%N OBTENTIONU %0$5035 %& - 6/7&345² %& 506 …oatao.univ-toulouse.fr/14142/1/kallel.pdf · TABLE...

M :

Universit Toulouse III Paul Sabatier (UT3 Paul Sabatier)

Gnie Electrique, Electronique et Tlcommunications (GEET)

MODLISATION ET CONCEPTION D'UNE ANTENNE PLASMA BALAYAGEBASE SUR DES ONDES DE FUITE

mardi 2 dcembre 2014

Asma KALLEL

lectromagntisme et Systmes Haute Frquence

Olivier LAFONDThierry MONEDIERE

Jrme SOKOLOFFThierry CALLEGARI

LAPLACE, UPS

Olivier PASCAL, prsident du juryLuis ALVES, examinateurChristian CAREL, invit

A mes parents et mon mari

Remerciements

Je remercie tout dabord le laboratoire LAPLACE pour mavoir accueillie durant les

trois ans de thse.

Je tiens galement remercier M. Olivier Lafond, matre de confrences de

luniversit de Rennes et M. Thierry Monedire pour avoir accept dtre rapporteurs de

ce manuscrit. Je remercie galement M. Luis Alves de stre dplac du Portugal pour

faire partie de mon jury de thse. Je suis aussi trs reconnaissante M. Christian Carel

de faire partie du jury en tant quinvit.

Jexprime toute ma gratitude M. Olivier Pascal, professeur de luniversit Paul

Sabatier et directeur de lquipe GRE, que je croise presque tous les matins, pour avoir

prsid le jury de thse.

Paralllement mes travaux de recherche, jai consacr une partie de ces trois annes

lenseignement. Je remercie Laurent Berquez, professeur luniversit Paul Sabatier,

Herv Carfantan, maitre de confrences luniversit Paul Sabatier et Romain Pascaud,

enseignant-chercheur lISAE, de mavoir donn chacun lopportunit deffectuer cette

activit dans leurs tablissements.

Je remercie galement Freddy Gaboriau et Romain Baude pour mavoir offert

lopportunit deffectuer des mesures dans leur racteur ICP.

Je suis galement trs reconnaissante Gerjan Hagelaar de mavoir consacr du

temps pour mexpliquer son code numrique Magma.

Mes remerciements vont galement aux membres du service mcanique du

laboratoire pour mavoir aid prparer et monter le prototype.

Je voudrais remercier trs chaleureusement mes deux encadrants. Tous les deux ont

su toujours me consacrer de leur temps malgr leur emploi du temps charg. Ils ont su

aussi me donner les bons conseils dans lorganisation de la thse ainsi que dans la

rdaction des articles et du manuscrit. Jai eu la chance davoir deux encadrants

complmentaires : Jrme en microondes et Thierry en plasma. Cette complmentarit a

produit durant nos runions des discussions scientifiques animes et fructueuses

donnant naissance de nouvelles ides. Je leur suis reconnaissante davoir su me former

chacun dans sa spcialit. Je les remercie aussi pour leur bonne humeur quotidienne.

Mes remerciements vont aux doctorants avec qui jai partag de trs bons moments

au cours du djeuner et autour du caf et de la grille des mots flchs quotidienne. Je

pense notamment Juslan, Philippe, Jonathan, Yu, Nicolas, Romain, Mustafa, Karina,

...

Je ne peux pas faire de remerciements corrects sans citer mes collgues de bureau

Olivier et Kevin qui ont su contribuer pleinement la bonne ambiance de travail. Je

noublierai pas les rigolades sur la bouffe ou le radiateur du bureau mais aussi les

discussions plus srieuses sur lconomie ou la politique. Merci pour ces bons moments

autour du caf et du th quon prpare souvent ensemble.

Je tiens remercier mes amis de Tunisie, de France et dailleurs, quils soient du

lyce, prpa ou cole, pour les bons moments partags avant et au cours de la thse et

pour leur soutien durant ces trois annes.

Mes remerciements vont mes parents sans qui je ne serais sans doute pas l o je

suis aujourdhui. Ils ont toujours su mencourager persvrer dans les tudes et aller

jusquau bout.

Je remercie galement mes surs, mes grands-parents, ma belle-mre, mes oncles,

tantes et cousins.

Ces dernires lignes sont adresses Haythem, mon mari, qui a su me soutenir durant

ces trois annes et me remonter le moral. Je tiens lui exprimer ma profonde

reconnaissance pour ses encouragements, sa patience et son soutien inconditionnel.

i

Table des matires

Table des matires ............................................................................................................ i

Nomenclature ................................................................................................................... v

Chapitre 1 Introduction ........................................................................................... 1

1.1 Contexte et motivation ...................................................................................... 2

1.2 Objectifs et problmatiques de la thse ............................................................. 3

1.3 Plan du manuscrit .............................................................................................. 3

Chapitre 2 Modlisation Thorique de lExcitation des Ondes de Fuite ............. 5

2.1 Introduction ....................................................................................................... 6

2.2 Mise en quation ............................................................................................... 6 2.2.1 Configuration et hypothses .............................................................................. 6 2.2.2 Equation du champ magntique ........................................................................ 7

2.3 Analyse modale dune structure canonique monocouche ................................. 8 2.3.1 Proprits des ondes planes inhomognes ......................................................... 8 2.3.2 Ondes planes inhomognes dans la structure canonique ................................. 10 2.3.3 Discrimination des modes propres .................................................................. 11

2.3.3.1 Recherche des ples : Cas sans pertes ................................................................... 12 2.3.3.2 Cas avec pertes....................................................................................................... 14

2.4 Calcul du champ rayonn ................................................................................ 14 2.4.1 Mthode de la descente rapide ........................................................................ 14

2.4.1.1 Description de la mthode ..................................................................................... 14 2.4.1.2 Lieu des modes propres dans le plan de descente rapide ....................................... 19 2.4.1.3 Contribution des modes propres ............................................................................ 19 2.4.1.4 Etude du terme des rsidus .................................................................................... 20

2.4.2 Mthode de Kirchhoff-Huygens ...................................................................... 23

2.5 Modes de fuite et diagramme de rayonnement ............................................... 27 2.5.1 Introduction ..................................................................................................... 27 2.5.2 Angle de rayonnement dun mode de fuite ..................................................... 27

2.5.2.1 Expression de langle ............................................................................................. 27 2.5.2.2 Ordre dun mode de fuite et angle de rayonnement ............................................... 29

2.5.3 Directivit dun mode de fuite ......................................................................... 31 2.5.4 Effet des pertes ................................................................................................ 33

TABLE DES MATIERES

ii

2.6 Modlisation dune structure bicouche ........................................................... 34 2.6.1 Introduction ..................................................................................................... 34 2.6.2 Rsultats thoriques ......................................................................................... 34 2.6.3 Comparaison avec la configuration monocouche ............................................ 36

2.7 Conclusion du chapitre .................................................................................... 37

Chapitre 3 Antenne Ondes de Fuite Reconfigurable par Plasma ................... 41

3.1 Introduction ..................................................................................................... 42

3.2 Les antennes balayage .................................................................................. 42

3.3 Etat de lart sur les antennes ondes de fuite ................................................. 43 3.3.1 Principe ............................................................................................................ 43 3.3.2 Classification des antennes ondes de fuite .................................................... 43 3.3.3 Antennes ondes de fuite balayage .............................................................. 44

3.3.3.1 Frquence variable ................................................................................................. 44 3.3.3.2 Frquence fixe........................................................................................................ 45

3.4 Principe de fonctionnement de lantenne propose ......................................... 45 3.4.1 Excitation des ondes de fuite ........................................................................... 46 3.4.2 Principe de reconfigurabilit par plasma ......................................................... 47

3.5 Dimensionnement de lantenne ....................................................................... 48 3.5.1 Contraintes et choix ......................................................................................... 48 3.5.2 Dimensionnement de lpaisseur du plasma ................................................... 49

3.5.2.1 Dpendance des modes de fuite avec lpaisseur du plasma ................................. 49 3.5.2.2 Dtermination dune paisseur optimise du plasma ............................................. 53

3.5.3 Dimensionnement de la couche de quartz ....................................................... 56 3.5.4 Dimensionnement de la longueur de lantenne ............................................... 58

3.5.4.1 Effet de la troncature .............................................................................................. 58 3.5.4.2 Critre de troncature de lantenne .......................................................................... 58 3.5.4.3 Rsultats ................................................................................................................. 60

3.6 Sources adaptes lexcitation des ondes de fuite .......................................... 62 3.6.1 Critres de choix des sources .......................................................................... 62 3.6.2 Etude de sources ddies exciter lantenne 10 GHz .................................. 62

3.6.2.1 Guide donde fente .............................................................................................. 62 3.6.2.2 Monople ............................................................................................................... 64 3.6.2.3 Guide donde ......................................................................................................... 65 3.6.2.4 Cornet pyramidal ................................................................................................... 66 3.6.2.5 Comparaison et choix de la source ........................................................................ 68

3.6.3 Simulations de lantenne excite par un cornet pyramidal .............................. 68


Chapitre 4 Etude de la Source Plasma .................................................................. 73

4.1 Introduction ..................................................................................................... 74

4.2 Introduction aux plasmas ................................................................................ 74 4.2.1 Classification des plasmas ............................................................................... 74 4.2.2 Plasmas froids hors-quilibre .......................................................................... 76

4.2.2.1 Pulsation plasma .................................................................................................... 76 4.2.2.2 Frquence de collision ........................................................................................... 76 4.2.2.3 Longueur de Debye ................................................................................................ 76

