Compétence

description

N° de

l’ITEM consigne

Différentes causes possibles

d’erreurs

Pistes de remédiation exemples

Do

mai

ne

: N

om

bre

s

Utiliser les fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures grandeurs

62 et

63

« Vous avez deux rectangles A et B. Pour chaque rectangle, vous devez colorier la surface indiquée. Pour le rectangle A, coloriez les trois-quarts de sa surface. Pour le rectangle B, coloriez les cinq dixièmes de sa surface. Vous avez quatre minutes. »

L’élève sait peut-être trouver la

réponse si les quadrillages sont

apparents.

L’élève n’a pas le même repère

entre le nombre de carreaux et

le dénominateur de la fraction.

Partir de figures variées déjà coloriées pour avoir une

image mentale des fractions.

Réaliser des classements de figures coloriées et les associer

à des nombres, à des fractions

Produire des fiches nombres, y rajouter des

représentations non quadrillées et des représentations non

prototypiques.

Fabriquer un loto des différentes représentations des

nombres.

Fabriquer un jeu de sept familles avec les différentes des

nombres.

Écrire une fraction sous la forme d’une somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à 1.

81

« Vous devez compléter les deux égalités. Vous avez deux minutes. »

L’élève ne se représente pas

la fraction comme étant une

représentation d’un nombre.

Il ne sait trouver la partie

entière dans une fraction.

Il ne connait pas la propriété

d’une fraction égale à 1 : le

dénominateur est égal au

numérateur.

Trouver la partie entière sur différentes représentations

visuelles (carreaux, disques, les bandes)

A partir d’un axe gradué qui commence à 0 sans les

repères, et avec la valeur en fraction d’une graduation,

situer les nombres entiers.

Systématiser en calcul mental, en référence avec les tables

des multiples le nombre de partie entière

exemple : 21/4 : 20/4+1/4 sachant que 20 = 4x5 cela

veut dire qu’il y a 5 partie entière dans 21 /4

Do

mai

ne

: O

rgan

isat

ion

est

ges

tio

n d

es d

on

née

s Savoir organiser les données d’un problème en vue de sa résolution.

70/71

« Voici un problème. Vous devez le lire et répondre aux deux questions posées. Faites vos calculs dans les cadres. Vous avez sept minutes. »

L’élève peut avoir des difficultés

pour :

Comprendre dans

l’énoncé :

-« par jour »

-« par vélo » qu’il faut

associer également à une

seule personne « pour leur

fille »

- que l’assurance est

« comprise » dans le premier

magasin et est en plus dans

le deuxième magasin

Trier les données

Trouver la bonne

Classer des énoncés selon s’il s’agit de problème ou non.

Trier les données des problèmes (données utiles ou

inutiles).

Trouver des questions mathématiques à partir d’un

affichage, d’un menu….

Travailler à partir d’énoncés proches de la vie des élèves

(classe, vie quotidienne).

Proposer des énoncés en rituel.

Faire verbaliser la situation.

Proposer trois procédures dont une seule est correcte.

Faire analyser les différentes procédures.

Proposer des énoncés à l’oral.

Raconter l’énoncé avec ses propres mots.

Mimer l’énoncé.

Utiliser du matériel pour illustrer la situation.

S’appuyer sur l’illustration.

Formuler la question en début d’énoncé pour permettre à

procédure l’élève d’anticiper ce qu’il faut faire et de sélectionner plus

facilement les données.

Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité

75/76

/77

« Vous devez lire le problème figurant dans votre cahier et le résoudre. Vous ferez vos calculs dans les cadres. Vous avez 10 minutes. »

L’élève n’a pas compris la notion

de proportionnalité.

L’élève n’a pas de procédure

pour résoudre un problème de

proportionnalité.

Travailler en calcul mental la relation des nombres en eux :

le double, le triple, le quadruple, la moitié, le tiers, le quart.

A partir de différents petits problèmes dire si ce sont des

problèmes de proportionnalité ou non.

Exemple : 1 kg de fromage coûte 10 euros, combien dois-je

payer pour 300g ?

Exemple : Un tee-shirt coûte 20€, deux tee-shirt coûtent

30€, combien coûtent quatre tee-shirt ?

Travailler le sens de la proportionnalité avec des situations

proches de l’univers des élèves et visuelles qui peuvent de

comparer, se manipuler (recettes, des prix, des récipients,

des longueurs de segments, des figures géométriques, des

puzzles) exemple Ermel :

Travailler sur des rapports de proportionnalité entiers

Lire ou produire des tableaux et les analyser

84

« Lisez les indications inscrites sur le graphique puis répondez aux questions. Vous avez un rectangle dans lequel vous pouvez faire des calculs. Vous avez cinq minutes. »

Construire avec les élèves différents tableaux à partir des

résultats en EPS, des données en géographie

Utiliser des caches pour identifier la colonne ou la ligne où

se trouve la bonne information.

