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Sujets de devoirs pour les sries : SET MTI MTGC Site MathsTICE de Adama Traor Lyce Technique Bamako

******** DevoirDevoirDevoirDevoir 1 **

EXERCICE I : (7 points) On considre le nombre complexe Z = (1 3 ) i (1+ 3 ) 1) Ecrire sous forme algbrique Z2. 2) Trouver le module et un argument de Z2, en dduire le module et un argument de Z

3) En dduire les valeurs exactes de cos12

17pi et sin12

17pi

4) En utilisant ce rsultat rsoudre pour x ]pi ; pi] lquation : (1 3 )cosx (1+ 3 )sinx = 2. EXERCICE II : (9 points) 1) Ecrire sous forme algbrique les solutions de lquation: Z6 = 1.

En dduire les solutions de lquation : (z i 3 )6 = i2 ( 3 z 2i)6.

2) Dmontrer que x cos5x = )cos103cos55(cos161

xxx ++ .

EXERCICE III : (4 points)

1) Dterminer lensemble des points M du plan tels que:Arg2

)2( pi=+

izz

2) Dmontrer que quels que soient les nombres complexes U et U de

module 1 vrifiant UU+1 0, le nombre Z = '1'

uu

uu

+

+ est rel.

Devoir n1 SET- MTI - MTGC Adama Traor Professeur Lyce Technique

**DEVOIR N2**

EXERCICE 1 : (5 points)

Soit lquation (E) : z3 2iz2 4z + 8i = 0 1) Montrer que (E) admet une solution imaginaire pure z0 quon

dterminera. 2) Rsoudre (E). 3) Dterminer lensemble () des points M, daffixe t, tels que t2 soit

un rel.

EXERCICE 2 : (5 points) Cet exercice est compos de deux parties indpendantes. 1) Trouver suivant les valeurs de lentier naturel n, le reste de la

division euclidienne par 4 des nombres 7n et 3n. En dduire le reste de la division euclidienne de 7n 3n par 4.

2) Rsoudre dans : 011

11 33

=

+

+

+

z

z

z

z


Z est un nombre complexe diffrent de 1. On pose 11'

11

'

+=

=

z

zret

z

zz

1) Comparer 11 zetz

2) Dterminer 'z 3) On appelle A, B, M et M les points du plan complexe daffixes respectives 1, 1, z et z. Calculer r en fonction de Z et Z . En dduire que r est un rel. Que peut-on dire des vecteurs BMetAM ? On justifiera la rponse.


1) Trouver les nombres complexes z et t tels que :

+=+++

+=+++

iitiziitizi

6)3(3)21()31()132(36)3()2(

2) crire sous leurs formes trigonomtriques z, t et t

z

En dduire les valeurs exactes de 12

sin12

cospipi

et .


**DEVOIR N3**


1) Calculer le module et largument de chacun des nombres complexes

izetiz == 12

2621

2) En dduire le module et largument de 2

1

z

zZ = .

3) Utiliser les rsultats prcdents pour calculer 12

sin12

cospipi

et


On considre lapplication f de dans dfinie par : f(z) = z2 (9 + 2i)z + 26

1) Dterminer les nombres complexes U tels que U2 = 3 + 4i puis rsoudre lquation f(z) = 0.

2) On pose z = x + iy. Dterminer lensemble des points M(x ;y) du plan complexe, tels que f(z) soit un rel. Prciser la nature de cet ensemble.

3) Soit les nombres complexes a et b dfinis par :

a = 23

21 i+ et b = i+ 3 . crire : a ; b ;

a

b sous forme trigonomtrique.

Problme : Dans lensemble des nombres complexes on considre le polynme complexe f(z) = z3 4z2 + 6z 4 1) Montrer que lquation f(z) = 0 admet une solution relle z0 que lon dterminera. 2) Rsoudre dans lquation f(z) = 0. On notera z1 et z2 les deux autres solutions (o z1 est la solution complexe dont la partie imaginaire est positive). 3) Reprsenter dans le plan complexe les points M0 ; M1 ; M2 daffixes respectives z0 ; z1 ; z2. Montrer que le triangle M0M1M2 est rectangle. 4) a) Rsoudre dans lquation z2 = z1. On donnera les solutions sous forme algbrique et trigonomtrique. En dduire les valeurs exactes

de : 8

tan8

sin;8

cospipipi

et .

b) Calculer (z1)20.


**DEVOIR N4**


Soient les nombres z et Z tels que z 3 et Z = 3

1+

+

z

iz .

On dsigne par A, B et M les points daffixes respectives 3 ;1+i et z. Dterminer et construire :

a) Lensemble E1 des points M tels que |Z| = 1 b) Lensemble E2 des points M tels que Z soit un rel ngatif c) Lensemble E2 des points M tels que Z soit imaginaire pure.


Dterminer les racines cubiques du nombre complexe i sous forme trigonomtrique et algbrique. En dduire la rsolution dans de lquation :[ ] 0)21( 3 = izi

EXERCICE 3 : (5 points) 1) Rsoudre dans lquation : z6 + iz3 = 0. Placer les points images de ces solutions dans le plan complexe P muni dun repre orthonorm (O ; ji ; ). 2) Linariser lexpression : cos3xsin2x. 3) Dterminer une forme trigonomtrique du nombre complexe : z=3 +3i 4) Soit z0 le complexe dimage ponctuelle M0 tel que z = 3 2 z0 et u laffixe dun point M du plan ; tel que les images ponctuelles de z0 et u soient les sommets dun triangle rectangle en M0. Dterminer lensemble des nombres complexes u.


1) Soit k un rel positif non nul et un nombre complexe zk = k12i. Calculer |zk| en fonction de k. Dterminer k pour zk vrifie : |zk| zk = 1 + 2i. 2) Soient u un nombre complexe et lquation dinconnue z :|z| z =u. a) Dterminer lensemble des valeurs de u telles que lquation : |z|z =u admette une solution ; puis rsoudre cette quation dans .

b) Soit u = r(cos + isin ) ; r + ; 2pi

< < < < < < < < 2pi

.

Exprimer le module et largument de la solution de lquation laide de r et .

3) Soient les complexes z et z tels que :

z = cos2 + sin2 et z = cos2 + sin2 avec 0

**DEVOIR N5**

EXERCICE: (5 points) Le plan P est rapport un repre orthonormal direct );;( vuO . Soient A le point daffixe 2 + 3i, B le point daffixe 13i, M le point daffixe z, (z

2 + 3i), M le point daffixe z tel que z =

+

+

izizi

32312

1) Dterminer lensemble (E) des points M tels que |z|=2 ; 2) Dterminer et construire lensemble (F) des points M tels que z soit un rel strictement ngatif. Problme : (15 points) 1) Dterminer les racines carres 1 et 2 du complexe z=18i ; 2) Rsoudre dans lquation z2 + 4iz 4 + 18i = 0 ;

3) Soit le systme dinconnue b,

=+

=+

0642418402885612

23

24

bbbbbb

Montrer que 4 est une solution de chacune des quations du systme. 4) Soit f(z)= z4 4z3 + 6(2+3i)z2 + 8(37i)z 288 64i Montrer que lquation f(z)=0 admet une solution imaginaire pure note zA et une solution relle note zB. 5) Dterminer les complexes a ; b et c tels que : f(z) = [ z2 (4+4i)z +16i] [az2 +bz + c] En dduire la rsolution de f(z)=0. On notera zC la solution non relle et non imaginaire pur dont Re(zC) >0 ; puis zD la quatrime solution dont Re(zD)

**DEVOIR N6**

EXERCICE1: (10 points)

dsigne lensemble des nombres complexes. Soit f la fonction de dans dfinie par f(z)= z3 (2+i)z2 +2(1+i)z 2i. 1) Calculer f(i) et en dduire une factorisation de f(z). 2) a) Rsoudre dans, lquation f(z)=0 ; b) Calculer le module et largument de chaque solution de lquation. 3) On dsigne z1 ; z2 et z3 les solutions de lquation f(z)=0 ; z2 tant

celle dargument 2pi . Vrifier que : 2312

1 ZZZ = .

EXERCICE2: (10 points)

1) Linariser : sin6x + cos6x. 2) Soit z et Z les nombres complexes dfinies par : 41221 zZetiz =++= Dterminer les racines quatrime de Z sous forme trigonomtrique puis sous forme algbrique.