TABLE DES MATIERES

iii

4.2.2.4 Gaine ...................................................................................................................... 77 4.2.3 Interaction entre un plasma et une onde lectromagntique ............................ 77

4.2.3.1 Permittivit du plasma vue par une onde lectromagntique ................................. 78 4.2.3.2 Epaisseur de peau................................................................................................... 80

4.3 Choix de la source plasma ............................................................................... 80 4.3.1 Critres de choix .............................................................................................. 80 4.3.2 Les mcanismes de cration du plasma ........................................................... 81

4.3.2.1 Dcharge courant continu et alternatif ................................................................ 81 4.3.2.2 La dcharge microonde .......................................................................................... 82 4.3.2.3 La dcharge radiofrquence ................................................................................... 83

4.3.3 Plasma couplage inductif .............................................................................. 84 4.3.3.1 Configurations ....................................................................................................... 84 4.3.3.2 Principe de fonctionnement ................................................................................... 84 4.3.3.3 Caractristiques dun plasma RF confin .............................................................. 86

4.4 Mesures plasma dans un racteur couplage inductif .................................... 88 4.4.1 Description du racteur .................................................................................... 89 4.4.2 Systme de mesure .......................................................................................... 90

4.4.2.1 Confinement du plasma ......................................................................................... 90 4.4.2.2 Sonde de diagnostic ............................................................................................... 90

4.4.3 Rsultats exprimentaux .................................................................................. 92 4.4.3.1 Test de balayage en puissance et profil vertical de densit lectronique ............... 92 4.4.3.2 Profil de densit lectronique entre les plaques ..................................................... 93

4.5 Pistes damlioration des rsultats .................................................................. 95 4.5.1 Remarques concernant les mesures ................................................................. 95 4.5.2 Confinement par des aimants permanents ....................................................... 96 4.5.3 Gomtrie de la bobine inductive .................................................................... 97

4.6 Intgration des rsultats exprimentaux dans lantenne .................................. 97 4.6.1 Introduction ..................................................................................................... 97 4.6.2 Simulations dun gradient de densit............................................................... 98

4.7 Conclusion du chapitre .................................................................................. 100

Chapitre 5 Conception du Prototype .................................................................. 103

5.1 Introduction ................................................................................................... 104

5.2 Passage aux conditions exprimentales ......................................................... 104 5.2.1 Contexte exprimental et nouvelle configuration .......................................... 104 5.2.2 Simulation du plasma dans la nouvelle configuration ................................... 106

5.2.2.1 Objectif ................................................................................................................ 106 5.2.2.2 Prsentation du modle numrique Magma ......................................................... 106 5.2.2.3 Rsultats de modlisation du plasma ................................................................... 106

5.2.3 Intgration dun gradient de densit lectronique dans lantenne ................. 110 5.2.3.1 Mise en place des simulations .............................................................................. 110 5.2.3.2 Analyse du champ dans la structure ..................................................................... 110 5.2.3.3 Analyse du champ lointain................................................................................... 113

5.3 Description du prototype ............................................................................... 117 5.3.1 Systme dexcitation microonde ................................................................... 117 5.3.2 Systme de gnration du plasma .................................................................. 119 5.3.3 Systme de mesure ........................................................................................ 120

5.4 Conclusion du chapitre .................................................................................. 121

TABLE DES MATIERES

iv

Chapitre 6 Conclusion et perspectives ................................................................ 123

6.1 Conclusions et contributions ......................................................................... 124

6.2 Perspectives du travail de thse ..................................................................... 126

6.3 Pistes de recherches futures ........................................................................... 126

Annexe A Calcul du spectre angulaire dondes planes dune structure monocouche en polarisation TM ................................................................................ 129

Annexe B Thorme du point col et thorme des rsidus ................................ 131

Annexe C Calcul du spectre angulaire dondes planes dune structure bicouche

en polarisation TM ...................................................................................................... 133

Annexe D Recherche numrique des ples rayonnants en configuration bicouche 135

Bibliographie ................................................................................................................ 137

Liste des Publications .................................................................................................. 145

Rsum ......................................................................................................................... 147

Abstract ........................................................................................................................ 147

v

Nomenclature

Symboles latins

Symbole Description

Clrit de la lumire dans le vide :

Le chemin dintgration original

Epaisseur du plasma

Epaisseur du quartz

Directivit

Charge dun lectron :

Distance entre les plaques

Champ lectrique

Frquence de travail

Taille de la gaine

( ) Transforme de Fourier du champ magntique dans

lespace spectrale

Fonction de Green bidimensionnelle dans lair libre

Position de la source de courant magntique

Position verticale des plaques

Position verticale de la sonde

Champ magntique

( )

Fonction de Hankel de seconde espce dordre 0

Champ magntique calcul sur le chemin de descente

rapide Degr dionisation

Courant RF

Nombre complexe ( )

Vecteur de courant lectrique

Vecteur de courant magntique

Vecteur donde

NOMENCLATURE

vi

Nombre donde

Constante de Boltzmann :

Longueur du cornet ou taille dun plasma confin

Longueur de lantenne

Masse dun lectron :

Point dobservation

Indice de rfraction dun milieu

Densit des lectrons

Densit du gaz

Densit des ions

Nombre des ples

Ensemble des nombres entiers naturels

Vecteur de Poynting

Pression du gaz

( ) Point sur linterface de lantenne

Distance radiale

Diagramme de rayonnement

Fonction des rsidus

Ensemble des nombres rels

Chemin de descente rapide

Coefficient de rflexion de londe lectromagntique

Temps

Temprature

Vitesse de phase

Vecteur vitesse de drive dun lectron

et Sens suivant les x croissants et dcroissants respectivement

(de mme pour y et z)

Symboles grecs

Symbole Description

Epaisseur de peau

( ) Distribution de Dirac

Permittivit du vide :

Permittivit relative du milieu 1

Permittivit relative du milieu 2

Angle dobservation

Angle critique dans le plan de descente rapide

Longueur donde dans le vide

NOMENCLATURE

vii

Longueur de Debye

Libre parcours moyen des lectrons

Permabilit du vide :

Frquence de collisions lectron-neutre

Distance dun point dobservation de linterface

Section efficace de transfert de quantit de mouvement

lectron-neutre

Section efficace dionisation

Variable complexe de la mthode de descente rapide

Pulsation de travail

Pulsation plasma

Pulsation de londe RF du racteur plasma

Oprateur Laplacien

Indices

Symbole Description

Bidirectionnel

Bicouche

Electron

Gaine

Ion ou partie imaginaire de

Kirchhoff-Huygens

Monodirectionnel

max Maximum

min Minimum

moy Moyenne

Ordre dun mode

Ple

Indice du milieu (0 ou 1)

Partie relle de

RF Radio-Frquence

x ou z Suivant laxe x ou z

0, 1 ou 2 Indice du milieu

Projection sur linterface

Exposants

NOMENCLATURE

viii

Symbole Description

Partie relle

Partie imaginaire

Abrviations

Symbole Description

CCP Capacitively Coupled Plasma

ER Efficacit de Rayonnement

ICP Inductively Coupled Plasma

OPI Onde Plane Inhomogne

PEC Perfect Electric Conductor

PMC Perfect Magnetic Conductor

PPT Puissance Perdue par Troncature

RF Radio-Frquence

SDP Steepest Descent Path

TE Transverse Electrique

TM Transverse Magntique

1D 1 Dimension

2D 2 Dimensions

3D 3 Dimensions

Glossaire

Expression Description

Mode / Mode propre Solution du problme vrifiant les conditions aux

limites dans la structure indpendamment de

lexcitation (= mode normal). Cette solution vrifie

en gnral une quation de rsonance.

Onde approprie Proper en anglais. Cest une onde vrifiant la

condition de rayonnement linfini

Onde inapproprie Improper en anglais. Cest une onde qui ne vrifie

pas la condition de rayonnement linfini

Puissance se

propageant suivant

La puissance mise en entre est dirige suivant les

x croissants, alors on a

Puissance se

propageant suivant

La puissance mise en entre est dirige suivant les

x dcroissants, alors on a

NOMENCLATURE

ix

Onde se propageant

suivant

Le droulement de phase est dirig suivant les x

croissants, alors on a

Onde se propageant

suivant

Le droulement de phase est dirig suivant les x

dcroissants, alors on a

NOMENCLATURE

x

1

Chapitre 1

Introduction

Sommaire

1.1 Contexte et motivation ...................................................................................... 2

1.2 Objectifs et problmatiques de la thse ............................................................. 3

1.3 Plan du manuscrit .............................................................................................. 3

Chapitre 1. Introduction

2

1.1 Contexte et motivation

Les dernires dcennies connaissent un dveloppement rapide du domaine des

tlcommunications, ce qui conduit la multiplication du nombre de systmes

lectroniques et des antennes dans un mme appareil. Il est alors impratif dutiliser des

systmes multifonctions pouvant tre adapts selon le besoin, on parle de dispositifs

reconfigurables.

Lintrt de ces dispositifs rside dans leur capacit accomplir plusieurs fonctions

avec un seul systme, tels que les filtres accordables ou les antennes reconfigurables.

Les technologies de reconfigurabilit existantes sont rparties en deux catgories : les

lments localiss comme les diodes [AG09]-[KLA06] ou les MEMS [LKK+05] et les

matriaux tels que les cristaux liquides [KBS+12] ou les ferromagntiques [ZAL

+12].

