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MTC Ch1 : intégration sur un intervalle quelconque

Intégration sur un intervalle1 Pour s’entraîner

1 1. Soit x un réel strictement positif.Calculer chacune des intégrales suivantes :∫ x

1e−tdt ;

∫ x

0

1(t+1)(t+2)

dt ;∫ x

1

ln tt2 dt

Pour la seconde intégrale, on pourra remarquer que

1= (t+2)− (t+1)

2. En déduire la convergence et la valeur de chacune des intégralesgénéralisées suivantes :∫ +∞

1e−tdt ;

∫ +∞

0

1(t+1)(t+2)

dt ;∫ +∞

1

ln tt2 dt

2 1. Soit x un réel tel que x Ê 2. Calculer par changement devariable, l’intégrale∫ x

2

1

tp

t2 −1dt . On pourra poser u = 1

t.

2. En déduire la convergence de l’intégrale généralisée∫ +∞

2

1

tp

t2 −1dt, et préciser sa valeur.

3 Justifier l’existence et calculer l’intégrale généralisée :∫ +∞

0

arctan t1+ t2 dt

4 Soit n un entier naturel, n Ê 2.

1. Calculer pour tout réel x Ê 1,∫ x

1

ln ttn dt.

2. En déduire la convergence et la valeur de∫ +∞

1

ln ttn dt.

5 Étudier la nature des intégrales généralisées et calculer ces inté-grales lorsqu’elles sont convergentes

(a)∫ +∞

1

11+ t2 dt

(b)∫ +∞

1

t(1+ t2)2 dt

(c)∫ 1

0

1pt

dt

(d)∫ 1

0

et

1−et dt

(e)∫ 1

0ln tdt

(f)∫ +∞

0

et

(1+et)2 dt

6 1. Soit x un réel tel que x Ê 1. Calculer par une intégration par

parties, l’intégrale∫ x

1ln

(1+ 1

t2

)dt .

2. En déduire la nature (convergente ou divergente) de l’intégrale

généralisée∫ +∞

1ln

(1+ 1

t2

)dt, et sa valeur.

7 Déterminer si les intégrales suivantes sont convergentes :

(a)∫ +∞

0

x−5x2 +4x+4

dx

(b)∫ +∞

0e−u2

du

(c)∫ 1

0

ex −1xp

xdx

(d)∫ +∞

0

2+ ln xx+4

dx

(e)∫ 1

0

1pt3 +3t2 + t

dt

(f)∫ +∞

1ln

(1+ 1

x3

)dx

(g)∫ +∞

1t2 e−t dt

(h)∫ +∞

0

ln xx2 +1

dx

(i)∫ +∞

0

sin(xp

x)x2 dx

(j) ?

∫ 1

0sin

(1t

)dt

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8 1. Démontrer que pour tout réel x Ê 1,∫ x

1

sin tt

dt = cos(1)− cos xx

−∫ x

1

cos tt2 dt

2. En déduire que l’intégrale∫ +∞

1

sin tt

dt est convergente.

3. (a) Montrer par une méthode analogue à la précédente, que

l’intégrale∫ +∞

1

cos(2t)t

dt est convergente.

(b) Montrer que l’intégrale∫ +∞

1

sin2 tt

dt est divergente.

En déduire la divergence de l’intégrale∫ +∞

1

|sin t|t

dt.

9 Soit n ∈N. On pose

In =∫ +∞

0

11+ xn dx

1. Pour quelles valeurs de l’entier naturel n, l’intégrale In est-elleconvergente ? Calculer I2

2. (a) Justifier la convergence de l’intégrale généralisée∫ +∞

0

x1+ x3 dx

(b) En effectuant le changement de variable u = 1x

dans l’inté-

grale∫ b

a

x1+ x3 dx, démontrer que

∫ +∞

0

x1+ x3 dx = I3

(c) Vérifier que pour tout réel positif x,

11+ x3 = 1

1− x+ x2 − x1+ x3

(d) Après avoir mis sous forme canonique 1− x+ x2, calculer

à l’aide du changement de variable u = 2x−1p3

, l’intégrale∫ +∞

0

11− x+ x2 dx.

(e) En déduire la valeur de I3

10 1. Déterminer les valeurs de n ∈N pour lesquelles l’intégrale∫ +∞

1

dt1+ t+ tn+1 est convergente.

On pose alors In =∫ +∞

1

dt1+ t+ tn+1

2. Après avoir mis sous forme canonique 1+ t+ t2, calculer à l’aided’un changement de variable, l’intégrale I1.

3. Montrer que la suite (In) est décroissante.

4. On se fixe un entier naturel n non nul.

(a) Montrer que l’intégrale∫ +∞

1

dtt+ tn+1 est convergente.

On note alors Kn sa valeur.

(b) Montrer, à l’aide d’un changement de variable simple que

Kn =∫ +∞

1

tn−1 dttn(1+ tn)

= 1n

∫ +∞

1

duu(1+u)

(c) Vérifier que pour tout réel u > 0,1

u(1+u)= 1

u− 1

1+uEn déduire la valeur de Kn.

5. Montrer que pour tout n ∈N∗, 0É In É ln2n

.

En déduire la convergence et la limite de la suite (In).

11 Soit f la fonction définie par f (x)=∫ +∞

1

t−x

1+ tdt

1. Déterminer l’ensemble de définition de f .

2. Calculer f (1). Calculer f (1/2) par changement de variable.

3. Quel est le sens de variation de f ?

4. Déterminer f (x)+ f (x+1) pour x > 0.En déduire la limite de f en 0 et en +∞. Calculer f (2) et f (3/2).

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12 Deux changements de variable. Soit x > 0, x fixé.

1. Justifier la convergence de l’intégrale impropre∫ +∞

0

ln tx2 + t2 dt

2. On pose f (x)=∫ +∞

0

ln tx2 + t2 dt

(a) ? Montrer par un changement de variable que∫ 1

0

ln t1+ t2 dt =−

∫ +∞

1

lnu1+u2 du. En déduire f (1).

(b) En déduire, par le changement de variable u = tx

, que

f (x)= π

2ln x

x

13 Pour tout réel x appartenant à ]0, 1[, on pose : F(x)=∫ x2

x

1ln t

dt

1. (a) Calculer pour tout réel x ∈]0, 1[ l’intégrale∫ x2

x

1t ln t

dt

(b) Justifier que F est bien définie et que

∀x ∈]0, 1[, x2 ln2É F(x)É x ln2

(c) En déduire que F admet une limite finie à gauche en 1.

(d) Calculer F ′(x).

2. (a) Justifier la convergence de l’intégrale généralisée

I =∫ 1

0

t−1ln t

dt

(b) Montrer que F est une primitive sur ]0, 1[ de la fonction

f : t 7−→ t−1ln t

.

(c) En déduire la valeur de I.

14 Soit la fonction F : x 7−→∫ +∞

0

e−t x

1+ t2 dt

1. Déterminer l’ensemble de définition D de F. Calculer F(0).

2. Montrer que ∀x ∈R+∗, F(x)É 1x

.En déduire la limite de F en +∞.

3. Justifier que F est de classe C 1 sur ]0,+∞[.

15 On pose F(x)=∫ +∞

0

e−t −e−t x

tdt

1. Justifier l’existence de F(x) pour tout réel x > 0.2. Montrer que la fonction F est de classe C 1 sur tout intervalle du

type [a ,+∞[ où a > 0. Calculer F ′(x) pour x > 0.3. En déduire une expression simplifiée de F(x).

16 Intégrale de Gauss. On pose pour tout réel x,

F(x)=(∫ x

0e−u2

du)2

et G(x)=∫ 1

0

e−x2(1+t2)

1+ t2 dt

1. Justifier que F est de classe C 1 sur R

et exprimer F ′(x) en fonction de∫ x

0e−u2

du.

2. (a) Montrer que ∀x ∈R, G(x)É e−x2.

En déduire la limite de G en +∞.(b) Justifier que G est de classe C 1 sur R et calculer G′(x).

3. (a) À l’aide du changement de variable u = x t, prouver que

∀x ∈R, G′(x)=−F ′(x)

(b) En déduire que la fonction F +G est constante sur R.4. Justifier l’existence et donner la valeur de l’intégrale de Gauss∫ +∞

0e−t2

dt

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2 Pour approfondir

17 1. Justifier la convergence de l’intégrale généralisée∫ +∞

0

xex −1

dx

et montrer, avec le changement de variable t = e−x, que∫ +∞

0

xex −1

dx =∫ 1

0

ln tt−1

dt

2. Calculer pour tout k ∈N, Jk =∫ 1

0tk ln tdt avec une «ipp».

3. (a) Montrer que ∀ t ∈ [0,1[,1

1− t=

n∑k=0

tk + tn+1

1− t

(b) ? En déduire que

∣∣∣∣∣∫ 1

0

ln tt−1

dt−n+1∑k=1

1k2

∣∣∣∣∣É 1n+1

(c) Conclure.

18 Avec une équation différentielle .

On considère la fonction F définie par F(x)=∫ +∞

0cos(x t)e−t2

dt.

