DIC9315, Sujets spéciaux en intelligence artificielle et reconnaissance des formes

Introduction à la logique floue

Mounir Boukadoum

Et si Bouddha avait raison ?…

« Tout doit toujours être ou ne pas être » Aristote

« …Le monde n’est ni éternel ni éphémère, ni fini ni infini »Bouddha

Corollaire : « Rien dans le monde, objet ou événement, ne serait vrai ou faux s’il

n’existait pas de créatures pensantes » Donald Davidson

Flou ne signifie pas imprécis ou inconnu!

X est inconnu si X(t) = 1 pour toute valeur de t

X est précis Si X(t)=1 pour la valeur donnée et 0 autrement

X est imprécis si X(t) = 1 pour t dans [t0, t1], 0 ailleurs

X est flou si X(t) [0, 1] pour t dans un intervalle donné

Exemple : X : taille d’une personne exprimée par une variable tX(t) : vraisemblance de t par rapport à X

X(t)

Années 1930, : Jan Lukasiewicz Logique à valeurs multiples; des valeurs dans l’intervalle [0,1]

représentent la possibilité qu’une affirmation soit vraie ou fausse. Si 0.86 exprime le degré de possibilité qu’un homme de taille 1.81 m soit

très grand, il est vraisemblable qu’il l’est. A mené au paradigme de la théorie des possibilités.

1937 : Max Black Un continuum de valeurs logiques implique des degrés sémantiques. Une chaise ressemble à une autre chaise moins parfaite, qui ressemble

à une chaise encore moins parfaite, qui … ressemble à un tronc d’arbre.

On peut donc définir un “degré de chaiseté”. 1965 : Lotfi Zadeh publie fuzzy sets où Il étend la théorie des possibilités à

un système logique formel dans lequel sont utilisés des termes tirés du langage naturel. La manière de traiter les termes est appelée fuzzy logic.

Jalons historiques

Flou mais logique ! Logique floue :

Ensemble de principes mathématiques  pour la représentation et la manipulation des connaissances en se basant sur des degrés d’appartenance compris dans [0,1]

Lotfi Zadeh publie, en 1973 , un autre article qui montre comment capturer la connaissance humaine à l’aide de règles floues.

(a) Boolean Logic. (b) Multi-valued Logic.0 1 10 0.2 0.4 0.6 0.8 100 1 10

Que vaut une affirmation floue ?« Il fait chaud aujourd’hui»

Chaud = ? C’est une question d’appréciation :

T=50oC : Vous aimez les euphémismes ! T=40oC : un peu trop à mon goût ! T=30oC : oui T=20oC : un peu T=10oC : Ouin ! T= 0oC : Pour un Canadien, peut-être ! T=-10oC : Vous voulez rire !

On peut trancher en associant un degré de vérité à chaque valeur de T relativement à « chaud »

Degré de vérité d’une affirmation En logique binaire, une affirmation est vraie ou fausse ; son

degré de vérité vaut 1 ou 0.Valeur Signification1 Absolument vrai0 Absolument faux

En logique floue, une affirmation est plus ou moins vraie (donc, plus ou moins fausse); son degré de vérité varie entre 0 et 1. Degré de vérité Signification0.0 Absolument faux0.2 Plutôt faux0.4 Quelque peu faux0.6 Quelque peu vrai0.8 Plutôt vrai1.0 Absolument vrai

Exemple Température T Degré de vérité pour CHAUD : Chaud(T)

<-10oC 0.0 -5oC 0.1 0oC 0.2 5oC 0.3 10oC 0.4 15oC 0.5 20oC 0.6 25oC 0.7 30oC 0.8 35oC 0.9>40oC 1.0

Exemple continué On peut résumer le tableau par le tracé d’une fonction d’appartenance :

La fonction d’appartenance formalise la relation entre les valeurs précises (mesurées, calculées, etc.) d’une variable d’entrée/sortie et un label flou (dit aussi valeur symbolique ou linguistique ; e.g. CHAUD)

Une variable d’e/s peut être associée à plusieurs labels ; L’ensemble des labels définit alors les valeurs floues (linguistiques) de la variable.

Pour chaque label, la fonction d’appartenance représente le degré de vérité des valeurs précises d’une variable d’e/s par rapport au label.

