Nombre d'or 1

Nombre d'or

La proportion définie par a et b est dite d'extrême et de moyenneraison lorsque a est à b ce que a + b est à a - Soit lorsque (a+b)/a =

a/b. Le rapport a / b est alors égal au nombre d'or.

Le nombre d'or est la proportion, définie initialementen géométrie, comme l'unique rapport entre deuxlongueurs telles que le rapport de la somme des deuxlongueurs (a+b) sur la plus grande (a) soit égal à celuide la plus grande (a) sur la plus petite (b) c'est à direlorsque (a+b)/a = a/b. Le découpage d'un segment endeux longueurs vérifiant cette propriété est appelé parEuclide découpage en extrême et moyenne raison. Lenombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettreφ (phi) en l'honneur du sculpteur Phidias qui l'auraitutilisé pour concevoir le Parthénon.

Ce nombre irrationnel est l'unique solution positive de l'équation x2 = x + 1. Il vaut exactement :

soit approximativement 1,618 033989. Il intervient dans la construction du pentagone régulier et du rectangle d'or.Ses propriétés algébriques le lient à la suite de Fibonacci et permettent de définir une arithmétique du nombre d'orsource de nombreuses démonstrations.L'histoire de cette proportion commence à une période reculée de l'antiquité grecque. À la Renaissance, Luca Pacioli,un moine franciscain italien, la met à l'honneur dans un manuel de mathématiques et la surnomme divine proportionen l'associant à un idéal envoyé du ciel. Cette vision se développe et s'enrichit d'une dimension esthétique,principalement au cours des XIXe et XXe siècles où naissent les termes de section dorée et de nombre d'or.Le nombre d'or se trouve parfois dans la nature ou des œuvres humaines, comme dans les étamines du tournesol oudans certains monuments à l'exemple de ceux conçus par Le Corbusier. Il est aussi étudié comme une clé explicativedu monde, particulièrement pour la beauté. Il est érigé en théorie esthétique et justifié par des arguments d'ordrescientifique ou mystique : omniprésence dans les sciences de la nature et de la vie, proportions du corps humain oudans les arts comme la peinture, l'architecture ou la musique.Certains artistes, tels le compositeur Xenakis ou le poète Paul Valéry ont adhéré à une partie plus ou moins vaste decette vision, soutenue par des livres très populaires. À travers la médecine, l'archéologie ou les sciences de la natureet de la vie, la science infirme les théories de cette nature car elles sont fondées sur des généralisations abusives etdes hypothèses inexactes.

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Géométrie

Proportion

Figure 1Les triangles OAB et OCA sont semblables si et seulementsi les longueurs a et b respectent la proportion d'or.

Le nombre d'or possède une première définition d'origine géométrique, fondée sur la notion de proportion :Définition de la proportion d'or — Deux longueurs strictement positives a et b respectent la proportion d'or si etseulement si, le rapport de a sur b est égal au rapport de a + b sur a :

Il existe une interprétation graphique de cette définition, conséquence des propriétés des triangles semblablesillustrée par la figure 1. Les segments bleus sont de longueur a et le rouge de longueur b. Dire que la proportiondéfinie par a et b est d'or revient à dire que les triangles OAB et OCA sont semblables. Euclide exprime la proportiond'or, qu'il appelle extrême et moyenne raison, de la manière suivante : Une droite est dite coupée en extrême etmoyenne raison lorsque la droite entière est au plus grand segment comme le plus grand segment est au plus petit.

Si a et b sont en proportion d'extrême et de moyenne raison, alors le rapport a / b est constant, ce qui donne unenouvelle définition du nombre d'or :Définition du nombre d'or — Le nombre d'or est le nombre réel positif, noté φ, égal à la fraction a / b si a et b sontdeux nombres en proportion d'extrême et de moyenne raison. Il est donné par la formule :

La proportion (1), définissant la proportion d'or, peut être écrite de la manière suivante, obtenue en multipliantl'égalité par a / b :

Ce qui revient à dire que φ est solution d'une équation du second degré. Cette propriété donne lieu à une troisièmedéfinition :Définition alternative du nombre d'or — Le nombre d'or est l'unique solution positive de l'équation du seconddegré suivante :

Cette équation est équivalente à celle indiquant que l'inverse de l'inconnue x est égal à x - 1 ou encore que ledéveloppement décimal de 1/x est le même que celui de x, auquel on a retranché sa partie entière.Il existe deux modes de définition du nombre d'or, celle géométrique qui s'exprime en termes de proportion et celle algébrique qui définit le nombre comme l'unique racine positive d'une équation. Cette double approche permet de

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résoudre un problème d'algèbre, en l'occurrence une équation du second degré, à l'aide de méthode géométrique, onparle d'algèbre géométrique.

Rectangle et spirale d'or

Les calculs précédents permettent, à l'aide d'une règle et d'un compasde dessiner une proportion d'extrême et de moyenne raison. Laméthode est illustrée sur la figure de gauche. On dessine un cercle decentre C et de rayon 1 (en orange). Puis, de l'extrémité du rayon, onélève un segment (en vert) perpendiculaire au rayon, de longueur 1/2,et on trace le cercle de centre C' et de rayon 1/2. Le segment bleu qui apour extrémités C et le point du cercle C' dans le prolongement de C C'est de longueur φ.

Rectangles d'or et divine proportion

Cette méthode permet aussi de construire un rectangled'or, c'est-à-dire un rectangle de longueur a et delargeur b tel que a et b soient en proportion d'extrêmeet de moyenne raison. En d'autres termes, un rectangleest dit d'or si le rapport entre la longueur et la largeurest égal au nombre d'or.

Pour tracer un rectangle d'or de longueur a et de largeurb, le plus simple est de dessiner un carré de côté b. Enprenant le milieu de la base comme centre, on trace uncercle passant par les deux sommets opposés.L'intersection de la droite prolongeant la base du carréet du cercle détermine l'extrémité de la base durectangle d'or. Il apparait comme construit parl'adjonction à un carré de côté de longueur b, d'un rectangle de côtés de longueur b et a - b, comme le montre lafigure de droite. Un rapide calcul montre que ce rectangle est encore d'or :

Il est possible de réitérer le processus précédent et d'intégrer uncarré de côté a - b dans le rectangle d'or de côté b, a - b, commeindiqué sur la figure de gauche. Cette méthode peut être prolongéeindéfiniment. Si, dans chaque carré est dessiné un quart de cercled'extrémités deux côtés du carré, comme sur la figure, on obtientune spirale. Ce graphique est une bonne approximation d'unespirale d'or, d'équation polaire :

Cette spirale est un cas particulier de spirale logarithmique. Comme toute spirale de cette famille, elle possède une propriété caractéristique, si A est un point de la spirale, l'angle entre la droite passant par le centre de la spirale et A

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fait un angle constant avec la tangente à la spirale en A. Une telle spirale est dite équiangle.D'autres figures se dessinent à l'aide du nombre d'or à l'instar de l'oeuf d'or[1] .

Pentagone et pentagramme

Figure 3 : Une fois la proportion d'extrême et de moyenne raisonconstruite, il est simple de dessiner un pentagone.

Un pentagone se construit à l'aide de la proportiond'extrême et moyenne raison. Soit un cercle dediamètre OP1 et de rayon a, illustré sur la figure degauche. Si b est le nombre réel plus petit que a tel que aet b soit en proportion d'or, et P2, P3, P4 et P5 lesintersections du cercle de diamètre OP1 avec les deuxcercles de centre O et de rayon a + b et b, alors les cinqpoints Pi définissent un pentagone.

Le pentagramme associé, c'est-à-dire la figurecomposée des cinq diagonales du pentagone (cf figurede droite), contient aussi de multiples proportionsd'extrêmes et moyennes raisons. Elles s'exprimentsimplement à l'aide de triangles isocèles dont leslongueurs des côtés sont en proportion d'or. De telstriangles sont appelés triangles d'or. Il en existe dedeux types différents, les jaunes ayant une baseproportionnelle à a et deux côtés à b et les orange ayantune base proportionnelle à b et deux côtés à a. Lestriangles foncés sont semblables aux plus clairs demême couleur, la proportion entre clair et foncé estencore d'or.

Les triangles jaunes possèdent deux angles de 36°, soitle cinquième d'un angle plat et un de 108°, soit les trois cinquièmes d'un angle plat. Un tel triangle est parfois appelétriangle d'argent. Les triangles orange possèdent deux angles de 72°, soit les deux cinquièmes d'un angle plat et unangle de 36°. Avec des triangles d'or et d'argent dont les côtés sont toujours a et b, il est possible de paverintégralement un plan euclidien de manière non périodique. Un tel pavage est dit de Penrose.

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Trigonométrie

L'analyse des mesures des triangles d'argent et d'orpermettent de déterminer les valeurs trigonométriquesassociées au pentagone. Considérons un triangled'argent de base φ et donc de côtés adjacents delongueur 1. Ce triangle, coupé en son milieu, commesur la figure de droite, est un triangle rectangled'hypoténuse de longueur 1. Sa base est de longueurφ/2 car elle correspond à la demi-base du rectangled'argent. On en déduit que le cosinus de 36° est égal àφ/2. Un raisonnement analogue s'applique au triangled'or. Les côtés ont toujours une longueur 1, la base est en proportion d'or donc de longueur φ - 1. On en déduit que lecosinus de 72° est égal à (φ - 1)/2. À partir de ces valeurs et de différentes formules, il est possible de calculer lesimages par les fonctions trigonométriques des multiples ainsi que les moitiés de l'angle 36°.

Une autre manière de déterminer les différentes valeurs caractéristiques d'un pentagone consiste à utiliser le plancomplexe. Les sommets sont les racines du polynôme cyclotomique X5 - 1. Sa résolution est particulièrement aiséecar 5 est un nombre premier de Fermat, c'est-à-dire qu'il existe un entier n tel que 5 est égal à 2n + 1. Si p est unnombre premier, le polynôme régulier à p côtés est constructible à la règle et au compas si et seulement si, p est unnombre de Fermat. Dans ce cas, l'extraction des racines du polynôme cyclotomique s'obtient à l'aide de résolutiond'équations du second degré. Ce cas est traité dans l'article Polynôme cyclotomique.

ArithmétiqueUn autre chemin que celui de la géométrie permet de mieux comprendre les propriétés du nombre d'or,l'arithmétique. Elle met en évidence ses propriétés algébriques ainsi que les profondes relations entre des sujetsapparemment aussi différents que la suite de Fibonacci ou sa relation avec de difficiles équations diophantiennes.Une équation diophantienne est une équation dont les coefficients sont entiers et dont les solutions recherchées sontentières. Pour citer un exemple célèbre, celui-ci correspond à un cas particulier du dernier théorème de Fermat :

Il fut résolu[2] par Dirichlet (1805 - 1859) en 1825, ce qui lui valut une célébrité immédiate. Carl Friedrich Gauss (1777 -

1855), un mathématicien du XIXe siècle disait des problèmes de cette nature : « Leurs charmes particuliers vient de lasimplicité des énoncés jointe à la difficulté des preuves. »[3]

À l'aide d'outils un peu ésotériques, comme la fraction continue ou l'entier algébrique, une arithmétique du nombred'or, plus communément appelé arithmétique de Dirichlet, se dessine. Les repères sont modifiés par rapport à ceuxdes entiers naturels. Le nombre d'or est considéré comme un entier à cause de son analogie avec la situation plusclassique. On ajoute en général le terme algébrique ou quadratique pour marquer la différence. Dans cet univers, 19n'est pas un nombre premier, au sens de Dirichlet.

