NOMBRES COMPLEXES : GEOMETRIE EXERCICES D APPLICATIONS

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u vr r

CBA+−=+=+=

1) Placer les points A, B et C dans le repère ci-dessous.

2)

Montrer que ABC est rectangle isocèle.

3) Déterminer l’affixe du point D tel que le quadrilatère

ABDC soit un carré.

On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i2zeti3z;i3z CBA =+=−=

1) Calculer les distances OA, AB, BC et CO.

2)

Placer les points A, B et C dans un repère.

3) En déduire la nature du quadrilatère OABC.

On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i3zetzz;i2

3

2

3z CABA =−=+=

1) On pose CA

BA

zz

zzZ

−−= . Donner la forme algébrique de Z.

2) Calculer le module et un argument de Z

3) En déduire la nature du triangle ABC.

Exercice 2:��

Exercice 3:��

'

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Exercice 1:�On considère les points A, B et C d’affixes respectives z 1 i ; z 2 3i et z 1 2i

On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives : 3zet3i2z;3i2z;1z DCBA =−=+=−=

1) Réaliser une figure.

2) Calculer les distances AB, BC et AC

3) En déduire la nature du triangle ABC.

4) Calculer les affixes des vecteurs CA et CD .

5) Calculer CD

CA

zz

zz

−−

et donner le résultat sous forme algébrique.

6) En déduire la nature de ADC.

On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i51zeti22z;i1z CBA +=−=−−=

1) On pose AB

AC

zz

zzZ

−−

= . Donner la forme algébrique de Z.

2) Calculer le module et un argument de Z

3) En déduire la nature du triangle ABC.

On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i7z;23z;i1z CBA −==−−= .

1) Placer les points A, B et C dans le plan complexe.

2) Ecrire zB sous forme algébrique.

3) Déterminer la nature du triangle ABC.

4) Déterminer l’affixe zD du point D tel que ABCD soit un carré.

5) Soit I le point d’affixe zI = 3 – i et Γ l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie : 4i3z =+−

a) Les points A, B, C et D appartiennent-ils à Γ ?

b) Quelle est la nature de Γ ? Construire Γ.

On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i41z;i43z;i2z CBA −=+=+−= .

1) Placer les points A, B et C dans le plan complexe.

2) Déterminer la nature du triangle ABC.

On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i1z;i33z;i21z CBA −=+=+−= .

Calculer l’affixe de D pour que ABCD soit un parallélogramme.

Exercice 4:��

Exercice 5:��

Exercice 6:��

( cos + i sin ) 4

π4

π

Exercice 7:��

Exercice 8:��

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CORRIGE :

1)

2) Montrer que ABC est rectangle isocèle.

5i21)i1(i32zzAB AB =+=+−+=−=

5i2)i1(i21zzAC AC =+−=+−+−=−=

10i3)i21(i32zzBC BC =−−=+−−+=−=

Donc, le triangle ABC est isocèle en A.

De plus, BC² = AB² + AC² donc d’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

3) i5zi21i1i32zzzzzABCDcarréunestABDC DDABCD =⇔+−−−+=⇔−=−⇔=⇔

On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i2zeti3z;i3z CBA =+=−=

1) 2i3zOA A =−==

2i2)i3(i3zzAB AB ==−−+=−=

23i)i3(i2zzBC BC =−=+−=−=

2i2zCO C ===

2) Laissons le soin au lecteur de faire une figure.

3) OA = AB = BC = CO donc le quadrilatère OABC est un losange.

1) CA

BA

zz

zzZ

−−= .

2

3i

2

1Z +=

2) ]2[3

)Zarg(;1Z ππ

==

3) léquilatèraestABCtriangleledonc]2[

3)AB;AC(]2[

3)Zarg(

.AenisocèleestABC1AC

AB1Z

ππ

=⇔ππ

=

⇔=⇔=

On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives : 3zet3i2z;3i2z;1z DCBA =−=+=−=

1)

2) 32zzAB AB =−=

32zzAC AC =−=

32zzBC BC =−=

Le triangle ABC est équlatéral.

3) L’affixe du vecteur CA est 3i3 +− et l’affixe du vecteur CD est 3i1 +

4) 3izz

zz

CD

CA =−−

5) Le triangle ADC est rectangle en C.

Exercice 1:��

Exercice 2:��

Exercice 3:��

Exercice 4:��

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Laissons le soin au lecteur de faire une figure.

Laissons le soin au lecteur de faire une figure.

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On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i51zeti22z;i1z CBA +=−=−−=

1) On pose AB

AC

zz

zzZ

−−

= . Donner la forme algébrique de Z.

i2zz

zzZ

AB

AC =−−

=

2) Calculer le module et un argument de Z

]2[2

)Zarg(;2Z ππ

==

3) En déduire la nature du triangle ABC.

AengletanrecestABCtriangleledonc]2[2

)AC;AB(]2[2

)Zarg(

AB2AC2Z

ππ

=⇔ππ

=

=⇔=

1)

2) i33)2

2i

2

2(23)

4sini

4(cos23zB +=+=

π+

π=

3) 24i44)i1(i33zzAB AB =+=−−−+=−=

88)i1(i7zzAC AC ==−−−−=−=

24i44)i33(i7zzBC BC =−=+−−=−=

Donc, le triangle ABC est isocèle en A.

De plus, AC² = AB² + BC² donc d’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

4) i53i1)i33(i7zzzzzBCADcarréABCD DBCAD −=−−+−−=⇔−=−⇔=⇔

5) Soit I le point d’affixe zI = 3 – i et Γ l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie : 4i3z =+−

a) Γ∈=−=+−−−=+− Adonc44i3i1i3zA

Γ∈==+−+=+− Bdonc4i4i3i3.3i3zB

Γ∈==+−−=+− Cdonc44i3i7i3zC

b)

Exercice 5:��

Exercice 6:��

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.4rayonetIcentredecercleauappartientM4IM4zz4i3z I ⇔=⇔=−⇔=+−

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On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i41z;i43z;i2z CBA −=+=+−= .

1)

2) 34i35)i2(i43zzAB AB =+=+−−+=−=

34i53)i2(i41zzAC AC =−=+−−−=−=

68i82)i43(i41zzBC BC =−−=+−−=−=

Donc, le triangle ABC est isocèle en A.

De plus, BC² = AB² + AC² donc d’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

On considère les points A, B et C d’affixes respectives : i1z;i33z;i21z CBA −=+=+−= .

i23i21i33i1zzzzzBCADrammelogparalléABCD DBCAD −−=+−−−−=⇔−=−⇔=⇔

Exercice 8:��

Exercice 7:��

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Laissons le soin au lecteur de faire une figure.

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