER.

2.3.3 – sous-processus A2 : évaluer les engagements

Figure 7 : sous-processus A2 – évaluer les engagements sociaux

Le logiciel LASER

LASER, logiciel développé par LYNXIAL, permet d’effectuer le gros des calculs des

engagements sociaux. Ces calculs étaient auparavant réalisés sous Microsoft Excel ou Microsoft

Access et demandaient des manipulations et des calculs très lourds.

Développé en Visual Basic, LASER a été doté d’une interface interactive et intuitive permettant

d’importer aisément les données et leurs champs, et de paramétrer tout aussi aisément les hypothèses

actuarielles. Le logiciel autorise la création et l’enregistrement pour un usage ultérieur d’autant

d’occurrences d’hypothèses actuarielles que le souhaite l’utilisateur : les tables de turnover, de droits

(les indemnités de fin de carrière donnent droit à des mois de salaire au terme, selon l’ancienneté du

salarié), de mortalité, etc. sont ainsi stockées, ou incluses par défaut dans LASER.

Le programme permet de même la création et l’enregistrement de dossiers compilant dans une

même base de données Microsoft Access les données formatées et le paramétrage associé. Les

consultants ont donc la possibilité de s’échanger, de stocker et de modifier à loisir ces fichiers.

Cinq modules différents ont été développés jusqu’à présent, à savoir :

- un module pour les indemnités de fin de carrière et les engagements apparentés ;

- un module pour les plans de stock-options ;

- un module pour les retraites à cotisations définies ;

- un module pour les retraites à prestations définies ;

- et enfin un module pour les retraites obligatoires.

Ci-après, une impression-écran du panneau de contrôle principal de LASER :

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Figure 8 : panneau principal du logiciel LASER

Toutes les hypothèses actuarielles le paramétrage sont accessibles facilement par l’intermédiaire

d’un système d’onglets. Le contrôle de l’opérateur sur ce qu’il fait s’en trouve donc optimisé.

Une fois les calculs de l’évaluation terminés, l’utilisateur peut ventiler et afficher les résultats

selon divers critères, afficher l’évolution des engagements dans les années à venir, ou bien exporter

par exemple tous les engagements individuels sous forme de fichier Microsoft Excel.

Validation du paramétrage et tests

En sus des éléments de contrôle cités précédemment, LASER permet l’impression papier d’un

récapitulatif détaillé de l’ensemble des caractéristiques du dossier traité : statistiques, catégories

socioprofessionnelles traitées, hypothèses actuarielles, résultats ventilés, …

Pour chaque dossier LASER, c’est-à-dire pour chaque évaluation, et une fois les calculs effectués

par le programme, des tests individuels sont effectués par un consultant. Un test individuel consiste à

refaire « à la main », à l’aide d’une feuille Microsoft Excel, le calcul de l’engagement social considéré

pour un individu judicieusement choisi de la masse salariale de l’entreprise, et ce pour chaque

catégorie socioprofessionnelle. Les individus sont sélectionnés de manière à couvrir par les tests le

plus large spectre possible d’hypothèses actuarielles. Si le montant de l’engagement calculé à la main

diffère de celui affiché par LASER, une erreur a été mise en évidence. Le consultant va alors vérifier

l’intégralité de son paramétrage et relancer les calculs une fois les modifications apportées.

Comme on l’a indiqué précédemment, le contrôle du paramétrage passe aussi par l’examen des

informations du dossier papier. Cette double vérification aboutit à une réduction significative du taux

d’erreurs sur l’évaluation.

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Expliquer les écarts actuariels

Une fois les tests individuels effectués et le dossier LASER validé, et dans le cas où l’évaluation

a été menée par le cabinet WINTER & Associés lors du précédent exercice, les résultats des deux

exercices sont comparés. Un consultant va déterminer la source des écarts actuariels intervenant entre

le montant prévu du passif social calculé lors du dernier exercice pour la date de clôture de l’exercice

en cours, et le montant réel donné par LASER (pour plus d’explications concernant les écarts

actuariels, se reporter au mémoire).

Les écarts actuariels dus aux changements d’hypothèses actuarielles entre les deux évaluations

seront comptabilisés, de même que les écarts dus à l’évolution de la masse salariale. Cette étape peut

amener à la découverte d’erreurs de paramétrage, ou plus grave, d’erreurs dans le formatage des

données. Dans le premier cas, l’évaluation devra être reprise à l’étape A21 ; dans le second, il

conviendra de remonter jusqu’à l’étape A12, afin de générer un nouveau fichier de données formatées

dénué d’erreurs.

Si aucune erreur n’est détectée au cours de la phase A23 et si les écarts actuariels sont

convenablement justifiés, l’évaluation des engagements sociaux est validée. L’équipe IAS 19 peut

alors passer à l’étape suivante.

2.3.4 – sous-processus A3 : présenter et livrer les résultats au client

Figure 9 : sous-processus A3 – présenter et livrer les résultats au client

Les résultats de l’évaluation sont alors ventilés selon les souhaits du client. La ventilation se fait :

- par types d’engagements sociaux ;

- par catégories socioprofessionnelles ;

- par entités de l’entreprise, si elle en a.

Généralement, les résultats sont donnés pour l’exercice en cours et pour l’exercice suivant

(projection du passif à population et hypothèses actuarielles constantes). Certains clients, pour des

raisons comptables, peuvent formuler le souhait de disposer des projections pour plusieurs années.

Le rapport d’évaluation est ensuite rédigé : il reprend les éléments suivants :

- statistiques de la population et éventuellement évolution de ces statistiques par rapport au

précédent exercice ;

- descriptions et justifications des hypothèses actuarielles prises ;

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- rappel des engagements sociaux contractés par l’entreprise et des droits afférents ;

- résultats pour l’exercice en cours et projections pour la ou les exercices suivants ;

- états comptables, si prévus au contrat.

Selon le degré de détails désiré par le client, le rapport peut lui être remis sous la forme d’un

fichier Microsoft Word / PDF, ou alors sous la forme plus synthétique d’un fichier Microsoft Excel.

La remise du rapport donne le plus souvent lieu à un exposé oral de la part des consultants du cabinet

WINTER & Associés.

Enfin, et bien que ce soit très rarement le cas, le client peut demander pour diverses raisons une

réévaluation de l’intégralité de son passif social selon un nouveau jeu d’hypothèses actuarielles. La

mission reprendra alors au début du sous-processus A2.

2.4 – MON RÔLE AU SEIN DU PÔLE IAS 19

Lors de mes six mois de stage, j’ai été amené à travailler sur une quinzaine de missions, dont les

plus longues étaient étalées sur plusieurs mois. Cela m’a permis de maîtriser toutes les étapes du

processus d’évaluation des engagements sociaux et de comprendre la norme IAS 19, notamment le

rôle fondamental qu’ont les hypothèses actuarielles et la difficulté de les estimer.

Travailler sur la norme IAS 19 demande une rigueur absolue : la moindre erreur dans l’analyse de

données ou dans la création du fichier d’import – vers LASER – d’une mission peut n’être détectée

qu’au moment des tests ou de la vérification des écarts actuariels ; en fonction de son importance,

toute l’évaluation peut être remise en cause. Cela peut représenter plusieurs jours de travail pour

plusieurs actuaires dans le cas de missions sensibles et à cycle long, typiquement celles comportant

des milliers de salariés avec de nombreuses catégories socioprofessionnelles ou / et celles dont

l’architecture de l’entreprise oblige à des tris coûteux (nombreuses entités, mouvements d’une entité à

l’autre, …).

De même, les missions IAS 19 imposent aux consultants un rythme de travail très soutenu.

Chacun d’eux traite en parallèle plusieurs missions, et chaque mission est suivie par au moins deux

actuaires, c’est-à-dire au minimum un consultant et son supérieur. Ainsi le moindre contretemps sur

une mission peut très rapidement impacter l’ensemble de l’équipe IAS 19 et occasionner des retards de

livraison des résultats aux clients : le dialogue et la coopération sont donc indispensables.

Enfin, que ce soit pour les rapports d’analyse de données ou pour les rapports d’évaluation finaux,

des règles de rédaction et de charte graphique – couleur des cases, police, épaisseur des traits,

formatage, données triées, … – strictes sont de mise, le but étant d’homogénéiser au maximum les

livrables remis aux clients.

Création d’un générateur de rapports d’analyse de données

Si le cabinet WINTER & Associés a prévu une trame type pour les rapports d’évaluation, aucune

n’a été prévue pour les rapports d’analyse de données sous Microsoft Excel.

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Or la création et la mise en forme de ces derniers requiert entre 20 et 50 minutes de travail

suivant les missions, sans compter les contributions des supérieurs qui doivent vérifier les différentes

versions des rapports jusqu’à ce qu’ils répondent aux critères de qualité et d’uniformité du cabinet. Le

nombre moyen de feuilles Excel par rapport est de l’ordre de 7, le résultat visé étant celui des figures 5

et 6 ; copier / coller les feuilles d’un rapport à l’autre engendre des erreurs diverses : taille des tableaux,

format des contenus, titres, paramètres de mise en page et d’impression…

C’est en partant de ces constats que m’est venue l’idée de mettre à profit mes connaissances

acquises à TELECOM BRETAGNE en créant un générateur de rapports d’analyse de données à l’aide

du langage de programmation Visual Basic.

J’ai suivi le cycle classique de création d’un produit de ce type (« cycle en V ») :

- présentation à mon manager du projet pour obtenir son aval ;

- détermination des besoins (équivalent d’un cahier des charges : cadre, fonctions, recueil des

phrases-types, …) ;

- création de l’architecture du programme puis codage de ses fonctions ;

- phase de tests ;

- livraison du produit.

Le panneau de paramétrage du programme précédant la création automatique de la trame d’un

rapport est le suivant :

Figure 10 : générateur de rapports d’analyse de données

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Le consultant doit saisir dans ce panneau les paramètres en fonction de son analyse de données.

Une fois le paramétrage validé, le programme génère automatiquement toutes les feuilles Excel

adéquates, sur le modèle des figures 5 et 6. Sont ainsi générés automatiquement : les onglets et leurs

noms, les titres principaux et secondaires, le dimensionnement des tableaux, les titres des colonnes, la

mise en forme de celles-ci (format des dates, …), la mise en page de chaque onglet, … Le consultant

n’a alors plu qu’à faire une succession de copier / coller des données brutes depuis son fichier

d’analyse de données dans les tableaux du rapport généré.

Ce programme1 permet donc :

- d’automatiser une grande partie du processus d’édition des rapports d’analyse de données ;

- de gagner en productivité et en énergie, les consultants pouvant dès lors se consacrer à

d’autres tâches ;

- de réduire sensiblement le taux d’erreurs dans les rapports ;

- de normaliser les rapports ;

- de moins solliciter les supérieurs chargés de contrôler le travail effectué.

Autres interventions relatives à la programmation

J’ai d’autre part eu l’occasion de mettre à profit mes compétences en ingénierie logicielle à de

nombreuses reprises en intervenant sur des programmes variés : les équipes logicielles de WINTER &

Associés se trouvant à Lyon, les actuaires du cabinet à Paris ne disposent d’aucune aide en cas de

problèmes pour les programmes qu’ils ont à mettre au point pour leurs missions.

1 La version finale du programme fait plus de 3000 lignes Visual Basic.

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CONCLUSION

Ces six mois de stage chez WINTER & Associés ont été très instructifs sur le plan professionnel.

J’ai ainsi énormément appris, notamment en termes de rigueur, de respect des délais et de travail en

équipe. Le rythme imposé par les missions m’a aussi beaucoup plu : si je n’ai pas eu le temps de

mettre à profit ces six mois pour travailler mon mémoire, j’ai par contre pu me plonger véritablement

dans le dynamisme du monde du conseil, ce qui m’a conforté dans mon envie de travailler dans ce

secteur.

J’ai par ailleurs pu voir à quel point l’informatique prenait une place de plus en plus

prépondérante dans le domaine de l’actuariat, et a fortiori du conseil en actuariat. A ce titre, mon cycle

ingénieur à TELECOM BRETAGNE sera indéniablement un atout dans ma carrière professionnelle.

ÉMERGENCE DE LA PROBLÉMATIQUE DE MON MÉMOIRE

Ce stage m’a en outre procuré des connaissances certaines du point de vue de l’évaluation des

engagements sociaux. Les nombreuses missions sur lesquelles j’ai travaillé m’ont permis de

comprendre à quel point les hypothèses actuarielles étaient centrales dans la norme IAS 19, tant elles

influent sur le montant du passif social.

C’est sur cette constatation que la manière dont sont déterminées certaines hypothèses

actuarielles m’a paru en forte contradiction avec la rigueur et la précision du processus d’évaluation

des engagements sociaux. Le désir de creuser cette problématique en y consacrant mon mémoire en a

donc découlé.

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MÉMOIRE

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INTRODUCTION GÉNÉRALE

Elaborées par le Bureau des Standards Comptables Internationaux1, les Normes Internationales

d’Information Financière2 deviennent rapidement un standard mondial en matière de comptabilité. Au

nombre d’une cinquantaine, elles s’appliquent à des sujets très variés : états financiers, contrats

d’assurance ou immeubles de placement par exemple. Imposées par l’Union Européenne aux groupes

cotés des états-membres, ces normes sont en passe d’être adoptées dans de nombreux pays non-

européens. Fort de ce succès, l’IASB réfléchit déjà d’ailleurs à une version simplifiée de ces normes

destinée aux petites et moyennes entreprises.

Les flux financiers concernés peuvent atteindre des montants considérables, a fortiori pour les

grosses entreprises. L’importance grandissante des normes IFRS / IAS et des montants qu’elles

recouvrent nécessite donc de les appliquer le plus rigoureusement possible.

Pour obtenir leurs valeurs comptables, ces flux, quand ils sont futurs, demandent généralement à

être actualisés et probabilisés, les méthodes et les hypothèses actuarielles pour y parvenir étant alors

explicitées par lesdites normes. Cependant, pour certaines d’entre elles, cet encadrement peut être par

trop imprécis, occasionnant par la même une volatilité conséquente sur la ou les valeurs finales

recherchées, selon les stratégies actuarielles sélectionnées. C’est le cas de la norme IAS 19.

La norme IAS 19 est consacrée aux avantages au personnel, ou Employee Benefits ; elle rend

obligatoire la reconnaissance dans les comptes des entreprises – sous forme de provisions – de la

plupart des engagements sociaux à prestations définies, et ce quelle que soit leur maturité : congés liés

à l’ancienneté, médailles du travail, régimes de préretraite entre autres. On y retrouve notamment les

engagements postérieurs à l’emploi, et plus particulièrement les indemnités de fin de carrière. Les

engagements traités par l’IAS 19 sont donc assimilables à des passifs sociaux étalés sur un horizon

temporel de plusieurs décennies.

L’étendu de cet horizon et les mécanismes de valorisation et de comptabilisation de ces

engagements sociaux sont tels que les provisions pour avantages au personnel sont fortement sensibles

aux hypothèses actuarielles retenues. Le faible encadrement de la norme quant à celles-ci a conduit les

acteurs du secteur à mettre au point eux-mêmes des processus pour les déterminer. Or, certains de ces

processus, usuellement usités, présentent des fragilités sur le plan actuariel : ils tendent dès lors à

s’éloigner des réalités économiques et démographiques, occasionnant du même coup des variations

plus ou moins importantes selon la situation sur le montant des provisions et sur la distribution de

celles-ci dans le temps par rapport à ce qu’ils devraient être.

1 International Accounting Standards Board, ou IASB. 2 International Financial Reporting Standards, ou IFRS, anciennement Accounting Standards, ou IAS.

Certaines normes ayant gardé leurs anciennes dénominations, on parle selon les cas de normes IFRS / IAS, normes IFRS, ou normes IAS.

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L’évolution récente des normes IFRS / IAS (comme l’IAS 39 relative aux instruments financiers)

et des règlements prudentiels bancaires (Bâle II) et assurantiels (Solvency II) laissent de moins en

moins la place à l’arbitraire et à l’approximation et imposent aux entreprises de se conformer aux

réalités de son environnement. Du point de vue des provisions, cela se traduit par la nécessité de ne

pas surestimer ses engagements pour provisionner de manière prudente – et encore moins de les sous-

estimer, au risque de ne plus pouvoir y répondre – mais de provisionner de manière juste.

Ce mémoire se propose donc de revisiter le calibrage des principales hypothèses actuarielles

relatives à la norme IAS 19 (norme qui sera présentée dans le détail) : méthode d’actualisation,

revalorisation salariale, âge de départ volontaire, et dans une moindre mesure, mortalité et turnover.

Pour chacune d’entre elles, nous mettons en évidence les faiblesses actuarielles propres à son

processus usuel de détermination. Puis, dans un second temps, nous en proposons des améliorations, le

but étant de se rapprocher au maximum des réalités précédemment évoquées.

Nous analyserons ces hypothèses au regard des indemnités de fin de carrière (IFC), véritables

« briques » de base des engagements sociaux : la majorité de ces derniers peuvent en effet être

modélisés par des agrégats d’IFC. Les conclusions du présent document pourront donc être aisément

étendues à d’autres types de passifs sociaux.

Les points abordés seront ainsi à chaque fois illustrés par le calcul du montant total des IFC d’une

population réelle, issue des données du cabinet WINTER & Associés. Ces applications numériques

nous permettrons notamment de quantifier la sensibilité du passif social d’une entreprise au regard de

chacune des hypothèses actuarielles, et d’un processus de détermination à sa version améliorée.

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LA NORME IAS 19

1.1 – INTRODUCTION

Dans ce chapitre, nous présentons la norme IAS 19 : champ d’application, valorisation et

comptabilisation des engagements sociaux. Cette présentation se veut détaillée pour répondre à deux

objectifs :

- d’une part, permettre bien évidemment au lecteur de se familiariser suffisamment avec la

norme1 et ses concepts ;

- d’autre part, lui donner assez de recul pour comprendre à quel point les hypothèses

actuarielles sont fondamentales à tous les niveaux de l’évaluation des engagements sociaux

selon la norme IAS 19.

Parce que cette dernière doit avant tout être comprise sous le prisme de l’ensemble des normes

IFRS / IAS, nous commencerons par introduire celles-ci.

1.2 – LES NORMES IFRS / IAS

1.2.1 – Place des normes IFRS / IAS en Europe et dans le monde

Pour faciliter la comparabilité des états comptables entre les entreprises des Etats membres,

l’Union Européenne s’est engagée depuis des années dans une politique d’harmonisation des règles

comptables. Pour se faire, elle a délégué la charge de l’élaboration d’un jeu de normes comptables, les

normes IFRS / IAS2 à un organisme supranational indépendant, l’IASB (International Accounting

Standards Board).

Depuis le 1er janvier 2005, le règlement CE 1606/2002 de l’Union Européenne impose à toutes

les sociétés cotées sur les marchés réglementés de publier leurs comptes consolidés conformément à ce

jeu de normes IFRS. Cette adoption s’inscrit dans le cadre d’un vaste mouvement mondial visant à

faire converger petit à petit les systèmes comptables nationaux vers un standard commun. Ainsi, des

pays comme l’Australie, l’Afrique du Sud ou par exemple la Nouvelle-Zélande ont aussi opté pour ces

normes. Le Japon, le Canada ou le Brésil sont en passe de le faire sous peu3, là où d’autres comme la

Chine s’en approchent graduellement. Quant aux Etats-Unis, selon une décision de la Securities and

1 Le lecteur est fortement invité à consulter également le rapport de stage compilé avec ce mémoire : la

description du processus d’évaluation des engagements sociaux tel qu’il est appliqué « sur le terrain » permet en effet d’appréhender encore mieux les tenants et les aboutissants de la norme IAS 19.

2 Nous garderons la simple dénomination « normes IFRS » par la suite. 3 Le Japon, à l’instar du Canada, basculera vers l’IFRS en 2011, le Brésil en 2012.

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Exchange Commission (SEC), l’équivalent français de l’Autorité des Marchés Financiers, certaines

entreprises américaines triées sur le volet peuvent d’ores et déjà s’affranchir des normes US GAAP1 et

appliquer les normes IFRS. Une position définitive de la SEC sera véritablement prise en 2011, et

pourrait donc conduire à rendre obligatoire l’application du référentiel international d’ici 2014 pour les

entreprises américaines cotées.

1.2.2 – Buts fondamentaux des normes IFRS

Cette migration envisageable des Etats-Unis vers les normes IFRS tient pour beaucoup au fait

que l’IASB a été fortement influencé depuis 1973, date de sa création, par le modèle anglo-saxon,

modèle qui cherche avant tout à donner de l’entreprise une vision économique, dans le but de fournir

aux marchés des outils d’aide à la décision et de mesure de la richesse créée par cette même entreprise.

Ainsi, les 37 normes IFRS actuellement en vigueur couvrent un champ extrêmement vaste de

domaines 2 et visent avant tout à harmoniser la présentation et la clarté des états financiers des

entreprises à l’usage des utilisateurs externes, notamment des investisseurs. A ce titre, les états

comptables des entreprises se doivent de remplir les critères qualitatifs suivants :

- être intelligibles, c’est-à-dire être compréhensibles immédiatement par les utilisateurs ;

- être pertinents et exhaustifs, afin de permettre à leurs lecteurs d’avoir une vision claire des

évènements passés, présents ou futurs ;

- être fiables, c’est-à-dire être exempts d’erreur et de biais significatifs, ce afin de présenter

une image fidèle de l’entreprise. Ainsi, les transactions doivent être comptabilisées et

présentées conformément à leur réalité économique, et non pas seulement à leur forme

juridique ;

- être prudents, soit prendre un compte un certain degré de précaution dans l’exercice des

jugements, de sorte que les actifs ou les produits ne soient pas surévalués, et que les passifs

ou les charges ne soient pas sous-évalués.

Dès lors, les normes IFRS reposent sur trois principes fondamentaux :

- des comptes complets : il s’agit d’intégrer dans les comptes tout ce qui fait l’économie de

l’entreprise. Cela entraîne entre autres la disparition en grande partie du hors-bilan – par

rapport aux normes françaises, les engagements sociaux réintègrent donc les comptes – et les

annexes deviennent très détaillées ;

- la substance prédomine la forme : peu importe le statut juridique d’une opération comptable

et son nom. Ce qui importe, c’est sa finalité pratique comptable, quel que soit le système

réglementaire au sein duquel l’entreprise opère ;

- des comptes neutres : il ne doit pas être laissé de marge de manœuvre aux entreprises pour le

pilotage des comptes ; le bilan et le compte de résultat doivent être des données issues

d’opérations simples, sans qu’il soit possible de les ajuster.

1 United-States Generally Accepted Accounting Principles : normes comptables américaines actuelles. 2 La liste complète des normes IFRS / IAS est donnée en Annexe 1.

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1.2.3 – La notion de juste valeur

La notion de « juste valeur », ou fair value, tient une place prépondérante au sein du référentiel

IFRS et répond à la volonté de décrire l’entreprise relativement aux marchés financiers et aux

investisseurs. La juste valeur est le prix de transaction d’un actif entre des parties consentantes, bien

informées, et dans des conditions normales de concurrence.

Le financement des engagements sociaux se faisant à l’aide d’actifs, et ceux-ci étant estimés en

partie à leurs justes valeurs (certains restant évalués à leurs valeurs d’achat historiques), la valorisation

et la comptabilisation des engagements doivent donc reposer sur des hypothèses actuarielles

conformes avec les réalités des marchés financiers. Autrement, des biais sont introduits, impactant

d’autant et directement la gestion actif-passif.

De ce point de vue, et dans le cas des indemnités de fin de carrière, ce sera l’hypothèse

d’actualisation qui sera concernée. Ajoutons que la norme IAS 19 traite aussi des avantages sur

capitaux propres, avantages octroyant des titres financiers aux salariés. La norme n’échappe donc pas

à la notion de fair value.

1.3 – PRÉSENTATION DE LA NORME IAS 19

1.3.1 – Les buts de la norme IAS 19

La norme IAS 19 traite donc de la comptabilisation et des informations à fournir par les

entreprises au titre des avantages au personnel. Elle concerne tous les types d’avantages relevant de

conventions collectives, d’accords nationaux, d’accords de branche, d’accords spécifiques à

l’entreprise et à ses salariés, de textes de lois ou de contrats de travail.

La norme vise à :

- améliorer la qualité de l’information fournie aux partenaires économiques de l’entreprise ;

- favoriser la comparaison et la continuité des comptes annuels de la société en encadrant le

traitement des écarts actuariels d’une année sur l’autre ;

- montrer l’impact économique des engagements sociaux de l’entreprise, et en particulier celui

des engagements à moyen et long termes ;

- comptabiliser non pas la valeur future des engagements à moyen et à long termes, mais leur

coût « réel », en actualisant, en probabilisant et en utilisant la « méthode des unités de crédits

projetées »1 ;

- obliger l’entreprise à suivre année après année ce passif de manière à ce qu’elle puisse

anticiper son financement sur le long terme.

La norme poursuit ainsi deux buts essentiels : appliquer une démarche consistante pour

l’établissement du coût des engagements sociaux, d’une part, et établir la situation réelle des coûts

1 Cette méthode sera explicitée par la suite (voir section 1.4.1).

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admis, d’autre part. Ces deux buts sont atteints par l’imposition d’une méthode standard, à savoir la

méthode des unités de crédits projetées citée précédemment.

Avant d’étudier de manière plus approfondie la norme IAS 19, il convient d’introduire les

différents avantages sociaux qu’elle traite, et donc de différencier en premier lieu les engagements à

prestations définies des engagements à cotisations définies.

1.3.2 – Engagements à cotisations définies, engagements à prestations définies

Engagements à cotisations définies

Dans le cas d’un régime à cotisations définies, l’entreprise s’engage vis-à-vis du membre du

personnel concerné sur le montant des cotisations à verser à un organisme tiers – typiquement une

compagnie d’assurance ou une banque – qui sera alors chargé de faire fructifier ces dernières.

L’entreprise ne prend donc aucun engagement sur le montant du capital atteint au moment de la

liquidation du régime, puisque la prestation découlera du financement et de la gestion des fonds. Ces

régimes sont par définition des engagements à long terme.

Pour ce type de régimes, la norme IAS 19 impose seulement à l’entreprise de comptabiliser les

cotisations de l’année courante, sans actualisation. Les cotisations futures ne sont donc pas prises en

compte. En effet, le risque actuariel – risque que les prestations soient moins importantes que prévues

– et le risque de placement – risque que les actifs ne soient pas suffisants pour faire face aux

prestations prévues – n’incombent pas à l’entreprise, mais à l’organisme gérant le fonds constitué. De

fait, la norme IAS 19 concerne presque exclusivement les engagements sociaux à prestations définies.

Engagements à prestations définies

Dans un régime à prestations définies, contrairement à un régime à cotisations définies,

l’entreprise prend un engagement sur le niveau des prestations octroyées. Le risque actuariel et le

risque de placement incombent donc à l’entreprise. Le versement à l’échéance des prestations dépend

à la fois des performances du fonds – externalisé ou non – finançant ces dernières, mais aussi de la

capacité de l’entreprise à palier une insuffisance éventuelle des actifs du fonds. Il en découle une

nécessité de suivre de manière quasi-continue l’évolution du passif émanant de ces engagements à

prestations définies et des actifs de couverture mis en regard : une mauvaise gestion de ces deux

composantes pourrait conduire l’entreprise, au vu des sommes mises en jeu, à se retrouver en forte

difficulté au moment d’honorer ses engagements.

La norme IAS 19 vise principalement à contrôler par une approche de bilan dynamique, année

après année, ce risque inhérent aux engagements à prestations définies. En effet, par opposition aux

régimes à cotisations définies qui ne nécessitent que la comptabilisation de primes annuelles, les

régimes à prestations définies sont par nature plus complexes à évaluer ; étant intrinsèquement des

engagements à moyen et long termes, leur évaluation est soumise à de nombreux aléas actuariels :

mortalité et risque de départ des salariés, évolution des rémunérations de ces derniers… Les montants

évalués sont donc soumis à une forte volatilité suivant les hypothèses actuarielles sélectionnées.

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1.3.3 – Types d’engagements sociaux définis par l’IAS 19

Les avantages au personnel1 sont classés par la norme IAS 19 en cinq catégories, dont seules les

quatre dernières engendrent des passifs sociaux :

1. Les avantages à court terme, ou short-term employee benefits : ils comprennent les avantages

payables dans les 12 mois suivant la fin de l’exercice. Par définition, ils ne génèrent pas de

passifs sociaux. S’y trouvent :

- les rémunérations ;

- les cotisations de sécurité sociale ;

- les congés payés ;

- les congés maladie ;

- l’intéressement et les primes ;

- les avantages non monétaires.

