MOUVEMENT D ’UNE PARTICULE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE
14
MOUVEMENT D ’UNE PARTICULE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE
description
MOUVEMENT D ’UNE PARTICULE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE. z. a 0. y. q. O. x. Conditions initiales. le champ magnétique B est uniforme dirigé suivant Oz. à t = 0 , la particule est en O x 0 = y 0 = z 0 = 0. le vecteur vitesse initiale. est dans le plan Oxz. - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of MOUVEMENT D ’UNE PARTICULE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE
MOUVEMENT D ’UNE PARTICULE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE
Conditions initiales
O
x
y
z
B
0v
• à t = 0 , la particule est en O x0 = y0 = z0 = 0
• le champ magnétique B est uniforme dirigé suivant Oz
• le vecteur vitesse initiale
– fait un angle 0 avec Oz
– est dans le plan Oxz
q
Théorème du centre d’inertie
dt
vdm
)Bv.(q
amF
v).Bv.(q
v.dt
vdm
2vdt
d
2
1m
Ctev2
Ctevv 0
Multiplions par v les deux membres
0
u'.u
v,vcos.v.v
v.vv.v
Vecteur perpendiculaire à v et à B
'u.u22
1
'2u2
1
B).Bv.(q
B.dt
vdm
amF
B.vdt
dm
dt
vdm)Bv.(q
0Cte
CteB.v
Ctecos.B.v
Multiplions par B les deux membres
0
Champ uniforme
Vitesse constante
Champ uniforme
Théorème du centre d’inertie
Vecteur perpendiculaire à v et à B
OMdt
dv k.zj.yi.xOM
Vecteur vitesse
k.zj.yi.xdt
dv
kdt
dzj
dt
dyi
dt
dxv
kzjyixv
i.xdt
d j.y
dt
d k.z
dt
d
dt
idxi
dt
dx
dt
jdyj
dt
dy
dt
kdzk
dt
dz
x y z
Produit vectoriel
1er vecteur
2e vecteur
Produitvectoriel
Direction Sens
ji
perpendiculaire à
jeti Règle de la
main droite
1
Norme
ji
)j,isin(j.i
1
ji
j
k
k
ki
k-j
j
kj
k
i
i
ii
kkjj
0
Oj
k
i
i
O
j
O
i
O
)i,isin(.i.i
2
1
ji
1 01
ii
0
amF
dt
vdm)Bv.(q
)kzjyix(q
.m
kiBx(q
kBix(q
)k.zj.yi.x.(m
)k.zj.yi.x.(m
)k.zj.yi.x.(m
ixmiByq
jymjBxq
k.z0
ym
qBx
xm
Bqy
0z
Théorème du centre d’inertie
j
jBx(q
i
0
iBy
)0
yx
xy
0z m
qB
On pose
kzjyixv
le champ magnétique B est uniforme dirigé suivant Oz
)kB(
)k.zj.yi.x(
kzjyixvdt
d
kBjy
)kBkz
kjBy
)kkBz
yx xy 0z
tcos.vz 00
Mouvement uniforme le long du champ magnétique
Par intégration
Cte 00 cos.v z
O
x
y
z
B
0v
qPar intégration
Vitesse selon l ’axe Oz
la solution est de la forme
xy 0xx 2
)tsin(Ax
0x Conditions initiales
0tà x cos.A
0
00 sin.vA
tsinsin.v
x 00
yx xy 0z
tcos.vz 00 Par intégrationxx 2
Equation différentielle 2e degré
sin.A
00 sin.v
tsinsin.v
y 00
Par intégration
y
Condition initiale
0tà 0y Ctesin.v 00
Cte
)1t(cossin.v
y 00
O
x
y
z
B
0vq
A
0t
dériver
)tcos(Ax
0t
)tcos(Ax
00 sinv
)tcos(Cte
0t
00 sin.v
ytcos
00 sin.v
00 sinv )1t(cos 00 sinv
2
002 sin.vyx
tcossin.vsin.v
y 0000
222 RRyx
00 sin.v
R
La trajectoire, dans le plan Oxy perpendiculaire à B, est un cercle de rayon R et de centre C (xC=0 et yC=-R )
0000 sin.v
tcossin.v
y
On développe
tsinsin.v
x 22
002
tcossin.vsin.v
y 22
00
2
00
On pose
tcostsinsin.v 22
2
00
On élève les 2 membres au carré
On élève les 2 membres au carré
On somme les 2 expressions
tsinsin.v
x 00
)1t(cos
sin.vy 00
Mouvement uniforme
suivant Oz
tcos.vz 00
12
00 sin.v
MOUVEMENT HELICOIDAL
Période du mouvement hélicoïdal
qB
m2
00 sin.v
R2
y0xplanvitesse
parcouruecetandisT
00 sin.vR
2
La vitesse de la particule n’intervient pas directement dans l’expression de la période.
Mouvement circulaire dans le plan Oxy perpendiculaire à B
Mouvement uniforme suivant Oz le long du champ B
Nature du mouvement
O
x
y
z
B
0vq
m
qB
La circonférence décrit par la particule est appelée circonférence de Larmor (physicien anglais).
La fréquence est dite fréquence de Larmor.
00 sin.v
tcos.vz 00 222 RRyx
Le pas de l’hélice
Si 0 = / 2
qB
m2
00 sin.vR
T.zh
tcos.vz 00
00 cos.vz
Trajectoire = Cercle
qB
v.mR 0
m
qB
Distance parcourue par la particule dans la direction du champ lorsqu’elle effectue un tour complet sur la circonférence.
qB
.m.2cosvh 00
Période
0h qB
v.m 0
0v
=0=1
(Vitesse selon Oz) . (Période)
2
T
Expression de la vitesse v0
00 sin.vR
00 cosv2
h
2h
222 hR4
2R
2222
220 hR4
4v
2220 hR4
m.2
B.qv
22R4
022
0
2
sinv2
022
0
2
cosv2
20
2
v2
0v
022
0
2
sin.v1
022
0
2
sin.v2
022
0
2
cosv2
222 hR42
)cos(sin 02
02
1
Déplacement d’une particule dans un champ non uniforme
B.q
sin.v.mR 00
qB
cosv.m.2h 00
CteB.cos.v 00
Dans un champ croissant
• Application : la ceinture de radiation de Van Allen.
Rayon de l’hélice Pas de l’hélice Vitesse selon B
La composante de la vitesse parallèle au champ décroît et va s’annuler si le champ s’étend suffisamment
le pas de l’hélice décroît au fur et à mesure que la particule se déplace vers les champs croissants
la particule est obligée de revenir en arrière
B augmente diminueB augmentediminue
diminueB augmentediminue
Le rayon de l ’hélice diminue