Dans ce manuscrit on sintresse au plasma comme lment de reconfigurabilit. Ce

gaz ionis possde des proprits lectromagntiques intressantes. En particulier, les

plasmas froids hors-quilibre prsentent une permittivit complexe dont la partie relle

peut tre ngative ou entre zro et un. Cette grandeur dpend de la pression du gaz, de la

densit dlectrons et de la frquence de londe lectromagntique avec laquelle il

interagit. Un intrt particulier est port dans ce manuscrit la proprit dajustabilit

de la permittivit du plasma avec la densit lectronique par le moyen de la puissance.

Parmi les travaux utilisant le plasma dans des systmes microondes, on peut citer le

radar rflecteurs plasma [M91], lantenne plasma faible surface quivalente radar

[BHM+99], la structure bande interdite lectromagntique forme dun rseau de

plasmas [SST05] ou lantenne rflecteur forme de tubes fluorescents plasma

[THC+13].

Dans ce cadre, le laboratoire LAPLACE sintresse depuis plusieurs annes

linteraction plasma / onde lectromagntique. Plusieurs travaux portant sur des

structures bande interdite lectromagntique reconfigurables (BIE) ont t proposs.

En contournant la difficult dintgrer le plasma dans la structure, plusieurs

configurations ont t tudies et testes : Varault et al. proposent dans [VGS+11] et

[VGC+14] un BIE dilectrique 2D o le plasma est intgr comme un dfaut localis

pour former un dmultiplexeur ou un diviseur de puissance, et Lo et al. [LSC+10] et

Giroud et al. [GSP09] tudient un BIE mtallique 2D qui, avec des plasmas localiss, se

comporte comme un filtre directionnel.

Un premier travail effectu au dbut de cette thse sinscrit dans ce cadre et porte sur

ltude dun BIE 1D form dune structure planaire priodique qui peut tre utilise

comme filtre accordable en intgrant le plasma de faon priodique [KSC14]. Notons

que cette tude nest pas dveloppe dans ce manuscrit.

Lensemble des travaux effectus au LAPLACE ont permis de valider le concept de

reconfigurabilit de structures BIE par intgration de plasmas localiss (des tubes

capillaires par exemple). Cependant, les types de plasma utiliss dans toutes ces tudes

ncessitent de travailler dans des gammes de pressions leves pour atteindre de fortes

densits lectroniques, ce qui engendre des pertes dilectriques importantes. Cest pour

cette raison que dans certains de ces travaux ces pertes sont subies, tandis que dans

dautres elles sont exploites dans la fonction de reconfigurabilit du BIE.


3

Dans le cadre de ce travail de thse, nous explorons une autre faon de

reconfigurabilit par plasma en utilisant un plasma volumique dans des dispositifs

microondes. Ainsi, contrairement aux travaux cits prcdemment, le plasma est

considr comme un milieu de propagation de londe lectromagntique dans lequel,

pour la premire fois, nous pourrons exploiter la variation de la densit lectronique

comme lment de reconfigurabilit continu.

1.2 Objectifs et problmatiques de la thse

Lobjectif principal de ce travail de thse consiste concevoir une antenne ondes de

fuite reconfigurable par plasma en bande X. Un plasma volumique est ncessaire pour

exciter les ondes de fuite dont la direction de rayonnement est contrle par sa densit

lectronique. Nous souhaitons dans un premier temps tudier lantenne en nous

appuyant sur un modle thorique 2D avant de passer dans un second temps sa

conception.

Souvent, dans les tudes utilisant le plasma dans des dispositifs microondes, le

plasma est modlis par un milieu homogne de permittivit relle. Ce modle nglige

dun ct les effets des parois sur lhomognit de la permittivit et, de lautre, les

collisions lectroniques induisant les pertes.

Notre but est dtudier lantenne plasma en tenant compte de tous ces paramtres

ralistes. Pour ce faire, nous souhaitons nous appuyer dans ce travail sur des donnes

exprimentales et sur des modles plus reprsentatifs du milieu afin dtre plus proche

de la ralit.

En considrant le plasma comme un milieu de propagation, nous sommes confronts

deux enjeux : rduire les pertes dune part et maitriser et mieux utiliser

linhomognit dans le plasma de lautre. Nous tentons dans ce manuscrit de rpondre

ces problmes dans le but dobtenir avec lantenne un balayage angulaire du

rayonnement dondes de fuite par le moyen de la variation de la densit lectronique.

1.3 Plan du manuscrit

Ce manuscrit est rparti en six chapitres. Nous dcrivons le contenu des cinq

chapitres suivants ci-aprs.

Le Chapitre 2 est consacr la modlisation thorique des ondes de fuite en tudiant

une structure canonique en 2D compose dune lame de dilectrique sur mtal excite

par une source de courant magntique. A partir de lexpression de lintgrale du champ

magntique, une quation de rsonance est extraite et une tude des modes propres est

ralise en introduisant la notion donde plane inhomogne. Ensuite, le champ lointain

est calcul de deux faons diffrentes : la mthode de la descente rapide et la mthode

de Kirchhoff-Huygens, qui sont alors compares. Une focalisation particulire est

ensuite porte sur les proprits du diagramme de rayonnement des modes de fuite qui

font lobjet de cette thse. Finalement, la mme tude thorique est propose avec une

deuxime configuration canonique constitue de deux couches de dilectriques

superposes sur mtal.


4

Le Chapitre 3 prsente le dimensionnement de lantenne propose. Tout dabord un

tat de lart sur les antennes ondes de fuite est propos aprs une brve prsentation

des antennes balayage. Ensuite nous expliquons le principe de fonctionnement de

lantenne propose, en termes dexcitation dondes de fuite et de reconfigurabilit par

plasma. La partie suivante sattarde sur le dimensionnement des paramtres de lantenne

en utilisant les outils thoriques tablis dans le chapitre prcdent. La dernire partie de

ce chapitre porte sur le choix dune source dexcitation microonde et tudie des

simulations de lantenne complte.

Le Chapitre 4 porte sur ltude de la source plasma ncessaire notre antenne. La

premire partie introduit les plasmas et plus particulirement les plasmas froids hors-

quilibre qui font lobjet de notre tude. Dans la mme partie une analyse de

linteraction plasma / onde lectromagntique est propose. Ensuite, les diffrents

mcanismes de cration du plasma sont compars afin de choisir le mcanisme adapt

notre antenne. Une tude de la source choisie est alors propose. Dans la partie suivante,

des mesures plasma issues dune telle source sont prsentes et analyses. partir de

ces mesures, des pistes damlioration des rsultats sont proposes. Finalement, des

simulations de lantenne intgrant les rsultats des mesures sont prsentes.

Le Chapitre 5 est consacr la conception du prototype de lantenne. Aprs une

prsentation des conditions exprimentales et du choix de la configuration, nous

prsentons une tude du plasma dans lantenne base sur un modle numrique 2D. Les

rsultats du modle sont ensuite intgrs dans des simulations de lantenne afin

danalyser leur impact sur le champ proche et lointain. Dans la dernire partie, une

description du prototype est propose.

Le Chapitre 6 prsente les conclusions de ce travail ainsi que ses perspectives court

et long terme.

5

Chapitre 2

Modlisation Thorique

de lExcitation des Ondes de Fuite

Sommaire

2.1 Introduction ....................................................................................................... 6

2.2 Mise en quation ............................................................................................... 6 2.2.1 Configuration et hypothses .............................................................................. 6 2.2.2 Equation du champ magntique ........................................................................ 7

2.3 Analyse modale dune structure canonique monocouche ................................. 8 2.3.1 Proprits des ondes planes inhomognes ......................................................... 8 2.3.2 Ondes planes inhomognes dans la structure canonique ................................. 10 2.3.3 Discrimination des modes propres .................................................................. 11

2.3.3.1 Recherche des ples : Cas sans pertes ................................................................... 12 2.3.3.2 Cas avec pertes....................................................................................................... 14

2.4 Calcul du champ rayonn ................................................................................ 14 2.4.1 Mthode de la descente rapide ........................................................................ 14

2.4.1.1 Description de la mthode ..................................................................................... 14 2.4.1.2 Lieu des modes propres dans le plan de descente rapide ....................................... 19 2.4.1.3 Contribution des modes propres ............................................................................ 19 2.4.1.4 Etude du terme des rsidus .................................................................................... 20

2.4.2 Mthode de Kirchhoff-Huygens ...................................................................... 23

2.5 Modes de fuite et diagramme de rayonnement ............................................... 27 2.5.1 Introduction ..................................................................................................... 27 2.5.2 Angle de rayonnement dun mode de fuite ..................................................... 27

2.5.2.1 Expression de langle ............................................................................................. 27 2.5.2.2 Ordre dun mode de fuite et angle de rayonnement ............................................... 29

2.5.3 Directivit dun mode de fuite ......................................................................... 31 2.5.4 Effet des pertes ................................................................................................ 33

2.6 Modlisation dune structure bicouche ........................................................... 34 2.6.1 Introduction ..................................................................................................... 34 2.6.2 Rsultats thoriques ......................................................................................... 34 2.6.3 Comparaison avec la configuration monocouche ............................................ 36


Chapitre 2. Modlisation Thorique de lExcitation des Ondes de Fuite

6

2.1 Introduction

Lobjectif de cette thse est dtudier la possibilit de raliser une antenne balayage

au moyen dun plasma dont on peut contrler la permittivit. Le mcanisme de

rayonnement dune telle antenne sappuie sur les ondes de fuite.