2. Les avantages à long terme, ou long-term benefits :

- les congés liés à l’ancienneté ;

- les médailles du travail ou autres avantages liés à l’ancienneté ;

- les indemnités d’incapacité de longue durée ;

- l’intéressement, les primes et les rémunérations différées s’ils sont payables 12 mois

ou plus après la fin de l’exercice.

3. Les avantages postérieurs à l’emploi, ou post-employment benefits :

- les indemnités de fin de carrière ;

- les régimes de préretraite ;

- les pensions et autres prestations postérieures à l’emploi ;

- l’assistance médicale postérieure à l’emploi.

4. Les indemnités de fin de contrat de travail, ou termination benefits :

- les indemnités versées dans le cadre de plans sociaux ;

- les indemnités de départ volontaire en cours de carrière visant à favoriser les

démissions.

5. Les avantages sur capitaux propres, ou equity compensation benefits :

- les plans d’attribution d’actions gratuites ;

- les plans d’attribution de produits dérivés gratuits.

Cette liste n’est pas exhaustive, de nouveaux avantages pouvant voir le jour. Ainsi, les Comptes

Epargne Temps (CET) et les Droits Individuels à la Formation (DIF) commencent à être évalués et

comptabilisés à l’aide de la norme IAS 19.

1 Les avantages sociaux à cotisations définies ne générant pas de comptabilisation complexe et ne constituant

donc pas le cœur de la norme IAS 19, nous ne parlerons plus dans la suite de ce mémoire que d’engagements sociaux à prestations définies.

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La norme imposant que tous les engagements sociaux de maturité1 supérieure à un an soient

actualisés avant toute comptabilisation, la précédente liste montre bien à quel point la problématique

du choix de la méthode d’actualisation est importante : hormis les avantages à court terme, tous les

autres demandent à être actualisés.

De même, eut égard à ce même étalement temporel futur des engagements sociaux sur plus de 30

ans, les autres hypothèses actuarielles demandent à être calibrée avec soin sous peine de provoquer

une valorisation et une comptabilisation du passif social2 décorrélées de manière abusive des réalités

de l’entreprise.

Avant de se plonger dans le calibrage des hypothèses actuarielles, la comptabilisation des

engagements sociaux selon la norme IAS 19 demande à être explicitée.

Remarque : dans la suite de ce mémoire, nous développerons notre réflexion sur l’introduction de

structures de taux au sein de la norme IAS 19 au seul regard des indemnités de fin de carrière (IFC).

Comme nous le verrons par la suite, ces dernières sont à peu de choses près équivalentes à des

capitaux différés. Presque tous les autres engagements sociaux relevant de la norme IAS 19 peuvent

donc être vus comme la somme d’IFC de maturités judicieusement choisies. Les conclusions apportées

dans le présent document au cas des IFC pourront donc être facilement adaptées par le lecteur aux

autres avantages sociaux.

1.4 – COMPTABILISATION SELON LA NORME IAS 19

1.4.1 – Valorisation des engagements sociaux

Actualisation et probabilisation

L’évaluation d’engagements sociaux de maturité supérieure à un an fait mécaniquement appel à

la probabilisation et à l’actualisation, et s’effectue tête par tête pour une population donnée.

Prenons l’exemple d’un capital devant être versé à un salarié dans cinq ans à compter du

31/12/2009 et supposons que le versement soit adossé à deux conditions, la première étant qu’il soit

vivant à la date prévue de la liquidation, soit le 31/12/2014, la seconde étant qu’il soit dans l’entreprise

à cette même date. On cherche à évaluer cet engagement au 31/12/2009.

Au 31/12/2009, le capital est par essence un engagement théorique pour l’entreprise, qui ne

deviendra effectif que si les deux conditions sont remplies au 31/12/2014. Il faut donc dans un premier

temps probabiliser ce capital en le multipliant par la probabilité que le salarié reste en vie entre le

31/12/2009 ( ) et le 31/12/2014 ( ) puis par la probabilité qu’il reste dans l’entreprise entre ces

mêmes dates. L’engagement probabilisé obtenu est appelé la valeur probable de l’engagement (VP).

1 La maturité d’un engagement est égale au temps séparant la date future de la liquidation dudit engagement

de sa date de comptabilisation. Ainsi, un capital dont le versement est prévu pour le 30/06/2012 et comptabilisé le 31/12/2009 a une maturité au 31/12/2009 de 2,5 ans.

2 Dans ce mémoire, le terme « passif social » s’entend comme la somme des dettes différées contractées par un employeur à l’égard de ses salariés.

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é   é é   (1.1)

Dans un second temps, du fait que un euro au 31/12/2009 vaut plus qu’un euro au 31/12/2014,

l’entreprise va procéder à l’actualisation de la valeur probable pour tenir compte de ce phénomène.

Cette dernière va donc être multipliée par un facteur d’actualisation sur la maturité considérée indexé

sur un taux annuel d’actualisation . L’engagement probabilisé et actualisé en résultant est appelé la

valeur actuelle probable (VAP).

é   é é  

1 (1.2)

La VAP est une valorisation actuariellement justifiée de l’engagement. Cependant, nous verrons

dans la section suivante que la norme IAS 19 impose de proratiser la VAP. Ainsi, en France1, la VAP

est multipliée par l’ancienneté actuelle du salarié au sein de l’entreprise sur l’ancienneté du salarié au

terme de l’engagement, lors de son versement : c’est la méthode des « unités de crédit projetées –

service prorate », ou projected unit credit method with service prorate. La quantité obtenue est

appelée Projected Benefit Obligation (PBO), et on a donc :

éé

(1.3)

Ce sera cette PBO qui tiendra lieu de valeur comptable pour l’engagement considéré dans le

passif du bilan de l’entreprise au 31/01/2009. La figure ci-dessous schématise le processus de

valorisation par PBO du capital .

Précisons que le capital C fait la plupart du temps intervenir des hypothèses actuarielles, à l’instar

des étapes de probabilisation et d’actualisation. Dans le cas des indemnités de fin de carrière par

exemple, C sera un salaire projeté, basé sur la rémunération du salarié à et sur une hypothèse de

1 D’autres proratisations existent, cf. section suivante.

Montant

Capital C Probabilisation et actualisation

VAP

PBO

Probabilisation

Date d’entrée dans l’entreprise

Date d’évaluation Date de versement du capital

Figure 1 : processus de valorisation par PBO d’un capital C

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progression salariale probable quantifiée ; la PBO tire donc son nom du fait que l’entreprise doit

projeter ses obligations dans le futur.

Extension de la VAP et de la PBO à un ensemble de plusieurs avantages sociaux

Dans le cas d’un ensemble de plusieurs avantages sociaux, la VAP globale est égale à la somme

des VAP des engagements pris individuellement. Le même principe s’applique à la PBO globale.

La VAP et la PBO d’une famille d’engagements sociaux seront donc dépendantes non pas d’une

seule maturité, mais de toutes les maturités rattachées à ces engagements.

  (1.4)

  (1.5)

Méthode des unités de crédit projetées

Par construction, la méthode des unités de crédit projetées et la PBO permettent d’attribuer à

chaque exercice une unité d’engagement – de la part de l’entreprise – correspondant aux droits

supplémentaires acquis par le salarié au cours dudit exercice, un droit étant une fraction de la

rémunération totale promise par l’engagement au terme. La norme IAS 19 donne la possibilité

d’utiliser trois méthodes de valorisation de la PBO.

La première est dénommée projected unit credit method et est préconisée par l’IAS 19 comme

méthode de référence. Elle proratise la VAP sur la base des droits effectivement acquis à la date

d’évaluation des engagements sur les droits totaux au terme. On a ainsi  

   .

Schématiquement, la PBO d’un engagement progressera ainsi :

Droits

PBO

Date d’évaluation Date d’entrée dans l’entreprise

Figure 2 : projected unit credit method

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Cette méthode peut être mal adaptée à certains engagements. Dans le cas d’une IFC par exemple,

du fait de la condition de présence au terme, une évaluation des droits rétrospective aboutit à un niveau

d’engagement nul jusqu’au jour du versement effectif de l’indemnité : aucune provision ne peut dès

lors être constituée pour faire face à l’engagement.

C’est la raison pour laquelle deux autres méthodes, dites prospectives, sont utilisées lorsqu’il

existe une condition de présence au terme. Les droits sont alors projetés au terme puis répartis entre

droits passés, droits acquis dans l’année, et droits futurs.

La première, la projected unit credit method with service prorate est la plus adaptée au cas

français de par la forte représentativité des IFC ou des retraites « chapeau ». La PBO est alors égale,

pour l’exercice considéré, à la VAP de l’engagement considéré pondérée par l’ancienneté à la date

d’évaluation sur l’ancienneté au terme ; on retrouve la formule (1.3). Ainsi, même sous condition de

présence au terme, une provision sera constituée dès la première année d’ancienneté du salarié.

C’est de cette méthode dont nous nous servirons tout au long de ce mémoire.

Enfin, pour répondre aux spécificités de certains engagements, une troisième méthode a été

imaginée, la projected unit credit method with acquisition prorate. La PBO est alors égale à la VAP

multipliée par l’ancienneté actuelle divisée par l’ancienneté plafond associés aux droits. La formule de

la PBO devient é 

é " ".

Droits

PBO

Date d’entrée dans l’entreprise

Date d’évaluation

Ancienneté au terme

Ancienneté actuelle

Figure 3 : projected unit credit method with service prorate

Droits

PBO

Date d’entrée dans l’entreprise

Date d’évaluation

Ancienneté plafond

Ancienneté actuelle

Figure 4 : projected unit credit method with acquisition prorate

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1.4.2 – Coût des services rendus

La valorisation par la PBO permet donc de donner un prix au stock des droits acquis par les

salariés de l’entreprise considérée. Chaque engagement sera représenté par une PBO individuelle

associée qui ira croissante année après année, jusqu’à ce que l’engagement soit honoré ; une fois la

prestation versée, la PBO à terme – égale au montant de l’engagement à terme – sera décomptée de la

PBO totale. Le stock global de provisions relatives aux engagements sociaux de l’entreprise évolue

donc chaque année selon les variations d’effectifs, selon les caractéristiques des engagements

(changement de convention collective, modalités, …) et les éventuelles prestations versées.

Sur la figure 5 ci-dessous est représentée l’évolution prévue au 31/12/2005 des engagements

d’une société au titre des indemnités de fin de carrière de ses salariés1. Des prestations probables,

calculées et « localisées » dans le temps à l’aide des âges de ces derniers et des hypothèses actuarielles,

sont prévues jusqu’en 2046, année à laquelle le dernier salarié quitterait l’entreprise : à la date

d’évaluation, on considère en effet que la masse salariale est « fermée », et on ne fait aucune

hypothèse sur les éventuels futurs nouveaux entrants.

Figure 5 : exemple d’évolution de la PBO et des prestations probables d’une entreprise (IFC, en euros)

La PBO globale suit quant à elle une courbe semblable à celles que l’on peut trouver en

assurances pour les provisions mathématiques pures ; dans un premier temps, la PBO croît, la

croissance annuelle du stock de droits est plus importante que les montants annuels des prestations

probables versées. Passé 2020, la tendance s’inverse, et ce jusqu’à épuisement du passif social.

Dans son paragraphe 68, la norme IAS 19 précise qu’une « entreprise affecte les droits à

prestations aux exercices au cours desquels l’obligation d’assurer des engagements est générée ».

L’obligation naît du fait que le salarié rend immédiatement un service à l’entreprise – par son travail –

alors que l’entreprise versera la prestation dans le futur.

1 Histogramme extrait de (PLOUVIER & RONA, 2008).

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Chaque charge devant être comptabilisée au cours de l’exercice qui l’a vu naître, il convient donc

de bien séparer le coût des services passés du coût des services rendus au cours de l’exercice.

En notant – service cost – la charge des services rendus, ou droits de l’année, pour

l’exercice 1, on a donc :

 1é

(1.6)

Les droits de l’année viennent donc accroître le niveau de l’engagement représenté par la PBO.

En reprenant la formulation de la PBO avec service prorate on peut assimiler le coût des services

rendus à la dérivée de la PBO par rapport au temps. Ce coût mesure donc la vitesse d’accumulation1

du stock du capital constitutif de l’engagement, étant égal à l’ancienneté du salarié dans l’entreprise

à la date d’évaluation.

Précisons pour une bonne compréhension que – respectivement – est la VAP –

respectivement la PBO – à la fin de l’exercice , mais aussi la VAP – respectivement la PBO – au tout

début de l’exercice 1, soit au 1er janvier si l’exercice est clôturé le 31 décembre.

1.4.3 – Charge d’intérêt

La PBO, autrement dit la dette actuarielle, évolue chaque année. Cette évolution doit tenir

compte de la PBO de l’exercice précédent, des prestations et des cotisations théoriques versées – dans

le cas où les engagements sont adossés à des participations salariales – au cours de l’exercice, des

droits de l’année acquis au cours de l’exercice, mais aussi d’un taux d’actualisation pour revaloriser

l’ensemble de ces éléments.

Cette revalorisation est représentée dans les états comptables par la charge d’intérêt, ou interest

cost. En notant la charge d’intérêt de l’exercice 1 et en faisant les hypothèses classiques qui

fixent le paiement des prestations et des cotisations théoriques en milieu d’année, actualisées au taux ,

et la comptabilisation des services rendus en début de période, on obtient :

1 1 (1.7)

La PBO théorique de l’exercice 1 – c’est-à-dire la PBO théorique à la fin de cet exercice –

sera alors déterminée par la formule :

(1.8)

Par la suite, nous ne tiendrons pas compte des cotisations, les IFC classiques traitées dans ce

mémoire ne les faisant pas intervenir.

1 En effet, la VAP varie très lentement avec le temps. En dérivant l’expression de la PBO et en négligeant la

dérivée de la VAP par rapport au temps, on obtient donc les droits de l’année.

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1.4.4 – L’actif de couverture

L’actif de couverture regroupe l’ensemble des actifs détenus par l’assureur – l’entreprise pouvant

externaliser la gestion de ses actifs « sociaux » – ou par l’entreprise elle-même et mis en

représentation des engagements sociaux.

Cet actif, dès lors qu’il n’existe aucune clause contractuelle le reliant directement au passif –

certains engagements pouvant faire intervenir des titres ou d’autres classes d’actif – est évalué de

manière totalement indépendante. La valorisation de l’actif est alors régie par la norme IAS 39 portant

sur les instruments financiers. Selon les classes des actifs, certains seront valorisés par rapport à leur

juste valeur, d’autres par rapport à leur valeur historique.

Comme pour la PBO, la norme IAS 19 impose d’émettre une hypothèse en début d’exercice

1 sur le rendement ’ attendu des actifs de couverture durant ce même exercice. La valeur

théorique de l’actif de couverture en fin d’exercice sera alors égale à :

      1 ∆ 1 (1.9)

avec ∆ .

Cette dernière valeur est en effet considérée réinvestie au taux ’ si elle est positive.

1.4.5 – Gains et pertes actuariels

Les notions de gains et de pertes actuariels, ou « écarts actuariels », constituent un élément très

important de la norme IAS 19. Il faut en effet distinguer la PBO à l’ouverture de l’exercice en cours,

réelle, de la PBO à la fin de l’exercice en cours, qui elle sera théorique jusqu’à la date de clôture de

l’exercice. Une fois cette date passée, une PBO réelle pourra être calculée.

Description des écarts actuariels

Selon la date et selon le mode de fonctionnement des services devant réaliser les états comptables

d’une entreprise, deux approches sont envisageables :

PBOt

début exercice t+1 fin exercice t+1

PBOt+1

SCt+1

ICt+1

prestations t+1

cotisations t+1

exercice t+1

Figure 6 : visualisation temporelle de l’évolution de la PBO

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- soit les états comptables de l’exercice N sont établis en début d’année suivante, une

fois le 31/12/N passé1. Il y aura alors un écart actuariel entre la PBO prévue le

31/12/N-1 pour le 31/12/N et la PBO réelle constatée au 31/12/N sur la base des

évènements de l’année écoulée ;

- Soit l’entreprise a besoin de produire des informations comptables avant la clôture de

l’exercice. Un écart actuariel différent du précédent interviendra alors, dû à

l’estimation que l’on fait en cours d’année de la situation au 31/12/ N prochain.

En effet, les engagements d’une entreprise envers ses salariés et leur valorisation sont modélisés

par des hypothèses actuarielles, qui par définition sont des variables aléatoires qui n’ont aucune raison

de rester constantes. S’il peut arriver par exemple que le taux prévu de revalorisation salariale au cours

des prochaines années de l’entreprise considérée reste constant d’un bilan au suivant, le taux

d’actualisation est lui quasiment sûr de varier. La PBO théorique projetée au 31/12/N et calculée au

31/12/N-1 ou au cours de l’année N se fera sur la base des hypothèses actuarielles prises et vérifiées au

moment du calcul. Entre ce dernier et le 31/12/N, ces mêmes hypothèses ont toutes les chances d’être

remises en question par l’évolution des marchés ou par les choix internes de l’entreprise, changeant du

coup la valeur de la PBO réelle au 31/12/N, qui sera elle conforme aux nouvelles hypothèses valables

à cet instant.

S’il existe un écart actuariel dû aux hypothèses, il en existe un aussi provenant des variations

intrinsèques à la population concernée. Les prévisions pour le 31/12/N au 31/12/N-1 ou au cours de

l’année N se font sur la base d’un périmètre de salariés et d’informations fixé : nombre, dates de

naissance, dates d’ancienneté, salaires, catégories socioprofessionnelles… Ces données sont amenées

à changer – entrants, sortants, augmentation salariale plus forte que ce qui était prévue, corrections de

dates de naissance, … – le temps passant : au 31/12/ N, la probabilité que ces données n’aient pas

varié est là aussi infime, occasionnant du même coup une PBO réelle différente de la PBO

prévisionnelle théorique.

L’écart actuariel sur le passif sera donc la somme des deux écarts actuariels précédents.

Figure 7 : PBO estimée et PBO réelle au 31/12 – deux cas de figures

La figure ci-dessus résume les choses. Dans le cas de figure de gauche, la PBO au 31/12 avait été

estimée à 120 ; à l’aide des nouvelles données et des nouvelles hypothèses, la PBO réelle a finalement

1 Les explications suivantes sont bien entendues adaptables aisément au cas où les comptes annuels sont

établis pour une date différente du 31 décembre.

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été valorisée à 90, engendrant un écart actuariel de + 30, soit un gain. Dans le cas de figure de droite,

la PBO estimée vaut 110, la PBO réelle 105, l’engagement a vu sa valeur revue à la hausse : l’écart de

– 5 est une perte actuarielle.

Sur le même principe, une projection de l’actif de couverture sera menée, projection qui donnera

lieu à un écart actuariel sur l’actif une fois la valeur réelle de ce dernier déterminée en fin d’exercice et

le taux de rendement mis à jour.

L’écart actuariel total est donc scindé en deux parties, l’une liée au passif, et l’autre liée à l’actif.

é   é é é é (1.10)

C’est cet écart actuariel qui sera retenu dans la comptabilité, qui ne cherche pas à distinguer ses

causes dans le détail ; cela dit, un contrôleur aux comptes peut en demander la justification s’il en

éprouve la nécessité.

Comptabilisation des écarts actuariels

Pour résumer, si nous supposons que les comptes sont clôturés le 31 décembre, la comptabilité de

l’écart actuariel dû au passif social prendra la forme du tableau ci-dessous.

1. PBO réelle en début d’exercice (au 01/01) 2. + Coût des services rendus pour l’exercice 3. + Charge d’intérêt de l’exercice 4. + Coût des services passés 5. + Cotisations versées au cours de l’exercice 6. - Prestations servies au cours de l’exercice = PBO théorique attendue en fin d’exercice (au 31/12) 7. - PBO réelle évaluée en fin d’exercice (au 31/12) = Gain / perte actuariel sur le passif social pour l’exercice

Figure 8 : écart actuariel sur le passif social

Le coût des services passés mentionné dans le tableau précédent désigne l’accroissement

algébrique de la PBO résultant de l’introduction d’un ou de nouveaux régimes d’avantages sociaux,

ou de la modification des régimes existants. Ce coût peut être positif si de nouveaux engagements sont

introduits ou des avantages existants améliorés, ou négatifs si des avantages existants sont réduits. Ce

coût est bien entendu aléatoire, fonction notamment des renégociations des conventions collectives et

de la législation. Il doit être selon la norme amorti linéairement sur une durée résiduelle.

L’écart actuariel dû à l’actif suivra le même principe :

1. Valeur réelle de l’actif de couverture en début d’exercice (au 01/01) 2. + Rendement attendu de l’actif de couverture pour l’exercice 3. + Cotisations versées au cours de l’exercice 4. + Rendement de l’éventuel surplus <cotisations – prestations de l’exercice> 5. - Prestations servies au cours de l’exercice = Valeur théorique de l’actif attendu en fin d’exercice (au 31/12) 6. - valeur réelle de l’actif de couverture évaluée en fin d’exercice (au 31/12) = Gain / perte actuariel sur l’actif de couverture pour l’exercice

Figure 9 : écart actuariel sur l’actif de couverture

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1.4.6 – Mécanisme du corridor

Les règles d’amortissement des gains et des pertes actuariels décrites dans la norme IAS 19

autorisent dans une certaine mesure la comptabilisation sur plusieurs exercices des écarts actuariels.

Cette possibilité provient du fait que ces gains ou ces pertes peuvent à long terme se compenser du fait

des variations année après année des hypothèses et des données. Ainsi une hausse brutale de la PBO

due par exemple à une sous-évaluation du taux d’actualisation pourra être compensée les années

suivantes. Cet amortissement permet de « lisser » les mouvements afférents aux provisions pour

engagements sociaux. La volatilité du passif social s’en trouve réduite.

Le mode d’amortissement retenu par la norme IAS 19 est celui du « corridor ». L’entreprise est

libre de l’exercer ou non. Toutefois, si elle opte pour cette solution, elle doit alors le faire de manière

systématique, et l’appliquer qu’il s’agisse de gains ou de pertes actuariels.

Le corridor est limité en valeur absolue par le maximum de :

- 10 % de la valeur des engagements sociaux (donc de la PBO) à la clôture ;

- 10 % de la valeur des actifs de couverture à la même date.

Après avoir calculé cette assiette, les écarts actuariels de l’actif et du passif de l’exercice sont

agrégés aux écarts actuariels non encore comptabilisés des années précédentes : on obtient le montant

total des écarts actuariels non encore reconnus. Si ce dernier est inférieur à la limite du corridor, il n’y

a pas besoin de deuxième étape, l’écart est tolérable.

Par contre, si l’écart est supérieur à la limite du corridor, la part excédentaire de cet écart sur la

limite du corridor doit être reconnue et amortie linéairement sur la durée résiduelle du passif. Cette

part divisée par cette durée résiduelle doit alors être passée en charge ou en produit, selon que l’on soit

en présence de pertes ou de gains actuariels.

L’entreprise peut cependant choisir une méthode plus rapide, en passant en compte de résultats la

totalité des écarts dès leur survenance. Il n’y aura alors plus aucun lissage.

Dans les deux cas de figure, une mauvaise estimation des hypothèses actuarielles – en supposant

que la valorisation soit menée correctement par rapport aux données et aux textes faisant force de loi –

peut conduire à des écarts actuariels conséquents, qui dès lors peuvent impacter de manière sensible

les comptes annuels de l’entreprise, avec tous les risques que cela comporte. En effet, la valorisation

des engagements sociaux d’une grande entreprise, ayant par définition plusieurs milliers de salariés,

dépasse fréquemment la centaine de millions d’euros ; pour les plus grosses entreprises, cela peut se

chiffrer en milliards d’euros.

Retour sur les amortissements

La norme IAS 19 peut donc occasionner deux types d’amortissements : ceux provoqués par une

augmentation des engagements sociaux due à une modification ou une création de régime, ou ceux

générés par la méthode du corridor, si l’entreprise a opté pour ce mécanisme. La norme permet donc

de reporter sur des exercices ultérieurs une partie d’une charge ou d’un produit constatée aujourd’hui.

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Ces amortissements doivent se faire, selon la norme, sur la « durée résiduelle des engagements »,

sans plus de précision. La meilleure définition de cette durée d’un point de vue actuarielle serait celle

de la duration, barycentre des maturités des flux financiers.

Soit Α une partie finie non vide de . En notant ; , les flux probabilisés des

engagements sociaux de l’entreprise, , ; , , , les maturités associées, et

, ; , , , les taux d’actualisation adossés à ces dernières, la duration vaut alors :

∑1 ,

, ,

∑1 ,

,

(1.11)

Notons que la duration est elle aussi directement impactée par le calibrage des hypothèses

actuarielles.

1.4.7 – Les états comptables

Le bilan

Le montant de la provision qui doit être inscrite au bilan au titre des engagements envers les

salariés est le suivant :

1. PBO réelle en fin d’exercice (au 31/12) 2. + Stock des gains ou pertes actuariels non comptabilisés 3. - Coût des services non encore reconnus 4. - Valeur réelle de l’actif de couverture en fin d’exercice (au 31/12) = Provision pour engagements sociaux

Figure 10 : provision pour engagements sociaux

S’il s’avère que cette somme donne un nombre négatif, cette dernière est alors enregistrée à

l’actif selon des règles qui sortent du cadre de ce mémoire (principe de l’actif fictif, ou asset ceiling).

Le compte de résultat

Pour l’exercice à venir, l’entreprise inscrit en charge prévisionnelle (ou en produit, selon le

résultat) la somme suivante :

1. Coût des services rendus au cours de l’exercice 2. + Charge d’intérêt de l’exercice 3. - Rendement attendu des actifs de couverture 4. + Gains ou pertes actuariels reconnus 5. + Amortissement du coût des services passés 6. + Impact de toute réduction ou liquidation du régime = Charge / produit prévisionnel

Figure 11 : charge / produit prévisionnel pour engagements sociaux

Les trois premiers postes sont estimés à la date du bilan, donc en début de période de l’exercice à

venir, à l’aide des hypothèses actuarielles du moment.

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Une liquidation a lieu lorsque l’entreprise décide d’externaliser la gestion de ses engagements en

les transférant à un organisme extérieur ou bien en versant définitivement aux salariés la valeur

actuelle des droits acquis. Une réduction est la mise en œuvre par l’entreprise d’une diminution

conséquente du volume des engagements par un plan de redéfinition des droits à ceux-ci ou de leurs

montants.

L’état comptable en annexe

La norme IAS 19 impose à l’entreprise de porter en annexe un état comptable détaillé de ses

engagements sociaux pour l’exercice clôturé. Cet état comptable reprend tous les postes

précédemment cités ainsi que les hypothèses actuarielles, notamment le taux de rendement attendu des

actifs, le taux actuariel d’actualisation des flux et la durée résiduelle des amortissements. Toutes les

explications jugées nécessaires pour la bonne compréhension des comptes et de la manière de les

établir doivent être portées à l’annexe, ainsi que toutes les justifications quant à la détermination des

hypothèses actuarielles.

1.5 – CONCLUSION

Comme il a été montré dans les sections précédentes, la valorisation et la comptabilisation des

engagements sociaux sont directement et fortement dépendantes du choix des hypothèses actuarielles

utilisées, hypothèses étant peu encadrées1 par la norme IAS 19.

Elles impactent en effet le montant du passif social inscrit au bilan pour l’exercice proprement dit,

mais aussi pour les exercices suivants. Une volatilité trop importante des engagements année après

année due à de mauvaises méthodes d’estimation des hypothèses actuarielles est à éviter à tout prix

pour une gestion pérenne des comptes de l’entreprise, d’autant que, rappelons-le, ces engagements

peuvent dépasser le milliard d’euros.

Autrement dit, le but n’est pas de surestimer pour provisionner de manière prudente – et encore

moins de sous-estimer – mais de provisionner de manière juste. Les hypothèses doivent donc être

calibrées selon des méthodes cohérentes, conformément aux réalités microéconomiques et

macroéconomiques dans lesquelles baigne l’entreprise, dans l’esprit des normes IFRS.

Un mauvais calibrage empêchera enfin une gestion actif-passif de qualité.

1 Hormis l’hypothèse d’actualisation, bien que comme nous le verrons par la suite, la norme IAS 19 reste très

permissive à son égard.

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LES INDEMNITÉS DE FIN DE CARRIÈRE

2.1 – INTRODUCTION

Par la suite, nous travaillerons exclusivement sur les indemnités de fin de carrière. Cette partie

vise à présenter ce type d’engagements sociaux et à introduire les hypothèses actuarielles y étant

adossées.

