Mon Cours Sup

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Cours Mathmatiques MPSI 2005

david Delaunay

11 juin 2013


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Premire partie

Algbre

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Chapitre 1

Elments de mathmatiques

1.1 Les objets1.1.1 Ensembles et lments

DfinitionOn appelle ensemble toute collection dobjets appels lments de cet ensemble. Pour signifierquun lment x appartient un ensemble E, on crit x E. Sinon, on crit x / E.

Exemple N,Z,Q,R et C sont les ensembles de nombres usuels.

Exemple{

a,b,...,s

}dsigne lensemble constitu des lments a,b,...,s et uniquement cela.

Exemple {2k/k Z} dsigne lensemble des lments de la forme 2k avec k dcrivant Z, savoir lesnombres pairs.

DfinitionDeux ensembles E et F sont dits gaux sils sont constitus des mmes lments. On notealors E = F.

Exemple {a, b} = {b, a}.

Dfinition

On appelle ensemble vide lensemble constitu daucun lment, on le note .

Remarque La notation {} est caduque. La notation {} ne dsigne par lensemble vide mais unensemble constitu dun lment qui est lensemble vide.

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1.1. LES OBJETS

DfinitionEtant donns deux ensembles E et F, on appelle intersection de E et F lensemble E Fforms des lments communs Eet F.

DfinitionEtant donns deux ensembles E et F, on appelle union de E et F lensemble E F formsdes lments de lun et de lautre ensemble.

1.1.2 Inclusion

Edsigne un ensemble.

DfinitionUn ensemble F est dit inclus dans E si tous les lments de F sont aussi lments de E. Onnote alors F E.

Exemple {a, c} {a,b,c}.Dfinition

On appelle partie (ou sous-ensemble) de E, tout ensemble F dont les lments sont touslments de Ecest--dire tout ensemble inclus dans F.

Exemple et Esont des parties de E.

Dfinition

On appelle ensemble des parties de Elensemble, not P(E), form des sous-ensembles de E.

Exemple Si E = {a,b,c} alorsP(E) = {, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {b, c} , {c, a} , {a,b,c}}

1.1.3 Produit cartsien

1.1.3.1 Couple

DfinitionA partir de deux lments a et b, on forme un nouvel lment appel couple (a, b) dfini desorte que :

(a, b) = (a, b)

a = a et b = b

Remarque Lorsque a = b, (a, b) = (b, a).

DfinitionOn appelle produit cartsien de Epar F lensemble form des couples (a, b) avec a dans Eetb dans F. On le note E F.



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CHAPITRE 1. ELMENTS DE MATHMATIQUES

Exemple Pour E = {a,b,c} et F = {1, 2}E F = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}

Remarque Lorsque Eet F sont des ensembles distincts non vides : E F = F E.

Remarque Lorsque E = F, il est usuel de noter E2 au lieu de E E.

Exemple R2 = {(x, y)/x R, y R} est usuellement visualis comme un plan.

1.1.3.2 Multiplet

Dfinition

A partir dlments a1,...,an (avec n N ), on forme le n uplet (a1,...,an) dfini de sorteque :

(a1, . . . , an) = (a1, . . . , a

n) i {1, . . . , n} , ai = ai

DfinitionOn appelle produit cartsien des ensembles E1,...,En (avec n N ) lensemble form des nuplets (a1,...,an) avec pour tout i {1, 2, . . . , n}, ai Ei.On le note E1 En ou encore

ni=1

Ei.

Remarque Si E1

=

= En

= Ealors on note En au lieu de E

E ( n termes).

Exemple R3 = {(x,y,z)/x R, y R, z R} est usuellement visualis comme un espace dedimension 3.

Exemple On pressent que Rn permet de visualiser la dimension n. . .



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1.1. LES OBJETS

1.1.4 Fonctions et applications

Eet F dsignent des ensembles

DfinitionUne application (ou fonction) f de Evers F est une manipulation qui chaque lment xde Eassocie un et un seul lment y de F.Llment y est alors not f(x) et est appel image de x par f.On note f : E F pour signifier que f est une application de Evers F.On note F(E, F) lensemble des applications de Evers F.

Remarque Pour dfinir une application f : E F il suffit de prciser comment chaque lment x deEest associ son image f(x) dans F.Cest le principe des notations :

-f :

E Fx ... ;

- f : E F dfinie par f(x) = . . . ;- f : x . . . dfinie sur Eet valeurs dans F.

Exemple

R Rx e

x

x2 + 1

est une application.

Exemple R R

x x si x 0x sinon est une application.

Exemple

N Zn n2 n + 1 est une application.

Exemple R2

R

(x, y) x + y est une application.

Exemple

F(R,R) Rf f(0) est une application.



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1.2 Notions de logique

1.2.1 Assertion

DfinitionOn appelle assertion toute phrase mathmatique significative susceptible dtre vraie (V) oufausse (F).

Exemple P= 3 2 est une assertion vraie.Q = 2 + 2 = 5 est une assertion fausse.

Remarque Lorsque la valeur de vrit dune assertion Pdpend des valeurs prises par un paramtre x(resp. par plusieurs paramtres x , y , . . . ) on note souvent celle-ci P(x) (resp. P(x , y , . . .) ) pour lesouligner.

On parle parfois de prdicat plutt que dassertion.

Exemple P(x) = x 0 est une assertion dpendant dun paramtre x rel.Q(x) = x + y = z est une assertion dpendant de x,y,z rels.P(2) et Q(1, 2, 3) sont vraies.

DfinitionDeux assertions Pet Q ayant mmes valeurs de vrit sont dites quivalentes et on note P Q.

Exemple x 0 x 0

DfinitionSoit P(x) une assertion dpendant dun paramtre x lment de E.On note {x E tel que P(x)} ou {x E/P(x)} la partie de E form des lments xqui rendent lassertion P(x) vraie. On dit que lensemble est dfini en comprhension paropposition avec un ensemble dont on liste les lments qui est dit dfinit en extension.

Exemple{

x

R/1 x < 2

}= [1, 2[,x R/x2 > 0 = R.

{n Z/n est pair} = {2k/k Z}.

Remarque Rsoudre une quation consiste dcrire un ensemble dfini en comprhension (i.e. dfinipar lquation tudie) en un ensemble dfini par la description de ses lments.



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1.2. NOTIONS DE LOGIQUE

1.2.2 Ngation

Soit Pune assertion.

DfinitionOn appelle ngation de P, lassertion note non(P) dfinie comme tant vraie lorsque Pestfausse et inversement.On peut aussi dire que lassertion non(P) est dfinie par la table de vrit :

P non(P)V FF V

Exemple Pour P(x) = x 0 on a non(P(x)) x < 0

Propositionnon(non(P)) P.

dm. :

P non(P) non(non(P))V F VF V F

Remarque On note parfois Pou Pau lieu de non(P).

1.2.3 Conjonction et disjonction

Soient P, Q et R des assertions.Dfinition

On appelle conjonction (resp. disjonction) de ces deux assertions, lassertion note Pet Q(resp. Pou Q ) dfinie comme tant vraie si, et seulement si, Pet Q le sont toutes les deux(resp. lorsquau moins lune des deux lest). On a donc :

P Q Pet Q Pou QV V V V V F F V

F V F V F F F F

Exemple 0 x 1 x 0 et x 1 x 0 ou x 0 est une assertion vraie pour tout x rel.

( !)Le ou franais est souvent exclusif.Le ou mathmatique est inclusif.



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Proposition

non(Pet Q) non(P) ou non(Q).non(Pou Q) non(P) et non(Q).

dm. :Ces proprits sobtiennent par tude de tables de vrit.

Proposition

Pet P P, Pou P P.Pet Q Q et P, Pou Q Q ou P,(Pet Q) et R Pet (Q et R) (que lon note alors Pet Q et R ),(Pou Q) ou R Pou (Q ou R) (que lon note alors Pou Q ou R ),Pet (Q ou R) (Pet Q) ou (Pet R),Pou (Q et R) (Pou Q) et (Pou R).

dm. :

Ces proprits sobtiennent par tude de tables de vrit.

Attention : Ecrire Pou Q et R sans parenthses nest pas comprhensible !

Remarque On note parfois P Q (resp. P Q ) au lieu de Pet Q (resp. Pou Q ).

1.2.4 Implications

Soient Pet Q deux assertions.DfinitionOn dfinit lassertion P Q comme tant vraie si Q ne peut pas tre fausse quand Pestvraie.En franais limplication est traduite pas les expressions : si... alors , donc , parsuite etc.Plus prcisment, la valeur de vrit de lassertion P Q est donne par :

P Q P QV V VV F FF V VF F V

Exemple Pour x rel : x 1 x2 1 est une implication vraie.

Attention : Lorsque P Q est vraie, on ne prsume rien sur la valeur de vrit de P.



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Remarque Lorsque P Q est vraie :- si Pest vraie alors Q lest aussi ;- si Pest fausse alors on ne sait rien sur la valeur de vrit de Q.

DfinitionLorsque P Q est vraie on dit que :- Pest une condition suffisante (CS) pour Q ;- Q est une condition ncessaire (CN) pour P.

Dfinition

Q Pest appele implication rciproque de P Q.

Proposition

(P Q) non(P) ou Q.dm. :

P Q P Q non(P) non(P) ou QV V V F V V F F F F F V V V V F F V V V

Proposition

P Q non(Q) non(P)

dm. :non(Q) non(P) Q ou non(P) P Q.

Dfinition

non(Q) non(P) est appele contrapose de limplication P Q.

Exemple La contrapose de x 1 x2 1 est x2 < 1 x < 1.

Proposition

non(P Q) Pet non(Q).

dm. :Par ngation de non(P) ou Q.

(!)non(P Q) na pas la sens de P non(Q)Par passage la ngation le symbole dimplication disparat.

Exemple x 0 x2 1 et x 0 x2 < 1 sont des implications toutes deux fausses.



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1.2.5 Equivalence

Soient Pet Q deux assertions.

DfinitionOn note P Q lassertion P Q et Q P.En franais lquivalence se traduit par les expressions : si, et seulement si (ssi), il fautet il suffit ,...La table de vrit de P Q est donne par :

P Q P Q Q P P QV V V V V V F F V F F V V F F F F V V V

Exemple Pour x, y rels : x2 = y2 x = y ou x = y.

Remarque Lorsque P Q est vraie, on peut dire que Pet Q ont mmes valeurs de vrit et doncP Q

DfinitionLorsque P Q est vraie, on dit que Pet Q sont quivalentes et que Pest un conditionncessaire et suffisante (CNS) pour Q.

Proposition

P Q non(P) non(Q).( !)Ne pas crire dquivalences abusives !Chaque quivalence correspond deux implications et ncessite donc une double rflexion !

Exemple Pour x, y rels : x = y x2 = y2.

1.2.6 Quantificateurs

Soit P(x) une assertion dpendant dun lment x E.Dfinition

On dfinit lassertionx E, P(x)

comme tant vraie lorsque P(x) est vraie pour tout x dans E.Cette assertion se lit : Quel que soit x dans Eon a P(x)

Exemple x R, x2 0 est vraie.x [1, 1] , x2 2 est vraie.x R, x2 2 est fausse.



