Méthodes numériques avancées et HPC pour la simulation...

Méthodes numériques avancées et HPC pour lasimulation de phénomènes complexes

Schéma d’ordre arbitrairement élevé pour l’équation d’advection

Marc Massot1 Laurent Series2

1Professeur - Ecole PolytechniqueCentre de Mathématiques Appliquéesco-porteur de l’initiative HPC@Maths

[email protected]énieur de Recherche - CentraleSupélec

Laboratoire MICS - EA 4037Responsable du mésocentre de calcul de l’ENS Paris-Saclay et de CentraleSupélec

[email protected]

Master AMS - Cours X02 / Math. Model. - UPMC

Marc Massot, Laurent Series Méthodes numériques avancées 1/25

Equation d’advection

Considérons l’équation hyperbolique 1D :{∂tu(x , t) + ∂x f (u(x , t)) = 0u(x , 0) = u0(x)

On se place dans le cas linéaire :

f(u(x , t)

)= au(x , t)

il s’agit alors de l’équation d’advection à vitesse constante a :

∂tu(x , t) + ∂x (au(x , t)) = 0

pour laquelle on connaît la solution : u(x , t) = u0(x − at)


Equation d’advection

La solution u(x , t) reste contant le long des droites x − at = cste.

0x

t

ta

tb

u0(x)

u(x, ta)

u(x, tb)x−

at=

cste

x−

at=

cste

x−

at=

cste

x−

at=

cste


Méthode des volumes finis

Le domaine de calcul est divisé en N volumes Vj = [xj−1/2, xj+1/2] :

xj−1/2 xj+1/2

On intègre sur chaque maille l’équation d’advection :

∂t

∫ xj+1/2

xj−1/2

u(x , t)dx +

∫ xj+1/2

xj−1/2

a∂xu(x , t)dx = 0

Caractère conservatif (bilan des flux) :

∂t

∫ xj+1/2

xj−1/2

u(x , t)dx = au(xj−1/2, t)− au(xj+1/2, t) (1)

Les quantités au(xj−1/2, t) et au(xj+1/2, t) correspondent aux flux de laquantité u à travers les parois xj−1/2 et xj+1/2.



En intégrant l’expression (1) sur l’intervalle [tn, tn+1] :

∫ xj+1/2

xj−1/2

u(x , tn+1)dx−∫ xj+1/2

xj−1/2

u(x , tn)dx =

∫ tn+1

tnau(xj−1/2, t)dt−

∫ tn+1

tnau(xj+1/2, t)dt

On désigne par unj une approximation de la valeur moyenne sur Vj au temps tn :

unj '

1∆x

∫ xj+1/2

xj−1/2

u(x , tn)dx

En divisant par ∆x , on obtient :

un+1j − un

j = −1

∆x

[∫ tn+1

tnau(xj+1/2, t)dt −

∫ tn+1

tnau(xj−1/2, t)dt

]



En posant :

f nj±1/2 '

1∆t

∫ tn+1

tn

au(xj±1/2, t)dt

on obtient un schéma de la forme :un+1

j = unj −

∆t

∆x(f n

j+1/2 − f nj−1/2)

u0j =1

∆x

∫ xj+1/2

xj−1/2

u0(x)dx

Les quantités f nj+1/2 et f n

j−1/2 :

constituent les flux numériques du schéma

leur expression en fonction des inconnues discrètes unj détermine le

schéma numérique


Schéma upwind

Le schéma upwind consiste à chosir les flux numériques suivants :{f nj+1/2 = aun

j

f nj−1/2 = aun

j−1si a > 0

Il s’écrit donc :un+1

j = unj − a

∆t

∆x(un

j − unj−1)

C’est un schéma d’ordre 1 en temps et en espace et stable, consistant etconvergent si :

a∆t

∆x< 1 (condition CFL)


Schéma upwind : résultats numériques

domaine de cacul : x = [−1, 1]

conditions aux limites périodiques

solution initiale : u0(x) = −200 x e−100x2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−10

−5

0

5

10

solution initiale



discrétisation : dx = 2/1000 = 0.002

cfl = 0.8, a = 1

schéma très diffusif

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−10

−5

0

5

10

solution exacte

solution à t = 2

solution à t = 4

solution à t = 8



t = 4, cfl = 0.8, a = 1

schéma converge vers la solution quand h→ 0

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−10

−5

0

5

10

solution exacte

solution (dx = 2/1000)




Schéma upwind : erreur de discrétisation

Erreur de discrétisation :

On appelle erreur de discrétisation en xi , la différence entre la solution exacte u en xi

et la ieme composante de la solution numérique au temps tn :

ei = uni −

1∆x

∫ xj+1/2

xj−1/2

u(xi , tn)dx

Soit E∆x = (e1, . . . , eN )T le vecteur des erreurs obtenues pour un maillage de pas ∆x ,on peut montrer que :

||E∆x || < CT (∆x)p

où CT est une constante strictement positive dépendante de tn et de u0(x) etindépendante de ∆x et p l’ordre du schéma.