Éléments d’un ensemble flou Un système à logique floue comprend :

Des variables d’e/s, Des labels qui représentent les valeurs floues de chaque variable, Des fonctions qui définissent le degré d’appartenance des valeurs des

variables aux labels. Une valeur mesurée peut appartenir à plusieurs labels, avec des 

degrés divers. Par exemple, pour T=6 oC et T=30 oC on a :

FROID(6) =.6, TIÈDE(6) =.05, CHAUD(6)=0 FROID(30)= 0, TIÈDE(30)=.3, CHAUD(30)=.8

Un ensemble flou A sur un univers de discours X est un ensemble de paires ordonnées :

A x x x XA {( , ( ))| }

Univers dediscours

Ensemble flouFonction d’appartenance

(FA)

A est tel que tout x en est membre à un degré entre 0 et 1 A est entièrement caractérisé par sa fonction d’appartenance

Concrètement, A est un attribut qualitatif (valeur floue ou linguistique) que l’on associe avec les valeurs précises d’une variable numérique x

Petit détour formel

Une variable floue (dite aussi linguistique) est un quintuplet

{ x, T(x), X, G, M }  où x est le nom de la variable : ex. âge T(x) est l’ensemble de ses valeurs :

ex. T(âge) = {jeune, moins jeune, très jeune, ...} X est l’univers de discours : ex. X = [0-100] G est une règle syntaxique qui définit l’ensemble T(x) M est une règle sémantique qui associe un ensemble flou

avec chaque élément de T(x) ex. : M(jeune), M(vieux)…)

Petit détour formel II

Une relation floue R est un ensemble flou défini sur le produit cartésien de deux univers de discours X et Y :

Permet d’exprimer une relation qualitative entre deux variables numériques :

x est près de y (nombres) x dépend de y (évènements) x et y se ressemblent (personnes ou objets)

R x y x y x y X YR {(( , ), ( , ))|( , ) }

Petit détour formel III

Petit détour formel (le dernier ! )

Répartition floue : distribution des ensembles flous sur l’univers de discours Exemple : Répartition floue des valeurs linguistiques “jeune”, “ni jeune ni

vieux”, et “vieux”:

Opérations en logique floue Le langage humain comprend aussi bien des affirmations

simples (« Le taux de chômage est élévé ») que composées (« La crise économique est sévère et ET les différentes communautés en souffrent pareillement »)

Comment évaluer le degré de vérité d’une affirmation composée ?Affirmation Degré de vérité

(fonction d’appartenance)X (X)Y (Y)X ET Y min((X), (Y))X OU Y max((X), (Y))non-X 1- (X)

Exemples d’opérations floues X= « La température est élevée » Y= « La couche de glace est faible »

Logique binaire

Logique floue

X Y XY X+Y XY X+Y

1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 1

0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0

0.70.70.70.5

10.800.5

????

????

0.70.700.5

10.80.70.5

Règles d’inférence floues

Syntaxe identique à celle de la logique binaire :SI  <condition> ALORS <conséquence>

<condition> est une affirmation simple ou composée. Ex. :Régulateur de température dont les variables sont :

temp = la température ambiante vac = vitesse de rotation d’un ventilateur d’air chaud vaf = vitesse de rotation d’un ventilateur d’air frais

Les règles d’inférence peuvent être : Si temp est haute alors vac est nulle Si temp est haute alors vaf est grande Si temp est basse alors vac est grande Si temp est basse alors vaf est nulle

Propriétés des règles floues L’évaluation des règles se fait sur les valeurs des () et non sur les

valeurs des variables d’e/s. Lorsqu’on a des conditions composées, on peut regrouper les règles

dans une table, la matrice cognitive floue (« Fuzzy Cognitive Matrix » ou FCM).

La variable conditionnelle sert à prendre une décision (commander un actueur, tirer une conclusion, classer une entrée, etc.) et les variables indépendantes sont tirées de valeurs mesurées (valeurs de () correspondantes).

Valeurs de la variable indépendante 1

valeursde la valeur indépendante 2

Valeurs de la variable conditionnelle

Étapes de conception d’un système d’inférence/commande à logique floue

1. Identifier les variables significatives d’entrée et de sortie2. Définir les valeurs linguistiques de chacune 3. Pour chaque variable d’entrée, définir une fonction

d’appartenance pour chacune de ses valeurs linguistiques

4. Concevoir une collection de règles floues « si-alors » permettant d’évaluer les valeurs linguistiques des variables de sortie

5. Choisir une méthode de conversion des valeurs linguistiques de sortie obtenues en valeurs précises.

Exemple d’application : Système de commande d’un pendule inversé

m l m g l m lx

f t M x md

d tx l M m x lm

2

2

22

s in co s

( ) ( s in ) ( ) ( co s s in )

l

m

m x

f(t)

x

mg

Il s’agit de déplacer le chariot de manière à maintenir le pendule à la verticale (θ=0). L’approche classique n’est pas évidente !

La solution exacte :Résoudre le système d’équadiffs couplées – Good luck !

La solution floue :Pousser le chariot à gauche ou à droite en sens inverse du signe de « proportionnellement »

1. Choix des variables d=e/s

Système decommande Chariot

Tension de commande du moteur

v

Donc, deux variables d’entrée, θ et ω, et une variable de sortie v ; les variables floues correspondantes portent les mêmes noms.