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Remarque Ecrire x, P(x) est insuffisant !

Remarque Dans lassertion

x E, P(x)la lettre x un rle muet i.e. quelle peut tre remplace par nimporte quelle autre lettre.

DfinitionOn dfinit lassertion

x E, P(x)comme tant vraie lorsque P(x) est vraie pour au moins un x dans E.Cette assertion se lit : Il existe x dans E tel que P(x) .

Exemple x R, x2 = 1 est vraie.x R, x2 < 0 est fausse.

Remarque Les remarques prcdentes sont encore valables.

DfinitionOn dfinit lassertion

!x

E,

P(x)

comme tant vraie lorsque P(x) est vraie pour un et un seul lment x dans E.Cette assertion se lit : Il existe un unique x dans E tel que P(x) .

Exemple !x R+, ln(x) = 1 (cest le nombre de Neper)

Exemple x R, !n Z, n x < n + 1.Dans cette assertion, lentier n apparat aprs le x et est par suite susceptible de dpendre de x, on lenote parfois nx afin de le souligner.Cette assertion est vraie et pour chaque x, lentier n introduit est appel partie entire de x.

( !)Il ne faut par intervertir sans justification les et les : x R, n Z, x n est vraie alors que n Z, x R, x n est fausse.

Remarque Abusivement, on crit :x 0 au lieu de x R+,0 x 1 au lieu de x [0, 1],x, y Eau lieu de x E, y Eou de (x, y) E2,...



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Proposition

non(x E, P(x)) x E, non(P(x)),non(x E, P(x)) x E, non(P(x)).

dm. :Cest du bon sens !

Convention Toute assertion commenant par : x est fausse.Par ngation : toute assertion commenant x est vraie.

Exemple Soit f : R R une application.- la fonction f est la fonction nulle :

x R, f(x) = 0 ;- la fonction f sannule :

x R, f(x) = 0 ;- la fonction f sannule une seule fois :

!x R, f(x) = 0 ;- la fonction f sannule sur R+ :

x R+, f(x) = 0 ;- la fonction f ne sannule que sur R+ :

x R, f(x) = 0 x 0 ;- la fonction f ne prend que des valeurs positives :

x

R, f(x) 0 ;

- la fonction f ne prend des valeurs positives que sur R+ :

x R, f(x) 0 x 0 :- la fonction f est constante :

x, y R, f(x) = f(y)ou encore

C R, x R, f(x) = C;- la fonction f est croissante :

x, y R, x y f(x) f(y) ;- tout rel possde un antcdent par f :

y R, x R, f(x) = y ;- la fonction f prend des valeurs deux deux distincts :

x, y R, x = y f(x) = f(y)ou encore

x, y R, f(x) = f(y) x = y



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1.3. RAISONNEMENTS

1.3 Raisonnements

Une assertion vraie est appele nonc, proposition ou thorme.

La vracit dune assertion se justifie par une dmonstration.Certaines assertions sont postules vraies sans dmonstration, ce sont les axiomes.

1.3.1 Dmonstration dune assertion

Pour dmontrer la vracit dune assertion Pon peut procder de trois manires :(1) Montrer que Pdcoule de rsultats antrieurs i.e. dterminer un nonc Q tel que Q Psoit vraie.Exemple Montrons

x R, x2 + 1 > 0Soit x R.On sait que x2 0 et 1 > 0.Or

a 0 et b > 0 a + b > 0donc x2 + 1 > 0.

(2) Oprer par disjonction de cas i.e. dterminer un nonc Q tel que Q Pet non(Q) Psoientvraies.

Exemple Montrons que

n N, n(n + 1)2

N

Soit nN.

Si n est pair alors on peut crire n = 2k avec k N et alorsn(n + 1)

2= k(2k + 1) N

Si n est impair alors on peut crire n = 2k + 1 avec k N et alors

n(n + 1)

2= (2k + 1)(k + 1) N

Dans les deux casn(n + 1)

2 N.

(3) Raisonner par labsurde i.e. montrer que non(P) implique un rsultat faux.

Exemple Montrons quil nexiste pas dentier naturel suprieur tout autre.Par labsurde : Supposons quil existe N N tel que n N, n N.Pour n = N + 1 N, on a N + 1 N donc 1 0. Absurde.

( !)En aucun cas, on ne commence le raisonnement par Supposons P .



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1.3.2 Dmonstration dune implication

Pour dmontrer la vracit dune implication P Q on peut procder de deux manires :(1) Par dduction : on dtermine une assertion

Rtelle que :

P Ret

R Q.

(avec possibilit denchaner plusieurs assertions intermdiaires)

Exemple Soient x, y R. Montronsx2 = y2 |x| = |y|

Supposons x2 = y2.On a x2 y2 = (x y)(x + y) = 0 donc x y = 0 ou x + y = 0.Par suite x = y ou x = y et donc |x| = |y|.

(2) Par contrapose : on tablit non(Q) non(P).

Exemple Montrons

x / Q 1 + x / QPar contrapose, montrons : 1 + x Q x Q.Supposons 1 + x Q. Puisque x = (1 + x) 1, on a x Q.

1.3.3 Dmonstration par rcurrence

ThormeSoit n0 N et P(n) une assertion dpendant dun entier n n0.Si1) P(n0) est vraie ;2) n n0, P(n) vraie P(n + 1) vraie.alors

n n0, P(n) est vraie

Exemple Montrons

n N, 1 + 2 + + n = n(n + 1)2

Procdons par rcurrence sur n N.Pour n = 1 : 1 =

1(1 + 1)

2.

Supposons la proprit vraie au rang n 1.

1 + 2 + + (n + 1) = (1 + 2 + + n) + (n + 1)Par hypothse de rcurrence, on obtient

1 + 2 + + (n + 1) = n(n + 1)2

+ (n + 1) =(n + 1)(n + 2)

2

Rcurrence tablie.



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1.3. RAISONNEMENTS

Exemple Montronsn N, 2n n

Procdons par rcurrence sur nN.

Pour n = 0 : 20 = 1 0.Pour n = 1 : 21 = 2 1.Supposons la proprit tablie au rang n 1.

2n+1 = 2 2n

Par hypothse de rcurrence, 2n n, donc

2n+1 2n = n + n n + 1

car n 1.Rcurrence tablie.Noter quici la rcurrence est amorce partir du rang n0 = 1 et ltude de

P(0) peut tre considres

comme part.



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Chapitre 2

Thorie des ensembles

Les ensembles ont dj t brivement prsents, dans ce chapitre on reprend ltude de ceux-ci de

manire plus approfondie.E,F,G,Hdsignent des ensembles.

2.1 Ensembles

2.1.1 Inclusion

DfinitionOn dit que Eest inclus dans F, et on note E F, si tout lment de Eest aussi lment de F.Ainsi

E F x E, x F

Exemple E, E E

RemarqueE F x E , x / F

Proposition

E = F E F et F E

dm. :Si E = F alors il est immdiat que Eest inclus dans F et F inclus dans E.Inversement, si E F et F Ealors Eet F sont forms des mmes lments ce qui permet daffirmerE = F.

Proposition

E F et F G E G,

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2.1. ENSEMBLES

2.1.2 Sous ensemble

Dfinition

On appelle partie (ou sous-ensemble) dun ensemble E tout ensemble A inclus dans E.Lensemble form des parties de Eest not P(E).Remarque P(E) est un ensemble densembles, A P(E) A E.

Exemple P(E), E P(E), P(E) et en gnral E P(E).

Exemple Pour E = {a} , P(E) = {, {a}}.Pour E = {a, b} , P(E) = {, {a} , {b} , {a, b}}.Pour E = {a,b,c} , P(E) = {, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {b, c} , {c, a} , {a,b,c}}.

Pour E = , P(E) = {}.

2.1.3 Oprations dans P(E)Soient A,B,Ctrois parties dun ensemble E.2.1.3.1 Union et intersection

DfinitionOn appelle union de A et B lensemble not A B form des lments de Equi appartiennent A ou B. Ainsi

A B = {x E/x A ou x B}

DfinitionOn appelle intersection de A et B lensemble not A B form des lments de E quiappartiennent A et B. Ainsi

A B = {x E/x A et x B}

Remarque On a toujours les inclusions :

A A B, B A B et A B A, A B B

Proposition

A A = A, A A = A,A E = E, A E = A,A = A, A = ,A B = B A, A B = B A,A (B C) = (A B) C not A B C,A (B C) = (A B) C not A B C,A (B C) = (A B) (A C) et A (B C) = (A B) (A C).



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CHAPITRE 2. THORIE DES ENSEMBLES

dm. :On tablit, en raisonnant par quivalence, quun lment de E appartient la partie du premier membresi, et seulement si, il appartient la partie du second membre.

par quivalence.

Attention : Ecrire A B C na pas de sens ; un parenthsage simpose!

Proposition

Si A C et B C alors A B C.Si C A et C B alors C A B.

2.1.3.2 Complmentaire

DfinitionOn appelle complmentaire dune partie A de E lensemble not CEA form des lments deEqui ne sont pas dans A. Ainsi

CEA = {x E/x / A}

Remarque Lorsquil ny a pas dambigut sur lensemble E lintrieur duquel on travaille, il estfrquent de noter A au lieu de CEA.

Remarque A et CEA sont des parties disjointes de E.

Exemple CEE = , CE = E.

Proposition

CE(CEA) = A,CE(A B) = CEA CEB,CE(A B) = CEA CEB,A B CEB CEA.

dm. :On tablit, en raisonnant par quivalence, quun lment de E appartient la partie du premier membresi, et seulement si, il appartient la partie du second membre.



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2.1. ENSEMBLES

2.1.3.3 Diffrence

Dfinition

On appelle ensemble A priv de B lensemble not A\B (ou A B ) constitu des lmentsde Equi sont dans A sans tre dans B. Ainsi :

A\B = {x E/x A et x / B}

Remarque En gnral : A\B = B\A.

Proposition

A\B = A CE(B).

DfinitionOn appelle diffrence symtrique de A et B lensemble not AB dtermin par AB =(A\B) (B\A).

Proposition

AB = (A B)\(A B).dm. :

x A x B x AB x (A B)\(A B)V V F F V F V V F V V V

F F F F

Proposition

AA = , A = A et AE = CEA.AB = BA et (AB)C = A(BC).

dm. :Les premires proprits sont immdiates.La dernire peut sobtenir par un tableau de vrit comme dans la dmonstration prcdente.

2.1.4 Familles

I dsigne un ensemble.2.1.4.1 Dfinition

DfinitionOn appelle famille dlments de E indexe sur I la donne dun lment de E pour chaqueindice i I. Si cet lment de Eest not ai, la famille correspondante est note (ai)iI.On note EI lensemble des familles dlments de E indexes sur I.



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Remarque Une famille sinterprte comme tant une liste dlments indexs par les lments dunensemble I.

Remarque Lindice joue un rle muet : (ai)iI = (aj)jI.