Do

mai

ne

: G

éom

étri

e

Construire la figure symétrique d’une figure donnée. Compléter une figure par symétrie axiale.

82

« Vous devez compléter la figure qui a été commencée. Il faut que la droite D soit un axe de symétrie de la figure. Vous utiliserez vos instruments, votre règle et votre équerre. Vous avez trois minutes. »

l’élève ne maîtrise pas les propriétés de la symétrie permettant de la construire. Le repérage des points à placer par symétrie est difficile car non marqué sur la figure.

Proposer régulièrement des activités géométriques courtes

amenant les élèves à faire des tracés sur feuille blanche à

partir d’un programme de construction donné à l’écrit

et/ou à l’oral (ex compléter une figure par symétrie axiale) :

aider à intégrer les notions géométriques abordées et à les

réinvestir dans des situations autres.

Permettre à l’élève de nommer les différentes points de la

figure qu’il va devoir tracer par symétrie.

Reconnaître, décrire et nommer les solides droits.

83

Un solide droit est dessiné sur votre cahier. Pour ce solide droit, vous devez indiquer le nombre de faces, le nombre d’arêtes, le nombre de sommets et le nom du solide dans le tableau correspondant. Vous avez deux minutes. »

Seules les faces rectangulaires sont reconnues comme « faces » ;

L’élève a rencontré des difficultés à lire et comprendre la représentation utilisée (perspective cavalière) ; Le recours au codage conventionnel (ex : les arrêtés en pointillés) peut avoir une incidence sur la compréhension de la représentation.

Refaire cette évaluation mais en mettant à disposition de

l’élève le solide en question pour lui permettre de

comprendre la représentation proposée.

Varier les solides proposés pour permettre aux élèves de

maîtriser la notion de face et apprendre à les décrire (ex :

le jeu du portrait/ activité de description, où les élèves

apprennent progressivement à repérer les propriétés

caractéristiques des solides, et à leur donner des noms pour

pouvoir deviner quel solide a été choisi par le maître ou un

camarade. Le but : deviner le solide choisi en posant le moins de

questions possibles.)

Faire représenter des solides (Les élèves ont un solide sur

leur table, ils doivent faire un dessin qui permet à un autre

groupe qui ne voit pas le solide de le fabriquer avec un

matériel donné (composé de pailles et de sommets en

plastique permettant de construire le squelette du

polyèdre) « Solides à pailles », édition Nathan

Amener les élèves à se rendre compte que, lors de la

représentation plane d’objets géométriques en 3D, il est

nécessaire, d’une part, de perdre de l’information mais

également, d’autre part, d’en conserver.

Variables didactiques : le choix des solides/le type de

matériel (les pailles et sommets en plastique orientent la

réflexion sur les sommets et arêtes alors que des patrons ont

pour objectif d’appréhender la notion de faces.

Do

mai

ne

:

Gra

nd

e

urs

et

mes

ur

es Résoudre des

problèmes dont la résolution

98 « Vous devez lire et résoudre ce problème. Vous

La difficulté de l’exercice porte essentiellement sur la conversion des grammes en

Inviter les élèves à construire systématiquement les

tableaux de conversion quand il leur est demandé de

convertir des données dans un problème posé.

implique des conversions et des unités différentes de mesure.

avez deux minutes ».

kilogrammes. : -confusion des grammes et kilogrammes -manque de temps pour terminer l’exercice et convertir

Puis pour leur permettre de s’en détacher petit à petit,

proposer durant les moments consacrés au calcul mental

ou réfléchi, de faire des conversions de tête sur des unités

de mesure différentes.

Estimer ou mesurer une longueur. Connaître les différentes unités et leurs relations.

99

« Voici trois problèmes. Pour chacun, plusieurs réponses sont proposées. Choisissez celle qui vous paraît exacte. Entourez la bonne réponse. Vous avez quatre minutes. »

Les erreurs sont à rapprocher d’un manque de perception des grandeurs en jeu (celle de la première question doit être davantage source d’erreurs car plus éloignée de leur champ de mesures et d’expériences personnelles.

Le fait de faire estimer régulièrement des longueurs

permet aux élèves d’acquérir des compétences dans ce

domaine. C’est par l’entrainement régulier de ce genre de

situation que l’élève va les appréhender plus facilement.

