MP Physique m2

8/9/2019 MP Physique m2

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Les calculatrices sontinterdites.(Les donnes numriques sont choisies pour simplifier les calculs)

* * *

NB : Le candidat attachera la plus grande importance la clart, la prcision et la concision de lardaction.

Si un candidat est amen reprer ce qui peut lui sembler tre une erreur dnonc, il le signalera sur sa

copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a t amen prendre.

* * *

Partie A : OPTIQUE

Ce problme doptique comprend trois parties ; un premier chapitre Dfinitions introduit

lapproximation de Gauss qui sera utilise dans les deux chapitres suivants : Etude de miroirs

sphriques et Etude de lentilles minces .

Les dix figures du problme doptique sont en page 6/12.

Les lments (objets, images, rayons lumineux) seront tracs en traits pleins ( ) sils sont

rels et en tirets (-----) sils sont virtuels.

I. DEFINITIONS

1. Systmes optiques.a. Quappelle-t-on systme optique centr ?

b. Quest-ce quun systme optique catoptrique ?

2. Stigmatisme.a. Quappelle-t-on stigmatisme rigoureux pour un point A travers un systme optique ?

b. Citez un systme optique rigoureusement stigmatique pour tous les points de lespace.

3. Aplantisme.

a. Soit (A, A) un couple de points conjugus, par un systme optique centr (S). Le point A

est situ sur laxe optique. On considre un point B, voisin de A, tel que AB soit

transverse, cest--dire situ dans un plan de front. A quelle proprit doit satisfaire B ,image de B travers (S), pour conduire un aplantisme rigoureux du couple (A, A ) ?

b. Citez un systme optique rigoureusement aplantique pour tous les points de lespace.

SESSION 2007

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP_______________________

PHYSIQUE 2

Dure : 4 heures


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4. Approximation de Gauss.a. Enoncer les conditions qui permettent de raliser lapproximation de Gauss.

b. Quelle consquence lapproximation de Gauss a-t-elle sur le stigmatisme ?

II. ETUDE DE MIROIRS SPHERIQUES

Un miroir sphrique est une calotte sphrique rflchissante sur lune de ses faces. Le centre de la

sphre est not C et le point dintersection S de la calotte avec laxe optique est appel sommet du

miroir.

Les miroirs sphriques tudis seront utiliss dans lapproximation de Gauss.

1. Caractre convergent ou divergent dun miroir sphrique.a. Un miroir convexe est-il un systme optique convergent ou divergent ?

b. Parmi les miroirssphriques (m1) et (m2) reprsents (Figure 1), lequel est divergent ?

c. En plaant notre il loin dun miroir sphrique (m3), on constate que limage de notre oeil est

droite et rduite. Le miroir (m3) est-il convergent ou divergent ?

2. Relations de conjugaison et de grandissement.On cherche dterminer la position de limage A dun point A situ sur laxe optique.

a. Relation de conjugaison de Descartes.On considre un rayon incident AI issu de A qui se rflchit en I (Figure 2).

a.1. Dterminer les relations liant les angles , et aux grandeurs algbriques

SA , SA , SC et HI, dans lapproximation de Gauss.a.2. Exprimer la relation entre les angles , et .

a.3. En dduire la relation de conjugaison au sommet du miroir :

11 1 kSA SA SC

+ =o k1 est un facteur que lon dterminera.

a.4. Donner les expressions des distances focales image f SF = et objet f SF = du miroir

sphrique en fonction de SC.

b. Relation de conjugaison de Newton.On reprsente le miroir sphrique de centre C et de sommet S en dilatant lchelle dans les

directions transverses (Figure 3).

b.1. Reproduire la Figure 3 en indiquant les foyers principaux objet F et image F etconstruire limage AB dun objet AB transverse.

b.2. En considrant les proprits des triangles semblables, montrer que nous obtenons larelation de conjugaison de Newton :

. .FA F A f f =

c. Relation de conjugaison : origine au centre.

c.1. En prenantlecentre C comme origine, montrer que FA etF A peuvent sexprimer en

fonction de CA , CA et CS.c.2. Dduire de la relation de Newton, la formule de conjugaison avec origine au centre :

21 1 k

CA CA CS + =

o k2 est un facteur que lon dterminera.


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d. Grandissement.

Si AB a pour image A B , nous reprsenterons le grandissement transversal par le rapport

algbrique : =A B

AB

. Exprimer ce grandissement :

d.1. - en fonction de SA et SA .

d.2. - en fonction deFA , FA et FS.d.3. - en fonction de CA et CA .