1. Montrer que F est de classe C 1 sur R et donner F ′(x) sous laforme d’une intégrale.

2. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que

∀x ∈R, F ′(x)=− x2

F(x)

3. (a) Résoudre l’équation différentielle : y′+ x2

y= 0

(b) En admettant que F(0)=pπ

2, expliciter F(x).

19 On définit la fonction F par F(x)=∫ +∞

0

sin(t x)t

e−t dt.

1. Montrer que F est définie sur R. Que vaut F(0) ?

2. Démontrer que F est de classe C 1 sur R et donner F ′(x) sous laforme d’une intégrale.

3. ? Prouver que pour tout réel x, F ′(x)= 11+ x2

En déduire la formule explicite de F(x).

4. Justifier la convergence et donner la valeur de l’intégrale


0

sin tt

e−t dt

20 La fonction Gamma d’Euler .

Sous réserve d’existence, on pose pour x ∈R, Γ(x)=∫ +∞

0tx−1 e−t dt

1. Soit x un réel.

(a) Montrer que l’intégrale généralisée∫ +∞

1tx−1 e−t dt est conver-

gente.

(b) Montrer que∫ 1

0tx−1 e−t dt converge ssi x > 0.

En déduire l’ensemble de définition I de Γ.

2. (a) On se fixe un réel x > 0. À l’aide d’une intégration par parties,démontrer que

Γ(x+1)= xΓ(x) (?)

(b) Calculer Γ(1). En déduire Γ(n) pour tout entier n Ê 1.

3. Soit a et b deux réels tels que 0< a < b.

(a) On définit la fonction ϕ sur ]0, +∞[ par

ϕ(t)={ −ta−1 ln t si 0< t < 1

tb−1 e−t ln t si t Ê 1

Prouver que ϕ est intégrable sur ]0, +∞[.

(b) En déduire que Γ est de classe C 1 sur le segment [a,b] inclusdans I. Exprimer Γ′(x) sous forme d’intégrale.

4. En utilisant l’égalité (?), proposer un équivalent simple de Γ en0+.

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5. On admet que la fonction Γ est de classe C 2 sur I.

(a) Calculer Γ′′(x).En déduire que la dérivée Γ′ s’annule au plus une fois sur I.

(b) Comparer Γ(1) et Γ(2). En déduire que Γ′ s’annule en ununique réel α.

(c) Dresser le tableau de variations de Γ sur I.

3 TP sous Maxima

21 On utilisera : integrate, float, diff, assume, limit, ode2,

ic1.

Soit f : x 7−→∫ +∞

0ln(t)e−xt dt

1. Préciser l’ensemble de définition I de f . Donner la valeur exactede f (1) et une valeur approchée à 10−4 près.

2. On admet que f est de classe C 1 sur I.Calculer f ′(x) sous la forme d’une intégrale.

3. On se fixe un réel x appartenant à I.

(a) Proposer une primitive sur ]0,+∞[ de la fonction t 7→ ln(t).

(b) Donner limt→0+ t ln(t)− t et lim

t→+∞ t ln te−xt.

(c) ?En effectuant une intégration par parties sur∫ A

εln(t)e−xt dt,

montrer que f (x)=−x f ′(x)− 1x

4. Déduire de la question précédente que f est solution d’une équa-tion différentielle linéaire du premier ordre.

5. Expliciter f (x) pour x ∈ I.

4 Pour travailler seul22 1. Soit α un réel strictement positif.

Pour quelles valeurs de α, l’intégrale généralisée∫ +∞

1

1tα(1+ t)

dt est-

elle convergente ?2. On définit la suite (un)n∈N∗ par :

∀n ∈N∗, un =∫ +∞

1

1tn(1+ t)

dt

(a) Prouver que

∀n ∈N∗, un +un+1 = 1n

(b) Calculer u1 en remarquant que pour tout réel t Ê 1,

1t(1+ t)

= 1t− 1

1+ t

(c) En déduire u2 et u3.

3. (a) Montrer que la suite (un) est décroissante.(b) établir que pour tout entier n Ê 2,

1nÉ 2un É 1

n−1(c) En déduire un équivalent simple de un lorsque n tend vers +∞.

23 1. Justifier, pour tout réel x > 0, la convergence de l’intégrale

J(x)=∫ +∞

x

e−t

tdt

2. Soit x > 0.(a) Montrer, par une intégration par parties, que

e−x

x

(1− 1

x

)É J(x)É e−x

x

(b) En déduire un équivalent simple de J(x) lorsque x tend vers +∞.

3. (a) Vérifier que pour tout réel x > 0, J(x)=−∫ x

1

e−t

tdt+ J(1)

(b) Prouver que J est de classe C ∞ sur R+∗ et calculer J′(x).(c) En déduire les variations de J sur R+∗.

Préciser la limite de J en zéro.

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MTC Ch2 : déterminants

Déterminants1 Pour s’entraîner

24 Calculer les déterminants suivants :

∣∣∣∣ cosα −sinαsinα cosα

∣∣∣∣ ;

∣∣∣∣∣∣1 2 00 1 1−1 0 1

∣∣∣∣∣∣ ;

∣∣∣∣∣∣∣3 0 0p7 −1 0

5 15 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 4 72 0 83 6 0

∣∣∣∣∣∣ ;

∣∣∣∣∣∣∣1 2 2−5 3 3p

7 −1 −1

∣∣∣∣∣∣∣25 Donner, sans calcul, la valeur de chaque déterminant :

∆1 =∣∣∣∣∣∣

2 6 53 3 30 0 0

∣∣∣∣∣∣ ; ∆2 =∣∣∣∣∣∣

1 1 13 0 04 1 1

∣∣∣∣∣∣∆3 =

∣∣∣∣∣∣2 0 00 3 00 0 10

∣∣∣∣∣∣ ; ∆4 =∣∣∣∣∣∣

2 5 63 3 34 10 12

∣∣∣∣∣∣26 En géométrie plane .Le plan usuel orienté est muni d’un repère orthonormal direct

(O ;

−→i ,

−→j).

1. Soit −→u et −→v deux deux vecteurs non nuls du plan.

(a) Rappeler la formule d’addition sin(b−a) pour a et b réels.

(b) En notant B la base (−→i ,

−→j ), démontrer que

detB(−→u ,−→v )= ∥∥−→u ∥∥×∥∥−→v ∥∥×sin(�−→u ,−→v

)2. Étant donnés trois points non alignés A, B et C, montrer que

le triangle ABC a pour aire12

∣∣∣detB(−−→AB ,

−−→AC )

∣∣∣

3. On prend comme points A(3, 0) ; B(1, 1) et C(2, −5).Calculer l’aire du triangle ABC.

27 Calculer sous forme factorisée les déterminants suivants :

∣∣∣∣∣∣1 1 1a b c

b+ c a+ c a+b

∣∣∣∣∣∣ ;

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a a a aa b b ba b c ca b c d

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a b c da a b ca a a ba a a a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ;

∣∣∣∣∣∣1 1 1

cosa cosb cos csina sinb sin c

∣∣∣∣∣∣

28 Calculer le déterminant de chacune des cinq matrices suivantes,en déduire celles qui sont inversibles et le cas échéant déterminer leurinverse par la méthode de la comatrice.

A =(1 41 −6

)B =

−1 0 20 0 10 −1 1

C =3 −2 0

1 0 00 1 0

D = 1 −1 0

1 2 11 1 0

E =1 2 1

1 0 00 3 1

29 Soit j une solution complexe de l’équation 1+ z+ z2 = 0.

Calculer

∣∣∣∣∣∣∣1 j2 jj 1 j2

j2 j 1

∣∣∣∣∣∣∣page 6 UTBM

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30 Soit a, b et c trois complexes. On pose ∆=∣∣∣∣∣∣

1+a 1 11 1+b 11 1 1+ c

∣∣∣∣∣∣1. Calculer le déterminant ∆ en fonction de a, b et c.

2. On suppose dorénavant que a, b et c sont les racines du polynômeP(X )= X3 − X +1.

(a) Donner la forme factorisée du polynôme P(X ) en fonction dea, b et c.

(b) En déduire la valeur de ∆.

31 En ajoutant toutes les colonnes à la première, calculer sous formefactorisée le déterminant suivant :

∆(x)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣x 1 2 31 x 2 31 2 x 31 2 3 x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣32 Soit m ∈R. On pose

A =

0 m m m2 −m1 m−1 3m−1 m2 −m0 m m 01 m 3m−1 0

Calculer det(A).À quelle condition, cette matrice A est-elle inversible ?

33 1. Calculer

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 2 2 21 2 3 31 2 3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2. Soit n ∈N, n Ê 4. Calculer :∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 · · · · · · 11 2 2 · · · · · · 21 2 3 · · · · · · 3...

......

. . ....

......

... n−1 n−11 2 3 · · · n−1 n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣34 Soit n ∈N∗ et A une matrice de M2n+1(K) telle que t A =−A .A est-elle inversible ? Justifier.