Toutes les situations de classe sont l’occasion d’estimer des

longueurs, (Ex : sortie scolaire, trajet pour aller à la piscine,

pour aller dans une autre classe de l’école…), des masses

(ex : le poids des cartables, des élèves, du matériel

scolaire…) ou contenance (Ex : les réserves d’eau pour le

PPMS, la contenance des verres lors d’un anniversaire…)

100

« Vous devez lire et résoudre le problème. Vous effectuerez vos calculs dans le cadre. Vous avez 4 minutes.

Les erreurs peuvent provenir d’une méconnaissance de la formule du périmètre ou de la démarche nécessaire. L'élève peut confondre Aire et Périmètre.

Faire symboliser le périmètre de la figure en le suivant avec

le doigt ou par un code de couleur (Ex : demander aux

élèves de repasser en couleur les mesures identiques dans

la figure donnée et leur faire déduire la formule de calcul

du périmètre). Associer les élèves à élaborer par des

manipulations les formules permettant de calculer les

périmètres de façon à ce qu’ils le mémorisent plus

facilement.

Ces deux notions sont souvent introduites en parallèle pour

aider l’élève à les différencier.

CA

LCU

L

Calcul mental : Multiplier mentalement un nombre décimal par 10,100, 1000 Items 65 66 67 72 73 74

Ecueils pédagogiques :

ll est faux de dire que, quand on multiplie ou divise un nombre décimal par 10, 100 ou 1000, «la virgule se déplace » vers la droite ou vers la gauche. Ce sont les chiffres qui se déplacent, c’est l’unité qui change. La virgule dit de quoi l’on parle, ce que l’on compte; si elle est ailleurs c’est que l’on parle d’autre chose. Exemple au CE2 : les élèves apprennent que «pour multiplier par 100 on ajoute 2 zéros». Ils sont perdus car cela ne fonctionne plus avec les décimaux (ex : pour eux 2,5 x 100 donne 2,500). La formule qui fonctionne dans tous les cas est la suivante: «Quand on multiplie par 100, les unités deviennent des centaines, quand on multiplie par 10 les unités deviennent des dizaines.»

Attention, enseigner de telle «astuces » sans manipulations préalables est très probablement un "piège pédagogique" parce qu’en les appliquant, certains élèves réussissent diverses tâches portant sur des décimaux alors qu’ils n’ont fondamentalement pas compris ce qu’est un décimal. Tout cela masque la nature des nombres décimaux et peut conduire de très nombreux élèves à les assimiler à des entiers. Pré-requis pour multiplier ou diviser un nombre décimal par 10 100 1000 : Une bonne compréhension de la numération est indispensable, à savoir: Connaissance de la structure des nombres - Décomposition canonique - Décomposer, recomposer un nombre sous des formes variées en utilisant les groupements par dix - Différencier la valeur des chiffres selon leur position - Savoir extraire le nombre de dizaines ou centaines (dans le cadre d’un problème à résoudre) Présenter 1000 non seulement comme le successeur de 999 mais surtout comme 10 x 100, 100 x 10

Savoir représenter une suite de nombres sur la droite numérique - Avec des échelles différentes - Avec des intervalles différents - Sans toujours débuter par 1 ou 0 La manipulation des entiers (multiplier par 10, 100, 1000 ou par 20, 300...) doit se faire sans erreur La recherche des quotients et restes dans les divisions par 10, 100, 1000 doit être un exercice banal En calcul rapide écrit, la recherche des quotients et restes dans les divisions par 2, 5 doit être connue.

Multiplier mentalement un nombre décimal par 10,100, 1000

65

66

67

Vous avez 2 minutes pour effectuer 3 opérations sans les poser

11,39 x 10= 5.2X100= 3.256X1000= Non prise en compte de la virgule. Multiplication de la partie entière puis de la partie décimale : 500,200 au lieu de 520 Décalage de la virgule incorrecte.

Rappels Quand on multiplie un nombre décimal par 10 ou 100 comme par 0,1 ou 0,01, la règle du déplacement de la virgule ne peut être enseignée sans explication. En effet, c’est la valeur de chaque chiffre qui change Méthodologie Analyser l’erreur et proposer des activités en conséquence Exemples d’activités : Multiplier un nombre décimal faible (ex : 0,2 x 10) à l’aide d’outils (cf. cap maths CM2) comme :

- la bande unité graduée en 1/10

- le tableau de numération pour représenter le changement de valeur de chaque chiffre en commençant par x10 pour aller vers x 0,01

Calculer mentalement : diviser mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1000.