3. Correspondance objet-image pour des miroirs concave et convexe.

a. Construction gomtrique de limage AB dun objet AB transverse.Construire limage AB laide de deux rayons issus du point B pour les miroirs suivants :

a.1. (M1), de centre C1 et de sommet S1 (Figure 4).

a.2. (M2), de centre C2 et de sommet S2 (Figure 5).

b. Position de limage AB et grandissement transversal.

On dfinira lerayon de courbure dun miroir (Mx) par :x x x

R S C =

b.1. Le miroir (M3) est concave, de rayon de courbureR3 tel que 3 20 cmR = . Lobjet AB

est situ au milieu de F3S3 (F3 : Foyer objet ; S3 : Sommet). Calculer 3S A et en dduire

le grandissement transversal de lobjet.

b.2. Le miroir (M4) est convexe, de rayon de courbure R4 tel que 4 40 cmR = . Lobjet AB

est situ aprs S4 tel que 4S A = 50 cm. Calculer 4C A et en dduire le grandissement

transversal de lobjet.

4. Systme rflecteur : le tlescope de Cassegrain

Donnes numriques : Diamtre de la Lune :DL = 3 456 kmDistance Terre Lune :DTL = 384 000 km

a. Laxe optique dun miroir sphrique concave (M), de sommet S, de centre C et de rayon

R = SCest dirig vers le centre de la Lune.

a.1. Dterminer la position de limage AB de la Lune aprs rflexion sur (M).

a.2. Calculer le diamtre apparent du disque lunaire.

a.3. En dduire la dimension de limage AB pour R = 60 cm.

b. On ralise lobjectif dun tlescope de type Cassegrain en associant deux miroirs sphriques(Figure 6) :

- un miroir sphrique concave (M1), appel miroir primaire, de sommet S1, de centre C1,

de foyer F1 et de rayonR1 = 1 1S C .

- un miroir sphrique convexe (M2), appel miroir secondaire, de sommet S2, de centre C2,

de foyer F2 et de rayonR2 = 2 2S C .

Le miroir (M1) comprend une petite ouverture centre en S1 pour permettre le passage de la

lumire aprs rflexion sur (M1) puis sur (M2).

Le miroir (M 2) est de petite dimension, afin de ne pas obstruer le passage de la lumire

tombant sur le miroir primaire.

b.1. O doit se situer limage AB de la Lune aprs rflexion sur (M1), afin que le miroir

sphrique convexe (M2), caractris par S2, C2 et F2, en donne une image relle AB ?


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b.2. Dterminer la position du foyer image F, de lassociation des miroirs (M1) et (M2), en

exprimant 2S F en fonction deR1,R2 et d= 2 1S S .

b.3. Exprimer le grandissement transversal de lobjet AB travers le miroir (M 2) en

fonction deR1,R2 et d= 2 1S S .

b.4. Calculer 2S F , et la dimension finale de limage AB pour : 1R = 60 cm ;

2R = 40 cm et d = 18 cm.

b.5. Quelle serait la distance focale imagefL dune unique lentille mince qui donnerait de laLune la mme image AB ?Commenter.

III. ETUDE DE LENTILLES MINCESLes lentilles minces tudies seront utilises dans lapproximation de Gauss.

1. Caractre convergent ou divergent dune lentille mince.

a. Formes des lentilles sphriques minces.Parmi les lentilles (l1) (l6) reprsentes sur la Figure 7, indiquer dans cet ordre : la lentille

biconcave, la lentille mnisque convergent et la lentille plan concave.

b. Observation dun objet loign.On vise un objet plac grande distance en plaant lil loin dune lentille (l7). Nous voyons

une image inverse de lobjet. La lentille (l7) est-elle convergente ou divergente ? Justifier

votre rponse.

c. Dplacement transversal.On place un objet rel de telle sorte que son image, vue travers une lentille (l8), soit droite.

En dplaant (l8) transversalement son axe optique, on constate que limage de lobjet sedplace dans le mme sens que la lentille. La lentille (l8) est-elle convergente ou divergente ?

Justifier votre rponse.

