Nicolas Bou ard Automne .Algèbre Linéaire 2 Nicolas Bou ard Automne 2016 Derni ere mise a jour:

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  • Algbre linaire 2Nicolas Bouffard

    Automne 2018

    Derniere mise a jour :5 septembre 2018 a 09:36

  • 2

  • Table des matieres

    1 Les espaces vectoriels 51.1 Les espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Les sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Les bases et la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Le theoreme de la matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Bases et determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6 Changement de bases pour les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2 Les applications lineaires 272.1 Matrices et applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Les transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3 Changement de base pour les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Les 4 espaces fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5 La theorie du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    3 Valeurs et vecteurs propres 413.1 Valeurs et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2 Diagonalisation : Le cas simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Diagonalisation : Le cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4 La theorie des polynomes annulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5 Application : Les equations definies par recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.6 Application : Les equations differentielles lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7 La methode de la puissance et de la puissance inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    4 Les espaces euclidiens et lorthogonalite 614.1 Produit scalaire et norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Bases orthogonales et methode de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3 Les projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4 Les matrices orthogonales et transformations orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.5 La factorisation QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.6 Application : La methode des moindres carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.7 Application : Algorithme QR pour lapproximation des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . 794.8 Retour sur les 4 espaces fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    5 Les matrices symetriques et les formes bilineaires 835.1 Les matrices symetriques et les applications symetriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.2 Les formes bilineaires et quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.3 Le theoreme spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.4 La diagonalisation orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.5 Les formes definies positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.6 Application : Maximum et minimum sous contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.7 Application : Etude des coniques et quadriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    3

  • Appendice 1 : Quelques rappels 1056.1 Systemes dequations lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2 Le determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.3 Inversion de matrice et theoreme de la matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    Appendice 2 : Les nombres complexes 1117.1 Introduction : Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.2 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.3 Operations sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.4 Forme exponentielle et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.5 Interpretation geometrique des operations elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.6 Theoreme fondamental de lalgebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.7 Resolution de lequation zn = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.8 Racines dune fonction quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.9 Application a la trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    Bibliographie 121

    Index 123

    4

  • Chapitre 1

    Les espaces vectoriels

    En algebre lineaire I, vous avez appris quun vecteur est un element de Rn. La realite est en fait beaucoupplus generale que cela. Un vecteur nest en fait rien dautre quun element dun espace vectoriel. Le cas deRn nest quun cas particulier despace vectoriel. Un espace vectoriel est la structure de base sur laquelle ilest possible de faire de lalgebre lineaire. Nous allons cependant voir dans ce chapitre que lorsquon travailleen dimension finie, tous les espaces vectoriels ressemblent et quelque sorte a Rn, donc bien quon ne vous aitpas dit toute lhistoire en algebre lineaire I, on ne vous a pas non plus vraiment menti.

    Dans ce chapitre, nous allons donc commencer par apprendre ce quest un espace vectoriel, puis nousallons en deduire certaines proprietes concernant entre autre les bases et la dimension.

    1.1 Les espaces vectoriels

    Definition 1.1.1. Un espace vectoriel (reel) est un ensemble V muni dun addition et dune multiplicationpar un scalaire et qui respecte les 10 proprietes ci dessous :

    1. u v V pour tout u, v V2. u v = v u pour tout u, v V3. u (v w) = (u v)w pour tout u, v,w V4. Il existe un element 0 V tel que u 0 = 0 u = u pour tout u V5. Pour tout u V , il existe (u) V tel que u (u) = (u) u = 06. u V pour tout R et u V7. ( u) = () u pour tout , R et u V .8. Il existe un element 1 R tel que 1 u = u pour tout u V9. (u v) = ( u) ( v) pour tout R et pour tout u, v V

    10. ( + ) u = ( u) ( u) pour tout , R et u VOn definit un espace vectoriel complexe de la meme maniere que pour le cas reel, en remplacant R par C.

    Exemple 1.1.1. Il existe beaucoup dexemple despace vectoriel qui nous sont familier :

    1. Rn et Cn lensemble des vecteurs (fleche) de dimension n2. Pn(R) et Pn(C) lensemble des polynomes de degre au plus n3. Mmn(R) et Mmn(C) lensemble des matrices de dimension m n4. F(R) et F(C) lensemble de toutes les fonctions reelles ou complexes

    Nous nallons pas demontrer en detail chacun de ces exemples (vous devriez pouvoir le faire en exercice), maispour vous donner un apercu de comment faire, nous allons demontrer que lensemble P1(R) = {ax+b a, b R}forme bien un espace vectoriel. Nous allons pour ce faire verifier chacune des 10 proprietes une par une, dansle meme ordre que nous les avons enonces, mais avant, nous allons definir correctement nos deux operations :

    (ax + b) (cx + d) = (a + c)x + (b + d)

    5

  • (ax + b) = (a)x + (b)Verifions maintenant les 10 proprietes :

    1. Si (ax + b) et (cx + d) sont des elements de P1(R), alors

    (ax + b) (cx + d) = (a + c)x + (b + d) P1(R)

    2. Si (ax + b) et (cx + d) sont des elements de P1(R), alors

    (ax + b) (cx + d) = (a + c)x + (b + d) = (c + a)x + (d + b) = (cx + d) (ax + b)

    Notez que pour obtenir la deuxieme egalite, on a utilise les proprietes des nombres reels que nousconnaissons deja (a + c = c + a).

    3. Si (ax + b), (cx + d) et ex + f sont des elements de P1(R), alors on a :

    ((ax + b) (cx + d)) (ex + f) = ((a + c)x + (b + d)) (ex + f)= ((a + c) + e)x + ((b + d) + f)= (a + (c + e))x + (b + (d + f))= (ax + b) ((c + e)x + (d + f))= (ax + b) ((cx + d) (ex + f))

    Ici, la troisieme egalite a ete possible grace a la propriete dassociativite des nombres reels. Toutes lesautres egalite proviennent de la definition de laddition de vecteurs .

    4. Nous allons montrer que le vecteur 0 est donne par 0x + 0. En effet, si (ax + b) P1(R), on a :

    (0x + 0) (ax + b) = (0 + a)x + (0 + b) = ax + b

    Lautre egalite est automatiquement satisfaite par la propriete 2 que nous avons deja demontre.

    5. Si u = (ax + b) P1(R), on veut montrer que u = (a)x + (b). Pour ce faire, on a :

    (ax + b) ((a)x + (b)) = (a + (a))x + (b + (b)) = (a a)x + (b b) = 0x + 0 = 0

    6. Si R et (ax + b) P1(R), alors on a :

    (ax + b) = (a)x + (b) P1(R)

    7. Si , R, et (ax + b) P1(R), alors on a :

    ( (ax + b)) = ((a)x + (b))= ((a))x + ((b))= (()a)x + (()b)= () (ax + b)

    8. On veut montrer que lelement 1 est bel et bien le nombre 1. Si (ax + b) P1(R), on a donc :

    1 (ax + b) = (1a)x + (1b) = ax + b

    9. Si R et (ax + b) et (cx + d) sont des elements de P1(R), alors on a :

    ((ax + b) (cx + d)) = ((a + c)x + (b + d))= ((a + c))x + ((b + d))= (a + c)x + (b + d)= ((a)x + (b)) ((c)x + (d))= ( (ax + b)) ( (cx + d))