Résultats numériques (a = 1, t = 2, cfl = 0.8) :

∆x ||E∆x ||2 nb. itérations1.000000e − 02 1.607349e + 00 2501.000000e − 03 2.562784e − 01 25001.000000e − 04 2.723178e − 02 250001.000000e − 05 2.740323e − 03 250000


Schéma upwind : ordre du schéma

On peut estimer l’ordre du schéma en traçant log ||E∆x || en fonction de log ∆x .Si l’on considère que la norme ||E∆x || se comporte comme CT (∆x)p , l’ordre duschéma p correspond à la pente de la droite log ||E∆x || en fonction de log ∆x .

10−5 10−4 10−3 10−2

10−2

10−1

100

0.97

log ∆x

log||E

∆x|| 2

Estimation de l’ordre du schéma upwind (t = 2 et cfl = 0.8)


Schéma upwind

Le schéma upwind possède de bonnes propriétés mathématiques luipermettant de converger vers la solution quand ∆x → 0.

Cependant, le phénomène de diffusion ne permet pas d’obtenir unesolution "acceptable" avec une discrétisation "acceptable".

En pratique, il n’est pas possible de diminuer le pas de maillageindéfiniment. En effet, lorsque la précision machine est atteinte, il n’estplus possible d’améliorer la solution en diminuant le pas d’espace.

→ Besoin de schémas plus précis


Schéma Lax-Wendroff

On part du schéma upwind :

un+1j = un

j − a∆t

∆x(F 1

j − F 1j−1) avec F 1

j = unj (2)

On considère unj comme la fonction u évaluée en (xj , n∆t). En remplaçant dans

le schéma (2), les termes un+1j et un

j−1 par leur développement de Taylor àl’ordre 2, on obtient l’équation qui est effectivement résolue par (2) à l’ordre 2 :

∂t unj + a∂x un

j =a∆x

2∂2x un

j −a∆x

2∂2t un

j + O(∆x2) + O(∆t2)

Puisque u(x , t) = u0(x − at), on a ∂2t u = a2∂2x u, on peut écrire :

∂t unj + a∂x un

j =

(a∆x

2−

∆t

2

)∂2x un

j + O(∆x2) + O(∆t2)

En posant ν = a ∆t∆x

, on a :

∂t unj + a∂t un

j = a∆x1− ν2

∂2x unj + O(∆x2) + O(∆t2)

Le terme de droite est l’erreur commise par le schéma upwind, elle est d’ordre 1.Le terme a∆x 1−ν

2 ∂2x unj correspond à un opérateur de diffusion qui explique le

caractère très diffusif du schéma.


Schéma Lax-Wendroff

En discrétisant ∂2x unj à l’ordre 2 :

∂2x unj =

unj−1 − 2un

j + unj+1

∆x2

on obtient le schéma de Lax-Wendroff en retirant le terme d’erreur d’ordre 1 auschéma d’upwind :

un+1j = un

j − a∆t

∆x

(F 1

j − F 1j−1 +

1− ν2

(unj−1 − 2un

j + unj+1)

)soit :

un+1j = un

j − a∆t

∆x(F 2

j − F 2j−1)

avec F 2j = F 1

j +1− ν2

(unj+1 − un

j )

Le schéma de Lax-Wendroff est d’ordre 2 en temps et en espace et stable,consistant et convergent si :

a∆t

∆x< 1


Schémas d’ordre élevéV. Daru et C. Tenaud ont proposé une méthode(1) permettant d’obtenir des schémasd’ordre arbitrairement élevé p en généralisant le procédé pour construire le schéma deLax-Wendroff à partir du schéma d’upwind.

Les schémas s’écrivent :

un+1j = un

j − a∆t

∆x(F N

j+1/2 − F Nj−1/2)

Jusqu’à l’ordre 5, les flux(2) s’écrivent pour a > 0 :

F 1j−1/2 = un

j

F 2j+1/2 = F 1

j−1/2 + ν−12 (un

j − unj+1)

F 3j+1/2 = F 2

j+1/2 + ν−12

ν+13 (un

j−1 − 2unj + un

j+1)

F 4j+1/2 = F 3

j+1/2 + ν−12

ν+13

ν−24 (un

j−1 − 3unj + 3un

j+1 − uj+2)

F 5j+1/2 = F 4

j+1/2 + ν−12

ν+13

ν−24

ν+25 (uj+2 − 4un

j−1 − 6unj − 4un

j+1 − uj+2)

Ils sont d’ordre p en temps et en espace et stable, consistant et convergent si :

a∆t

∆x< 1

(1) V. Daru, C. Tenaud, High order one-step monotonicity-preserving schemes for unsteadycompressible flow calculations, J. Comput. Phys., 193 (2004), pp. 563–594

(2) S. Del Pino, H. Jourdren, Arbitrary high-order schemes for the linear advection and waveequations : application to hydrodynamics and aeroacoustics, CR Acad Sci Paris, Ser I 342 (2006)


Schéma d’ordre élevé : résultats numériques


cfl = 0.8, t = 10

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−10

−5

0

5

10

solution exacte

ordre 1

ordre 2

ordre 3

ordre 4

ordre 5


Schéma d’ordre élevé : résultats numériques


cfl = 0.8, t = 1000

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−10

−5

0

5

10

solution exacte

ordre 1

ordre 2

ordre 3

ordre 4

ordre 5


Schémas d’ordre élevé

L’interêt de ces schémas est qu’ils tirent parti de la localité spaciale ettemporelle.