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Fraction continueLa fraction continue est une manière d'approcher un nombre réel, dans le cas du nombre d'or, elle est simple. On peutl'approcher par les valeurs 1 ou 1 + 1/1. La fraction suivante est plus précise :

Le prolongement à l'infini de cette méthode donne exactement le nombre d'or :

Le fait que la fraction ne s'arrête jamais montre que le nombre d'or n'est pas un nombre rationnel. Une démonstrationest proposée dans l'article détaillé. On reconnaît, sous la première barre de fraction l'expression du nombre d'or. Onen déduit plusieurs expressions algébriques de φ :

La dernière formule donne une nouvelle expression du nombre d'or :

Cette propriété possède des conséquences remarquables si φ est utilisé comme base d'un système de nombre (voirbase d'or).La fraction continue approximant le nombre d'or possède systématiquement la plus petite valeur possible pourchacun de ses coefficients, à savoir 1. En conséquence, il est le nombre irrationnel qui s'approxime le plus mal pardes rationnels. On dit de lui qu'il est le plus irrationnel des nombres réels[4] (cf. Théorème d'Hurwitz).

Suite de FibonacciLe calcul des couples de numérateurs et dénominateurs obtenus par la fraction continue donne les valeurs suivantes(1,1), (2,1), (3,2), (5,3) ... le dénominateur correspond au numérateur de la fraction précédente. Il est aussi égal aunième terme de la suite de Fibonacci (un). Elle est définie par récurrence :

Les deux premiers termes sont égaux à 1 et les autres à la somme des deux précédents. Pour obtenir une bonneapproximation du nombre d'or, il suffit de choisir une valeur de n suffisamment élevée et considérer la fractionun+1/un. En terme mathématiques, cela s'exprime sous la forme suivante :

La vitesse de convergence est grande, la différence entre un+1/un et φ est, en valeur absolue, inférieure au carré de un.Si la suite de Fibonacci permet de déterminer une approximation du nombre d'or, la réciproque est vraie. Plusexactement, on dispose de la formule suivante :

La valeur |1-φ|n ne fait que diminuer lorsque n s'accroît, elle est toujours suffisamment petite pour pouvoir êtrenégligée, il suffit de prendre l'entier le plus proche de l'expression précédente en négligeant le terme en (1 - φ)n, onobtient :

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Cette propriété est vérifiée pour toute suite définie par la relation de récurrence un+2 = un+1 + un, indépendammentdes valeurs prises par u1 et u2.

Équation diophantienneLa fraction continue offre des rationnels b/a offrant presque des solutions à l'équation qui s'écrit sous les formessuivantes :

L'égalité stricte à zéro est impossible, elle n'autorise que les solutions triviales. En effet, aucun nombre rationnel nevérifie la proportion d'or, ce qui justifie l'équation diophantienne suivante :

L'école mathématique indienne s'intéresse aux équations de cette nature. Brahmagupta développe une méthode, ditechakravala qui permet l'étude de telles équations. Il utilise une identité, qui dans le cas présent prend la formesuivante :

Cette identité est liée à l'équation (1) précédente et donc au nombre d'or. Si (a, b) et (c, d) forment deux couples,solutions de l'équation (1), la partie de gauche de l'identité est égale à plus ou moins un. La partie de droite del'identité décrit donc une solution (e, f) si e = ac + bd et f = ad + bc + bd. La découverte d'une multiplicationparticulière *, permet de construire autant de solutions que désiré, à partir d'une unique si elle n'est pas triviale :

En combinant une solution (a, b) avec elle-même on en obtient une nouvelle (a2 + b2, 2a.b + b2). Le couple (1, 1) estsolution de l'équation (1), donc le couple (2, 3) l'est aussi. Elle est d'ailleurs déjà obtenue avec la méthodeprécédente. Avec la solution (2, 3) on obtient (13, 21) et avec la solution (13, 21) on obtient (610, 987). On vérifieque le couple (610, 987) est bien une solution de l'équation :

On en déduit que la fraction 987/610 est une excellente approximation du nombre d'or. En effet, 987/610 =1,6180327... une précision proche du millionième.

Entier de DirichletDans cette vision du nombre d'or, il existe une multiplication naturelle. L'adjonction de l'addition usuelle des couplesd'entiers relatifs, définit par l'égalité suivante, confère à l'ensemble des couples (a, b) une structure équipée d'uneaddition et d'une multiplication appelé, en terme contemporain, un anneau.

Si cet anneau est construit à partir d'une équation diophantienne connexe au nombre d'or, sa relation avec φ peut êtrevue plus directement. Il se conçoit simplement en considèrant les nombres réels de la forme a + φ.b, où a et bdésignent deux nombres entiers. L'identité de Brahmagupta, définissant la multiplication se lit :

Ainsi les puissances de φ sont tous de la forme a + φ.b, plus précisément φn = un-1 + un.φ, où (un) désigne la suite deFibonacci.Ces deux anneaux possèdent des structures copie l'une de l'autre, le terme consacré pour décrire cette situation est celui d'isomorphisme. Un nombre réel de la forme a + φ.b est appelé un entier de Dirichlet. L'anneau des entiers de Dirichlet est le cadre naturel sous-jacent à toute l'arithmétique du nombre d'or. À certains égards, il est analogue à Z, l'ensemble des entiers naturels. Il est commutatif, et intègre. Le terme intègre signifie que si la multiplication de deux éléments α.β donne 0 alors soit α soit β est nul. La ressemblance est plus profonde, cet anneau est euclidien,

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c'est-à-dire qu'il dispose d'une division euclidienne semblable à celle de l'arithmétique des entiers classiques. Lesoutils de l'arithmétique usuelle sur Z, comme le théorème de Bachet-Bézout, le lemme d'Euclide, le théorèmefondamental de l'arithmétique ou en plus sophistiqué le petit théorème de Fermat sont tous des conséquences de ladivision euclidienne. Elle offre des propriétés analogues pour l'arithmétique du nombre d'or. Cette analogie profondepousse les arithméticiens à parler d'entiers pour décrire les éléments de cet ensemble. La compréhension del'arithmétique de Z passe souvent par celles des nombres premiers. L'arithmétique du nombre d'or dispose aussi deses nombres premiers de Dirichlet. Un nombre premier de Z n'est pas toujours premier dans l'arithmétique dunombre d'or, comme le montre le contre-exemple 19 :

Cette différence engendre des modifications dans l'application des théorèmes classiques. Par exemple si p est unnombre premier différent de 5 tel que le reste de sa division euclidienne par 5 soit un carré parfait, donc égal à 1 ou à4, le petit théorème de Fermat indique que φp-1 - 1 est un multiple de p. Ceci montre que up-1 est un multiple de painsi que up-2 - 1, en effet, φp-1 - 1 = up-2 - 1 + up-1.φ. Les démonstrations sont proposées dans l'article détaillé.

Fragments d'histoire

Antiquité

Pour Thomas L. Heath, Platon estle premier grec à oser étudier les

propriétés d'un nombre scandaleuxcar irrationnel, celui maintenant

appelé nombre d'or.

Les historiens[5] considèrent que l'histoire du nombre d'or commence lorsque cettevaleur est l'objet d'une étude spécifique. Pour d'autres, la détermination d'une figuregéométrique contenant au moins une proportion se calculant à l'aide du nombred'or suffit. La pyramide de Khéops (vers 2520 av. J.-C.) devient, selon cetteconvention, un bon candidat pour l'origine[6] . D'autres encore, se contentent desrestes d'un monument dont des dimensions permettent d'approximer le nombred'or. Selon ce critère, un amas de pierres sous la mer des Bahamas est une origineplus ancienne[7] . Ces vestiges, dont l'origine humaine et la datation sontincertaines[8] sont dénommés temple d'Andros.

Le premier texte mathématique indiscutable[9] est celui des Éléments d'Euclide(vers 300 av. J.-C.). Le nombre d'or est défini comme une proportion géométrique« Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle esttout entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativementau plus petit[10] » Sa relation avec le pentagone, l'icosaèdre et le dodécaèdre estmise en évidence.

Les historiens s'accordent tous sur l'existence d'une origine plus ancienne, maisl'absence de document d'époque définitif interdit une connaissance indiscutable de l'origine[11] . Dans ce cadre,l'hypothèse est parfois émise que le nombre d'or a son origine chez les pythagoriciens [12] : ils auraient connu etconstruit empiriquement le dodécaèdre. L'historien des sciences Thomas L. Heath attribue la paternité de ladécouverte à Platon : « L'idée que Platon commença l'étude (du nombre d'or) comme sujet intrinsèque n'est pas sansconsistance... »[13] .

Heath précise néanmoins dans la même source que les pythagoriciens connaissaient déjà une construction dupentagone à l'aide de triangles isocèles. À cette époque, l'étude du nombre d'or est essentiellement géométrique,Hypsicles, un mathématicien grec du IIe siècle av. J.-C., en fait usage pour la mesure de polyèdres réguliers[14] . Ellerevient chaque fois qu'un pentagone est présent.L'approche arithmétique est initialement bloquée par le préjugé pythagoricien qui voudrait que, à la différence du nombre d'or, tout nombre soit rationnel. Paul Tannery précise : « les Pythagoriciens sont partis de l’idée, naturelle à tout homme non instruit, que toute longueur est nécessairement commensurable à l’unité[15] ». Platon évoque cette

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difficulté[16] , les premières preuves du caractère irrationnel de certaines diagonales de polygones réguliersremontent probablement[17] au Ve siècle av. J.-C.. Platon cite les travaux de son précepteur, Théodore de Cyrène, quimontre l'irrationalité de √5[18] et par voie de conséquence, celle du nombre d'or. Dès cette époque, lesmathématiciens grecs découvrent des algorithmes d'approximation des nombres diagonaux et latéraux[19] . Bien plustard, Héron d'Alexandrie, un mathématicien du Ier siècle pousse plus loin cette démarche à l'aide des tablestrigonométriques de Ptolémée[20] .

Moyen Âge

Leonardo Pisano, plus connu sousle nom de Fibonacci, établit larelation entre des équations dusecond degré et le nombre d'or.

Les mathématiques arabes apportent un nouveau regard sur ce nombre, plus tardqualifié d'or. Ce n'est pas tant ses propriétés géométriques qui représentent poureux son intérêt, mais le fait qu'il soit solution d'équations du second degré.Al-Khawarizmi, un mathématicien perse du VIIIe siècle, propose plusieursproblèmes consistant à diviser une longueur de dix unités en deux parties. L'und'eux possède comme solution la taille initiale divisée par le nombre d'or. AbuKamil propose d'autres questions de même nature dont deux sont associées aunombre d'or. En revanche, ni pour Al-Khawarizmi ni pour Abu Kamil, la relationavec la proportion d'extrême et moyenne raison n'est mise en évidence. Il devientainsi difficile de savoir si la relation avec le nombre d'or était claire pour eux[21] .

Leonardo Pisano, plus connu sous le nom de Fibonacci, introduit en Europe leséquations d'Abu Kamil. Dans son livre Liber Abaci, on trouve non seulement lalongueur des deux segments d'une ligne de 10 unités mais aussi, clairementindiquée la relation entre ces nombres et la proportion d'Euclide[22] . Son livreintroduit la suite qui porte maintenant son nom, connue aux Indes depuis[23] leVIe siècle. En revanche la relation avec le nombre d'or n'est pas perçue par l'auteur. Un élément de cette suite est lasomme des deux précédents.

Le quine, un système de mesure utilisé par les bâtisseurs de l'Art roman, se fonde sur un principe analogue. Il secompose de cinq unités de mesure, toutes commensurables : la paume égale à 34 lignes, la palme qui en vaut 55,l'empan 89, le pied de Charlemagne 144 et la coudée royale 233. Ces unités correspondent à des nombres consécutifsde la suite de Fibonacci. Une paume plus une palme est ainsi égale à un empan, une palme et un empan à un pied deCharlemagne, enfin un empan et un pied de Charlemagne à une coudée royale. Le rapport entre deux termesconsécutifs vérifie de plus en plus précisément la proportion en extrême et moyenne raison[24] . Si au Moyen Âge lenombre d'or est connu des tailleurs de pierre, sa géométrie est considérée comme assez secondaire et ne prend del'importance uniquement à la Renaissance[25] .

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Renaissance

L'homme de Vitruve de Léonard de Vincirespecte les proportions explicitées par Vitruve,

le nombre d'or n'intervient pas.