DfinitionSoit J une partie de I.(ai)iJ est appele sous famille de (ai)iI.(ai)iI est appele sur famille de (ai)iJ.

2.1.4.2 Famille finie

DfinitionLorsque I est un ensemble fini, on dit que la famille est finie.

Lorsque I = {1,...,n} on note souvent (ai)1in au lieu de (ai)iI.Cette famille est alors usuellement confondue avec le n-uplet : (a1,...,an).

Exemple E = {a,b,c,d}, x1 = a, x2 = b, x3 = a, x4 = x.(x1, x2, x3, x4) = (xi)1i4 est une famille finie dlments de E.

2.1.4.3 Suite

DfinitionLorsque I = N, la famille (an)nN est appele suite dlments de E.On note EN lensemble de ces suites.

Remarque Ce vocabulaire stant au cas o I = {n N/n n0} (avec n0 N fix) ou I = Z, lasuite correspondante tant alors note (an)nn0 ou (an)nZ.

Exemple Posons un = 2n + 1 pour tout n N. (un)nN est une suite dentiers.

Exemple Posons In = [1/n,n] pour tout n N. (In)n1 est une suite dintervalles.

2.1.4.4 Famille de parties dun ensemble

DfinitionOn appelle famille de parties dun ensemble E, toute famille (Ai)iI forme dlments deP(E) i.e. telle que

i I, Ai E

Exemple Soit E = {a,b,c,d}.Posons A1 = {a, b} , A2 = {b, c} et A3 = {b,c,d}.(Ai)1i3 = (A1, A2, A3) est une famille de parties de E.



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2.2. APPLICATIONS

DfinitionSoit (Ai)iI une famille de parties de E. On pose :- iIAi = {x E/i I, x Ai} appele union de la famille (Ai)iI ;-iI

Ai = {x E/i I, x Ai} appele intersection de la famille (Ai)iI.

Exemple Avec lexemple ci-dessus

3i=1

Ai = Eet3i=1

Ai = {b}

Exemple

nN[1/n,n] = R+ et

nN 1

n,

1

n= {0}.

Remarque Si I = alors :iI

Ai = etiI

Ai = E.

DfinitionSoit (Ai)iI une famille de parties de E.On dit que (Ai)iI est un recouvrement de Esi

iI

Ai = E.

Exemple ([n, n])nN est un recouvrement de R.Dfinition

On dit que (Ai)iI est une partition de E si cest un recouvrement form de parties non videsdeux deux disjointes.

Exemple ([n, n + 1[)nZ est une partition de R.

2.2 Applications

2.2.1 Dfinition

DfinitionOn appelle graphe de Evers F toute partie de E F.Eest appel ensemble de dpart et F ensemble darrive du graphe .

Exemple E = {a,b,c,d}, F = {1, 2, 3, 4} et = {(a, 1), (b, 2), (c, 2), (d, 4)}. = {(a, 1), (b, 2), (c, 2), (d, 4)} est un graphe de Evers F. = {(a, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 3)} est un graphe de Evers F.



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DfinitionOn dit quun graphe de Evers F est une application f de Evers F si

x

E,

!y

F tel que (x, y)

Pour tout x E, lunique y F tel que (x, y) est appel image de x par lapplication f,on la note f(x).Pour tout y F, les x E, sil en existe, tels que y = f(x) sont appels antcdents de y parlapplication f.On note f : E F pour signifier que f est une application de Evers F.On note F(E, F) lensemble des applications de Evers F.

Remarque On parle indiffremment dapplication ou de fonction.

Exemple Reprenons lexemple prcdent.Le graphe = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)} est une application f pour laquelle :f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = 3 et f(d) = 2.Le graphe = {(a, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 3)} nest pas une application pour deux raisons :- b a deux images ;- d na pas dimages.

Remarque Si E = alors tout graphe de Evers F est vide.Puisque la phrase quantifie x , !y F, (x, y) est vraie, on peut dire que est une applicationde E = vers F : celle-ci est appele application vide.

Proposition

Soient f, g : E F. On a f = g x E, f(x) = g(x).dm. :Par galits des graphes dfinissant f et g.

Remarque Pour dfinir une application f : E F il suffit de prciser comment chaque lment x deEest associ son image f(x) dans F.Cest le principe de la syntaxe

f : E F

x ...Cest dsormais ainsi que nous dfinirons et manipulerons les applications.

Exemple IdE :

E Ex x est une application appele identit de E.



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2.2. APPLICATIONS

Exemple Soit C F. C :

E Fx C est appele application constante gale C.

Remarque La problmatique de bonne dfinition dune fonction f : E F dfinie par une associationx f(x) est double :- au dpart : tout lment de Edoit possder une image et une seule ;- larrive : cette image doit tre dans F.

Exemple Lapplication

f : R R+

x x2 + x + 1est bien dfinie car :- x R, x2 + x + 1 0 et donc

x2 + x + 1 existe ;

-

x2 + x + 1 R+.

Exemple Soit A une partie de E.Lapplication

f : P(E) P(A)

X X Aest bien dfinie.

Exemple Soit A une partie de E.Considrons

A :

E {0, 1}

x

1 si x A0 sinon

A est appele application caractristique de A.

Remarque Les familles dlments de E indexe sur I sont en fait des applications de I vers E. Eneffet, une famille (ai)iI se comprend comme une application qui i I associe ai E.En particulier les suites dlments de E indexes sur N, correspondent aux fonctions de N vers E.



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2.2.2 Composition dapplications

Dfinition

Soient f : E F et g : F G.On appelle compose de f par g lapplication g f : E G dfinie par :

x E, (g f)(x) = g(f(x))

Symboliquement :

Ef F g Ggf

Remarque g f est bien dfinie car lensemble darrive de f concide avec lensemble de dpart de g.

Remarque Lorsque G = E, on peut la fois dfinir f g et g f mais en gnral : f g = g f.Dailleurs g f : E Eet f g : F F.

Exemple Soient

f :

R Rx x2 et g :

R Rx x + 1

(g f)(x) = x2 + 1 et (f g)(x) = (x + 1)2 donc g f = f g.

Proposition

Soient f : E

F, g : F

G et h : G

H.

On a(h g) f = h (g f)

Cette application est encore note h g f.dm. :Commenons par notons que les composes proposes sont effectivement possibles.Ensuite, pour tout x E,

[(h g) f] (x) = (h g)(f(x)) = h (g(f(x)))et

[h (g f)] (x) = h (g f(x)) = h (g(f(x)))Puisque les applications (h

g)

f et h

(g

f) concidents pour chaque x

E, elles sont gales.

Proposition

Soit f : E F.On a f IdE = f et IdF f = f.

dm. :Les composes proposes ci-dessus sont effectivement possibles.On vrifie ensuite lgalits des applications tudies en chaque lment de leur ensemble de dpart.



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2.2. APPLICATIONS

2.2.3 Injection et surjection

2.2.3.1 Injection

DfinitionOn dit que f : E F est injective si f ne prend jamais deux fois la mme valeur i.e. :

x, x E, x = x f(x) = f(x)

Remarque La contrapose de x = x f(x) = f(x) est f(x) = f(x) x = x.Pour tablir linjectivit de f, on montre lune ou lautre de ces deux implications, en pratique, cestplutt la deuxime.

Exemple IdE est injective.


f :

R Rx 2ex + 1

est injective.Soient x, x R.Supposons f(x) = f(x).On a 2ex + 1 = 2ex

+ 1 donc ex = ex

puis, en composant avec le logarithme nprien, x = x.

Ainsi f est injective.

Exemple Soit f : R R une fonction strictement croissante.Montrons que f est injective.Soient x, x R.Supposons x = x.Quitte changer x et x, on peut supposer x < x.Par la stricte croissance de f, on a alors f(x) < f(x) et donc f(x) = f(x).Ainsi f est injective.

Attention : Limplication dinjectivit nest pas :

x = x f(x) = f(x)Cette dernire implication est dailleurs vrifie par toute application f!

Remarque Par ngation

f : E F non injective x, x E, f(x) = f(x) et x = x



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f :

R Rx

x2

nest pas injective.En effet f(1) = f(1) alors que 1 = 1

Proposition

Si f : E F et g : F G sont injectives alors g f lest aussi.dm. :Soient x, x E.Supposons (g f)(x) = (g f)(x).On a g(f(x)) = g(f(x)).Par linjectivit de g, on obtient f(x) = f(x).

Par linjectivit de f, on obtient x = x.Finalement, g f est injective.

2.2.3.2 Surjection

DfinitionSoit f : E F. On dit que f est surjective si chaque lment de F possde au moins unantcdent par f i.e. :

y F, x E, y = f(x)

Remarque Pour justifier la surjectivit de f : E F, il suffit, pour chaque y F, de justifierlexistence dune solution lquation y = f(x).

Exemple IdE est surjective.


s :

Z Nn |n| + 1

est surjective.

En effet pour tout m N

, f(m 1) = |m 1| + 1 = m 1 + 1 = 1.Ainsi chaque m N possde au moins un antcdent dans Z.


f :

C Cz z2

est surjective.



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2.2. APPLICATIONS

En effet, considrons Z C.On peut crire Z = rei avec r 0 et R.Pour z =

rei/2 C, on a f(z) = z2 = rei = Z.

Ainsi, chaque Z C possde au moins un antcdent dans C.

Attention : Ne pas confondre la surjectivit avec :

x E, y F, y = f(x)

assertion qui est vraie pour toute application f.

Remarque Par ngation

f : E F non surjective y F, x E, y = f(x)


f :

R Rx x2

nest pas surjective. En effet llment 1 R ne possde par dantcdent par f.

Proposition

Si f : E F et g : F G sont surjectives alors g f lest aussi.dm. :Soit z G.Par la surjectivit de g, il existe y F tel que g(y) = z.Par la surjectivit de f, il existe x E tel que f(x) = y.On a alors (g f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z.Ainsi chaque lment de G possde au moins un antcdent par g f, lapplication g f est surjective.

2.2.4 Bijection

2.2.4.1 Dfinition

DfinitionSoit f : E F. On dit que f est bijective si chaque lment de F possde un uniqueantcdent par f dans E i.e. :

y F, !x E, y = f(x)

Remarque Pour montrer que f : E F est bijective il suffit dtablir que, pour chaque y F,lquation y = f(x) possde une unique solution x E.



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f :

R+ [1, +[x

x2 + 1

est bijective.En effet, soit x R+ et y [1, +[ .

y = f(x) y = x2 + 1 x2 = y 1 x =

y 1(car x 0 et y 1 ).Par cette chane dquivalence, on peut affirmer que lquation y = f(x) possde une solution uniquex R+ pour chaque y [1, +[ ; lapplication f est donc bien bijective.

Attention : Ne pas confondre la bijectivit avec

x

E,

!y

F, y = f(x)

proprit qui est vrifie par toute fonction.