→ Le coût de calcul n’augmente pas avec le nombre d’opérations flottantes.

Résultats obtenues (∆x = 2/1000, t = 1000 et cfl = 0.8) :

Ordre du Flop(1) pour le Temps Erreurschéma calcul de Fj+1/2 consommé (s) ||E∆x ||2

1 1 0.88 3.529140e + 002 3 1.2 3.775015e + 003 8 1.53 1.426789e − 014 14 2.45 5.814688e − 035 22 3.26 1.536888e − 046 31 4.12 6.873385e − 067 42 5.21 9.560619e − 07

(1) : Flop = Nombre d’opérations flottantes



Temps relatif :Temps comsommé à l’ordre p

Temps comsommé à l’ordre 1

Flop relatif :Flop utilisés à l’ordre p

Flop utilisés à l’ordre 1

1 2 3 4 5 6 7

0

10

20

30

40

Ordre du schéma

Temps relatifFlop relatif



L’utilisation de ces schémas peut permettre un gain en terme de temps derestitution

Pour obtenir un résultat avec une précision donnée, le schéma d’ordre p + 1 estplus rapide que le schéma d’ordre p

Résultats obtenues pour t = 1000 et cfl = 0.8 pour obtenir ||E∆x ||2 < 10−2 :

Ordre du Nombre de Temps Erreurschéma volumes Vi consommé (s) ||E∆x ||2

1 − − −2 − − −3 2000 10.71 9.963436e − 034 900 1.98 8.857296e − 035 450 0.67 8.169664e − 036 300 0.38 8.664257e − 037 215 0.25 9.190613e − 03


Simulation numérique des infrasons

Sous certaines hypothèses (air considéré comme un gaz parfait, régimeisentropique), la propagation des ondes acoustiques infrasonores 1D peut-êtremodélisée par les équations d’Euler linéaires :

∂tp(x , t) + ρ0c20∂xu(x , t) = 0

∂tu(x , t) +1ρ0∂xp(x , t) = 0

(3)

où :

(u, p) sont des petites perturbations de la vitesse et de la pression de l’airautour d’un champ constant (u0, p0)

ρ0 la densité de l’air

c0 la vitesse du son


Simulation numérique des infrasons

En posant : w1 = p + ρ0c0u et w2 = p − ρ0c0u, le système (3) peut s’écrire :{∂tw1(x , t) + c0 ∂xw2(x , t) = 0

∂tw2(x , t) + c0 ∂xw1(x , t) = 0(4)

Les deux équations du système (4) sont deux équations d’advection que l’onpeut résoudre par la méthode des volumes finis.

Après résolution du système (4), on calcule u et p via :u(x , t) =

12ρ0c0

(w1(x , t)− w2(x , t))

p(x , t) =12

(w1(x , t) + w2(x , t))


Schémas d’ordre élevé : application

Caractéristiques des simulations des infrasons

La fréquence des infrasons est inférieure à 20Hz

Leur vitesse au sol est de l’ordre de 330m.s−1

Les domaines de calculs peuvent atteindre plusieurs milliers de km

→ necessité de schémas précis pour des temps "longs"

→ les schémas d’ordre élevé sont de bons candidats pour résoudre ces problèmes

Mise en œuvre

S. Del Pino, B. Després, P. Havé, H. Jourdren, P.F. Piserchia, 3D Finite Volumesimulation of acoustic waves in the earth atmosphere, Computers & Fluids 38 (2009)

Application au 3D (splitting directionnel)

Application au cas de vitesse d’advection non constante


Références


Randall J. LeVeque, F inite Volume Methods for Hyperbolic Problems,Cambridge University Press, 2002

Schéma d’ordre élevé

V. Daru, C. Tenaud, High order one-step monotonicity-preserving schemes forunsteady compressible flow calculations, J. Comput. Phys., 193 (2004), pp.563–594

S. Del Pino, H. Jourdren, Arbitrary high-order schemes for the linear advectionand wave equations : application to hydrodynamics and aeroacoustics, CR AcadSci Paris, Ser I 342 (2006)

S. Del Pino, B. Després, P. Havé, H. Jourdren, P.F. Piserchia, 3D Finite Volumesimulation of acoustic waves in the earth atmosphere, Computers & Fluids 38(2009)


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