En dduire cos8pi et sin

8pi .


**DEVOIR N7**

EXERCICE 1: (5 points)

Soit le nombre complexe z= 4(cos4

7pi + i sin4

7pi ).

1) Ecrire z sous forme algbrique

2) a-/ Lcriture z = 4(cos4

7pi + i sin4

7pi ) est-elle une forme

trigonomtrique ? justifier votre rponse. b-/ Donner la forme trigonomtrique de z utilisant largument principal.


Soit f lapplication de -{5} dans dfinie par : 5

1)(+

++=

z

izzf .

On dsigne par A, B et M les points daffixes respectives 5 ; 1i ; z. 1- Donner une interprtation gomtrique dun argument de f(z). 2- Dterminer et construire :

a) Lensemble (E1) des points M tels que |f(z)|=1 ; b) Lensemble (E2) des points M tels que f(z) soit un rel ; c) Lensemble (E3) des points M tels que f(z) soit un imaginaire pur.


Dterminer les solutions dans de lquation : z4 = (1i)4. Construire les images dans le plan complexe.


1- Linariser lexpression : 3cos)23(sin)

23(cos 22

2- Dterminer le module et un argument du nombre complexe z tel que : z = (1+ cosx + cos2x) + i(sinx + sin2x)


** DEVOIR N8 **


1- Calculer le module et largument du nombre tgi

U+

=

11

(on discutera suivant les valeurs de ).

2- Linariser : sin3(2) cos2(2).


Pour chaque rel ]2

;2

pipi [, on dfini lapplication f de dans par :

f(z)= z2cos2 2zcos +1+sin2.

Dans le plan affine euclidien muni dun repre orthonorm );;( jiO . On dsigne par E lensemble des points M daffixe z telle quil existe

]2

;2

pipi [, vrifiant f(z)=0.

1) a- Rsoudre dans lquation f(z)=0. b- Si le points M(z) appartient E, que peut-on dire du point M daffixe z ?.

2) Pour fix, on pose : Z= ( ) cos"'21

zzi + , o z et z sont les solutions

de lquation f(z)=0. Dterminer les racines quatrimes de Z et reprsenter les points images des solutions sur le cercle trigonomtrique.

EXERCICE 3: (5 points) Dans le plan affine euclidien muni dun repre orthonorm );;( jiO , soit M le point daffixe z, on pose z = x+iy, (x ;y) 2. Soit A le point daffixe 3i et M daffixe z avec z=x+3iy. 1) Quelle condition doit vrifier z pour que lon ait MA et MB ? 2) Cette condition tant vrifie, dmontrer que :

[ ])'(//)( BMAM

+

+IRiziz

3'

En dduire lensemble(E) des points M tels que (AM)//(BM). 3) Dterminer lensemble (F) des points M tels B, M et le point daffixe iz soient aligns.

Devoir n8 SET- MTI - MTGC Page 01 Adama Traor Professeur Lyce Technique


Soit le plan affine euclidien muni dun repre orthonorm );;( jiO . On donne les points A(1 ;5) ; B(2 ;3) et C(4 ;4). 1) Dterminer le barycentre G des points A, B, C affects respectivement des coefficients : 1 ; 1+ ; 3 , avec . 2) Dterminer pour que G soit le point D(1 ;3). 3) Dterminer lensemble des points G quand dcrit . 4) On prend =5. Dterminer lensemble des points M du plan vrifiant : MA2 + 6MB2 2MC2 = 40. Reprsenter cet ensemble.


Soit ABCD un carr. Dterminer un triplet de nombres rels ( ; ;) tel

que A soit le barycentre du systme (B, ) ; (C, ) ; (D, ). Dterminer ensuite lensemble des points M du plan tels que : 0

2=+ MCMDMCMCMB

Devoir n8 SET- MTI - MTGC Pa ge 02 Adama Traor Professeur Lyce Technique

**DEVOIR N9**


A/- Soit le polynme f(x)=2x310x225x21. 1) Calculer f(7) et en dduire que :f(x)=(x7)(ax2+bx+c) o a, b, c sont trois rels dterminer. 2) Rsoudre dans , lquation f(x)=0. B/- Un entier naturel N, scrit : 5531 dans le systme de numration de base n et 3676 en base (n+1). Calculer n et donner lcriture de N dans le systme dcimal.


Soit A ;B ;C trois point du plan P tels que AB=AC=5 et BC=6 1) Construire le triangle ABC et calculer ACAB ; 2) Soit G barycentre de (A,2) ; (B,3) ; (C,3). construire G et calculer GA. 3) Soit f : P M )()()(2)( MBMAMAMCMCMBMf ++=

a) Exprimer f(M) en fonction de f(G) et MG. b) Caculer f(A) et f(G). c) Dterminer et construire lensemble (E) des points M tels que : f(M)=f(A).

Problme : (10 points) Soit le polynme P de la variable complexe z dfini par : P(z)=z3 (7+9i)z2 + (39i14)z +50 1) Montrer P(z)=0 admet une racine z0 imaginaire pure. 2) Rsoudre lquation P(z)=0. On notera z1 la racine non imaginaire pure ayant la plus petite partie relle ; et z2 la troisime racine. 3) Dans le plan affine euclidien rapport au repre orthonorm );;( vuO , on considre les points A, B , C daffixes respectives z0 ; z1 ; z2. Dterminer lensemble des points M du plan tels que :

MA2MB2+MC2=4.


**DEVOIR N10**


1/- Dmontrer que x ( )xxxx cos103cos55cos161

cos5 ++=

2/- Rsoudre dans cos2x sin2x + 1 =0.


On considre lapplication de dans dfinie par : f(z) = z2 (9+2i)z +26

1/- Rsoudre dans lquation f(z)=0. On notera z1 la solution de f(z)=0 qui a la plus grande partie relle et z2 lautre racine. 2/- Soit A et B les points daffixes respectives z1 et z2.

Dterminer lensemble (E) des points M du plan tels que : .2=MBMA

3/- On pose z=x+iy. Dterminer lensemble des points M du plan complexe tels que f(z) soit un rel. Prciser sa nature.


Dans le plan affine euclidien rapport au repre orthonorm );;( vuO , on considre les points A, B, C daffixes respectifs : zA=22 3 i ; zB=2+2 3 i ; zC=8. 1/- Ecrire zA ; zB ; zC sous la forme trigonomtrique. Placer les points A, B et C. 2/- Dterminer les coordonnes du barycentre G du systme de points pondrs {(A, |zA|) ;(B, |zB|) ; ;(C, |zC|)} puis placer G. 3/- Dterminer et construire lensemble () des points M du plan tels que : MCMBMAMCMBMA 22 +=++ .


**DEVOIR N11**


Dmontrer par rcurrence que : 1- n , 3n+3 44n+2 est divisible par 11.

2- n *, )2)(1(4)3(

)2)(1(1

.........

4321

3211

++

+=

++++

+

nn

nn

nnn


1/ Dterminer le nombre entier du systme dcimal qui scrit :

97cbaetabc

2/ Rsoudre dans ( )27/ ZZ le systme suivant :

=+

=+

52333&&

&&&&

yxyx


1/ En utilisant lalgorithme dEuclide dterminer : 354 25, et trouver deux entiers relatifs k et l tels que : 354k + 25l =1.

2/ Rsoudre dans (*)2: (xy)9(x y) = 13.