En outre, nous décrirons la population salariale sur laquelle nous nous basons tout au long de ce

mémoire, et nous terminerons ce chapitre par l’application numérique, étape par étape, du calcul d’une

indemnité de fin de carrière selon la norme IAS 19.

2.2 – DES DROITS À LA PBO

Le terme d’indemnités de fin de carrière recouvre à la fois les indemnités de mise à la retraite

(IMR) et les indemnités de départ volontaire à la retraite (IDR). Nous nous cantonnerons à ces

dernières1.

2.2.1 – Les droits

Lors du départ à la retraite de leurs salariés, les entreprises doivent verser des indemnités de fin

de carrière dont le montant peut varier en fonction des conventions collectives de branche, des accords

d’entreprise ou des contrats de travail, mais ne peut être inférieur à un minimum de droit commun

prévu par l’article 6 de l’accord national interprofessionnel du 10 décembre 1977 étendu sur la

mensualisation. Ces droits minimums sont exprimés en nombre de mois du salaire au terme.

Pour les indemnités de départ volontaire, à l’initiative du salarié donc, ces droits sont fonction de

l’ancienneté du salarié dans l’entreprise à terme, lorsqu’il quitte cette dernière :

Ancienneté à la date de départ

Droits (en nombre de mois du salaire de base)

[0 an ; 10 ans[ 0,0 mois [10 ans ; 15 ans[ 0,5 mois [15 ans ; 20 ans[ 1,0 mois [20 ans ; 30 ans[ 1,5 mois

[30 ans ; ∞[ 2,0 mois

Figure 12 : indemnités légales de départ volontaire à la retraite

1 En effet, la Loi de Financement de la Sécurité Sociale 2008 interdit désormais la mise à la retraite avant 65

ans à compter de 2010, marginalisant de facto l’évaluation des IMR, le passif social qu’elles représentent étant réduit à la portion congrue par rapport à celui des autres types d’engagements.

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Le salaire de base est ici le salaire moyen des trois derniers mois précédents le départ du salarié,

ou le salaire moyen brut des douze derniers mois précédents ce départ, si celui-ci est supérieur. Nous

retiendrons cette dernière définition.

Ces montants, ou « indemnités légales de départ volontaire à la retraite », constituent donc un

minimum légal en deçà duquel l’entreprise ne peut descendre, toutes catégories socioprofessionnelles

confondues. Dans la pratique, on observe que beaucoup d’entreprises sont tenues de verser des

indemnités plus conséquentes, du fait d’une convention collective la plupart du temps. Les indemnités

sont souvent différentes d’une catégorie socioprofessionnelle à l’autre. Voici par exemple les droits de

la convention collective de l’industrie des panneaux à bois :

Ancienneté Cadres Non-cadres [0 an ; 5 ans[ 0,0 mois 0,0 mois

[5 ans ; 10 ans[ 1,0 mois 0,0 mois [10 ans ; 15 ans[ 2,0 mois 1,0 mois [15 ans ; 20 ans[ 2,0 mois 1,5 mois [20 ans ; 25 ans[ 3,0 mois 2,0 mois [25 ans ; 30 ans[ 3,0 mois 2,5 mois [30 ans ; 35 ans[ 4,0 mois 2,5 mois

[35 ans ; ∞[ 5,0 mois 2,5 mois

Figure 13 : indemnités de départ volontaire de la convention « industrie des panneaux à bois »

Les indemnités de fin de carrière peuvent parfois représenter jusqu’à un quart de la masse

salariale annuelle de l’entreprise, d’où l’importance de les évaluer, de les financer et de les

provisionner sur le long terme. Précisons que les IFC sont soumises à charges sociales, généralement

égales à 45,00 % des droits. Ces charges, payées par l’entreprise, viennent alourdir son passif social.

Avant de poursuivre plus avant, introduisons quelques notations.

2.2.2 – Les notations

Soit   le nombre de salariés de l’entreprise; associons à chaque salarié un matricule ,

1; . En choisissant d’exprimer les variables connues en minuscules, et les variables aléatoires

en majuscules, à l’exception des maturités des engagements, notons :

- : la date de clôture des comptes de l’entreprise, date à laquelle on se place1 ;

- : l’âge d’entrée du salarié dans l’entreprise ;

- : la date d’entrée du salarié dans l’entreprise ; 

- : l’âge du salarié à la date ;

- : l’âge de départ à la retraite du salarié ;

- : la maturité de l’indemnité de fin de carrière du salarié relativement à la date

; le salarié atteint l’âge quand cette maturité tombe à zéro;

- : le salaire mensuel du salarié à la date ;

1 Toutes les informations sur les salariés à cette date et antérieures à cette date sont donc connues.

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-  : le taux d’inflation à l’instant ;

- ,  : le taux d’inflation à long terme qui prévaut à la date pour une durée ;

- , , , , : la revalorisation salariale du salarié entre les dates et ;

- , : le salaire mensuel1 du salarié à la date ;

-  : le taux d’actualisation composé qui prévaut à la date pour une maturité ;

- ; : la probabilité que le salarié , vivant à la date , le soit toujours en

 ;

- ; : la probabilité que le salarié , présent dans l’entreprise à la date , y

soit toujours à la date  ; 

- , , , : les droits du salarié au titre des IFC à l’âge  ; 

- : les cotisations sociales, que nous fixerons à 45,00 %. On a donc 1

45,00% . 

2.2.3 – Expression de la PBO

Les droits aux indemnités de fin de carrière au terme du salarié seront donc comme on l’a écrit

ci-dessus fonction de l’âge de départ du salarié, de son salaire – fonction lui-même de la revalorisation

salariale – et de son ancienneté au sein de l’entreprise à ce moment. Toutes ces quantités sont par

définition aléatoires.

Avec ces notations, la PBO à la date du salarié aura donc comme expression :

, ,é ,

é , (2.1)

Soit pour une IFC :

,, , ,1 ,

; ; (2.2)

Pour l’ensemble de la masse salariale de l’entreprise, la PBO totale relative aux IFC est donc :

1 Nous omettons ici les paramètres de la revalorisation salariale pour plus de clarté.

tête active

âge

instant

tête retraitée

Figure 14 : représentation temporelle des notations

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, , ,1 ,

; ; (2.3)

Présentons maintenant les différentes hypothèses actuarielles relatives aux IFC.

2.3 – LES HYPOTHÈSES ACTUARIELLES

La dernière formule met en avant toutes les hypothèses actuarielles qui interviennent dans la

valorisation – et a fortiori dans la comptabilisation –des indemnités de fin de carrière. Les hypothèses

sont de deux ordres : économiques, et démographiques.

2.3.1 – Les hypothèses économiques

La structure d’actualisation

Parce qu’elle influe énormément la PBO finale et parce qu’elle reflète les marchés financiers et

donc la gestion actif-passif, la structure d’actualisation est certainement l’hypothèse la plus encadrée

de la norme IAS 19. Elle fera pour cette raison l’objet d’un chapitre à part entière. Remarquons

seulement pour le moment que le passif social est « inversement proportionnel » à la structure

d’actualisation : plus les taux d’actualisation seront élevés, plus la valorisation des engagements sera

faible.

Le profil de carrière

Spécifique à chaque catégorie socioprofessionnelle, le profil de carrière, autrement dit la

revalorisation salariale, permet de projeter les salaires actuels pour déterminer les salaires au terme.

Cette hypothèse a aussi un impact sensible sur l’engagement.

Le profil de carrière d’un salarié est fonction de trois facteurs : l’inflation, l’évolution du pouvoir

d’achat et le déroulement de la carrière du salarié. Nous consacrerons un chapitre au calibrage de cette

hypothèse.

2.3.2 – Les hypothèses démographiques

Les hypothèses démographiques permettent de considérer, les spécificités propres aux salariés et

à leur entreprise.

L’âge de départ à la retraite

L’âge de départ à la retraite, noté ci-dessus, dépend de nombreux paramètres. Citons par

exemple :

- l'âge de départ à la retraite légal ;

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- la générosité des droits dispensés par l’entreprise ;

- le profil de carrière du salarié.

L’engagement au terme de l’entreprise peut à première vue se voir réduit si les adhérents ont

tendance à partir tôt, vu qu’ils accumulent moins de droits, ou être augmenté dans le cas contraire.

L’impact sur le passif social entre un âge de départ fixe propre à chaque catégorie socioprofessionnelle

et un modèle plus complexe mérite d’être examiné ; le calibrage de cette hypothèse sera donc lui aussi

analysé.

La mortalité

Le risque de décès des salariés est modélisé à l’aide de tables de mortalité.

Ces dernières sont construites pour des périodes et des populations données : une table décrit

l’extinction progressive d’une cohorte fictive considérée comme homogène de 100 000 personnes nées

la même année, sous l’effet de la mortalité, par âge, et par sexe et millésime pour les plus récentes. Les

tables varient au gré des spécificités des populations cibles.

La nécessité d’essayer de construire une table de mortalité propre à chaque entreprise ou même à

chaque secteur économique n’est pas justifiée au regard du manque d’informations disponibles et des

erreurs que cela engendrerait. Par ailleurs, les progrès en termes de couverture sociale et de conditions

de travail nivèlent les disparités d’un secteur à l’autre en matière de mortalité. L’utilisation des tables

de mortalité nationales les plus récentes comme c’est le cas actuellement est donc pertinente.

La probabilité de présence

La probabilité – notée , pour turnover – que le salarié quitte son entreprise pour des motifs

différents du décès, ou du départ à la retraite, entre la date de calcul des engagements et la date future

à laquelle il est sensé toucher son indemnité de fin de carrière, est très difficile à estimer. De nombreux

facteurs entre ainsi en jeu :

- l’âge du salarié ;

- l’ancienneté du salarié dans l’entreprise à la date ;

- la catégorie socioprofessionnelle du salarié ;

- la politique de rémunération future de l’entreprise ;

- …

Il est très difficile de modéliser chacun de ces paramètres avec suffisamment de précision, pour

plusieurs raisons : manque de données, futur de l’entreprise, environnement économique, … Nous

reviendrons sur cette hypothèse par la suite.

Après avoir passé en revue les hypothèses actuarielles propres aux IFC, nous allons présenter les

données salariales et les hypothèses actuarielles par défaut utilisées dans ce mémoire. Puis nous

donnerons un exemple numérique de calcul de la PBO d’une IFC.

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2.4 – PRÉSENTATION DES DONNÉES SALARIALES UTILISÉES

Pour les développements à venir de ce mémoire, nous mènerons à chaque fois nos calculs

d’indemnités de fin de carrière pour la même population de salariés. Cette population, réelle, est

extraite des données de l’une des entreprises clientes du cabinet WINTER & Associés au 31/12/2008.

Elle se compose de 411 salariés, tous non-cadres, avec 78 % d’hommes.

Nous avons opté pour une population suffisamment large, qui permet ainsi de bien représenter les

distributions salariales que l’on rencontre au gré des évaluations IAS 19. Le fait de scinder la masse

salariale de l’entreprise en deux et de ne retenir que les non-cadres homogénéise la population cible ;

c’est pourquoi nous nous cantonnons à une seule catégorie socioprofessionnelle.

En associant à chaque salarié un matricule, les données se présentent comme suit :

Matricule Sexe Date

de naissance Date

d'ancienneté Salaire annuel brut

1 homme 08/11/1953 04/03/1983 38 298 €

2 femme 13/10/1964 04/04/1984 22 028 €

3 homme 03/05/1959 18/03/1983 37 235 €

4 homme 01/10/1962 14/04/1983 56 981 €

… … … … …

Figure 15 : échantillon des données utilisées

Les deux graphiques qui suivent présentent la pyramide des âges des salariés en fréquence ainsi

que l’histogramme des salaires annuels de référence, également en fréquence :

Figure 16 : pyramide des âges de la population (en fréquence)

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Figure 17 : histogramme des salaires annuels (en fréquence et en euros)

Concernant les droits de la population cible, nous les fixons comme étant égaux à ceux de la

convention de l’industrie des panneaux à bois, définis dans la section 2.2.1.

2.5 – HYPOTHÈSES ACTUARIELLES DE DÉPART

Nous serons par la suite amenés à faire varier certaines hypothèses actuarielles, ce en fonction

des calibrages retenus. Le socle d’hypothèses actuarielles1 de base qui sera appliqué sauf mention

contraire est ici listé :

- date de clôture des comptes de l’entreprise : 31/12/2008 ;

- actualisation : structure d’actualisation plate, fixée à 5,00 % ;

- profil de carrière : revalorisation salariale de 2,00 % par an ;

- âge de départ à la retraite : 60 ans, pour l’ensemble des salariés ;

- mortalité : TGH 05 pour les hommes, TGF 05 pour les femmes ; ces tables sont les

tables de mortalité les plus récentes préconisées par l’INSEE ;

- turnover : la table de turnover retenue, fonction de l’âge du salarié, est donnée ci-

dessous.

Âge du salarié Turnover [16 ans ; 25 ans[ 7,50 % [25 ans ; 30 ans[ 4,00 % [30 ans ; 40 ans[ 2,00 % [40 ans ; 50 ans[ 1,00 %

[50 ans ; ∞[ 0,00 %

Figure 18 : table de turnover retenue

1 Ces hypothèses actuarielles sont typiques de celles que l’on peut rencontrer sur le marché de l’IAS 19.

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2.6 – EXEMPLE DE CALCUL DE LA PBO D’UNE IFC

Calculons, à l’aide des hypothèses actuarielles de base, l’engagement relatif à l’IFC du salarié 2

au 31/12/2008, de sexe féminin, né le 13/10/1964, entré dans l’entreprise 04/04/1984 et ayant gagné en

2008 la somme de 22 028 € brute.

Ancienneté

Le salarié 2 est entré dans l’entreprise le 04/04/1984 et la PBO doit être calculée au 31/12/2008.

L’ancienneté « actuelle » du salarié à cette dernière date est donc de 24,74 ans, d’après le calcul :

24,7431/12/2008 04/04/1984

365,25

L’hypothèse de départ à la retraite est de 60 ans, âge qu’il atteindra le 13/10/2024 :

13/10/2024 13/10/1964 365,25 60

Son ancienneté au terme sera donc de 40,53 ans :

40,5313/10/2024 04/04/1984

365,25

Au 31/12/2008 il est enfin âgé de 44,22 ans.

Salaire au terme

Le 13/10/2024, le salaire annuel projeté du salarié sera de 30 110 € :

30110 22028 1 2,00% ,

Droits au terme

Selon la table des indemnités de départ volontaire de l’industrie des panneaux à bois, le salarié

aura droit pour son ancienneté au terme, en tant que non-cadre, à 2,5 mois de salaire mensuel brut,

soit 6 273 €.

Engagement de l’entreprise au terme

L’engagement de l’entreprise au terme, en comptant les charges sociales de 45,00 % sera de

9 096 € :

9096 6273 1 45,00%

Probabilité d’être en vie au terme

Le salarié est de sexe féminin, et relève donc de la table générationnelle TGF 05 génération 1964.

En interpolant linéairement1 les valeurs de cette table pour les âges 44 et 45 ans, on trouve une

probabilité de 97,38 % :

1 L’interpolation linéaire pour déterminer les probabilités de vie est en effet l’usage en IAS 19. On a par

ailleurs : 44 99430, 45 99348 et 60 96810.

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97,38 %, 45 44,22 44,22 44

Probabilité de ne pas avoir quitté l’entreprise

En utilisant la table de turnover, cette probabilité vaut 94,35 % :

94,35 % 1 1,00 % ,

VAP

La valeur actuelle probable au 31/12/2008 vaut alors 3 869 € :

38699096 97,38% 94,35%

1 5,00% ,

PBO

Finalement nous arrivons à une PBO au 31/12/2008 de 2 362 € :

2362 386924,7442,53

2.7 – CONCLUSION

Les spécificités des indemnités de fin de carrière ayant été introduites, le lecteur dispose, avec les

notions du premier chapitre, de tous les éléments pour comprendre dans le détail les études qui vont

suivre.

Nous nous intéresserons successivement à l’actualisation, à la revalorisation, à l’âge de départ

volontaire, à la mortalité, et enfin au turnover (ces trois dernières hypothèses actuarielles seront

traitées dans une même partie).

Tous les calculs sur les engagements ont été menés à l’aide de simulateurs Microsoft Excel, créés

pour l’occasion. Nous avons en outre été amenés à utiliser les logiciels MATLAB et EVIEWS.

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L’ACTUALISATION

3.1 – INTRODUCTION

Comme on l’a vu dans les deux premiers chapitres, la valorisation et la comptabilisation des

engagements sociaux sont directement affectées par le choix des hypothèses actuarielles utilisées. A ce

titre, et parce que c’est l’hypothèse qui, avec le turnover, impacte le plus le montant du passif social, le

choix de la méthode d’actualisation est très encadrée par la norme IAS 19. Cependant, les textes

officiels laissent la possibilité d’utiliser deux méthodes d’actualisation : une méthode par taux moyen,

et une méthode par structure de taux réelle.

Après avoir analysé les textes de la norme IAS 19 concernant l’actualisation et décrit ces deux

méthodes, nous verrons que la méthode par taux moyen, la plus utilisée actuellement en France,

conduit à des biais considérables sur le montant des engagements sociaux, et ce relativement à une

méthode par structure de taux, qui est elle bien plus réaliste tant actuariellement qu’économiquement.

Pour quantifier ces biais, il est nécessaire de disposer de structures de taux réelles : nous

exposerons et appliquerons un procédé basé sur les modèles de Nelson et Siegel permettant de

reconstituer rapidement et avec une précision adéquate l’historique des structures de taux zéro-

coupons sur une période, à l’aide de cours historiques d’Obligations Assimilables au Trésor (OAT).

Nous montrerons donc à l’aide de cet outil que le processus de détermination de l’hypothèse

d’actualisation historique – évaluation postérieure à la date de clôture des comptes de l’entreprise –

actuellement usité est loin d’être optimal, et nous l’améliorerons. De même, nous décrirons le

processus équivalent pour l’hypothèse d’actualisation projetée – évaluation antérieure à la date de

clôture des comptes de l’entreprise – et nous prouverons que lui aussi peut être optimisé.

3.2 – LES DIFFÉRENTES MÉTHODES D’ACTUALISATION

3.2.1 – Méthodes d’actualisation selon les textes

L’actualisation des engagements sociaux est régie par les articles 78 à 81 du règlement (CE) n°

1725/2003 de la Commission Européenne du 29 septembre 20031, règlement qui instaure l’application

de la norme IAS 19 au sein de l’Union Européenne à partir du 1er janvier 2005. Le lecteur trouvera ces

articles en Annexe 2.

De l’article 78, il ressort que la structure de taux servant à l’actualisation doit être extraite des

cours à la clôture d’obligations d’entreprises de première catégorie ou à défaut d’Etat. En pratique, et

1 (NORME IAS 19 UNION EUROPEENNE, 2003)

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dans l’esprit prudentiel de la norme, c’est en général la structure de taux des obligations d’Etat qui est

sélectionnée, car réputée comme étant sans risques. L’article79 stipule d’ailleurs que la structure ne

doit pas traduire le risque de contrepartie des entreprises émettrices ; or ce risque n’est pas nul chez les

entreprises de première catégorie1, qui empruntent plus cher que l’Etat.

Nous nous conformerons donc à cette idée dans la suite de ce mémoire, et travaillerons

exclusivement à partir de structures extraites des cours à la clôture des Obligations Au Trésor

françaises.

L’article 80 est à la base du présent chapitre ; il laisse entendre qu’actualiser l’ensemble des

engagements sociaux par un taux actuariel moyen et unique n’est pas la méthode optimale, mais une

méthode tolérée. L’article 81 précise la méthode du taux moyen mais avance à nouveau la nécessité de

prendre en compte une structure des taux non plate, c’est-à-dire réelle.

Il convient donc d’étudier l’impact qu’ont ces deux méthodes sur les passifs sociaux. Avant cela,

formalisons ces dernières.

3.2.2 – Méthodes d’actualisation en pratique

La méthode du taux d’actualisation moyen

Cette méthode, autorisée par la norme IAS 19 donc, est celle couramment utilisée par les cabinets

d’actuariat français. Elle se décompose en deux étapes.

Dans un premier temps, les cabinets déterminent une maturité moyenne. Soit Α une partie finie

non vide de . Notons ; , les montants des engagements sociaux élémentaires de

l’entreprise, , ; , , , les probabilités de survenance associées, et

, ; , , les maturités respectives. La maturité moyenne à la date de valorisation sera

alors la durée de vie moyenne de ces engagements :

é ∑ ,

(3.1)

Cette quantité a le gros défaut de ne faire intervenir ni les montants des engagements, ni leurs

probabilités de survenance, ni les facteurs d’actualisation : cela la rend d’ores et déjà discutable.

Cependant, la raison de ce choix est simple : Il est important de comprendre que si les cabinets

d’actuariat – et a fortiori les entreprises – ne font pas intervenir ces éléments c’est qu’ils n’en

disposent pas au début du cycle d’évaluation des engagements sociaux. Or c’est au début de ce cycle

que sont déterminées et validées les hypothèses actuarielles (HA). Ce dernier suit le schéma ci-après :

1 Ajoutons que suite à des problèmes de liquidité fréquents sur les marchés des obligations de ce type, l’IASB

réfléchit à amender la norme IAS 19 pour imposer l’actualisation par structures de taux d’Etat.

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Figure 19 : cycle simplifié de l’évaluation des engagements sociaux

Le cycle suit les étapes suivantes :

1. « réception des données » : le service chargé d’évaluer les engagements sociaux reçoit les

données (matricules des salariés, rémunérations, dates de naissance, …).

2. « détermination des hypothèses actuarielles, […] » : après analyse des données et

extraction des maturités entre autres1, le service propose des hypothèses actuarielles –

taux d’actualisation, turnover, … – au client. Après discussion et éventuellement

retraitement, les hypothèses sont validées.

3. « évaluation des engagement sociaux » : c’est au cours de cette étape seulement que sont

évalués les engagements et leurs probabilités de survenance. Les hypothèses actuarielles,

déterminées durant l’étape 2, n’en tiennent donc pas compte.

4. « validation des résultats » : les résultats sont analysés au regard des hypothèses et des

résultats passés, s’ils existent. Cette étape peut aboutir à un réajustement des hypothèses,

et donc au retour à l’étape 2, ou à une validation de l’évaluation.

5. « fin de l’évaluation […] » : dans le cas où l’évaluation a été faite en cours d’année et si

les hypothèses actuarielles ou les données ne risquent pas d’être remises en question d’ici

la date de clôture de l’exercice, ou si l’évaluation a été menée à la date de clôture, les

états comptables concernant la norme IAS 19 peuvent être édités.

Dans un second temps, une fois la maturité moyenne calculée, celle-ci est reportée sur la

structure des taux, partielle ou complète, dont le service de l’entreprise ou le cabinet de conseil chargé

de l’étude dispose. Dans le cas où l’évaluation intervient après la date de clôture des comptes, la

structure des taux sera historique et aisément trouvable (sur le site de l’Institut des Actuaires par

exemple). Dans le cas où l’évaluation est antérieure à cette date, les prévisions du marché sur des OAT

clés – typiquement à 10 ans et 20 ans – et sur leurs tendances seront utilisées. Dans les deux

configurations, le taux d’actualisation moyen sera celui correspondant à la durée de vie moyenne des

obligations modulo quelques ajustements.

1 Contrairement à la détermination des montants des engagements et de leurs probabilités de survenance,

l’extraction des maturités élémentaires non probabilisées peut se faire très rapidement.

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Figure 20 : méthode du taux moyen avec structure historique et avec structure prévisionnelle

Les graphiques ci-dessus illustrent cette méthode. Dans les deux cas, la maturité moyenne est

calculée à partir des maturités élémentaires des engagements, au nombre de trois ici.

Le premier graphique correspond à une évaluation postérieure à la date de bilan : la structure des

taux est connue, le taux moyen sera de l’ordre de 4,75 % ici.

Le second cas correspond quant à lui à une évaluation antérieure à la date de clôture : les

prévisions des marchés donnent pour cette dernière date des taux OAT à 10 ans et à 20 ans de 3,70 %

et de 4,60 %. Le taux moyen est alors déterminé linéairement, ou par toute autre méthode prenant en

compte la tendance observée, modulo un éventuel ajustement. Il avoisinera ici les 4,20 %.

Le taux servira alors à actualiser l’ensemble des engagements sociaux et sera donc assimilable à

un taux actuariel 1. L’engagement total à la date d’évaluation sera alors égal à :

,,

1 ,

é ,

é (3.2)

La détermination du taux moyen peut aussi être traitée de manière plus empirique : certains

cabinets font ainsi le choix de prendre une maturité moyenne fixée toutes missions confondues pour 1 Il faut bien garder à l’esprit que tous les taux d’actualisation évoluent aussi en fonction des exercices. Il

conviendrait notamment d’écrire plutôt ce taux . Cependant, nous préférons omettre cet indice pour ne pas surcharger encore plus les notations.

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chaque type d’engagements sociaux. Pour les indemnités de fin de carrière la maturité retenue par le

cabinet WINTER & Associés est de 15 ans.

La méthode d’actualisation par structure de taux réelle

La méthode par structure de taux réelle – autrement dit non plate – ne fait plus intervenir la

notion de maturité moyenne. A la date de clôture de l’exercice on fait correspondre à chaque

maturité de l’ensemble , ; , , un taux d’actualisation réel associé (qui évolue

aussi en fonction de t). Il convient pour cela de déterminer la structure de taux valable à la date de

clôture. Si cette date est antérieure à celle de l’évaluation, une courbe historique pourra être utilisée. Si

elle y est postérieure, il faudra alors utiliser un modèle stochastique pour la prédire.

Figure 21 : méthode d’actualisation par structure de taux non plate

En reprenant l’exemple précédent, le premier engagement sera actualisé au taux de 4,00 %, le

second à 4,70 %, le troisième à 5,1 %.

La PBO aura alors comme expression :

,,

1 ,

é ,

é (3.3)

3.2.3 – Premières critiques concernant les deux méthodes

Après avoir décrit les deux méthodes d’actualisation autorisées, il est déjà possible d’émettre

quelques critiques à leurs propos.

Pour commencer, la philosophie première des normes IFRS consiste en une valorisation poussée

de l’entreprise et de tout ce qui s’y rapporte à l’aune des marchés financiers. La norme IAS 19 par ses

articles 78 à 81 conserve cet esprit et privilégie une actualisation par structure de taux réelle.

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Il est important de noter ici que structure plate et structure de taux non plate ne s’opposent pas

forcément et peuvent aller de paire. Ainsi la théorie définit le taux actuariel comme étant la solution

mathématique permettant d’égaliser la somme de flux futurs actualisés par ce dernier taux et la somme

de ces mêmes flux futurs actualisés par les taux d’actualisation attenants à leurs maturités respectives.

Dans le cas des engagements sociaux, le taux actuariel est donc la solution de l’équation :

,

1 ,

é  ,

é   ,

1 ,

é ,

é   (3.4)

La comptabilisation de la norme IAS 19 et son taux d’actualisation unique sont donc tout à fait

compatibles avec la méthode d’actualisation par structure de taux réelle ; il suffit d’affecter à le taux

actuariel solution de l’équation précédente à la date de clôture, et d’insérer en annexe des états

comptables la structure des taux réelle utilisée. Ce taux respectera alors bien l’esprit prudentiel de la

norme et sera en adéquation avec la situation sur les marchés.

Inversement, le taux moyen déterminé par l’utilisation d’une maturité moyenne ou d’une maturité

basée sur l’expérience, actuariellement, ne respecte pas ces deux derniers éléments. Ce procédé va

forcément et mécaniquement occasionner l’apparition d’un spread entre ce taux moyen et le vrai taux

actuariel de l’équation (3.4), modifiant d’autant la valeur du passif social.

Ce spread sera plus ou moins marqué selon les caractéristiques de la population salariale étudiée,

de ses engagements, des autres hypothèses actuarielles, et de l’environnement sur le marché

obligataire.

Pour se faire une idée de l’impact que peut avoir ce spread sur l’actualisation des engagements

sociaux, nous avons tracé ci-dessous la fonction d’actualisation , pour variant de

0,00 % à 10,00 % et variant de 0 à 40 ans.