35 Pour tout réel m, on considère la famille de vecteurs de R3 :F = (−→u1 ,−→u2 ,−→u3) définie par

−→u1 = (1+m , 2 , 0)−→u2 = (5−m , 0 , 2)−→u3 = (2, 2, 1−m)

Pour quelles valeurs de m la famille F est-elle une base de R3 ?

36 On se place dans l’espace muni d’un repère(O ;

−→i ,

−→j ,

−→k

).

Vérifier que les trois points A, B, C de coordonnées respectives(2,0,1) ; (3,1,1) ; (1,−2,0) ne sont pas alignés.Trouver une équation cartésienne du plan P passant par les trois pointsA, B et C.

37 L’espace est muni d’un repère(O ;

−→i ,

−→j ,

−→k

).

Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre réel m les points• A(1;2;−1) , B(1;1;0) , C(2;−1;1) et D(m;1;m+1) sont-ils copla-

naires ?• A(1;2;−1), B(m+1;2;−2), C(m−2;m+2;m+4) et D(2;2;0) sont-ils

coplanaires ?

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38 Soit m ∈R∗ et f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans labase canonique est

A =

0 1/m 1/(m2)m 0 1/mm2 m 0

1. Montrer que A est inversible. En déduire Ker( f ) et Im( f ).

2. On pose

−→u = (1, 0, −m2)−→v = (0, 1, −m)−→w = (1, m , m2)

(a) Montrer que C = (−→u , −→v , −→w) est une base de R3.

(b) Déterminer la matrice de f dans la base C .

(c) Que vaut det( f ) ?

2 Pour approfondir

39 Calculer le déterminant d’ordre n suivant (où n ∈N, n Ê 2).∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 n n · · · nn 2 n · · · nn n 3 · · · n...

......

. . ....

n n n · · · n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

40 Soit n un entier tel que n Ê 2.On se fixe des nombres réels a, b, λ1, λ2, . . . , λn tels que a 6= b.

On pose pour tout réel x,

Dn(x)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(λ1 + x) a+ x a+ x · · · a+ x

b+ x (λ2 + x) a+ x. . .

...

b+ x. . . . . . . . . a+ x

.... . . . . . (λn−1 + x) a+ x

b+ x · · · b+ x b+ x (λn + x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1. Démontrer que la fonction x 7−→ Dn(x) est affine.

2. Calculer Dn(x) pour tout réel x. En déduire Dn(0).

41 Soit n un entier tel que n Ê 2. Pour tout réel x, on considère ledéterminant d’ordre n suivant :

∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1+ x2 x 0 · · · 0

x 1+ x2 x. . .

...

0 x. . . 0

.... . . x 1+ x2 x

0 · · · 0 x 1+ x2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1. Calculer ∆2 et ∆3.

2. En développant ce déterminant par rapport à sa première colonne,exprimer ∆n en fonction de ∆n−1 et ∆n−2

3. Montrer que la suite de terme général un =∆n −∆n−1 est géomé-trique et préciser sa raison.

4. En déduire l’expression explicite de un en fonction de x et de n.

5. Calculer la sommen∑

k=3uk , en déduire l’expression de ∆n.

42 Soit n un entier supérieur à 2.Calculer le déterminant de la matrice A = (ai, j) ∈ Mn(K) de termegénéral :

ai, j =max {i , j}

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43 Soit n ∈N∗. On pose V = {x 7−→ ex P(x) | P ∈Rn [X ]

}.

1. Montrer que V est un sous-espace vectoriel de F (R ,R) dont ondéterminera la dimension.

2. Montrer que l’application d : f 7−→ f ′ est un endomorphisme de Vdont on calculera le déterminant. d est-elle bijective ?

3 TP sous Maxima

44 Matrices de Vandermonde. On utilisera :length, addcol, transpose, for..from..thru..do, factor,

determinant

Soit n ∈N tel que n Ê 2 et (a1,a2, . . . ,an) ∈Kn.On appelle matrice de Vandermonde de la lise (a1,a2, . . . ,an) la matricecarrée suivante :

V(a1,a2,...,an) =

1 a1 a2

1 · · · an−21 an−1

11 a2 a2

2 · · · an−22 an−1

2...

......

......

1 an a2n · · · an−2

n an−1n

∈Mn(K)

1. Écrire une fonction vand(L) qui renvoie la matrice de Vander-monde V(a1,a2,...,an) avec comme argument une litse L=[a1,a2,...,an].

2. Calculer sous forme factorisée les déterminants des matrices deVandermonde V(a,b,c) et V(a,b,c,d). Donner une condition néces-saire et suffisante pour que la matrice V(a,b,c,d) soit inversible.

3. Conjecturer la forme factorisée du déterminant de Vandermonde :det

(V(a1,a2,...,an)

).

Prouver cette conjecture.

4 Pour travailler seul45 Les quatre questions suivantes sont indépendantes.

1. Soit x un nombre réel. On considère la matrice M(x)=0 x 0

3 x 21 6 x

Déterminer les nombres réels x pour lesquels la matrice M(x) est inver-sible.

2. Pour z ∈C, on pose M =1 1 1

z 1 z−11 z 1

∈M3(C).

Pour quelles valeurs de z la matrice M est-elle inversible ?

3. Soit N ∈M3(R) une matrice carrée d’ordre 3 à coefficients réels telle queN3 =−I3. Que vaut det(N) ?

4. On pose A =a c c

c a bc b a

∈M3(R).

Calculer sous forme factorisée le déterminant de la matrice A.

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MTC Ch3 : séries numériques

Séries1 Pour s’entraîner

46 Télescopage .En calculant les sommes partielles, déterminer si les séries de termes

généraux suivants (pour n Ê 2) sont convergentes.Le cas échéant calculer leur somme :

un = ln( n+1

n)

ln(n) ln(n+1); vn = ln

(1− 1

n

)wn = 1

n(n−1); xn = 1

n2 −1

47 Justifier la convergence des séries suivantes et calculer leur somme.

∑ n6n ;

∑ 2n

n!;

∑ln

(1− 1

n2

);

∑ n2 +n+1n!

;∑ n(n−1)

5n

48 Étudier la convergence et déterminer la somme de chacune desséries suivantes :

(a)∑

(n+1)e−n

(b)∑nÊ2

(1p

n−1+ 1p

n+1− 2p

n

)(c)

∑nÊ1

ln(

(n+1)2

n(n+2)

)

(d)∑ n2 2n

n!en remarquant que

n2 = n(n−1)+n

49 Soit u0 ∈]0;1[. On pose ∀n ∈N, un+1 = un −u2n.

1. Montrer que pour tout n ∈N, 0 < un < 1, puis que la suite (un)converge vers 0.

2. Montrer que la série de terme général u2n converge et calculer sa

somme.

50 Soit (un)n∈N la suite définie par u0 ∈R+∗ et

∀n ∈N, un+1 = un e−un

1. Montrer que pour tout entier naturel n, un > 0.

2. Étudier la monotonie et la convergence de la suite (un)n∈N.

3. On pose pour tout entier n, vn = ln(un).

Montrer que pour tout n ∈N,n∑

k=0uk = v0 −vn+1

4. En déduire que la série∑

un diverge.

51 Déterminer la nature des séries de terme général :

1. un = exp(

1n2

)2. un = 1p

n(n+1)

3. un = arctannn2

4. un = lnnn

5. un = 22n−1 e−n

6. un =p

2n

2n

7. un = ln(1+ 1

n2

)

8. un = ln(1− 1p

n3 +1

)

9. un =(1− 1p

n

)np

n

10. un = n2 lnnen

52 1. Étudier rapidement la fonction f : x 7−→ 1x ln x

2. En déduire la nature de la série∑nÊ2

1n lnn

3. (a) Comparer n! et nn

(b) Déterminer la nature de la série de terme général1

ln(n!)

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53 Discuter suivant α la nature de la série de terme général(pn+1 −p

n)α

54 Soit∑

un une série convergente à termes positifs.

1. Montrer que les séries∑

u2n et

∑ un

1+unconvergent.

2. (a) Montrer que ∀ (x, y) ∈R2, x yÉ x2 + y2

2

(b) En déduire la nature de la série de terme général∑ p

un

n

55 1. Soit a et b deux réels positifs. Comparer 2p

a b avec a+b

2. Soit∑

un une série à termes positifs, convergente.

(a) Montrer que la série de terme général vn = pun un+1 est

convergente.

(b) ? La réciproque est-elle vraie ?

56 Étudier la nature des séries de termes généraux :

un =(

1n

)1+ 1n

; vn = nlnn

n!; wn = (lnn)n

n!

57 On pose pour tout entier n Ê 2, un = nln(n)

(lnn)n

1. Déterminer limn→+∞n2 un .

2. En déduire la nature de la série∑

un .

58 1. Rappeler le développement limité à l’ordre 2 au voisinage dezéro de la fonction x 7−→ cos x.