1/ Dterminer lensemble des couples (x ;y) dentiers naturels non nuls

tels que :

=

=

847

yxyx

2/ a) Trouver lensemble des entiers naturels qui divisent 276. b) Trouver les paires dentiers naturels dont le plus grand commun diviseur d et le plus petit commun multiple m vrifient :

=+

30102763

pp ddm


1/- Dterminer selon les valeurs de lentier n, le reste de la division euclidienne par 9 de 4n. 2/- En dduire que pour tout entier naturel n suprieur ou gal 1, le nombre N=229n+2 313n1 est divisible par 9.


**DEVOIR N12**


1-/ Dmontrer par rcurrence que pour tout entier naturel non nul

3

)2)(1()1(........1262 ++=+++++ nnnnn

2-/ Le Directeur du Lyce Technique de Bamako dispose 15 cahiers et 25 bics. A laide de ces fournitures, il veut faire des lots identiques pour rcompenser les plus mritants de ses lves. a) Quel est le nombre maximum de lots quil peut former ? b) On suppose quil peut former 5 lots et quil a en tout 40 objets (bics et cahiers). Le nombre de cahiers tant infrieur au nombre de bic, dterminer le nombre de cahiers et de bics.


1/- Trouver lentier N du systme dcimal qui scrit : )8()9( 77 baetab 2/- a) Dterminer lensemble des diviseurs de 124. b) Dterminer lensemble des couples (x ;y) de (*)2 tels que :

d = x y et m = x y vrifient la relation =

5031244

pp ddm


Soit N un entier naturel tel que en numration dcimale, N scrive abcd , et que lentier qui scrit bcda soit divisible par 7. 1-/ Montrer que si a=7 alors Nbcda 10 soit divisible par 7. En dduire que pour cette valeur de a, N est divisible par 7. 2-/ Montrer que 10N3a est multiple de 7. En dduire que si N est divisible par 7, alors a=7.


La lettre a dsigne un nombre rel strictement positif, on considre un triangle ABC tel que AB=3a ; AC=4a ; BC=5a. 1) Dterminer le barycentre G des points (B,4) ;(C,3) ;(A,5). 2) Dterminer lensemble des points M du plan tels que lon ait :

4MB2+3MC25MA2=12a2.


**DEVOIR N13**


Dmontrer par rcurrence que :

1) n * : 1+3+5++(2n+1) = (n+1)2.

2) n : An = 32n+2 2n+1 est divisible par 7.


1) Rsoudre dans lanneau /5 lquation : x2 +

3 x +

2 =

0

2) Rsoudre dans lanneau /7 le systme suivant

=+

=+

652123

yx

yx


Trouver le reste de la division par 13 du nombre N= 1001000.


1) Trouver lcriture dcimale des nombres suivants :

2216161010100;1110;0;1 FFA

2) Rsoudre dans /8 les quations suivantes

3 x =

4 ; x2 +x=

0 ; x3 =

0


**DEVOIR N14**


1) Dmontrer que pour tout entier naturel n1, lentier n2(n21) est divisible 12. 2) a) Etudier les restes de la division par 7 des nombres 2n et 3n n.

b) Dterminer t, entier positif tel que : 2t + 3t 0 [7]. 3) a) Montrer que x4 + 3x2 + 4 = (x2 + 2)2 x2. Mettre le polynme P(x)= x4 + 3x2 + 4, sous la forme dun produit de facteurs du second degr. b) Dduire de ce qui prcde que si la base du systme de numration est suprieure ou gale cinq, le nombre 10304 est divisible 112. La base tant sept, exprimer le quotient de la division de 10304 par 112.


Soit (a ;b ;c) un triplet dentiers naturels tels que : )()()( 13054;114;111 nnn cba === a) Sachant que c=ab, dterminer la base n puis les critures des nombres a, b, c dans le systme dcimal. b) Vrifier, en utilisant lalgorithme dEuclide que a et b sont trangers. c) En dduire les solutions dans 2 de lquation ax + by = 1.

d) Rsoudre x /4 : x2+ x +

1 =

0 .

(x ;y) ( /4 )2 ;

=+

=

0123

022

yx

yx


Soit (a,b) , on pose : = ab et =ab. Dterminer tous les couples (a ;b) dentiers naturels tels que :

a) 9 = 13

b)

=

=+

18096

ba


**DEVOIR N15**

EXERCICE 1: (6 points) 1) a) Dterminer suivant les valeurs de lentier naturel n, le reste de la division par 7 de 4n et de A = 8513n + 8512n + 851n + 2 b) Un nombre B du systme de numration de base 4 scrit : B=2103211. Dterminer dans le systme dcimal le reste de la division de B par 7. 2) a) Trouver tous les couples (a, b) dentiers naturels tels que :

=

=

1680),(42),(gcd

bappmcbap

b) Dterminer lensemble des entiers relatifs x tel que 8x7[ ]5 c) Rsoudre dans lquation 336x + 210y = 294.


On considre la famille de fonctions numriques fm dfinie par :

153)2()(

2

+

+=

x

xxmxfm o m est un paramtre rel.

Dans le plan muni dun repre orthonorm ( )jiO ;; on dsigne par (Cm) la courbe de mf . 1) Dterminer lensemble de dfinition Dm de mf . 2) Discuter suivant les valeurs de m, les limites de mf aux bornes de Dm. 3) Montrer que toutes les courbes (Cm) de mf passent par un point fixe A dont on prcisera les coordonnes. Problme : (10 points) A] Soit f lapplication de dans dfinie par :f(z)=z3 (1+i)z2 4 +4i. 1) Vrifier que lquation f(z)=0 admet une solution relle z1 et un solution imaginaire pure z2 que lon dterminera. 2) a) Rsoudre dans lquation f(z)=0 ; b) Calculer le module et largument principal des trois solutions de lquation f(z)=0. On dsignera par z3 la troisime solution.

4) Dans le plan complexe rapport un repre orthonorm , on dsigne par M1 ; M2 ; M3 les points daffixes z1 ; z2 ; z3.

Placer ces points. Prciser la nature du triangle M1M2M3.


B] On considre dans , lquation : mz2 (m2+4)z + 4m = 0 (1) o m est un paramtre complexe. 1) Rsoudre lquation (1) pour m=1+i.

En dsignant par z1 et z2 les solutions obtenues ; montrer que :1

24z

z = .

Pouvait-on prvoir ce rsultat ?. 2) Donner la forme gnrale des solutions de lquation (1) dans . 3) On se place dans le cas o les deux solutions de lquation (1) sont des nombres complexes conjugus. Dterminer leur module. 4) Montrer que si lquation z2Sz+4 =0 admet deux solutions

conjugues, alors S est un rel vrifiant ; 4 S 4 . 5) Calculer les solutions z0 et 0Z lorsque S=2. Donner leur forme trigonomtrique. Reprsenter les solutions dans le plan complexe muni dun repre orthonorm ( )vuO ;; . 6) Calculer z0

5 et 5

0Z puis montrer que : 05

00

50

1616Z

ZetZ

Z== .

Devoir n15 SET- MTI - MTGC Pa ge 2 Adama Traor Professeur Lyce Technique

**DEVOIR N16**


Soient A ; B ; C trois points du plan P tels que AB=AC=5 ; BC=6. 1) Construire le triangle ABC et calculer ACAB 2) Soit G le barycentre de (A,2) ; (B,3) ;(C,3). Construire G et calculer GA. 3) Soit f lapplication de P M f(M)= MBMAMAMCMCMB ++2

a) Exprimer f(M) en fonction de f(G) et MG. b) Calculer f(A) et f(G). c) Dterminer et construire lensemble E des points tels que

f(M)=f(A).


1) Vrifier que pour tout rel x :4

3)12)(12(12 += xxx .

En dduire

=2

0

3

sin21cos

pi

dxx

xA .

2) On donne :

+= x

xexf x 2ln1

101)( .

En remarquant que f=hk + kh calculer

1

21 )( dxxf .

3) Calculer pi

03sin dxxe x .