Dans ce chapitre, une modlisation thorique de structures canoniques ondes de

fuite est dtaille en se basant sur les outils mathmatiques proposs dans

[TO63a][C91]. Dans le cas classique et connu dun guide donde ferm, la solution est

dcrite intgralement par le spectre discret sous forme dune somme discrte de modes

qui satisfont individuellement les conditions aux limites imposes par les parois. Par

ailleurs, dans le cas dune structure planaire guide ouverte, le champ rayonn est non

seulement reprsent par un spectre discret mais aussi par un spectre continu de modes

[CZ69] du fait de louverture du domaine. Le spectre discret contient des modes

dits appropris ( proper en anglais) cest--dire vrifiant la dcroissance de lintensit

du mode rayonn en sloignant de la structure. Il contient aussi, contrairement aux

guides ferms, des modes dits inappropris1 dont lintensit croit en sloignant de la

structure.

Une tude de ces modes est expose dans ce chapitre sur une structure canonique

monocouche dans le cas dune polarisation TM. Ensuite, deux mthodes de calcul

analytique du champ lointain sont prsentes et analyses. Nous nous focaliserons dans

le paragraphe suivant sur les proprits dun mode propre particulier appel mode de

fuite travers le diagramme de rayonnement. Enfin, en appliquant les mmes outils

mathmatiques, ltude dune structure planaire bicouche est prsente.

2.2 Mise en quation

2.2.1 Configuration et hypothses

Dans ce chapitre, dans un premier temps, la structure tudie est constitue, comme le

montre la Figure 2.1, dune couche de dilectrique, dsign par le milieu 1, dpaisseur

d et de permittivit relative (le milieu 0 tant lair libre). Ce dilectrique est plac sur un plan mtallique et est suppos invariant selon laxe y. Cette structure 2-D a

initialement t propose par Tamir et al. [TO62]. Il sagit dune configuration

canonique qui nous permet danalyser simplement les modes propres et de lutiliser

comme un point de dpart de ltude dune structure guide ouverte planaire

quelconque. Toutefois, dans un souci de concision, nous concentrerons notre propos

dans ce manuscrit aux cas o la permittivit de la couche du dilectrique correspond

celle que peut prendre un plasma, soit , avec

. Ainsi, le cas

de ne sera pas trait ici, il est tudi dans [B14].

1 Dans la littrature, le terme anglais improper est utilis pour qualifier les ondes ne respectant pas la

condition de rayonnement linfini. Nous traduisons ici cet adjectif par inappropri.


7

Figure 2.1 Schma de la structure monocouche tudie

2.2.2 Equation du champ magntique

Dans cette partie, seule la polarisation TM (Transverse Magntique) est tudie. La

mme mthode peut tre applique au cas TE.

On considre que la structure est excite, dans le milieu 1, par une source linique de

courant magntique dirig suivant la direction y et de densit unitaire :

( ) ( ) (2.1)

o correspond la distance de la source laxe z, .

Les quations de Maxwell nous permettent dobtenir deux quations dHelmholtz :

une quation homogne dans le milieu 0 et une non homogne dans le milieu 1 :

( ) ( ) (2.2)

( ) ( ) ( ) ( ) (2.3)

o et correspondent au champ magntique respectivement dans le milieu 0 et 1, et est le vecteur donde dans le vide. Il est noter que nous considrons ici une volution temporelle en que nous omettons dans les quations.

Le passage dans le domaine spectral permet de simplifier la rsolution des quations

(2.2) et (2.3). En effet, on effectue une transforme de Fourier unidimensionnelle du

champ magntique en passant du domaine spatial avec la variable x au domaine spectral

avec la variable qui reprsente le vecteur donde suivant la direction x. Ainsi, les quations (2.2) et (2.3) deviennent :

(

) ( ) (2.4)

(

) ( ) ( ) (2.5)

avec le vecteur donde suivant la direction z dans le milieu q =0 ou 1 et est

proportionnelle la transforme de Fourrier du champ magntique :


8

( )

( )

(2.6)

avec si et si . Les relations de continuit de la

composante tangentielle des champs lectrique et magntique au niveau de , et nous permettent dexprimer les fonctions (voir Annexe A). Ainsi, le champ magntique dans le milieu 0 est obtenu partir de la transforme de Fourier

inverse de la fonction :

( )

( )

(2.7)

avec

( ) ( )

( ) ( ) (2.8)

reprsente le coefficient de transmission du milieu 1 vers le milieu 0. Lintgrale de (2.7) est une dcomposition de Weyl [W19] sous forme dune somme continue dondes

planes homognes pour | | et inhomognes (OPI) pour | | , ce qui constitue le champ issu du spectre continu au-dessus de linterface. Nous allons tudier

dans la suite les ples du coefficient de transmission qui sont les zros du dnominateur.

Ainsi, les solutions sont des modes propres de la structure. Vu lexpression du

dnominateur, ces ples sont forcment complexes, mme en labsence de pertes dans le

milieu 1. Dans ce cas, les ples et donc les modes propres sont sous forme dOPI. Dans

le paragraphe suivant, nous analyserons en dtail les modes propres.

2.3 Analyse modale dune structure canonique monocouche

2.3.1 Proprits des ondes planes inhomognes

Rappelons ici, avant de dcrire les modes propres, les proprits dune OPI se

propageant dans un milieu sans pertes avec le vecteur donde . En considrant une polarisation TM, le champ magntique de cette OPI scrit sous la forme , avec une constante et . En dcomposant le vecteur donde sur les axes x et z, on obtient :

(2.9)

Dans le cas dune OPI, le vecteur donde a des composantes complexes telles que :

(2.10)

Posons les 2 vecteurs suivants :


9

(2.11)

(2.12)

Le vecteur donde dans le milieu scrit alors comme suit :

(2.13)

Le champ magntique de cette OPI devient alors :

(2.14)

Ainsi correspond la direction de propagation de londe et celle de la dcroissance exponentielle de son amplitude.

En notant la norme complexe par le symbole , le nombre donde du milieu scrit partir de la relation (2.9) comme suit :

(2.15)

tant rel car le milieu est sans pertes. A partir des relations de (2.9) (2.12) et (2.15), nous obtenons les relations suivantes :

(2.16)

| | | | (2.17)

Les contours qui-phase et qui-amplitude sont dfinis par les quations

constante et constante, respectivement. En utilisant lquation (2.16), nous pouvons conclure que les contours qui-phase et qui-amplitude sont orthogonaux,

comme le montre la Figure 2.2. La phase se droule perpendiculairement la direction

de lvanescence de londe.

De plus, lquation (2.17) montre que | | . Il en dcoule que la vitesse de phase de lOPI scrit : | | . Ainsi, une OPI est lente dans la direction de propagation, i.e. sa vitesse de phase est infrieure la clrit de la lumire dans le

milieu.

Figure 2.2 Reprsentation dune onde plane inhomogne dans un milieu sans pertes.


10

Il est noter que dans un milieu avec pertes, lquation (2.16) nest plus valable, donc

les vecteurs et ne sont plus orthogonaux.

2.3.2 Ondes planes inhomognes dans la structure canonique

Revenons notre configuration en polarisation TM. Les modes faisant intervenir des

OPI se caractrisent par : une OPI reprsente par le vecteur donde dans le milieu 0 et deux OPI de vecteurs donde et dans le milieu 1 dpaisseur finie suivant

et respectivement, comme reprsent sur la Figure 2.3. Le champ magntique scrit alors sous la forme :

{ ( )

( )

(2.18)

avec , et des constantes. Les conditions aux limites en , et

permettent dobtenir les relations suivantes

{

(2.19)

Les quations (2.18) deviennent alors

{

( )

( ) ( ( ))

( )

(2.20)

Figure 2.3 Reprsentation des OPI dans les 2 milieux, par la partie relle du vecteur

donde correspondant au droulement de la phase


11

2.3.3 Discrimination des modes propres

Lintgrande du champ magntique dans (2.7) possde des singularits qui sont les

zros du dnominateur. Les ples de lintgrande sont donc les racines de lquation

suivante :

( ) (2.21)

qui sassocie la relation de continuit suivante :

( ) (2.22)

Lquation de dispersion (2.21) peut galement tre obtenue en considrant un

schma quivalent de lignes de transmission et en exprimant la rsonance transversale

travers limpdance surfacique linterface et limpdance de lespace libre semi-infini

[CZ69, p.156].

Les modes propres possibles sont obtenus en rsolvant le systme constitu en partie

des quations (2.21) et (2.22) :

{

( )

( )

(2.23)

Les solutions de ce systme dquations reprsentent les ondes guides possibles dans

les 2 milieux sous forme dOPI. Elles constituent le spectre discret.

Nous nous intressons ici au milieu 0. Nous allons considrer uniquement les ondes

dont le droulement de phase est suivant les x croissants ( ), i.e. . A partir de la

3me

ligne du systme (2.23), on peut conclure que le signe de est impos

uniquement par le signe de et

. Les diffrents types de solutions de (2.21) sont

classs suivant le signe de et

sur la Figure 2.4.

Lamplitude des modes (a), (b) et (c) dcroit en sloignant de linterface, tandis que les

modes (d), (e) et (f) ne satisfont pas cette condition de rayonnement. Ce dernier type

donde est qualifi dans la littrature de mode inappropri1.

Ces modes sont identifis comme suit (voir Figure 2.4) :

(a) Onde de surface sans pertes (b) Onde de surface pertes appele onde de Zenneck [M07] (c) Onde complexe approprie (contraire inapproprie) (d) Onde de surface inapproprie (e) Onde complexe inapproprie appele onde de fuite (f) Onde complexe inapproprie transportant lnergie vers linterface.