2. Déterminer la nature de la série∑nÊ1

un définie par

un = 1−cosπ

n

59 1. Montrer que limn−→+∞

( nn+1

)n = e−1

2. En déduire la nature de la série∑ n!

nn

60 On pose ∀n ∈N∗, un = e−(1+ 1

n

)n

1. Rappeler le développement limité à l’ordre 2 au voisinage de zérode la fonction t 7−→ ln(1+ t)

2. Proposer un équivalent simple de un lorsque n →+∞.

3. En déduire la nature de la série de terme général un .

61 On pose ∀n ∈N∗, un = ln(n!)n3

1. ? Démontrer que pour tout n ∈N∗,

n lnn−n+1Én∑

k=1lnk É n lnn

2. En déduire un équivalent simple de un lorsque n −→+∞.

3. Montrer que un =(n−→+∞)

o(

1n3/2

)En déduire la nature de la série

∑un

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62 Déterminer la nature de chacune des séries :

(a)∑nÊ2

(−1)n

ln(n)(b)

∑nÊ1

(n+1)cosnn2pn

(c)∑nÊ1

cos(nπ) sinπ

n

63 On se propose d’étudier la nature de la série de terme généralsin

(π√

n2 +1)

.

1. Vérifier que ∀n ∈N,√

n2 +1−n = 1pn2 +1 +n

2. Déterminer la suite positive (un)n∈N vérifiant

∀n ∈N, sin(π√

n2 +1)= (−1)n sin(un) et lim

n→+∞un = 0


sin(π√

n2 +1)

.

64 1. Établir la convergence de la série∑ (−1)n

2n+1.

Est-elle absolument convergente ?

2. Soit n ∈N. Vérifier que pour tout réel t,

n∑k=0

(−1)k t2k = 11+ t2 + (−1)n t2n+2

1+ t2

3. Calculer∫ 1

0

11+ t2 dt

4. Déduire des deux questions précédentes la somme :

+∞∑k=0

(−1)k

2k+1

5. Par une méthode analogue, calculer la somme+∞∑k=0

(−1)k

k+1

2 Pour approfondir

65 Dans cet exercice, α> 0.

1. (a) ? Soit la fonction f : t 7−→ tα .

Encadrer par deux intégrales la somme :n∑

k=1f (k)

(b) En déduire que 1+2α+3α+·· ·+nα ∼(n→+∞)

nα+1

α+1

2. On pose pour n ∈N∗, un = 11+2α+3α+·· ·+nα

Étudier suivant α la nature de la série de terme général un.

66 Vers la formule de Stirling .On définit les suites (un) et (wn) par :

∀n ∈N∗, un = n!en

nn n−1/2 et wn = ln(un+1)− ln(un)

1. Montrer que ∀n ∈N∗, wn = 1−(n+ 1

2

)ln

(1+ 1

n

)2. (a) Calculer le développement limité à l’ordre 3 en zéro de la

fonction f : x 7−→ ln(1+ x).

(b) Donner un équivalent simple de wn lorsque n →+∞.


wn

4. Démontrer qu’il existe une constante réelle λ> 0 telle que

n! ∼(n→+∞)

λp

n(n

e

)n

5. APPLICATION : étudier la nature de la série de terme général

an = nn

n!e−n

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67 On définit la suite (un)n∈N par son premier terme u0 > 0 et larelation de récurrence :

∀n ∈N, un+1 = 12

arctan(un)

1. (a) Démontrer que ∀x > 0, 0< arctan x < x .

(b) En déduire la convergence et la limite de la suite (un)n∈N .

2. On pose ∀n ∈N, wn = 2n un

(a) Calculer le développement limité à l’ordre 3 en zéro de lafonction arctan.

(b) Proposer un équivalent simple lorsque n →+∞ de1

w2n+1

− 1w2

n

(c) En déduire la convergence de la série∑(

1w2

n+1− 1

w2n

)

3. Démontrer l’existence d’un réel `> 0 tel que un ∼(n→+∞)

`

2n

On ne cherchera pas à calculer `.

3 TP sous Maxima

68 On utilisera : sum, simplify_sum, factor

On considère la suite (un)n∈N∗ définie par un = 1∑nk=1 k2

1. Montrer que la série∑

un est convergente.

2. Calculer la somme+∞∑n=1

un

69 On utilisera : sqrt, taylor, solve, sum

Soit a, b et c trois nombres réels. On pose pour tout naturel n,

un =pn+a

pn+1+b

pn+2

1. Donner le développement asymptotique à trois termes de un auvoisinage de +∞.

2. ? En déduire les valeurs des paramètres a et b pour lesquelles lasérie

∑un est convergente.

3. Calculer alors la somme+∞∑n=1

un.

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4 Pour travailler seul

70 Les cinq questions sont indépendantes

1. Combien vaut la somme suivante :+∞∑k=0

1k!2k ?

2. Soit∑

un une série à termes réels positifs. Quelle condition est suffi-sante pour garantir la convergence de cette série ?

(a) un É 1n

(b) u2n É 1

n(c)

pun É 1

n(d) eun É 1

n

3. Pour laquelle des séries suivantes sait-on facilement calculer la somme ?

(a)∑ 1

n3 (b)∑ 1

n(n+1)(c)

∑ 1n2 +1

(d)∑ (−1)n

3n+1

4. Pour laquelle des séries suivantes, la règle de D’Alembert permet-elle dejustifier la convergence ?

(a)∑ 1

n ln(n)2(b)

∑ n2n (c)

∑ sinnn!

(d)∑ 1

n2

5. Soit a ∈R+∗. Donner une condition nécessaire et suffisante sur a pour

que la série de terme généralsinh(n)

an soit convergente.

71 On note E l’ensemble des suites réelles (un)n∈N∗ telles que la série determe général n2 u2

n converge.

1. Montrer que la suite (wn)n∈N∗ définie par wn = 1n2 appartient à E.

2. Montrer que, si u et v sont deux suites de E, alors la série de termegénéral n2 un vn est absolument convergente.

3. En déduire que E est un R-espace vectoriel.

72 Final 2013 . La série alternée∑ (−1)k

2k+1est semi-convergente.

On appelle «reste d’ordre n» de la série∑ (−1)k

2k+1, le nombre réel

Rn =+∞∑

k=n+1

(−1)k

2k+1

L’objectif de cet exercice est d’obtenir un équivalent de Rn, reste d’une sériealternée convergente.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

2Rn − (−1)n+1

2n+3=

+∞∑k=n+1

(−1)k(

12k+1

− 12k+3

)

2. Justifier que, pour tout entier naturel n,∣∣∣∣∣ +∞∑k=n+1

(−1)k(

12k+1

− 12k+3

)∣∣∣∣∣É 2(2n+3)(2n+5)

3. Déterminer un équivalent simple de Rn lorsque n tend vers +∞.

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MTC Ch4 : diagonalisation de matrices

Diagonalisation1 Pour s’entraîner

73 On pose A =(1 42 3

)∈M2(R).

Trouver les valeurs propres de A et les sous-espaces propres corres-pondants. En déduire une matrice inversible P telle que P−1 AP soitdiagonale.

74 Soit E l’ensemble des suites réelles convergeant vers 0.

1. Montrer que E est un R-espace vectoriel.

2. On considère l’application ∆ : E −→ Eu 7−→ ∆(u)= (un+1 −un)n∈N

(a) Vérifier que ∆ est un endomorphisme de E.

(b) Déterminer les valeurs propres de ∆.

75 Soit n ∈N tel que n Ê 2. On pose J =

1 . . . 1...

. . ....

1 . . . 1

∈Mn(R)

1. Donner le rang et le déterminant de J.

2. Exprimer J2 en fonction de J.

3. En déduire les valeurs propres de J et la dimension de chaquesous-espace propre associé.

76 Soit la matrice A =

0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

∈M4(R)

1. Vérifier que A est inversible. Donner A−1 et A2019.

2. Quelles sont les valeurs propres de A ?Justifier que A est diagonalisable.

3. Diagonaliser A en donnant la matrice de passage P et son inverseP−1.

77 On pose M =1 1 1

0 2 20 0 3

.

1. Donner les valeurs propres de M.

2. Déterminer une matrice inversible P et une matrice diagonale Dde M3(R) telle que

D = P−1M P

3. Calculer P−1 et expliciter Mn pour tout entier naturel n.

78 On considère les matrices suivantes :

A =3 1 1

2 4 21 1 3

; B =1 1 0

0 1 00 0 1

; C = 1 2 2

1 2 −1−1 1 4

Ces matrices sont-elles diagonalisables ?

Le cas échéant, les diagonaliser.

79 Soit α ∈R. On pose

A =1 1 α

0 2 00 0 α

∈M3(R)

1. Pour quels réels α la matrice A est-elle inversible ?

2. Donner les valeurs propres de A.

3. Pour quels réels α la matrice A est-elle diagonalisable ?

80 Soit E =R[X ]. On définit l’application ϕ sur E par

ϕ(P)= (2X +1)P + (1− X2)P ′

1. Vérifier que ϕ ∈L (E).? Que peut-on dire du degré des éventuels vecteurs propres de ϕ ?

2. On appelle f la restriction de ϕ à R2[X ].

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(a) Écrire la matrice A de f dans la base (1, X , X2).

(b) A est-elle diagonalisable ?