2. Relations de conjugaison et de grandissement.a. Relation de conjugaison de Newton.

Reproduire et complter le trac des rayons BI et BFJ de la Figure 8 pour lobtention de

limage AB de AB. (Foyer objet : F)

Exprimer le grandissement transversalA B

AB

= respectivement en fonction de FA et OF

puis de F A et OF . (Foyer image : F )En dduire la relation de conjugaison de Newton.

b. Relation de conjugaison de Descartes.En prenant le centre O comme origine, montrer que la relation de conjugaison de Newton

conduit, aprs transformation (relation de Chasles) de FA et F A , une relation entre les

grandeurs algbriques OA , OA et OF dite relation de conjugaison de Descartes.

Exprimer le grandissement en fonction de OA et OA .

3. Correspondance objet-image pour des lentilles minces convergente et divergente.

a. Construction gomtrique de limage AB

dun objet AB transverse.Reproduire et construire limage AB de AB laide de deux rayons issus du point B pour les

lentilles minces suivantes :


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a.1. Lentille (L1), de centre optique O1 et de foyers objet F1 et image 1F (Figure 9).

a.2. Lentille (L2), de centre optique O2 et de foyers objet F2 et image 2F (Figure 10).

b. Position de limage AB et grandissement transversal.Donner la nature et la position de limage AB dun objet AB ainsi que le grandissement

transversal pour les lentilles (L3) et (L4) suivantes :

b.1. La lentille (L3) est convergente, de distance focale image +30 cm. Le positionnement de

AB est tel que 3O A = 15 cm. La position de A sera donne par la valeur de 3F A .

b.2. La lentille (L4) est divergente, de distance focale image 30 cm. Le positionnement de

AB est tel que 4AF = 20 cm. La position de A sera donne par la valeur de 4O A .

4. Systme rfracteur : la lunette de Galile.Une lunette de Galile comprend :

- un objectif assimilable une lentille mince (L1), de centre O1 et de vergence V1 = 5 dioptries,

- un oculaire assimilable une lentille mince (L2), de centre O2 et de vergence

2 20dioptries.V = a. Dterminer la nature et les valeurs des distances focales imagesf1 etf2 des lentilles.

b. La lunette est du type afocal :

b.1. Prciser la position relative des deux lentilles, la valeur de la distance 1 2d O O= et

lintrt dune lunette afocale.

b.2. Dessiner, dans les conditions de Gauss, la marche dun rayon lumineux incident, issu

dun point objet linfini, faisant un angle avec laxe optique et mergeant sous

langle .

b.3. En dduire le grossissement (ou grandissement angulaire) de cette lunette en fonctiondes angles et , puis des distances focalesf1 etf2. Valeur du grossissement ?

c. Un astronome amateur utilise cette lunette, normalement adapte la vision dobjets

terrestres, pour observer deux cratres lunaires : Copernic (diamtre : 96 km) et Clavius

(diamtre : 240 km). Rappel : Distance Terre Lune :DTL = 384 000 km.

c.1. Lastronome voit-il ces deux cratres lunaires :

- lil nu ? (Acuit visuelle: 310-4 rad)- laide de cette lunette ? Justifier vos rponses.

c.2. La plante Vnus, de 12 150 km de diamtre, occultera Jupiter (de diamtre

145 800 km) le 22 novembre 2065.

Notre astronome amateur (qui sera certainement confirm), pourra-t-il observer lil

nu ou laide de sa lunette le disque jovien occult par Vnus ? Dans cetteconfiguration, la distance Terre-Vnus seraDTV = 45106 km.


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(l1) (l2) (l3) (l4) (l5) (l6)

Figure 7

(M2)Figure 5

B

C1

C2

(m1) (m2)Figure 1

A

B

C S

Figure 3

A AC

I

H

S

Figure 2

A

B

C1 S1

Figure 4(M1)

A C2S2

(M2)

FC1 C2

Figure 6

(M1)

S1S2

++

+

A

BI

JF

O

Figure 8

B

A O1 F1

(L1)

Figure 9

(L2)

A

B

F2

Figure 10

O21F 2F


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Partie B : ELECTROMAGNETISME

Le problme dlectromagntisme comprend quatre parties indpendantes : des gnralits sur les

conducteurs, condensateurs et capacits et trois applications des condensateurs (systme Terre-

ionosphre et circuit RC) et conducteurs (cble coaxial).

Les six figures du problme dlectromagntisme sont en page 11/12.Des valeurs numriques des fonctions lg et tan sont en page 12/12.

Les grandeurs scalaires sont reprsentes par : a, b, AB, CD

Les grandeurs vectorielles sont en caractres gras : a, b, AB, CDEn notation complexe ces grandeurs sont soulignes : a, b, AB, CD, a, b, AB, CD

Notation des produits scalaire ( )AB CD et vectoriel ( )AB CD de deux vecteurs.