Ltude de la contribution de chacun de ces modes dans le champ total sera effectue

dans la section 2.4.1.3. Dans les paragraphes, suivants nous allons discuter des

conditions de leur existence. Notons que des schmas quivalents ceux de la Figure

2.4 peuvent tre raliss pour . Il est noter que si la partie relle de est nulle,

le systme (2.23) nadmet pas de solution.


12

Figure 2.4 Reprsentation des diffrents types dOPI en prenant . Les vecteurs

et correspondent respectivement la direction de droulement de la phase et la direction de la dcroissance exponentielle de lamplitude. Inspir de [CZ69, p.167]

2.3.3.1 Recherche des ples : Cas sans pertes

Nous considrons ici les modes obtenus avec le milieu 1 pris sans pertes ( ),

qui correspondent aux cas (a), (c), (d) et (e). Nous pouvons distinguer dans ces modes

deux catgories dOPI : les ondes de surface ((a) et (d)) et les ondes qui rayonnent ((c)

et (e)). La premire catgorie est caractrise par un confinement de lnergie le long de

linterface, le vecteur donde est donc imaginaire pur. La 3me

quation du systme

(2.23) montre que est alors purement rel. Dans le cas o la partie relle de est

non nulle, lnergie rayonne dans lespace libre. Ce cas est quivalent une partie

imaginaire non nulle de , ce type donde est alors appel mode complexe. La recherche de solutions du systme dquations (2.23) repose sur la distinction de ces 2

cas.

Ondes de surface : comme expliqu prcdemment, on a dans ce cas , de

signe positif si on considre un droulement de phase suivant . Dans notre cas o on admet une OPI dans le milieu 0, la relation (2.16) nous permet de conclure que le

vecteur donde suivant z est imaginaire pur . Par consquent, lquation

(2.22) donne aussi . Le systme (2.23) devient alors :

{

(

)

( )

(2.24)


13

Ce systme admet une solution unique qui dpend du signe de . En effet, la premire ligne de (2.24) montre que et

sont de signes opposs. Sur le domaine

qui nous intresse, deux cas peuvent se prsenter :

Si , la premire ligne de (2.24) permet davoir . Londe de

surface dcroit donc en sloignant de linterface. Ce mode confin le long de

linterface est appel plasmon de surface [TO63], qui correspond londe (a)

de la Figure 2.4. De plus, il sagit dun mode lent suivant la direction de

propagation x car .

Si , on obtient , i.e. londe de surface est inapproprie car

ne satisfait pas la condition de rayonnement. Il sagit du mode (d).

Ondes complexes : dans ce cas, , ce type dondes rayonne dans le milieu 0,

est donc positif. est un nombre complexe, par consquent et sont aussi

complexes. Le systme dquations (2.23) admet une infinit de solutions complexes.

Avec la relation de dispersion (2.21), nous pouvons montrer que et sont de signes

opposs.

Commenons par le cas , est donc positif. Pour une propagation de la

puissance suivant (voir Glossaire), ce qui impose physiquement positif, la

relation (2.16) induit . Il sagit donc dun rayonnement en arrire, appel dans la

littrature backward . Ce mode correspond au symtrique par rapport laxe z de

londe (c) reprsente sur la Figure 2.4. Londe (c) reprsente en effet le mme mode

complexe mais pour une puissance dirige suivant . Elle rayonne bien en arrire par rapport aux x ngatifs.

Si , est ngatif. Il en dcoule que le mode est inappropri vu quil ne

satisfait pas les conditions aux limites de rayonnement linfini. De plus, la relation

(2.16) permet de montrer que . Ce type donde reprsent sur le schma (e) de la

Figure 2.4 est appel dans la littrature onde de fuite.

Selon lquation (2.20), lamplitude du champ magntique dun mode complexe

dcrit une arche de cosinus dans le milieu 1. Vu que le nombre de modes complexes est

infini pour une configuration donne, lordre n dun mode reprsente le nombre

darches de cosinus qui est dfini par la partie entire de , comme le montre la

Figure 2.5.

La recherche des ples se fait par rsolution numrique du systme (2.23). La

mthode de rsolution est explique dans [B14].

Figure 2.5 Reprsentation de la forme du module du champ magntique selon lordre

dun mode complexe


14

2.3.3.2 Cas avec pertes

En introduisant des pertes dans le milieu 1, i.e.

avec , les ples

de (2.21) sont toujours rpartis en 2 catgories : ondes de surface et ondes complexes

rayonnantes. Cependant, les ondes de surface deviennent de la forme du mode (b) de la

Figure 2.4, compte tenu des pertes. Ces ondes de surface sattnuent donc le long de

linterface.

Les ondes de fuite et les ondes backward quant elles gardent la mme forme dans le

milieu 0 avec une attnuation supplmentaire due aux pertes.

Par ailleurs, la prsence des pertes peut crer un autre type de mode reprsent par (f)

de la Figure 2.4. Toutefois, ce type de mode ne contribue pas dans le champ total

comme cela sera expliqu dans la section 2.4.1.3.

La mthode numrique de recherche des ples dans le cas avec pertes reste la mme.

2.4 Calcul du champ rayonn

Lquation (2.7) : ( )

( )

reprsente le

champ total cr par une source linique de courant magntique dans lespace libre.

Lintgrale spectrale exprime dans cette quation suit un chemin dintgration qui dcrit lintervalle - , sur laxe rel de dans le plan (

, ). Cette intgrale

est dfinie sur une surface de Riemann deux feuillets [C91] ; sur un feuillet la

condition est vrifie, sur lautre feuillet cest la condition

qui lest. La

complexit du calcul de cette intgrale rside notamment dans le passage dun feuillet

un autre laide de coupures quil faut contourner lors de lintgration. Une

reprsentation plus simple est possible avec un changement de plan dintgration par la

mthode de la descente rapide. Elle permet de travailler sur un seul feuillet de Riemann

et donc de ne plus avoir recours aux coupures.

2.4.1 Mthode de la descente rapide

2.4.1.1 Description de la mthode

Cette technique, dveloppe par Riemann en 1892 [R1892], permet dvaluer

asymptotiquement les intgrales de la forme explicite dans lAnnexe B. Lide

principale de cette mthode est dappliquer le thorme de Cauchy afin de remplacer le

chemin dintgration initial par des chemins particuliers appels de descente rapide (pour Steepest Descent Path). Dans notre cas prcis, pour appliquer cette mthode, on passe en coordonnes polaires par un changement de variables spatiales :

2

(2.25)

et un changement de variables spectrales


15

{

(2.26)

En introduisant une variable complexe avec , - et . Lintgrale dans (2.7) devient alors :

( )

( ) ( )

(2.27)

avec le coefficient de transmission dfini dans (2.8). Avec ce changement de variables, lintgrande devient une fonction analytique dans le plan complexe . Par consquent, les singularits de cette intgrande sont uniquement les ples, vu que la

fonction est dfinie sur un seul feuillet de Riemann. Le chemin initial est trac en rouge

dans le plan complexe sur la Figure 2.6. Le chemin de descente rapide dont la mthode de calcul est donne dans lAnnexe B, est dfini par lquation suivante :

( ) ( ) (2.28)

Lensemble des contours vrifiant la relation (2.28) pour , - reprsente le nouveau chemin dintgration ( ) (i.e. fonction de ). Il est obtenu par translation du chemin ( ) paralllement laxe rel de . Rappelons que est langle dobservation. Le point sur laxe rel est appel point col. Cette appellation vient du fait que lintgrande est maximale autour de ce point. Appelons la valeur de lintgrale spectrale (2.27) en suivant le chemin de descente rapide, sans prendre en compte les

singularits.

Figure 2.6 Reprsentation du chemin dintgration initial et le chemin de descente rapide ( ) dans le plan complexe


16

Il est important de distinguer et ; le premier est le champ total dans le milieu 0, tandis que le second reprsente la valeur de lintgrale spectrale en suivant les

contours de descente rapide sans prendre en compte les singularits par lesquelles ils passent. En effet, la dformation du chemin dintgration initial vers le chemin peut rencontrer des ples de lintgrande (les seules singularits pouvant exister comme expliqu ci-dessus).

Il faut donc contourner ces points singuliers comme le montre la Figure 2.7. Pour

prendre en compte cette dformation autour du ple dans le champ total, on applique le

thorme des rsidus (voir Annexe B). La formulation de ce thorme permet de

calculer les intgrales autour des ples en suivant des lacets ferms. Le champ total correspond alors auquel on ajoute la somme des rsidus des points singuliers de lintgrande, comme suit :

( ) ( ) ( ) ( )

(2.29)

avec lindice dsignant un ple quon reprsente par sa position dans le plan

complexe, et N le nombre de ples intercepts par le chemin de descente rapide. est la fonction de Heaviside qui vaut 1 quand le ple est contourn et 0 sinon, et

un angle critique dpendant du lieu du ple et sera explicit dans ce qui suit. Le terme

reprsente alors le champ despace d au spectre continu. Le second terme de (2.29) reprsente la somme de tous les rsidus des ples calculs dans le plan

complexe de , i.e. le champ du spectre discret. Le signe prcdant ce terme est d au sens de rotation anti-trigonomtrique ou trigonomtrique respectivement autour du ple,

comme lillustre la Figure 2.7. Un signe est choisi quand il sagit dun ple se

propageant suivant , et un signe + dans le cas contraire.