72

73

74

Il y a quatre cases A, B, C, D. Je vais vous dicter quatre opérations, vous devez écrire le résultat dans les cases correspondantes. Je dirai deux fois les calculs. Pour la case A, cinq-cent-trente divisé par dix, écrivez le résultat dans la case A. Pour la case B, deux-mille-cinq-cents divisé par cent, écrivez le résultat dans la case B. Pour la case C, cent-neuf divisé par cent, écrivez le résultat dans la case C. Pour la case D, deux-mille-cinq-cents divisé par mille, écrivez le résultat dans la case D.

Les élèves appliquent mécaniquement la « règle des zéros ». Les calculs A et B permettent de l’appliquer mécaniquement car il suffit de « barrer » les zéros, en nombre nécessaire pour déterminer le résultat. Concernant le calcul C et D la règle appliquée en A B ne fonctionne plus. les élèves doivent déterminer un nombre décimal (1,09 et 2,5) en décalant une virgule qu’ils doivent initialement imaginer comme virtuellement placée après le chiffre 9 : certains d’entre eux agiront comme dans le cas précédent (diviser par 100) en barrant les deux derniers chiffres. Pour le calcul D, la difficulté est de même nature qu’au C. La taille des nombres en jeu peut jouer et donc rendre l’item 74 plus difficile que le 73.

A B : - Revenir au sens : quand on divise par 10 100

1000 c’est la valeur de chaque chiffre qui change (pour diviser un nombre par 10, je fais en sorte que son chiffre des unités devienne un chiffre des dixièmes.)

L'introduction des divisions par 10 100 et 1000 est une bonne occasion de le revoir et de montrer que quand on

sait multiplier par 10, on sait aussi diviser par 10. - Décomposer, recomposer un nombre sous des

formes variées en utilisant les groupements par dix

- Différencier la valeur des chiffres selon leur position

C D : En plus de A et B - Revenir au tableau de numération pour

comprendre la valeur de chaque chiffre dans le nombre

Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat d’une opération.

79

« Voici un calcul : 112 x 8 + 208. Est-ce que le résultat est supérieur à 1 000 ? Entourez la bonne réponse : oui ou non. Je répète le calcul : 112 x 8 + 208. » « Deuxième calcul : 1 037 : 5 + 12. Est-ce que le résultat est supérieur à 200 ? Entourez la bonne réponse : oui ou non. Je répète le calcul : 1 037 : 5 + 12. »

L’élève a répondu NON pour A : - erreur pour l’un et/ou l’autre des calculs partiels (produit et/ou somme) ; - une technique spécifique de calcul mental n’est pas connue pour 112 x 8 (l’élève pose l’opération dans sa tête et est rapidement submergé ou pris par le temps) ; - problème de mémoire : le premier calcul (112 x 8) lui fait oublier la seconde partie (le nombre et/ou le calcul) ; - problème d’arrondi : l’élève a bien simplifié le calcul (100 x 8 + 200) mais n’a pas perçu que le résultat du calcul demandé est bien supérieur à 1000, même si le calcul arrondi ne l’est pas (du fait des 2 arrondis inférieurs).

l’élève a répondu NON à la question B : - l’élève n’a pas arrondi 1 037 à 1 000 et s’est enfermé dans un calcul mental qui ne lui a pas laissé le temps de répondre ; - l’élève a bien arrondi à 1 000, mais n’a pas su diviser mentalement par 5.

Remarque :

Le calcul réfléchi est d’une autre nature que le calcul

automatisé. Il ne s’agit plus de récupérer directement

en mémoire un résultat ou une procédure directement

applicable, mais d’élaborer une procédure adaptable

au calcul qui est proposé. Stratégie et raisonnement

sont alors sollicités.

Pistes de remédiation :

- Travail d’encadrement d’un nombre, à la

dizaine, à la centaine, …la plus proche

- Revenir sur le « priorité » des opérations

(multiplication et division) -> repasser par des

arbres de calcul (pour mettre en évidence les

priorités, décomposer le calcul pour limiter le

recours à la mémoire)

Multiplier un entier par un nombre décimal.