Proposition

Soit f : E F. On a quivalence entre :(i) f est bijective;(ii) f est injective et surjective.

dm. :(i) (ii)Si f est bijective alors f est clairement surjective. Etablissons linjectivit :Soient x, x E. Supposons f(x) = f(x).Pour y = f(x) = f(x)

F, x et x sont des antcdents de y.

Or f tant bijective, y ne possde quun antcdent, donc x = x.(ii) (i)Supposons f injective et surjective.Soit y F.Comme f est surjective, il existe x E tel que y = f(x)Soit de plus x E tel que y = f(x).On a alors f(x) = f(x), or f est injective, donc x = x.Par suite il existe un unique x E tel que y = f(x). Ainsi f est bijective.

Exemple IdE est bijective.

Exemple Soit f : N Z dfinie par

f(n) =

n/2 si n est pair(n + 1)/2 sinon

Visualisons les premires valeurs de f :

n 0 1 2 3 4 5f(n) 0 1 1 2 2 3



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2.2. APPLICATIONS

La fonction f est bien dfinie.En effet, quand n est pair et quand n est impair, les formules dterminant f(n) donnent un entier.De plus, on remarque que pour n pair, f(n) 0 alors que pour n impair : f(n) < 0..

Etudions la bijectivit de f via injectivit et surjectivit.Soient n, n N. Supposons f(n) = f(n).Puisque f(n) et f(n) sont gaux, ils ont le mme signe et donc n et n ont la mme parit.Si n et n sont pairs alors lgalit f(n) = f(n) donne n/2 = n/2 et donc n = n.Si n et n sont impairs alors lgalit f(n) = f(n) donne (n + 1)/2 = (n + 1)/2 et on retrouve encoren = n.Ainsi f est injective. Etudions maintenant la surjectivit.Soit m Z.Si m 0 alors, pour n = 2m N, on a f(n) = n/2 = m car n est pair.Si m < 0 alors, pour n = (2m + 1) N, on a f(n) = (n + 1)/2 = m car n est impair.Dans tous les cas, on observe que m possde au moins un antcdent par f.Ainsi f est surjective et finalement f est bijective.ont le

Proposition

Si f : E F et g : F G sont bijectives alors g f lest aussi.dm. :Via injectivit et surjectivit.

2.2.4.2 Application rciproque

Proposition

Soient f : E F et g : F G.Si g f est injective alors f est injective.Si g f est surjective alors g est surjective.

dm. :Supposons g f injective.Soient x, x E. Supposons f(x) = f(x).On a alors g(f(x)) = g(f(x)) i.e. (g f)(x) = (g f)(x).Par linjectivit de g f, on obtient x = x. Ainsi f est injective.Supposons maintenant g f surjective.Soit z G. Par la surjectivit de g f, il existe x E tel que z = (g f)(x).Pour y = f(x) F, on a g(y) = g(f(x)) = (g f)(x) = z.Ainsi chaque z G possde au moins un antcdent y F pour lapplication g et on peut affirmer queg est surjective.

ThormeSoit f : E F. On a quivalence entre :(i) f est bijective ;(ii) il existe une application g : F E telle que g f = IdE et f g = IdF.De plus, si tel est le cas, lapplication g ci-dessus est unique.On lappelle application rciproque de f et on la note f1.



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dm. :Les compositions proposes dans le (ii) sont possibles.(ii) (i) Supposons (ii)Lapplication g f = IdE est injective donc f est injective.Lapplication f g = IdF est surjective donc f est surjective.Ainsi f est bijective.(i) (ii)Supposons f bijective. On a

y F, !x E, y = f(x)Posons alors g(y) = x, ce qui dfinit une application g : F E.

x E, g(f(x)) = x

car si y = f(x) alors g(y) = x.y F, f(g(y)) = y

car si x = g(y) alors f(x) = y.Par suite

g f = IdE et f g = IdFDe plus :Soit h : F Eune application telle que h f = IdE et f h = IdF.On a

h = h IdF = h (f g) = (h f) g = IdE g = gAinsi, il y a unicit de lapplication g introduite en (ii).

Exemple Lapplication rciproque de IdE est IdE.En effet IdE

IdE = IdE et IdE

IdE = IdE.

CorollaireSi f : E F est bijective alors on peut introduire f1 : F E et on a : f1 f = IdE etf f1 = IdF.

CorollaireSoit f : E F. Si on dtermine g : F E telle que g f = IdE et f g = IdF alors onpeut conclure : f bijective et f1 = g.

Exemple Soit

s : N Nn n + 1Montrons s bijective et dterminons s1.Considrons

p :

N Nn n 1

Lapplication p est bien dfinie.On vrifie aisment s p = IdN et p s = IdN ; on peut donc conclure que s est bijective et s1 = p.



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2.2. APPLICATIONS

Attention : Il faut observer deux composes gales lidentit avant de conclure la bijectivit.

Exemple Soient f : RR+ et g : R+

R dfinies par f(x) = x2 et g(x) =

x.

On a g f = IdR+ alors que ni f, ni g, ne sont bijectives !

Proposition

Si f : E F est bijective alors f1 est bijective et

(f1)1 = f

dm. :Supposons f bijective. On peut introduire f1 : F E.Comme f f1 = IdF et f1 f = IdE, par le deuxime corollaire appliqu f1 (en prenant g = f )on peut conclure f

1

bijective et (f1

)1

= f.

Proposition

Si f : E F et g : F G sont bijectives alors g f aussi

(g f)1 = f1 g1

dm. :On sait dj que g f est bijective.Puisque (g f)1 (g f) = IdE on a, en composant avec f1, (g f)1 g = f1 puis, en composantavec g1, (g f)1 = f1 g1.

2.2.4.3 Permutation

DfinitionOn appelle permutation de E toute application bijective de Edans lui-mme.On noteS(E) lensemble des permutations de E.

Exemple IdE est une permutation de E.

Proposition

f, g S(E), f g S(E) et g f S(E).f

S(E), f

1

S

(E).

Dfinition

On appelle involution de E toute application f : E E telle que f f = IdE.

Proposition

Soit f : E E. On a quivalence entre :(i) f est une involution ;(ii) f est bijective et f1 = f.



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Exemple IdE est une involution.


f :

C Cz z

est une involution.


f :

P(E) P(E)X CEX

est une involution.

2.2.5 Image directe, image rciproque dune partie.

2.2.5.1 Image directe

DfinitionOn appelle image directe de A P(E) par f : E F lensemble not f(A) form desvaleurs prises par f sur A.Ainsi

f(A) = {f(x) avec x A} = {f(x)/x A}

Exemple Pour A = {x}, f(A) = {f(x)}.Pour A = {x, y}, f(A) = {f(x), f(y)}.Pour A = , f(A) = .

Exemple Soit f : R R dfinie par f(x) = x2. f([1, 2]) = [0, 4], f(R) = R+.

Remarque f(A) peut aussi se voir comme tant form des y F qui possdent au moins unantcdent dans A. Ainsi :

y f(A) x A, y = f(x)Cette quivalence est fondamentale : elle caractrise lappartenance la partie f(A).

Exemple Soient A, B E. Montronsf(A B) f(A) f(B)

Soit y f(A B).Il existe x A B tel que y = f(x).Puisque x A, y = f(x) f(A). De mme y f(B) et donc y f(A) f(B).



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2.2. APPLICATIONS

DfinitionSoit f : E F.On appelle image de f lensemble not Imf constitu des valeurs prises par f sur E.

Ainsi Imf = f(E) = {f(x)/x E}

Exemple Soit f : R R dfinie par f(x) = x2. On a Imf = R+.

Exemple Soit f : C C dfinie par f(z) = ez . Dterminons Imf.On a pour tout z C, ez = 0 donc Imf C.Inversement, soit Z C.On peut crire Z = ei avec = |Z| et R.Pour z = ln() + i

C, on a ez = Z donc Z

Imf. Ainsi C

Imf.

FinalementImf = C

Proposition

f : E F est surjective si, et seulement si, Imf = F.dm. :Les lments de Imf sont ceux de F possdant au moins un antcdent par f. . .

2.2.5.2 Image rciproque

DfinitionOn appelle image rciproque de B P(F) par f : E F lensemble not f1(B) formdes antcdents des lments de B.Ainsi

f1(B) = {x E/f(x) B}

Attention : La notation f1(B) ne signifie pas lexistence de lapplication rciproque de f.

Exemple Considrons

f : R Rx x2

f1([0, 1]) = [1, 1], f1(R+) = R,...

Exemple Pour y F, f1({y}) correspond lensemble des antcdents de y.Ainsi

y Imf f1 ({y}) =



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Exemple f1() = , f1(F) = E, f1(Imf) = E.

Remarque Par dfinition de f1

(B), on a, pour x E :x f1(B) f(x) B

Cette quivalence est fondamentale : elle caractrise lappartenance la partie f1(B).

Exemple Soient A, B F. Montrons quef1(A B) = f1(A) f1(B)

Soit x E.x f1(A B) f(x) A B f(x) A ou f(x) B

puis

x f1(A B) x f1(A) ou x f1(B) x f1(A) f1(B)On peut alors conclure

f1(A B) = f1(A) f1(B)

2.2.6 Prolongement et restriction dune application

DfinitionSoient E, E,F, F quatre ensembles tels que E Eet F F.Considrons f : E F et f : E F.On dit que f prolonge f si

x E,

f(x) = f(x)

Exemple Le module complexe est un prolongement de la valeur absolue.Lexponentielle complexe est un prolongement de lexponentielle relle.

DfinitionSoient f : E F, A Eet B F vrifiant

x A, f(x) B

On appelle restriction de f de A vers B lapplication

g :A B

x g(x) = f(x)

Remarque La conditionx A, f(x) B

(i.e. f(A) B ) assure la bonne dfinition de lapplication g.



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2.3. LES ENSEMBLES FINIS

Exemple La restriction de la fonction sinus au dpart de [/2, /2] et valeurs dans [1, 1] estbijective.

Exemple La restriction dune application injective est injective.

Remarque Soient f : E F et A E.Lapplication restreinte

A Fx f(x)

est appele restriction de f A (au dpart) et est note fA.Soient f : E F et B F telle que Imf B.

Lapplication restreinte E Bx f(x)

est appele restriction de f larrive dans B.Gnralement on la note encore f.

Exemple La restriction dune application larrive dans Imf est surjective.

Exemple La restriction dune application injective larrive dans Imf est bijective.

2.3 Les ensembles finis

2.3.1 Equipotence densembles

DfinitionOn dit quun ensemble Eest quipotent un ensemble F sil existe une bijection de Evers F.On note alors E F.

Proposition

E E,E F F E,E F et F G E G.

dm. :Puisque IdE est une bijection de Evers E, E E.Puisque lapplication rciproque dune bijection de Evers F est une bijection de F vers E,

E F F E



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Puisque la compose dune bijection de E vers F par une bijection de F vers G est un bijection de Evers G,

E F et F G E G

Exemple {a,b,c} et {1, 2, 3} sont quipotents via la bijection f dfinie par f(a) = 1, f(b) = 2 etf(c) = 3.

Exemple N et N sont quipotents via la bijection s : n n + 1.