Figure 2.7 Illustration du calcul du rsidu dun point singulier (reprsent en vert) dans

le plan complexe


17

Lexpression de ( ) pour un ple est donne par le thorme des rsidus comme suit (voir Annexe B) :

( )

( )

( ( ) )

( )

( ( ) )

( )

( .

/

(

)

)

( ) ( )

(2.30)

Il est important de noter que linterprtation des deux termes de la relation (2.29) est

difficile dans certains cas. En effet, comme nous le verrons par la suite, un des deux

termes peut tre prpondrant selon la valeur de la permittivit du milieu 1 et de la zone

dobservation (champ proche ou lointain). De plus, la sparation entre le champ d au

spectre continu et le champ d aux ples parait ambige dans certains cas surtout en

champ lointain o le terme peut tre influenc par les ples, comme nous allons aussi le voir.

Nous avons vu quun ple est sous forme dOPI. Nous pouvons donc lui associer

un vecteur donde . A partir de lexpression (2.30), nous remarquons que le terme de

rsidu de ce ple peut scrire sous la forme suivante :

( ) ( ) (2.31)

avec un coefficient quon peut calculer partir de (2.30). Le rsidu dun ple sexprime donc sous forme dOPI. En reprenant (2.29), on peut conclure que le champ

d un ple sexprime comme une OPI dans une zone limite de lespace (dfinie par

la fonction de Heaviside), alors que le champ d au spectre continu est dfini partout.

Considrons un ple reprsent par la croix verte sur la Figure 2.8, dfini par

, et considrons lunique contour ( ) passant par ce ple.

reprsente ainsi langle qui vrifie la relation (2.28) pour le point singulier ( ).

Si le ple en question correspond une onde se propageant suivant , la dformation du chemin dintgration initial vers les contours ( ) ne rencontre le ple en question qu partir de . Ceci se traduit par labsence de terme de rsidu dans

lexpression de d ce ple pour

et son intgration partir de

, ce qui explique lintgration de la fonction de Heaviside dans lquation

(2.29). Pour une propagation suivant , une symtrie par rapport lorigine du plan est effectue.

Considrons maintenant le point singulier reprsent par une croix orange sur la

Figure 2.8. Il nexiste aucun contour ( ) passant par ce point dans le domaine de


18

dfinition de langle , i.e. , -. Ceci est vrai pour tous les ples se situant

droite du chemin (

) et gauche du chemin (

).

Figure 2.8 Reprsentation des chemins limites (

) et (

), et de langle

critique pour un point singulier

Aucune dformation du chemin vers un chemin ( ) ne peut exister pour des ples se situant dans ces deux zones. Par consquent, aucun terme de rsidu d ces

ples ne figure dans lexpression du champ total (2.29).

Ainsi, seuls les points singuliers situs dans la zone entre les contours (

) et

(

) peuvent contribuer dans le calcul des rsidus et donc dans le champ

total. Le plan complexe de descente rapide nous permettra alors dtudier la

contribution des modes propres de la structure de faon simple dans le rayonnement.

Cest ce que traiteront les paragraphes suivants o nous commencerons par placer les

diffrents modes sur ce plan et ensuite tudierons leur contribution dans le champ total.

Par ailleurs, le champ despace peut tre calcul par intgration numrique en suivant les chemins de descente rapide. Cependant, le thorme du point col nous

permet dobtenir une valuation asymptotique de ce champ autour du point col, comme

expliqu dans lAnnexe B. En effet, pour , i.e. en champ lointain, la valeur de lintgrale (2.27) peut tre calcule au 1

er ordre en appliquant le thorme comme suit :


19

( )

.

/ ( )

( ) .

( )/

- ,

(2.32)

avec .

2.4.1.2 Lieu des modes propres dans le plan de descente rapide

Ltude prcdente nous a permis de dfinir un critre qui distingue les ples selon

leur contribution dans lexpression du champ total par le moyen des rsidus. Nous

pouvons donc appliquer ce critre sur les modes propres supports par la structure

tudie et que nous avons dj classs sur la Figure 2.4.

Commenons par dvelopper lexpression des vecteurs donde suivant x et z de (2.26)

dans le cas dun ple plac en :

{ ( )

( ) (2.33)

Ces expressions nous permettent de distinguer, selon la valeur de , - et le

signe de , douze cas : six ondes se propageant suivant et six suivant . La

correspondance avec les modes propres de la Figure 2.4 nous permet de diviser le plan

complexe en diffrents cadrans, comme le montre la Figure 2.9. Les modes propres se propageant suivant se dduisent directement des modes suivant par symtrie par rapport lorigine des axes.

Ainsi, en plaant dans ce plan un ple solution du systme (2.23), nous pouvons en

dduire directement le mode en question.

2.4.1.3 Contribution des modes propres

Comme expliqu prcdemment, lexistence de ples de lintgrande du champ

magntique nimplique pas obligatoirement leur contribution dans le champ total. Il est

donc intressant de superposer les courbes (

) et (

) sur la Figure

2.9.

Les cadrans du mode de surface sans pertes (a) et du mode complexe appropri (c) sont

entirement inclus dans la zone comprise entre les contours (

) et

(

). Ces deux modes sont donc excitables et contribuent dans le rayonnement

travers le terme des rsidus.


20

Figure 2.9 Lieu des modes propres dans le plan complexe , avec la nomenclature de Figure 2.4. En bleu la propagation de la puissance se fait suivant et en vert suivant

Dun autre ct, les deux chemins extrmes (

) et (

) partagent

les cadrans des modes (b) et (e) en 2 parties. En prenant les ondes se propageant suivant

comme exemple, les ples (b) et (e) situs dans la partie gauche de la courbe

(

) peuvent tre excits tandis qu droite de la mme courbe les ples

ninterviennent pas dans le terme des rsidus. Il sagit ici des ondes de surface dans le

cas de pertes (modes (b)) et des ondes de fuite (modes (e)). Il est donc important de bien

tudier les paramtres de la structure afin de placer les modes quon dsire exciter dans

la partie adquate du plan complexe.

La troisime catgorie regroupe les modes ne contribuant pas directement dans le

champ rayonn vu que leurs cadrans correspondants sont placs en dehors de la zone

dexcitation. Ces modes, (d) et (f), peuvent nanmoins modifier localement la mthode

de descente rapide en

et influer ainsi sur le rayonnement dans les directions

proches de celle de linterface (end-fire en anglais) [CZ69, p.167].

Dans ce plan, on peut extraire les diffrents types de modes et leurs proprits. Dans

ce manuscrit, nous nous intresserons uniquement aux modes de fuite.

2.4.1.4 Etude du terme des rsidus

Selon lexpression (2.30), le terme de rsidu de chaque ple dcroit

exponentiellement en sloignant de linterface.


21

Dun autre ct, le champ despace, daprs son expression asymptotique en (2.32),

dcroit en

. Lvanescence du champ d aux ples est ainsi plus rapide ; par

consquent, en champ lointain, le champ despace sera prpondrant.

Considrons titre dexemple une structure (selon la Figure 2.1) dont lpaisseur du

milieu 1 est gale , avec une source de courant magntique place en et une frquence de travail de 20 GHz. Deux cas sont traits selon la valeur de la permittivit du dilectrique :

et . Une rsolution

numrique du systme (2.23) nous permet dobtenir les ples dans chaque cas. Nous

nous limiterons ici aux 3 premiers ordres (cf. Figure 2.5).

Les ples dont la propagation se fait suivant sont reprsents dans le plan complexe sur la Figure 2.10. Dans le cas o

, les ples tracs en bleu sont situs dans le cadran correspondant aux modes du type (c) (ondes complexes appropris), daprs la

Figure 2.9. Pour , les ples reprsents en rouge sont des modes du type (e) (OF).

Ces rsultats numriques confirment ltude thorique des modes complexes dans le

paragraphe 2.3.3.1.

Figure 2.10 Lieu des ples dans le plan complexe pour la configuration tudie

( et ) pour 2 permittivits diffrentes : en bleu pour , et en rouge pour

Afin dtudier le terme des rsidus, commenons par le cas . A

une distance radiale de la structure, nous comparons sur la Figure 2.11 le module du champ magntique et en fonction de langle dobservation . Notons qu cette distance, nous pouvons appliquer le thorme du point col vu que

.


22

Figure 2.11 Module des champs magntiques et obtenus une distance de dune structure avec les paramtres suivants :

, et ( ) , . Unit arbitraire

Les deux courbes sont confondues en chaque point ce qui montre que les rsidus dus

aux ples sont ngligeables cette distance. Lexpression asymptotique donne par la

mthode de descente rapide permet ainsi de dcrire fidlement le rayonnement en

champ lointain dans le cas des modes (c), sans avoir recours au terme des rsidus.

Prenons maintenant le cas . Daprs la Figure 2.12, le module du

champ magntique et celui de sont confondus jusqu un angle proche de 45 (et -45 pour les angles ngatifs, par symtrie). Au-del de cet angle, les deux courbes

sloignent et la diffrence correspond aux rsidus. En sloignant encore plus de la

structure, il est vident que cette diffrence dcroit. En effet, pour , les courbes sont totalement confondues, comme le montre la Figure 2.13.

Essayons dexpliquer ces rsultats. La diffrence note entre les deux exemples

provient principalement du lieu des ples. En effet, selon la Figure 2.10, les ples

rouges sont plus proches que les ples bleus de laxe , i.e. est plus faible. Par

consquent, la dcroissance des rsidus des ondes de fuite est plus lente que celle des

ondes complexes appropries. Ces dernires ont ainsi moins de poids sur le champ

rayonn, compares aux ondes de fuite.