4) Soient == 202

02222 sincos

pi pi

dxxeJetdxxeI xx

a) Calculer I+J.

b) Soit )2sin2(cos41)( 2 xxexf x += .

Calculer f(x). En dduire IJ. Calculer I et J.


**DEVOIR N17**


Linariser sin5x, puis calculer 605sin

pi

dxx .


Soit le polynme complexe P tel que :

P(z)= 6 (z4+1)2(1+2i)(z3z)2 6 z2 Calculer P(1) et P(1) puis rsoudre dans lquation P(z)=0.


Soit la fonction numrique f de la variable relle x dfinie par :

245)(

2

+=

x

xxxf

1) a) Quel est lensemble de dfinition de f ? b) Etudier la variation de f. Calculer f(1) et f(4). c) Quelle est la limite de g(x)= f(x) x +3 quand x tend vers + ; quand x tend vers . En dduire que la courbe reprsentative (Cf) de f admet la droite (D) dquation y=x3 pour asymptote. 2) a) Quelles sont les coordonnes des points dintersection de (Cf) avec les axes de coordonnes ? Dterminer une quation de la tangente (Cf) en chacun de ces points. Construire ces tangentes dans le plan muni dun repre orthonorm. b) Construire la courbe reprsentative (Cf) de f dans le mme repre.


**DEVOIR N18 **


Soit f la fonction dfinie par f(x) = |x -1| 1

2+x

.

1) Dterminer lensemble de dfinition Df de f. 2) Ecrire f(x) sans valeur absolue. 3) Dterminer les limites de f aux bornes de Df . 4) La fonction f est-elle continue au point 1 ? 5) La fonction f est-elle drivable au point 1 ? Que peut-on dire ?


Soit f une fonction dont le tableau de variation est le suivant

La fonction f est de la forme 1

)(+

++=x

cbaxxf o a ;b et c sont des rels. 1) Calculer f(x) ; 2) Trouver les coefficients a, b, c en utilisant les donns ci-dessus.


1

2

2

2

0

+

+

+

x

f (x)

f (x) + +

Problme: (10 points)

Soit f la fonction de vers dfinie par : 2)2()1()(

+

+=

x

xxxf et soit (Cf) sa

courbe dans le plan muni dun repre orthonorm ( )jiO ;; . 1) a/ Dterminer lensemble de dfinition Df de f. b/ Calculer les limites de la fonction f aux bornes de Df. En dduire les asymptotes la courbe (Cf). 2) Etudier les variations de f. 3) Quelles sont les coordonnes du point dintersection A de la courbe (Cf) avec la droite dquation y=1. 4) Dterminer une quation de la tangente (T) la courbe (Cf) au point dabscisse x=0. Dterminer la position de (Cf) par rapport la droite (T). 5) Tracer la courbe (Cf) et la droite (T).

6) Soit g la fonction de vers dfinie par : 22

)2()( ++

=

x

xxxg et (C) sa

courbe reprsentative dans le repre ( )jiO ;; . a/- Ecrire g(x) sans valeur absolue. b/- Sans tudier g(x), tracer sa courbe (C).

7) Soit h la fonction de vers dfinie par :

+=

=12)(

1)()(pxsiaxxh

xsixfxh

a/- Pour quelle valeur de a h est-elle continue au point 1 ? b/- Pour cette valeur de a, tudier la drivabilit de h au point 1.


**DEVOIR N19**


Calculer les limites aux bornes du domaine de dfinition de chacune des fonctions suivantes dfinies ci-dessous :

2)(;31)( 22 +=

+= xxxg

xx

xxf


Calculer les limites suivantes :

a/- x

x

x 20 sin3cos1lim

; b/-

x

x

x 4cos1sin21lim

2

4+

pi

; c/- x

xx

x sin11lim

0

+


Soit mf la famille de fonctions dfinie par mx

mxxfm

= 2

2 1)( o m est un

paramtre rel. On dsigne par (Cm) la courbe de mf dans le plan rapport un repre orthonorm ( )jiO ;; . 1/ a- Donner, selon les valeurs de m, le domaine de dfinition de mf . b- Montrer que, pour toutes valeurs de m, mf est paire. c- Prciser selon les valeurs de m, sur quel ensemble mf est drivable. Calculer )(' xfm pour x lment de cet ensemble. Pour quelles valeurs de m, mf est-elle constante sur son domaine de dfinition ? 2/ Pour m1, calculer )1(mf ; en dduire quil existe deux points appartenant toutes les courbes (Cm) sauf (C1). 3/ Tracer (C1). 4/ Etudier les variations de 2f et tracer (C-2). 5/ Faire ltude complte de 4f et tracer sa courbe reprsentative dans un repre orthonorm distinct du prcdent.


**DEVOIR N20**

EXERCICE 1: (4 points) Soit la fonction numrique f de la variable relle x dfinie de ]2;+[ sur

par :2

972)(2

=

x

xxxf .

1) Montrer que f admet une rciproque f1, que lon dfinira. 2) Tracer les courbes de f et de f1 dans un mme repre orthonorm.

EXERCICE 2: (6 points) Dans le plan affine euclidien E, on considre trois points A, B et C tels que : AB=4 ; AC=3 ; BC=5 (en cm). 1) Trouver lensemble des points M de E vrifiant : vMCMBMA =+ 2 ( v tant un vecteur donn du plan vectoriel associ E). 2) Le systme { })3,(;)1,(;)1,( = CBAS a-t-il un barycentre ? si oui trouver le puis le construire. 3) Dterminer alors lensemble (H) des points M de E vrifiant :

MA2+MB23MC2=5 puis construire (H). EXERCICE 3: (6 points)

Soit E un espace affine rapport au repre ( )kjiO ;;; . On considre lapplication f de E dans E dfinie par : M(x ;y ;z), f(M)=M(x ;y ;z)

avec

=

=

=

632'422'

643'

zxz

zyxyzxx

1) Montrer que f est une application affine. 2) Quelle est la nature de f ? En dduire ses lments caractristiques. 3) Trouver limage du plan P dquation : x+yz+3=0 par f.

EXERCICE 4: (4 points) Soit f une fonction dont le tableau de variation est le suivant :

Tracer la courbe (Cf) de f sachant que la droite dquation y= 3

1 x+1 est

une asymptote (Cf).


2 4 5 +

0

x

+

1 0

25

f(x)

f (x)

0 + + + +

**DEVOIR N21**

EXERCICES: (8 points)

1) Calculer =e

dxx

xI1

ln

2) Soit =pi

pi

200

100

sin dxx

xJ

a-/ En intgrant par parties, montrer que =pi

pipi

200

100 2cos

2001 dx

x

xJ ;

b-/ En dduire que 0 J pi100

1

3) a-/ Soit la fonction numrique f :

] [ 22 )1(2)(;1:

=+x

xxfxquiIRf a .

Calculer =x

dttfxF2

)()( pour x >>>>1. b-/ Soit la fonction numrique g :

] [ )1(1)(;1: 2

=+xx

xgxquiIRg a .

Trouver les rels a ; b ; c tels que : 11

)(

++

+=x

c

x

bx

axg .

Calculer =x

dttgxG2

)()( pour x >>>> 1.

c-/ Calculer

=

x

dtt

ttxH

2 22 )1(ln)( pour x >>>>1.

d-/ Dterminer )(lim xHx +

, (on pourra crire que pour x >>>>1 :

ln(x21)=2lnx+ln(1 21x

) ).


1) Soit f la fonction dfinie par f(x)=xlnxx pour x >>>>0 et f(0)=0. Dmontrer que f est continue sur +. Etudier f et tracer sa courbe reprsentative (Cf) dans un repre orthonorm dunit 1cm.

2) Soit g la fonction dfinie par 2243ln

21)( xxxxg = pour x >>>>0 et g(0)=a.