Trois siècles plus tard, Luca Pacioli rédige un livre dénommé La divineproportion[26] , illustré par Léonard de Vinci. Si l'aspect mathématiquen'est pas nouveau, le traitement de la question du nombre d'or estinédit. L'intérêt du nombre ne réside pas tant dans ses propriétésmathématiques que mystiques, elles « concordent avec les attributs quiappartiennent à Dieu...[26] ». Pacioli cite les dix raisons qui l'ontconvaincu. L'incommensurabilité prend, sous la plume de l'auteur, laforme suivante « De même que Dieu ne peut se définir en termespropres et que les paroles ne peuvent nous le faire comprendre, ainsinotre proportion ne se peut jamais déterminer par un nombre que l'onpuisse connaître, ni exprimer par quelque quantité rationnelle, mais esttoujours mystérieuse et secrète, et qualifiée par les mathématiciensd'irrationnelle[26] ».

Pacioli rédige ainsi l'envoi de son livre : « une œuvre nécessaire à tousles esprits perspicaces et curieux, où chacun de ceux qui aiment à étudier la philosophie, la perspective, la peinture ,la sculpture, l'architecture, la musique et les autres disciplines mathématiques, trouvera une très délicate, subtile etadmirable doctrine et se délectera de diverses questions touchant à une très secrète science.[26] », il est en revanchediscret sur la manière dont s'applique cette proportion. Dans son traité d'architecture[27] , l'auteur se limite auxproportions[28] de Vitruve, un architecte de la Rome antique. Elles correspondent à des fractions d'entiers, choisies àl'image du corps humain[29] . S'il cite comme exemple une statue du grec Phidias, ce n'est que pour y voir le nombred'or dans un dodécaèdre, une figure associée au pentagone symbole de la quintessence, une représentation dudivin[30] . Les architectes de la Renaissance n'utilisent pas le nombre d'or[31] [32]

Les mathématiciens de l'époque ne sont pas en reste. Les spécialistes des équations polynomiales que sont GerolamoCardano et Raphaël Bombelli indiquent comment calculer le nombre d'or à l'aide d'équations de second degré[33] .Un résultat plus surprenant est anonyme. Une note manuscrite, datant du début du XVIe siècle et écrite dans latraduction de Pacioli des éléments d'Euclide de 1509, montre la connaissance de la relation entre la suite deFibonacci et le nombre d'or. Si l'on divise un terme de la suite par son précédent, on trouve une approximation dunombre d'or. Plus le terme est élevé, plus l'approximation est bonne et elle peut devenir aussi précise quesouhaitée[34] . Ce résultat est, plus tard, retrouvé par Johannes Kepler puis par Albert Girard[35] . Kepler est fascinépar le nombre d'or, il dit de lui « La géométrie contient deux grands trésors : l’un est le théorème de Pythagore ;l’autre est la division d’une ligne en moyenne et extrême raison. Le premier peut être comparé à une règle d’or ; lesecond à un joyau précieux[36] »

Nombre d'or 11

XIXe siècle : Naissance d'un mythe

Adolf Zeising appuie sa théorie sur des exemplesnaturels incontestables. Un Tournesol présente

une figure où apparaît la suite de Fibonacci, ainsique la spirale d'or.

Sur le front des mathématiques, l'intérêt diminue. Au XVIIIe siècle, lenombre d'or ainsi que les polyèdres réguliers sont considérés « avecassez de justice, comme une branche inutile de la géométrie[37] ». Onlui prête encore un peu d'attention au siècle suivant, Jacques Binetretrouve en 1843 un résultat oublié, démontré initialement parLeonhard Euler en 1765[38] . Si la lettre φ désigne le nombre d'or, leénième terme de la suite de Fibonacci est donné par la formule 1/√5(φn

+ (1 - φ)n). Ce résultat est maintenant connu sous le nom de Formulede Binet. L'essentiel des travaux se reporte sur la suite de Fibonacci.Édouard Lucas trouve des propriétés subtiles associées à cette suite,auquel il donne pour la première fois le nom de Fibonacci[39] . Sonrésultat le plus important porte le nom de Loi d'apparition des nombrespremiers au sein de la suite Fibonacci[40] [41]

D'autres sont plus polémiques. Pour retrouver lenombre d'or dans le Parthénon, il est nécessaire

d'user de conventions spécifiques.

C'est durant ce siècle que les termes de section dorée, puis nombre d'orapparaissent. On la trouve dans une réédition d'un livre demathématiques élémentaires écrit par Martin Ohm. L'expression estcitée dans une note de bas de page :« Certains ont l'habitude d'appelerla division en deux telles parties une section d'or[42] » Cette rééditionfait surface dans une période située entre 1826 et 1835, en revancheson origine est un mystère.

L'intérêt resurgit au milieu du siècle, avec les travaux du philosopheallemand Adolf Zeising. Le nombre d'or devient avec lui, un véritablesystème, une clé pour la compréhension de nombreux domaines, tantartistiques comme l'architecture, la peinture, la musique, quescientifiques avec la biologie et l'anatomie[43] . Une dizaine d'années plus tard, il publie un article[44] sur lepentagramme « manifestation la plus évidente et la plus exemplaire de cette proportion ». Une relecture de lamétaphysique pythagoricienne lui permet de conclure à l'existence d'une loi universelle fondée sur le pentagrammeet donc, le nombre d'or. Malgré une approche scientifique douteuse[45] [46] , la théorie de Zeising obtient un francsuccès.

La France n'est pas en reste, pouvoir codifier de manière scientifique la beauté est une idée qui séduit. Lesdimensions du Louvre, de l'Arc de triomphe sont mesurées avec attention, des délégations sont chargées de mesurerprécisément la taille des pyramides égyptiennes ainsi que du Parthénon. Les cathédrales ne sont pas en reste. LaFrance trouve son champion en Charles Henry, un peintre qui s'inscrit dans l'esprit positiviste de son temps. Dans untexte fondateur[47] , à l'origine du mouvement pointilliste, il associe au nombre d'or, une théorie de la couleur et deslignes. Son influence auprès de peintres comme Seurat ou Pissaro n'est pas négligeable. Son attachement au nombred'or n'est pas aussi profond que son collègue allemand. Il finit, en 1895, par abandonner définitivement l'idée dequantifier le beau[48]

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XXe siècle : Le paroxysme

Toute spirale n'est pas d'or. Celle du nautile n'arien à voir avec la divine proportion[49] .

Loin de s'éteindre avec le déclin du positivisme, la popularité dunombre d'or ne fait que croître durant la première partie du siècle. Leprince roumain Matila Ghyka en devient l'incontestable chantre. Ilreprend les thèses du siècle précédent et les généralise. Tout commeZeising, il s'appuie tout d'abord sur les exemples issus de la nature,comme les coquillages ou les plantes. Il applique cette universalité àl'architecture avec des règles plus souples que son prédécesseur. Lesuccès de cette théorie finit par influencer les notations. Le nombre d'orest souvent noté φ, en référence à l'architecte Phidias, concepteur duparthénon[50] .

La dimension mystique n'est pas absente chez Ghyka[51] et trouve sesorigines dans la philosophie pythagoricienne. L'absence de trace écrite sur le nombre d'or chez les pythagoricienss'expliquerait par le culte du secret. Cette idée est largement reprise et généralisée[52] par les mouvements de penséesésotériques au XXe siècle. Le nombre d'or serait une trace d'un savoir perdu, nommé Tradition Primordiale ouConnaissance Occulte chez les Rose-Croix ou des mouvements connexes[53] . On le retrouve chez les passionnés del'Atlantide, qui voient dans la pyramide de Khéops ou le temple d'Andros la preuve d'un savoir mathématiqueoublié[54] . Ce mouvement de pensée reprend des idées développées en Allemagne au XIXe siècle par FranzLiharzik, pour qui la présence du nombre d'or, de π et de carrés magiques est la preuve incontestable[55] d'un grouperestreint d'initiés possédant la science mathématique absolue[56] .

En 1929, une époque troublée par des idées d'un autre âge, Ghyka n'hésite pas à tirer comme conclusion de son étudesur le nombre d'or, la suprématie de ce qu'il considère comme sa race : « le point de vue géométrique a caractérisé ledéveloppement mental (...) de toute la civilisation occidentale (...) ce sont la géométrie grecque et le sensgéométrique (... ) qui donnèrent à la race blanche sa suprématie technique et politique[57] . » Si le prince n'insiste quetrès médiocrement sur cet aspect du nombre d'or, d'autres n'ont pas ses scrupules. Ils usent de l'adéquation de lamorphologie d'une population avec les différentes proportions divines pour en déduire une supériorité qualifiée deraciale. Ce critère permet de fustiger certaines populations, sans d'ailleurs la moindre analyse[58] . Le nombre d'orest, encore maintenant, sujet à de prétendues preuves de supériorité culturelle, sociale ou ethnique[59] .Sans cautionner ces idées extrêmes, certains intellectuels ou artistes éprouvent une authentique fascination pour lenombre d'or ou son mythe. Le compositeur Iannis Xenakis utilise ses propriétés mathématiques pour certainescompositions[60] . L'architecte Le Corbusier reprend l'idée consistant à établir les dimensions d'un bâtiment enfonction de la morphologie humaine et utilise pour cela le nombre d'or. Paul Valéry un poète et intellectuel écrit à cesujet des vers dans son Cantique des colonnes :

« Filles des nombres d'orFortes des lois du ciel

Sur nous tombe et s'endortUn dieu couleur de miel. »

Le peintre Salvador Dali fait référence au nombre d'or et sa mythologie dans sa peinture, par exemple dans untableau dénommé Le Sacrement de la dernière Cène.Sur le plan mathématique, le nombre d'or suit une trajectoire inverse, son aura ne fait que diminuer et il quitte le domaine de la recherche pure. Il existe néanmoins une exception, une revue sur la suite de Fibonacci[61] , dont l'objet est plus ludique qu'associé à la recherche. En revanche, le nombre d'or apparaît comme la clé de quelques sujets scientifiques. La question de phyllotaxie, se rapportant à la spirale que l'on trouve dans certains végétaux comme les écailles de la pomme de pin est-elle vraiment liée à la proportion d'Euclide ? Cette question fait couler beaucoup d'encre dès le siècle précédent. Wilhelm Friedrich Benedict Hofmeister suppose que cette spirale est la conséquence

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d'une règle simple[62] . Pour le botaniste allemand Julius Sachs, ce n'est qu'un orgueilleux jeu mathématique,purement subjectif[63] . En 1952, un scientifique, père fondateur de l'informatique, Alan Turing propose unmécanisme qui donnerait raison à Hofmeister[64] . Deux physiciens, Douady et Couder, finissent par trouverl'expérience qui permet de conclure cette longue histoire[65] . Hofmeister et Turing avaient raison, la présence dunombre d'or dans le monde végétal n'est ni fortuite ni subjective[66] .

Nature

Omniprésence

L'absence de nombre d'or dans laspirale logarithmique décrivant la

forme d'une galaxie rend l'astronomesceptique sur l'usage de cette proportion

dans ce contexte.

La thèse de l'omniprésence du nombre d'or est souvent reprise[67] . Si un avisdéfinitif sur ce phénomène est difficile à propos de l'œuvre des hommes, il estplus aisé de comprendre la différence d'opinion que soulève cette question pourles sciences de la nature. Elle provient de l'usage des critères utilisés pour lierou non le nombre d'or avec un phénomène.

Dans le monde végétal, les écailles des pommes de pins engendrent desspirales particulières, dites logarithmiques. Ces spirales se construisent à l'aided'un nombre réel non nul quelconque. S'il est égal au nombre d'or, lesproportions correspondent à la moyenne et extrême proportion d'Euclide et lasuite de Fibonacci apparaît. Ce phénomène se produit sur les étamines d'unefleur de tournesol. La présence du nombre d'or n'est pas controversée dans cecas[68] .

Une organisation autour d'un schéma pentagonaldes atomes d'un cristal de quartz explique l'usage

du nombre d'or pour l'étude d'un tel minéral.