3. En déduire les vecteurs propres de ϕ.

81 Soit k ∈R. On considère la matrice

A(k)=3−k k−5 k

−k k−2 k5 −5 −2

∈M3(R)

1. Calculer le polynôme caractéristique de A(k).En déduire les valeurs propres de A(k).

2. À quelle condition nécessaire et suffisante sur k, la matrice A(k)est-elle diagonalisable ?

82 Soit A = 0 0 0

6 2 0−6 0 6

1. (a) Justifier rapidement que A est diagonalisable.

(b) Diagonaliser la matrice A en précisant la matrice de passageP et la matrice diagonale D semblable à A.

2. Soit M ∈M3(R) telle que M2 +M = A.

(a) On pose N = P−1M P. Montrer que DN = ND.

(b) Justifier que N est diagonale.

3. Trouver toutes les matrices M ∈M3(R) telles que : M2 +M = A

83 On pose A =(5 31 3

)∈M2(R)

1. Déterminer les valeurs propres de A.

2. Combien y a-t-il de matrices M ∈M2(R) vérifiant M2 = A ?

84 Soit p ∈N.

1. Déterminer la matrice Mp lorsque M =1 4 2

0 −3 −20 4 3

2. Soit A ∈Mn(K) telle que A2 = 3 A−2 In.

Calculer en fonction de A les puissances Ap de A.

85 1. On pose A =(

0 1−6 5

)∈M2(R).

Diagonaliser la matrice A et en déduire An pour n ∈N.

2. On considère la suite réelle (un)n∈N définie paru0 = 0, u1 = 1 et ∀n ∈N, un+2 = 5un+1 −6un.

On pose pour tout n ∈N, Xn =(

unun+1

).

Exprimer Xn en fonction de X0, A et n.En déduire la formule explicite de un en fonction de n.

86 Soit A =−1 2 0

2 2 −3−2 2 1

et ϕ l’endomorphisme de R3 canoniquement

associé A.

1. Vérifier que A n’est pas diagonalisable.

2. Chercher deux vecteurs propres de ϕ linéairement indépendants.Compléter ces vecteurs en une base de R3.

3. Écrire la matrice de ϕ dans cette base.

4. Calculer An pour n ∈N∗.

87 Résoudre chacun des systèmes différentielsx′ = y+ z

y′ = x

z′ = x+ y+ z;

x′ = x+2y+2z

y′ = x+2y− z

z′ =−x+ y+4zavec les conditions

x(0)= 1

y(0)= 2

z(0)= 3

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88 On considère le système différentiel linéaire

(S) :{

x′ = 3 x− yy′ = x+ y

où x et y désignent des fonctions inconnues de la variable réelle t, àvaleurs dans R.

1. On pose X (t)=(x(t)y(t)

).

Expliciter la matrice A ∈M2(R) telle que

(S) ⇐⇒ X ′ = A X

2. Calculer le polynôme caractéristique de la matrice A.A est-elle diagonalisable ?Déterminer une matrice triangulaire supérieure T semblable à A.

3. Résoudre le système (S).

2 Pour approfondir

89 Donner une CNS portant sur les réels a, b et c pour que la matrice

M =1 a b

0 2 c0 0 1

soit diagonalisable dans M3(R).

90 Soit n ∈ N tel que n > 2. On note Rn[X ] l’espace vectoriel despolynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.

Pour tout P ∈Rn[X ], on pose :

f (P)= 12

(X2 −1)P ′′− X P ′+P

1. Pour tout entier k ∈ �0,n�, calculer f (X k).

2. Montrer que f est un endomorphisme de Rn[X ].

3. Dans cette question seulement, on suppose n = 3.

(a) Donner la matrice de f dans la base canonique de R3[X ].

(b) Montrer que f est un projecteur.Préciser son noyau et son image.

4. Montrer que Ker f =Vect(X , 1+ X2).

5. On suppose n Ê 3. Quelles sont les valeurs propres de f ?? L’endomorphisme f est-il diagonalisable ? Justifier.

91 Soient (un), (vn) et (wn) les trois suites définies sur N par leurspremiers termes : u0 = 1 , v0 = 0 , w0 = 0 et les relations de récurrence

un+1 = 3un −vn +wnvn+1 = un +2vnwn+1 = vn +wn

Pour tout entier naturel n, on pose

Xn =un

vnwn

et A =3 −1 1

1 2 00 1 1

1. (a) Reconnaître, pour tout entier naturel n le produit AXn.

(b) En déduire l’expression de Xn en fonction des matrices A, X0et de l’entier naturel n.

2. (a) Démontrer que A admet une seule valeur propre.

(b) Déterminer le sous-espace vectoriel propre de A associé àl’unique valeur propre.La matrice A est-elle diagonalisable ?

3. On note f l’endomorphisme de R3 canoniquement associé à A,c’est-à-dire tel que A soit la matrice de f dans la base canoniqueB de R3.

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(a) Déterminer une base(e′1, e′2, e′3

)de R3 telle que la matrice T

de f dans cette base vérifie

T =2 1 0

0 2 10 0 2

,

et que les vecteurs e′1, e′2, e′3 aient respectivement pour troi-sième composante 1, −1 et 2.On notera dorénavant B′ la base

(e′1, e′2, e′3

).

(b) À l’aide de la formule du binôme de Newton et de la décom-position suivante T :

T = 2 I3 +0 1 0

0 0 10 0 0

,

déterminer l’expression de la matrice Tn en fonction de l’en-tier naturel n.

4. Soit P la matrice de passage de la base canonique B à la base B′.

(a) Exprimer A en fonction de T, P et P−1, puis An en fonctiondes mêmes matrices et de l’entier naturel n.

(b) Calculer P−1.

(c) Déterminer les expressions de un, vn, wn en fonction del’entier naturel n.

92 1. ? Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soit f unendomorphisme de E dont le rang est égal à 1.Donner la forme du polynôme caractéristique de f .

Démontrer que f est diagonalisable si, et seulement si, Im( f ) n’estpas inclus dans Ker( f ).

2. On considère la matrice A =

1 2 · · · n1 2 · · · n...

... . . ....

1 2 · · · n

∈Mn(R).

A est-elle diagonalisable ? Quelles sont ses valeurs propres ?Donner des vecteurs propres associés.

3 TP sous Maxima

93 Maxima peut calculer la puissance d’une matrice carrée lorsquel’exposant est connu (par exemple A2 ou A5 où A est une matrice carréedonnée). Mais le logiciel ne sait pas donner directement l’expression deAn sous forme de tableau matriciel pour un entier naturel n quelconque.Pour aider Maxima à le faire dans le cas d’une matrice diagonalisableA, on suit les étapes suivantes :

(i) On diagonalise A en donnant la matrice de passage P de la basecanonique vers une base de vecteurs propres de A, et la matricediagonale correspondante D telles que A = P D P−1.

(ii) On donne directement Dn pour n ∈N quelconque.(iii) On obtient An à l’aide la formule An = P Dn P−1.

On utilisera : charpoly, eigenvectors, transpose, ratsimp

Soit (a,b, c) ∈R3. On pose A =a−b− c 2a 2a

2b b−a− c 2b2c 2c c−a−b

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les réels a, b et

c pour que la matrice A soit diagonalisable.3. Soit n ∈N. Lorsque A est diagonalisable, écrire An sous la forme

d’un tableau matriciel à 9 coefficients.On pourra introduire s = a+b+ c.

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4 Pour travailler seul

94 On considère la matrice carrée d’ordre 3 suivante : A =1 1 1

1 1 11 1 3

1. Sans calcul, justifier que A est diagonalisable et non inversible. Donner

le rang de A.

2. Calculer les trois valeurs propres de A et déterminer les sous-espacespropres associés.

3. En déduire une matrice diagonale D de M3 (R) dont les coefficientsdiagonaux sont dans l’ordre croissant, et une matrice inversible P deM3 (R), dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à 1,telles que A = PDP−1.

4. Calculer P−1.

5. Montrer qu’il existe une matrice diagonale ∆ de M3 (R), dont les co-efficients diagonaux sont dans l’ordre croissant, telle que ∆2 = D, etdéterminer ∆.

6. On note R = P∆P−1. Vérifier que R2 = A et calculer R.

95 Médian 2014. Soient a, b et c trois nombres réels.On note I3, J et A les matrices suivantes :

I3 =1 0 0

0 1 00 0 1

J =0 1 0

0 0 11 0 0

A =a b c

c a bb c a

1. Exprimer A comme combinaison linéaire des matrices I3, J et J2.

2. Résoudre dans C l’équation z3 = 1. On notera j la solution complexedont la partie imaginaire est strictement positive.

3. Déterminer les valeurs propres de J. Justifier que la matrice J estdiagonalisable dans M3(C).

4. On note P la matrice de passage de la base canonique de M3,1(C) versune base de vecteurs propres de J.

(a) Sans calculer le polynôme caractéristique de A, donner la décompo-sition de A en fonction de la matrice P et d’une matrice diagonale∆ que l’on explicitera.

(b) En déduire les valeurs propres de A en fonction de j et des réelsa, b et c.

5. (a) Montrer que toutes les valeurs propres de A sont réelles si, etseulement si, b = c.

(b) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur a, b et cpour que A soit diagonalisable dans M3(R).