Par ailleurs, bien que lexpression analytique asymptotique ne dcrive pas

entirement le champ rayonn dans le milieu 0 pour les faibles distances dans le cas des

ondes de fuite, elle permet dobtenir un lobe principal assez proche du champ total. Elle

reprsente ainsi un moyen simple dobtenir une information rapide sur langle principal

de rayonnement et dobtenir le diagramme de rayonnement.

Pour rsumer, le terme des rsidus reste important dans le calcul du champ proche et

ne peut tre nglig. Mais en champ lointain, partir dune certaine distance dpendant

des ples, il tend vers zro et lexpression analytique donne par la mthode de descente

rapide peut tre suffisante pour dcrire entirement le champ rayonn.


23

Figure 2.12 Module des champs magntiques et obtenus une distance de dune structure avec les paramtres


Figure 2.13 Module des champs magntiques et obtenus une distance de dune structure avec les paramtres suivants :


2.4.2 Mthode de Kirchhoff-Huygens

Lintgration de Kirchhoff-Huygens peut tre utilise dans le cas gnral pour le

calcul du champ rayonn partir dune distribution de courants quivalents sur une

surface donne. Dans notre cas 2D, ceci revient considrer des courants

unidimensionnels invariants suivant la direction y. Lintrt de cette mthode est quelle


24

permet de calculer le champ lointain dans le cas dune structure finie, ce qui ne peut tre

fait avec la mthode du point col.

Considrons des courants quivalents sur linterface sparant les deux milieux de

notre structure et confondue avec laxe x ; la distance entre un point dobservation

( ) de lair libre et un point ( ) de linterface est note , comme le montre la Figure 2.14.

Figure 2.14 Position dun point dobservation M par rapport un point P de la

distribution de champ sur linterface

Le champ rayonn not sexprime avec lintgrale de Kirchhoff-Huygens comme suit :

( ) ( ( ) ( )

( ) (

)

)

(2.34)

avec et les bornes dintgration finies ou infinies sur laxe x, tels que . ( ) est la valeur du champ magntique sur linterface, i.e. en et

. reprsente la fonction de Green bidimensionnelle de lair libre dont

lexpression est ( )

( )( ), avec ( )

la fonction de Hankel de seconde

espce dordre 0. En choisissant sur linterface [TO63a], le second terme de lexpression (2.34) devient nul et on obtient :

( )

( )

( )( )

(2.35)

avec ( )

la fonction de Hankel de seconde espce dordre 1. Dans la zone de champ

lointain, on peut crire lapproximation suivante . Avec la formulation asymptotique de la fonction de Hankel, lintgrale devient :

( )

( ) ( )

(2.36)


25

Dans le cas gnral, ( ), ce qui ncessite un calcul

numrique de lintgrale spectrale afin dobtenir , en plus du calcul des

rsidus sur linterface.

Mais dans des cas particuliers, le champ despace est ngligeable devant le champ d

aux ples, au niveau de linterface. Ceci est vrai notamment dans le cas des ondes de

surface, mais ne prsentent pas dintrt vu quelles ne rayonnent pas. Les rsidus sont

aussi importants dans le cas des ondes de fuite tant donn quils sont gnralement trs

proches de laxe rel du plan complexe comme expliqu dans la section 2.4.1.4. Ainsi, afin de calculer , nous pouvons distinguer 3 cas de figure quon regroupe dans le Tableau 2.1.

Tableau 2.1 Valeur du champ magntique sur linterface selon la permittivit du milieu

1

Permittivit Valeur de Commentaire

Ondes complexes ngligeables et

ondes de surfaces non rayonnantes

( )

Domination des ondes de fuite.

Exemple : Figure 2.12 et Figure

2.13

( ) Cas non trait ici

Des critres ont t proposs notamment dans [TO62] pour dfinir les cas de

domination des rsidus sur le champ despace au niveau de linterface. Nous allons

vrifier cette domination avec des exemples dondes de fuite, sans utiliser de tels

critres. On considre ici que ( ) est gal uniquement aux rsidus sur

linterface et sexprime donc, partir de (2.30), comme suit :

( ) ( ) | |

(2.37)

avec ( ) le champ en du ple , son expression est drive de (2.30).

Lintgration immdiate de (2.36) sur une interface allant de , en utilisant (2.37) permet dobtenir le champ rayonn et donc le diagramme de rayonnement.

Dans le cas particulier dune structure infinie, i.e. pour et , lintgration donne lexpression du diagramme de rayonnement suivante :

( ) | ( )

|

(2.38)


26

Lindice b indique que lexcitation des modes est bidirectionnelle, i.e. suivant et . Reprenons la configuration de la section 2.4.1.4 avec

. Comparons

dans ce cas sur la Figure 2.15 le diagramme de rayonnement analytique obtenu partir

de lexpression (2.32) et quon notera et le diagramme de rayonnement . En

tenant compte de la contribution des 3 premiers ples, tracs en rouge sur la Figure

2.10, nous observons une diffrence entre la formulation analytique trace en rouge et lintgration de Kirchhoff-Huygens trace en bleu. En intgrant les 3 ples

suivants des ondes de fuite, le diagramme de rayonnement trac en pointills noirs

devient gal . La mthode de Kirchhoff-Huygens permet ainsi dobtenir le champ rayonn partir dun nombre fini de ples.

Avec cette mthode, nous pouvons obtenir simplement le rayonnement dune

structure de longueur finie ou semi-infinie suivant la direction x. La mthode de

descente rapide, quant elle, ne permet pas dtudier de telles structures. En effet,

lexpression du champ magntique en (2.27) a t obtenue sous lhypothse dune

structure de longueur infinie. Ainsi, avec la mthode de Kirchhoff-Huygens, nous

pouvons, en choisissant les bornes et , calculer le diagramme de rayonnement par exemple dans le cas dune structure tronque ou dune excitation unidirectionnelle

(suivant ou ).

Il est important de noter que est en ralit le champ despace, mais avec ltude prcdente nous montrons quen champ lointain il concide avec le champ modal

obtenu avec Kirchhoff-Huygens dans lexemple prcdent. Ainsi dans le cas de

domination des modes sur linterface, le champ modal est transfr, en champ lointain,

en totalit vers le champ despace reprsentant le spectre continu.

Figure 2.15 Diagrammes de rayonnement calculs pour les paramtres , et , . Unit arbitraire


27

2.5 Modes de fuite et diagramme de rayonnement

2.5.1 Introduction

Un diagramme de rayonnement est caractris par des lobes dont la direction, la

directivit et lamplitude sont diffrentes. Dans ce paragraphe, nous allons voir que les

ples et leur position dans le plan complexe donnent toutes les informations ncessaires pour analyser un diagramme de rayonnement.

Rappelons que nous nous intressons aux modes de fuite dans ce manuscrit.

2.5.2 Angle de rayonnement dun mode de fuite

2.5.2.1 Expression de langle

Considrons un ple plac dans la zone dexistence des modes de fuite, i.e. dans la

partie du cadran du mode (e) limite droite par le chemin (

) sur la Figure

2.9 pour une propagation suivant . Comme vu prcdemment, le champ li ce ple sexprime travers le terme des rsidus par une OPI dfinie dans une rgion limite de

lespace 0 1. La Figure 2.16 montre cette zone de dfinition. Ailleurs il nexiste

que le champ despace.

En exprimant le vecteur de Poynting dans lespace libre en fonction du champ magntique cr par le mode (exprim sous forme dune OPI), nous obtenons

| |

.

/. Langle que fait le vecteur avec laxe z, not , est alors

dduit de la relation suivante :

(2.39)

Les vecteurs et sont alors colinaires comme le montre la Figure 2.16. Par consquent, la position du ple dans le plan complexe nous permet dobtenir la direction

de rayonnement du mode de fuite.

Notons que le mode en cre un champ qui peut en tre dduit par symtrie par rapport laxe z.

Analysons maintenant la direction des lobes dun diagramme de rayonnement. Pour

ce faire, commenons par ltude dune excitation bidirectionnelle, i.e. en tenant compte

des ples se propageant suivant et . Nous avons calcul avec la mthode de Kirchhoff-Huygens le diagramme de rayonnement dans (2.38) partir du champ

total cr par les modes propres sur linterface avec une propagation suivant et . Nous avons montr aussi que cette mthode est quivalente la mthode asymptotique

de descente rapide si on prend en compte un nombre suffisant de ples.


28

Figure 2.16 Zone dexistence dun mode de fuite se propageant suivant et ses caractristiques angulaires

Afin dtudier chaque mode sparment, nous ne prenons en compte quun seul ple

et ainsi la somme ne se rsume qu un seul terme | ( )

|

.

La drive de cette expression par rapport permet dobtenir la position des maxima du diagramme. Deux cas se prsentent :

(a) | | : deux maxima symtriques existent avec

| |

(2.40)

(b) | | : dans ce cas, un seul maximum apparat .

Considrons maintenant une excitation monodirectionnelle : on ne tient compte que

des modes qui se propagent suivant une seule direction quon choisira ici . Dans ce cas, avec la mthode de Kirchhoff-Huygens, le diagramme de rayonnement est calcul

avec lexpression (2.37) pour et et en considrant uniquement les ples tels que (pour les modes se propageant suivant

), ce qui donne :

( ) | ( )

|

(2.41)

o lindice m indique lexcitation monodirectionnelle. Pour un seul ple contribuant

dans le champ lointain, la somme dans (2.41) se rsume un seul terme :

| ( )

|

. Comme pour le cas bidirectionnel, la drive de ce terme permet

de dduire la position des maxima telle que :

(2.42)


29

Il est noter que, contrairement au cas bidirectionnel, ce type dexcitation conserve

langle de rayonnement des ples tels que | | vu labsence dexcitation du ple symtrique.