Exemple N et Z sont quipotents via la bijection

n n/2 si n pair(n + 1)/2 sinonExemple On peut montrer que N et N2 sont quipotents.On peut montrer que N et Q sont quipotents.On peut montrer que N et R ne le sont pas.

Dfinition

Un ensemble est dit dnombrable sil est quipotent N.

Exemple N, N

, Z, N2 et Q sont dnombrables, R ne lest pas.

2.3.2 Cardinal dun ensemble

DfinitionPour n N, on note

Nn = [[1, n]] = {1, 2,...,n} et N0 =

ThormeSoient n, p

N.

Sil existe une injection de Np dans Nn alors p n.Sil existe une surjection de Np sur Nn alors p n.Sil existe une bijection de Np vers Nn alors p = n.

dm. :La proprit relative lexistence de bijection deNp versNn dcoule immdiatement des deux prcdentes,il ne reste qu tablir celles-ci. . .Par rcurrence sur p N, montrons que pour tout n N, sil existe une injection de Np dans Nnalors p n.



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Pour p = 0, la proprit p n est vrifie.Supposons la proprit tablie au rang p 0.Supposons quil existe une injection f de Np+1 dans Nn pour un certain n N.A partir de celle-ci construisons une injection g de Np+1 dans Nn vrifiant g(p + 1) = n.Si f(p + 1) = n alors g = f convient.Si f(p + 1) = n introduisons lapplication de Nn dans lui-mme qui a pour seul effet dchanger leslments n et f(p + 1). Lapplication est clairement bijective. Considrons ensuite g = f. Parcomposition dapplications injectives, g est injective et par construction g(p + 1) = (f(p + 1)) = n.Nous sommes donc parvenu construire une application g comme voulue. Exploitons celle-ci.Considrons lapplication h : Np Nn1 dfinie par h(x) = g(x) pour tout x Np.Comme g est injective, n ne peut avoir dautres antcdents que p + 1 par g et lapplication h ci-dessusest bien dfinie valeurs dans Nn1.De plus g tant injective, h : Np Nn1, qui est une restriction de g, lest aussi.On peut alors appliquer lhypothse de rcurrence pour conclure p n 1 i.e. p + 1 n.Rcurrence tablie.Etudions maintenant les surjections de Np sur NnSupposons quil existe une surjection f de Np sur Nn. A partir de celle-ci, nous allons construire uneinjection de Nn dans Np ce qui permettra de conclure.Pour chaque y Nn, on peut dire que lensemble f1({y}) est non vide car f est surjective.Considrons alors xy un lment quelconque de cet ensemble (par exemple xy = min(f

1({y})) ).Considrons ensuite lapplication g : Nn Np dfinie par g(y) = xy pour tout y Nn et montronsquelle est injective.Pour tout y Nn, f(g(y)) = f(xy) = y car xy est un antcdent de y ; ainsi f g = IdNn . Lapplicationf g tant injective, lapplication g lest aussi. On peut donc conclure lexistence dune injection de Nndans Np et par ltude qui prcde on a n p.

DfinitionOn dit quun ensemble Eest fini sil existe n

N tel que i E

Nn.

En vertu du thorme ci-dessus, cet entier n est unique, on lappelle cardinal de Eet on le noteCard E (ou |E| , #E )Lorsquun ensemble Enest pas fini, on dit quil est infini et on pose Card E = +.

Exemple CardNn = n,CardN = +,Card {0, 1,...,n} = n + 1,Pour a b Z, Card [[a, b]] = b a + 1.

Exemple Card = 0,Card {a} = 1 etCard {a, b} = 1 si a = b2 sinon .Remarque Soit Eun ensemble fini.Si Card E = 0 alors E = .Si CardE = n N alors il existe une bijection : Nn E.Pour tout 1 i n, posons xi = (i).Comme est injective, les x1,...,xn sont deux deux distincts.



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avec des xi deux deux distincts.Posons

E =

{x1,...,xn

}On a Card E = n.Soit A une partie de E.Si xn+1 / A alors A est une partie de E et elle donc finie par hypothse de rcurrence.Si xn+1 A. Posons A = A\ {xn+1}. A est une partie de E, donc par hypothse de rcurrence A estfinie et puisque A = A {xn+1}, A lest aussi car runion de deux ensembles finis disjoints.Rcurrence tablie

CorollaireSoit A une partie dun ensemble fini E.

CardCEA = CardE CardA

CardA CardEavec galit si, et seulement si, A = E

dm. :Eest la runion des deux parties A et CEA qui sont disjointes et finies.On en dduit

CardA + CardCEA = CardE

Puisque CardCEA 0, on obtient CardA CardE avec galit si, et seulement si, CardCEA = 0 i.e.CEA = ce qui correspond au cas A = E.

Remarque Il est frquent dtablir lgalit de deux ensembles pas une inclusion et une galit decardinaux (finis).

ThormeSoient A et B deux ensembles.Si A et B sont finis alors A B lest aussi et

Card(A B) = CardA + CardB Card(A B)

dm. :On peut crire A B = A (B\A) avec les ensembles A et B\A finis et disjoints.On en dduit que A B est un ensemble fini et

Card(A B) = CardA + Card(B\A)

On peut aussi crire B = (B\A) (A B) avec les ensembles B\A et A B finis et disjoints.On en dduit

CardB = Card(B\A) + Card(A B)puis la relation propose.



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CorollaireSoit (Ai)iI une famille finie densembles.

Si tous les Ai sont des ensembles finis est fini alorsn

i=1Ai lest aussi etCard

ni=1

Ai ni=1

CardAi

2.3.4 Applications entre ensembles finis

ThormeSoient Eet F deux ensembles finis.Sil existe une injection de Edans F alors CardE CardF.

Sil existe une surjection de Esur F alors CardE CardF.Sil existe une bijection de Evers F alors CardE = CardF.

dm. :Posons p = CardEet n = CardF.Il existe : Np Eet : Nn F bijectives.Sil existe une injection f de Evers F alors (1 f ) : Np Nn est injective et donc p n.Sil existe une surjection f de Evers F alors (1 f ) : Np Nn est surjective et donc p n.Sil existe une bijection f de Evers F alors (1 f ) : Np Nn est bijective et donc p = n.

Proposition

Soient Eet F deux ensembles et f : E F.Si A est une partie finie de Ealors f(A) est une partie finie de F et

Cardf(A) CardA

De plus Cardf(A) = CardA si f est injective.

dm. :Posons n = CardA.Si n = 0 alors A = et f(A) = : okSi n = 0, crivons A = {x1,...,xn} avec des xi deux deux distincts.On a alors f(A) = {f(x1),...,f(xn)} et donc f(A) est un ensemble fini avec Cardf(A) n.Si de plus f est injective, les f(xi) sont deux deux distincts et donc Cardf(A) = n.

ThormeSoient Eet F deux ensembles finis tels que

CardE = CardF

Toute application injective de Edans F est bijective.Toute application surjective de Esur F est bijective.

dm. :Soit f : E F une application injective.



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2.4. DNOMBREMENT

On a f(E) F et Cardf(E) = CardE = CardF donc f(E) = F.Par suite f est surjective puis bijective.Soit f : E F une application surjective.Par labsurde, si f nest pas injective alors il existe x, x E tels que x = x et f(x) = f(x).On a alors f(E\ {x}) = f(E) = F car f est surjective et f(x) = f(x).Or Cardf(E\ {x}) < CardEdo CardF < CardE. Cest absurde.

CorollaireSoit Eun ensemble fini et f : E E.On a quivalence entre :(i) f est bijective ;(ii) f est injective ;(iii) f est surjective.

Attention : Ces rsultats ne valent que pour les ensembles finis.

2.4 Dnombrement

2.4.1 Principe des bergers

ThormeSoient Eun ensemble, F un ensemble fini et : E F.Sil existe p N tel que chaque y F possde exactement p antcdents par alorslensemble Eest fini et

CardE = p.CardF

dm. :Si F = alors il ny a quune seule application valeurs dans F, cest lapplication vide qui est au dpartde E = . La proprit est vraie.Si F = , posons n = Card F.On peut crire F = {y1,...,yn} avec les yi deux deux distincts.Posons, pour tout 1 i n, Ai =

1({yi}).Par hypothse, chaque partie Ai est finie et CardAi = p.

Puisque les parties Ai sont deux deux disjointes et queni=1

Ai = E, on peut affirmer que Eest finie et

CardE =

ni=1

CardAi = np

2.4.2 Dnombrement

Pour dnombrer le nombre dobjets construits par une dmarche :- on multiple lorsque passe dune tape ltape suivante dans la construction;- on somme lorsquil y a une alternative strice dans la construction.



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Exemple Combien y a-t-il de couples (x, y) {2, 1, 0, 1, 2}2 tels que xy 0 :Couples solutions avec x = 0 :5 choix de y et autant de possibilits.

Couples solusions avec x > 0 :2 choix de x et 3 choix de y, soit 6 possibilits.Couples solutions avec x < 0 :2 choix de x et 3 choix de y, soit 6 possibilits.Au total : 5 + 6 + 6 = 17 possibilits.

2.4.3 Produit cartsien

ThormeSi Eet F sont deux ensembles finis alors E F lest aussi et

CardE F = CardE CardF

dm. :Considrons : E F F dfinie par (x, y) = y.Tout lment y de F possde exactement CardEantcdents par et le principe de bergers appliqu permet de conclure.

CorollaireSoient E1,...,En une liste densembles finis.

n

i=1Ei = E1 ... Enest fini et

Cardni=1

Ei =ni=1

CardEi

dm. :

Par rcurrence, en observant quen+1i=1

Ei nest pas trs diffrent deni=1

Ei En+1. . .

Exemple Si Eest un ensemble fini et n N alors En est fini et CardEn = (CardE)n.

2.4.4 Dnombrement

Pour dnombrer le nombre dobjets construits par une dmarche :- on multiple lorsque passe dune tape ltape suivante dans la construction ;- on somme lorsquil y a une alternative strice dans la construction.

Exemple Combien y a-t-il de couples (x, y) {2, 1, 0, 1, 2}2 tels que xy 0 :Couples solutions avec x = 0 :



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Pour A partie de E, considrons son application caractristique

A :E {0, 1}x 1 si x A0 sinon

Lapplication A A ralise une bijection de P(E) vers {0, 1}E.Il y a 2n applications de Edans {0, 1} do le rsultat.

Remarque Dmonstration par dnombrementPour construire une partie A dun ensmbre E = {x1, . . . , xn} avec x1, . . . , xn deux deux distintcs :- on choisit si x1 A ou non : 2 possibilits ;- on choisit si x2 A ou non : 2 possibilits ;. . .- on choisit si xn A ou non : 2 possibilits.Au total, il y a 2n possibilits de construction et autant parties de E.

2.4.7 Permutation

Thorme

Il y a exactement n! bijections entre deux ensembles finis n lments.

dm. :Par rcurrence sur n

N.