Quelle valeur faut-il donner a pour que g soit continue en x0=0 ? a-/ Etudier la drivabilit de g en x0=0. b-/ Etudier g et tracer sa courbe (Cg) dans le mme repre que (Cf). 3) Dterminer en cm2, laire du domaine limit par laxe des abscisses, la courbe (Cf) et les droites dquations : x=1 et x=e. 4) Aprs avoir driv la fonction h dfinie par h(x)=x3lnx, dterminer une primitive de g et laire A() du domaine : D={ M(x ;y)/ x e e et 0y g(x)} o est un paramtre rel positif infrieur e e . Dterminer sil existe )(lim

0

A

+.


**DEVOIR N22**


Soit la fonction numrique de la variable relle x dfinie par

2

234

)3(44244012)(

+

+++=

x

xxxxxf

1) Dterminer les rels a ; b ; c ; d tels que pour tout x de lensemble

de dfinition Df de f : 22

)3()( ++++= xd

cbxaxxf

2) Etudier les variations de la fonction f ; 3) Montrer que la parabole (P) dquation y=x2+6x5 est asymptote la courbe (Cf) de f. 4) Etudier la position de (Cf) par rapport (P). 5) Tracer (P) et (Cf). 6) Trouver une primitive de f sur Df. 7) Calculer

=

2

0)( dxxfA .


Soit f dfinie par x

xxf 1)(

2 += et soit (Cf) sa courbe reprsentative dans le

plan muni dun repre orthonorm. 1) Etudier la fonction f ; 2) Etudier la position de (Cf) par rapport son asymptote oblique ()

3) Montrer que x [1,2] on a | f(x)| 43

.

4) En dduire quen appliquant lingalit des accroissements finis

[x,2] on a : 1+43 x f(x).

5) Montrer que la restriction g de f [1, + [ ralise une bijection de [1,+ [ sur un intervalle de que lon prcisera.


**DEVOIR N23**

I) Soit f la fonction dfinie par f(0)=1 et f(x)=2x+1+xlnx. 1) Dterminer lensemble de dfinition Df de la fonction f. 2) Etudier la continuit et la drivabilit de f au point 0. 3) a) Calculer f(x) si x 0. b) Etudier les variations de f et la limite de f en + 4) Quel est le nombre de solutions de lquation f(x)=0 ?

5) Etudier x

xfx

)(lim+

. Dduisez-en le comportement asymptotique de la

courbe reprsentative de f. II) A)-On considre la fonction numrique g dfinie par g(x)=ex+x-5 1) Etudier le sens de variation de g (on ne demande pas de dterminer les limites de g, ni de construire sa courbe reprsentative). 2) Calculer g(0) et g(2). Dmontrer que lquation g(x)=0 admet une solution unique sur et une seule. 3) Justifier lencadrement 1.30<

** DEVOIR N24 **


Dmontrer que pour tout nombre rel x, on a la relation

Cos3x= 41 (cos3x+3cosx)

Trouver une primitive sur de la fonction f dfinie par f(x)=cos3x .


Soit la fonction f qui, tout nombre rel x fait correspondre

f(x)=(x3) x

Construire dans un repre orthonorm la courbe de f.

Problme : (10 points)

On considre dans , lquation : z3+ (4+i)z2 +(8+6i)z+4 +28i =0. 1-/ Montrer que cette quation admet une solution imaginaire pure z0 que lon prcisera.

2-/ Trouver les nombres complexes et tels que lquation puisse

scrire : (z z0)( z2+ z +)=0.

Dduisez-en les autres solutions z1 et z2 de cette quation. (on dsignera par z1 la solution dont la partie relle est ngative et z2 la troisime solution). 3-/ On considre un plan P rapport un repre orthonorm. On dsigne par A, B, C les points de P daffixes respectives z0 , z1 , z2. Placer les points A, B, C et dduire la nature triangle ABC. 4-/ Dterminer et construire lensemble (E) des points M(x ;y) du plan P tels que ; MA2 + MB2 MC2= 3.


**DEVOIR N25**


Aprs avoir dterminer les ensembles de dfinition et de drivabilit des fonctions ci-dessous, calculer les fonctions drives.

1-/ 3

132)(

=

x

xxf ;2-/ 2

2

6)2(3)(

x

xxf

+

+= ;3-/ 21)( xxxf ++= ;4-/ xxf 2cos)( 3= .


Soit f la fonction dfinie par 3)1(32)(

+=

x

xxf .

1-/ Dterminer lensemble de dfinition Df de f et trouver les rels a et b

tels que pour tout x de Df : 32 )1()1()( += xb

x

axf .

2-/ Dresser le tableau de variation de f.


Pour tout entier n strictement positif on dfinit lapplication fn de dans

qui tout x, associe :1

)(2 +

=

x

xxf

n

n . On dsigne par (Cn) la courbe de fn.

1-/ a) Calculer la fonction drive de fn; en dduire que pour

tout n 1, fn est strictement croissante sur +. b) Dresser le tableau de variation de fn suivant la parit de n. c) Dmontrer que toutes les courbes (Cn) passent par deux points fixes dont on dterminera les coordonnes. 2-/ Etudier et tracer la courbe de f1.


**DEVOIR N26**


Trouver sept termes dune suite gomtrique : u1 ; u2 ; ; u7 tels que

=++

=++

12502

765

321

uuu

uuu

On montrera dabord que : 321

765

1

5

uuu

uuu

u

u

++

++= .


1-/ Rsoudre lquation diffrentielle :3y+48y=0 2-/ Dterminer la solution f de cette quation sachant que :

f(8pi )=2 et f(

8pi )=2.


Soit la fonction f :t t

1 pour t [n ;n+1] ; n>>>>0.

1-/ Montrer que pour tout n , on a: +

+

1

11

1 nn nt

dtn

.

2-/ On considre la suite de terme gnral :

nn

U n ln1

.....................

211 +++= , n 1.

Montrer que (Un) est monotone, termes positifs ; conclure.


Soit la fonction f de la variable relle x dfinie par :

=

=

0)0(01)(

1

fxsie

x

xxf x

1-/ Dterminer le domaine de dfinition Df de f et tudier les limites de f aux bornes de Df. Etudier la continuit de f au point x=0. 2-/ Etudier les variations de f. Reprsenter graphiquement f dans le plan rapport un repre orthonorm ( )jiO ;; .


**DEVOIR N27**

EXERCICE 1: (5 points) 1-/ Dmontrer que, quelque soit lentier naturel n, on a :

32n+3 + 2n+3 0 [7].

2-/ Rsoudre dans /7, lquation : x2 +

2 x +

6 =

0 .

3-/ Rsoudre le systme (a ;b) (*)2

=

=

am

ba3

40522 avec m=a b.


Lobjet de lexercice est dtudier la suite de terme gnral

)1.(1

)()( 010

=

+== xqueconvienton

x

xxfodxxfU

n

nnn .

1-/ Calculer u0 et u1. 2-/ Comparer xn xn+1 lorsque x [0 ;1]. En dduire que la suite (Un) est dcroissante.

3-/ En observant que un-1+un = dxxx n +

1

01 1. , tablir que un-1+un <

n

2.

4-/ A laide des rsultats prcdents, tablir que : n

Un

n 22

)1(22 +

.

En dduire la limite de un lorsque n tend vers +.


1-/ Soit la fonction g dfinie sur]0 ;+[ par g(x)=x2+1lnx.

a/ Etudier les variations de g. Prciser les limites de g en 0 et +. b/ Dterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x. Calculer g(1).

2-/ Soit la fonction f dfinie sur]0 ;+[ par : x

xxxf

2ln1

21)( ++= .

a/ Etudier les variations de f, puis dresser son tableau de variation.

b/ Dmontrer que f(x)=0 admet deux solutions et , ( < ).

c/ on dsigne par () la droite dquation : y= 21 x+1 et (Cf) la courbe

reprsentative de f. Etudier le signe de d(x)= f(x)( 21 x+1) et en

dduire la position de (Cf) par rapport (). d/ Dmontrer que () est asymptote la courbe (Cf).Tracer ()et (Cf).