0 : dsigne la permittivit du vide.

lgx : dsigne le logarithme dcimal dex.

I. CONDUCTEURS CONDENSATEURS CAPACITES

1. Conducteurs Proprits.a. Quelle distinction fait-on entre un conducteur mtallique et un isolant ?

Parmi les types de matriaux suivants : plastique, mtal, corps humain, verre, eau pure et eau

du robinet, quels sont ceux que lon classe parmi les conducteurs lectriques ?

b. Quappelle-t-on conducteur en quilibre lectrostatique ?Dfinir lintrieur de ce conducteur les proprits de :Ei (champ lectrostatique), i (densit

volumique de charges) et Vi (potentiel lectrostatique).

Si lon apporte des charges excdentaires ce conducteur en quilibre lectrostatique, o

vont-elles se rpartir ?

c. On considre un conducteur mtallique creux, de surface (Sext), en quilibre lectrostatiquedans lequel une cavit, de surface (Sc), ne contient pas de charges excdentaires (Figure 1).

Dfinir lintrieur de la cavit les proprits de : Ec (champ lectrostatique), c (densit

volumique de charges), c (densit surfacique de charges sur (Sc)) et Vc (potentiellectrostatique).

O vont se placer les charges excdentaires que lon dpose sur ce conducteur mtallique

creux en quilibre lectrostatique ?

d. Thorme de Coulomb : nonc et formulation.

2. Conducteurs Capacits.Soit Vle potentiel dun conducteur en quilibre, Q la charge porte par sa surface et la densit

surfacique de charge.

a. Exprimer la capacit Cdu conducteur en fonction de Vet deQ.

b. Calculer les capacits des conducteurs (en quilibre lectrostatique) suivants :

b.1. Conducteur plan : on considre un disque conducteur de centre O1, de rayonR1, portant

une charge surfacique 1, rpartie uniformment sur une face.

Calculer, en fonction de 1,R1 et 0, la charge Q1 et le potentiel V1 de ce conducteur eten dduire C1.

b.2. Conducteur cylindrique : on considre un cylindre conducteur de rayon R2, de longueurl, portant une charge surfacique 2, rpartie uniformment sur la surface latrale.


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Calculer, en fonction de 2, R2, let 0, la charge Q2 et le potentiel V2 de ce conducteur eten dduire C2.

b.3. Conducteur sphrique : on considre une sphre conductrice de centre O3, de rayonR3,

portant une charge surfacique 3, rpartie uniformment sur la sphre.

Calculer, en fonction de 3, R3 et 0, la charge Q3 et le potentiel V3 de ce conducteur et

en dduire C3.

3. Condensateurs Proprits.a. Quappelle-t-on condensateur lectrique ?

b. Parmi les condensateurs (plans, cylindriques et sphriques), citer trois types de condensateurs

usuels.

c. Enoncer le thorme de Gauss, puis exprimer sa formulation mathmatique prcise.

4. Condensateurs Capacits.Soit un conducteur creux (B) entourant totalement un conducteur (A) (Figure 2).

Le conducteur interne (A), au potentiel VA, porte sur sa surface extrieure la charge QA. Leconducteur externe (B), au potentiel VB< VA, porte sur sa surface intrieure la charge QBi et sur sasurface extrieure la charge QBe.

a. A lquilibre lectrostatique de ces deux conducteurs, quelle est la relation entre les charges

QA et QBi ? Justifier votre rponse.

b. En considrant ce systme de deux conducteurs comme un condensateur, dfinir la charge Q

de ce condensateur. En dduire la capacit Cen fonction de Q et des potentiels VA et VB.

c. Dtermination des capacits des condensateurs suivants :

c.1. Condensateur plan : donner, sans dmonstration, lexpression de la capacit C1 dun

condensateur plan, suppos idal, en fonction de e (cartement des deux armaturesparallles), S(aire des armatures) et 0.

Application numrique : le condensateur plan est dot de plaques circulaires de rayon6 cm qui se trouvent 2,5 mm lune de lautre. Calculer sa capacit et la charge qui

apparatra sur les plaques si on leur applique une diffrence de potentiel de 150 V.

c.2. Condensateur cylindrique : soit un condensateur constitu de deux armaturescylindriques concentriques de rayonsR1 etR2>R1 et de hauteurh. Larmature de rayon

R1 et de hauteurh porte la charge Q1.- Dterminer, laide du thorme de Gauss, le champ lectrostatique entre les

armaturesE.

