C. R. Acad. Sci. Paris, t. 329, S6rie I, p. 899-902, 1999 StatistiquelSfatistics (ProbabilitCslf’robability Theory)

Normalit asymptotique de l’estimateur empirique de l’ophrateur d’autocorrhlation d’un processus ARH( 1)

And& MAS

CREST, laboratoire de statistique, 3, avenue Pierre-Larousse, 92245 Malakoff cedex, France Courriel : mas@ensae.fr CREST-INSEE et Universitt Paris VI

(ReGu le 5 mai 1999, accept6 apri% &vision le 1”’ octobre 1999)

R&urn& Le modble ARH(1) est dCfini par X, = p(X,-,) + Ed, oti p est un opkrateur 1inCaire SW un espace de Hilbert ; X+ et Q sont des variables aikatoires hilbertiennes ((E~)~~~ est un bruit blanc). Nous montrons la normalit asymptotique d’un estimateur de p. Cet estimateur fait intervenir les opkrateurs de covariance empirique du processus ainsi que la projection des donnkes sur un espace vectoriel dont la dimension croit avec le nombre d’observations. 0 1999 AcadCmie des sciences&ditions scientifiques et mkdicales Elsevier SAS

Asymptotic normality for the empirical estimator of the autocorrelation operator of an ARH(l) process

Abstract. We consider the ARH(I) model deJned by X, = p(X,-,) + Ed, where p is a linear operator on a Hilbert space; X, and Q are Hilbert space valued random variables ((.Q)~~N is a white noise). We derive a central limit theorem for an estimator of the autocorrelation operator p based on the empirical covariance operators of the process and on the projection of the data on a subspace whose dimension increases with the number of observations. 0 1999 AcadCmie des sciences&ditions scientifiques et mkdicales Elsevier SAS

1. Le modkle et l’estimateur

1.1. Notations

Soit H un espace de Hilbert rtel skparable. Dans toute la suite 11 . 11~ dksignera la norme hilbertienne issue du produit scalaire (. , .) et (1 . 11 la norme usuelle des opkrateurs linkaires born&

Si u et v sont deux ClCments de H, on notera u ~$3 ‘u l’optrateur (u, .)u et L,(H) dtsignera l’algkbre des opkrateurs compacts sur H muni de II . II. Enfin, S dksignera l’espace des opkrateurs de Hilbert-Schmidt muni du produit scalaire de Hilbert-Schmidt not6 ( . , . )s. On rappelle que L,(H) est fern-k pour la norme et que son dual topologique est constituk des opkrateurs 21 trace.

On dksigne par 5 la convergence pour la norme de Hilbert-Schmidt, et par 3 la convergence pour la norme 11 . 11 d ans l’espace des opkrateurs compacts.

Note pr&entCe par Paul DEHEUVELS.

0764~4442/99/03290899 Q 1999 Acadkmie des sciences&ditions scientiliques et mkdicales Elsevier SAS. 899 Tow droits rkservks.

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Enfin, nous rencontrerons par la suite l’inverse d’un operateur compact. Un tel operateur est non borne, c’est-a-dire n’est continu en aucun point, et il n’est defini clue sur son domaine, sous-espace vectoriel dense de H (c-$ [4], t. II).

1.2. Le modtile

Toutes les variables aleatoires sont dtfinies sur le m&me espace de probabilite (Q, ,A, P). Soit (.st)tcz un bruit blanc fort hilbertien c’est-a-dire une suite de variables aleatoires i.i.d. a valeurs

dans H telle que E&a = 0 et 0 < E]]ea]]$ < oc. On pose

xt = p(Xt-1) + Et, t E N, (1) oti p est un optrateur lineaire continu de H vers H avec ]]p]] < 1 et Xa est une variable aleatoire a valeurs dans H independante de ~1. La loi de Xa peut etre choisie de facon que (Xt)tE~ soit une suite strictement stationnaire. L’equation (1) est celle definissant le modele ARH(l) (c$ [l] pour les proprittes de ce genre de processus). Celui-ci est en fait une gtneralisation a la dimension infinie du modele AR(l) multivariC standard et peut-&tre a son tour generalis en processus lineaire hibertien (I$ [7]).