Pour n = 0 : 0! = 1Il nexiste quune application de vers , cest lapplication vide, qui est bijective.Supposons la proprit tablie au rang n 0.Soit Eet F deux ensembles n + 1 lments.Notons Bij(E, F) lensemble des bijections de Evers F.Soit a Eet : Bij(E, F) F dfinie par (f) = f(a).Tout b F, les antcdents de b par correspondent aux applications bijectives de E\ {a} vers F\ {b}.Par hypothse de rcurrence, il y en a n!.Par le principe des bergers,

Card(Bij(E, F)) = (n + 1)!

Rcurrence tablie.

Remarque Dmonstration plus simple :Pour construire une permutation de E = {x1, . . . , xn} avec x1, . . . , xn deux deux distincts vers F nlments :- on choisit f(x1) dans F : n possibilits ;- on choisit f(x2) dans F\ {f(x1)} : n 1 possibilits ;. . .- on choisit f(xn) dans F\ {f(x1), . . . , f (xn1)} : 1 possibilit.Au final, il y a n! possibilits de construction et autant de bijection de Evers F.



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2.4. DNOMBREMENT

Corollaire

Si Eest un ensemble fini alorsS(E) est fini et CardS(E) = (CardE)!.

2.4.8 Coefficients combinatoires

2.4.8.1 Dfinition

DfinitionSoient n N et p Z. On appelle coefficient combinatoire p parmi n le nombre

n

p

=

n!

p!(n p)! si 0 p n0 sinon

Exemplen

0

= 1,

n1

= n,

n2

=

n(n 1)2

,n

3

=

n(n 1)(n 2)3 2 ,...,

nn

= 1.

Proposition

n N, p Z,

n

p

=

n

n p

.

dm. :Les cas p < 0 ou p > n sont immdiats.Pour 0 p n,

nn p

= n!(n p)!(n (n p))! = n!(n p)!p! = np

Thorme

n N, p Z,

n

p

+

n

p + 1

=

n + 1

p + 1

.

dm. :Cas 0 p n 1

np+ np + 1 = n!p!(n p)! + n!(p + 1)!(n p 1)=

n!(p + 1 + n p)(p + 1)!(n p)! =

(n + 1)!

(p + 1)!(n p)! =

n + 1

p + 1

Cas p = n n

n

+

n

n + 1

= 1 + 0 = 1 =

n + 1

n + 1



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2.4. DNOMBREMENT

Proposition

n N, p Z, p

n

p

= n

n 1p

1

.

dm. :Cas 1 p n

p

n

p

= p

n!

p!(n p)! = n(n 1)!

(p 1)!(n p)! = n

n 1p 1

Cas p = 0

0

n

0

= 0 = n 0 = n

n 11

Cas p < 0 ou p > n

pn

p = p 0 = n 0 = nn 1p 1

Remarque On retient n

p

=

n

p

n 1p 1

2.4.8.2 Nombre de combinaisons

DfinitionSoit Eun ensemble et p N.On appelle combinaison de p lments de E toute partie de E p lments.

ThormeSoit Eun ensemble fini n N lments et p Z.Il y a exactement

n

p

combinaisons possibles de p lments de E.

Autrement dit : il y a exactement

n

p

parties p lments dans un ensemble n lments.

dm. :

Par rcurrence sur n N.Pour n = 0 : lensemble vide ne possde quune partie qui est lensemble vide.

Ceci est cohrent avec

0

0

= 1 et

0

p

= 0 pour p = 0.

Supposons la proprit tablie au rang n 0.Soit Eun ensemble fini n + 1 lments et p {0, 1, . . . , n + 1}.Si p < 0 ou p > n, il nexiste pas de parties de E p lments et

n

p

= 0.



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Si p = 0, il nexiste quune partie de E 0 lment (cest lensemble vide) et

n

0

= 1.

Sinon, considrons a

Efix.

Il y an

p

parties p lments de Ene contenant pas a et

np 1

parties contenant a donc il y a

n

p

+

n

p 1

=

n + 1

p

parties p lments dans E.Rcurrence tablie

Remarque Il y a dans Ede cardinal n, autant de parties p lments que de parties n p lments

np = n

n p

Cette proprit peut tre jusitifi par la bijectivit du passage au complmentaire qui change les parties p lments avec celles n p lments.

Proposition

n N,n

p=0

n

p

= 2n.

dm. :

Si CardE = n alorsCardP(E) = 2n

Or toute partie de E est constitue dun nombre p dlments avec 0 p n et il existe

n

p

parties

de E p lments.Par suite

np=0

n

p

= CardP(E) = 2n

Exemple Pour n N, calculonsn

p=0

p

n

p

.

np=0

p

n

p

=

np=1

p

n

p

=

np=1

n

n 1p 1

= n

n1q=0

n 1

q

= n2n1



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2.4. DNOMBREMENT

2.4.8.3 Formule du binme de Newton

Thorme

a, b C, n N, (a + b)n =nk=0

nk ankbk.

dm. :Par rcurrence sur n N.Pour n = 0, la proprit est immdiate sachant que a C, a0 = 1 (mme pour a = 0. . . )Supposons la proprit tablie au rang n 0.

(a + b)n+1 = (a + b)n(a + b)

Par hypothse de rcurrence

(a + b)n+1 = n

k=0n

k ankbk (a + b) =n

k=0n

k an+1kbk +n

k=0n

k ankbk+1Par dcalage dindice, on peut rcrire la deuxime somme

nk=0

n

k

ankbk+1 =

n+1k=1

n

k 1

an+1kbk

En adjoignant un terme nul chacune des deux sommes

(a + b)n+1 =n+1k=0

n

k

an+1kbk +

n+1k=0

n

k 1

an+1kbk

En combinant les deux sommes en une seule

(a + b)n+1 =n+1k=0

n

k

+

n

k 1

an+1kbk =n+1k=0

n + 1

k

an+1kbk

en vertu de la formule du triangle de Pascal.Rcurrence tablie.

Remarque On peut aussi noncer :

(a + b)n = (b + a)n =

nk=0

n

k

akbnk

Ainsi rapparat la symtrie entre a et b.

Exemple (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.En changeant b en b :(a b)2 = a2 2ab + b2(a + b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3



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Exemple Pour tout x R,(1 + x)n =

n

k=0

n

k

xk

Pour x = 1, on obtientnk=0

n

k

= 2n


n

k

(1)k = 0n =

0 si n N1 si n = 0

Pour x = 2,nk=0

n

k

2k = (1 + 2)n = 3n

En drivant la relation initiale

n(1 + x)n1 =nk=1

knk xk1


k

n

k

=

nk=1

k

n

k

= n2n1

En drivant

nx(1 + x)n1 =nk=1

k

n

k

xk

puis en valuant en x = 1, on obtientn

k=0k2n

k = n(n + 1)2n2Exemple Soient n,p,q N tels que n p + q. Montrons

nk=0

p

k

q

n k

=

p + q

n

Exploitons la relation

(1 + x)n =

nk=0

n

k

xk :

- le coefficient de xn dans (1 + x)p+q est

p + qn

- le coefficient de xn dans le dveloppement de (1 + x)p(1 + x)q est

nk=0

p

k

q

n k

Par identification des coefficients dune fonction polynomiale, on obtient la relation propose.



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2.4. DNOMBREMENT



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Chapitre 3

Ensemble ordonn

3.1 Relation dordre


3.1.1 Dfinition

DfinitionOn appelle relation binaire R sur Etoute proprit vraie pour certain couples (x, y) dlmentsde Eet fausse pour les autres.Lorsquun couple (x, y) vrifie la relation R, on crit xRy. Sinon, on crit xRy en barrantle R.

Exemple Lgalit est une relation binaire sur Enote =.

Exemple Sur E = R, la relation infrieur ou gal est une relation binaire note .

Exemple SurP

(E), linclusion est une relation binaire note

.

Exemple Sur E = R, on dfinit une relation binaire R par :

xRy sin xy = yex+y2

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3.1. RELATION DORDRE

DfinitionSoit R une relation binaire sur E.On dit que R est rflexive si

x E, xRxOn dit que R est symtrique si

x, y E, xRy yRx

On dit que R est antisymtrique si

x, y E, xRy et yRx x = y

On dit que R est transitive si

x,y,z E, xRy et yRz xRz

Exemple Sur E, lgalit est la fois rflexive, symtrique, antisymtrique et transitive.

Exemple Sur E, la relation = est symtrique. Elle nest ni rflexive ni transitive.

Exemple Sur E = R,xRy sin x = sin y

dfinit une relation rflexive, symtrique et transitive.

DfinitionUne relation binaire la fois rflexive, symtrique et transitive est appele une relationdquivalence.

Exemple Lgalit est une relation dquivalence sur E.

Exemple Sur E = R,xRy sin x = sin y

dfinit une relation dquivalence.

DfinitionOn appelle relation dordre sur un ensemble E, toute relation binaire la fois rflexive,antisymtrique et transitive.A dfaut dautres notations, une relation dordre est usuellement note dfaut dautresnotations.



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CHAPITRE 3. ENSEMBLE ORDONN

Exemple La relation est une relation dordre sur R.

Exemple Linclusion est une relation dordre P(E).

Exemple On dit que m N divise n N, et note m | n, sil existe k N tel que n = mk.| est une relation dordre sur N.

Exemple La relation R sur P(E) dfinie parARB CardA CardB

nest pas une relation dordre : cette relation nest pas antisymtrique

3.1.2 Ensemble ordonnDfinition

On appelle ensemble ordonn tout couple (E, ) form dun ensemble E et dune relationdordre sur E.

Exemple (R,), (P(E), ) et (N, |) sont des ensembles ordonns.

DfinitionSoit (E,) un ensemble ordonn.On appelle ordre inverse associ , la relation dfinie par :

x y

y x

Remarque est aussi une relation dordre sur E.

Exemple et sont les ordres inverses sur et .

DfinitionSoit (E, ) un ensemble ordonn.On appelle ordre strict associ la relation dfinie par :

x y x y et x = y.

Remarque nest pas une relation dordre car non rflexive.

Exemple < et sont les ordres stricts associs et .



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3.1. RELATION DORDRE

3.1.3 Ordre total, ordre partiel

Dfinition

Soit (E, ) un ensemble ordonn.Deux lments x et y de Esont dits comparables si x y ou y x.

Exemple Dans (R,), tous les rels sont deux deux comparables.

Exemple Dans (N, |), 2 et 3 ne sont pas comparables.

DfinitionSoit (E, ) un ensemble ordonn.On dit que lordre est total si tous les lments de E sont deux deux comparables. On dit

alors que (E,) est un ensemble totalement ordonn.Sinon, on parle dordre partiel et densemble partiellement ordonn.

Exemple (R,) est un ensemble totalement ordonn.

Exemple (N, |) est un ensemble partiellement ordonn.

Exemple Si Econtient au moins deux lments distincts a et b alors (P

(E),

) est un ensemble quinest que partiellement ordonn; en effet {a} et {b} ne sont pas comparables.