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MTC Ch5 : suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions1 Pour s’entraîner

96 On définit la suite de fonctions ( fn)n∈N sur R par :

∀n ∈N, ∀x ∈R, fn(x)= sin( x2n

)1. Montrer que la suite ( fn)n∈N converge simplement sur R vers une

fonction f que l’on précisera.

2. (a) On pose ∀n ∈N, un = ∣∣ fn(2n−1π)− f (2n−1π)∣∣ . Calculer un

(b) La convergence de la suite ( fn)n∈N∗ est-elle uniforme sur R ?

97 On définit la suite de fonctions ( fn)n∈N∗ sur R par :

∀n ∈N∗, ∀x ∈R, fn(x)= n sin( x

n

)1. Montrer que la suite ( fn)n∈N∗ converge simplement sur R vers

une fonction f que l’on précisera.

2. (a) On pose ∀n ∈N∗, un = | fn(nπ)− f (nπ)| .Calculer un et en déduire lim

n−→+∞un

(b) La convergence de la suite ( fn)n∈N∗ est-elle uniforme sur R ?

3. On considère, pour tout entier n ∈N∗, la fonction gn définie sur Rpar :

∀x ∈R, gn(x)= n sin( x

n

)− x

(a) Prouver que gn est décroissante sur R.

(b) En déduire la valeur de supx∈[0 ,1]

| fn(x)− f (x)| en fonction de n.

(c) La convergence de la suite ( fn)n∈N∗ est-elle uniforme sur[0, 1] ? Justifier la réponse.

98 On définit la suite de fonctions ( fn)n∈N sur [0, 1] par :

∀n ∈N, ∀x ∈ [0, 1], fn(x)= n x2

1+n x

1. Montrer que la suite ( fn)n∈N converge simplement sur [0, 1] versune fonction f que l’on précisera.

2. (a) Démontrer que ∀n ∈N∗, ∀x ∈ [0, 1], | fn(x)− f (x)| É 1n

(b) La convergence de la suite ( fn)n∈N∗ est-elle uniforme sur[0, 1] ? Justifier.

3. En déduire limn→+∞

∫ 1

0

n x2

1+n xdx.

99 Étudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions( fn)n∈N∗ dans chacun des cas suivants :

1. fn : [0, 1] −→ R

x 7−→ xn

2. fn : R+ −→ R

x 7−→√

x+ 1n

3. fn : [0, 1] −→ R

x 7−→ xn(1− x)

4. fn : R −→ R

x 7−→ sin(x+ 1

n

)On montrera d’abord que∀ (a,b) ∈R2,|sina−sinb| É |a−b|

5. fn : [0, 1]−→R définie par

fn(x)={

xn ln x si 0< x É 10 si x = 0

100 Étudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions(gn)n∈N∗ dans chacun des cas suivants :

1. gn : R −→ R

x 7−→ n x1+n2x2

2. gn : R+ −→ R

x 7−→ 11+n x

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3. gn : R+ −→ R

x 7−→(x+ 1

n

)2

4. gn :R+ −→R définie par gn(x)={

n x2 si 0É x É 1/n1/x si x > 1/n

5. ? gn : R −→ R

x 7−→ xn2 + x2

101 Théorème de convergence dominée .Dans chacun des cas suivants, prouver la convergence de la suite (In) etcalculer lim

n→+∞ In :

(a) In =∫ +∞

0

1+sin(t/n)1+ t2 dt

(b) In =∫ +∞

0exp(−tn)dt

(c) In =∫ +∞

1

tn

1+ tn+2 dt

(d) In =∫ 1

0

n(x+ x2)1+n x

dx

(e) In =∫ +∞

0

arctan(n x)1+ x2 dx

(f) In =∫ +∞

0

arctan(xn)1+ x2 dx

(g) In =∫ +∞

0arctan

(1xn

)dx

102 1. Déterminer limn→+∞

∫ +∞

0e−t arctan(n t)dt.

2. En déduire un équivalent simple lorsque n →+∞ de∫ +∞

0e−

xn arctan xdx

103 Soit f une fonction continue sur [0,+∞[ et admettant une limitefinie ` en +∞. On pose

∀n ∈N∗, µn = 1n

∫ n

0f (x)dx

1. Montrer que ∀n ∈N∗, µn =∫ 1

0f (nt)dt

2. En déduire la convergence et la limite de la suite (µn)n∈N∗

104 Soit fn : R−→R définie par ∀x ∈R, fn(x)= (−1)n e−n x2

1+n2 .

Montrer que la série de fonctions∑

fn converge normalement sur R.

105 Étudier la convergence simple et la convergence uniforme sur I dela série de fonctions

∑fn lorsque :

1. I = [0, 1] et fn(x)= (−1)n

nxn

2. I =R+ et fn(x)= xe−n x

106 Étudier les convergences simple, absolue, normale et uniforme dela série de fonctions

∑nÊ1

fn où

fn : [0, +∞[ −→ R

x 7−→ (−1)n

x2 +n

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107 Pour tout entier naturel n non nul, on définit la fonctionun : R+ −→ R

x 7−→ xn2 + x2

1. Montrer que la série de fonctions∑

un converge simplement surR+.

2. Montrer que la convergence de cette série de fonctions n’est pasuniforme sur R+.

3. On note S la fonction définie sur R+ par S(x)=+∞∑n=1

xn2 + x2 .

Montrer que S est continue sur R+.

108 Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction

fn : [0, +∞[ −→ R

x 7−→ e−n2 x

On note F la fonction somme F : x 7−→+∞∑n=1

e−n2 x

1. Démontrer que la fonction F est définie sur l’intervalle ouvert]0, +∞[.

2. Soit a un réel strictement positif. Montrer que la série de fonctions∑nÊ1

fn converge normalement sur [a , +∞[.

3. (a) Donner limn→+∞ fn

(1n2

)(b) On rappelle le résultat suivant : pour que la série de fonctions∑

fn converge uniformément sur I, il faut que la suite de fonctions( fn)n∈N∗ converge uniformément sur I vers la fonction nulle.

La série de fonctions∑nÊ1

fn converge-t-elle uniformément

sur ]0, +∞[ ? Justifier.

4. (a) Calculer, pour tout entier n Ê 1 et pour tout réel x Ê 0, f ′n(x).

(b) Montrer que la fonction F est de classe C 1 sur ]0, +∞[et exprimer F ′(x) sous la forme d’une somme de série.

(c) En déduire le sens de variation de F.

109 Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonctionun : [0, +∞[ −→ R

x 7−→ ln(n+ x)n2

1. Montrer que la série numérique∑ lnn

n2 est convergente.

En déduire que la série de fonctions∑

un converge simplementsur R+.

2. On note S la fonction somme : S =+∞∑n=1

un.

(a) Calculer, pour tout entier n Ê 1 et pour tout réel x Ê 0, u′n(x).

(b) Montrer que la série de fonctions∑

u′n converge normale-

ment sur [0, +∞[.(c) En déduire que la fonction S est dérivable sur [0, +∞[

et exprimer S′(x) sous forme de somme d’une série.(d) En déduire le sens de variation de S.

2 Pour approfondir

110 Soit a ∈R+∗. Pour tout entier naturel n, on définit la fonction Sn

sur [0, 1[ par Sn(x)=n∑

k=0(−1)k xak

1. Montrer que la suite de fonctions (Sn)n∈N converge simplementsur [0,1[ vers une fonction S que l’on précisera.

2. En appliquant le théorème de convergence dominée, prouver que∫ 1

0

11+ xa dx =

+∞∑n=0

(−1)n

an+1

3. En déduire les sommes+∞∑n=0

(−1)n

2n+1et

+∞∑n=1

(−1)n

n.

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111 On note I =]0, +∞[ et on définit pour tout entier naturel n nonnul, la fonction fn sur I par

∀x ∈R+∗, fn(x)= e−nx −2e−2nx

1. Justifier que fn est intégrable sur I puis calculer∫ +∞

0fn(x)dx.

2. Que vaut la somme+∞∑n=1

∫ +∞

0fn(x)dx ?

3. Démontrer que la série de fonctions∑nÊ1

fn converge simplement

sur I. Déterminer sa fonction somme S et montrer que

∀x ∈ I, S(x)= e−x

1+e−x

4. Montrer que S est intégrable sur I, puis calculer∫ +∞

0S(x)dx.

112 Pour chaque entier naturel n, on définit la fonction un sur R+ par

un(x)= e−n x

1+n2

1. Étudier les convergences simple, normale et uniforme sur R+ dela série de fonctions

∑un.

2. On pose ∀x ∈R+, f (x)=+∞∑n=1

e−n x

1+n2

(a) Justifier que f est continue sur R+.

(b) Montrer que f est de classe C 1 sur ]0, +∞[.

3. (a) Donner le sens de variation de la dérivée f ′ sur ]0, +∞[.

(b) Prouver que pour tout réel positif u, e−u −1É −u1+u

(c) Montrer que ∀x > 0, ∀n ∈N∗,f (x)− f (0)

xÉ

n∑k=1

−k(1+kx)(1+k2)

(d) En déduire limx→0+

f (x)− f (0)x

. Conclure.