Cette modelisation trouve son utilite en termes d’analyse statistique et de prevision des processus en temps continu. Les X,, variables aleatoires definies sur un espace de probabilite (0, d, P) et a valeurs dans H = L’([a, b]), sont alors des portions de trajectoire. Le modele semble done tout a fait approprie a l’etude statistique ainsi qu’a la prediction de donnees de type fonctionnel. On peut verifier par exemple qu’un processus d’omstein-Uhlenbeck verifie une equation de type (1) en se placant sur un espace de type L2 bien choisi. En 1991, dans [l], Bosq a propose un estimateur de l’operateur d’autocorrelation p. Celui-ci est base sur la projection des observations sur une suite d’espace vectoriels de dimension croissante. Dans cette Note, nous determinons des conditions sous lesquelles cet estimateur verifie un Theoreme central limite (TCL).

1.3. La construction de I’estimateur de p

Par analogie avec le cas de la dimension finie, on fait appel aux operateurs de covariance et de covariance croiste du processus. Soit x E H,

C(x) = qwJ,~)&l = wo 8 X01(z), D(x) = E[(Xo, x)X,] = qxo 63 Xl](X) ; (2)

C est un operateur borne symttrique positif a trace si E ]I Xa ) I 2 < co. Ses valeurs propres seront notees dans la suite Xi, X2, . . . rangees par ordre d&croissant et associees aux vecteurs propres (e,)iza. On supposera que C est injectif. Les deux operateurs C et f) sont respectivement estimes par

k=l k=l

De nombreux resultats de convergence ont Cte montres par Bosq dans [3] concernant les optrateurs C, et D, (convergence presque sure, en moyenne quadratique, etc.)

De (2) on tire D = pC et D* = Cp*, oti T* designe l’adjoint de l’operateur T. Mais la premiere Cgalite ne nous pet-met pas pour autant d’ecrire p = DC-l. En effet, C-l n’est pas un operateur borne. En revanche, la seconde permet de definir p* = C-l D* saris ambigu’itt. Les principes d’extension d’operateurs sur des Hilbert donnent en fait p = ext (DC-‘) = ((2-l D*) * = (DC-‘) **, oii ext designe l’extension B H d’un operateur borne defini sur un sous-espace dense dans H. On va done

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TCL pour I’opCrateur empirique assock! a un ARH(1)

privilkgier l’estimation de p*. L’estimateur se construit de la faGon suivante : soit III”- le projecteur sur le sous-espace vectoriel de dimension k, engendrk par les k, premiers vecteurs propres de C. On dkfinit

p; = (Ilk-cnrIk-) -lD;rIk- ;

(rIk~cJI”~)-’ n’est qu’une notation pour dksigner un opkrateur lintaire caract&&! de la faGon suivante : la matrice II”-CJI”- est inverske et compltt6e sur l’orthogonal du sous-espace vectoriel engendrk par le systkme { el, . . . , ek,, } par 1’opCrateur nul. Comme on souhaite Ctablir des rksultats asymptotiques, il nous faut toutefois supposer que 1’CvCnement

0, = {w E 0 : III”-C,(w)III”- est inversible }

est rkalid une infinitk de fois, soit

P (

limsup,,+, 0, = 1. >

2. NormalitC asymptotique

2.1. Mesurabilite de C-l

PROPOSITION 1. - L’upplication IY d@nie sur 2)(r) = {T E S : C-lT E S} par I’(T) = C-IT, est mesurable. L’espace de dkpart est muni de la tribu trace de S, l’ensemble d’arrivke est S.

PROPOSITION 2. - L’ope’rateur C-l est une application mesurable de D(C-‘) vers H.

Par conlquent, si l’on dispose d’une variable alCatoire X vkifiant P(X E D(r)) = 1, alors I‘(X) est bien une variable alkatoire, presque sarement finie.