2 Choix des valeurs linguistiques Il s’agit de regrouper des règles de la forme « Si θ est X1 et ω

est X2, alors v est Y » en une matrice cognitive floue. Exemple de définition des valeurs X1 ,X2 et Y :

Nom SignificationTN Très négatif MN Moyennement négatifPN Peu négatif PP Peu PositifMP Moyennement positifTP Très positif

4. Choix des fonctions d’appartenance

En général, on choisit des fonctions d’appartenance de forme triangulaire ou trapézoïdale. Cela simplifie les calculs.

0.5

1.0

0.0

Valeur mesurée

v()TN MN PN PP MP TP

3. définition des règles d’inférence On pourrait alors définir la matrice cognitive suivante :

Les intersections des valeurs linguistiques de θ et de ω définissent les valeurs linguistiques de sortie correspondantes (en termes de )

Pour chaque valeur linguistiques de sortie, on retient le max correspondant

ω

TN MN PN PP MP TP

θ

TN TN TN TN TN MN PN

MN TN TN TN MN PN PP

PN TN TN MN PN PP MP

PP MN PN PP MP TP TP

MP PN PP MP TP TP TP

TP PP MP TP TP TP TP

5. Détermination des valeurs de sortie précises correspondant à On détermine le degré de vérité de chaque valeur

linguistique de sortie possible; on prend ensuite la valeur pondérée des résultats (inférence de Sugeno).

Pour chaque valeur mesurée de θ et de ω :1. On détermine ses degrés d’appartenance à TN, MN, PN, PP, MP

et TP2. On applique les règles d’inférence floues aux résultats afin

d’obtenir les degrés d’appartenance correspondants pour les différentes valeurs linguistiques de v (on prend max pour chacune)

3. On calcule la moyenne pondérée des résultats

Exemple de valeur « déflouïfiée » Ex. Deux valeurs mesurées de θ et de

ω donnent :Valeur de sortie (max)

TN 0MN 0PN 0.5PP 1MP 1TP 0.5

On obtient par la méthode du centre de gravité (en supposant que chaque valeur en abscisse correspond à une valeur précise) :

v = [(0x0)+(0x64)+(0.5X112)+(1X132)+(1X196)+(0.5X255)]/6 = 164

0 64 112 132 196 255

0

0.5

1

Logique Floue et Probabilité Les bouteilles d’eau de Bezdek

P={liquides potables}

=0.91 signifie que la bouteille contient vraisemblablement de l’eau, et cela même après avoir ouvert la bouteille.

p=0.91 signifie dit que la bouteille contient de l’eau dans 91% des cas ; on peut trouver un liquide totalement différent en ouvrant la bouteille.

est le même a priori et a posteriori ; P vaut 0 ou 1 à l’observation

Répartition floue La répartition des valeurs linguistiques peut ne pas être

homogène

Composition Max-Min

Propriétés : Associativité : Distributivité sur l’union : Distributivité faible sur

l’intersection: Monotonie:

R Ry

R Rx z x y y z1 2 1 2 ( , ) [ ( , ) ( , )]

R S T R S R T ( ) ( ) ( )

R S T R S T ( ) ( )

R S T R S R T ( ) ( ) ( )

S T R S R T ( ) ( )

La composition max-min de deux relations floues R1 (sur X et Y) et R2 (sur Y et Z) est définie par:

Modificateurs Linguistiques

C O N A A( ) 2

D IL A A( ) . 0 5

INT AA x

A xA

A

( ), ( ) .

( ) , . ( )

2 0 0 5

2 0 5 1

2

2

Concentration : Dilatation : Intensification

de contraste:

Modifient le sens d’une valeur linguistique en jouant sur sa fonction d’appartenance

Trois types basiques :

Modificateurs flous 1/2

Hedge MathematicalExpression

A little

Slightly

Very

Extremely

Hedge MathematicalExpression Graphical Representation

[A ( x )]1.3

[A ( x )]1.7

[A ( x )]2

[A ( x )]3

En général, jouent un rôle similaire à celui d’un adverbe dans la langue naturelle

Modificateurs flous 2/2

Hedge MathematicalExpressionHedge MathematicalExpression Graphical Representation

Very very

More or less

Indeed

Somewhat

2 [A ( x )]2

A ( x )

A ( x )

if 0 A 0.5

if 0.5 < A 1

1 2 [1 A ( x )]2

[A ( x )]4

Règle compositionnelle d’inférence floue

y = f(x) => y = b si x = a,

a et b: pointsy = f(x) : une courbe

a

b

y

xx

y

a et b: intervallesy = f(x) : une fonction d’intervalles de valeurs

a

b

y = f(x) y = f(x)