3.1.4 Deux relations dordre surR2

Exemple Sur R2, on dfinit une relation binaire par :

(x, y) (x, y) x x et y y

Cest une relation dordre sur R2.En effet :

Puisque x = x et y = y, on a (x, y) (x, y) ; la relation est rflexive.Si (x, y) (x, y) et (x, y) (x, y) alors x x, y y et x x, y y. On en dduit x = x ety = y donc (x, y) = (x, y) ; la relation est antisymtrique.Si (x, y) (x, y) et (x, y) (x, y) alors x x, y y et x x, y y. On en dduit x x

et y y donc (x, y) (x, y) ; la relation est transitive.La relation dordre ainsi dfinie nest que partielle. En effet les couples (0, 1) et (1, 0) ne sont parcomparables.



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Exemple Sur R2, on dfinit une relation binaire par :

(x, y) (x, y) x < x ou (x = x et y y)

Montrons quil sagit dune relation dordre total.La relation est videmment rflexive. Pour obtenir son antisymtrie et sa transitivit, remarquons que :- si (x, y) (x, y) alors x x ;- si (x, y) (x, y) et x = x alors y y.Ainsi, si (x, y) (x, y) et (x, y) (x, y), on a x x et x x donc x = x puis sachant(x, y) (x, y) et (x, y) (x, y) avec x = x, on a y y et y y donc y = y. Au final(x, y) = (x, y) ; la relation est antisymtrique.Aussi, si (x, y) (x, y) et (x, y) (x, y), on a x x et x x donc x x.Si x < x, on peut directement conclure (x, y) (x, y).Sinon, x = x puis par encadrement x = x = x. Sachant (x, y) (x, y) et (x, y) (x, y) avecx = x et x = x, on a y y et y y donc y y et on obtient encore (x, y) (x, y). Ainsi larelation est transitive.

De plus, cette relation dfinit un ordre total puisque pour deux couples (x, y), (x, y) :si x < x alors (x, y) (x, y) ;si x < x alors (x, y) (x, y) ;si x = x alors, selon y y ou y < y, on a (x, y) (x, y) ou (x, y) (x, y).Finalement, dans tous les cas, les couples (x, y), (x, y) sont comparables.

Remarque Plus gnralement, si (E,) et (F,) sont deux ensembles ordonns, les deux dmarchesqui prcdent permettent de dfinir des relations dordre sur le produit cartsien E F. Pour lordreproduit, on obtient a priori un ordre partiel, pour lordre lexicographique, on obtient un ordre total si lesrelations dordre sur Eet F sont totales.On peut aussi gnraliser ce qui prcde un produit cartsien de plusieurs ensembles ordonns.

3.2 Relation dordre et sous ensembles

3.2.1 Partie minore, partie majore

Soit (E,) un ensemble ordonn et A une partie de E.

DfinitionOn appelle majorant de A (resp. minorant), sil en existe, tout lment M E tel que a A, a M (resp. M a ).On note Majo(A) (resp. Mino(A) ) lensemble de ces lments.

Remarque Un majorant/minorant doit pouvoir tre compar tout lment de la partie.

Exemple Dans (R,).Pour A = ]0, 1] [2, 3], Majo(A) = [3, +[ et Mino(A) = ], 0].Pour A = N, Majo(A) = et Mino(A) = R.



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3.2. RELATION DORDRE ET SOUS ENSEMBLES

Exemple Dans (N, |) :Pour A = {4, 6}, Majo(A) = {12, 24, 36, . . .} et Mino(A) = {1, 2}.Pour A = {12, 18}, Majo(A) = {36, 72, . . .} et Mino(A) = {1, 2, 3, 6}.

Exemple Dans (P(E), ) avec E = {a,b,c,d}.Pour A = {{a, b} , {b} , {a, c}} : Majo(A) = {{a,b,c} , E} et Mino(A) = {}.

DfinitionLa partie A est dite majore (resp. minore) si elle possde un majorant (resp. minorant). Unepartie est dite borne si elle est majore et minore.

Exemple Les segments de R sont des parties bornes.

Exemple Dans (N

, |), toute partie est minore par 1.

Exemple Dans (P(E), ), toute partie est majore par Eet minore par .

3.2.2 Extremum dune partie

Soit (E,) un ensemble ordonn et A une partie de E.

DfinitionOn appelle plus grand lment de A (resp. plus petit lment), sil en existe, tout lmentM A tel que

a A, a

M (respectivement M

a ).

Remarque Un plus grand lment est un majorant qui appartient la partie.

Proposition

Si A admet un plus grand lment (resp. plus petit lment) celui-ci est unique.On le note

max(A) (respectivement min(A) )

dm. :

Soient M, M deux plus grands lments de A.On peut crire M M car M majore A et M A mais aussi par symtrie M M.Par lantisymtrie de la relation , on obtient M = M.

Exemple Dans (R,).Pour A = [0, 1[, min(A) = 0 et max(A) nexiste pas.Pour A = {1/n/n N} = {1, 1/2, 1/3, . . .}, max(A) = 1 et min(A) nexiste pas.



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3.2.3 Proprits fondatrices des ensembles de nombres entiers

On considre la relation sur N ou Z :- toute partie non vide de N admet un plus petit lment ;- toute partie non vide et majore de N admet un plus grand lment.Par extension :- toute partie non vide et minore de Z possde un plus petit lment ;- toute partie non vide et majore de Z possde un plus grand lment.

Exemple Soit n N. Montrons quil existe un plus grand p N tel que 2p | n.Considrons

A = {p N/2p | n}A est une partie non vide de N car p = 0 A puisque 20 = 1 divise n.Pour tout p A, 2p n donc p log2 n. On en dduit que la partie A est majore par E(log2 n) + 1.Puisque A est une partie de N non vide et majore, A possde un plus grand lment.

Proposition

Soit E N.Si 0 Eet si lon a la proprit p N, p E p + 1 Ealors E = N.

dm. :Soit m N.Pour montrer que m Econsidrons

A = {n N/n Eet n m}

A admet un plus grand lment p.Comme p A on a p Eet p m.Comme p Eon a p + 1 E.Or p + 1 / A donc p + 1 > m do p m < p + 1.Ainsi p = m et puisque p Eon a m E.FinalementN Epuis E = N.

ThormeSoient n0 N et P(n) une assertion dpendant dun entier n n0.Si1) P(n0) est vraie et2) n n0, P(n) vraie P(n + 1) vraiealorsn n0, P(n) est vraie.

dm. :On applique le principe de rcurrence lensemble

E = {p N/P(n0 +p) est vraie}



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ThormeSoient n0 N et P(n) une assertion dpendant dun entier n n0.Si

1) P(n0) et P(n0 + 1) sont vraies et2) n n0, ( (P(n) et P(n + 1) vraies) P(n + 2) vraiealorsn n0, P(n) est vraie.

dm. :On applique le principe de rcurrence lassertion Q(n) = P(n) et P(n + 1) vraies

Exemple Soit (un) une suite relle telle queu0 = 0, u1 = 1

n N, un+1 = 2un un1Montrons que n N, un = n.On procde par rcurrence double. . .Pour n = 0 et n = 1 : la proprit un = n est vraie.Supposons un = n et un+1 = n + 1 pour un rang n 0.Par dfinition de la suite (un), on a

un+2 = 2un+1 un = 2(n + 1) n = n + 2Rcurrence tablie.

Remarque La rcurrence double peut videmment tre gnraliser aux rcurrences triples,quadruples,. . . On parle ici de rcurrence multiple. Pour que celles-ci senchanent correctement, ilconviendra de vrifier une initialisation suffisante.

ThormeSoient n0 N et P(n) une assertion dpendant dun entier n n0.Si1) P(n0) est vraie et2) n n0 ; (P(n0), . . . , P(n) vraies) P(n + 1) vraie.alors n n0, P(n) est vraie.

dm. :On applique la rcurrence simple lassertion Q(n) = n0 k n, P(k) vraie .

Exemple Soit (un) RN telle quen N, un+1 = u0 + u1 + ... + un

Montrer quen N, un = 2n1u0

Procdons par rcurrence forte sur n N. . .



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Pour n = 1, u1 = u0 = 20u0, la proprit est vraie.

Supposons la proprit vraie jusquau rang n 1.On a alors

un+1 = u0 + 20

u0 + 21

u1 + + 2n1

un

Par sommation gomtrique

un+1 = u0 + u01 2n1 2 = u0 + (2

n 1)u0 = 2nu0

Rcurrence tablie.

ThormeSoient n0, n1 N tels que n0 n1 et P(n) une assertion dpendant dun entier n0 n n1.Si1)

P(n0) est vraie et

2) n0 n < n1 on a P(n) vraie P(n + 1) vraiealors n0 n n1, P(n) est vraie.

dm. :On applique la rcurrence simple Q(n) = P(n) vraie ou n > n1 .

Remarque Dans le cadre de la rcurrence finie, on peut aussi envisager des rcurrences descendantes.

3.2.4 Borne suprieure, borne infrieure

Soit (E,) un ensemble ordonn et A une partie de E.Dfinition

On appelle borne suprieure de A, si elle existe, le plus petit des majorants de A. On lanote sup A.On appelle borne infrieure de A, si elle existe, le plus grand des minorants de A. On lanote infA.Sous rserve dexistence :

sup A = min(Majo(A)) et infA = max(Mino(A))

Exemple Dans (R,) :Pour A = [0, 1[, on a Majo(A) = [1, +[ et Mino(A) = ], 0] donc sup A et infA existent avecsup A = 1 et infA = 0.Pour A = ], 1], on a Majo(A) = [1, +[ et Mino(A) = donc sup A existe et sup A = 1. Enrevanche infA nexiste pas.

Attention : sup A et infA, lorsquils existent, ne sont pas a priori des lments de A.Cependant :



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Proposition

Si A admet un plus grand lment alors A admet une borne suprieure et sup A = max A.Si A admet un plus petit lment alors A admet une borne infrieure et infA = min A.

dm. :Supposons : A admet un plus grand lment M.M est un majorant de A et pour tout majorant M de A, on a M M puisque M A.Par suite M est le plus petit des majorants de A, cest sa borne suprieure.

Attention : sup A existe max A existe.En revanche : sup A existe et sup A A max A = sup A.

3.2.5 Proprits fondatrices des nombres rels

Par construction de la droite relle :- toute partie non vide et majore de R admet une borne suprieure ;- toute partie non vide et minore de R admet une borne infrieure.

Remarque Lensemble Q ne possde pas cette proprit.Par exemple la partie A =

r Q/r2 2, qui est non vide et majore, na pas de borne suprieure

dans Q ; en effet

2 / Q.

Remarque Pour manipuler correctement sup A on retient :- si A est une partie non vide et majore de R alors sup A existe;

- sup A est caractrise par :a) sup A est un majorant de A,b) tout majorant de A est suprieur sup A.

Exemple Soit

A =

1

n/n N

=

1,

1

2,

1

3,...

Dterminons sup A et infA.La partie A admet un plus grand lment donc sup A = max A = 1.La partie A est une partie de R non vide et minore par 0.On en dduit que infA existe et infA 0.De plus, puisque infA minore A , on a la proprit :

n N, 1/n infA

En passant la limite quand n +, on obtient 0 infA.On conclut infA = 0.