Figure 22 : fonction d’actualisation appliquée à un euro de passif social

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On voit sur ce graphique qu’à partir d’une maturité relativement faible, un spread peut faire

varier de façon conséquente le montant de l’engagement. Ci-dessous sont données les variations de

l’actualisation d’un euro d’engagement pour un taux de base de 3,50 % et un spread allant de 0,00 %

à 1,00 %, pour des maturités de 10, 20, 30 et 40 ans :

3,50% 3,60% 3,70% 3,80% 3,90% 4,00% 4,10% 4,20% 4,30% 4,40% 4,50%

10 ans 0,0% -1,0% -1,9% -2,9% -3,8% -4,7% -5,6% -6,5% -7,4% -8,3% -9,2% 20 ans 0,0% -1,9% -3,8% -5,6% -7,4% -9,2% -10,9% -12,6% -14,3% -15,9% -17,5% 30 ans 0,0% -2,9% -5,6% -8,3% -10,9% -13,5% -15,9% -18,3% -20,6% -22,9% -25,1% 40 ans 0,0% -3,8% -7,4% -10,9% -14,3% -17,5% -20,6% -23,6% -26,5% -29,3% -31,9%

Figure 23 : variations de la fonction d’actualisation pour un euro de passif et un taux de base de 3,50 %

Pour des maturités supérieures à 20 ans, qui représentent près de la moitié des maturités dans le

cas des engagements sociaux traités sur le marché, le passif social atteint déjà les 10 % de variation

pour un spread de seulement 0,50 %. Une mauvaise estimation du taux actuariel pour un périmètre

d’engagements peut donc impacter de manière sensible le montant de la provision finale inscrite au

bilan.

Les deux arguments généralement avancés pour justifier l’utilisation de la méthode par taux

moyen sont la difficulté à déterminer la structure de taux à la date de clôture, et la possibilité d’utiliser

le mécanisme du corridor pour amortir les écarts actuariels. Cependant, cette justification va à

l’encontre du principe prudentiel de la norme IAS 19 et de l’esprit des normes IFRS. Le mécanisme du

corridor n’est enfin par essence pas prévu pour palier des simplifications actuarielles dont on peut se

passer.

Si nous avons pu donner des arguments qualitatifs en faveur de la méthode d’actualisation par

structure de taux réelle, la nécessité de départager les deux méthodes dans la mesure du possible par

des critères quantitatifs s’impose.

Pour cela, il convient tout d’abord d’étudier le problème de la détermination de la structure des

taux zéro-coupons valable à la date de clôture de l’exercice de l’entreprise.

3.3 – DÉTERMINATION DE LA STRUCTURE DE TAUX

Dès lors, que l’entreprise se charge elle-même de l’évaluation de ses engagements ou qu’elle la

délègue à un cabinet de conseil en actuariat, il convient de distinguer deux situations :

- soit la date d’évaluation du passif social – la date à laquelle sont réalisés les calculs –

est antérieure à la date de clôture de l’exercice – la date sur laquelle sont basés les

calculs ;

- soit la date d’évaluation du passif social est postérieure à la date de clôture de

l’exercice : les entreprises peuvent en effet déposer leurs comptes annuels au greffe

plusieurs mois après cette dernière date.

Dans le premier cas, les données et les hypothèses actuarielles – projetées – devront ou non être

revues entre la date d’évaluation et la date de clôture, selon l’éloignement de celles-ci. Si les dates sont

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très éloignées, il y a toutes les chances qu’une seconde évaluation soit requise ; inversement, si elles

ne sont séparées que de quelques semaines, les données n’auront normalement quasiment pas

changées, et les hypothèses non plus, sauf peut-être celle relative à l’actualisation. Il est donc

nécessaire de s’interroger sur la prévisibilité de la structure des taux à court terme1, sur le modèle le

plus à même de réaliser ces prévisions, et sur les intervalles de confiance s’y rattachant :

Dans le second cas, les données et les hypothèses actuarielles sont historiques, la date de clôture

étant passée. Du point de vue de l’actualisation, la courbe des taux est donc déterminable de manière

« certaine » à l’aide d’outils de reconstitution basés sur les cours d’instruments financiers.

Figure 25 : évaluation du passif social postérieure à la date de clôture de l’exercice

Nous allons étudier cette seconde situation en reconstituant l’historique de la structure des taux

du 01/03/2006 au 30/01/2009 à l’aide des cours d’OAT françaises de la même période. Nous verrons

que les méthodes d’approximation dites de Nelson et Siegel donnent de bons résultats, et ce facilement,

remettant en cause par là même et en partie l’argument avançant des difficultés pour l’établissement

rapide – facteur temps – de structures de taux fiables, et renforçant la faisabilité de la mise en pratique

de la méthode d’actualisation par structure de taux réelle. 30 à 40 % des missions des cabinets de

conseil se font en effet a posteriori de la date de clôture.

Cet historique nous permettra de quantifier l’erreur sur la valorisation du passif social générée par

la méthode d’actualisation du taux moyen, et ce par rapport à la méthode par structure de taux réelle.

1 C’est-à-dire de moins d’un an, les projections des engagements ne se faisant presque jamais sur un horizon

temporel plus élevé.

Date d’évaluation Date de clôture

Données et hypothèses actuarielles projetées structure de taux projetée :

- prédiction - intervalles de confiance

Horizon temporel

Figure 24 : évaluation du passif social antérieure à la date de clôture de l’exercice

Date de clôture Date d’évaluation

Données et hypothèses actuarielles historiques structure de taux historique :

- reconstitution

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3.4 – RECONSTITUTION DE STRUCTURES DE TAUX HISTORIQUES

L’idée de base de cette partie a été de se placer du point de vue du service – de l’entreprise ou de

cabinet de conseil – chargé d’évaluer des engagements sociaux et devant donc obtenir la structure de

taux historique à la date de clôture de l’exercice de l’entreprise. Le processus de reconstruction de

cette courbe doit donc répondre à deux critères :

- un critère de précision : le processus retenu doit engendrer une courbe s’approchant le

plus possible de la courbe réelle, que nous définirons comme étant celle mise en ligne

mensuellement par l’Institut des Actuaires sur son site. Comme la norme IAS 19 ne

demande pas d’actualiser les engagements de maturités inférieures à un an, nous ne

préoccuperons pas de cette partie de la courbe.

- un critère de simplicité et d’automatisme : le facteur temps est très important, surtout

dans les cabinets de conseil, l’idée étant de ne pas perdre des heures à reconstituer une

structure de taux pour gagner une précision négligeable1. Inversement, le processus ne

doit pas être trop simple, c’est-à-dire qu’il ne doit pas sacrifier le premier critère.

Nous allons voir par la suite que les méthodes de Nelson et Siegel répondent de manière très

satisfaisante à ces deux objectifs : nous les validerons au regard de courbes de l’Institut des Actuaires.

Les dates de clôture des exercices des entreprises coïncidant généralement avec les fins de mois,

on peut remettre en question l’utilité de retrouver les structures de taux associées alors que l’Institut

des Actuaires les publie lui-même. Plusieurs arguments permettent de répondre à cela :

- l’Institut des Actuaires ne met en ligne la structure de taux historique pour une date

donnée que six ou sept jours en moyenne après celle-ci. Or, les entreprises ou les

cabinets d’actuariat ont besoin de cette courbe le plus rapidement possible, pour

suivre le rythme de l’édition des comptes et celui des missions. D’autant qu’en cas de

problème technique, le site de l’Institut peut s’avérer indisponible ;

- comme nous le constaterons, la précision des courbes obtenues à l’aide des méthodes

de Nelson et Siegel est conséquente ;

- trouver directement et gratuitement sur un autre site l’historique jour après jour de la

structure des taux OAT n’est, après vérifications, pas possible2 ;

- certaines entreprises arrêtent leurs exercices en cours de mois. Or, la volatilité de la

structure des taux dans le temps n’est pas négligeable, même d’une semaine à l’autre.

3.4.1 – Présentation des données utilisées

Comme justifié dans la section 3.2.1, nous avons basé la construction de notre historique de taux

sur les cours journaliers à la clôture d’OAT françaises. Pour les besoins de ce mémoire, les données

1 Et ce d’autant plus que les autres hypothèses actuarielles, notamment le turnover, peuvent être sujettes à des

imprécisions considérables. Une section sera consacrée à cette hypothèse actuarielle plus loin dans ce document. 2 Ces informations sont certainement accessibles par l’intermédiaire de plateformes spécialisées dans la

diffusion de données financières, comme BLOOMBERG ou comme DATASTREAM. Mais leur accès coûte extrêmement cher, et la seule nécessité d’obtenir des courbes d’actualisation ne le justifie pas.

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ont été extraites de la base de données de la plateforme DATASTREAM. En pratique, une entreprise

ou un cabinet de conseil pourra quotidiennement obtenir les cours des OAT françaises en les

récupérant automatiquement par moyens informatiques depuis des sites spécialisés, par exemple celui

d’EURONEXT. Un historique est ainsi constructible gratuitement jour après jour.

Les données sont composées des cours de clôture journaliers de 26 OAT françaises pour la

période allant du 01/03/2006 au 30/01/2009. Les données des obligations n’ayant plus cours à la date

d’extraction de la base DATASTREAM étant indisponibles, il n’a pas été possible de remonter plus

avant : par manque d’informations, les résultats auraient été trop peu précis. De plus, les obligations

dont les cours étaient par trop statiques, et donc peu liquides, n’ont pas été sélectionnées.

Toutes les obligations sont à taux fixes et de coupons annuels. Le tableau suivant liste

l’intégralité des OAT utilisées, par maturités croissantes :

Année de l’émission de l’OAT Maturité de l’OAT Taux nominal de l’OAT 1998 25/04/2009 4,00 % 1999 25/10/2009 4,00 % 2000 25/04/2010 5,50 % 2000 25/10/2010 5,50 % 1996 25/04/2011 6,50 % 2001 25/10/2011 5,00 % 2002 25/04/2012 5,00 % 2002 25/10/2012 4,75 % 1987 26/12/2012 8,50 % 2003 25/04/2013 4,00 % 2003 25/10/2013 4,00 % 2003 25/04/2014 4,00 % 2004 25/10/2014 4,00 % 2005 25/04/2015 3,50 % 2005 25/10/2015 3,00 % 2006 25/04/2016 3,25 % 2000 25/10/2016 5,00 % 2003 25/04/2019 4,25 % 1989 25/10/2019 8,50 % 2005 25/04/2021 3,75 % 1992 25/04/2023 8,50 % 1994 25/10/2025 6,00 % 1997 25/05/2029 5,50 % 2001 25/10/2032 5,75 % 2003 25/04/2035 4,75 % 2005 25/04/2055 4,00 %

Figure 26 : liste des OAT françaises à taux fixe utilisées

Après avoir réussi à se procurer ces données s’est posé le problème du choix du modèle de

reconstruction de la structure des taux.

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3.4.2 – Le modèle de Vasicek-Fong

Les courbes de l’Institut des Actuaires étant construites à l’aide du modèle de Vasicek-Fong1,

nous nous sommes tout d’abord logiquement intéressés à celui-ci. Il fait partie des modèles basés sur

les fonctions à splines exponentiels. Ces modèles ont l’avantage d’être très flexibles et de pouvoir

reconstruire toutes les formes de courbes rencontrées sur le marché.

Le modèle de Vasicek-Fong découpe la courbe du coefficient d’actualisation associée aux taux

continus zéro-coupons en 1 morceaux, reliés entre eux à la verticale de maturités appelées

« nœuds ». En notant ces maturités , 1; , la fonction qui décrit la courbe

d’actualisation pour une unité à la date de clôture de l’exercice prend alors la forme suivante :

, , , ,…

, , , ,     …

, , , ,

(3.5)

avec , , , , , , , ; 0; des paramètres à déterminer. En notant la fonction qui

décrit la courbe des taux continus zéro-coupons à l’instant , on a la relation :

(3.6)

On fait de plus dans ce modèle les hypothèses de continuité de la fonction d’actualisation, de

continuité de sa dérivée première, et de la continuité de sa dérivée seconde aux nœuds . En écrivant

les différentes relations qui en découlent en ces points, il apparaît que le nombre de paramètres à

déterminer est considérablement réduit.

Pour trouver les paramètres restants, si l’on dispose des cours historiques à la date , 1;

de OAT , il faut minimiser l’erreur quadratique entre ces cours historiques et leurs cours estimés

. En notant pour 1; , ; 1; , l’échéancier de l’obligation , avec

le flux associé à cette obligation de maturité relativement à la date , on peut écrire :

;

(3.7)

L’erreur quadratique à minimiser s’écrit alors :

;

(3.8)

Le jeu de paramètres minimisant cette erreur et satisfaisant les relations de continuité aux nœuds

se trouve alors par programmation.

1 (INSTITUT DES ACTUAIRES, 2009).

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L’Institut des Actuaires utilise une variante du modèle de Vasicek-Fong exposé ci-dessus, avec

un seul nœud – et la seconde équation adopte une forme différente, le polynôme sélectionné étant de

degré 5 au lieu d’être de degré 3 –, mais le principe de fond reste le même.

Nous n’avons pas repris cette méthode, pour plusieurs raisons :

- le choix du nombre de splines, ou ce qui revient au même le choix du nombre de

nœuds, relève de l’arbitraire. Ainsi, selon (PRIAULET, 2009), plus il y a de splines et

meilleurs sont les résidus. La courbe devient toutefois moins lisse, et peut passer par

des points aberrants. Inversement, moins il y a de splines moins la courbe est lisse ;

mais l’erreur quadratique tend à rester plus élever.

- les valeurs des nœuds, qui sont là encore du domaine de l’arbitraire. La structure de

taux évoluant et se déformant avec le temps, il est impossible de garder les mêmes

nœuds. Par ailleurs, à nombre de nœuds constants, la qualité de l’approximation

évolue sensiblement suivant les valeurs retenues pour ces derniers.

Le modèle de Vasicek-Fong, bien qu’il puisse être performant à force de tâtonnements pour

approximer ponctuellement une courbe1, n’est donc pas adapté à la construction systématique d’un

historique de la structure des taux.

3.4.3 – Le modèle de Nelson et Siegel

Nelson et Siegel ont proposé en 1987 une forme fonctionnelle particulière pour décrire

l’évolution du taux zéro-coupon continu en fonction de la maturité τ.

1 1 (3.9)

avec , , , . En faisant un développement limité en zéro, en faisant tendre la maturité

vers l’infini et en considérant que les taux ne doivent pas exploser ni être négatifs, on trouve les

conditions :

00

0 (3.10)

On observe en effet que certains de ces paramètres ont une signification puisque :

0∞

(3.11)

Le paramètre représente le taux long, alors que le paramètre mesure la différence entre le

taux court instantané et le taux long.

La fonction d’actualisation, en utilisant la relation (3.6) est alors égale à :

1 C’est d’ailleurs en raison de la difficulté de trouver le nombre idéal de nœuds et les valeurs adéquates de

ceux-ci que l’Institut des Actuaires confie la détermination mensuelle de la structure de taux à FININFO, spécialiste européen de l’analyse obligataire (INSTITUT DES ACTUAIRES, 2009).

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exp  1 (3.12)

Pour estimer les paramètres , , , il suffit alors de minimiser l’erreur quadratique de

l’équation (3.6) en prenant cette dernière fonction d’actualisation et en respectant les conditions (3.10).

Le modèle de Nelson et Siegel permet d’appréhender de nombreuses formes de structure de taux,

comme le montre les figures1 ci-dessous, pour un nombre de paramètres faibles. Son implémentation

informatique se révèle d’autre part bien plus pratique que celle de Vasicek-Fong car il n’est plus

nécessaire d’arbitrer sur le nombre de nœuds et sur leurs valeurs. Un traitement automatique et « à la

chaîne » de l’historique de la structure des taux est dès lors faisable.

Figure 27 : formes appréhendables par Nelson et Siegel – effets de pente

Figure 28 : formes appréhendables par Nelson et Siegel – effets de courbure

Le problème majeur du modèle de Nelson et Siegel est qu’il ne permet pas de reconstituer toutes

les formes de courbe de taux que l’on peut rencontrer sur le marché en particulier les formes à un

creux et une bosse.

1 Graphiques extraits de (PRIAULET, 2009).

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3.4.4 – Le modèle de Nelson et Siegel augmenté

Pour palier à ce défaut, B. Svensson a introduit en 1994 un quatrième terme dans la définition du

taux zéro-coupon du modèle de Nelson et Siegel :

1   1 1 (3.13)

La fonction d’actualisation de l’équation (3.9) est modifiée d’autant, la condition supplémentaire

suivante est rajoutée :

0 (3.14)

Ce modèle, couramment appelé modèle de Nelson et Siegel augmenté, autorise les formes à un

creux et une bosse :

Figure 29 : formes appréhendables par Nelson et Siegel augmenté – effets de creux et de bosse

Nous avons reconstitué l’historique de la structure des taux OAT successivement à partir des

deux modèles précédents. En effet, bien que les résultats du modèle de Nelson et Siegel fussent très

bons en général, ils manquaient de précision pour les faibles maturités lorsque le phénomène de creux

et de bosse illustré ci-dessus se produisait. Nous avons donc voulu voir si sa version améliorée donnait

de meilleures performances.

Cependant, et la littérature le précise, le modèle augmenté pose parfois des problèmes de

convergence. C’est ce que nous avons pu observer dans les faits, à tel point qu’il nous a été très

difficile au final de départager les deux modèles. Nous reviendrons sur ce point.

3.4.5 – Implémentation des modèles de Nelson et Siegel sous Matlab

Pour déterminer les coefficients du modèle de Nelson et Siegel et ceux du modèle de Nelson et

Siegel augmenté, nous avons choisi de travailler sur le logiciel Matlab. Celui-ci est optimisé pour

traiter les problèmes sous forme matricielle, ce qui correspondait parfaitement à notre besoin.

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Ecriture matricielle du problème

Soient ;; 1; l’ensemble de nos OAT françaises, étant égal à 26 dans notre cas.

Soit la date des cours : varie donc du 01/03/2006 au 30/01/2009. Notons le prix de

l’obligation à la date – date à laquelle on se place1 –, , la valeur du ème détachement de

coupon de l’obligation , ,  l’intervalle de temps en années, selon la convention de décompte

/365 utilisée pour les obligations, entre la date t et le ème détachement de l’obligation , et  le

nombre de coupons restant à détacher de l’obligation .

En notant la fonction d’actualisation à la date , le prix de l’obligation est déterminé

par l’équation suivante :

, , 1; (3.15)

L’obligation paye des coupons annuels jusqu’à sa maturité, date à laquelle elle rembourse sa

valeur faciale . On a alors :

1;    ,

, (3.16)

Définissons maintenant le vecteur comme le vecteur contenant tous les éléments de la matrice

triés par ordre croissant et la matrice de telle manière à ce que , soit la valeur du paiement

de l’obligation i à la maturité 2. En notant la matrice des prix et la matrice des facteurs

d’actualisation telle que , allant de 1 à , où est le nombre d’éléments de ,

l’équation (3.7) peut se mettre alors sous la forme matricielle :

(3.17)

Pour le modèle de Nelson et Siegel, et en prenant en compte dans le programme les conditions de

l’équation (3.10), on aura :

exp  1 (3.18)

En notant , , , les paramètres de la fonction d’actualisation, et comme il est peu

probable que l’on puisse trouver un vecteur égalisant l’équation (3.17), il faut tenir compte d’un

vecteur d’erreurs , avec :

(3.19)

Cette équation est la même pour le modèle de Nelson et Siegel augmenté, à l’écriture de la

matrice d’actualisation et du vecteur des paramètres près.

Il faut alors trouver le vecteur qui minimise l’erreur quadratique, soit :

1 Pour améliorer la lecture, nous omettons volontairement d’indicer . Dans l’absolu, nous devrions écrire

ce prix . 2 Ainsi, si n’est pas la maturité d’un des versements de l’obligation , on aura , 0.

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min (3.20)

Le lecteur trouvera un exemple numérique en annexe 3 de la détermination des matrices A, T, TT

et AA.

Le programme Matlab

Le programme Matlab1 mis au point commence par importer le fichier Microsoft Excel contenant

la description des 26 obligations – taux nominaux, date de maturité – et les cours de ces obligations,

avec leurs dates associées. Ce fichier se présente comme ceci :

Figure 30 : le fichier d’importation data.xls

Pour chaque date , le programme estime les coefficients du vecteur en suivant 5 étapes :

1. agencement des caractéristiques des obligations et de leurs cours à la date dans des

structures Matlab particulières ;

2. construction des matrices P, T et A. La matrice P nécessite de calculer pour chaque

obligation le coupon-couru entre la date de versement du dernier coupon et la

date  . En effet, les obligations sont cotées au pied de coupon, ou clean price. Pour

trouver les cours réels il faut donc additionner les cours réels au pied du coupon

importés aux coupons-courus, ce qui se traduit par l’équation :

(3.21)

3. construction des matrices TT et AA ;

4. recherche par régression du vecteur optimal, selon le modèle sélectionné ;

5. enregistrement des paramètres optimaux.

Il ne reste ensuite plus qu’à exporter sous fichier Microsoft Excel l’ensemble des paramètres

optimisés pour chaque date, et ce pour les deux modèles. L’obtention des historiques des courbes des

1 L’intégralité du code dudit programme est présentée en annexe 4.

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taux annuels se fait alors par application des formules (3.9) et (3.13) et de la formule permettant de

passer d’un taux continu à son équivalent en taux annuel , à savoir :

1 (3.22)

3.4.6 – Analyse des résultats des modèles de Nelson et Siegel

Comment mesurer la précision des modèles ?

Nous disposions pour tester la précision de nos résultats de deux options, à savoir :

- soit ne pas prendre la totalité des 26 OAT comme base d’apprentissage, mais les partitionner

en deux groupes, une base d’apprentissage et une base de tests ;

- soit prendre la totalité des 26 OAT comme base d’apprentissage et utiliser comme références

les courbes disponibles de l’Institut des Actuaires sur la période considérée.

Nous avons opté pour la seconde solution ; en effet, réduire la base d’apprentissage aurait été très

dommageable du point de vue de la précision des ajustements des modèles, un maximum de « points »

de maturité de paiements étant nécessaire. D’autre part, les courbes de taux zéro-coupon de l’Institut

des Actuaires sont construites par des professionnels de la gestion obligataire et vérifiées par les

membres de l’Institut. Elles constituent donc autant de références idéales. Enfin, le site propose 25

courbes étalées sur la période de notre historique, c’est-à-dire du 01/03/2006 au 30/01/2009, ce qui

nous fournit au final une base de test d’excellente qualité.

Retour sur les courbes de l’Institut des Actuaires

L’Institut des Actuaires publie mensuellement – auparavant trimestriellement – la courbe

historique des taux annuels zéro-coupon du dernier jour de la période échue. La courbe est

reconstituée à l’aide du modèle de Vasicek-Fong et des cours historiques d’OAT françaises valable à

la date considérée.

Le modèle de Vasicek-Fong étant basé sur des splines, les courbes brutes qu’il génère sont

susceptibles de décroître pour les maturités très élevées, après avoir atteint un maximum pour une

forte maturité, ce qui n’est pas un comportement réaliste. C’est pourquoi la commission « Indices et

références de marché » de l’Institut des Actuaires précise : « la commission "Indices et références de

marchés de l'Institut des Actuaires a décidé de continuer à publier une courbe dont les taux à très long

terme ne sont pas inférieurs aux taux à long terme en prolongeant le maximum atteint, même si ce

maximum est situé avant 30 ans »1.

Nous avons pris le parti de ne pas déroger à ce principe : toutes les structures de taux obtenues

par les modèles de Nelson et Siegel ont été prolongées par leurs maxima respectifs, à supposer que

ceux-ci soient atteints et qu’ils soient situés à des maturités de long terme.

1 (INSTITUT DES ACTUAIRES, 2009)

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La figure ci-dessous liste les 25 courbes de l’Institut des Actuaires dont nous nous sommes

servis :

Année Dates des courbes de l’année exploitée 2006 31/03 – 31/05 – 30/06 – 29/09 – 30/11 – 29/12 2007 31/03 – 30/06 – 28/09 – 31/10 – 30/11 – 31/12 2008 31/01 – 29/02 – 31/03 – 30/04 – 31/05 – 30/06 – 31/07 – 29/08 – 30/09 – 31/10 – 28/11 – 31/12 2009 30/01

Figure 31 : liste des structures de taux de l’Institut des Actuaires mises à profit

Protocole de mesure de la précision des modèles

Pour mesurer la précision des ajustements, nous avons accolé à chacune des 25 courbes de

l’Institut des Actuaires les courbes de taux annuels zéro-coupon, de dates correspondantes respectives,

tracées à l’aide des paramètres optimisés des deux modèles de Nelson et Siegel et des formules (3.9),

(3.13) et (3.22).

Les résidus ont ensuite été calculés pour chaque date et pour l’ensemble des maturités

disponibles selon la formule simple :

é , è , è , (3.23)

Nous écrirons fréquemment par la suite « IA » pour « Institut des Actuaires », « NS » pour

« modèle de Nelson et Siegel » et « NSA » pour « modèle de Nelson et Siegel augmenté ».

Rappelons que seuls les résultats pour des maturités supérieures à un an nous intéressent, la

norme IAS 19 ne demandant pas d’actualiser pour des maturités inférieures.

Deux exemples graphiques des résultats

Les deux graphiques suivants montrent les résultats des ajustements pour 2 des 25 courbes de la

base de tests. Nous y avons laissé les maturités inférieures à un an pour illustrer notre propos.

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Figure 32 : structure de taux ZC du 31/3/2006 - ajustements des modèles

Figure 33 : structure de taux ZC du 31/3/2008 - ajustements des modèles

On peut déjà remarquer que les performances des modèles sont très bonnes pour des maturités de

long et très long termes.

Pour le court terme, les performances sont bien plus mitigées, les courbes ajustées ont tendance à

s’éloigner relativement vite des courbes de l’Institut des Actuaires, la maturité baissant. Par ailleurs,

on voit que le modèle de Nelson et Siegel augmenté ajuste bien les phénomènes de courbes et de creux,

jusqu’à un certain point, mais aussi qu’il peut diverger de manière conséquente : sur le premier

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graphique, pour des maturités supérieures à un an, le modèle de Nelson et Siegel est plus performant

que sa version augmentée.

Globalement, il paraît donc difficile de départager les deux modèles sur la simple visualisation

des courbes de taux. Pour tenter d’y remédier, il convient d’étudier les résidus des 25 courbes sur

l’ensemble des maturités.

Étude des résidus

Sur les graphiques ci-dessous sont représentés les résidus relatifs aux 25 courbes de l’Institut des

Actuaires, pour les deux modèles, ainsi que leurs données caractéristiques les plus importantes :

Figure 34 : résidus en fonction de la maturité pour le modèle de Nelson et Siegel

Figure 35 : résidus en fonction de la maturité pour le modèle de Nelson et Siegel augmenté

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Figure 36 : statistiques sur les résidus absolus pour les deux modèles

Pour départager les deux modèles, notre critère premier est la minimisation de la fonction du

maximum des résidus absolus, à maturité donnée. Notre second critère est la moyenne des résidus

absolus. Ces critères sont bien sûr à nuancer au regard des deux distributions des résidus.

Concernant les maturités comprises entre 1 et 3 ans, les deux modèles ont globalement des

performances équivalentes ; cependant, pour une maturité d’un an, le modèle NSA affiche un résidu

maximal de 1,17 %, là ou sa contrepartie plafonne à 0,53 % ; en se référant à la fonction

d’actualisation , , cela se traduit par des variations sur des engagements de même

maturité supérieures à 1,2 % et inférieures à 0,6 % respectivement. Même si ensuite le modèle NS est

légèrement moins bon (mais avec un impact moindre sur l’engagement), nous le préférons au modèle

NSA sur cet intervalle de maturités.

Pour des maturités allant de 3 à 9 ans, le modèle NS est bien meilleur, tant par les maximums que

par les moyennes.

Entre 9 et 20 ans, nous privilégions la minimisation de la fonction maximum : c’est donc le

modèle NSA qui est retenu.

Pour des maturités supérieures à 20 ans, nous sélectionnons le modèle NS.

L’historique des taux que nous allons retenir par la suite a donc été construit à partir du modèle

NSA pour les maturités allant de 9 à 20 ans, et à partir du modèle NS pour les maturités

complémentaires.

Remarquons que ces résultats mettent en exergue les problèmes de convergence du modèle de

Nelson et Siegel augmenté annoncés par la littérature, même si théoriquement ce modèle permet de

balayer un spectre de formes de structures de taux plus large. Nous avons utilisé pour nos ajustements

l’algorithme Matlab de minimisation le plus couramment usité ; serait-il possible d’améliorer les

performances du modèle de Nelson et Siegel augmenté en changeant d’algorithme ? La question reste

ouverte.

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Considérations sur la précision de l’historique reconstitué

En reprenant les courbes précédentes1, pour des maturités supérieures à 3 ans, l’historique de taux

sélectionné est donc donné avec un intervalle de confiance de 0,15 %. Pour des maturités inférieures,

l’intervalle est plus élevé, mais l’impact sur la valorisation des engagements est faible.