90

91

Effectuez les opérations suivantes dans les cadres. Vous avez huit minutes 27.5X23 16.25X2.03

- les erreurs peuvent porter sur une maîtrise insuffisante des techniques opératoires mais chaque opération nécessite un examen complémentaire. En effet, pour chaque production erronée, plusieurs causes d’erreurs peuvent se superposer et plusieurs interprétations sont parfois possibles. La production finale ne suffit pas à éclairer la démarche de l’élève. On peut recommander d’analyser avec les élèves les procédures utilisées. Erreurs liées à une mauvaise maîtrise de la numération : - opération mal posée (signification de la position des chiffres dans l’écriture du nombre, notamment avec les nombres décimaux) ; - décalage ou zéro(s) qu’impose la multiplication (statut distinct des chiffres suivant leur rang) ; - placement de la virgule. Erreurs liées à la gestion spatiale et temporelle de la

Rappels L’étude des techniques de calcul posé doit être résolument orientée vers la compréhension et la justification de leur fonctionnement. Elle ne peut donc, en aucun cas, se limiter à l’apprentissage de récitatifs. Méthodologie Analyser l’erreur et proposer des activités en conséquence. Si la technique de chaque opération doit être appréhendée en liaison étroite avec le sens, certains élèves peuvent avoir besoin de séances spécifiques ou la technique est travaillée de façon autonome. Les élèves pour lesquels l’analyse des résultats a surtout mis en évidence des erreurs de calcul élémentaire se verront proposer des activités systématiques d’apprentissage et d’utilisation des tables et des relations particulières entre certains nombres. Avant de mémoriser les tables : L'élève doit être capable de représenter mentalement les nombres, de concevoir les relations entre ceux-ci et de comprendre le sens des opérations en jeu. Des points d'appui permettent progressivement de construire les résultats à mémoriser : 1. les décompositions en appui sur le nombre 5 2. le complément à 10 pour la table d'addition 3. la connaissance des doubles 4. les tables de 2 et 5 pour la multiplication

retenue : - mauvaise gestion de la retenue appliquée au chiffre placé en haut ; - inversion des chiffres à soustraire lorsque le recours à la retenue est nécessaire ; - combinaison de plusieurs erreurs. Erreurs liées à la mémorisation insuffisante des tables. Le report de la virgule dans le résultat peut être oublié ou erroné. La réponse 16,25 x 2,03 = 37,375 révèle un oubli de prise en compte du zéro intercalé dans le multiplicateur.

5. la commutativité des opérations : 2 x 7 = 7 x 2 = 14

Proposer des jeux comme le compte est bon ou le nombre mystérieux http://www.jlsigrist.fr/calculflash/index.html Ceux qui montrent des lacunes concernant la connaissance des nombres se verront également proposer des activités spécifiques.

- Utiliser le matériel et les manipulations pour matérialiser les retenues.

- Faire un retour sur la décomposition pour certains élèves, par exemple ceux qui auront montré des erreurs de décalage dans la technique de la multiplication.

Exemple : pour multiplier 325 par 37, on posera 325x7= 2275 puis 325x30=9750 et on explicitera Enfin, dans tous les cas, l’élève doit être incité et entrainé à utiliser des moyens de contrôle des résultats obtenus : recherche d’un ordre de grandeur du résultat, contrôle du chiffre des unités,…

Poser et effectuer une division d’un nombre entier ou décimal par un nombre entier.

92

93

Partie 1 : « Effectuez le calcul 786 divisé par 5 dans le cadre, puis écrivez le quotient décimal sur les pointillés. » Partie 2 : « Effectuez le calcul 74 divisé par 8, puis écrivez le quotient décimal sur les pointillés. »

Items 92 93 : Les erreurs sur les chiffres qui apparaissent au quotient peuvent être dues à une mauvaise connaissance des résultats des tables de multiplication (cf. item 78). De même, des erreurs dans la maîtrise de la technique opératoire de la soustraction ou des faiblesses en calcul mental peuvent aussi entraîner des résultats erronés. Erreur dans le positionnement de la virgule. .

Remarques : Le calcul de divisions doit être limité à des cas raisonnables : dividende ayant au plus quatre chiffres, avec pose effective des soustractions intermédiaires et possibilité de poser des produits partiels annexes pour déterminer certains chiffres du quotient. Même pistes de remédiations que pour la multiplication en ce qui concerne :

- La mémorisation des tables - La maîtrise de la technique opératoire

Erreur dans le positionnement de la virgule : revenir sur la valeur de chaque chiffre (sens, compréhension de la numération), repasser si besoin par la décomposition du nombre. Enfin, dans tous les cas, l’élève doit être incité et

entrainé à utiliser des moyens de contrôle des résultats

obtenus : recherche d’un ordre de grandeur du

résultat, contrôle du chiffre des unités, vérification par

une addition dans le cas de la soustraction ou par celle

de l’égalité a = bq + r dans le cas de la division.