**DEVOIR N28-ESS-2004**

EXERCICE 1: (7 points) On considre la suite (Un) de nombres rels dfinie par : U0=2 et pour tout entier naturel n, ln (Un+1) = 1 + ln (Un). 1-/ Calculer u1 ; u2 ; u3 .

2-/ Montrer que eU

U

n

n=

+1 .

3-/ Exprimer Un en fonction de n. 4-/ Prciser le sens de variation de la suite (Un).


1-/ a/ Calculer le module et largument du nombre complexe : zn=(1+i )

n, n . b/ Pour quelles valeurs de n, zn est-il un nombre rel ? 2-/ Dans le plan complexe, on dsigne par An le point daffixe zn.

a/ Dterminer les nombres rels et tels que le barycentre des points

A1, A2, A3 et A4 affects des coefficients , , 1 et 1 soit le point daffixe nulle. b/ x tant un nombre rel, calculer en fonction de x le module du complexe z=ex + ixex.


1-/ Rsoudre dans lquation: 6x13y=5. 2-/ Une variable alatoire x ne prend que les valeurs : 1 ; 1 et 2 avec

les probabilits respectives.5

52;

583

;5

yxCyxBxA === .

a/ Montrer quil existe un couple unique (x ;y) dentiers tel que ces donnes soient acceptables. b/ Calculer alors lesprance et la variance de x.


**DEVOIR N29**


On considre la suite (In) : n 40 2cospi

dxxnx n .

Montrer que pour tout entier naturel n, on a : 0 In 1

4

+

n

pi .

En dduire que (In) converge.


On considre la suite (U) de premier terme U0=0 et dfinie pour tout

entier positif par la relation de rcurrence : Un+1= nU+122 .

1-/ a/ Montrer que pour tout n 1 ; 122 nU .

b/ Etudier le sens de variation de la suite (U) et en dduire que la suite est convergente.

c/ Dterminer la limite de la suite (U).

2-/ a/ Montrer que pour tout nombre rel x de [0 ; pi] on a :

)2

cos(2cos1 xx

=

+ .

b/ Montrer alors que pour tout entier naturel n : Un=cos

+12n

pi .

c/ Retrouver ainsi la limite de la suite (U).

Devoir n29 SET- MTI - MTGC Pa ge1 Adama Traor Professeur Lyce Technique


A] Soit (E) lquation diffrentielle du second ordre : y3y+2y=0. 1-/ a/ Quelles sont les solutions de (E). b/ Quelle est la solution de , dont la courbe reprsentative (C) admet au point dabscisse 0, la mme tangente que la courbe (C) reprsentative de y=e3x ?. On dit que (C) et (C) sont tangentes. 2-/ Reprsenter dans un mme repre orthonorm les courbes (C) et (C) dont on prcisera les positions relatives. 3-/ tant un nombre rel strictement positif, soit h les fonctions telles que : xx eexh 22 2)( += . a/ Montrer h est solution de (E). b/ Soit (C) la courbe reprsentative de h. Aprs avoir calcul en fonction de les coordonnes du point commun (C) et (C), montrer que ces courbes sont tangentes en ce point. c/ Prciser les positions relatives de (C) et (C). B] Soit (E) lquation diffrentielle du second ordre : y3y+2y=x2+x+2 1-/ Trouver trois nombres rels a ; b ; c pour que la fonction polynme

t : xax2 + bx + c solution de (E ).

2-/ On pose : f(x)=g(x)21 x2x. Montrer que f est solution de (E ) si et

seulement si g est solution de (E). En dduire lensemble des fonctions f, solution de (E ). 3-/ Dterminer la solution de (E ) dont la courbe reprsentative passe par le point de coordonnes (0;2) et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 1.

Devoir n29 SET- MTI - MTGC P age2 Adama Traor Professeur Lyce Technique

**DEVOIR N30**


On considre le nombre complexe 2

31 iX += .

1-/ Mettre x sous la forme trigonomtrique. 2-/ z tant un nombre complexe donn, on considre la suite (Un) dfinie par : U1=z et Un= Un1.x pour n 2. a/ Calculer U1 ; U2 ; U3 sachant que : U1.U2.U3 = 2(1i) on prendra

arg(z)[0 ; 2pi ].

b/ Montrer que U1, U2, U3 forment une progression gomtrique dont on dterminera la raison. c/ Montrer que les arguments de U1, U2, U3 forme un progression arithmtique dont on dterminera la raison.


Soit la fonction numrique de la variable relle x dfinie par

11ln12)(

+

++=x

xxxf

1-/ Etudier les limites de cette fonction aux bornes de son domaine de dfinition. On appelle (Cf) la courbe reprsentative de f dans le plan rapport un repre orthonorm ( )jiO ;; . Prciser les asymptotes de (Cf) en particulier, on tablira lexistence dune asymptote oblique (D). 2-/ Etudier le sens de variation de f et indiquer pour tout x de son domaine de dfinition la position de (Cf) par rapport (D). 3-/ Construire la courbe (Cf).


**DEVOIR N31**


Rsoudre dans les quations et systme dquations suivants 1-/ 32x+2+263x3 = 0 ; 2/ (lnx)27lnx+6=0

3/ ln(x3)+ln(x1)=3ln2 ; 4/

=+

=

2ln5ln9ln3ln2

yxyx


On considre la fonction f dfinie par :f(x)=(x2+2x1)ex. 1-/ Etudier la fonction f. 2-/ Construire la courbe (Cf) de f dans le plan muni dun repre orthorm (unit graphique=2cm). 3-/ On considre la fonction F dfinie par : F(x)= (ax2+bx+c)ex. a/ Dterminer les rels a,b, c pour que F soit une primitive de f. b/ En dduire laire A, en cm2 de la partie du plan limite par des abscisses, la courbe (Cf) et les droites dquations : x=0 et x=3.

NB : On prendra e3=20 ; e3= 31e

=201 ; e2=7.


**DEVOIR N32**

EXERCICE : (6 points)

1-/ Dterminer deux nombres rels a et b tels que, pour tout rel t

(t{1 ;0}) on ait :1)1(

1+

+=+ t

bt

a

tt.

Calculer alors : +2

1 )1(ttdt .

2-/ Calculer : ++2

1

2

1 22 )1(ln)1ln( dt

t

tetdt

t

t .

3-/ Calculer :

pi

pidxxx 32 sincos .


Etant donn un rel m, on considre lapplication fm : qui x associe fm(x)= (1mx)e

x+1. 1-/ Suivant les valeurs de m, dresser le tableau de variation de fm. 2-/ Soit g la fonction numrique de la variable relle x dfinie par : g(x)= (1x)ex+1. On dsigne par (Cg) la courbe de g dans le plan muni dun repre orthonorm ( )jiO ;; . a/Dresser le tableau de variation de g ; b/Ecrire lquation de la tangente (T) (Cg) en son point x0=1. c/ Dterminer la fonction drive seconde g de g et tudier le signe de g(x). d/ Construire (T) et (Cg) dans le mme repre. 3-/ a/ En utilisant une intgration par parties, dterminer sur la primitive de g, qui sannule pour x=1. b/ Calculer en cm2 laire du domaine plan limit par (Cg), laxe des abscisses et les droites dquations respectives x=1 et x= 1,5. 4-/ Soit h la restriction de g lintervalle I=]0 ;+[. a/ Montrer que h est une bijection de I sur un intervalle J que lon prcisera. b/ On note h1 lapplication rciproque de h. Calculer le nombre drive de h1 au point x=0. 5-/ Les coordonnes dun point mobile M sont, la date t et dans un repre orthonorm ( )jiO ;; , x=1+lnt et y=(2lnt)t, avec t [2 ;+[. a/ Dterminer la trajectoire de M. b/ Dterminer les coordonnes du vecteur vitesse de M la date t.


**DEVOIR N33**

EXERCICE : (7 points)

Soit f : [0 ;1]

x 2

)(+

=

x

exf

x

.