Cet intervalle de confiance, relativement large, peut donner l’impression que l’historique est trop

imprécis. En effet, si l’on se réfère aux valeurs prises par la fonction d’actualisation dans la section

3.2.3, on s’aperçoit qu’un spread de 0,15 % peut engendrer des variations sur des engagements de

maturités élevées allant jusqu’à 5 %.

Au regard de l’évaluation des engagements sociaux, plusieurs arguments permettent de nuancer

cela :

- cette variation de 5 % est valable pour des fortes maturités. Les engagements de maturités plus

faibles seront moins impactés ;

- ce spread maximal de 0,15 % ne se retrouve que pour 2 ou 3 courbes sur les 25 utilisées pour

étudier les résidus. Si l’on raisonne sur la moyenne, le spread tombe à 0,05 %, hors maturités

basses (faible impact). Les courbes en cause s’apparentent de plus à des sinusoïdes autour

d’une moyenne nulle, ce qui tend à compenser les variations induites, les engagements étant

étalés dans le temps ;

- une partie – difficilement quantifiable – des erreurs provient du fait que pour calculer les dates

des coupons futurs des OAT dans notre programme Matlab, nous nous sommes basés sur les

jours ouverts de cotation boursière du calendrier américain2, faute d’existence d’une fonction

équivalente Matlab pour les jours de cotation français. Ceux-ci différant ponctuellement, à

cause des jours fériés notamment, des biais sont mécaniquement apparus dans la valorisation

des coupons courus, et par diffusion sur les prix des obligations estimés puis enfin sur les

paramètres des modèles de Nelson et Siegel. Si l’on avait utilisé un calendrier français, les

ajustements auraient été de toute évidence de meilleure qualité3 ;

- actuellement, les cabinets de conseil évaluent les engagements sociaux avec une sensibilité sur

le taux d’actualisation de 0,50 % : si ce dernier est de 4,10 %, le client recevra le montant de

son passif social pour des taux de 3,60 %, 4,10 % et 4,60 %. Nous améliorons donc ici la

précision des évaluations relativement à l’actualisation d’un facteur 3 (en considérant que le

taux d’actualisation moyen soit égal au taux actuariel réel, ce qui a peu de chances de se

produire).

L’historique obtenu est donc d’une bonne précision au regard de l’évaluation des engagements

sociaux selon la norme IAS 19 et de ce qui est pratiqué aujourd’hui sur le secteur.

1 En raisonnant donc sur les morceaux de courbes du modèle NSA pour les maturités allant de 9 à 20 ans, et

sur les morceaux de courbes du modèles NS pour les autres. 2 Donnés par la fonction Matlab « isbusday », cf. Annexe 4. 3 Construire l’équivalent de la fonction « isbusday » pour la France aurait demandé trop de temps, pour un

intérêt limité pour ce mémoire : nous pouvons en effet quantifier l’erreur entre les deux méthodes d’actualisation sans cela. Cependant, l’amélioration du processus de reconstitution de la structure de taux zéro-coupons passerait par cette étape.

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Aperçu de l’historique reconstitué

En appliquant la démarche décrite précédemment, nous disposons donc de l’historique de la

structure des taux OAT du 01/03/2006 au 30/01/2009. En guise d’illustration, nous avons tracé cette

dernière pour la période allant du 01/01/2008 au 30/01/2009, pour les maturités supérieures à un an :

Figure 37 : structure de taux OAT reconstituée – 01/01/2008 au 30/01/2009

On visualise en particulier sur ce graphique l’impact des politiques monétaires des banques

centrales menées récemment pour endiguer la crise financière (baisses drastiques des taux directeurs).

3.5 – COMPARAISON QUANTITATIVE DES MÉTHODES D’ACTUALISATION

Etant donné que nous disposons maintenant d’un historique des taux fiable, nous pouvons

quantifier précisément les biais engendrés par la méthode d’actualisation du taux moyen. Hormis

l’hypothèse d’actualisation, les autres hypothèses actuarielles n’ont pas été modifiées par rapport aux

hypothèses de base définies dans le chapitre 2.

Comment mesurer les biais générés par la méthode du taux moyen ?

Nous avons pour cela calculé au 31/12/2008 l’intégralité des PBO individuelles de notre

population témoin, et ce pour chacune des structures de taux réelles de la période du 01/03/2006 au

30/01/2009 déterminées précédemment1, obtenant ainsi une PBO totale par structure de taux1 (jeu de

1 C’est-à-dire en utilisant les formules des modèles de Nelson et Siegel, l’une ou l’autre selon la maturité de

l’engagement considéré (cf. section précédente), en reprenant les paramètres desdits modèles, paramètres spécifiques à chaque date et déterminés par le programme Matlab.

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PBO 1). Dans un second temps, nous avons déterminé à nouveau ces PBO individuelles, mais pour un

taux d’actualisation nul. Nous avons ensuite utilisé le solveur de Microsoft Excel pour calculer le taux

actuariel propre à chacune des structures de taux de la période : nous avons actualisé à chaque fois les

PBO individuelles précédentes par ce taux inconnu, en respectant les maturités respectives des

engagements, puis nous les avons sommés (jeu de PBO 2); structure par structure, à l’aide du solveur

et d’une macro Visual Basic, nous avons déterminé le taux actuariel égalisant les PBO appariées des

jeux 1 et 2.

Formellement, en reprenant les notations de la partie 3.2.3, cette démarche revient à résoudre la

formule ci-dessous, c’est-à-dire à trouver le taux actuariel pour chacune des structures de taux OAT

de la période du 01/03/2006 au 30/01/2009 :

,

1 ,

é  ,

é   ,

1 ,

é ,

é   (3.24)

Cet ensemble de taux actuariels correspond aux taux actuariels réels, puisque déterminés

mathématiquement et rigoureusement. Ils dépendent bien entendu de la distribution des engagements

dans le temps et de leur valorisation relativement aux autres hypothèses actuarielles.

Enfin, nous avons repris la méthode du taux moyen : les trajectoires du taux de maturité 19,01

ans2 et du taux de maturité 15 ans3 sur la période du 01/03/2006 au 30/01/2009 ont été calculées.

Les résultats

Les résultats sont synthétisés sur les deux graphiques ci-après :

1 Nous avons donc calculé à chaque fois la PBO au 31/12/2008, en faisant varier seulement la structure de

taux utilisée pour l’actualisation. En effet, nous cherchons seulement ici à comparer les deux méthodes d’actualisation.

2 Maturité moyenne calculée selon la première variante de la méthode du taux moyen (moyenne arithmétique).

3 Maturité moyenne sélectionnée en général pour les IFC (deuxième variante de la méthode du taux moyen).

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Figure 38 : taux actuariels réels et taux moyens

Figure 39 : spreads des taux moyens relativement aux taux actuariels correspondants

Les résultats démontrent que sur cette population, quelle que soit la structure de taux historique

prise entre le 01/03/2006 et le 30/01/2009 et sur laquelle on se base, la méthode du taux moyen

occasionne systématiquement un spread par rapport au taux actuariel réel supérieur à 0,19 %. Ce

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spread monte jusqu’à 0,39 % pour certaines structures (et bien plus si l’on raisonne par rapport au taux

moyen de 19,01 ans).

Ces spreads, puisque l’on a montré que la méthode d’actualisation par structure de taux réelle

était qualitativement bien plus justifiée, représentent autant d’erreurs de valorisation du montant global

du passif social1.

Avant de chiffrer en termes de PBO ces erreurs, intéressons-nous à la provenance de ces spreads.

Analyse des spreads

En reprenant nos notations, et en notant ,% la PBO de l’individu à la date actualisée au

taux 0,00 %, c’est-à-dire non actualisée, on peut écrire, si l’on raisonne par exemple par rapport au

taux moyen à 15 ans, que le différentiel ∆ entre l’engagement valorisé par la méthode du taux moyen

et l’engagement valorisé par la seconde méthode vaut :

∆ ,% 1

1 ,

11 ,

(3.25)

Si     , le terme entre crochets sera négatif, et positif dans le cas contraire. ∆ dépend

donc de la distribution des maturités des engagements, de la valorisation de ceux-ci, et des taux

associés à leurs maturités à la date  : il y a compensation entre les termes entre crochets positifs, et les

autres, négatifs.

Dans notre cas, les PBO non actualisées interviennent peu, celles-ci étant globalement bien

réparties de part et d’autre de la maturité 15 ans, comme l’atteste l’évolution de la PBO cumulée totale

non actualisée :

Figure 40 : PBO cumulée non actualisée en fonction de la maturité

La cause des spreads est donc à chercher en priorité du côté des courbes de taux : effectivement,

en général, sauf situation particulière (structure décroissante), une structure des taux croit plus vite

1 Bien entendu, dans la réalité, il n’existe pour une date de clôture des comptes donnée qu’un seul spread,

puisqu’il n’y a qu’une seule structure de taux OAT valable à cette date.

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pour les maturités de 0 à 15 ans que pour les maturités de 15 ans à plus. Plus ce déséquilibre de

croissance de la courbe des taux sera accentué, plus ∆ s’éloignera de 0, la distribution des ,%

étant neutre ici. Cela revient à dire que ∆ est directement corrélé avec le différentiel entre le taux long

et le taux court de la courbe des taux, ou encore que ce différentiel est directement corrélé au spread

entre le taux moyen et le taux actuariel réel.

Pour le vérifier, nous avons tracé la différence entre le taux long (pris pour une maturité de 25

ans) et le taux court (1 an, puisque nous travaillons sur la norme IAS 19) sur la période de l’historique,

et l’avons comparée avec l’évolution des spreads des taux moyens par rapport aux taux actuariels

(après une mise à la même échelle).

Figure 41 : évolution du différentiel (taux long – taux court) et des spreads des taux moyens

Les courbes des spreads évoluent globalement de paire avec le différentiel (taux long – taux

court). On le vérifie en calculant les corrélations entre ces séries :

Indice de corrélation entre

Différentiel taux long - court

Spread taux moyen 15 ans

0,905

Spread taux moyen 19 ans

0,896

Figure 42 : corrélations entre le différentiel (taux long – taux court) et les spreads des taux moyens

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Nous pouvons donc affirmer que les biais introduits par la méthode d’actualisation par taux

moyen sur la valorisation des IFC sont d’autant plus importants que le différentiel entre le taux long et

le taux court à la date d’évaluation – i.e. de clôture des comptes de l’entreprise – est élevé1.

Cette règle demande à ce que la PBO cumulée non actualisée progresse de manière quasi-linéaire

et étalée dans le temps : plus le nombre de salariés augmente, plus cela se vérifie. Cependant et dans

tous les cas, il est clair que la méthode du taux moyen génère des erreurs, plus ou moins conséquentes

selon la population étudiée, selon la structure de taux du moment, et selon le type d’engagements

sociaux traité.

Il nous reste maintenant à quantifier l’impact de ces spreads sur la valorisation des engagements

sociaux.

Sensibilité de la PBO totale au taux actuariel

En faisant évoluer le taux actuariel autour de 4,20 %, nous obtenons les variations de la PBO

totale suivantes :

Taux actuariel PBO totale Variations 3,00% 1 688 094 15,55% 3,20% 1 646 891 12,73% 3,40% 1 607 099 10,01% 3,60% 1 568 660 7,37% 3,80% 1 531 519 4,83% 4,00% 1 495 623 2,38% 4,20% 1 460 922 0,00% 4,40% 1 427 367 -2,30% 4,60% 1 394 913 -4,52% 4,80% 1 363 516 -6,67% 5,00% 1 333 133 -8,75%

Figure 43 : sensibilité de la PBO totale au taux actuariel

En croisant ce tableau avec le tracé du spread entre le taux moyen 15 ans et le taux actuariel réel

de la population, le même spread évoluant entre 0,19 % et 0,39 % et étant positif, nous pouvons en

conclure que la méthode d’actualisation par taux moyen introduit peu ou prou jusqu’à 4,5 % d’erreur

sur la valorisation de la PBO (selon la structure de taux valide au moment de la date de clôture des

comptes, et au regard de l’historique reconstitué).

Encore une fois, ces écarts seront plus ou moins importants selon la population, le type

d’engagements sociaux, et la structure de taux considérés.

1 On peut le vérifier visuellement en comparant le graphique de l’historique des taux du 01/01/2008 au

30/01/2009 et l’évolution des spreads sur cette période : ceux-ci augmentent fortement quand le différentiel (taux long – taux court) s’accentue.

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3.6 – PRÉVISION DE STRUCTURES DE TAUX

Dans le cas où la date d’évaluation des engagements sociaux est antérieure à la date de clôture

des comptes, il est nécessaire de projeter l’hypothèse d’actualisation de la première à la seconde date.

Il faut dès lors faire appel à un modèle de prédiction de la structure des taux zéro-coupons et

déterminer la structure de taux – non plate – la plus à même de se réaliser selon ce modèle. Les écarts

actuariels découlant de cette démarche seront alors à reconnaître en temps voulu.

L’utilisation d’un modèle de prédiction éprouvé est bien évidemment beaucoup plus justifiée

actuariellement que la méthode du taux moyen prévisionnelle (cf. section 3.2.2). Là où un modèle ne

génère que des erreurs de prévision, la méthode précédente engendre en plus de celles-ci des erreurs

de spread1 qui peuvent être conséquentes, comme nous l’avons démontré.

Il n’est certes pas exclu que ces erreurs puissent se compenser par hasard, et aboutir en fin de

compte à des écarts actuariels plus faibles que ceux obtenus suite à l’application d’un modèle prédictif

complet ; mais l’esprit des normes IFRS et dans le cas présent de la norme IAS 19 impose de

déterminer les hypothèses actuarielles de la manière la plus prudente possible : cela passe à la fois par

l’utilisation de toutes les informations dont peut disposer l’actuaire à la date d’évaluation (situation sur

les marchés obligataires, orientations futures, …) et par le contrôle « actuariel » des processus de

détermination desdites hypothèses. Parier sur une compensation des erreurs ne respecte pas ces deux

derniers principes, et ce d’autant plus que la sensibilité des PBO des engagements sociaux au taux

actuariel est forte.

Il existe de nombreux modèles de prédiction de structure de taux. Selon la littérature, si les plus

simples – VASICEK, COX, INGERSOLL et ROSS, … – donnent des résultats par trop mitigés,

d’autres modèles, plus complexes, en donnent des corrects2. Citons notamment le modèle de HEALTH,

JARROW et NORTON qui s’appuie sur un processus de diffusion du taux instantané forward.

Cependant, ce type de modèles requiert un paramétrage et une implémentation plus sophistiqués.

A ce titre, notre procédé de détermination de l’historique des taux OAT, facile à mettre en œuvre

au jour le jour, a l’énorme avantage de pouvoir nourrir le calibrage de ces modèles prévisionnels :

volatilité, moyenne, etc. Nous pouvons donc affirmer que nous avons créé un outil apte à améliorer le

processus de détermination de l’hypothèse d’actualisation historique (partie précédente), mais aussi

celui de l’hypothèse d’actualisation projetée.

1 C’est-à-dire entre le taux moyen prévu et le taux actuariel « réel » prévu (même principe que celui étudié

dans la partie précédente, mais transposé au domaine des prévisions cette fois-ci). 2 La détermination du meilleur modèle de prédiction à court terme est une problématique complexe et

nécessiterait à elle seule un mémoire à part entière. Nous ne nous y aventurerons donc pas. Le simple fait d’avoir démontré que c’est ce meilleur modèle (ou un modèle fiable) qu’il faut prendre pour améliorer le processus de détermination de l’hypothèse d’actualisation projetée répond aux objectifs que nous nous sommes fixés pour ce mémoire.

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3.7 – CONCLUSION

Nous avons au cours de ce chapitre présenté les moyens actuellement et généralement mis en

œuvre par les acteurs du secteur de l’IAS 19 pour déterminer l’hypothèse d’actualisation, historique

ou projetée. Nous avons montré que ces processus étaient approximatifs, tant par des arguments

qualitatifs que quantitatifs.

Pour cela, notre démarche nous a conduits à mettre au point un outil Matlab de reconstitution

d’historiques au jour le jour de structures de taux OAT. Cet outil nous a permis d’améliorer fortement

les processus incriminés : dans le cas d’une évaluation historique, il génère la courbe de taux à

appliquer aux engagements sociaux avec une bonne précision ; dans le cas d’une projection du passif

social, il permet de calibrer des modèles prédictifs de structures de taux.

Pour terminer, notons que l’évolution récente des normes IFRS / IAS (comme l’IAS 39 relative

aux instruments financiers) et des règlements prudentiels bancaires (Bâle II) et assurantiels (Solvency

II) laissent de moins en moins la place à l’arbitraire et imposent aux entreprises de se conformer à la

réalité des marchés financiers. Il est plus que probable que, à terme, l’IAS 19 soit amendée en ce sens

et que l’obligation d’appliquer une comptabilisation de tous les passifs sociaux par actualisation

rigoureuse – et non discutable selon la méthode sélectionnée, comme c’est le cas actuellement – soit

entérinée.

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LA REVALORISATION SALARIALE

4.1 – INTRODUCTION

L’hypothèse actuarielle de revalorisation salariale, hypothèse qui permet de projeter les salaires

au terme, impacte énormément le montant du passif social, comme l’atteste le graphique ci-dessous :

ce dernier donne la variation de l’engagement global de notre population en fonction du taux de

revalorisation salariale annuel appliqué, toutes choses égales par ailleurs. La variation est mesurée par

rapport au scénario de base, soit un taux de revalorisation de 2,00 %.

Figure 44 : variations de la PBO totale en fonction du taux de revalorisation salarial annuel

Il est donc impératif de contrôler au mieux cette hypothèse. Sous-estimer le taux de

revalorisation – ou les taux de revalorisation si plusieurs catégories socioprofessionnelles sont

distinguées 1 – conduira à sous-estimer le montant du passif social, et inversement en cas de

surestimation.

Ce constat fait, comment calibrer ce ou ces taux de revalorisation ? Actuellement, sur le marché,

les entreprises demandent généralement aux cabinets de conseil de revaloriser les salaires des non-

cadres selon l’inflation de long terme. Le taux sélectionné est alors quasi-systématiquement celui de

2,00 %, objectif2 affiché fermement par la Banque Centrale Européenne pour la zone Euro sur le

1 Typiquement cadres et non-cadres. 2 La BCE considère en effet qu’une inflation de 2,00 % est le niveau optimal pour la bonne marche de

l’économie de l’Union Européenne.

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moyen et sur le long terme. Au vu de son historique récent, et si l’on ne tient pas compte de la crise

économique actuelle, l’inflation est restée stable, évoluant globalement entre 1,00 % et 2,00 %.

Cependant, rien ne dit que le taux d’inflation de long terme sera exactement égal à 2,00 % ; or,

comme on vient de le voir, un spread modéré sur ce taux modifie considérablement les passifs sociaux

des entreprises. Nous allons donc dans une première partie chercher à quantifier ce spread en utilisant

un modèle d’inflation basé sur l’indice des prix à la consommation. Notre but sera de calibrer le taux

d’inflation de long terme – et ce faisant l’hypothèse de revalorisation salariale des non-cadres – sur des

données historiques.

Concernant les cadres, la revalorisation salariale est très fluctuante selon l’entreprise et le secteur,

même si un taux annuel de 5,00 % apparaît fréquemment dans les évaluations. Nous ne tenterons pas

de développer un modèle pour cette catégorie socioprofessionnelle.

Sur un registre connexe, ayant constaté que le processus d’évaluation1 selon la norme IAS 19 ne

prenait pas en compte les probabilités qu’un non-cadre passe cadre au cours de sa carrière, nous

affinerons dans une seconde partie l’hypothèse de revalorisation salariale en y introduisant ces

dernières. Celles-ci sont en effet conséquentes selon l’INSEE. Nous verrons que les prendre en compte

permet non seulement de mieux quantifier la PBO, mais aussi de réduire sa volatilité d’une année sur

l’autre.

4.2 – ÉTUDE DE L’INFLATION

4.2.1 – Présentation du modèle de WILKIE

Pour étudier l’inflation de long terme, nous allons utiliser le modèle proposé par WILKIE2. Ce

modèle empirique pour l’inflation a été validé sur la base de données économiques relatives au

Royaume-Uni, de 1919 à 1982, et à plusieurs pays de l’OCDE ; il est construit à partir de l’indice des

prix à la consommation. De la trajectoire de cet indice est ensuite déduite celle du taux d’inflation.

En notant l’indice des prix à la consommation à la date , WILKIE a déduit que cette

variable suivait le modèle discret autorégressif suivant :

∆ ln ∆ ln (4.1)

Avec :

∆ ln ln ln~ 0,1, ,

(4.2)

WILKIE relie par ailleurs l’inflation à l’indice des prix par la formule :

∆ ln (4.3)

1 Tel qu’il est appliqué actuellement par les cabinets de conseil. 2 (WILKIE, 1995).

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Le processus suivi par l’inflation est donc :

(4.4)

Cette formulation comporte un mécanisme de correction d’erreur : si le taux d’inflation s’écarte

de son niveau de long terme, celui-ci est ramené progressivement à l’équilibre.

Dans la phase d’estimation des paramètres de ce modèle, il convient de porter une attention

particulière à la période d’observation retenue, sous peine de modifier radicalement l’inflation de long

terme. Dans notre cas, nous prendrons la série temporelle de l’indice des prix à la consommation en

France de janvier 1996 à octobre 2008. Cette période a en effet été marquée par une stabilité de

l’inflation, la BCE s’étant évertuée à viser les 2,00 % en jouant sur ses taux directeurs notamment.

Une fois la crise économique terminée, on peut donc s’attendre à ce que la BCE reprenne sa politique

monétaire stricte pour que l’inflation s’approche à nouveau des 2,00 %. La série étudiée semble donc

la meilleure candidate pour l’étude de l’inflation de long terme.

4.2.2 – Détermination de l’espérance du processus d’inflation

L’équivalent de l’équation (4.4) en temps continu est, en généralisant pour un mouvement

brownien :

1 (4.5)

Soit , , , avec et un processus

stochastique continu adapté à la filtration d’un mouvement brownien , de la forme

, avec et répondant aux conditions posées pour l’application de la

formule d’Itô ( et de carré intégrable sur , …). La fonction est deux fois continument

dérivable sur . En prenant , et en identifiant et à l’aide de la formule

(4.5), les conditions pour appliquer la formule d’Itô sont bien réunies. La formule nous donne1 :

,12

(4.6)

On a :

0

1

(4.7)

En remplaçant dans (4.6), on obtient :

, 1 1

1 On simplifie la notation , par .

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   , (4.8)

On a d’autre part , . En égalisant avec (4.8), on a :

   (4.9)

En intégrant cette dernière expression entre 0 et :

0

   0 (4.10)

En prenant l’espérance de cette équation, en utilisant la linéarité de l’espérance, et en sachant que

l’espérance du terme en intégrale est nulle1, on peut écrire :

0 (4.11)

Enfin, en prenant la limite de cette espérance, on a :

lim (4.12)

L’espérance de l’inflation tend donc vers le paramètre . Sachant que dans l’expression de la

formule (4.11) le facteur 0 est de l’ordre du dixième de pourcent – comme nous le verrons

par la suite – et que l’exponentielle tend très rapidement vers 0 quand augmente2, nous pouvons

identifier le paramètre à l’espérance du taux d’inflation de long terme.

4.2.3 – Estimation des paramètres du modèle d’inflation

L’équation (4.4) peut se réécrire en faisant apparaître un processus autorégressif d’ordre 1 :

1 (4.13)

Nous allons estimer les paramètres de ce modèle à partir de l’indice mensuel des prix à la

consommation pour la France entière fourni par l’INSEE (série 000671193) et pour la période de

janvier 1996 à octobre 2008, soit 154 points (et donc 153 pour l’inflation). On obtient la courbe

suivante :

1 Résultat tiré de (BORODIM & SALMINEN, 2002). 2 1 est proche de 1, cf. section suivante, et 4 10 .

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Figure 45 : indice mensuel des prix à la consommation en France de janvier 1996 à octobre 2008

En utilisant la formule (4.3) proposée par WILKIE, on obtient la série de l’inflation mensuelle :

Figure 46 : inflation mensuelle de février 1996 à octobre 2008

Dans un premier temps, nous n’étudions cette série que sur la période février 1996 – octobre

2007. Puis nous étudions la précédente sous-série décalée d’un an, soit sur la période février 1997 –

octobre 2008 ; cela nous permet d’avoir un aperçu de la stabilité des paramètres.

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Stationnarité de la première sous-série

La première sous-série (février 1996 – octobre 2007) se fait donc sur la base de 141 observations

de la série-mère.

Etant donné que nous essayons de prouver que cette série suit un processus AR(1), la première

chose à faire est de vérifier son caractère stationnaire. Au vu de la trajectoire de la série et du modèle

théorique retenu, on cherche à tester l’hypothèse H0 : « la série est stationnaire, avec constante », dans

le modèle suivant :

(4.14)

avec 0 et un bruit blanc de variance constante.

Dans le cas où le coefficient est supérieur à l’unité, le processus est explosif, ce qui n’est bien

entendu pas le cas. Tester l’hypothèse H0 est équivalent, comme nous sommes en présence d’un

processus AR(1), à tester l’hypothèse H1 « 1» contre l’hypothèse « | | 1 ».

Pour tester l’hypothèse H1, c’est-à-dire pour tester la non-stationnarité de la série dans le cadre

d’un processus AR(1) de la forme de l’équation (4.14), nous effectuons un test de DICKEY et

FULLER augmenté1. La statistique de ce test, calculée sous le logiciel EVIEWS, conduit à une valeur

de - 5,649928 et à une probabilité associée de 0,000001, ce qui conduit à rejeter l’hypothèse H1. La

série est donc stationnaire.

Estimation des paramètres de la première sous-série

L’estimation des paramètres de la première sous-série est menée à l’aide de la méthode classique

des moindres carrés ordinaires, avec deux régresseurs, à savoir et .

La validité ou non de la modélisation par un processus AR(1) de la forme (4.14) découlera de la

normalité ou de la non-normalité des résidus.

Pour les paramètres, on obtient les résultats suivants :

Paramètre Estimation Ecart-type t-Student

Constante 0,001367 0,000241 1,375216 Variable retardée 0,091297 0,084556 1,079718

Figure 47 : résultats des paramètres pour la modélisation de l’inflation (février 1996 – octobre 2007)

Les valeurs renvoyées par les tests de Student sont inférieures au quantile correspondant au

niveau de confiance de 5,00 % ( , 1,96 1,3752 et , 1,96 1,0797). L’estimation des

paramètres est donc de bonne qualité.

Test de normalité des résidus

La normalité des résidus de la régression est testée à l’aide de la statistique de JARQUE et BERA

(le lecteur trouvera en Annexe 5 un descriptif de ce test).

1 Le test de DICKEY et FULLER augmenté a été construit pour étudier spécifiquement la-non stationnarité

de séries suivant a priori un modèle AR(1). Pour plus d’informations sur ce test, consulter (DAUPHINE, 2005).

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On teste H0 : « le processus est normalement distribué ». On rejette H0 si la valeur obtenue sur

l’échantillon de la statistique de test est « trop grande ». En pratique, on rejettera l’hypothèse de

normalité si la probabilité pour que la variable aléatoire dépasse la valeur de la statistique est

inférieure à 5,00 %.

Au vu des résultats ci-dessous, on ne rejette pas l’hypothèse de normalité des résidus

Statistique Valeurs Ecart-type 0,002581 Skewness - 0,140660 Kurtosis 2,901001

Statistique de JARQUE et BERRA 0,518828 Probabilité de JARQUE et BERRA 77,15 %

Figure 48 : résultats statistiques sur les résidus (février 1996 – octobre 2007)

Modèle retenu

A l’aide des résultats précédents pour un pas mensuel, on trouve les paramètres de l’équation

(4.13) pour un pas annuel :

1 12 0,0013760,091297

√12 0,002581 (4.15)

En reprenant la forme de l’équation (4.4) et en remplaçant les paramètres par leurs valeurs

estimées, l’inflation suit le processus :

0,01817 0,09130 0,01817 0,00894 (4.16)

A partir de cette équation, il est possible de simuler des trajectoires de taux d’inflation. Pour ce

faire, il suffit de se donner une condition initiale – que nous prendrons égale à l’inflation de long terme,

soit 1,817 % ici – et de tirer de manière aléatoire des réalisations de la loi normale centrée réduite.

Figure 49 : simulation de trajectoires du taux d’inflation à partir des paramètres estimés

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Stabilité des paramètres

Pour tester la stabilité des paramètres, le mode opératoire précédent a été appliqué à la seconde

sous-série (février 1997 – octobre 2008).