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Exemple Soient A et B deux parties non vides et bornes de R telles que A B.Montrons

infB infA sup A sup B

Puisque les parties A et B sont des parties de R non vides, minores et majores, on est assur delexistence des bornes proposes.Pour tout x A, on a x B car A B. Or la partie B est majore par sup B donc x sup B. Ainsisup B est un majorant de la partie A. Or par dfinition sup A est le plus petit des majorants de A doncsup A sup B.Par un raisonnement symtrique, on obtient aussi infB infA.Enfin, en considrant un lment a A, on peut affirmer infA a et a sup A donc infA sup A.

DfinitionSi A est une partie de R non vide et non majore, on pose sup A = +.Si

Aest une partie de

Rnon vide et non minore, on pose

infA = .

Si A = , on pose sup A = et infA = +.

Exemple Si I est un intervalle non vide, ses extrmits dans R correspondent infI et sup I.

ThormeSoit A une partie non vide de R.Il existe une suite (un) AN telle que un sup A R.Il existe une suite (vn) AN telle que vn infA R.

dm. :

Supposons sup A = +.Pour tout n N, n nest pas majorant de A donc il existe a A tel que a > n.Posons un = a. En faisant varier n, ce qui prcde dfinit une suite (un) AN qui par comparaison tendvers + puisque un > n pour tout n N.Supposons M = sup A R.Pour tout n N, M1/(n + 1) nest pas majorant de A donc il existe a A tel que M1/(n + 1) a,de plus a M. Posons un = a.En faisant varier n, ce qui prcde dfinit une suite (un) AN qui par le thorme des gendarmes tendvers M.

Exemple Soient A et B deux parties non vides de R telles que

a A, b B, a b

Montrons sup A infB.Soient (an)

N et (bn) BN telles que an sup A et bn infB.Pour tout n N, an bn car an A et bn B.En passant cette comparaison la limite, on obtient sup A infB.



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3.3. FONCTIONS ET RELATION DORDRE

3.3 Fonctions et relation dordre

Les dfinitions qui suivent, prsentes dans un cadre gnral, sappliqueront en particulier aux fonctions

valeurs relles et aux suites de nombres rels.3.3.1 Comparaison de fonction

Soient Eun ensemble et (F,) un ensemble ordonn

DfinitionOn dfinit une relation binaire note sur F(E, F) par :

f g x E, f(x) g(x)

Exemple Soient f, g : E R.f g

x

E, f(x) g(x)

Exemple Soient (un), (vn) RN.(un) (vn) n N, un vn

Proposition

est une relation dordre sur F(E, F).dm. :Pour tout x E, f(x) f(x) donc f f.Supposons f g et g f. Pour tout x E, f(x) g(x) et g(x) f(x) donc f(x) = g(x). Parsuite f = g.

Supposons f g et g h. Pour tout x E, f(x) g(x) et g(x) h(x) donc f(x) h(x). Parsuite f h.Puisque rflexive, antisymtrique et transitive la relations sur F(E, F) est une relation dordre.

Remarque Si Eet F contiennent tous deux au moins deux lments, on peut montrer que lordre nestque partiel.

3.3.2 Monotonie de fonctions

Soient (E,), (F,) et (G,) trois ensembles ordonns.

DfinitionOn dit que f : E F est croissante (resp. dcroissante) si

x, y E, x y f(x) f(y) (resp. x y f(y) f(x) )

On dit que f : E F est strictement croissante (resp. dcroissante) si

x, y E, x y f(x) f(y) (resp. x y f(y) f(x) )

On dit que f est monotone ssi f est croissante ou dcroissante.



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Exemple La fonction f : x [x, x] est une application croissante de (R+,) vers (P(R), )

Exemple La fonction f : R R dfinie par f(x) = x3 est strictement croissante.f est drivable, f(x) 0 et ne sannule quen x = 0.

Exemple La fonction f : R R dfinie par f(x) = 1/x nest pas dcroissante.En revanche, ses restrictions ], 0[ et ]0, +[ le sont.

Proposition

Soient f : E F et g : F G.Si f et g ont mme monotonie alors g f est croissante.Si f et g sont de monotonies contraires alors g

f est dcroissante.

dm. :Cest immdiat !

Exemple f : R R dfinie par f(x) = ln(ex + 1) est strictement dcroissante par composition demonotonie.

Remarque Par la dfinition qui prcde, une suite (un) EN est dite croissante si

n, m E, n m un umPlus efficacement, la monotonie de (un) studie en comparant un et un+1 grce au rsultat suivant :

Proposition

Soit (un)nN une suite dlments de E.La suite (un) est croissante (resp. dcroissante) si, et seulement si,

n N, un+1 un (resp. un+1 un )

La suite (un) est strictement croissante (resp. dcroissante) si, et seulement si,

n N, un+1 un (resp. un+1 un )

dm. :() ok() Supposons n N, un+1 un.Par rcurrence sur n N, on montre que pour tout 0 m n, on a um un.

Remarque Pour tudier la monotonie dune suite relle (un), on peut regarder le signe un+1 un.



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Exemple La suite (un) de terme gnral un =nk=1

1/k est croissante.

En effet

un+1 un = 1n + 1

0

Exemple Pour n N, posons In = [n, n].La suite (In)nN est une suite croissante de segments de R.En effet

n N, In In+1

Remarque Pour tudier la monotonie dune suite (un) de rels strictement positifs, on peut comparer lerapport un+1/un 1.

Exemple La suite de terme gnral

un =nk=1

1 1

2k2

est dcroissante.En effet, cette suite est form de termes strictement positifs (par produit de facteurs strictement positifs)et

un+1un

= 1 12(n + 1)2

< 1

donc un+1 < un.

3.3.3 Fonction minore, majore

Soient Eun ensemble, (F,) un ensemble ordonn.

DfinitionOn appelle majorant de f : E F, sil en existe, tout majorant de Imf i.e. tout lmentM F tel que

x E, f(x) MOn appelle minorant de f : E F, sil en existe, tout minorant de Imf i.e. tout lmentM F tel que

x E, f(x) M

La fonction f : E F est dite majore (resp. minore) si elle possde au moins un majorant(resp. minorant).Une fonction minore et majore est dite borne.

Exemple f : R R dfinie par f(x) = ex est minore, non majore.

Exemple un = sin en est le terme gnral dune suite (un) borne.



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3.3.4 Extremum dune fonction

Soient Eun ensemble et (F,) un ensemble ordonn.

DfinitionOn dit que f : E F admet un maximum en a Esi

x E, f(x) f(a)

f(a) apparat alors comme tant le plus grand lment de Imf, on lappelle valeur au maximumde f et on la note max f ou max

xEf(x).

On dit que f admet un minimum en a Esi

x E, f(x) f(a)

f(a) apparat alors comme tant le plus petit lment de Imf, on lappelle valeurs au minimumde f et on la note min f ou min

xEf(x).

On appelle extremum, un minimum ou un maximum dune fonction.

Exemple Soient a,b,c R avec a = 0.La fonction f : x ax2 + bx + c admet un extremum en b/2a.

3.3.5 Borne suprieure et borne infrieure dune fonction relle

Soit Eun ensemble.

DfinitionOn appelle borne suprieure de f : E R, si elle existe, la borne suprieure de Imf. On lanote

sup f ou supxEf(x)

On appelle borne infrieure de f : E R, si elle existe, la borne infrieure de Imf. On lanote

inff ou infxE

f(x)

Proposition

Si une fonction relle prsente un maximum (resp. un minimum) alors la valeur en celui-ci estaussi borne suprieure (resp. infrieure) de cette fonction.

Exemple supxR

ex = +

et infxR

ex = 0.

Exemple supnN

1

n= 1 et inf

nN1

n= 0.

Remarque Il est ais de dterminer les ventuels extrema et les bornes suprieure et infrieure dunefonction relle dune variable relle lorsquon connat sont tableau de variation.



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Exemple Etudions f : R R dfinie par

f(x) =1

x2

+ x + 1f est drivable et

f(x) = 2x + 1(x2 + x + 1)

Les variations de f sont donnes par

x 1/2 +f(x) + 0 f(x) 0 4/3 0

Sur ce tableau, on litsup f = max f = 4/3 et inff = 0



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Chapitre 4

Structures algbriques

On connat plusieurs additions (sur les nombres, les vecteurs, les suites, les fonctions,.. . ), ces additions

se ressemblent beaucoup bien quoprant sur des objets trs diffrents. . . Dans ce chapitre nous allons voiren quoi certaines oprations ont des proprits commune et plus gnralement on va isoler les propritscalculatoires des oprations sans sintresser la nature des objets quelles manipulent ; cest ce qui rendce chapitre assez abstrait. . .

4.1 Loi de composition interne


4.1.1 Dfinition

DfinitionOn appelle loi de composition interne (l.c.i.) ou opration sur E toute application de E Evers E. Lorsque lon convient de noter cette loi de composition interne, on note x y limage

du couple (x, y) par lapplication prcdente.Llment x y est appel compos de x par y via .Les lois de composition interne sont gnralement notes , , , +, , ,...

Exemple Laddition et la multiplication sur C sont des lois de composition interne.En effet (x, y) x + y et (x, y) xy sont des applications (bien dfinies) de CC vers C.

Exemple Lunion et lintersection sont des lois de composition interne sur P(E).

Exemple La composition des applications est une loi de composition interne sur

F(E, E).

DfinitionOn appelle magma tout couple (E, ) form dun ensemble E et dune loi de compositioninterne sur E.

Exemple (C, +), (C, ), (EE, ), (P(E), ), (P(E), ) sont des magmas usuels.

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4.1. LOI DE COMPOSITION INTERNE

4.1.2 Partie stable

Dfinition

On appelle partie stable dun magma (E, ) toute partie A de Evrifiantx, y A , x y A

Exemple Eet sont des parties stables de (E, ).

Exemple N, Z, Q et R sont des parties stables de (C, +) et (C, ).

Exemple S(E) est une partie stable de (F

(E, E),

) car la compose de deux permutations est une

permutation.

DfinitionSoit A une partie stable dun magma (E, ). Lapplication restreinte

A A A(x, y) x y

dfinit une loi de composition interne sur A appele loi de composition interne induite par sur A.On la note A, ou plus couramment , et on peut ainsi donner un sens au magma (A, ).

Exemple (N, +), (N, ), (Z, +), (Z, ), (Q, +), (Q, ), (R, +), (R, ) et (S(E), ) sont de nouveauxmagmas usuels.

Exemple On peut aussi donner un sens (R, ) mais pas (R, +) !

4.1.3 Proprits dune loi de composition interne

4.1.3.1 Commutativit

DfinitionSoit une loi de composition interne sur E. On dit que deux lments a et b de Ecommutentpour la loi si

a b = b a

Exemple Dans (C, +) et dans (C, ) tous les lments commutent deux deux.



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CHAPITRE 4. STRUCTURES ALGBRIQUES

Exemple Dans (F(E, E), ) ce nest plus le cas

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