1-/ Dterminer les fonctions f et f. 2-/ Donnez le tableau de variation de f.

3-/ Dmontrer que pour tout x de [0 ;1] , |f(x)| 32

.

4-/ Etablir que, lquation f(x)=x admet une solution unique [0 ;1]. 5-/ Dmontrer en utilisant lingalit des accroissements finis que :

x [0 ;1] ; |f(x)| 32 |x- |.


Soit f la fonction dfinie sur [0 ;+[ par f(x)=1x+e2x+xe2x. On appelle (Cf) la courbe de f dans le plan muni dun repre orthonorm ( )jiO ;; dunit graphique 2cm. 1-/ Calculer la fonction f drive de f. Dresser le tableau de variation de

f sur [0 ;+[. En dduire le signe de f sur [0 ;+[.

2-/ Dresser le tableau des variations de f sur [0 ;+[. 3-/ Montrer que (Cf) admet une asymptote oblique (D) que lon dterminera. Etudier la position de (Cf) par rapport (D). 4-/ Calculer le coefficient directeur de la tangente (T) (Cf) en x0=0.

5-/ Etablir que lquation f(x)=0 admet sur [0 ;+[ une solution

unique que lon encadrera par deux entiers naturels conscutifs. 6-/ Construire (D); (T) et (Cf) sur un mme graphique. 7-/ Calculer en cm2 laire A du domaine limit par (Cf) et les droites dquations : y=1x ; x=0 et x=1.

Devoir n 33 SET- MTI - MTGC Adama Traor Professeur Lyce Technique

** DEVOIR N34 **


Lobjectif est dtudier la suite (Un) dfinie pour tout entier n0 par :

+

=+

=

1

0

1

0 220 1,1,

11 dx

x

xUnpouretdxx

Un

n .

1-/ a/ Soit f la fonction numrique dfinie sur [0 ;1] par : ( )21ln)( xxxf ++= Calculer f de f. En dduire U0. b/ Calculer U1. 2-/ a/ Prouver que la suite (Un) est dcroissante (on ne cherchera pas calculer Un). b/ Montrer que pour tout nombre rel x [0 ;1] on a : 211 2 + x .

En dduire que pour tout entier n 1, on a :1

12)1(

1+

+ n

Un

n .

Dterminer la limite de (Un). EXERCICE 2: (5 points)

1-/ a/ Dmontrer que n , 1312 423 ++ + nn divisible par 11. b/ Dterminer lensemble des entiers a tels que 1312 43 ++ + nn a soit divisible par 11 pour tout entier n. 2-/ a/ Chercher le PGCD de 51366 et 2988 ; b/ Soit lquation(x ;y)2 (E) : 51966x+2988y=18. Vrifier que le couple (23 ;400) est solution de (E). c/ Donner trois solutions particulires de (E). 3-/ a/ Rsoudre dans 2 lquation 7x4y=4 b/ Un entier naturel a scrit yx et 4975 ; Un entier naturel b scrit yx et 125310 . En utilisant les solutions de a/, dterminer x et y puis a et b.


A] Rsolution de lquation diffrentielle (E) :y 2y=xe 21

2+

.

1-/ Dterminer la solution de lquation y2y=0 qui prend la valeur 1 en 0.

2-/ Soit f une fonction drivable sur , telle que f(0)=ln2, et soit g la fonction dfinie par lgalit : f(x)=e2xg(x). a/ Calculer g(0) ; b/ Calculer f(x) en fonction de g(x) et de g(x).

c/ Montrer que f est solution de (E) si, et seulement si :x

x

e

exg 2

2

12)('

+

= .

d/ En dduire lexpression de g(x), puis celle de f(x) de telle sorte que f soit solution de (E).

Devoir n 34 SET- MTI - MTGC Page 0 1 Adama Traor Professeur Lyce Technique

B] Etude sur de la fonction f dfinie par : f(x)=e2xln(1+e2x).

1-/ On pose 1

1)1ln()( 22 ++=

x

x

eexh .

a/ Etudier la limite de h en +. b/ Etudier le sens de variation de h. c/ En dduire le signe de h(x), pour tout rel x. 2-/ Calculer f(x) et montrer que f(x) est du signe de h(x).

3-/ Etudier la limite de f en +. Montrer que f(x)= e2x[2x+ln(1+1e2x)]. En dduire la limite de f en en admettant que 0lim =

x

xxe .

4-/ Dresser le tableau de variation de f. 5-/ Prciser la tangente au point dabscisse x=0. Reprsenter graphiquement la courbe de f dans un repre orthonormal dunit 5cm. C] Calcul daire

1-/ En remarquant que x

x

x e

e

e 2

2

2 111

+=

+ , dterminer une primitive de la

fonction x xe 21

1+

.

2-/Calculer, laide dune intgration par parties, laire en cm2 de la portion de plan comprise entre laxe des abscisses, la courbe de la fonction f dfinie dans la partie B et les droites dquations x=1 et x=0. On donnera la valeur exacte de cette aire ainsi quune valeur approche 103 prs. D] Etude dune suite On dfinit la suite )( nU par u0=0 et Un+1=f(Un) pour tout n0 (o f est la fonction dfinie dans la partie B].)

1-/ Montrer que f([0;1]) [0;1] et en dduire par rcurrence que, pour tout n0, que on a Un [0;1]. 2-/ Montrer, que par rcurrence, que la suite (Un) est croissante. En dduire quelle converge. 3-/ Soit sa limite. Montrer que f()= et [0;1]. 4-/ Grce la reprsentation graphique de f, donner une valeur approche de.

Devoir n 34 SET- MTI - MTGC Page 02 Adama Traor Professeur Lyce Technique

**DEVOIR N35**

Partie A]

On considre la fonction f de et dfinie par x

xf+

=

11)( et la

fonction fn pour n * est dfinie par x

xxf

n

n +=

1)( .

1-/ Etant donn un rel x, on considre la somme Sn(x) des n premiers termes de la suite gomtrique de raison (x) et de premier terme 1. a/ Montrer que pour tout x1, on a : Sn(x)= f(x)(1)

n fn(x).

b/ Montrer que si |x|

Partie B] On considre que n=3. 1-/ a/ Etudier les variations de la fonction f3. b/ Montrer que la courbe de f3 admet un point dinflexion que lon prcisera.

2-/ Soit g la restriction de f3 lintervalle ]1,+[ . Montrer que g est

une bijection de ]1,+[ sur un intervalle que lon prcisera. Dresser le tableau de variation de la bijection rciproque g1. 3-/ a/ Trouver les coordonnes des points dintersection de la courbe (Cg) de g avec la droite dquation y=x. b/ Tracer dans le plan muni dun repre orthonorm la courbe reprsentative de g puis celle de sa bijection rciproque g1. c/ Trouver les quations des tangentes la courbe de g1 aux points

dabscisses 0 et 21 .

4-/ a/ Calculer

x

dttg0

)( .

b/ Pour2

512

51 + x , dterminer laire comprise entre les deux

courbes. Partie C] Soit P le polynme tel que, pour tout z complexe

P(z)= z3 (7+9i)z2 (1439i)z + 50.

1-/ Montrer que lquation P(z)=0, admet une solution imaginaire pure z0 que lon calculera. 2-/ Rsoudre alors P(z)=0, on note z1 la solution non imaginaire pure ayant la plus petite partie relle ; z2 la troisime solution. 3-/ Soit A, B, C les points du plan euclidien daffixes respectives z0 ; z1 ; z2. Dterminer et construire lensemble des points M du plan tels que : MA2MB2+MC2=4.

Devoir n 35 SET- MTI - MTGC Page 02 Adama Traor Professeur Lyce Technique

**DEVOIR N36**


1-/ Pour tout entier naturel n, on pose : +

+=1 )1(n

n

x

n dxexU .

a/ laide dune intgration par parties, calculer Un en fonction de n. b/ Etudier la convergence de la suite (Un).