En revanche, le fait qu'une telle spirale puisse aussi se construire avecle nombre d'or est une raison insuffisante pour l'associer à n'importequelle spirale logarithmique, comme celles que forment la coquille dumollusque le nautilus[67] , les yeux sur les plumes d'un paon[69] ouencore à certaines galaxies[70] . Pour un spécialiste, l'absence denombre d'or dans une spirale rend le concept caduc. Ni proportion d'or,ni suite de Fibonacci ne sont présents. Le nombre d'or n'offre aucuneinformation sur son sujet d'étude[71] ,[72] .

En minéralogie, il existe des cristaux dont les atomes s'organisent selonun schéma pentagonal. Les proportions entre les côtés et les diagonalesdu pentagone font intervenir le nombre d'or. Il est aussi présent dansdes structures dites quasi cristallines. Les atomes dessinent destriangles d'or qui remplissent l'espace sans pour autant présenter de

périodicité, on obtient un pavage de Penrose. Pour la même raison que précédemment, le nombre d'or est présent etl'on retrouve la suite de Fibonacci[73] . Le pentagone n'est pas présent dans tous les cristaux. La structure cubique àfaces centrées d'un diamant ne fait pas intervenir le nombre d'or.

Ainsi, selon l'axe d'analyse, la réponse sur l'omniprésence du nombre d'or est différente. Pour un scientifique, spécialiste dans un domaine, l'usage du nombre d'or est finalement plutôt rare, limité à quelques sujets comme la phyllotaxie du tournesol ou la cristallographie du quartz. S'il recherche des concepts explicatifs pour mieux comprendre son domaine, la proportion d'Euclide est rarement de ceux-là. D'autres[67] utilisent l'analogie ainsi que

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l'esthétique comme critère. La divine proportion est pour eux présente dans les cieux, la vie animale et végétale, lesminéraux et finalement dans toute la nature.

Phyllotaxie

Une pomme de pin illustre par ses écailles un phénomène dephyllotaxie. On trouve des spirales dont la proportion estproche de celle d'Euclide. Le nombre d'écailles dans unespirale ainsi que le nombre de spirales correspond à deux

nombres consécutifs dans la suite de Fibonacci.

Le mécanisme ne fait pas toujours apparaître le nombre d'or.Pour l'Achimenes erecta, on remarque ici trois jeux de trois

feuilles. Chaque jeu est pivoté d'un sixième de tour parrapport à la génération précédente. On obtient encore deux

jeux de spirales, mais qui n'ont plus rien à voir avec lenombre d'or.

En biologie, l'ordonnancement des écailles d'une pomme depin ou de l'écorce d'un ananas induit des spirales ordonnéespar des nombres entiers, souvent associés au nombre d'or. Surla figure de gauche, on observe 8 spirales, chacune formée de13 écailles dans un sens et 13 spirales formées de 8 écaillesdans l'autre sens. Les proportions de ces spirales ne sont pastrès éloignées de celles d'une spirale d'or. Les nombres 8 et 13sont deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci et leurrapport est proche du nombre d'or. Un phénomène analogue seproduit avec les étamines des tournesols, cette fois avec lescouples d'entiers (21,34), (34,55) et (55, 89). Chacun de cescouples correspond à deux entiers consécutifs de la suite deFibonacci.

La phyllotaxie ne suit pas toujours les lois du nombre d'or. Àdroite, on voit un mécanisme analogue sur des feuilles, lesdeux spirales sont toujours logarithmiques mais ne suiventplus la proportion d'or. Les nombres de spirales dans un senset dans l'autre sont égaux.Ce mécanisme est régi par la règle dite de Hofmeister : Leprimordium apparaît périodiquement dans le plus grandespace disponible. Un primordium correspond à un embryonde partie de plante : écaille, feuille, d'étamine, etc. Cemécanisme est contrôlé par la production d'une substanceinhibitrice, appelée morphogène, émise par les primordia.Ainsi une nouvelle pousse ne peut naître que le plus loinpossible des précédentes.

Dans le cas de l'Achimenes erecta, la tige pousse rapidementpar rapport à la feuille, la deuxième feuille naît dans ladirection opposée, le rapport entre la croissance de la tige et letemps d'apparition d'un nouveau primordium fait que latroisième position la meilleure est à un angle d'un tiers de tourpar rapport à la première feuille et deux tiers par rapport à ladeuxième. Finalement on obtient l'apparition de trois feuilles,décalées d'un tiers de tour l'une par rapport à l'autre, puis d'unnouveau jeu de trois feuilles, décalé d'un sixième de tour parrapport au jeu précédent.

La pomme de pin suit la même règle pour le primordium del'écaille. La croissance de la tige entre deux primordia est

beaucoup plus modérée. Le troisième primordium naît en conséquence entre les deux premiers, avec un angle

légèrement plus faible du côté du premier primordium, la tige ayant un peu grandi. Douady et Couder ont montré qu'un tel mécanisme produit deux jeux de spirales d'or de directions opposées dont les nombres de spirales par jeu

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correspondent à deux éléments consécutifs de la suite de Fibonacci. Plus la croissance entre l'apparition de deuxprimordia est petite, plus élevés sont les deux éléments consécutifs de la suite.[68]

Corps humain

Le squelette de Zeising nerespecte pas précisément lesproportions du corps humain,

le crâne est par exempleirréaliste.

Le corps humain est un enjeu souvent corrélé à celui du nombre d'or. Il comportedifférentes facettes. Tout d'abord scientifique, la question mainte fois posée est desavoir si le corps, à l'image de la fleur de tournesol, possède une relation plus ou moinsdirecte avec le nombre d'or. En terme artistique, la divine proportion est-elle utilisablepour représenter le corps ? Il existe enfin un enjeu esthétique. Si le nombre d'or,comme le pense[60] le compositeur Xenakis, est relié à notre corps, son usage peut êtreune technique pour obtenir de l'harmonie.

Albrecht Dürer développe un module dans lemême esprit que l'homme de Vitruve de Léonardde Vinci. Le sien utilise un système de division

par 10 [74] .

La première corrélation recherchée est dans les dimensions du corpshumain. Elle débouche sur la tentative d'un système de mesureconstruit à l'aide du seul nombre d'or. Zeising fonde toute uneanatomie[75] sur cette arithmétique. Après un vif effet de mode, cetteapproche est finalement abandonnée. Ses proportions sont à la fois tropimprécises et ne correspondent que trop mal à l'anatomie du corpshumain. Les proportions du crâne, par exemple, ne sont pas réalistes[76]

. D'autres raisons, plus profondes encore, sont la cause de l'abandond'une démarche de cette nature. L'anatomie médicale n'est pas à larecherche d'une proportion particulière, mais des limites qui, si ellessont dépassées deviennent pathologiques. Elle utilise des fractionssimples ainsi que des plages de longueur, mais jamais le nombred'or[77] . Là où certains voient une divine proportion, comme dans lerapport de la longueur de l'avant-bras sur celui de la main, l'anatomistescientifique calcule le rapport entre la longueur de la main et celle del'avant bras, il voit 2/3. La différence entre les deux approches,inférieure à 8 %, ne lui paraît pas justifier une telle complexité, au vudes variations observées entre les individus.

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Une autre raison est fournie par S. J. Gould, un paléontologue[78] . Les dimensions d'un être humain sont enconstante évolution. En un siècle, le Français moyen a gagné 11 centimètres[79] , et cette croissance n'est pasuniforme. Le jeu des proportions d'un corps humain est essentiellement dynamique, cet aspect rend difficiled'imaginer une proportion unique, clé universelle de l'anatomie humaine. Une approche de cette nature, tropnormative et intemporelle, n'a pas beaucoup de sens scientifique en anatomie[80] . Si cet axe de recherche n'est plusd'actualité, cela ne signifie pas l'abandon de la quête du nombre d'or dans le corps humain. Le cerveau est maintenantsource d'attention[81] . Cette théorie reste minoritaire et controversée.Les contraintes artistiques sont de natures différentes. Les artistes, attentifs au travail des médecins, ont imaginé desmodules ou systèmes de proportions, propres au corps humain. Le désir de le représenter impose une démarche decette nature. Un très ancien module est celui des égyptiens[82] , la classique proportion du rapport de la taillecomplète à la hauteur du nombril est estimé à 19/11, relativement loin du nombre d'or. Les modules sont, en général,purement fractionnaires. Tel est le cas de celui inventé par les égyptiens, par Polyclète, qui nous est rapporté parVitruve, de celui de Cousin, de Vinci ou de Dürer . Il est néanmoins difficile d'en déduire que Dürer croyait en uncanon universel. Il initie une conception fondée sur la pluralité des types de beauté[83] , ayant chacune sesproportions propres.

Œuvre de l'homme

PeintureL'idée que le nombre d'or possède une qualité visuelle intrinsèque est largement citée[84] . Un argument est laprésence de la divine proportion dans de nombreux chefs d'œuvres. Le canon de la figure humaine de Dürer lecontient explicitement. Cependant les commentaires précis sont rares, ce qui amène à rechercher le rapport d'Euclide,sans information directe de la part de l'auteur. L'existence d'une forme géométrique ayant des concordances avec letableau est pour certains, un élément de preuve. Pour d'autres[85] une démarche de cette nature est peu convaincante.

Les dimensions de La Naissance de Vénus de SandroBotticelli respectent assez précisément la divine proportion.

Il est pourtant très peu probable que cela indique unequelconque volonté de l'auteur.

Un exemple est celui de La Naissance de Vénus de SandroBotticelli[86] . Ses dimensions, 172,5 × 278.5 cm respectentprécisément la proportion. Le carré, associé au rectangle d'or,correspond à un rythme du tableau, enfin la diagonale durectangle restant, ainsi que celle symétrique, sont des lignes deforces. Ce raisonnement n'a pas convaincu certainsspécialistes. Le tableau semble faire partie d'un diptyque avecLe Printemps, un autre tableau du maître. L'aile d'un desDieux, nommé Aura est étrangement coupé. Pour en avoir lecœur net, une analyse finit par être faite. Le verdict est sansappel, Botticelli avait choisi une taille analogue à celle duPrintemps[87] , le haut du tableau est amputé de 32.5 cm etavait, à sa conception la taille de son alter ego. Dans ce cas, lechoix de la divine proportion ne correspond pas à celui de soncréateur.

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De nombreuses indicationslaissent penser que ce n'est pas ducôté de la divine proportion qu'ilfaut chercher à comprendre les

rythmes du Saint-Jérôme deLéonard de Vinci.

Pour certains, il existe un fondement scientifique à la beauté : « ... la nature,ministre de la divinité, lorsqu'elle façonna l'homme, en disposa la tête avec toutesles proportions voulues ...[26] ». Cette idée n'est pas une invention de Pacioli, letraité de peinture[88] de Leon Battista Alberti, établissant les premières règles de laperspective, était déjà l'illustration d'une philosophie analogue. La découverte delois scientifiques, modifie la peinture et permet d'incarner un nouvel idéal. Sil'approche mathématique d'Alberti obtient un large consensus, peu d'élémentslaissent penser à un succès analogue pour la loi de la divine proportion.

Un exemple est le cas Vinci. Pacioli est un de ses amis proches[89] , Vinci connaîtsuffisamment ses théories pour illustrer son livre. À travers ses codex[90] , sontraité[91] et les multiples analyses de ses sources[92] , la pensée de Vinci sur laproportion en peinture nous est connue. Si, pour le maître, la peinture s'apparente àune science[93] , ses thèses sont forts éloignées de celle de son ami. Sa premièresource est l'observation et l'expérience, et non les mathématiques : « ... l'expérienceayant été la maîtresse de ceux qui écrivent bien, je la choisis pour maîtresse et, entout cas ferai appel à elle[94] ». Cette attitude se traduit, par exemple pour le choixdes proportions humaines. À travers de multiples dissections, il mesure systématiquement les rapports entre lesdimensions des différents os et muscles. Ses planches médicales l'amènent à une conception de l'anatomie dont lesrapports sont de même nature que celle de la médecine moderne : ils sont fort nombreux et s'expriment à l'aide defractions composées de petits facteurs entiers[95] . La science de Vinci s'applique aussi sur des sujets déjà traitéscomme la perspective. Une fois encore, sa logique est plus proche de l'observation que de la rigidité mathématique.Les lois qu'il ajoute à celles d'Alberti traitent de la couleur : une chose éloignée voit sa couleur tirer vers le bleu,ainsi que de la netteté « comment les choses qui s'éloignent doivent être moins nettes proportionnellement à leurdistance[96] ». Les règles régissant la proportion chez Vinci sont subtiles et en opposition avec des articulationsalbertiennes, trop claires à ses yeux[97] , comme l'application directe d'une proportion sans lien avec sesobservations.