113 On pose pour x > 0, S(x)=+∞∑n=0

(−1)n

n! (x+n)

1. À x > 0 fixé, justifier la convergence de la série∑ (−1)n

n! (x+n)2. (a) Soit a un réel strictement positif fixé. Montrer que la fonction

S est de classe C 1 sur [a , +∞[.(b) Calculer S′(x) pour tout x > 0.

En déduire les variations de S sur ]0, +∞[.3. (a) Soit x > 0. Démontrer que S(x+1)= xS(x)−e−1

(b) Calculer S(1).En déduire un équivalent simple de S(x) lorsque x → 0+

4. Déterminer limx→+∞xS(x).

114 Fonction zêta de Riemann .

On définit la fonction ζ par ζ(x)=+∞∑n=1

1nx

1. Soit un : x 7−→ 1nx . Montrer que la série de fonctions

∑un converge

normalement sur tout intervalle fermé [a , +∞[ avec a > 1.En déduire l’ensemble de définition de la fonction ζ.

2. (a) Justifier que ζ est continue sur ]1, +∞[.(b) Prouver que ζ est de classe C 1 sur ]1, +∞[

et exprimer ζ′(x) sous forme d’une somme de série.(c) Préciser le sens de variation de ζ sur ]1, +∞[.(d) Montrer que la dérivée ζ′ est croissante sur ]1, +∞[.

3. On se fixe un réel s strictement supérieur à 1.

On considère la fonction f définie sur [1, +∞[ par f (t)= 1ts

(a) Justifier que pour tout entier n Ê 1,

1(n+1)s É

∫ n+1

nf (t)dt É 1

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(b) En déduire l’encadrement1

s−1É ζ(s)É 1+ 1

s−14. En utilisant l’encadrement précédent,

(a) proposer un équivalent simple de ζ en 1+.

(b) déterminer la limite de ζ en +∞

5. On admet que+∞∑n=1

1n2 = π2

6.

Donner l’allure de la courbereprésentant la fonction ζ

3 TP sous Maxima

115 On utilisera : plot2d, makelist, diff, factor, limit

On pourra conjecturer le mode de convergence d’une suite de fonc-tions ( fn)n∈N donnée en faisant une étude graphique au moyen de lacommande plot2d. On pourra vérifier les résultats en utilisant descommandes telles que diff et limit.

On se propose d’étudier la suite de fonctions définie par

∀n ∈N, ∀x ∈ [0,1], fn(x)= n xn (1− x)

1. Tracer sur un même graphique les courbes représentatives desfonctions f0, f2, f4, . . . , f12, f14.

2. Faire calculer f ′n(x) et maxx∈[0,1]

fn(x).

3. En déduire le mode de convergence de la suite ( fn)n∈N sur [0,1].

4 Pour travailler seul116 Final 2017 .

1. Pour n ∈N∗, on définit la fonction fn sur [0 , +∞[ par fn(t)=exp

(− t

n2

)1+ t2

Déterminer en appliquant le théorème de convergence dominée,

limn→+∞

∫ +∞

0fn(t)dt

2. On pose pour tout entier naturel n non nul, In =∫ +∞

0

e−x

1+n4 x2 dx

(a) Justifier la convergence de l’intégrale généralisée In.(b) À l’aide du changement de variable t = n2 x, montrer que

In = 1n2

∫ +∞

0fn(t)dt

(c) En déduire la nature de la série∑

In.

117 Final 2016 .1. Déterminer les réels x pour lesquels la série numérique

∑pn xn est

convergente.2. On définit la fonction f sur ]−1 , 1[ en posant

∀x ∈]−1 , 1[, f (x)=+∞∑n=1

pn xn

(a) Montrer que la fonction f est croissante sur l’intervalle [0 , 1[.(b) Soit x un réel quelconque de l’intervalle [0 , 1[.

Prouver que f (x)Ê 11− x

−1. En déduire limx→1−

f (x).

3. (a) Démontrer que

∀x ∈]−1 , 1[, (1− x) f (x)=+∞∑n=1

(pn−

pn−1

)xn

(b) On pose ∀n ∈N∗, ∀x ∈ [−1 , 0], un(x)=(p

n−p

n−1)

xn.En utilisant le critère spécial des séries alternées, montrer que lasérie de fonctions

∑un converge uniformément sur [−1 , 0].

(c) Montrer enfin que la fonction f admet une limite finie à droite en−1.

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MTC Ch6 : produit scalaire sur un espace vectoriel réel

Produit scalaire1 Pour s’entraîner

118 Le plan géométrique euclidien orienté est rapporté à un repèreorthonormal direct

(O ;

−→i ,

−→j).

On pose −→u =−→i +3

−→j et −→v = 2

−→i +−→

j .Calculer la mesure principale de l’angle orienté de vecteurs

(�−→u , −→v).

Même question avec −→u = 2−→i −−→

j et −→v = 3−→i +4

−→j .

119 Soit n ∈N∗. On pose E =Rn[X ] eton définit l’application ϕ : E×E −→R par

∀ (P,Q) ∈ E×E, ϕ(P,Q)=n∑

k=0P(k)Q(k)

Montrer que ϕ est un produit scalaire sur E.Calculer ‖P‖ dans le cas où P = X .

120 Soit (a,b, c) ∈R3. On pose σ= ab+bc+ ca , S = a+b+ c et

A = a b c

c a bb c a

∈M3(R)

1. Calculer le déterminant de A en fonction de S et de σ.

2. On suppose dans cette question, que a2 +b2 + c2 = 1.

(a) Vérifier que det(A)2 = (1+2σ)(1−σ)2

(b) Montrer, avec l’inégalité de Cauchy-Schwarz, que |σ| É 1

(c) En déduire que |det(A)| É 1

121 Soit n ∈N∗ et (a1, a2, . . . , an) ∈Rn.

1. Montrer que

(n∑

k=1ak

)2

É nn∑

k=1a2

k. Étudier le cas d’égalité.

2. On suppose de plus que

∀k ∈ �1, n�, ak > 0 et a1 +a2 +·· ·+an = 1

Montrer quen∑

k=1

1ak

Ê n2. Préciser les cas d’égalité.

122 Somme des coefficients d’une matrice orthogonale .

Par définition, une matrice carrée A ∈Mn(R) est dite orthogonalessi t A A = In. Soit A = (ai, j)1ÉiÉn

1É jÉnune matrice orthogonale.

On pose U =

11...1

∈Mn,1(R) et pour toutes matrices colonnes X et Y ,

⟨X |Y ⟩ =t X Y

1. Calculer ⟨AU |U⟩.2. À l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, démontrer que∣∣∣∣∣ ∑

1Éi, jÉnai , j

∣∣∣∣∣É n

3. Étudier le cas d’égalité.

123 Dans l’espace euclidienR3 muni de son produit scalaire canonique,on considère le plan vectoriel F d’équation 2x+ y− z = 0.On pose −→e1 = (1, 0, 0).

Déterminer le projeté orthogonal du vecteur −→e1 sur le plan F.

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124 Soit E un espace euclidien et −→n un vecteur non nul de E.Soit H = (

Vect{−→n })⊥ et pH la projection orthogonale sur H.

1. Montrer que

∀x ∈ E, pH(x)= x− ⟨x | −→n ⟩‖−→n ‖2

−→n

2. Dans R3, H est le plan d’équation x−2y+ z = 0. Donner la matricede pH dans la base canonique de R3.

3. Diagonaliser sans calcul cette matrice.

125 Soit E = C([a,b] , R

)l’espace vectoriel des fonctions définies et

continues sur [a ,b] à valeurs dans R (où a < b).Soit ϕ : E×E −→ R

( f , g) 7−→∫ b

af (t) g(t)dt

1. Montrer que ϕ est un produit scalaire sur E.2. Calculer ‖g‖ pour g : t 7→ 1.

3. (a) Prouver que, pour f ∈ E,(∫ b

af (t)dt

)2

É (b−a)∫ b

af (t)2 dt

(b) Dans quel cas a-t-on égalité ?

126 Dans R3 muni du produit scalaire canonique, orthonormaliser ensuivant le procédé de Schmidt, la famille (u,v,w) avec

u = (1,0,1) ; v = (1,1,1) ; w = (−1,1,0)

127 R4 est muni de sa structure canonique d’espace vectoriel euclidien.Soit e1 = (1,0,1,0) et e2 = (1,−1,1,−1). On pose F =Vect(e1 , e2).

1. Déterminer une base orthonormale de F.2. Déterminer la matrice dans la base canonique de R4 de la projec-

tion orthogonale sur F.3. Calculer la distance du vecteur (1,1,1,0) au sous-espace F.

128 Soit R3[X ] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieurou égal à 3. On note B = (e0, e1, e2, e3) la base canonique de R3[X ] (i.e.e0 = 1, e1 = X , e2 = X2, e3 = X3). On considère le produit scalaire surR3[X ] défini par

< P |Q >=∫ 1

−1P(x)Q(x)dx

Appliquer le procédé de Gram Schmidt pour construire une baseorthonormée de R3[X ].