Le test de DICKEY et FULLER augmenté donne une statistique de test de - 4,849933 et une

probabilité associée de 0,0001 : la série est donc stationnaire.

Pour les paramètres et les résidus :

Paramètre Estimation Ecart-type t-Student

Constante 0,001455 0,000256 5,674380 Variable retardée 0,990757 0,084566 1,447003

Figure 50 : résultats des paramètres pour la modélisation de l’inflation (février 1997 – octobre 2008)

Statistique Valeurs Ecart-type 0,002652 Skewness - 0,115199 Kurtosis 2,870429

Statistique de JARQUE et BERRA 0,407588 Probabilité de JARQUE et BERRA 81,16 %

Figure 51 : résultats statistiques sur les résidus (février 1997 – octobre 2008)

En procédant comme pour (4.15), nous aboutissons finalement au processus d’inflation :

0,01889 0,99076 0,01889 0,00919 (4.17)

Le taux d’inflation de long terme passe donc de 1,817 % à 1,889 % : il est donc relativement

instable d’une année à l’autre (variation de 3,96 % dans le cas présent).

4.2.4 – Mise en perspective des résultats par rapport aux engagements sociaux

Les résultats du modèle de WILKIE prouvent d’une part que l’inflation de long terme n’est pas

forcément égale à 2,00 %, et qu’elle tend même à lui être inférieure, et d’autre part que cette inflation

est volatile.

Dans le cadre de l’évaluation des engagements sociaux selon la norme IAS 19 et d’un calibrage

de l’hypothèse de revalorisation salariale des non-cadres indexée sur l’inflation de long terme, il

conviendra donc de réviser régulièrement cette dernière.

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4.3 – PASSAGE DU STATUT DE NON-CADRE AU STATUT DE CADRE

4.3.1 – Situation actuelle et sensibilité de la PBO aux promotions

Actuellement, les cabinets de conseil en actuariat ne prennent pas en compte dans l’évaluation

des engagements sociaux d’une entreprise les probabilités que les salariés non-cadres de celle-ci soient

promus et obtiennent le statut de cadre.

Or, il arrive fréquemment d’une année sur l’autre qu’un salarié devienne cadre, faisant croître du

même coup de manière drastique les engagements sociaux – indexés sur son salaire – qui lui sont

rattachés : un écart actuariel s’en suit alors.

En effet, si l’on considère le socle de base d’hypothèses actuarielles avec une progression

salariale de 2,00 % pour les non-cadres et de 5,00 % pour les cadres (hypothèse de taux typique), le

salaire annuel dudit salarié devenu cadre sera revalorisé jusqu’au terme avec un taux de 5,00 % contre

un taux de 2,00 % pour la précédente évaluation.

L’impact sur l’engagement est considérable ; pour l’illustrer, nous avons calculé la PBO

individuelle d’un salarié de notre population, ayant 20,9 ans au 31/12/2008, de sexe masculin, étant

entré dans l’entreprise le 01/02/2007, et ayant touché en 2008 un salaire de 30 588 €. Non-cadre au

départ, nous avons fait varier son âge d’obtention du statut de cadre de 21 à 60 ans, pour un âge de

départ volontaire de 60 ans 1 . Nous faisons donc pour simplifier l’hypothèse que sa promotion

intervient à sa date d’anniversaire. Avant sa promotion, son salaire a été revalorisé de 2,00 %

annuellement, après sa promotion de 5,00 %. Nous obtenons le graphique suivant :

Figure 52 : variation de la PBO individuelle en fonction de l’âge de promotion

Deux phénomènes sont distinguables sur cette courbe ; d’une part, plus la promotion intervient

tôt dans la vie du salarié plus bien évidemment sa PBO en est élevée : son salaire sera revalorisé à

5,00 % sur une plus longue période. D’autre part, l’obtention du statut de cadre permet au salarié de

prétendre au terme aux droits aux indemnités de fin de carrière spécifiques aux cadres, s’ils existent.

Dans le cas de convention « industrie des panneaux à bois », il passe ainsi de 2,5 mois de salaire au

1 Ainsi, si son âge de promotion est de 60 ans, cela revient à dire qu’il restera non-cadre toute sa vie.

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terme – table des non-cadres – à 5,0 mois – table des cadres. L’engagement est donc doublé du seul

fait de sa promotion. Enfin, nous constatons que sa PBO peut être multipliée par plus de 6, selon qu’il

devienne cadre à 21 ans ou qu’il ne le devienne jamais.

Les montants de la PBO de ce graphique sont faibles, de par l’âge « actuel » du salarié et de la

proratisation de sa VAP. Avec un salarié plus âgé, on obtiendrait le même type de courbe, mais avec

des engagements beaucoup plus élevés.

Nous avons donc démontré que le passage pour un salarié du statut de non-cadre à celui de cadre

impactait sensiblement le passif social de son entreprise. Il faut maintenant s’intéresser aux

probabilités de survenance d’un tel évènement.

4.3.2 – Aperçu des probabilités de passage vers le statut de cadre

Pour avoir un aperçu des probabilités de passage du statut de non-cadre à celui de cadre, nous

nous sommes basés sur les résultats de l’étude de l’INSEE sur le sujet, réalisée par Manuella

BARATON1.

Celle-ci, à l’aide de données administratives et fiscales2, a pu déterminer sur la période 1978 –

1989 et sur la période 1989 – 2001 les probabilités de devenir cadre par promotion selon plusieurs

critères : catégorie socioprofessionnelle d’origine, sexe, âge, mobilité géographique, secteur d’activité

et taille de l’entreprise.

Entre 1978 et 2001, la tertiarisation de l’économie a entraîné de profondes modifications dans la

répartition des catégories socioprofessionnelles : la proportion d’ouvriers était de 56 % en 1978, elle

est de 37 % en 2001. Le poids des employés est resté relativement stable. En revanche, les professions

intermédiaires3 et les cadres représentent près de deux salariés sur cinq en 2001. La part des cadres

dans l’emploi salarié a presque triplé en 23 ans : 6 % en 1978, 16 % en 2001.

Ci-après sont indiquées pour les deux périodes les origines socioprofessionnelles des cadres des

années 1989 et 2001 :

1 (BARATON, 2006). 2 Les données sont issues du panel DADS. La Déclaration Annuelle de Données Sociales (DADS) est une

formalité administrative que doit accomplir toute entreprise employant des salariés : elle énumère diverses caractéristiques de ces derniers. Ces déclarations sont destinées aux administrations sociales et fiscales.

3 L’appellation « professions intermédiaires » de l’INSEE englobe d’une part les salariés étant dans une position intermédiaire entre les cadres et les ouvriers et employés. Elle intègre d’autre part les salariés de l’enseignement, de la santé et du travail social (instituteurs, infirmières, assistantes sociales, …).

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Figure 53 : origines socioprofessionnelles des cadres (1978 – 1989 ; 1989 – 2001)

On observe que deux tiers des cadres de 1989 étaient classés dans une autre catégorie

socioprofessionnelle dix ans auparavant. Ce n’est plus le cas en 2001, la dernière proportion passant à

49 %. On peut supposer que cette évolution provient en grande partie de la forte croissance observée

ces dernières années du nombre de formations préparant les étudiants à des professions octroyant le

statut de cadre. Globalement, entre 1978 et 2001 la probabilité de devenir cadre par progression de

carrière a donc diminué.

Par ailleurs, la catégorie socioprofessionnelle d’origine influence fortement la probabilité de

passer cadre, de même que le niveau de diplôme (liés). Ainsi, entre 1978 et 1989, 54 % des individus

promus cadres étaient membres de professions intermédiaires, et 63 % entre 1989 et 2001. Ces ratios

passent de 27 % à 22 % pour les employés, de 15 % à 10 % pour les ouvriers qualifiés, et de 4,5 % à

4 % pour les ouvriers non qualifiés.

Ces probabilités varient aussi en fonction des autres critères. Le tableau ci-après synthétise les

résultats de l’étude.

La situation de référence est celle d’un individu masculin, de moins de 31 ans, exerçant une

profession intermédiaire, résidant hors de l’Ile-de-France, restant dans le même département et la

même entreprise sur la période, ladite entreprise exerçant une activité industrielle.

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Variables Modalités Impact de chaque modalité

sur la probabilité d’être promu cadre 1978 - 1989 1989 - 2001

Constante Situation de référence (Réf.) 20,30 % 24,25 %

Sexe Homme Réf. Réf. Femme - 12,55 % - 11,29 %

Age Moins de 31 ans Réf. Réf.

31 à 40 ans 4,53 % - 2,32 % 41 ans et plus 2,62 % - 4,43 %

CSP d’origine

Profession intermédiaire Réf. Réf. Employé - 10,45 % - 15,94 %

Ouvrier qualifié - 18,00 % - 22,20 % Ouvrier non qualifié - 18,88 % - 22,52 %

Indicateur de résidence Hors Ile-de-France Réf. Réf.

Ile-de-France 9,01 % 10,01 %

Mobilité géographique

Même département de résidence

Réf. Réf.

Changement de département de résidence

10,90 % 10,79 %

Secteur d’activité

Industrie Réf. Réf. Construction - 3,52 % - Commerce - - Services 3,51 % 5,43 %

Taille de l’entreprise

Moins de 19 postes 6,89 % 5,68 % 20 à 99 postes 3,89 % 4,12 %

100 à 999 postes 5,48 % 3,02 % 1 000 postes et plus Réf. Réf.

Figure 54 : variations de la probabilité d’être promu cadre en fonction de diverses caractéristiques

Les probabilités indiquées dans ce tableau sont, sauf pour la première ligne, des variations par

rapport à la situation de référence. Ainsi, pour un individu non-cadre de 1978 qui présente les

caractéristiques correspondant à cette dernière situation, la probabilité qu’il soit promu cadre est de

20,30 %. Résider en Ile-de-France fait passer cette probabilité de 20,30 % à 29,31 % (20,30 % +

9,01 % = 29,31 %).

De nombreuses conclusions peuvent être déduites de ces résultats. Formulons en quelques unes :

- un individu dans la situation de référence a, sur la période la plus récente, pratiquement une

chance sur quatre d’être promu cadre. Cette probabilité peut augmenter sensiblement (s’il

travaille par exemple en Ile-de-France) ;

- les femmes ont bien moins de chances de passer cadre ;

- la tranche d’âge dans laquelle se situe le salarié a un impact considérable ;

- …

Au vu de ces résultats, on peut affirmer plus généralement que les probabilités de passer cadre

varient grandement d’un salarié à l’autre, selon ses caractéristiques, et que ces probabilités peuvent

être très élevées.

Dans le cadre de la valorisation des engagements sociaux, il apparaît donc indispensable de tenir

compte des probabilités individuelles de passage du statut de non-cadre à celui de cadre sous peine de

sous-estimer systématiquement les passifs sociaux.

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Les probabilités données précédemment ne peuvent bien évidemment pas être appliquées telles

quelles, ne serait-ce que parce qu’elles sont surannées et ne sont pas intégrables en l’état aux calculs

d’engagements sociaux. Il faudrait par exemple pour cela des probabilités par âge, année après année,

sur le modèle de l’hypothèse actuarielle du turnover, et par caractéristiques (en différenciant au moins

le sexe et la catégorie socioprofessionnelle). Arriver à trouver et à encadrer ces probabilités

nécessiterait de croiser à la fois des données nationales, les données de l’entreprise considérée, et à

mettre au point un modèle prédictif adéquat.

Faute de données, nous n’avons pas tenté de mettre au point un tel modèle. Nous nous sommes

juste cantonnés à supposer que nous disposions des probabilités de passage âge par âge requises, pour

une situation salariale donnée, pour montrer comment introduire ces précédentes dans le calcul des

engagements sociaux.

4.3. 3 – Introduction des probabilités de passage dans le calcul des IFC

Calculons la rémunération au terme d’un salarié de profil donné et entré non-cadre dans

l’entreprise à l’âge , . Notons l’âge du salarié à la date de son premier

anniversaire suivant sa date d’entrée dans l’entreprise. Nous supposons qu’à la date de la clôture des

comptes de l’entreprise le salarié n’a pas encore atteint l’âge . Cette hypothèse permet de simplifier

les écritures, les autres cas se déduisant aisément de celui-ci.

Supposons par ailleurs que le salarié ne peut être promu cadre qu’une fois qu’il a atteint l’âge ,

et que cette promotion ne se répercute sur son salaire qu’à partir de son anniversaire suivant

directement la date de la dite promotion.

Notons  la rémunération annuelle – ou annualisée – que le salarié a touché entre les âges et

, 1; la probabilité1 qu’il soit toujours non-cadre à son 1 è anniversaire et qu’il passe

cadre à cet âge-là, et la probabilité pour qu’il ne passe jamais cadre.

Nous pouvons dès lors écrire toutes les possibilités que peut prendre le salaire au terme. En notant ,

; 59 , le salaire au terme pour une promotion intervenant à l’âge du salarié :

1 Fonction du profil du salarié.

; 1

1 1 1 60 âge

(1+2%) (1+2%) (1+5%)

1; ; 1

promotion cadre

Figure 55 : schématisation du passage non-cadre – cadre et des revalorisations associées

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1 2% 1 5%

1 2% 1 5%…

1 2% 1 5%…

1 2% 1 5%1 2%

(4.18)

Le salaire au terme à utiliser dans la valorisation de l’engagement du salarié sera alors égal à la

somme des précédentes quantités multipliées par leurs probabilités d’occurrence respectives :

1 2% 1 5% 1; 1 2% (4.19)

En partitionnant la masse salariale non-cadre de l’entreprise considérée au moyen des

caractéristiques précédemment évoquées – sexe, CSP, … –, en déterminant les probabilités de

passage associées à chaque ensemble de la partition, et en utilisant la formule (4.19), on peut donc

obtenir les salaires au terme probabilisés de tous les salariés.

4.4 – CONCLUSION

Du point de vue de l’hypothèse de la revalorisation salariale, nous avons mis en évidence deux

améliorations des processus de détermination usuellement appliqués.

D’une part, dans le cas courant où l’entreprise demande à ce que les rémunérations projetées de

ses salariés non-cadres soient revalorisées selon l’inflation, sélectionner le taux de 2,00 % sur la

simple justification que ce soit le taux visé par la BCE n’est pas suffisant d’un point de vue actuariel.

Une modélisation de l’inflation par le modèle de WILKIE – éprouvé sur des données historiques –

indique en effet que l’hypothèse d’inflation de long terme doit être revue régulièrement et tend

actuellement à être inférieure à 2,00 %, ce qui est en accord avec les données de l’inflation depuis

1993. Une révision régulière de cette hypothèse de revalorisation en utilisant le modèle précédent

constitue donc un calibrage optimisé.

D’autre part, l’étude de Manuella BARATON (INSEE, 2006) prouve que les probabilités de

passage du statut de non-cadre à celui de cadre peuvent être très importantes. Il est donc impératif

d’introduire ces dernières dans le processus d’évaluation des avantages au personnel indexés sur le

salaire sous peine de sous-estimer systématiquement ces passifs sociaux. Les prendre en compte

permet aussi de réduire la volatilité de ceux-ci d’une année sur l’autre, les promotions au rang de cadre

étant dès lors intrinsèquement « prévues » dans leurs valorisations1.

Si, par faute de données notamment, nous n’avons pas cherché à calculer explicitement ces

probabilités, nous avons montré comment les incorporer dans le processus de valorisation.

1 Les augmentations brutales des engagements dues à des promotions d’une année sur l’autre non prévues

n’étant dès lors plus possibles.

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LES AUTRES HYPOTHÈSES ACTUARIELLES

5.1 – INTRODUCTION

Dans ce chapitre nous nous intéressons successivement aux hypothèses actuarielles d’âge de

départ volontaire, de mortalité, et de turnover.

5.2 – ÂGE DE DÉPART VOLONTAIRE

L’âge de départ volontaire est avec le turnover l’une des hypothèses les plus difficiles à évaluer.

Elle dépend de nombreux facteurs, tous caractérisés par une forte incertitude. Par manque de données,

nous ne nous avancerons donc pas au point de proposer un calibrage poussé, mais nous présenterons

tout de même quelques pistes d’amélioration de ce qui se fait actuellement dans les cabinets de conseil,

et ce au regard des travaux prospectifs déjà menés sur le sujet.

5.2.1 – Dynamique des systèmes de retraite nationaux

Tous les pays industrialisés sont confrontés aux mêmes problèmes démographiques dans la

gestion de leur système de retraite. D’une part, une baisse de la natalité, et de l’autre, une

augmentation très nette de l’espérance de vie. Ainsi le nombre d’actifs devient insuffisant pour

prendre en charge un nombre de retraités toujours plus nombreux. Le graphique suivant, issu de

projections de l’INSEE pour la population française illustre bien le phénomène :

Figure 56 : projections du ratio actifs / inactifs de la population française (ROBERT-BOBÉE, 2006)

Pour assurer la pérennité des systèmes de retraite par répartition, trois solutions existent :

repousser l’âge de la retraite, réduire le montant des pensions, ou augmenter les prélèvements

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obligatoires. Les gouvernements privilégient globalement la première solution : c’est ainsi qu’on

observe dans de nombreux pays de l’OCDE une augmentation de l’âge légal de départ à la retraite.

De plus, si l’âge effectif de départ à la retraite reste quasiment dans tout ces pays inférieur à l’âge

légal, comme le montre la figure 57, il n’est pas certain que cela perdure. Les orientations actuelles des

politiques publiques, notamment françaises, visent en effet à inciter les entreprises à garder leurs

salariés plus longtemps et encouragent les salariés à travailler plus longuement en allongeant la durée

de cotisation nécessaire pour avoir une retraite à taux plein ou en prévoyant un âge de départ

modulable.

Figure 57 : âges de départ légaux et effectifs dans le monde (OCDE, 2009)

D’autre part, pour éviter au maximum les conflits sociaux, les autorités se gardent bien d’imposer

ponctuellement une refonte drastique des systèmes de retraite, préférant des réformes moins

ambitieuses et étalées dans le temps1, ce qui génère une forte incertitude sur les prévisions de l’âge de

départ effectif futur.

Enfin, face à des passifs de plus en plus pesants, il n’est pas exclu que les états choisissent de

financer leurs dettes aux dépends des retraites de leurs citoyens en faisant en sorte d’aligner ces

derniers âges de départ effectifs sur ceux des états les moins généreux en la matière.

Dans toute la suite, nous nous cantonnerons au cas français et nous identifierons l’âge de départ

effectif à la retraite à l’âge de départ volontaire, la mise à la retraite par l’employeur avant 65 ans étant

interdite en France à partir de 2010.

1 En France, la loi FILLON du 21 août 2003 impose ainsi aux salariés un passage progressif jusqu’à 41

annuités en 2012 pour obtenir le taux plein. La nécessité d’une nouvelle réforme a été annoncée en juin 2009 par le gouvernement.

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5.2.2 – Modélisation de l’âge de départ volontaire

Outre la dynamique instable des systèmes de retraite nationaux, de multiples incertitudes quant à

la décision de partir à la retraite sont liées directement aux salariés eux-mêmes. Dans leur travail sur

les déterminants des âges de départ à la retraite en France, BOARINI, LE CLAINCHE et

MARTINSSON1 mettent en évidence la complexité à modéliser dans le détail cette dimension, et

encore plus à la projeter dans le futur. Quatre axes généraux de décision sont dégagés par ces auteurs :

- l’influence du patrimoine ;

- l’influence des revenus présents et futurs ;

- l’influence de la situation familiale ;

- le poids de la santé et la pénibilité du travail.

Chacun de ces axes fait intervenir de multiples facteurs : ainsi, les études suggèrent que les

travailleurs mariés ont tendance à partir en retraite plus tôt que les célibataires, que la présence

d’enfants ou la présence de petits-enfants aux âges de la retraite peuvent avoir un impact positif ou

négatif.

En sus de l’absence de données relatives à ces paramètres, modéliser ces derniers fait intervenir

par trop l’arbitraire ; à cela s’ajoute enfin la difficulté de les calibrer. Modéliser tous les paramètres

entrant en jeu pour aboutir à un modèle général avec une sensibilité adéquate est donc inenvisageable.

Il est par conséquent nécessaire de travailler sur un « grain » moins fin. Pour ce faire, nous nous

sommes rabattus sur deux modèles, qui ne s’appuient que sur des données historiques et

générationnelles :

- le modèle de Giuseppe CARONE, mis au point pour la Commission Européenne (CARONE,

2005) ;

- le modèle Sidre, du Centre d’Etude de l’Emploi (BENALLAH & LEGENDRE, 2008).

Le modèle de Giuseppe CARONE

Le modèle développé par Giuseppe CARONE vise à donner un panorama de la population active

des 25 pays membres de l’Union Européenne jusqu’en 2050, pour que celle-ci puisse prendre les

devants en matière de dépenses budgétaires (santé, éducation, fiscalité, …).

Les projections réalisées dans cette étude se basent sur les tendances du marché du travail

antérieures à 2003 (données de l’OCDE et d’EUROSTAT), en faisant l’hypothèse que les politiques

économiques et du travail et de l’emploi des états membres ne changeraient pas d’ici 2050. Bien

qu’hardie2 et bien que les données de calibrage soient déjà surannées, cette approche a le mérite de

donner une idée de ce que seront les âges de départ moyens minimaux de demain et surtout de faire

apparaître leurs distributions prospectives potentielles.

1 (BOARINI, LE CLAINCHE, & MARTINSSON, 2006). 2 Cette hypothèse est justifiée par l’auteur par un manque de données et par une trop grande incertitude sur

les politiques à venir.

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100

Une modélisation par cohortes a été retenue : à chaque couple (sexe ; génération) a été affecté

une cohorte. Cette méthodologie permet de prendre en compte les différences comportementales

substantielles relativement au travail existant entre les générations d’une part, et entre les hommes et

les femmes d’autre part. Tous les individus d’une cohorte sont considérés comme ayant le même

comportement face au départ à la retraite, ce qui revient à faire l’hypothèse qu’ils réagissent tous de la

même manière aux facteurs sociaux, démographiques et économiques.

Les évolutions de chaque cohorte sont modélisées : évolution du ratio actifs / retraités, évolutions

de l’entrée et de la sortie de la cohorte sur le marché du travail, …

L’auteur présente les résultats – figure 58 – de ses projections pour la France pour l’année 2025,

en comparant les distributions cumulées des âges de départ pour cette année et pour les hommes et les

femmes aux distributions cumulées historiques de l’année 2003.

Figure 58 : distributions cumulées des âges de départ à la retraite (2003, 2025 ; hommes, femmes)

Ces distributions nous amènent à trois conclusions :

- comme l’on si attendait, les projections font apparaître un report général de l’âge de départ à

la retraite vers des âges plus avancés ;

- les écarts entre les âges de départ des hommes et des femmes se réduisent globalement : dans

le cadre de l’évaluation des engagements sociaux, différencier les sexes pour l’hypothèse des

âges de départ volontaire ne semble donc pas pertinent ;

- les distributions empiriques, autant historiques que projetées, ne correspondent à aucune

distribution simple connue : le calibrage de l’hypothèse d’âge de départ n’en est que plus

épineux.

Hormis ces indications, la publication de CARONE ne fournit pas de projection des âges de

départ sur l’ensemble des années 2005 – 2050. Nous nous sommes donc tournés vers le modèle Sidre.

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Le modèle Sidre

Sidre est le modèle phare du Centre d’Etudes de l’Emploi pour les projections de l’âge de départ

à la retraite. Ce modèle mobilise deux sources de données. D’une part les enquêtes Emploi de l’INSEE

qui fournissent une mesure des durées de cotisation à l’assurance-vieillesse à compter de l’âge de fin

d’études, et une estimation, au fil des générations, du nombre de prestataires futurs du régime général.

D’autre part, les données administratives de la CNAV qui permettent de connaître la ventilation des

départs à la retraite par modalité de départ – départs anticipés à 57, 58 et 59 ans, taux plein et taux

réduits de 60 à 64 ans, départs après 65 ans – , la situation de référence étant celle observée en 2005.

Le modèle est appliqué aux hommes, car plus de données pour ce sexe, en différenciant les

générations. Il émet plusieurs hypothèses : tout d’abord que les comportements en matière de départ à

la retraite ne vont pas changer ; ensuite que les taux de départ par âge et par nature du départ resteront

inchangés au fil des générations ; enfin que le nombre de trimestres nécessaires pour atteindre le taux

plein dès 2012, soit 164, ne sera pas modifié d’ici 2020, date maximale de la projection.

Sur la base de ces hypothèses, les auteurs obtiennent une fourchette pour l’âge de départ effectif

de 2008 à 2020. La fourchette est obtenue de manière très arbitraire, en réduisant d’un certain

pourcentage pour chaque année le nombre de départ à des âges réduits pour la frontière haute, et en

procédant de manière inverse pour la frontière basse1.

Figure 59 : prévisions 2008 de l’âge moyen de départ – modèle Sidre

Entre 2008 et 2020, le modèle prévoit donc une augmentation progressive de l’âge de départ

effectif à la retraite, qui passerait donc de 60,75 ans à 62,4 ans pour le scénario central, et jusqu’à 62,8

ans pour le scénario haut. Or, au vu des hypothèses du modèle et des récents propos du gouvernement

français annonçant la nécessité d’une nouvelle réforme des retraites, on peut raisonnablement penser

que le scénario haut a le plus de chance de se réaliser, voire qu’un scénario reculant encore d’avantage

l’âge moyen de départ à la retraite se réalise.

Remarquons que le gros désavantage de ce modèle par rapport à notre sujet est qu’il ne va pas au-

delà de 2020.

1 Pour plus d’informations sur le modèle, consulter (BENALLAH & LEGENDRE, 2008).

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5.2.3 – Traitement actuel de l’hypothèse de l’âge de départ à la retraite

Actuellement, les cabinets de conseil en actuariat prennent couramment pour l’hypothèse de l’âge

de départ à la retraite des âges fixes, en général un pour les cadres et un pour les non-cadres. Ces âges

varient d’une évaluation à l’autre, selon les données historiques des entreprises, mais tournent

globalement autour des mêmes valeurs, soit usuellement 64 à 65 ans pour les cadres, et 60 à 62 ans

pour les non-cadres.

Cette manière de procéder est actuariellement contestable : si l’on a vu que différencier les

hommes des femmes à ce niveau ne semble pas pertinent, prendre des âges de départ fixes quel que

soit l’âge du salarié revient à aller à l’encontre du recul constaté et inévitable – voir section 5.2.1 – de

l’âge de départ volontaire moyen dans les prochaines années. S’en suivent mécaniquement des erreurs

d’appréciations du passif social : sous-estimer ou surestimer selon les cas les âges de départ impacte

directement la valeur des engagements au terme (les droits aux indemnités de fin de carrière d’un

salarié croissant avec l’ancienneté de celui-ci, de même que son salaire), puis les VAP (par le biais des

probabilités de présence au terme) et enfin les PBO (les anciennetés au terme variant).

Si pour les cadres les âges de 64 ans et 65 ans paraissent plausibles, on peut se demander si les

âges de départ volontaire de 60, 61 voire 62 ans pour les non-cadres le sont pour les prochaines

décennies, ces catégories n’ayant généralement pas les moyens de souscrire à des retraites par

capitalisation pour compléter leurs futures retraites par répartition (qui seront donc selon toutes

probabilités nivelées dans le futur s’ils partent trop tôt). Le scénario de référence du modèle Sidre

table sur un âge de départ moyen de 62,4 ans pour 2020, en faisant des hypothèses qui tendent

clairement à sous-estimer cet âge au vu des réformes nécessaires de la retraite à venir.

Rappelons qu’en l’espace de 16 ans, depuis la réforme de 1993 conduite par le gouvernement

Balladur, le nombre de trimestres nécessaires pour obtenir le taux plein au régime de retraite avant 65

ans est passé de 150 à 164 ans. Ce mouvement, ainsi que celui encourageant par d’autres moyens les

salariés à travailler plus longtemps, vont vraisemblablement se poursuivre selon les spécialistes. Les

entreprises sont enfin de plus en plus incitées à garder leurs seniors.

Les non-cadres ont donc toutes les chances de partir à en moyenne à un âge supérieur à 62 ans –

et a fortiori à 61 et 60 ans – dans les trois prochaines décennies ; inversement, pour les quelques

premières années à venir, 62 ans paraît trop élevé. Il faut bien sûr nuancer ces affirmations selon les

secteurs économiques.

5.2.4 – Comment améliorer le calibrage de l’hypothèse d’âge de départ volontaire ?