À l'instar du Saint Jérôme à droite, beaucoup d'exemples de rectangle d'or trouvés chez un peintre[98] supposent uneapproche de la proportion sans justification de la part du peintre ou, comme ici, contraire aux règles établies par sonauteur. Ni Arasse dans son volumineux ouvrage sur Vinci, ni Marani dans le sien[99] ne font référence à uneexplication de cette nature.Le nombre d'or a aussi influencé les peintres du groupe de Puteaux, appelé aussi « Section d'or », groupe qui se créeautour de Jacques Villon en 1911. Leur emploi du nombre d'or en peinture est cependant davantage intuitif quepurement mathématique.

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Archéologie

Le théâtre d'Épidaure contient deux séries de gradins, l'unede 21, l'autre de 34, deux nombres connexes de la suite de

Fibonacci dont le rapport est proche du nombre d'or.

L'archéologie est un sujet de controverse. Pour le princeGhyka, elle est la preuve de l'universalité du canon de beautéqu'est le nombre d'or. L'argument principal est le caractèrevaste du nombre d'exemples. Le prince reprend les travaux deson prédécesseur Zeising et l'enrichit considérablement. Lethéâtre d'Épidaure possède deux séries de gradins l'une de 21et l'autre de 34 marches, deux éléments consécutifs de la suitede Fibonacci.

Si l'on en croit les canons de labeauté de Polyclète le sculpteur à

qui l'on attribue l’éphèbeWestmacott les proportions du

corps humains sont des fractionsd'entiers et non le nombre d'or.

Les plus convaincus citent le temple d'Andros et celui de Salomon comme exempled'utilisation du nombre d'or. Pour le temple d'Andros, sa forme actuelle est unlosange dont deux côtés ont un rapport approximativement égal à 5/3, une valeurproche du nombre d'or. L'origine de ces vestiges, qui daterait de 10000 ans, n'estpas avérée. Ce site, non reconnu par les archéologues officiels[100] est pour sespartisans une preuve de l'existence de l'Atlantide[101] . Le temple de Salomon auraitune dimension d'un rapport 2/1, certains[102] remarquent que ce sont deux termesconsécutifs de la suite de Fibonacci, un élément suffisant à leurs yeux pour voir latrace du nombre d'or.

La pyramide de Kheops convainc un public plus vaste. Cet exemple est cité depuisle milieu de XIXe siècle, une époque où la méconnaissance presque totale del'égyptologie donne naissance à d'innombrables mythes[103] . La coïncidence entreles dimensions de la pyramide et le nombre d'or est ici excellente. Le rapport entrela longueur de la plus grande pente d'une des faces et la demi-longueur d'un côtécorrespond au nombre d'or avec une précision de moins de 1 %. Le scepticisme desprofessionnels est la conséquence de la connaissance actuelle de la civilisationégyptienne[104] . Les outils mathématiques nécessaires pour une détermination dunombre d'or, n'apparaissent que 700 ans plus tard, grâce à un apportbabylonien[105] . On ne trouve pas non plus la moindre trace religieuse ouesthétique qui justifie un choix de cette nature. Cette faiblesse pousse Taylor, àl'origine de cette hypothèse, à créer de toute pièce une citation de Hérodote : « Lecarré construit sur la hauteur verticale égalait exactement la surface de chacune desfaces triangulaires »[106] .

Le cas grec est encore plus populaire et très largement étayé. Mais l'écart entre la culture grecque et le nombre d'orlaisse perplexe les spécialistes[107] . Ces proportions incommensurables, que sont la diagonale d'un carré ou celled'Euclide, sont vécues comme un scandale[108] , une trahison[109] des dieux à l'époque de Pythagore. Un grecn'imagine pas qu'un nombre puisse être autre chose qu'une fraction d'entiers. L'existence de proportions, comme celled'Euclide, qui ne sont pas des nombres est une source de chaos intellectuel, à l'opposé des valeurs philosophiques et

mystiques des pythagoriciens[110] . On raconte que Hippase de Métaponte aurait été exclu de la confrérie des pythagoriciens pour avoir dévoilé le scandale de l'incommensurabilité d'une diagonale d'un dodécaèdre, une autre

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indique qu'il aurait péri noyé[111] , conséquence de son impiété. Qu'une proportion aussi négative soit utilisée pourles monuments apparaît étonnant. Les textes d'architecture grecs confirment l'usage des nombres rationnels pourdéfinir les proportions des bâtiments. Les proportions harmonieuses sont longuement relatées par Vitruve unarchitecte, auteur du célèbre traité De Architectura en dix volumes[112] . Pour se faire il utilise largement, au volumeIX, les mathématiques de Platon, Pythagore ou d'autres mathématiciens. Les proportions proviennent du module dePolyclète un sculpteur grec contemporain de Phidias. Le traité de Vitruve ne contient aucune trace de proportionirrationnelle à l'exception de la diagonale du carré[113] .Enfin, les exemples choisis par le prince sont controversés. Retrouver la divine proportion dans la façade duParthénon demande des conventions spécifiques, comme d'inclure trois des quatre marches du fronton[114] ou detronquer le toit[115] . L'usage de valeurs non spécifiques donne des résultats trop éloignés de l'objectif[116] . Pourexpliquer la présence du nombre d'or dans les proportions des monuments grecs, Ghyka n'hésite pas à utiliser desfractions comme 1/φ4, bien difficile à différencier de 1/4, ou d'une racine quatrième de φ. Les techniqueshellénistiques sont pourtant incapables de réaliser un tel calcul[117] .

ArchitectureLe Corbusier est l'architecte qui théorise l'usage du nombre d'or dans son métier. S'il reprend l'idée de Vitruve,consistant à proportionner un bâtiment aux dimensions d'un corps humain, il y associe d'autres éléments justifiantl'usage de la proportion d'Euclide.Le nombre d'or permet de créer un curieux système de numération. Les mathématiques nous apprennent qu'il estpossible de construire une numération positionnelle, non seulement avec dix, comme celle des humains, ou avecdeux, pour les ordinateurs, mais avec n'importe quel nombre réel strictement positif et différent de un. Celui construitavec le nombre d'or, appelé base d'or, lui semble le plus adapté à l'architecture. Au premier contact, il est un peuétrange. Par exemple dans ce monde 100 est égal à 10 + 1, ce qu'un mathématicien lit φ2 = φ + 1. Cette loi est laréincarnation du vieux quine des tailleurs de pierre du Moyen Âge, une paume plus une palme est égal à un empan.Cette échelle harmonique pour reprendre son expression[118] permet de réconcilier les atouts du système métriquedécimal, pratique et abstrait, avec ceux du système anglais des pouces et des pieds, naturel mais peu pratique. Encalant les différentes dizaines, c'est-à-dire ici les puissances du nombre d'or, sur les dimensions humaines, LeCorbusier cherche à obtenir un système alliant les deux avantages. La deuxième unité correspond à la taille d'unavant-bras, la troisième à la distance entre le nombril et le sommet de la tête, la quatrième à celle entre le sol et lenombril d'un homme debout et la cinquième à la taille d'un adulte.En termes d'architecture, cette démarche offre un moyen naturel pour incarner l'idéal de Vitruve. Chaque dizainecorrespond à une proportion humaine et les différentes proportions se répondent entre elles. En termes d'urbanisme,Le Corbusier cherche à trouver un moyen de normalisation. En 1950, date de parution du premier tome sur leModulor, nom qu'il donne à ce système, les besoins de reconstruction sont vastes et la rationalisation de laproduction, un impératif. L'auteur parle de machine à habiter. Cette démarche, vise aussi un objectif esthétique. Lanormalisation dispose d'un avantage, elle permet plus d'harmonie. Le tracé régulateur, c'est-à-dire l'échelle construitesur la suite de Fibonacci y joue un rôle : « Le tracé régulateur n'apporte pas d'idée poétique ou lyrique ; il n'inspirenullement le thème ; il n'est pas créateur ; il est équilibreur. Problème de pure plasticité[119] »À partir des années 1950, Le Corbusier utilise systématiquement le modulor pour concevoir son œuvrearchitecturale. La Cité radieuse de Marseille ou la Chapelle Notre-Dame-du-Haut de Ronchamp sont deux exemplescélèbres.

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MusiqueEn musique, le nombre d'or est recherché à la fois dans l'harmonie et dans le rythme.Le terme d'harmonie désigne ici une technique permettant de choisir les différentes notes jouées simultanément.Durant une période qui s'étend du XVIe siècle au début du XXe siècle, elle est essentiellement tonale, à l'image de lamusique de Bach ou Mozart. Aucune série de deux notes ne définit une proportion d'or. L'approximation la plusproche étant la quinte obtenue par deux sons dont les fréquences définissent un rapport de 3/2. Pour cette raison, lenombre d'or est souvent recherché dans la musique du XXe siècle. De nouvelles gammes sont explorées, comme lagamme décatonique ou 10-TET[120] (ten-ton équal temperament). Dans celle-ci, l'octave est partagé en 10 partieségales. Chaque degré représente alors un écart de 21/10. Pour cette gamme, le nombre d'or est proche du rapportdéfini par deux notes séparées de 7 degrés. La présence du nombre d'or ici est néanmoins un peu fortuite. Un écartentre 7 degrés donne une proportion de 27/10 approximativement égal à 1,624.Le rythme est plus largement associé au nombre d'or et sur une période musicale plus vaste. Son traitement par Bachest l'objet d'une thèse de doctorat[121] , sur l'analogie entre les rythmes de Suite en do mineur pour luth (BWV 997)et la Passion selon saint Matthieu (BWV 244). Roy Howat montre que Debussy était associé à des revuessymbolistes auxquelles il participait et qui analysaient les proportions et le nombre d'or. Il montre aussi comment onretrouve cette approche à travers des œuvres comme La mer ou Reflets dans l'eau[122] . Des études montrent desrésultats analogues pour Erik Satie[123] , Béla Bartók[124] ou encore Karlheinz Stockhausen[125] .À l'exception de compositeurs comme Xenakis où l'usage du nombre d'or est explicité par l'auteur[60] , l'absence depreuve définitive empêche le consensus[126] . La polémique est néanmoins de nature différente de celle qui sévit, parexemple en archéologie. Ici la position favorable à l'existence d'un usage large du nombre d'or est défendue par desinstitutions professionnelles comme l'Ircam[127] ou une thèse d'Université comme celle de Montréal[128] .

