Exercice r ENS op Le; Aréf* $OC,gOn considère dans cet exercice un espace vectoriel -E sur R., de dimension n € {1, 2,3, 4},

et on cherche à caractériser les endomorphismes u de E tels que

Uo1.1,:-idg

où idp designe I'application identité de ,8. On utilisera ia notation u'2 :'tt' o'tL.

1,. Soit u tel que u2 : -ïda. Quelles sont les valeurs propres deu2? L'endomorphisme a

adsret-il des valeurs propres ?

2. Lorsque rù: l, montrer que tout endomorphisme de E est de la forme Àidp, avec À € IR.

En déduire qu'il n'existe pas d'endomorphisme a tel que u2 : -idn dans ce cas.

3. On considère dans cette question le cas n e {2, 3,4} et on suppose, pour cornmencer,

qtr'il existe rn endomorphisms tl tel que u2 : -idl. Soit un éIément æ de -8, non nul :

montrer que (r, a(rr)) forme un système libre.

On pourra par exemple considérer deux réels À, pr tels que .\z + p'u(u):0 et eu tirerque )2 + p2 -- o.

4. En déduire, lorsque n :2, une représentation matricielle de tout r.r, qui vérifie u2 : -idn l

et préciser alors tous les endormorphismes u tels que ,rr2 - -id,s.5. On passe ici au cas n: 4.

(a) On suppose à nouveau, pouï coû.meIrcer, qu'il existe z tel que a2 : -ide et on

considère un éIément t de E, non nul. Montrer qu'il erciste un élément g de E telque (c, u(n),U, u(g)) forme une base de "8.

(b) Préciser alors tous les endormorphismes u tels que u2 : -ide.6. Montrer que si pour n :3, il existait un endorrnorphisme u sur -E tel que a2 - -id.E,

alors il existerait un système libre à quatre êléments dans .8. En déduire qu'il n'existe

donc pa.s de tel endormorphisme.

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