Pour améliorer le calibrage de l’hypothèse d’âge de départ volontaire, il serait nécessaire dans un

premier temps de disposer de projections des âges de départ à la fois pour les cadres et pour les non-

cadres. En effet, en l’état, les projections du modèle Sidre ne nous permettent pas de différencier les

catégories socioprofessionnelles.

Il conviendrait ensuite de calibrer ces projections à l’aide des âges de départ observés

historiquement dans l’entreprise ou / et dans son secteur pour les années les plus récentes, comme

schématisé sur la figure 60. Un éventuel correctif à la concavité de la courbe ainsi construite pourrait

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éventuellement être ajouté, pour tenir compte par exemple de la pénibilité du travail dans le secteur, ou

de toute autre observation passée relative aux départs en retraite au sein de ce dernier.

Bien que les incertitudes intrinsèques à ces projections seraient alors reportées sur les hypothèses

actuarielles ainsi prises, celles-ci seraient tout de même bien plus conformes aux réalités à venir (en

comparaison de ce qui se fait actuellement), notamment pour les non-cadres, qui représentent environ

80 % de la masse salariale française1, et donc une part majoritaire des engagements sociaux. Le recul

progressif des âges de départ serait par ailleurs pris en compte, par opposition aux âges fixes

actuellement utilisés.

5.2.5 – Evaluation de l’impact d’un calibrage plus réaliste de l’âge de départ

Pour se donner une idée de l’impact que peut avoir l’introduction d’une courbe d’âges de départ

volontaire plus réaliste par rapport à une courbe d’âge fixe, nous avons calculé l’engagement total de

notre population pour divers scénarios. Nous avons tout d’abord repris la courbe du scénario central du

modèle Sidre : nous l’avons dans un premier temps prolongée arbitrairement et linéairement pour les

années supérieures à 2020 ; puis nous l’avons décalée vers le bas afin d’obtenir un âge de départ

moyen en 2009 pour notre population d’environ 60,25 ans, ce qui est tout à fait envisageable pour des

non-cadres (là encore, tout dépend de l’entreprise).

Nous avons ensuite approché cette courbe de référence par une courbe en escaliers2, et affecté en

fonction de celle-ci un âge de départ volontaire à chaque salarié de notre périmètre. Puis nous avons

calculé l’engagement global avec cette hypothèse actuarielle.

Ce procédé a été réitéré pour un 2ème et un 3ème scénarios, pour lesquels nous avons appliqué des

chocs sur la courbe des âges de départ, de 0,25 ans pour le deuxième, et de 0,5 ans pour le troisième

1 84 % en 2001 d’après (BARATON, 2006). 2 Nous avons restreint le nombre de marches de la courbe pour des raisons de facilité d’implémentation.

L’âge de départ d’un salarié donné est déterminé de la sorte : si le salarié aura atteint 60,25 ans au 31/12/2009, alors il partira à la retraite à cet âge. Sinon, s’il aura atteint l’âge de 60,75 ans au 31/12/2011, il partira à 60,75 ans. Et ainsi de suite.

années passées

modification de la concavité de la courbe ajustement du

niveau moyen de la courbe

années futures

année

âge de départ moyen d'après données historiques courbe Sidre

courbe finale

Figure 60 : calibrage de l’hypothèse d’âge de départ volontaire pour une CSP donnée

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(cf. figure 61). Nous simulons ainsi les futures réformes potentielles qui impacteront l’âge de départ

volontaire moyen.

Figure 61 : différents scénarios envisagés pour l’hypothèse d’âge de départ volontaire

Les écarts dus aux changements d’hypothèse d’âge de départ – toutes choses égales par ailleurs –

on ensuite été calculés :

VAP PBO Droits de l'année Scénario A 60 ans fixe 2 389 667 1 333 133 71 952 Scénario B 61 ans fixe 2 334 334 1 260 024 68 627 Scénario C 62 ans fixe 2 270 764 1 190 349 64 891 Scénario 1 scénario NC 1 2 239 858 1 168 089 63 347

Variations par rapport au scénario C -1,36% -1,87% -2,38% Scénario 2 scénario NC 2 2 221 738 1 150 245 62 341

Variations par rapport au scénario C -2,16% -3,37% -3,93% Scénario 3 scénario NC 3 2 205 428 1 132 864 61 441

Variations par rapport au scénario C -2,88% -4,83% -5,32%

Figure 62 : impact des variations de l’hypothèse d’âge de départ

On observe donc des écarts allant croissant du scénario 1 au scénario 3, par rapport au scénario C.

Remarquons que nous avons pris ici l’âge de départ fixe le plus élevé, soit 62 ans : les écarts sont plus

importants par rapport aux scénarios A et B.

Si les valeurs de la VAP, de la PBO et des droits de l’année sont modifiées par le choix de

l’hypothèse d’âge de départ, celle-ci influe aussi directement sur l’évolution de ces grandeurs dans le

temps. Premièrement, repousser l’âge de départ volontaire accroît la probabilité qu’un salarié ait à

terme des droits supplémentaires, ceux-ci augmentant avec l’ancienneté1. Deuxièmement, ce recul

affecte l’échéancier des flux futurs probables en le repoussant d’autant dans le temps. Ce raisonnement

s’applique en sens inverse pour un avancement de l’âge de départ volontaire.

1 Les droits de la convention « Industrie des panneaux à bois » sont en escaliers. Certaines conventions

collectives procurent au titre des indemnités de départ volontaire des doits strictement croissants avec l’ancienneté.

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Ajoutons enfin que les écarts du tableau ci-dessus correspondent à une situation donnée, c’est-à-

dire à une population et à un jeu d’hypothèses actuarielles donnés. Ils varieront donc à la hausse ou à

la baisse au gré des masses salariales et des environnements actuariels.

5.2.6 – Introduction de distributions normales

Comme indiqué auparavant, la décision d’un salarié de partir à la retraite dépend de multiples

facteurs, tous difficiles à modéliser, le choix de l’âge de départ étant relativement flexible en France,

sauf convention particulière ; cette flexibilité est de toute évidence amenée à être étendue par le futur.

Une méthode à laquelle on peut penser pour en tenir compte et pour améliorer le procédé précédent est

d’introduire des distributions normales centrées sur les âges de départ déduits du modèle de Sidre.

Nous avons donc repris les âges de départ attribués aux salariés par le scénario NC 1, et nous

les avons remplacés par des distributions normales centrées sur les mêmes âges et de volatilité 1.

Chaque tirage aléatoire d’âges de départ est donc déterminé par les distributions normales ; 1). Le

graphique ci-dessous donne la distribution de ces âges par nombre de têtes pour un tirage donné, pour

la population étudiée :

Figure 63 : répartition de la population par âges de départ à la retraite pour un tirage donné

Pour déterminer la distribution de la PBO totale de la masse salariale, il est nécessaire d’utiliser

la méthode de Monte-Carlo1 ; en effet, la formule de la PBO n’est pas linéaire par l’âge de départ. La

modification de celui-ci peut entraîner des variations considérables de l’engagement dues notamment

aux sauts de paliers dans la table des droits au terme. Pour illustrer cela, nous avons tracé l’évolution

de l’engagement individuel – la PBO – d’un salarié en fonction de son âge de départ.

1 L’application de la méthode de Monte-Carlo a été faite à chaque fois pour 45 000 tirages. Pour réduire les

temps de calcul, nous n’avons pas utilisé les tables de mortalité TGH 05 et TGF 05, mais la seule table TV 2000. Cette modification n’implique qu’une translation des résultats et ne remet pas en cause la pertinence de cette section.

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Figure 64 : PBO individuelle en fonction de l’âge de départ

Quand l’âge de départ augmente, l’ancienneté au terme, le facteur d’actualisation et la probabilité

de mortalité font diminuer l’engagement. La revalorisation salariale n’est pas suffisante pour

compenser cette baisse, seule le passage à une ancienneté au terme octroyant des droits plus

importants permet d’augmenter de manière sensible la PBO : en l’occurrence ici, faire partir l’individu

à 60,5 ans lui permet d’atteindre les 25 ans d’ancienneté au terme et par conséquent le dernier palier

de la table des droits, d’où le phénomène de dent de scie.

Lors de l’application de la méthode de Monte-Carlo pour cet engagement individuel, pour un âge

de départ suivant la loi 62,25; 1 , les PBO de l’intervalle [1170 ;1400] vont se retrouver

surreprésentées par rapport aux autres : la distribution des PBO ne va donc pas être normale.

Figure 65 : distribution de la PBO individuelle issue de Monte-Carlo – âge de départ : N(62,25;1)

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La distribution de la PBO totale de la masse salariale ne sera donc elle non plus pas normale,

comme le montrent les résultats de sa simulation par la méthode de Monte-Carlo avec 45 000 tirages

pour les distributions ; 1), 1; 411 .

Figure 66 : distribution de la PBO totale issue de Monte-Carlo – âge de départ : N(xi;1)

Statistique Valeurs Nombre de simulations 45 000

Moyenne 1 149 854 Médiane 1 149 875

Min 1 128 785 Max 1 174 584

Ecart-type 5 498 Skewness 0,0189 Kurtosis 2,965

Statistique de JARQUE et BERRA 4,930 Probabilité de JARQUE et BERRA 0,085

Figure 67 : résultats statistiques sur la distribution de la PBO totale

Les résultats de ces statistiques nous conduisent à plusieurs conclusions :

- l’écart-type de la distribution est faible – au regard des valeurs prises par l’engagement – de

même que son skewness, ce qui nous conduit à sélectionner la moyenne comme meilleure

valeur1 pour la PBO totale. Celle-ci correspond par ailleurs au sommet de la distribution ;

- la valeur de l’engagement en reprenant le scénario NC 1, sans les distributions mais avec la

table de mortalité TV 2000, est de 1 148 065, soit une variation de 0,16 % par rapport au

1 C’est-à-dire celle que nous sélectionnerions pour figurer dans les comptes de l’entreprise sous les

hypothèses actuarielles utilisées ici.

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résultat avec distributions. Cette variation provient de la non-linéarité de la formule de la PBO.

Même si cet écart est faible, cela justifie quand même rétrospectivement la nécessité de

procéder par méthode de Monte-Carlo, d’autant que cet écart peut fluctuer selon les

populations et le jeu d’hypothèses actuarielles.

La modélisation des âges de départ volontaire proposée précédemment permet donc de mieux

refléter la réalité – telle qu’elle est notamment définie par les démographes institutionnels – par

rapport à un âge de départ fixe sur les prochaines décennies ; le passif social s’en trouve sensiblement

modifié selon les scénarios adoptés. Cette modélisation demande bien entendu à être affinée pour

chaque entreprise ou secteur économique : type de distributions adapté, décalage et concavité par

rapport au modèle de Sidre cohérents, …

5.3 – TABLES DE MORTALITÉ

La mortalité, pendant ou après l’emploi, pour évaluer des retraites complémentaires par exemple,

est modélisée à l’aide de tables de mortalité. Comme nous l’avons dit dans le second chapitre, l’intérêt

de tenter d’affiner l’hypothèse actuarielle de mortalité, pour chaque entreprise ou secteur économique,

en tentant de construire des tables spécifiques ne semble pas justifié au regard de la difficulté de la

tâche et de l’amélioration globale des conditions de travail en France. L’utilisation des tables de

mortalité nationales les plus récentes, comme c’est le cas actuellement dans les cabinets de conseil, est

donc légitime, sauf évidemment pour des cas très particuliers (métiers très durs physiquement).

Il est cependant intéressant de s’attarder sur la sensibilité du passif social d’une entreprise au

choix de la table de mortalité sélectionnée pour son évaluation. Les tables de mortalité nationales

agréées sont en effet mises à jour régulièrement pour tenir compte des évolutions démographiques de

la population et de l’amélioration des méthodes de projection.

En reprenant les hypothèses actuarielles de base, et en faisant varier les tables de mortalité, on

obtient les résultats suivants :

Table(s) de mortalité sélectionnée(s) PBO TGH 05 / TGF 05 (scénario de base) 1 333 133

TV 2000 1 313 640 Variations par rapport au scénario de base -1,46%

TV 88-90 1 310 334 Variations par rapport au scénario de base -1,71%

TV 73-77 1 291 634 Variations par rapport au scénario de base -3,11%

Figure 68 : impact des variations de l’hypothèse de table de mortalité

L’engagement global de l’entreprise augmente au fur et à mesure des mises à jour des tables de

mortalité1. Cela se comprend aisément : la mortalité est en constante diminution en France depuis

1 Les nombres après les premières lettres des noms des tables indiquent les années des données sur lesquelles

se basent ces tables. La table TV 88-90 a ainsi été construite à partir de données observées en 1988 et 1990.

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plusieurs décennies. Du point de vue des indemnités de fin de carrière, cela veut dire qu’un salarié a de

plus en plus de chances d’atteindre son âge théorique d’âge de départ; sa probabilité de survie

augmente donc, faisant croître du même coup la PBO individuelle.

L’impact sur le passif social d’une entreprise du choix des tables de mortalité, bien que faible,

n’est donc pas à négliger. Grâce aux progrès de la médecine et à la prise de conscience croissante de la

population pour les problématiques de santé et de risques létaux, on peut s’attendre à ce que

l’espérance de vie des français continue de s’allonger et la mortalité à baisser. Tout cela donnera lieu,

sauf surprises, à la publication de nouvelles tables de mortalité, qui feront varier d’autant à la hausse

les montants comptabilisés en norme IAS 19.

Anticiper sur ces nouvelles tables pour essayer de calibrer mieux l’hypothèse actuarielle de

mortalité reste cependant par trop incertain.

5.4 – TURNOVER

Le calibrage de l’hypothèse actuarielle du taux de rotation des salariés, ou turnover, est une tâche

extrêmement ardue et hasardeuse. La probabilité que le salarié quitte son entreprise pour des motifs

différents du décès ou du départ à la retraite, entre la date de calcul des engagements et la date future à

laquelle il est sensé toucher son indemnité de fin de carrière dépend en effet de nombreux facteurs, à

savoir de :

- l’âge du salarié ;

- l’ancienneté du salarié ;

- la catégorie socioprofessionnelle du salarié ;

- la politique de rémunération future de l’entreprise ;

- l’évolution future du salarié ;

- l’évolution future de l’entreprise ;

- …

Pour prendre ne serait-ce que le dernier facteur cité, s’il est possible de prédire avec une certaine

fiabilité le devenir d’une entreprise à court terme, voire sur deux ou trois ans, la tâche se révèle

impossible sur le long terme. Or, les engagements sociaux que nous traitons sont étalés sur 40 ans.

Par ailleurs, comme nous allons le voir, la PBO globale d’une entreprise est très sensible au

turnover, ce qui rend crucial le calibrage de cette hypothèse.

Faute de données, et devant la quasi-impossibilité – impossibilité totale ? – de construire des

modèles prédicatifs fiables, les cabinets de conseil en actuariat se basent sur les informations

historiques relatives aux masses salariales des entreprises clientes ; là encore, ces informations ne sont

souvent que parcellaires, et de larges approximations doivent être concédées. Pour chaque entreprise,

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une table de turnover1 spécifique sera donc construite à partir de données historiques. Autrement dit,

des probabilités passées sont reprises pour remplacer des probabilités futures, ces dernières étant

soumises à une énorme volatilité.

Nous ne tenterons pas dans cette partie de construire un modèle prédictif du turnover ou même de

nous avancer à désigner un modèle meilleur que les autres. Nous nous contenterons juste d’étudier le

potentiel d’une piste de modélisation précise empruntée à l’ingénierie, à savoir la modélisation par une

loi de Weibull de la durée de vie d’un élément. L’élément sera donc ici la durée aléatoire de présence

d’un salarié son entreprise, décès exclus. Cette approche nous permettra d’apporter une modeste pierre

à l’édifice que constitue le calibrage du turnover.

5.4.1 – Sensibilité de la PBO au turnover

Actuellement, les tables de turnover sont construites en raisonnant par cohortes : le devenir de

chaque cohorte (homogène par l’âge ou par l’ancienneté, puis éventuellement par la catégorie

socioprofessionnelle ou / et le sexe) dans l’entreprise est analysé et probabilisé – hors décès et départ à

la retraite – à l’aide de l’historique disponible de la masse salariale de l’entreprise étudiée. Le manque

de données amène la plupart de temps à étendre les cohortes et à ne considérer au final que quelques

classes de population pour le turnover : on obtient ainsi une courbe par escalier en fonction de l’âge,

usuellement décroissante, mais pas strictement.

La décroissance reflète le fait que les jeunes salariés sont plus mobiles et enclins à changer

d’entreprise, mobilité qui décroît avec l’âge. A partir de 50 ans, le turnover est en général

considéré comme nul.

Pour avoir une idée de la sensibilité du passif social au turnover, nous avons ajouté à celui-ci des

spreads de 0,50 % et 1,00 %, à la hausse, puis à la baisse.

Figure 69 : spreads sur le turnover des hypothèses de base

1 Pour rappel, une table de turnover donne les probabilités annuelles qu’un salarié quitte son entreprise en

fonction de son âge ou plus rarement de son ancienneté. Une table de turnover peut différencier les catégories socioprofessionnelles de l’entreprise, les sexes, voire les deux.

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Sous ces hypothèses, on obtient les variations de PBO suivantes :

Turnover sélectionné PBO Scénario de base + 1,00 % 1 283 554

Variations par rapport au scénario de base -3,72% Scénario de base + 0,50 % 1 307 741

Variations par rapport au scénario de base -1,90% Scénario de base 1 333 133

Scénario de base - 0,50 % 1 359 807 Variations par rapport au scénario de base 2,00%

Scénario de base - 1,00 % 1 387 842 Variations par rapport au scénario de base 4,10%

Figure 70 : impact des variations de l’hypothèse de turnover

On observe bien évidemment que lorsque les probabilités que le salarié quitte l’entreprise

augmentent, le montant de l’engagement baisse, et inversement si les probabilités diminuent. D’autre

part, on voit ici à quel point le passif social est sensible au turnover, ce qui révèle toute l’importance

de cette hypothèse actuarielle. Cela montre aussi la fragilité de l’évaluation actuarielle d’un régime de

droits potentiels indexés sur la présence du salarié au terme.

Cette sensibilité illustre donc la précarité « actuarielle » des modèles de turnover, qu’ils soient

historiques ou futurs.

5.4.2 – Modélisation du turnover par une loi de Weibull

Détermination du turnover annuel

Les lois de Weibull sont couramment utilisées en ingénierie pour modéliser la durée de vie de

composants, de pièces mécaniques, ... L’objet de cette section est d’étudier la faisabilité de son

application à la modélisation du turnover d’une entreprise.

La fonction de répartition d’une loi de Weibull à deux paramètres1 suivie par une variable

aléatoire est définie par :

1 ; (5.1)

Notons l’âge d’entrée d’un salarié, son âge à un instant . Prenons comme référentiel

temporel la date d’entrée du salarié, et notons la durée aléatoire de présence du salarié dans

l’entreprise, à l’exclusion du décès, et l’âge du salarié à la date . Supposons que – ou T si on

raisonne en temporel – suive une loi de Weibull à deux paramètres.

1 Il existe aussi une loi de Weibull à trois paramètres, mais le troisième ne sert qu’à translater la distribution,

ce qui ne nous intéresse pas ici.

instant 0

âge

Figure 71 : axe temporel pour la modélisation du turnover par une loi de Weibull

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Notons enfin : , la fonction de survie hors décès du salarié dans

l’entreprise qui donne la probabilité qu’il soit encore dans l’entreprise à l’instant . On peut alors

écrire :

 /  0  /  

 

 11

     (5.2)

La densité de probabilité de s’écrit alors (en écrivant puis en dérivant la fonction de répartition

de ) :

(5.3)

A l’instar du taux instantané de mortalité, le taux instantané de turnover se déduit des deux

expressions précédentes :

(5.4)

Pour rester mathématiquement cohérant et pour tenir compte du fait que le taux de rotation

diminue avec l’âge, les paramètres doivent vérifier :

01 0 (5.5)

On a bien alors des conditions satisfaisantes :

0 1∞ 0

0,

0,

1

0,

0,

(5.6)

Dès lors, de la même manière que pour le taux de mortalité instantané1, on peut écrire que la

probabilité que le salarié quitte l’entreprise en au cours d’un temps infiniment petit vaut .

En raisonnant sur l’âge du salarié, cela est équivalent à dire que la probabilité que le salarié quitte

1 (MOEGLIN, 2007)

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l’entreprise à l’âge , au cours d’un « intervalle d’âge » infiniment petit vaut .

On a en effet .

En considérant maintenant des âges entiers , , et en supposant – hypothèse simplificatrice

– que le taux instantané de turnover du salarié est constant entre son âge et son âge 1, la

probabilité que le salarié quitte son entreprise cette année-là, pour une cause autre que le décès ou le

départ à la retraite, soit le taux annuel de turnover pour l’âge , vaut alors :

(5.7)

Les paramètres et doivent de plus être fixés de manière à ce que la contrainte

   1 soit vérifiée.

On retombe ainsi sur un turnover en escaliers, mais avec un pas unitaire entre chaque marche. Le

turnover entre l’âge actuel d’un salarié et son âge de départ volontaire se calcule alors comme indiqué

dans la section 2.6. En notant l’âge du salarié à la date de clôture des comptes, son

âge de départ volontaire et la fonction « partie entière », la probabilité que le salarié n’ait

pas quitté l’entreprise entre la date de clôture et la date de son départ à la retraite, hors cause décès et

départ à la retraite, vaut alors :

1 1 1 . . . 1 (5.8)

Adéquation de ce modèle avec les turnovers historiques

Nous avons tracé la fonction pour plusieurs jeux des paramètres ; pour savoir

quels types de turnover ce modèle permettait de représenter1. Nous avons superposé les courbes ainsi

obtenues avec le turnover « réel » choisi comme hypothèse de base pour ce mémoire – courbe en noire

– en tentant de nous en approcher.

Figure 72 : modélisation par loi de Weibull du turnover (β=30 ; γє[0,01;0, 09])

1 Nous avons fait apparaître par commodité les fonctions continues, et non par escaliers.

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Figure 73 : modélisation par loi de Weibull du turnover (β є[1100;1900]); γ=0,001)

Du fait du facteur devant la fonction puissance , la fonction n’est pas aussi

malléable qu’on aurait pu le souhaiter ; la présence de à la fois dans le facteur et dans la puissance

ne permet pas de simuler un turnover très fort aux âges « jeunes » et très faibles aux âges avancés.

D’autre part, seuls des turnovers décroissants sont modélisables, même si les turnovers à bosses

apparaissent très rarement dans les évaluations IAS 19.

Cela dit, le modèle permet d’approcher dans une certaine mesure les autres turnovers, à

décroissance modérée, ce qu’on peut voir par exemple pour le turnover de base, bien que des écarts de

l’ordre de 1 à 2 % restent observables, notamment aux âges avancés.

Il faut relativiser ces écarts en se rappelant que ce dernier turnover est historique, est soumis à

une forte incertitude car construit sur peu de données 1 , et a toutes les chances d’évoluer

considérablement au cours des prochaines décennies. Pour les âges avancés en particulier, les efforts

du gouvernement pour promouvoir l’emploi chez les seniors et le recul de l’âge de départ à la retraite

moyen vont mécaniquement faire croître la « liquidité » du marché de l’emploi des mêmes seniors. On

peut dès lors s’attendre à ce que les taux de rotation associés à ces âges augmentent un peu, rendant

crédible une modélisation par loi de Weibull, pour certains types d’entreprises en tout cas (ayant un

turnover à décroissance modérée donc, et à taux moyens ou faibles pour les âges jeunes).

Une modélisation du turnover par loi de Weibull est donc mathématiquement constructible et

semble adaptable à certaines classes de turnover observées dans la réalité, tout en nuançant ces

derniers en conférant aux âges avancés une mobilité accrue.

Tenter de quantifier l’incertitude sur une modélisation de ce type paraît tout aussi aventureux que

tenter de le faire sur l’incertitude d’un turnover historique, tant l’aléa sur cette hypothèse actuarielle

est important.

1 La trop grande longueur des « marches » de ce turnover, due à ce manque de données, se retrouve

quasiment dans tous les turnovers historiques. On s’attend bien entendu à des variations du taux de rotation d’un âge à l’autre sur d’aussi grands intervalles.

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5.5 – CONCLUSION

Ce chapitre nous a permis de décrire des pistes sérieuses d’amélioration pour le calibrage de

l’hypothèse d’âge de départ volontaire qui respectent bien mieux les réalités à venir que la prise en

compte d’un âge de départ fixe. D’une méthode à l’autre, la distribution et l’évolution du passif social

évoluent considérablement.

Pour l’hypothèse du turnover, nous avons montré qu’une modélisation par loi de Weibull était

mathématiquement constructible et qu’elle pouvait être adaptée pour certains types d’entreprises.

Quant à l’hypothèse de mortalité, s’en tenir aux tables les plus récentes reste de toute évidence,

sauf cas exceptionnel, la meilleure solution.

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CONCLUSION GÉNÉRALE

L’esprit des normes IFRS impose de provisionner de manière juste et prudente. Cela est d’autant

plus vrai pour la norme IAS 19 qui requiert intrinsèquement un calibrage poussé de ses hypothèses

actuarielles : celles-ci doivent en effet être en phase avec les réalités économiques et démographiques

rattachées aux engagements qu’elles encadrent, l’horizon temporel de ces derniers atteignant

usuellement les quarante ans.

Or, en nous basant sur le cas des indemnités de fin de carrière, nous avons démontré que

plusieurs des processus de détermination d’hypothèses actuarielles couramment utilisés dans les

cabinets de conseil ne respectaient pas ces réalités et introduisaient ce faisant des biais potentiellement

significatifs dans la valorisation et donc dans la comptabilisation des engagements sociaux selon la

norme IAS 19.

Si nous avons pu proposer de sérieux perfectionnements pour ces processus, affinant de facto le

calibrage des hypothèses actuarielles attenantes, l’optimisation plus poussée de certains d’entre eux

nécessiterait des données supplémentaires. Ainsi, le calcul effectif des probabilités de passage du

statut de non-cadre à celui de cadre demanderait à étudier des données nationales récentes, et à croiser

les résultats obtenus avec l’historique de la masse salariale de l’entreprise considérée. De même pour

la fonction de l’âge de départ volontaire au cours du temps.

Les indemnités de fin de carrière constituant une véritable « brique de base », les développements

et les conclusions de ce mémoire sont également applicables à presque tous les autres types

d’engagements sociaux.

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ANNEXES

ANNEXE 1 : LISTE DES NORMES IFRS / IAS

Norme Domaine d’analyse Norme Domaine d’analyse

IFRS 1 Première application des normes IFRS

IAS 20 Subventions

IFRS 2 Paiement en actions IAS 21 Taux de change, risque de change

IFRS 3 Regroupement d’entreprises IAS 23 Coûts d’emprunts

IFRS 4 Contrats d’assurance IAS 24 Information relative aux parties liées

IFRS 5 Abandon d’activités et actifs non courants destinés à être vendus

IAS 26 Comptabilité et reporting par engagements de retraite

IFRS 6 Prospection et évaluation des ressources minérales

IAS 27 Consolidation comptable

IFRS 7 Instruments financiers : informations à fournir

IAS 28 Investissements dans des sociétés associées

IFRS 8 Secteurs opérationnels IAS 29 Information financière dans les économies hyperinflationnistes

IAS 1 Présentation des états financiers IAS 31 Entreprise commune

IAS 2 Inventaires, stocks IAS 32 Instrument financier, actifs financiers - présentation

IAS 7 Tableau des flux de trésorerie IAS 33 Bénéfice par action

IAS 8 Méthodes comptables, changements d’estimations et corrections d’erreurs

IAS 34 Information financière intermédiaire

IAS 10 Evènements postérieurs à la date de clôture

IAS 36 Dépréciation d’actifs, amortissements

IAS 11 Contrats de construction IAS 37 Provision

IAS 12 Impôts sur le résultat IAS 38 Immobilisations incorporelles

IAS 16 Immobilisations corporelles IAS 39 Instruments financiers, actifs financiers – comptabilisation et évaluation

IAS 17 Contrats de location IAS 40 Immeubles de placement

IAS 18 Chiffre d’affaires IAS 41 Agriculture

IAS 19 Avantages au personnel

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ANNEXE 2 : ACTUALISATION SELON LA NORME IAS 19

Le choix de la méthode d’actualisation est encadré par les articles 78 à 81 du règlement (CE) n°

1725/2003 de la Commission, du 29 septembre 20031, règlement qui instaure l’application de la norme

IAS 19 au sein de l’Union Européenne à partir du 1er janvier 2005. Voici ces articles dans leur

intégralité :

Article 78 : le taux à appliquer pour actualiser les obligations au titre des avantages postérieurs

à l’emploi2 (que ceux-ci soient financés ou non) doit être déterminé par référence à un taux de marché

à la date de clôture fondé sur les obligations de première catégorie. Dans les pays où ce type de

marché n’est pas actif, il faut prendre le taux (à la clôture) des obligations d’Etat. La monnaie et la

durée des obligations d’entreprises ou des obligations d’Etat doivent être cohérentes avec la monnaie

et la durée estimée des obligations au titre des avantages postérieurs à l’emploi.

