1

Mouvement d’un projectile dans un champ de pesanteur uniforme

Objectifs :

Savoir appliquer la 2ème loi de Newton.

Etablir l’équation de la trajectoire d’un projectile dans un champ de pesanteur.

Visualiser la trajectoire d’un projectile dans le champ de pesanteur terrestre. Comparer

les résultats des mesures réalisées à partir d’un enregistrement vidéo du mouvement

avec les paramètres déterminés par étude théorique.

Modéliser une trajectoire et les vecteurs-vitesse et accélération au cours du

mouvement.

Matériel

Balle de tennis

Webcam et logiciels Latis pro

I- Etude théorique

On étudie le lancer d’un projectile, de masse m et de centre d’inertie G avec une vitesse

initiale 0V

dans un champ de pesanteur uniforme (lancer au voisinage de la terre).

1- Appliquer la 2e loi de Newton à la balle dans le champ de pesanteur terrestre uniforme en

supposant que la poussée d’Archimède et les forces de frottement sont négligeables par

rapport au poids.

2

2- Montrer que le mouvement est plan et que l’on obtient pour : le vecteur-accélération

0

0

x

G y

z

a

a a

a g

Le vecteur- vitesse

Le vecteur- position

3- Etablir l’équation y = f(x) de la trajectoire à partir des équations horaires paramétriques.

4- La flèche de la trajectoire est l’altitude maximale atteinte par rapport au point de

lancement. Elle correspond donc ici à z(tF). montrer que :

5- La portée est la distance entre le point de lancement O et le point d’impact P sur le plan

horizontal contenant O. Elle correspond donc ici à xP. montrer que :

6-Calculer toutes les valeurs numériques (des questions 2, 3, 4 et 5) pour la valeur de

V0=6,07m.s-1 et de α=68,03° afin de les comparer à celles obtenues par modélisation.

3

ETUDE THEORIQUE

Le système Le système étudié est un projectile de masse m dans un champ de pesanteur.

Le référentiel Le système est étudié dans un référentiel terrestre auquel on associe un repère d’espace

orthonormé et un repère de temps.

Les conditions initiales A t = 0 s, le projectile se trouve à l’origine du repère, il est également animé d’une vitesse

faisant un angle α comme indiqué dans le schéma précédent. On obtient alors les

coordonnées x0, y0 et z0 du vecteur et les coordonnées vx0, vy0 et vz0 du vecteur

.

La 2e loi de Newton : principe fondamental de dynamique La somme des vectorielle forces extérieures au système est égal à la masse fois le vecteur

accélération.

Le diagramme objet-interaction nous permet de dire que le projectile n’est soumis qu’à

l’attraction de la Terre.

D’où

Soit

En projetant cette équation vectorielle selon les axes x, y et z, on obtient trois équations

scalaires :

Projectile

Terre

4

Vecteur vitesse Le vecteur accélération est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse, soit :

Cette équation vectorielle se transforme également en trois équations scalaires en la

projetant selon les trois axes x, y et z :

Pour obtenir les équations de vx(t), vy(t) et vz(t), on se pose la question suivante : quelles

sont les fonctions dont les dérivées valent respectivement 0, 0, -g, soit :

Où C1, C2 et C3 sont des constantes.

Ces trois équations scalaires sont valables quel que soit t, elles sont donc valables pour

l’instant t = 0 s lorsque

En t = 0 s, le vecteur des équations (3) est égal au vecteur des conditions initiales

(équations (2)), soit :

On peut donc réécrire les équations (3) :

5

Le vecteur position Le vecteur accélération est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse, soit :

De même que précédemment, cette équation vectorielle se transforme également en trois

équations scalaires en la projetant selon les trois axes x, y et z :

Pour obtenir les équations de x(t), y(t) et z(t), on se pose la question suivante : quelles sont

les fonctions dont les dérivées valent respectivement , 0, , soit :

Où C’1, C’2 et C’3 sont des constantes.

Ces trois équations scalaires sont valables quel que soit t, elles sont donc valables pour

l’instant t = 0 s lorsque

En t = 0 s, le vecteur des équations (4) est égal au vecteur des conditions

initiales (équations (1)), soit :

On peut donc réécrire les équations (4) et obtenir les équations horaires paramétriques du

vecteur position :

6

Equation de la trajectoire La trajectoire est l’ensemble des points occupés par le projectile au cours du temps. Il suffit

d’écrire t en fonction de x et de remplacer t par cette expression dans z.

En sachant que V0 et cosα sont différents de zéro. On obtient alors

Soit

Flèche de la trajectoire La flèche de la trajectoire correspond à l’altitude maximale atteinte, soit lorsque la composante vz(t)

s’annule.

On en déduit tF :

On remplace t de la composante z(t) du vecteur par tF :

soit

Portée La portée est la distance entre le point de lancement O et le point d’impact P sur le plan

horizontal contenant O.

Ces deux points correspondent aux solutions de l’équation z(t) = 0, on obtient ainsi deux

valeurs de t (équation du second degré en t).