2-/ Pour tout entier naturel n, on pose : =

=

n

iin US

0.

a/ Calculer Sn en fonction de n et trouver nn

S+

lim .

b/ Calculer une valeur approche de S10. Problme : (15 points)

Soit f la fonction dfinie sur]0;+[par : xx

xxf ln4)( 2

2 += .

On dsigne par (Cf) la courbe reprsentative de f dans le plan muni dun repre orthonorm ( )jiO ;; dunit graphique 2cm. Partie A :

1-/ Etudier le sens de variation de la fonction g dfinie sur ]0;+[ par g(x)=8lnx+x2+4. (les limites de f ne sont pas demandes). 2-/ Montrer que g passe par un minimum dont on calculera la valeur. En dduire le signe de g(x). 3-/ Etudier le sens de variation de f. 4-/ Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de dfinition. Existe-t-il une asymptote la courbe (Cf) parallle un axe de coordonnes ? Partie B : Soit () la courbe de la fonction ln dans le repre ( )jiO ;; prcdent. Soit h la fonction dfinie sur ]0;+[ par h(x)=f(x)lnx. 1-/ Formuler explicitement h(x) et tudier son signe. Quen dduire pour les courbes (Cf) et () ?

2-/ Quelle est la limite de h en + ? Quen dduire pour les courbes (Cf) et () ? 3-/ Construire les courbes (Cf) et () dans le repre ( )jiO ;; . Partie C :

1-/ Soit un rel strictement suprieur 1. Calculer, laide dune intgration par parties : =

0)()( dxxhI .

2-/ Montrer que, laire A() en cm2 de la portion du plan limite par les courbes (Cf) ;() et les droites dquations : x=1 et x= est gale

A()=41. Calculer la limite de A() quand tend vers +.


**DEVOIR N37**

Partie1

A) On considre la fonction polynme p dfinie par p(x)= x2 (x 1) 2(7x 12) 1) Calculer p (2) 2) Rsoudre xIR ; p(x) = 0 3) En dduire les solutions de chacune des quations suivantes :

a) e3x e2x 14ex + 24 = 0 b) 2lnx +ln(x 1) = ln2 + ln (7x 12) c) 14ln

ln24)(ln 3

+=+

xx

x

B) Pour tout entier naturel, n, on pose In = ( ) 21 2 dxxx n 1) Calculer I0

2)

A laide dune intgration par parties, dterminer I1. 3) Etablir une relation de rcurrence entre In+1 et In.

C) 1) Dterminer une fonction paire u et une fonction impaire v telles que : IRx ; u(x) + v(x) = ex

2) Montrer que uv est une fonction constante. En dduire que '

'

u

v

v

u= .

Partie2

Soit g la fonction dfinie sur ] [+,0 par g(x) = )ln3(1 xx

+

1) dresser le tableau de variation de g 2) dmontrer que lquation g(x) = 0 admet une solution unique [ ]46,0;45,0 . En dduire le signe de g(x) sur ] [+;0 3) Soit f la fonction dfinie sur ] [+;0 par f(x) = ex (3 + lnx) .On note C la courbe de f dans le plan rapport un repre orthonorm ( )ji rr;,0 dunit graphique : 4cm a) Etudier les limites de f aux bornes de ] [+;0 b) Montrer que ] [+ ;0x f (x) = exg(x) c) Dresser le tableau de variation de f. d) prciser les asymptotes. e) Montrer que f ( ) =

e

e) Tracer la courbe C de f dans muni dun repre orthonormal ( )jiO rr,; , 4) a) Calculer

+=

41 )ln3(1 dxx

xI en fonction de .

b) Que reprsente I ?


**DEVOIR N38**


Dans le plan P orient on considre un carr ABCD tel que langle ( )ADAB , a pour mesure 2pi

. On dsigne par I et K les milieux respectifs des segments [AC] et [CD]. Reprsenter ces points sur une figure. (on choisira AB = AD = 4cm). On se propose dtudier la similitude directe S telle que S(A) = I et S(C) = K. 1) Recherche gomtriques des lments de S

a) Donner le rapport et langle de S. b) Dmontrer que le centre de S est le point dintersection autre que I des cercles de

diamtre [AD] et [IC]. Placer ces cercles et sur la figure. 2) Recherche du centre de S laide des nombres complexes. Le plan est rapport au repre orthonormal directe ( )ADABA ,;

a) Donner les affixes des points A , C , I et K. b) Donner lcriture complexe de S. c) En dduire les coordonnes du point .


Soit P un plan orient rapport un repre orthonorm direct ( )jiO rr,; . Soit f lapplication affine de P dans P qui tout point M(x ;y) associe le point M(x ;y) dfinie par

+=

+=

33'33'

yxyyxx

1) Soit z laffixe de M ; z laffixe de M. trouver une relation simple entre z et z . Montrer quil existe un rel k tel que, quelque soit A et B dans P dimages A et B on ait :

ABkBA ='' . Dterminer k. Montrer que f nest pas une similitude directe.

2) Montrer que f a un point invariant et un seul que lon dterminera. 3) Montrer quil existe une homothtie h de centre et une droite D passant par telles que : hSShf DD oo == o DS est la rflexion daxe D.


On considre la fonction f dfinie sur ]0 , 1[ par ] [1;0ln

1)(;1)1(;0)0( === tsit

ttfff

On appelle (C) la courbe reprsentative de f dans un repre orthonorm ( )jiO rr,; . Le but du problme est dtudier f et calculer lintgrale =

1

0)( dttfI .

A-/ tude de f 1) a) Montrer que f est continue en 0 et en 1. b) Montrer que f est drivable sur ]0 ; 1[. Calculer )(' tf et montrer que )(' tf a le signe que

)(t o est la fonction dfinie sur ]0 ; 1[ par : t

tt11ln)( +=


c) tudier les variations puis le signe de ; en dduire le signe de )(' tf .

2) tudier la drivabilit de f en 0 ; que peut-on en dduire pour la tangente (C) au point dabscisse x = 0 ? 3) a) Prouver que, pour tout lment u de [0 ;

21

] : 2)1(1

10 uuu

.

En dduire que : 3

22

)1ln(022 uu

uu

+ .

b) Soit g la fonction dfinie sur ]0 ;1[ par : )(1)(xfxg =

Prouver que pour tout lment h de [-21

; 0 ] : 2

32

2)1()1(0 hhghg ++

En dduire que g est drivable en 1 et prciser g(1). c) En dduire que f est drivable en 1 et prouver que :

21)1(' =f .

4) Tracer la courbe (C) (Unit graphique 10cm).

B-/ Calcul de lintgral I Pour tout lment x de ]0 ; 1[, on pose : ==

1 1 )()()()(x x

dtttf

xJetdttfxI (On ne cherchera pas calculer ces intgrales).

1) Soit K la fonction dfinie sur ]0 ; 1] par : )()()( 2 xJxJxK = a) Montrer que K est drivable sur ]0 ;1] et que [ ])(2)(1)(' 2xfxf

xxK = .

b) Prouver que pour tout lment x de ]0 ;1], )()(2)( 2 xfxxfxf = . c) En dduire que pour tout lment x de ]0 ;1[, =

x

xdt

ttt

xI2 ln

1)( (1). 2) Calculer la drive de la fonction )lnln( tt a sur ] 0;1[. En dduire que pour tout lment x de ]0;1[,

=

x

xdt

ttP

2 ln1

(2). 3) Prouver que pour tout lment x de ]0;1[ et pour tout t de ]0 ; x[ :

xt ln1

ln10 .

En dduire que, pour tout lment x de ]0;1[ : x

x

t

dtxx lnln

02

(3). 4) A partir des relations (1) ; (2) et (3), dterminer la limite de I(x) lorsque x tend vers 0

5) tablir que pour tout lment x de ]0 ;1] : =x

dttfxII0

)()( . En dduire que : xxII )(0 .

6) Prouver finalement que 2ln=I


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