Article 79 : l’hypothèse actuarielle relative au taux d’actualisation a un effet important. Ce taux

d’actualisation traduit la valeur temps de l’argent mais il ne traduit ni le risque actuariel ni le risque

de placement. De plus, ce taux d’actualisation ne traduit par le risque de crédit spécifique à

l’entreprise auquel s’exposent ses créanciers ; il ne traduit pas non plus le risque d’écarts entre les

réalisations futures et les hypothèses actuarielles.

Article 80 : le taux d’actualisation reflète le calendrier estimé de versement des prestations.

Dans la pratique, une entreprise applique souvent un taux d’actualisation moyen et unique qui reflète

le calendrier estimé et le montant des versements, ainsi que la monnaie dans laquelle les avantages

doivent être versés.

Article 81 : dans certaines circonstances, il est possible que le marché des obligations dont

l’échéance est suffisamment longue pour correspondre à celle estimée de tous les versements de

prestations ne soit pas actif. Dans ce cas, l’entreprise utilise les taux actuels de marché dont le terme

est approprié pour actualiser les paiements à court terme et estime le taux d’actualisation pour les

échéances plus lointaines par extrapolation des taux actuels du marché à l’aide de la courbe des taux

de rendement. Il est peu vraisemblable que la valeur actuelle totale d’une obligation au titre des

prestations définies soit particulièrement sensible au taux d’actualisation appliqué à la fraction des

prestations payables au-delà de la date d’échéance finale des obligations d’entreprises ou d’Etat

disponibles.

1 (NORME IAS 19 UNION EUROPEENNE, 2003) 2 Les engagements postérieurs à l’emploi représentent de par leurs montants la plus grosse part des passifs

sociaux, d’où leur traitement prioritaire par la norme IAS 19. Dans la pratique, ces articles font bien entendu foi pour les autres types d’engagements nécessitant une actualisation.

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ANNEXE 3 : EXEMPLE DE CONSTRUCTION DES MATRICES A, TT ET AA

Le but de cette annexe est d’illustrer le processus matriciel sur lequel s’appuie le programme

Matlab pour déterminer les paramètres des modèles de Nelson et Siegel.

Considérons pour cela quatre OAT françaises fictives dont les caractéristiques nécessaires sont

décrites dans le tableau suivant :

Numéro i de l’OAT Maturité de l’OAT i Taux nominal de l’OAT i 1 25/04/2008 2,75 % 2 25/10/2008 3,00 % 3 25/10/2009 8,00 % 4 25/12/2009 5,25 %

Figure 74 : caractéristiques des OAT fictives

Si la date d’évaluation est le 30/06/2007, en reprenant les notations de la section 3.4.5, nous

pouvons écrire :

Numéro i de l’OAT 1 1 2,75 100 2 2 3,00 100 3 3 8,00 100 4 3 5,25 100

Figure 75 : notations relatives aux OAT fictives et à la date du 30/06/2007

Les obligations verseront des coupons aux dates ci-dessous. On obtient1 alors successivement :

       

25/04/2008 0 025/10/2007 25/10/2008 025/10/2007 25/10/2008 25/10/200925/12/2007 25/12/2008 25/12/2009

300 0 0117 483 0117 483 848178 544 909

102,75 0 03,00 103,00 08,00 8,00 108,005,25 5,25 105,25

117 178 300 483 544 848 909

0 0 102,75 0 0 0 0

3,00 0 0 103,00 0 0 08,00 0 0 8,00 0 108,00 00 5,25 0 0 5,25 0 105,25

Une fois calculés les coupons courus selon la base /365, on obtient en additionnant ces

derniers aux prix au pied du coupon les cours réels . Il ne reste alors plus qu’à optimiser .

1 Pour faciliter la compréhension, les intervalles de temps sont exprimés en jours. Dans le programme Matlab,

ils sont exprimés en années.

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ANNEXE 4 : CODE MATLAB POUR LES MODÈLES DE NELSON ET SIEGEL

L’objet de cette section est de présenter le programme Matlab mis au pout pour obtenir les

historiques de la structure de taux à l’aide des modèles de Nelson et Siegel et de Nelson et Siegel

augmenté. Les fonctions Matlab créées pour l’occasion puis les routines utilisées internes à Matlab

seront décrites successivement.

Fonctions Matlab créées

Fonction main

La fonction main constitue le cœur du programme. Pour obtenir l’historique des taux selon le

modèle de Nelson et Siegel, il faut supprimer les lignes marquées « ETAPE 3 BIS » dans le code ci-

dessous. Pour obtenir l’historique des taux selon le modèle de Nelson et Siegel augmenté, il faut par

contre supprimer les lignes marquées « ETAPE 3 ».

function main() % Méthode de Nelson-Siegel % tabTaux : taux nominaux des différentes obligations % tabMat : maturités des différentes obligations % tabDates : dates des cours % tabPrix : prix clean des différentes obligations, date par date % Import depuis Excel des données de Datastream [tabTaux,tabMat]=xlsread('data.xls','B3:AA4'); [tabPrix,tabDates]=xlsread('data.xls','A5:AA767'); % Matrice des coefficients de Nelson-Siegel pour toutes les dates NS =zeros(size(tabDates,1),4); % Matrice des prix (clean price + coupon-couru) réels des obligations PReels = zeros(size(tabDates,1),size(tabTaux,2)); % Matrice des prix (clean price + coupon-couru) estimés des obligations PEstimes = zeros(size(tabDates,1),size(tabTaux,2)); % Vecteur-tampon des prix (clean price + coupon-couru) estimés Ptamp = zeros(size(tabTaux,2),1); % Début de la boucle, "l" est le numéro de la date dans tabDates for l=1:size(tabDates,1) % ETAPE 1

% chargement des données OAT de la date correspondante % dateEval est la date des cours % OAT est la structure des cours OAT de cette date [OAT,dateEval]=dataOAT(tabTaux,tabMat,tabDates(l),tabPrix(l,:)); % ETAPE 2

% Construction des matrices et des vecteurs % TT : vecteur de toutes les maturités de paiements (en années) % AA : matrice triée de tous les paiements (en euros) % MAT : vecteur des maturités des obligations (en années) [P,T,A]=matrices_OAT(dateEval,OAT); [TT,AA,MAT]=matrices_OAT_suite(T,A);

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% Copie des prix réels à la date l for j=1:size(P,1) PReels(l,j)=P(j,1); end % ETAPE 3 % Ajustement par NELSON-SIEGEL % Options for FMINSEARCH options=optimset('TolFun',1e-9,'TolX',1e-9,'MaxIter',... 1e8,'MaxFunEvals',1e8); % x est le vecteur des 4 coefficients µ de Nelson-Siegel % Valeur initiale de x x_0=[0.04;-0.02;0.001;2]; x=fminsearch('NelsonSiegel',x_0,options,AA,P,TT); % Remplissage de la matrice de Nelson-Siegel NS(l,1)=x(1); NS(l,2)=x(2); NS(l,3)=x(3); NS(l,4)=x(4); % Vecteur-tampon de la fonction d'actualisation estimée D D = zeros(size(TT,2),1); % Calcul du vecteur-tampon de la fonction d'actualisation estimée D for j=1:size(TT,2) D(j,1)=exp(-x(1)*TT(j)-x(4)*(x(2)+x(3))*(1-exp(-TT(j)/x(4)))... +x(3)*TT(j)*exp(-TT(j)/x(4))); end % FIN DE L’ETAPE 3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % ETAPE 3 BIS % Ajustement par NELSON-SIEGEL AUGMENTE % Options for FMINSEARCH options=optimset('TolFun',1e-9,'TolX',1e-9,'MaxIter',... 1e8,'MaxFunEvals',1e8); % x est le vecteur des 6 coefficients µ de Nelson-Siegel augmenté % Valeur initiale de x x_0=[0.04;-0.02;0.001;2;-0.02;0.001]; x=fminsearch('NelsonSiegel',x_0,options,AA,P,TT); % Remplissage de la matrice de Nelson-Siegel augmentée NS(l,1)=x(1); NS(l,2)=x(2); NS(l,3)=x(3); NS(l,4)=x(4); NS(l,5)=x(5); NS(l,6)=x(6); % Vecteur-tampon de la fonction d'actualisation estimée D D = zeros(size(TT,2),1); % Calcul du vecteur-tampon de la fonction d'actualisation estimée D for j=1:size(TT,2) D(j,1)=exp(-x(1)*TT(j)-x(4)*(x(2)+x(3))*(1-exp(-TT(j)/x(4)))... +x(3)*TT(j)*exp(-TT(j)/x(4))-x(5)*x(6)* ...

(1-exp(-TT(j)/x(6)))+x(5)*TT(j)*exp(-TT(j)/x(6))); end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %ETAPE 4 % Enregistrement des prix estimés % Calcul du vecteur-tampon Ptamp des prix estimés Ptamp = AA*D; % Copie des prix estimés à la date l for j=1:size(Ptamp,1)

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PEstimes(l,j)=Ptamp(j,1); end end % Fin de la boucle % Export vers Excel des matrices de résultats xlswrite('Nelson-Siegel',NS,'Nelson-Siegel','B2'); xlswrite('Nelson-Siegel',PReels,'Prix réels','B2'); xlswrite('Nelson-Siegel',PEstimes,'Prix estimés','B2');

Fonction dataOAT

Cette fonction renvoie un objet Matlab de type structure contenant toutes les informations utiles

sur les données – relatives à la date l de la boucle principale de la fonction main – nécessaires à

l’application des modèles de Nelson et Siegel.

function [OAT,dateEvalBis]=dataOAT(tabTaux,tabMat,dateEval,prixEval) % tabTaux : les taux des différentes obligations % tabMat : les maturités des différentes obligations % dateEval : la date des cours % prixEval : les cours des obligations à la date d'évaluation (changent % d'une date à l'autre) % OAT -> OAT struct --> [valeur nominale, clean price, maturité, % taux] % La fonction renvoie une structure OAT contenant toutes les % informations utiles à la date d'évaluation dateEvalBis=datenum(dateEval,'dd/mm/yyyy'); OAT=[struct('val_n',100,'val',prixEval(1),... 'mat',datenum(tabMat(1),'dd/mm/yyyy'),'taux',tabTaux(1))... struct('val_n',100,'val',prixEval(2),... 'mat',datenum(tabMat(2),'dd/mm/yyyy'),'taux',tabTaux(2))... % Nous n’avons pas copié les lignes de code relatives aux obligations % numérotées 3 à 25 (inutile, même principe) struct('val_n',100,'val',prixEval(26),... 'mat',datenum(tabMat(26),'dd/mm/yyyy'),'taux',tabTaux(26)) ];

Fonction matrices_OAT

La fonction matrices_OAT prend en paramètre la date l de la boucle principale de la fonction

main et les données nécessaires à cette date, et renvoie les matrices P, T et A.

function [P,T,A]=matrices_OAT(Date,OAT) % P : matrice des prix (clean price + coupon-couru) réels des % obligations % T : matrice de toutes les maturités de paiements (en années) % T[i,j]: maturité du jème paiement de la ième obligation % A : matrice de tous les paiements (en euros)

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% A[i,j]= jème paiement de la ième obligation % % Initialisation des matrices n=length(OAT); % Nombre d'OAT P=zeros(n,1); A=[]; T=[]; for i=1:n % Calcul de la date du précédent coupon de l'obligation et des % dates des prochains coupons [Pcoupon,couponsS]=coupons(OAT(i),Date); % Calcul du coupon couru AI=OAT(i).val_n*(OAT(i).taux/100)*... (daysdif(Pcoupon,Date,3)/daysdif(Pcoupon,couponsS(1),3)); % DAYSDIF : nombre de jours entre deux dates selon la convention % exact/365 % Prix réel = clean price + coupon couru P(i)=OAT(i).val+AI; % Détermination de A et de T m=length(couponsS); % Nombre de coupons restants for j=1:m T(i,j)=daysdif(Date,couponsS(j),3)/365; A(i,j)=(OAT(i).taux/100)*OAT(i).val_n; end A(i,m)=A(i,m)+OAT(i).val_n; % Paiement du nominal à la maturité end

Fonction coupons

La fonction coupons prend en paramètre la date l de la boucle principale de la fonction main et

les données nécessaires à cette date et renvoie à la fois la date du précédent coupon relatif à

l’obligation passée en paramètre et les dates de ses prochains coupons.

function [Pcoupon,couponsS]=coupons(OAT,Date); % Calcule la date du précédent coupon de l'obligation et les dates des % coupons suivants maturite=OAT.mat; % Nombre de mois entre deux coupons ; intervalcoup=12; % Conversion de la chaîne "maturite" en date coupon=datenum(maturite); % Extraction du jour de la date de maturité cday=day(maturite); % Extraction du mois de la date de maturité cmonth=month(maturite); % Extraction de l'année de la date de maturité cyear=year(maturite); % Nombre de coupons restants compteur=0; while( daysdif(Date,coupon,3)>0 ) % DAYSDIF : nombre de jours entre deux dates selon la convention % exact/365 compteur=compteur+1; coup(compteur)=coupon; temp=cmonth-intervalcoup;

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if temp<=0 cyear=cyear-1; cmonth=12+temp; else cmonth=temp; end coupon=datenum(cyear,cmonth,cday); end Pcoupon=coupon; while( isbusday(Pcoupon)==0 ) % Si les marchés ne sont pas ouverts Pcoupon=Pcoupon+1; end for i=1:compteur temp=coup(i); while( isbusday(temp)==0 ) % Si les marchés ne sont pas ouverts temp=temp+1; end couponsS(compteur-i+1)=temp; end

Fonction matrices_OAT_suite

La fonction matrices_OAT_suite prend en paramètre la date l de la boucle principale de la

fonction main et les données nécessaires à cette date, et renvoie les matrices TT, AA et MAT.

function [TT,AA,MAT]=matrices_OAT_suite(T,A) % TT : vecteur de toutes les maturités de paiements (en années) % AA : matrice triée de tous les paiements (en euros) % MAT : vecteur des maturités des obligations (en années) % Détermination de TT compteur=1; for i=1:size(T,2) for j=1:size(T,1) a=T(end+1-j,i); if a==0 % Tous les éléments de la colonne restants sont nuls break % Fin de la boucle j else flag=0; % La date a n'est pas présente dans TT for k=1:compteur-1 if TT(k)==a flag=1; % a est déjà présente dans T break % Fin de la boucle k end end if flag==0 % La date a n'est pas présente dans TT TT(compteur)=a; % Ajout de a à TT compteur=compteur+1; end end end end TT=sort(TT); % Tri par ordre croissant

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% Détermination de AA for k=1:length(TT) for i=1:size(A,1) for j=1:size(A,2) if T(i,j)==TT(k) % Si les dates de paiement sont égales AA(i,k)=A(i,j); break; elseif T(i,j)>TT(k) break; end end end end % Détermination de MAT for i=1:size(T,1) for j=1:size(T,2) if T(i,j)==0 MAT(i)=T(i,j-1); break; elseif j==size(T,2) MAT(i)=T(i,j); break; end end end MAT=sort(MAT);

Fonction NelsonSiegel

La fonction NelsonSiegel prend en paramètre la date l de la boucle principale de la fonction main

et les données nécessaires à cette date, c’est-à-dire x, le vecteur des paramètres du modèle, AA, P et TT.

La fonction renvoie la valeur f, à minimiser.

Pour obtenir l’historique des taux selon le modèle de Nelson et Siegel, il faut supprimer les lignes

marquées « NELSON ET SIEGEL AUGMENTE » dans le code ci-dessous. Pour obtenir l’historique

des taux selon le modèle de Nelson et Siegel augmenté, il faut par contre supprimer les lignes

marquées « NELSON ET SIEGEL ».

function [f]=NelsonSiegel(x,AA,P,TT) % f est la quantité à minimiser % if x(1)<=0 % x(1) doit être positif f=10^15; elseif x(1)+x(2)<=0 % x(1)+x(2) doit être positif f=10^15; elseif x(4)<=0 % x(4) doit être positif f=10^15; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % NELSON ET SIEGEL else % Si x(1), x(1)+x(2), x(4) sont positifs for i=1:length(TT) d(i,1)=exp(-x(1)*TT(i)-x(4)*(x(2)+x(3))*(1-exp(-TT(i)/x(4)))+... x(3)*TT(i)*exp(-TT(i)/x(4))); end

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % NELSON ET SIEGEL AUGMENTE elseif x(6)<=0 % x(6) doit être positif f=10^15; else % Si x(1), x(1)+x(2), x(4), x(6) sont positifs for i=1:length(TT) d(i,1)=exp(-x(1)*TT(i)-x(4)*(x(2)+x(3))*(1-exp(-TT(i)/x(4)))+... x(3)*TT(i)*exp(-TT(i)/x(4))-x(5)*x(6)*(1-exp(-TT(i)/x(6)))+... x(5)*TT(i)*exp(-TT(i)/x(6))); end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% temp=P-AA*d; f=0; for i=1:length(temp) f=f+temp(i)^2; end end

Routines Matlab utilisées1

La routine daysdif

La routine daysdiff renvoie le nombre de jours entre le paramètre D1 et le paramètre D2, en

fonction du paramètre de comptage optionnel basis. Les paramètres D1 et D2 peuvent être rentrées

sous la forme d’un nombre de jours ou d’une date sous la forme d’une chaîne de caractères.

D=daysdif(D1,D2) D=daysdif(D1,D2,basis)

Basis peut prendre les valeurs suivantes :

0 = actuel / actuel (par défaut) ;

1 = 30 / 360 ;

2 = actuel / 360 ;

3 = actuel / 365.

La routine datenum

La routine datenum convertit la chaîne de caractères ou l’objet Date passé en paramètre S en

nombre de jours, où 1 correspond au 1er janvier de l’an 0. Le format de la chaîne passée en paramètre

peut être précisé en paramètre optionnel.

D=datenum(S) D=datenum(S,'dd/mm/yyyy'); D=datenum(year,month,day)

1 Les informations suivantes sont extraites de l’aide du logiciel Matlab.

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...

La routine isbusday

La routine isbusday renvoie -1 si l’objet Date passé en paramètre est un jour d’ouverture de

marché, 0 sinon. Le calendrier utilisé est le calendrier américain, jours fériés compris. Nous

négligeons les différences entre les jours fériés français et les jours fériés américains.

boolean=isbusday(Date)

La routine optimset

La routine optimset crée une structure options pour les options de fonctions d’optimisation. Les

paramètres sont passés de la façon suivante :

options=optimset('PARAM1',VALUE1, 'PARAM2',VALUE2,...)

Chaque paramètre, nommé, est suivi de la valeur à lui appliquer. Les paramètres non spécifiés

sont laissés à leurs valeurs par défaut.

Les paramètres utilisés dans notre programme sont les suivants :

MaxIter : nombre maximum d’itérations autorisées par la fonction d’optimisation ;

MaxFunEvals : usuellement égal à MaxIter (spécificité technique de Matlab, se reporter à

l’aide de ce dernier logiciel pour plus de détails) ;

TolFun : tolérance terminale sur l’approximation de la valeur de la fonction à estimer ;

TolX : tolérance terminale sur l’approximation de X.

La routine fminsearch

La routine fminsearch prend en paramètres une fonction FUN et un point de départ X0 et tente de

renvoyer en sortie un minimum local X. La fonction FUN accepte en paramètre X et retourne une

valeur F, image de X par FUN. X et X0 peuvent être des scalaires, des vecteurs, ou des matrices.

X=fminsearch(FUN,X0) X=fminsearch(FUN,X0,OPTIONS)

Le paramètre additionnel OPTIONS peut être ajouté. Du type de structure options, il permet de

guider le travail de la routine d’optimisation fminsearch. Les options utilisées dans notre programme

sont décrites dans la section précédente.

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ANNEXE 5 : TEST DE JARQUE ET BERA

On considère un échantillon ; 1; issu d’une série. On définit alors le skewness et le

kurtosis empiriques par :

1∑

1∑

     

1 ∑

1∑     

1

Le skewness est une mesure de l’asymétrie de la distribution de la série autour de sa moyenne. Le

kurtosis est une mesure de son aplatissement.

Le test de normalité de JARQUE et BERA repose sur le fait que pour une loi normale le

skewness et le kurtosis prennent respectivement les valeurs 0 et 3. Soit la statistique de JARQUE et

BERA :

63

4

Sous l’hypothèse H0 « S=0 et K=3 », la statistique de test suit asymptotiquement une loi du

Khi-deux à deux degrés de liberté.

Statistique JARQUE et BERRA 6,3834 Probabilité de JARQUE et BERRA 0,041102

Dans cet exemple, la statistique vaut 6,3834 pour une série donnée. Si l’on prend un seuil de

5,00 % l’hypothèse de normalité est rejetée. Par contre, elle est acceptée pour un seuil de 1,00 %.

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TABLE DES FIGURES

Figure 1 : processus de valorisation par PBO d’un capital C ................................................................................ 33 

Figure 2 : projected unit credit method ................................................................................................................. 34 

Figure 3 : projected unit credit method with service prorate ................................................................................. 35 

Figure 4 : projected unit credit method with acquisition prorate .......................................................................... 35 

Figure 5 : exemple d’évolution de la PBO et des prestations probables d’une entreprise (IFC, en euros) ........... 36 

Figure 6 : visualisation temporelle de l’évolution de la PBO ............................................................................... 38 

Figure 7 : PBO estimée et PBO réelle au 31/12 – deux cas de figures ................................................................. 39 

Figure 8 : écart actuariel sur le passif social ......................................................................................................... 40 

Figure 9 : écart actuariel sur l’actif de couverture ................................................................................................. 40 

Figure 10 : provision pour engagements sociaux .................................................................................................. 42 

Figure 11 : charge / produit prévisionnel pour engagements sociaux ................................................................... 42 

Figure 12 : indemnités légales de départ volontaire à la retraite ........................................................................... 44 

Figure 13 : indemnités de départ volontaire de la convention « industrie des panneaux à bois » ......................... 45 

Figure 14 : représentation temporelle des notations .............................................................................................. 46 

Figure 15 : échantillon des données utilisées ........................................................................................................ 49 

Figure 16 : pyramide des âges de la population (en fréquence) ............................................................................ 49 

Figure 17 : histogramme des salaires annuels (en fréquence et en euros) ............................................................. 50 

Figure 18 : table de turnover retenue .................................................................................................................... 50 

Figure 19 : cycle simplifié de l’évaluation des engagements sociaux ................................................................... 55 

Figure 20 : méthode du taux moyen avec structure historique et avec structure prévisionnelle ........................... 56 

Figure 21 : méthode d’actualisation par structure de taux non plate ..................................................................... 57 

Figure 22 : fonction d’actualisation appliquée à un euro de passif social ............................................................. 58 

Figure 23 : variations de la fonction d’actualisation pour un euro de passif et un taux de base de 3,50 % .......... 59 

Figure 24 : évaluation du passif social postérieure à la date de clôture de l’exercice ........................................... 60 

Figure 25 : évaluation du passif social antérieure à la date de clôture de l’exercice ............................................. 60 

Figure 26 : liste des OAT françaises à taux fixe utilisées ..................................................................................... 62 

Figure 27 : formes appréhendables par Nelson et Siegel – effets de pente ........................................................... 65 

Figure 28 : formes appréhendables par Nelson et Siegel – effets de courbure ...................................................... 65 

Figure 29 : formes appréhendables par Nelson et Siegel augmenté – effets de creux et de bosse ........................ 66 

Figure 30 : le fichier d’importation data.xls .......................................................................................................... 68 

Figure 31 : liste des structures de taux de l’Institut des Actuaires mises à profit .................................................. 70 

Figure 32 : structure de taux ZC du 31/3/2006 - ajustements des modèles ........................................................... 71 

Figure 33 : structure de taux ZC du 31/3/2008 - ajustements des modèles ........................................................... 71 

Figure 34 : résidus en fonction de la maturité pour le modèle de Nelson et Siegel .............................................. 72 

Figure 35 : résidus en fonction de la maturité pour le modèle de Nelson et Siegel augmenté .............................. 72 

Figure 36 : statistiques sur les résidus absolus pour les deux modèles ................................................................. 73 

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Figure 37 : structure de taux OAT reconstituée – 01/01/2008 au 30/01/2009 ...................................................... 75 

Figure 38 : taux actuariels réels et taux moyens ................................................................................................... 77 

Figure 39 : spreads des taux moyens relativement aux taux actuariels correspondants ........................................ 77 

Figure 40 : PBO cumulée non actualisée en fonction de la maturité .................................................................... 78 

Figure 41 : évolution du différentiel (taux long – taux court) et des spreads des taux moyens ............................ 79 

Figure 42 : corrélations entre le différentiel (taux long – taux court) et les spreads des taux moyens .................. 79 

Figure 43 : sensibilité de la PBO totale au taux actuariel ...................................................................................... 80 

Figure 44 : variations de la PBO totale en fonction du taux de revalorisation salarial annuel .............................. 83 

Figure 45 : indice mensuel des prix à la consommation en France de janvier 1996 à octobre 2008 ..................... 87 

Figure 46 : inflation mensuelle de février 1996 à octobre 2008 ............................................................................ 87 

Figure 47 : résultats des paramètres pour la modélisation de l’inflation (février 1996 – octobre 2007) ............... 88 

Figure 48 : résultats statistiques sur les résidus (février 1996 – octobre 2007) ..................................................... 89 

Figure 49 : simulation de trajectoires du taux d’inflation à partir des paramètres estimés ................................... 89 

Figure 50 : résultats des paramètres pour la modélisation de l’inflation (février 1997 – octobre 2008) ............... 90 

Figure 51 : résultats statistiques sur les résidus (février 1997 – octobre 2008) ..................................................... 90 

Figure 52 : variation de la PBO individuelle en fonction de l’âge de promotion .................................................. 91 

Figure 53 : origines socioprofessionnelles des cadres (1978 – 1989 ; 1989 – 2001) ............................................ 93 

Figure 54 : variations de la probabilité d’être promu cadre en fonction de diverses caractéristiques ................... 94 

Figure 55 : schématisation du passage non-cadre – cadre et des revalorisations associées .................................. 95 

Figure 56 : projections du ratio actifs / inactifs de la population française (ROBERT-BOBÉE, 2006) ............... 97 

Figure 57 : âges de départ légaux et effectifs dans le monde (OCDE, 2009) ........................................................ 98 

Figure 58 : distributions cumulées des âges de départ à la retraite (2003, 2025 ; hommes, femmes) ................. 100 

Figure 59 : prévisions 2008 de l’âge moyen de départ – modèle Sidre ............................................................... 101 

Figure 60 : calibrage de l’hypothèse d’âge de départ volontaire pour une CSP donnée ..................................... 103 

Figure 61 : différents scénarios envisagés pour l’hypothèse d’âge de départ volontaire .................................... 104 

Figure 62 : impact des variations de l’hypothèse d’âge de départ ....................................................................... 104 

Figure 63 : répartition de la population par âges de départ à la retraite pour un tirage donné ............................ 105 

Figure 64 : PBO individuelle en fonction de l’âge de départ .............................................................................. 106 

Figure 65 : distribution de la PBO individuelle issue de Monte-Carlo – âge de départ : N(62,25;1) .................. 106 

Figure 66 : distribution de la PBO totale issue de Monte-Carlo – âge de départ : N(xi;1) .................................. 107 

Figure 67 : résultats statistiques sur la distribution de la PBO totale .................................................................. 107 

Figure 68 : impact des variations de l’hypothèse de table de mortalité .............................................................. 108 

Figure 69 : spreads sur le turnover des hypothèses de base ................................................................................ 110 

Figure 70 : impact des variations de l’hypothèse de turnover ............................................................................. 111 

Figure 71 : axe temporel pour la modélisation du turnover par une loi de Weibull ............................................ 111 

Figure 72 : modélisation par loi de Weibull du turnover (β=30 ; γє[0,01;0, 09]) ............................................... 113 

Figure 73 : modélisation par loi de Weibull du turnover (β є[1100;1900]); γ=0,001) ........................................ 114 

Figure 74 : caractéristiques des OAT fictives ..................................................................................................... 119 

Figure 75 : notations relatives aux OAT fictives et à la date du 30/06/2007 ...................................................... 119 

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