Par ailleurs, les expressions (2.40) et (2.42) donnent des positions de lobes diffrents

pour un mme ple, except dans le cas o | | . En effet, si lattnuation dune

onde de fuite est faible, on obtient

(2.43)

On retrouve alors , la direction du vecteur de Poynting de ce mode prvue par

lquation (2.39).

2.5.2.2 Ordre dun mode de fuite et angle de rayonnement

Avant dillustrer les rsultats prcdents travers des exemples, nous allons dfinir

lordre dun mode de fuite. Pour une configuration donne excitant des ondes de fuite,

i.e. , le systme (2.23) admet une infinit de solutions complexes sous forme

de modes de fuite. Ils peuvent tre classs selon la forme du champ cr dans le milieu 1

suivant laxe z. En effet, lordre n dun mode quon dsignera par dans le plan complexe, est donn par la partie entire de

, comme expliqu prcdemment

dans la section 2.3.3.1, avec .

Reprenons maintenant lexemple du paragraphe 2.4.1.4, o nous avons considr une

configuration telle que , , ( ) et une frquence de

travail de 20 GHz. Comme pour les ples rouges de la Figure 2.10, avec un calcul

numrique, nous plaons sur la Figure 2.17 cinq ples dsigns par leurs coordonnes

, * +. Daprs les valeurs de du Tableau 2.2, les ples sloignent

de laxe rel du plan complexe avec lordre n.

Figure 2.17 Reprsentation dans le plan complexe des 5 premiers ples dans la

configuration suivante : , et


30

Tableau 2.2 Calcul numrique de paramtres lis aux 5 premiers modes de fuite dans la

configuration suivante : , et

0.48 1.43 2.21 3.04 4.01

44.51 41.02 35.38 25.37 7.29 342 37 15 12 4

Rappelons que les modes traits dans cet exemple correspondent une propagation

suivant . Nous reportons aussi dans le mme tableau langle reprsentant la direction du

vecteur de Poynting de chaque ple , * +, calcul avec la formule (2.39).

Dun autre ct, traons, sur la Figure 2.18, pour le mme exemple, les diagrammes

de rayonnement et pour , i.e. pour les 6 premiers modes (ce nombre

est suffisant comme nous lavions montr dans 2.4.2). Notons tout dabord que la

position des 4 premiers lobes sur les deux courbes est trs proche des valeurs de du Tableau 2.2. En revanche, on ne distingue pas de lobe pour le ple autour de 7. Ceci peut tre expliqu par la trs faible amplitude de ce mode due sa forte

attnuation. Il en est de mme pour les ordres suprieurs.

Comparons maintenant et . Nous remarquons que les lobes de chaque courbe

correspondant aux deux premiers modes sont confondus. En effet, les modes et

vrifient la condition | | , comme le montre la Figure 2.17 ce qui donne lgalit

(2.43). Dautre part, partir du mode dordre 2, les courbes sloignent avec des lobes

aux mmes angles mais des amplitudes diffrentes. Autour de 0, dcroit

rapidement jusqu sannuler alors que augmente lgrement. Cette diffrence est

due la contribution des modes symtriques ( ) dans . En effet, pour les ordres

, on vrifie numriquement que | | pour cet exemple. On est alors dans le cas (b) de langle de rayonnement, ce qui signifie que tous les modes dordre rayonnent . Ainsi, la contribution de ces modes et de leurs symtriques dans fait croitre lamplitude du diagramme autour de 0 par rapport

o seuls les modes rayonnent.


31

Figure 2.18 Diagramme de rayonnement calcul avec la mthode de Kirchhoff-

Huygens avec , , et . Les flches

montrent les lobes prsents sur les diagrammes. Unit arbitraire

2.5.3 Directivit dun mode de fuite

Dans le paragraphe prcdent, nous avons analys la direction des lobes sur le

diagramme de rayonnement. Dans ce paragraphe, nous traiterons de leur amplitude.

Lamplitude dun lobe est lie deux facteurs :

- Lexcitation : en reprenant les formules analytiques de et dans le

paragraphe prcdent, nous voyons que le champ rayonn de chaque ple est

pondr par un coefficient. Lamplitude du lobe d un mode est lie ce

coefficient. De plus, lexcitation peut privilgier un

%N OBTENTIONU %0$5035 %& - 6/7&345² %& 506 …oatao.univ-toulouse.fr/14142/1/kallel.pdf · TABLE...

Documents

Transcript of %N OBTENTIONU %0$5035 %& - 6/7&345² %& 506 …oatao.univ-toulouse.fr/14142/1/kallel.pdf · TABLE...

Journées ABES - 26 Mai 2010 OATAO archive ouverte institutionnelle multi-établissements oatao.univ-toulouse.fr.

%N OBTENTIONU %0$5035 %& - 6/7&345² ...Je tiens a remercier les membres du jury ainsi que les rapporteurs pour l’int er^et qu’ils ont eu pour mon travail. Je remercie egalement

%N OBTENTIONU %0$5035 %& - 6/7&345² ......J’ai fait le rêve de me battre afin d’œuvrer pour que la planète que nous habitons soit traitée avec le respect qu’on lui doit.

Contribution à l'optimisation de l'ensemble convertisseur ...oatao.univ-toulouse.fr/7102/1/beltramini_partie_1_sur_2.pdf · et SATIE qui ont participé directement ou indirectement

VUEDEL OBTENTIODU %0$5035 %& - 6/7&345² %& 506-064& · RESUME Lebioﬁlmépilithique(anciennementpériphyton),agrégatphototrophed’organismessedé-veloppantsurlefonddescoursd’eau

%NVUEDEL OBTENTIONDU %0$5035 %&%0$5035 %& - …

%NVUEDEL OBTENTIONDU %0$5035 %& - …oatao.univ-toulouse.fr/9117/1/duco.pdf · 4.1.2.1 Modèle de Ganz et Thürlimann ... Spectres de réponse définis dans l’Eurocode 8, selon

%NVUEDEL OBTENTIONDU %0$5035 %& - …thesesups.ups-tlse.fr/2028/1/2013TOU30060.pdf · Résumé Cette étude s’intéresse principalement aux avantages que peut oﬀrir une architecture

%N OBTENTIONU %0$5035 %& - 6/7&345² ...M.le Professeur G. Saeidi de l‘Université de Technologie d‘Ispahan et M.le Professeur M.Valizadeh de l‘Université de Tabriz, de m‘avoir

Variabilité cyclique de l’aérodynamique interne d’un …oatao.univ-toulouse.fr/11368/1/cosadia_partie_1_sur_2.pdf · VARIABILITE CYCLIQUE DE L’AERODYNAMIQUE INTERNE D’UN

%N OBTENTIONU %0$5035 %& - 6/7&345² ...International sur les Plantes Aromatiques et Médicinales, CIPAM2012, Sidi bel-Abbès, Algérie- 08 - 10 Mai 2012. ‘Supercritical CO2 Extraction

New %N OBTENTIONU %0$5035 %& - 6/7&345² %& 506-064& · 2016. 8. 3. · 4 Résumé La Fermentation Malo-Lactique (FML) réalisée par Œnococcus œni est une étape importante de

Spectroscopie d'impedance electrochimique locale ...oatao.univ-toulouse.fr/7596/1/jorcin.pdf · Remerciements Enpréambuleàcemanuscrit,jesouhaiteexprimermareconnaissanceetmesremerciements

Conception d'un capteur optoélectronique par ...oatao.univ-toulouse.fr/7754/1/suleiman.pdf · Titre : Conception d'un capteur optoélectronique par interférométrie à réto-injection

%N OBTENTIONU %0$5035 %& - 6/7&345² %& 506 … · Figure 22 : Cinq réacteurs à cellules immobilisées communs (Verbelen et al. 2006).....43 Figure 23 : Structure de l’alginate,

SDW 5036 / 5035 SDW 5034 / 5033

oatao.univ-toulouse.froatao.univ-toulouse.fr/2049/1/debouch_2049.pdf · 2.2 - Muscles intrinsèques de l’aile 2.2.1 - Ceinture scapulaire ... chasse surtout à l’affût du haut

%NVUEDEL OBTENTIONDU %0$5035 %&- …oatao.univ-toulouse.fr/9585/1/ATALLA_EL-AWADY_ATTIA.pdf · planning de référence du projet avec l’affectation des ressources associées, plate-forme

%N OBTENTIONU %0$5035 %& - 6/7&345² %& 506-064&

%N OBTENTIONU %0$5035 %& - 6/7&345² %& 506-064ðesis.inp-toulouse.fr/archive/00001898/01/deslandes.pdf · En particulier, merci à Xavier Lagrange pour son analyse étendue et

%N OBTENTIONU %0$5035 %& - 6/*7&34*5² %& 506 …oatao.univ-toulouse.fr/14142/1/kallel.pdf · TABLE...

Transcript of %N OBTENTIONU %0$5035 %& - 6/*7&34*5² %& 506 …oatao.univ-toulouse.fr/14142/1/kallel.pdf · TABLE...

%N OBTENTIONU %0$5035 %& - 6/7&345² %& 506 …oatao.univ-toulouse.fr/14142/1/kallel.pdf · TABLE...

Transcript of %N OBTENTIONU %0$5035 %& - 6/7&345² %& 506 …oatao.univ-toulouse.fr/14142/1/kallel.pdf · TABLE...