2.2. L’kquation << fondamentale B

Nous allons maintenant donner une expression simplifike de p: - p*IIkn. PROPOSITION 3. - On a

[I - c-aI”-(C - Cn)] (p:, - p*rly = c-lrII”-un, (3)

1 n oti u, = - c xk @ Ek+l. n k=l

Les variables alkatoires sont toutes des ophateurs. Notons y C-‘II”-U, est un tableau de

differences de martingales : CVIIIk-U, = 2 Z,,,, avec Z,,, = ;(Xp, . )CIIIk-~,+l. On reviendra

plus loin sur l’utilitk de (3), mais elle :FAet de faire apparaitre des sommes de diffkrences de martingales hilbertiennes pour lesquelles on dispose de critkes de convergence faible.

Cette Cquation est composke de trois termes. Notre objectif &ant d’obtenir un thCor&me central limite sur pz - p*II”“, nous allons chercher des conditions sous lesquelles fiC-lII’*U, est asymptotiquement gaussienne et C-lII”m (C - Cn) tend en probabilitk vers 0.

Remarquons ici qu’il est impossible d’utiliser les techniques de prCservation de la convergence faible pour des applications mesurables. En effet, C-l n’est continu en aucun point. De plus, il est aussi inutile de tenter de modifier la vitesse de convergence. En effet, la seule faGon de contr6ler la norme croissante de C-lIII”” est d’ktudier ~IIC-l~kn(I-lC-lnk-U, = fiX,lC-lIIk-U,. On peut verifier que cette suite de variables alkatoires est bien Cquitendue. Toutefois, l?Ctude de ses limites fini-dimensionnelles montre qu’en fait elle converge en loi vers 0.

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A. Mas

On designera par T la convergence en probabilite et par ---+ la convergence en loi. w

PROPOSITION 4. - Si Xkn &i -+ CO, C-‘IIk~~ (C - Cn,) + 0.

11 faut noter que la condition ne Porte en aucun cas sur la forme des valeurs propres mais bien sur la vitesse de croissance de la suite k,.

PROPOSITION 5. - Supposons que E 11 C II :-leo/j; < 00 et notons rP la variable aleatoire gaussienne centree dont l’operateur de covariance c ve’rifie pour Tke = ek @ et (02 ek est une base de vecteurs propres de C)

f 0. i f i.

On a alors fi C-lII”- U, 5 lYP. w

Ce demier resultat se prouve en appliquant des criteres de convergence faible pour les differences de martingales hilbertiennes (cc [5]).

Remarque 1. - La condition suppose en particulier (mais cela ne suffit pas) que le support de la loi des + est contenu dans le domaine de C-l.

COROLLAIRE 1. - si &fi i 00 et si EIIC-‘e,-i(L < w, ,,&(p; - p*nkn) -% lYP. \v

PROPOSITION 6. - La convergence faibte pour la topologie de ta norme de Hi~bert-Schmidt implique la convergence faible au sens de la norme des ope’rateurs puisque l’injection de S duns L,(H) est continue. Done SOLLS les hypotheses du corollaire 1, fi(pE - p*IIkn) 3 IP.

2.3. Un exemple

La condition E[\C-lcOIIL est satisfaite en particulier si l’on considere une variable altatoire EO

decomposable de la faGon suivante : &o = ‘f Ed,* eP, oti les ~~~~ sont des variables aleatoires p=l

reelles centrees, non necessairement independantes et equidistribuees, de variance cri respectivement 4-m c2

et verifiant C 4 < co. Quant a la condition sur la suite k,, il est possible de I’exprimer en se p=d1-

donnant les valeurs propres de C. Ainsi, si les valeurs propres sont de la forme : X, = 1, c~ > 0, P”

on peut choisir k, = o (nk ) . Si X, = P, deux cas se presentent : si log(X) > -i, on peut choisir k, = log(n), et si log(X) 5 -$ on prend k, = o(log(n)).

RCfkences bibliographiques

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[2] Bosq D., Autoregressive Hilbertian processes, Preprint, Universite Paris VI, 1998. [3] Bosq D., Covariance operators estimation for an ARH( 1), Preprint, Universite Paris VI, 1998. [4] Dunford N., Schwartz J.T., Linear Operators, Vol. I, II, III, Znd edition, Wiley, New York, 1988. 151 Jakubowski A., Tightness criteria for random measures with application to the principle of conditioning in Hilbert space,

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