Esthétique mathématiqueUne question récurrente est celle de l'existence ou non d'une réalité scientifique de l'idée de beauté associée aunombre d'or. Elle s'inscrit dans le cadre général d'une théorie scientifique de l'esthétique. Certains artistes, commeXenakis en sont persuadés : « Or, les durées musicales sont créées par des décharges musculaires qui actionnent lesmembres humains. Il est évident que les mouvements de ces membres ont tendance à se produire en des tempsproportionnels aux dimensions de ces nombres. D’où la conséquence : les durées qui sont en rapport du nombre d’orsont plus naturelles pour les mouvements du corps humain[60] ». Charles Henry, dans le domaine des arts picturaux,inscrit le nombre d'or dans une vaste théorie de cette nature, traitant non seulement des proportions, mais aussi de lacouleur et des constrastes[47] .Préfigurant une démarche de nature sociologique comme celle d'Émile Durkheim, le philosophe allemand GustavFechner tente des expériences statistiques pour valider scientifiquement une association humaine entre le beau et lerectangle d'or[129] . Des formes sont présentées à un public qui évalue les proportions les plus esthétiques. Si lesrésultats vont dans le sens de l'existence d'un canon de beauté construit à l'aide de la divine proportion, le protocolechoisi ne correspond pas aux critères actuels de rigueur[130] . Une deuxième expérience, plus objective[130] met enévidence une préférence pour un format proche du 16/9 de la télévision. Une fois encore, et malgré son caractèreplus rigoureux, le caractère universel d'un tel format n'est pas établi.Si l'intuition d'artistes comme Xenakis, Valéry ou Le Corbusier, laisse penser à l'existence d'une transcendanceesthétique du nombre d'or, aucune approche scientifique ne permet d'affirmer la pertinence d'une telle hypothèse.

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Annexes

Bibliographie• M. Neveux, Nombre d'or - radiographie d'un mythe, Seuil/Points, 1995 (ISBN 2020259168)Ce livre est la référence

sur l'analyse critique de l'usage du nombre d'or dans les différents domaines artistiques.• M. Ghyka Le nombre d’or Gallimard, 1931, réédité en 1976 (ISBN 2070292983)Cet ouvrage est à l'origine du mythe

moderne du nombre d'or. Ce livre a séduit de nombreux penseurs comme Valéry ou Le Corbusier.• Le Corbusier LE MODULOR, essai sur une mesure harmonique à l'échelle humaine applicable universellement à

l'Architecture et à la mécanique, Éditions de l'Architecture d'Aujourd'hui, collection ASCORAL, 1949 Réédition1983 (ISBN 2904833013)Ce livre est le premier d'une série de 2 avec LE MODULOR, La parole est aux usagers. Ilexplicite et théorise les raisons qui amènent Le Corbusier à utiliser le nombre d'or en architecture.

• G. Marchand Bach ou la passion selon Jean-Sébastien de Luther au nombre d'or L'Harmattan 2003 (ISBN

2747546519)Ce livre est tiré d'une thèse de doctorat. Il présente une analyse technique des rythmes de la musique deBach et particulièrement de la Passion selon Saint Matthieu à l'aide du nombre d'or.

• R. Herz-Fischler A Mathematical History of the Golden Number Dover Publications 1998 (ISBN 0486400077)Cetexte relate l'histoire mathématique du nombre d'or.

• Marius Cleyet-Michaud, Le nombre d'or, P.U.F., coll. Que sais-je ?, 12e édition, 2002 (ISBN 2130527736)Ce livresuppose un niveau mathématique un peu technique, il traite avec une orientation scientifique les différents aspectsculturels du nombre d'or.

• R. Vincent Géométrie du nombre d'or Chalagam Édition 2004 (ISBN 2951960700)Ce petit traité de 128 pagesillustre, sans nécessité de connaissance mathématique, différentes constructions géométriques à l'aide du nombred'or.

• C. Hakenholz Nombre d'or et mathématique Chalagam 2001 (ISBN 2950800165)Ce petit livre de 63 pages traitespécifiquement de l'aspect géométrique du nombre d'or. Il ne nécessite pas de connaissance mathématiquespréalables.

Voir aussi

Articles connexes• Construction du pentagone régulier à la règle et au compas• Entier de Dirichlet• Suite de Fibonacci• Base d'or• Angle d'or• Notion de module• Nombre d'argent• Nombre plastique

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Liens externes•   Nombre d'or [131] sur Commons• (fr) P. Arnoux Les merveilles du nombre d'or [132] Cité des sciences Une présentation mathématiques du nombre

d'or sous forme de visio conférence. Didactique, riche et remarquablement clair.• (fr) K. Drapel C. Jaquier Le nombre d'or : réalité ou interprétations douteuses ? [133]Une analyse critique du

mythe, solidement documenté.• (en) G. Markowsky, Misconceptions about the Golden Ratio [134], in The College Mathematicals Journal (1992,

23-1 p. 2-19) Une liste précise d'arguments démontrant l'inexactitude d'une série de faits associés au nombre d'or.• (fr) M. Cariou et A. Jatteau Le nombre d'or dans l'architecture grecque : mythe ou réalité ? [135] Archéologie en

chantier Une analyse du rôle du nombre d'or dans l'architecture grecque, par deux élèves de l'Ecole NormaleSupérieure.

• (fr) J.-P. Krivine Le mythe du nombre d’or [136] Association française pour l'information scientifique Un site trèscritique sur le mythe du nombre d'or, bien documenté et amusant.

• (fr) M. Gardes La Divine Proportion de luca Pacioli [137] Académie de Poitiers Analyse de la divine proportionde Luca Pacioli.

• (fr) Louis-Claude de Saint-Martin Les templiers et le nombre d'or [138] Rosa Mystica Une interprétation mystiquedu nombre d'or véritable petit nirvana arithmétique, une voie privilégiée de communication avec l’au-delà.

La version du 26 juillet 2008 de cet article a été reconnue comme « bon article », c'est-à-dire qu'elle répond à des critères de qualitéconcernant le style, la clarté, la pertinence, la citation des sources et l'illustration.

Références[1] Voir par exemple le tracé utilisé pour la construction d'une cuve à vin (http:/ / www. cuves-a-vin. com/ cuve_oeuf. html) en forme d'oeuf[2] Dirichlet Démonstration du théorème de Fermat et de Wilson (compte-rendu par Cournot de quelques mémoires d'Abel, Jacobi et

Lejeune-Dirichlet, au Journ. der Mathemat., de M. Crelle, t. 3, cah. 4). 1829, t. 11, p. 153-157[3] C. Goldstein Fermat et son Théorème Orsay Info 57 1999 Lire (http:/ / www. ufr-mi. u-bordeaux. fr/ ~belabas/ Orsay-info/ fermat. html)[4] The most irrational number (http:/ / www. ams. org/ featurecolumn/ archive/ irrational4. html) par l'American mathematical society[5] C'est le choix, par exemple de : R. Herz-Fischler A Mathematical History of Division in Extreme and Mean Ratio Wilfrid Laurier Univ Pr

1987 (ISBN 0889201528) ou encore de T. Heath A History of Greek Mathematics, Vol. 1 Dover Publications retirage 1981 (ISBN0486240738)

[6] L'harmonie du nombre d'or (http:/ / www. cyberstrat. net/ ~tpe/ / kheops. html) un site Web parmi d'autres indique : Le nombre d'or, supposéapparaître en pleine Grèce antique était, en réalité, déjà présent dans la grande pyramide égyptienne : la pyramide de Khéops.

[7] L. R. Cedric, Quest for Atlantis Manor Books Inc., New York, 1979[8] Valentine, J. Manson, Archaeological Enigmas of Florida and the Western Bahamas Muse News, Miami Museum of Science, Vol. 1, No. 2,

June 1969[9] Euclide Éléments d'Euclide Livre II théorème 11[10] Euclide Éléments d'Euclide livre VI, 3ème définition.)[11] Voir à ce sujet, par exemple le site The golden ratio (http:/ / www. groups. dcs. stand. ac. uk/ ~history/ HistTopics/ Golden_ratio. html) par

J. J. O'Connor and E. F. Robertson de l'Université de St Andrew[12] Heath, A History of Greek Mathematics, t. I : From Thales to Euclid, Oxford University Press, 1921, p. 160 sq. ; The Thirteen Books of

Euclid's Elements, Cambridge University Press, 1926, t. II, p. 97 sq.[13] Euclide The Thirteen Books of Euclid’s Elements Édition de Thomas L. Heath, Dover, New York, 1956, t. II, p. 97 sq.[14] Thomas L. Heath A History of Greek Mathematics, I : From Thales to Euclid, Oxford University Press, 1921.[15] P. Tannery Mémoires scientifiques. Paris-Toulouse : E. Privat 1912 I p 268[16] On en trouve trace dans : Platon La République Livre VIII 546c, où il parle de diagonales rationnelles et irrationnelles[17] Jean-Luc Périllié La découverte des incommensurables et le vertige de l'infini (http:/ / www. cndp. fr/ RevueCPhil/ 91/ 00902911. pdf)

Transcription d’une conférence qui a eu lieu le 16 mai 2001 à Grenoble p 18[18] Platon Théétète (Platon) 147d[19] Jean-Luc Périllié La découverte des incommensurables et le vertige de l'infini (http:/ / www. cndp. fr/ RevueCPhil/ 91/ 00902911. pdf) p 19[20] R. Herz-Fischler Hero of Alexandria’s Numerical Treatment of Division in Extreme and Mean Ratio and its Implications Phoenix 35 (1981),

pp. 129-133

Nombre d'or 23

[21] Ces deux exemples proviennent du site The Golden Ratio (http:/ / www-groups. dcs. st-and. ac. uk/ ~history/ HistTopics/ Golden_ratio.html) par J. J. O'Connor and E. F. Robertson de l'Université de St Andrew

[22] Fibonacci Liber abaci 1202 ce texte est traduit par L. E. Sigler en anglais éditeur Springer-Verlag 2002 (ISBN 0387954198)[23] P. Singh The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India Historia Mathematica 12(3), 229–44, 1985.[24] La mesure du monde (http:/ / www. britannica. fr/ Lettre4/ HistoireMesure. html) dossier mensuel de Britanica France[25] « Un autre reproche qu’il nous faut aussi, en préambule, adresser à un grand nombre de ceux qui se sont occupés de cette question, c’est que,

convaincus à priori du caractère totalement « secret » de cette géométrie et, de ce fait, de la quasi inexistence de la documentation, ils se sontlaissés aller à échafauder ce qui apparaît comme étant davantage des rêveries que des hypothèses, la plupart d’entre elles étant exclusivementcentrées sur le fameux « Nombre d’Or », un aspect en réalité assez « secondaire » de la question et dont l’émergence au premier plan despréoccupations des bâtisseurs, ou, plus exactement, au premier plan de la littérature traitant du sujet, ne date en fait que de la Renaissance » P.Vela El mas noble y cabal fundamenta de la canteria Letra y espiritu n° 18 nov. 2003

[26] Luca Pacioli De Divina Proportione traduction française par G. Duschesne et M. Giraud, Librairie du Compagnonnage, 1980[27] Luca Pacioli Tractato de l’architectura 1509[28] Vitruve De Architectura lire (http:/ / gallica. bnf. fr/ scripts/ catalog. php?Mod=i& Titre=& FondsTout=on& FondsTxt=on&

FondsImp=on& FondsPer=on& FondsImg=on& FondsAud=on& FondsMan=on& Auteur=Vitruve& Sujet=& RPT=)[29] M-C. Hellmann L’Architecture Grecque T1 Les manuels d’Art et d’Archéologie Antiques 2002 (ISBN 270840606X)[30] Luca Pacioli Tractato de l’architectura 1509 ch. I 5[31] Il est probablement exact de dire que ni Palladio ni aucun autre architecte de la Renaissance n'a usé des proportions irrationnelles Rudolf

Wittkower, Les principes de l'architecture à la Renaissance, éditions de la Passion, Traduction française de 1996 (ISBN 2-906229-30-X)[32] Ce paragraphe s'inspire de l'article : Marcus Frings The Golden Section in Architectural Theory Nexus Network Journal Birkhäuser Basel

Vol 4 N°1 2002 pp 9-32 Lire le pdf (http:/ / www. springerlink. com/ content/ n54g745j4u7202w6/ fulltext. pdf)[33] Ces informations proviennent du site The Golden Ratio (http:/ / www-groups. dcs. st-and. ac. uk/ ~history/ HistTopics/ Golden_ratio. html)

par J. J. O'Connor and E. F. Robertson de l'Université de St Andrew[34] L Curchin and R Herz-Fischler De quand date le premier rapprochement entre la suite de Fibonacci et la division en extrême et moyenne

raison? Centaurus 28 (2) 1985 p 129-138[35] Ce résultat est publié deux ans après sa mort dans un livre intitulé Les œuvres mathématiques de Simon Stévin, augmentées par Albert Girad