7

Les deux solutions de t correspondent à t= 0 (voir les conditions initiales) et

On remplace maintenant t dans l’équation de l’abscisse x par tp :

Soit

Car

Application numérique g = 9.81 m.s-2, V0=6,07m.s-1 et de α=68,03°

8

Composantes x et z du vecteur position

Composantes x et z du vecteur vitesse

Composante z du vecteur accélération

9

II. Etude Expérimentale

II.1. Etude via le logiciel LATIS PRO

II.1.1 Pointage vidéo

A l’aide d’une webcam, réaliser l’enregistrement d’une balle de tennis lancée obliquement.

On dispose alors d’un fichier vidéo numérique au format avi et on exploite cet enregistrement

avec le logiciel Latis pro, A défaut, on utilisera une vidéo déjà prête.

Lancer Latis pro. Puis faire Edition, Analyse de séquence vidéo, puis Ouvrir…

Aller chercher le fichier .avi désiré

Aller dans l’onglet Paramètres

- Cliquer sur le bouton sélection de l’origine,

- Cliquer sur le bouton sélection de l’étalon, pointer sur le début et la fin de

la règle.

- Sélectionner un système d’axe, le cas échéant

- Cliquer sur le bouton sélection manuelle des points, puis pointer les

positions successives de la balle.

Une fois le pointage achevé, Fermer la fenêtre Séquence vidéo et exploiter les

courbes.

II.1.2. Modélisations

II.1.2.a. Equations horaires paramétriques

1- Tracer x(t). Quelle est l’allure de la courbe ? Relever le modèle proposé par le logiciel

(type et valeurs numériques). A quoi correspond le coefficient directeur de la fonction linéaire

x(t) ?

2- Tracer y(t). Quelle est l’allure de la courbe ? Relever le modèle proposé par le logiciel

(type et valeurs numériques).

II.1.2.b. Coordonnées du vecteur-vitesse

1- Tracer vx(t). Quelle est l’allure de la courbe ? Relever le modèle proposé par le logiciel

(type et valeurs numériques). Comparer la valeur au coefficient directeur de la fonction x(t).

Que vaut l’accélération suivant l’horizontale ? Qualifier le mouvement suivant l’horizontale.

2- Tracer vy(t). Quelle est l’allure de la courbe ? Relever le modèle proposé par le logiciel

(type et valeurs numériques). A quoi correspond le coefficient directeur de la fonction affine

vy(t) ? Quelle valeur devrait-on retrouver ? Qualifier le mouvement suivant la verticale.

10

3- A quelle date a-t-on vy = 0 m.s-1 ? Comparer le sens des vecteurs a

et v

(en fait, il suffit

de comparer ici les signes de ay et vy) et en déduire la nature du mouvement avant et après

cette date.

II.1.2.c. Equation de la trajectoire

1- Tracer y(x). Quelle est l’allure de la courbe ? Relever le modèle proposé par le logiciel

(type et valeurs numériques).

2- A l’aide du curseur réticule relever sur la trajectoire modélisée la valeur de ymax

(correspondant à la flèche), et celle de xmax (correspondant à la portée).

CORRECTION DU TP

II.1.2.a. Equations horaires paramétriques

L’allure de la courbe de x(t) est une droite affine. L’équation proposée par latis pro est :

x(t) =1,98 t+0,529

La valeur du coefficient directeur de la fonction x(t) est 1,98, elle correspond à la vitesse de

déplacement de la balle de golf selon l’axe (Ox), puisque ce coefficient peut être obtenu par la

dérivée de x(t) par rapport au temps soit vx(t).

L’allure de la courbe de y(t) est une parabole. L’équation proposée par latis pro est :

y(t) = -4,871*t2+ 4,867*t+1,007

II.1.2.b. Coordonnées du vecteur-vitesse

L’allure de la courbe de vx(t) est une droite constante. L’équation est vx(t) = 1,98. Cette valeur

correspond au coefficient directeur de la courbe x(t).

11

L’accélération étant la dérivée par rapport au temps de la vitesse, l’accélération selon l’axe (Ox) sera

donc nulle (dérivée d’une constante). Le mouvement sera donc « rectiligne » uniforme selon l’axe

(Ox).

L’allure de la courbe vy(t) est une droite affine décroissante. L’équation de la droite est :

vy(t) =-9,741*t + 4,867

Le coefficient directeur de la fonction affine est -9.741, il correspond à l’accélération du projectile

selon l’axe (Oy). La balle n’étant soumise qu’à son poids (frottements négligeables), selon la 2e loi de

Newton ( ), on devrait obtenir un coefficient directeur : -g = -9.81.

Calcul d’erreur :

L’erreur de mesure est de 0.7 % par rapport à la valeur théorique, le résultat est donc cohérent.

L’erreur peut provenir du pointage des positions de la balle ou du pointage de l’étalon de mesure.

On peut donc qualifier ce mouvement de mouvement uniformément varié.

vy(t) s’annule à t1 = 500 ms d’après la courbe (instant où la droite vy(t) coupe l’axe des abscisse).

Avant t1, la vitesse vy est positive et l’accélération ay est négative. Le mouvement est donc ralenti.

Après t1, la vitesse vy et l’accélération ay sont toutes les deux négatives, le mouvement est donc

accéléré.

II.1.2.c. Equation de la trajectoire

La trajectoire de la balle de golf est courbe parabolique d’équation :

Y(x)=-1,246 x2+3,755 x - 0,6

La valeur maximale correspond à Ymax = 2.231 m

N’ayant pas placé correctement l’origine, la portée n’a aucun intérêt.