- Exprimer la diffrence de potentiel V= V(R1) V(R2) et en dduire la capacit

C2 du condensateur cylindrique en fonction deR1,R2, h et 0.- Examiner le cas oR2 =R1 + e avec e


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II. CONDENSATEUR SPHERIQUE : Systme Terre-ionosphre

On reprsente lensemble Terre-ionosphre comme un volumineux condensateur sphrique qui peut

tre modlis par le schma de la Figure 3. La Terre, de rayon R, se comporte comme un

conducteur parfait de potentiel nul et porte une charge ngative Q (Q>0) uniformment rpartiesur sa surface, tandis que lionosphre reprsente par une surface quipotentielle sphrique de

rayon R+z0, de potentiel V possde une charge totale +Q. On suppose que latmosphre a lapermittivit du vide.

1. Exprimer le champ lectrostatique E(z) laltitude z (0


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c. Tracer les diagrammes de Bode dB(lg ) et (lg )G x x en prcisant les asymptotes sur

lintervalle1

, 100100

.

d. Dterminer les pulsations de coupure 3 dB, 1 et 2 (1R1. Lespace

entre les deux conducteurs est vide.

Le cble est travers par un courant alternatif dexpression en notation complexe

I(z,t) =Im(z) exp(jt) dans le sens de Ozpour le conducteur interne et dans le sens oppos pour le

conducteur externe (Figure 6). On suppose que les champs lectrique Eet magntique B en tout

point M dans lespace1 2

R R< < sont de la forme :

E 0 ( , ) exp( j )z t= E et B 0 ( , ) exp( j )z t= B

et que le champ lectriqueEest radial :E 0 ( , ) exp( j )E z t = e

Donne : Au point M (, ,z) de coordonnes cylindriques, la fonction vectorielleG(M) = Ge + Ge+ Gzez admet pour rotationnel :

( )1 1z zz

G GG GG G

z z

+ +

rotG = e e e

1. Par applicationde lquation de Maxwell-Faraday sous forme locale au point M entre les deuxconducteurs, montrer que le champ B est orthoradial. (On ngligera toute composante continue

de ce champ).

2. En appliquant lquation de Maxwell-Ampre sous forme intgrale (thorme dAmpregnralis) un cercle daxe Oz, de rayon (cercle passant par M), dterminer en fonction de

et du courantIm(z) exp(jt), le champ magntiqueB.

3. Etablir une relation entreB

z

et

E

t

en appliquant de nouveau lquation de Maxwell-Ampre

mais sous forme locale au point M, la distance de laxe Oz. En dduire lexpression du champ

lectrique E en fonction de et du courant Im(z) exp(jt). (On nintroduira pas de champlectrique constant).

4. En dduire que la fonctionIm(z) satisfait une quation diffrentielle dont une solution est

Im(z) = I0 exp(jkz) et donner lexpression de k. Montrer que cette solution correspond une

onde de courant qui se propage paralllement laxe Oz, avec un sens et une vitesse de phaseque lon prcisera.

5. Dterminer, partir de lexpression deIm(z), les champs E et B en notation relle (E,B), et

prciser les caractristiques de cette onde lectromagntique existant entre les conducteurs.

6. Dfinir, en notation relle, le vecteur de Poynting Set sa valeur moyenne temporelle . Endduire le flux de travers la couronne circulaire comprise entre les circonfrences de

rayonsR1 etR2.


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+ +

Figure 3

+

+Q

+

+

++

+

+

R z0

Terre

-Q

I= 0R

CUe Us

Figure 4

I

I

y

R1

R2

yee

O O

M

Figure 6

C

R

R

I= 0

Ue UsFigure 5 C

(Sext)

(Sc)

Figure 1Figure 2

QA

VAQBi

QBe

VB


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Valeurs numriques de lgx et de tan

lg x : logarithme dcimal de x

x 1,5 2 2,5 3

lgx 0,176 0,301 0,398 0,477

x 11 101 1001 10 001

lgx 1,041 2,004 3,000 4 4,000 04

tan : tangente de langle

(rad) 2,01

2,02

2,03

2,04

2,05

tan 128 64,3 43,1 32,5 26,1

(rad) 2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

tan 13,3 7,0 4,8 3,7 3,1

(rad) 10 30

100

300

1000

tan 0,3 0,1 0,03 0,01 0,003

Fin de lnonc

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