1634[36] A. Ross Extrême et moyenne raison (http:/ / newton. mat. ulaval. ca/ amq/ bulletins/ mai05/ Extreme. pdf) Association mathématique du

Quebec[37] E. Montucla Histoire des Mathématiques 1758[38] Cette information provient du site when de counting gets tough, the tough count on mathematics (http:/ / www. cut-the-knot. org/ arithmetic/

Fibonacci. shtml) de W. A. McWorter Jr[39] earliest known uses of some of the words of mathematics (http:/ / members. aol. com/ jeff570/ f. html)[40] Édouard Lucas Sur la recherche des grands nombre premiers AFAS Congrès 1876 5 p 61-68[41] Une analyse détaillée du travail d'Édouard Lucas est disponible sur Thèse de A. M. Decaillot-Laulagnet (http:/ / www. univ-lille1. fr/

bustl-grisemine/ pdf/ extheses/ 50416-1999-Decaillot-Laulagnet. pdf)[42] Site de l'Université de St Andrew (http:/ / www-groups. dcs. st-and. ac. uk/ ~history/ HistTopics/ Golden_ratio. html) par J. J. O'Connor et

E. F. Robertson[43] Voir par exemple l'introduction de : Adolf Zeising Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers Weigel 1854[44] Adolf Zeising Das Pentagramm Weigel, 1865[45] Un exemple est donnée par la pyramide de Khéops. Cette idée provient à l'origine d'un livre de John Taylor Why was it built and who built

it? Longman, Green, Longman, and Roberts 1859. Elle se fonde sur une citation de Hérodote : « Le carré construit sur la hauteur verticaleégalait exactement la surface de chacune des faces triangulaires ». La citation est inexacte, en revanche, Hérodote parle bien de la pyramide deKhéops mais propose des dimensions relativement fantaisistes, 238 mètres de large et autant de haut (cf édition de la pléade, Enquète II(123)).

[46] La taille d'un homme est égale à l'espace compris entre ses deux bras étendus.

De la naissance des cheveux au bas du menton, il y a un dixième d'une hauteur d'homme ; du bas du menton ausommet de la tête, il y a un huitième de sa hauteur ; du haut de la poitrine au sommet de la tête, il y a un sixième. Duhaut de la poitrine à la naissance des cheveux, il y a un septième de hauteur d'homme. Des mamelons au sommet dela tête, il y a un quart. La plus large mesure d'une épaule à l'autre représente un quart de la taille de l'homme. Ducoude à la pointe du majeur, il y a un cinquième ; et du coude à l'angle de l'épaule, il y a un huitième d'une hauteurd'homme. La main tout entière constitue un dixième ; la naissance de la verge est le milieu du corps. Le pied est laseptième partie de l'homme. De la plante du pied au point juste en dessous du genou, il y a un quart d'une hauteurd'homme. De ce point à la naissance de la verge, il y a un quart. La distance entre le début du menton et le nez etentre la naissance des cheveux et les sourcils est la même et, comme l'oreille, représente un tiers de la face. » Lire(http:/ / www. lalyreduquebec. com/ Da_Vinci_humain/ figure_humaine. htm)

Nombre d'or 24

[47] Charles Henry l'introduction à une esthétique scientifique 1885[48] Une large partie de ce paragraphe tire ses idées et les faits notoires de l'article Le nombre d'or : réalité ou interprétations douteuses (http:/ /

ic. epfl. ch/ webdav/ site/ ic/ shared/ article_drapel_. jaquier. pdf) de C. Jaquier et K. Drapel[49] En règle générale, la spirale logarithmique d'une coquille de mollusque est bien loin de celle de la proportion d'or, pour un nautile la

proportion se situe autour de 1,3 : La coquille des mollusques (http:/ / hypo. ge. ch/ www/ math/ html/ node66. html)[50] Archéologie en chantier (http:/ / www. diffusion. ens. fr/ archeo/ rech/ folder. 2006-11-21. 2131063934/ nombredor/

view?searchterm=hellmann) par M. Cariou et A. Jatteau[51] C. M. César Matila Ghyka : La mesure mathématique dans l'art Filosofia oggi 1996 Vol 19 N° 1-2 pp 69-72[52] Dominique Coquelle Les volumes d'or Trajectoire 2002 (ISBN 2841972178), le livre commence par « Depuis le début de son histoire, la

race humaine a traversé des périodes fabuleuses, dignes d'une légende ou d'un conte ... »[53] On trouve une présentation de cette nature sur le site Les templiers et le nombre d'or (http:/ / rosamystica. oldiblog. com/ ?page=articles&

rub=420229)[54] Pour R. Cedric Leonard l'existence d'une proportion proche de celle du nombre d'or dans ce temple permet de déduire que : « Ceci est

clairement un édifice d'importance construit par une civilisation aux mathématiques sophistiquées » The Bahama Island Underwater Ruins(http:/ / www. atlantisquest. com/ Bahama. html). Comme indiqué dans le sous-titre du site, cette hypothèse sur la signification de cet amas depierres est, selon son auteur : « ignorée par le courant archéologique principal »

[55] F. P. Liharzik Das Quadrat Wien 1865[56] Cette information provient du site Nombre d'or : réalité ou interprétations douteuses (http:/ / ic. epfl. ch/ webdav/ site/ ic/ shared/

article_drapel_. jaquier. pdf) C. Jaquier K Drapel p 6[57] Ce point de vue de Matila Ghyka est unanimement condamné par la communauté scientifique, voir à ce sujet : Marguerite Neveux , H.E.

Huntley Le nombre d'or Le Seuil 1995 (ISBN 2020259168) ou encore le site Historique du nombre d'or (http:/ / membres. lycos. fr/ morvillier/hist. htm) par L. Morvillier J. Rey et G. Rigault

[58] On trouve par exemple : « s’il existe une race dont le nombril est trop bas pour la grande majorité des individus, cette race n’a pas encoreatteint sa maturité » D. Neroman Le nombre d'Or, clé du monde vivant Dervy (ISBN 2844540899)

[59] Dans une étude sur le cerveau, le nombre d'or est prétexte à condamner une minorité : « au contact d’immigrés attirés par une vie plus facile[… qui] rêvent de nous soumettre à leur culture, sinon de réduire et d’altérer la nôtre »L. Israël Cerveau droit, cerveau gauche, cultures etcivilisations Plon 1995 (ISBN 2259028012). Tout un chapitre cherche à démontrer un accord entre le cerveau et le nombre d'or.

[60] Makis Solomos Les Anastenaria de Xenakis. Continuité et discontinuité historique (http:/ / www. iannis-xenakis. org/ fxe/ actus/ solom2.pdf) Université Montpellier 3, Institut Universitaire de France 2003

[61] Cette revue porte le nom de Fibonacci quarterly Publication officielle de l'association Fibonacci (http:/ / www. engineering. sdstate. edu/~fib/ )

[62] W. F. B. Hofmeister Handbuch der Physiologischen Botanik W. Engelmann, Leipzig 1868[63] Julius Sachs Vorlesungen uber Pflanzenphysiologie 1882[64] P. De Kepper Morphogenèse chimique : les réactions créatrices des rythmes et de formes (http:/ / cerimes. cines. fr/ 3517/ load/ documents/

utls/ download/ pdf/ 240800. pdf) 237e conférence de l’Université de tous les savoirs donnée le 24 août 2000[65] S. Douady, Y. Couder Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process (Part I, II, III), J. Theor. Biol. 139, pp 178 312 1996[66] S. Boissière Dynamique de la Phyllotaxie (http:/ / math. unice. fr/ ~sb/ Phyllotaxie. pdf) Laboratoire J. A. Dieudonné Université de Nice[67] Robert Chalavoux Nombre d'or, nature et œuvre humaine Chalagam 2001 (ISBN 2950800173)[68] Une explication simple est donnée dans le site Physique des spirales végétales : la Phyllotaxie (http:/ / den35. club. fr/ index. html). Une

explication plus technique est donnée dans l'article détaillé. L'article ayant convaincu la communauté scientifique est : S. Douady Y CouderPhyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process (Part I, II, III) J. Theor. Biol. 139 pp 178-312 1996

[69] iFrance et le nombre d'or (http:/ / jmbreux. ifrance. com/ nombre_d_or. html)[70] Nombre d'or (http:/ / www. lavf. com/ guide-bourse/ lexique/ Nombre_d_or-404. html) dans La vie financière[71] La coquille des mollusques (http:/ / hypo. ge. ch/ www/ math/ html/ node66. html)[72] Astrofiles galaxie (http:/ / www. astrofiles. net/ astronomie-les-galaxies-histoire-et-classification-49. html)[73] Kitaev Levitov Al_0.86 Mn_0.14: a six-dimensional crystal JETP Lett. 41 p 145 1985[74] L'essentiel des informations sur l'anatomie du point de vue artistique est détaillé dans le site L'anatomie (http:/ / www. cosmovisions. com/

anatomieartistique. htm) Imago Mundi par Serge Jodra[75] Adolf Zeising Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers Weigel 1854.[76] Nombre d'or : réalité ou interprétations douteuses (http:/ / ic. epfl. ch/ webdav/ site/ ic/ shared/ article_drapel_. jaquier. pdf) C. Jaquier K

Drapel p 18[77] Une description anatomique est disponible sur le site Cours d'anatomie de la faculté de Médecine de Rouen (http:/ / www. cours-anatomie.

info/ ), on peut aussi consulter le livre K. L. Moore A. F. Dalley Anatomie médicale Groupe de Boek 2007 (ISBN 274450114X)[78] Cet argument provient du site Nombre d'or : réalité ou interprétations douteuses (http:/ / ic. epfl. ch/ webdav/ site/ ic/ shared/ article_drapel_.

jaquier. pdf) C. Jaquier K Drapel p 19[79] Les références sont donnés dans l'article Stature[80] S. J. Gould La mal-mesure de l'homme 1997 (ISBN 2738105084)[81] L'esthétique et le nombre d'or (http:/ / cerveaudroit. ouvaton. org/ article. php3?id_article=21)

Nombre d'or 25

[82] Ce module est retrouvé par Karl Richard Lepsius en 1852, cf L'anatomie (http:/ / www. cosmovisions. com/ anatomieartistique. htm) ImagoMundi par Serge Jodra

[83] L'idéal classique et la figure humaine (http:/ / museefabre. montpellier-agglo. com/ pdf. php/ ?filePath=var/ storage/ original/ application/55f805117cf1d839bbee6dca8fec094d) p 2 par le musée Fabre 2006

[84] Par exemple « certains artistes n’ont eu de cesse de réutiliser et de creuser cette veine ... on retrouve cette quête de perfection dans le partageet la proportion (celle d'Euclide) qui intéressait déjà les anciens » Lire (http:/ / www. crdp-montpellier. fr/ petiteshistoires/ communs/ docpp/PP-MAT-1- Le nombre d'or et les arts. pdf) À la recherche de l’harmonie M. Bourget IUFM de Montpellier

[85] Marguerite Neveux H.E. Huntley Le nombre d'or Le Seuil 1995 (ISBN 2020259168)[86] Une analyse de même nature que celle proposée ici est disponible sur le site La Naissance de Vénus (http:/ / www. lenombredor. free. fr/

naissvenus. htm) on trouve une analyse très proche sur le site d' iFrance (http:/ / expo. ifrance. com/ lenombre/ ven_gril. htm)[87] Par exemple : La Naissance de Vénus - Le Printemps (http:/ / www. bergerfoundation. ch/ Sandro/ 44venusprintemps. html)[88] Leon Battista Alberti De pictura 1425[89] Voir par exemple sa biographie Luca Pacioli (http:/ / www-groups. dcs. st-andrews. ac. uk/ ~history/ Biographies/ Pacioli. html) par J. J.