129 Avec un logiciel de calcul formel. Soit E =C([0,1] , R

)l’espace

vectoriel des fonctions réelles définies et continues sur [0,1].

1. Vérifier que l’application ϕ : ( f , g) 7−→∫ 1

0f (t) g(t)dt est un

produit scalaire sur E.

2. On pose F =Vect(u1, u2) où u1 : t 7→ t et u2 : t 7→ 1.Construire une base orthonormale de F.

3. Calculer min(a,b)∈R2

∫ 1

0

(et −at−b

)2 dt

130 Notons E =R3[X ]. On admet que ∀k ∈N,∫ +∞

0tk e−t dt = k!

Soit l’application ϕ : E×E −→ R

(P,Q) 7−→∫ +∞

0P(t)Q(t)e−t dt

1. Vérifier que l’application ϕ définit un produit scalaire sur E.

2. Soit f la fonction numérique définie sur R3 par

f (a,b, c)=∫ +∞

0

(t3 −a t2 −b t− c

)2e−t dt

Montrer que f admet un minimum absolu.En quel(s) point(s) est-il atteint ? Calculer ce minimum.

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2 Pour approfondir

131 Soit n un entier supérieur ou égal à 2.Toutes les matrices considérées appartiennent à Mn(R).On appelle trace d’une matrice carrée A et on note tr(A) la somme

de ses coefficients diagonaux.

1. (a) Montrer que pour toutes matrices M et N de Mn(R) et pourtout réel λ,

tr(λM+N)=λtr(M)+ tr(N)tr(tM)= tr(M)

tr(MN)= tr(NM)

2. Montrer que sur Mn(R), l’application (A,B) 7−→ ⟨A | B⟩ = tr(t A B)est un produit scalaire.On notera ‖A‖ =

√⟨A | A⟩ la norme associée.

3. Calculer ⟨In | A⟩ et montrer que pour toute matrice A ∈Mn(R),

tr(A)Épn‖A‖

4. On note S l’ensemble des matrices symétriques et A l’ensembledes matrices antisymétriques (c’est-à-dire vérifiant t A =−A).Prouver que S et A sont des sous-espaces vectoriels supplémen-taires et orthogonaux dans Mn(R)

5. (a) Soit A ∈Mn(R). Déterminer minM∈S

‖A−M‖.

(b) On suppose dans cette question n = 3 et on pose A = 0 1 2

2 0 1−1 −1 0

Déterminer la distance de A à S , c’est-à-dire min

M∈S||A−M||.

132 Soit n ∈N,n Ê 2. On se place dans E =Mn(R). On pose I = In.

1. (a) Montrer que l’applicationϕ : E×E −→ R

(A,B) 7−→ ⟨A | B⟩ = tr(t A B)est un produit scalaire sur E.

(b) Pour M ∈ E, que vaut ⟨M | I⟩ ?

2. On désigne par J la matrice de E dont tous les coefficients sontégaux à 1. On pose F =Vect(I, J).

(a) Calculer J2 en fonction de J. En déduire ⟨J | J⟩.(b) On note PF (M) le projeté orthogonal sur F d’une matrice

M ∈ E.En remarquant que ⟨M | J⟩ = ⟨pF (M) | J⟩, exprimer pF (M)comme combinaison linéaire de I et J en fonction de tr(M)et du réel µ= ⟨M | J⟩.

(c) Calculer µ en fonction des coefficients de M.

133 1. ? Montrer que pour tout n ∈N, il existe un unique polynômeTn ∈R[X ] tel que pour tout réel x, Tn(cos x)= cos(nx).Déterminer le degré de Tn.

2. On admet que l’intégrale généralisée∫ 1

−1

R(t)p1− t2

dt converge pour

tout polynôme R ∈R[X ]. Soit n ∈N∗.

(a) Montrer que l’application :

ϕ : (P,Q) 7−→∫ 1

−1

P(t)Q(t)p1− t2

dt

définit un produit scalaire sur Rn[X ].

(b) Montrer que la famille (T0, T1, . . . , Tn) est une famille ortho-gonale de Rn[X ] muni de ce produit scalaire.Calculer la norme de Tk pour k ∈ �0, n�.

134 Soit E un espace préhilbertien réel et F un sous-espace vectorielde E tel que F ⊕F⊥ = E. Démontrer que F = F⊥⊥.

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135 Soit E un espace vectoriel euclidien et f ∈L (E) tel que

∀(x, y) ∈ E2, ⟨ f (x) | y⟩ = ⟨x | f (y)⟩1. Montrer que la matrice de f dans une base orthonormée

B = (e1, e2, . . . , en) est symétrique.2. Démontrer que le noyau et l’image de f sont supplémentaires et

orthogonaux.

3 TP sous Maxima

136 On utilisera : integrate, length, sqrt, for..from..thru..do,

sum, append, ratsimp

On munit l’espace vectoriel E =C ([0,1] ,R) du produit scalaire :

( f , g) 7−→ ⟨ f | g⟩ =∫ 1

0f (t) g(t)dt

1. Créer une fonction ps(expr1,expr2) qui calcule l’intégrale∫ 1

0expr1×expr2dt

dans laquelle expr1 et expr2 sont deux expressions de la variabledésassignée t.

2. Soit F = ( f1, f2, . . . , fn) une famille libre de fonctions de E.Écrire une procédure orthom(famille) prenant en paramètreune liste d’expressions ( f1(t), f2(t), . . . , fn(t)) de la variable désas-signée t et qui renverra la famille orthonormale associée à Fobtenue par l’algorithme de Gram-Schmidt.

3. On note h la fonction définie sur [0,1] par h(t)={

t ln t si t ∈]0,1]0 si t = 0

(a) Justifier que h ∈ E.

(b) On pose δ= min(a,b,c)∈R3

∫ 1

0t2

(ln(t)−a−b t3 − c

pt)2

dt

Déterminer le sous-espace vectoriel F de E tel que δ= d(h,F)2.? En déduire la valeur exacte de δ sans chercher à calculerles réels a, b et c réalisant le minimum.

4 Pour travailler seul137 Final 2015 .

On munit R3 de sa structure euclidienne canonique. Soit B0 = (e1 , e2 , e3)la base canonique de R3.

On désigne par F le sous-espace vectoriel de R3 engendré par les vecteursu = (1,1,1) et v = (1,2,3).

1. Construire une base orthonormale (ε1 , ε2) de F.Compléter cette base en une base orthonormale directe B′ de R3.

2. Soit p la projection orthogonale sur F.

(a) Déterminer la matrice A de p dans la base canonique B0.

(b) Calculer la distance du vecteur e1 au sous-espace F.

138 Soit E =R2[X ]. On définit sur E×E l’application

ϕ : (P,Q) 7−→ P(−1)Q(−1)+P(0)Q(0)+P(1)Q(1)

1. Vérifier que (E,ϕ) est un espace euclidien.

2. On pose F =Vect(X2 +1). Déterminer F⊥.

3. Par le procédé de Gram-Schmidt, obtenir une base orthonormée de E.

4. Déterminer G⊥ lorsque G =R1[X ] puis la distance de X2 à G.

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139 Final 2017 .Dans tout l’exercice, I désigne l’intervalle fermé [0,+∞[.On note E le R−espace vectoriel constitué des fonctions f : I −→ R conti-nues sur I telles que f 2 est intégrable sur I, c’est-à-dire telles que l’intégrale


0f (t)2 dt converge.

Partie A : un produit scalaire sur E

1. Prouver que pour tous réels a et b, |ab| É 12

(a2 +b2)

.

2. Montrer que le produit de deux éléments de E est une fonction intégrablesur I.

3. Soit ϕ l’application qui au couple ( f , g) ∈ E2 associe le réel :

ϕ( f , g)=∫ +∞

0f (t)g(t) dt.

Montrer que ϕ est un produit scalaire sur E que l’on notera par la suite⟨ ∣∣ ⟩.

Partie B : inégalité de Cauchy Schwarz

Soit α un nombre réel strictement positif.1. Justifier la convergence et donner la valeur de l’intégrale généralisée∫ +∞

0e−2α t dt.

2. Démontrer que pour toute fonction f ∈ E,∫ +∞

0f (t)e−α t dt É 1p

2α

(∫ +∞

0f (t)2 dt

)1/2

Partie C : orthonormalisation

On considère les fonctions f1 : t 7−→ e−t et f2 : t 7−→ e−2t

1. Justifier que f1 et f2 sont des éléments de E.2. Construire une base orthonormale B = (ε1, ε2) du sous-espace vectoriel

F =Vect( f1 , f2) de E.

3. On admet que ∀k ∈N∗,∫ +∞

0te−k t dt = 1

k2

Calculer les deux réels a et b minimisant l’intégrale∫ +∞

0

(te−t −ae−t −be−2t)2

dt

140 1. Déterminer la matrice A ∈M3(R), dans la base canonique de R3,de la projection orthogonale sur le plan P d’équation x− y+2z = 0.

2. Diagonaliser cette matrice A.

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MTC Ch1 : intégration sur un intervalle quelconque...

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