O'Connor E. F. Robertson dans le Site de l'Université de St Andrew[90] Léonard de Vinci Carnets de Léonard de Vinci : Projet Gutenberg édition 1939 (http:/ / digital. library. upenn. edu/ webbin/ gutbook/

lookup?num=5000)[91] Léonard de Vinci Traité de la peinture Version de 1490-1517 (http:/ / www. comunitarismo. it/ [ebook - ita - ARTE] Da Vinci Leonardo -

1436 - Trattato della pittura - Einaudi 1924. pdf)[92] par exemple : Daniel Arasse Léonard de Vinci Hazan 2002 (ISBN 2850258253)[93] « ... il (Vinci) s'intéresse semble-t-il davantage aux fondements scientifique et au contrôle rationnel (de la peinture) ... » Daniel Arasse

Léonard de Vinci Hazan 2002 (ISBN 2850258253) p 266[94] Léonard de Vinci Codex Atlanticus 119 v-a[95] Une analyse de cette nature est accessible sur le site Proportions of the head and face (http:/ / www. fromoldbooks. org/

Richter-NotebooksOfLeonardo/ section-7/ item-315. html) par Léonard de Vinci[96] texte de Léonard de Vinci tiré de Daniel Arasse Léonard de Vinci Hazan 2002 (ISBN 2850258253) p 303[97] Daniel Arasse Léonard de Vinci Hazan 2002 (ISBN 2850258253) p. 349[98] On trouve celui là par exemple sur le site Nombre d'or 2003 Léonard de Vinci (http:/ / membres. lycos. fr/ nombredor2003/ ?page=devinci)[99] P. C. Marani Léonard Actes Sud Traduction A. Guglielmetti 2003 (ISBN 2742744274)[100] Cette assertion provient de son ardent défenseur, me site est « ignoré par le courant archéologique principal » The Bahama Island

Underwater Ruins (http:/ / www. atlantisquest. com/ Bahama. html)[101] L. R. Cedric, Quest for Atlantis Manor Books Inc., New York, 1979[102] par exemple le site : Le nombre d'or ou la divine proportion (http:/ / angelsplace. club. fr/ Nombred'Or. htm)[103] Celui-ci date de 1859 : John Taylor Why was it built and who built it? Longman, Green, Longman, and Roberts 1859[104] Eric Temple Bell The Magic of Numbers Dover Publications 1992 (ISBN 0486267881)[105] Stillwell, John. 2004. Mathematics and its History. Berlin and New York: Springer-Verlag. 542 pages. p. 86[106] Une analyse détaillée par George Markowsky est disponible Misconceptions about the golden ratio (http:/ / www. cs. umaine. edu/

~markov/ GoldenRatio. pdf)[107] On trouve une analyse de cette perplexité chez Marguerite Neveux H.E. Huntley Le nombre d'or Le Seuil 1995 ((ISBN 2020259168) ou

encore sur le site : Archéologie en chantier (http:/ / www. diffusion. ens. fr/ archeo/ rech/ folder. 2006-11-21. 2131063934/ nombredor/view?searchterm=hellmann) par M. Cariou et A. Jatteau

[108] Le terme est utilisé par P. Tannery : Mémoires scientifiques Paris-Toulouse : E. Privat 1912 I p 268. Platon et Aristote utilise le termemoins fort : θαυηάζειν que l'on pourrait traduire par frappé par le tonnerre : Platon Lois Livre VII 819 d6 ou encore Aristote Métaphysique A,983 a 15

[109] « Quelques rares témoignages platoniciens et présocratiques montrent en tout cas que la prise de conscience de l’incommensurabilité, loind’avoir été vécue sous le mode de la jubilation archimédienne, aurait bien plutôt fait l’objet d’un scandale, d’une trahison, plongeantmomentanément la conscience grecque dans l’absurdité, voire l’obscurité. » La découverte des incommensurables et le vertige de l'infini (http:// www. cndp. fr/ RevueCPhil/ 91/ 00902911. pdf) par Jean-Luc Périllié

[110] Simone Jacquemard Trois mystiques grecs : Orphée, Pythagore, Empédocle Albin Michel 1997 (ISBN 2226089462)[111] Jamblique De Vita Pythagorica § 88 p 246 247[112] Ce traité est disponible sur Gallica sous trois traductions distinctes : lire (http:/ / gallica. bnf. fr/ scripts/ catalog. php?Mod=i& Titre=&

FondsTout=on& FondsTxt=on& FondsImp=on& FondsPer=on& FondsImg=on& FondsAud=on& FondsMan=on& Auteur=Vitruve&Sujet=& RPT=)

[113] M-C. Hellmann L’Architecture Grecque T1 Les manuels d’Art et d’Archéologie Antiques 2002 (ISBN 270840606X)[114] Cette technique est utilisée par Huntley : Nombre d'or : réalité ou interprétations douteuses (http:/ / ic. epfl. ch/ webdav/ site/ ic/ shared/

article_drapel_. jaquier. pdf) C. Jaquier K Drapel p 9[115] C'est la solution adoptée par Matila Ghyka :Le nombre d’or Gallimard, 1931, réédité en 1976 (ISBN 2070292983).[116] M. Trachtenberg I. Hyman Architecture, from Prehistory to Post-Modernism Prentice Hall (ISBN 0131833650) p 118. Pour le Parthénon,

par exemple on trouve une largeur de 30.78 m pour une hauteur de 13.71 m, soit une proportion de 2,25 : M. Trachtenberg and I. Hyman.Architecture, from Prehistory to Post-Modernism New York: Harry N. Abrams, 1986 (ISBN 0810910772)

Nombre d'or 26

[117] Matila Ghyka Le nombre d’or Gallimard, 1931, réédité en 1976 (ISBN 2070292983)[118] Cette expression est tirée du titre de son premier livre sur le sujet : Le Corbusier Le Modulor : Essai sur une mesure harmonique à l'échelle

humaine applicable universellement à l'architecture et à la mécanique Paris : Architecture d'Aujourd'hui, Réédition 1983 (ISBN 2904833013)[119] Le Corbusier Le modulor : Essai sur une mesure harmonique à l'échelle humaine applicable universellement à l'architecture et à la

mécanique Paris : Architecture d'Aujourd'hui, Réédition 1983 (ISBN 2904833013) p 34[120] A Music Theory for 10-tet, in Tuning, Timbre, Spectrum, Scale by William A. Sethares[121] Cette thèse a donné lieu à un livre : Guy Marchand Bach ou la Passion selon Jean-Sébastien : de Luther au nombre d'or, L'Harmattan,

ISBN 2747546519[122] Roy Howat, Debussy in Proportion : a musical analysis Cambridge 1986 (ISBN 0521311454)[123] M. Gillmor, Erik satie, 1988 ou Robert Orledge, Satie the composer[124] Ernö Lendvai Bartók's Music and Golden Section[125] Gérard Assayag et Jean-Pierre Cholleton, Musique, nombre et Ordinateurs (http:/ / recherche. ircam. fr/ equipes/ repmus/ RMPapers/

Assayag95c/ )[126] Par exemple pour Satie : Courtney S. Adams dans Erik Satie and Golden Section Analysis, Music & Letters, Vol. 77, No. 2 (May, 1996),

pp. 242-252 ou pour Bartok : J-B CondatReply to Ernö Lendvai: Bartók's Music and Golden Section Leonardo Vol. 21 N° 3 1988 p 340[127] Voir à ce sujet le site : Musique, Nombre et Ordinateur (http:/ / recherche. ircam. fr/ equipes/ repmus/ RMPapers/ Assayag95c/ ) par G.

Assayag et J. P. Cholleton 1995[128] Comme par exemple celle de Guy Marchand Forum de l'Université de Montréal (http:/ / www. iforum. umontreal. ca/ Forum/

ArchivesForum/ 2003-2004/ 031208/ article3016. htm)[129] Gustav Fechner Zür experimentalen Aesthetik S.Hirzel 1871[130] Le biais provient d'un nombre trop faible de figures présentées, une dizaine. George Markowsky Misconceptions about the golden ratio

(http:/ / www. cs. umaine. edu/ ~markov/ GoldenRatio. pdf) trouve une « proportion universelle » plus proche de 1,83.[131] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Commons%3Acategory%3Agolden_ratio[132] http:/ / www. cite-sciences. fr/ francais/ ala_cite/ college/ v2/ html/ 2006_2007/ conferences/ conference_239. htm[133] http:/ / ic. epfl. ch/ webdav/ site/ ic/ shared/ article_drapel_. jaquier. pdf[134] http:/ / www. umcs. maine. edu/ ~markov/ GoldenRatio. pdf[135] http:/ / www. diffusion. ens. fr/ archeo/ rech/ folder. 2006-11-21. 2131063934/ nombredor/ view?searchterm=hellmann[136] http:/ / www. pseudo-sciences. org/ spip. php?article796[137] http:/ / ww3. ac-poitiers. fr/ arts_p/ b@lise14/ pageshtm/ page_4. htm[138] http:/ / rosamystica. oldiblog. com/ ?page=articles& rub=420229

Sources et contributeurs de l'article 27

Sources et contributeurs de l'articleNombre d'or  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=49215054  Contributeurs: Abracadabra, Acer11, Aeleftherios, Al1, Alain r, Alband85, Alfosse, Alipho, Ambigraphe, Anarkman,Ancalagon, Archaeodontosaurus, Arnaud.Serander, Arrakis, Arthur Laisis, Astirmays, Aérol, Badmood, Benjamin, Benjism89, Benoît Malbranque, Bnjclerc, Boréal, Bouette, COLETTE,Camico, Cantons-de-l'Est, CaptainCap, Cedric.h, Chalamar, Cham, Chaps the idol, Cherche-Fautes, Chphe, Ci-gît le sage, Claudeh5, Claudius, Clicsouris, CommonsDelinker, Coyau, Creasy,Crestian, Crob, Cypris, Céréales Killer, Cœur, DC2, Dake, Dalandiel, David Berardan, Dikay, Diligent, DocteurCosmos, Duloup, Dumontierc, Dévilès, EDUCA33E, Eden2004, Effco,Ektoplastor, El Caro, Eleventh, Ellisllk, Epierre, Ericdec, Escaladix, EyOne, Ffx, Fikafika, Franckyboy, Fv, FvdP, Gede, Gemini1980, Glax, Gonioul, Grum, Guerinsylvie, HB,HERMAPHRODITE, Harlock59, Henry Salomé, Hégésippe Cormier, IAlex, Isaac Sanolnacov, JLM, Jaimie Ann Handson, Jean-Luc W, Jean-Yves BOULAY, Jeangagnon, Jerome.zf, JéromeBru, Jérôme6210, Kelam, Kelson, Kingmike, Kyro, Laurent75005, Le sotré, Leag, LeonardoRob0t, Lerichard, Liccia, Lo-Olivier, Looxix, Lorenzo, Louperivois, Love Sun and Dreams, LyricV,Maloq, Manuguf, Marc Mongenet, Mari6s, Mathieu.Sebulke, Mathieuw, Maurilbert, Meduz, MetalGearLiquid, Michel ouiki, Michelbailly, Michelet, Micohiba, Moipaulochon, Mork,Moumousse13, Mro, Mutatis mutandis, Neizham, Nicobn, Nicolas Ray, Nono64, Noritaka666, NucleoS, Nucleos, Numbo3, Nykozoft, Orthogaffe, Oxyde, Peps, Phe, Pixeltoo, Pld, Plouffe, Pol,Polarman, Poleta33, Polletfa, Ponsfrilus, Poulos, Pseudomoi, Ptyx, Remy-bailly, Rhizome, Rogilbert, Romanc19s, Romary, Ryo, Salle, Sanao, Sardur, Schutz, Schwa, Serged, Simon49,Simos213, Smily, So Leblanc, SophieLemarentRoss, Speedspid, Sphaze, Stanlekub, Surréalatino, Tarquin, Tejgad, Tex, The RedBurn, Theon, Thielleux, Touriste, Troover, VIGNERON, Vazkor,Verdy p, ViZiT, Vzierno2, Wiz, Xmlizer, Yelkrokoyade, Zakke, Zelda, Zetud, Ziron, 269 modifications anonymes

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