Module Technologies Emergentes 1 Aide à la décision en finance 18 février 2003 Luca De Dominicis...

Module Technologies Emergentes 1

Aide à la décision en finance

18 février 2003

Luca De Dominicis (ECP 2001 - Politecnico di Milano)

22 Luca De Dominicis - 18 février 2003Aide à la décision en finance

A - Introduction

Présentation [email protected]

Mode de fonctionnement Rappels théoriques Etude de cas :

problème ouvert à plusieurs solutions recherche commune des solutions implémentation commune d’un Algorithme Génétique

Discussion ouverte sur l’application Objectifs

vous montrer une application réelle susciter votre intérêt stimuler votre réflexion vous faire poser des questions sur les technologies émergentes

Questions qui peut m’expliquer en deux mots le fonctionnement des AG ?


Plan de la présentation

A - Introduction

B - Rappel sur les Algorithmes Génétiques Introduction

Algorithme

Caractéristiques principales

Avantages et inconvénients

Nomenclature

C - Etude de cas Le problème

Les solutions

La solution par Algorithmes Génétiques

D - Conclusions


Rappel sur les Algorithmes Génétiques


B - Rappel sur les Algorithmes Génétiques

« How poor will be the results of man, compared

with those accumulated by Nature during whole

geological periods ! »

C. Darwin

Les algorithmes génétiques s’inspirent du fonctionnement

présumé du vivant, et plus spécifiquement des mécanismes

darwiniens de l’évolution, pour construire à partir d’une

population donnée (générée aléatoirement) un individu

meilleur au sens d’un critère prédéterminé.



L’idée fondamentale est la suivante : le pool génétique d’une

population donnée contient potentiellement la solution, ou

plutôt une meilleure solution, à un problème adaptatif donné.

Cette solution n’est pas exprimée car la combinaison

génétique sur laquelle elle repose est dispersée chez

plusieurs individus. Ce n’est que par l’association de ces

combinaisons génétiques au cours des croisements entre

individus que la solution pourra s’exprimer.

Les individus générés aléatoirement représentent donc

chacun un chromosome, chacun composé de gènes codés

en binaire. Les croisements entre chromosomes permettent

d’échanger les gènes et donc de créer des individus

nouveaux. Ces croisements se font de manière aléatoire,

mais de façon à permettre la convergence vers une solution

optimale.

Evaluation

Population initiale(Random)

Sélection

Opérateurs :- Croisement- Mutation

Fin ?

Résultats

n=n+1

Oui

Non



Les algorithmes génétiques sont une méthode de recherche de

maximum qui a les caractéristiques énumérées ci-dessus, notamment :

Ils traitent une fonction quelconque, la seule contrainte étant d’en

pouvoir calculer la valeur en tous les points du domaine de définition ;

Ils sont une méthode de recherche rapide : ils consentent d’arriver à

des résultats comparables à l’exploration exhaustive de l’espace de

définition en réduisant le temps de calcul de plusieurs ordres de

grandeur ;

Ils sont une méthode de recherche globale : tous les points de

l’espace de définition ont la même probabilité a priori d ’être testés.



Le but

Recherche du maximum global d’une fonction…

…de plusieurs variables…

…éventuellement non linéaire…

…sous contraintes.

Les avantages

La vitesse de convergence

Le petit nombre d’informations nécessaires

Les inconvénients

Impossibilité de démontrer les résultats obtenus



Pour la suite, les notions suivantes sont à retenir :

chromosome = individu

gène = partie constitutive d’un chromosome

population = collection d’individus (la population est classée une fois que les individus ont pu être classés sur la base du critère donné)

génération : une population est projetée sur plusieurs générations (la population initiale est générée de manière aléatoire)

sélection, croisement, replacement, mutations = opérateurs qui permettent de passer d’une génération à l ’autre, tout en améliorant la population en base au critère donné.


Etude de Cas

1111

Luca De Dominicis - 18 février 2003Aide à la décision en finance

C - Etude de Cas

Le problème est le suivant : un investisseur privé … … détient un capital de 1000€ à la date T …

… il veut placer son capital en instruments d ’investissement tels que actions, obligations, immobilier, etc. afin de :

MAXIMISER le rendement de son capital tout en MINIMISANT le risque associé (risque de ne pas atteindre le rendement souhaité, voire de perdre tout ou partie de son capital)

Cet investisseur vient nous voir en nous demandant comment repartir son capital entre les différents instruments afin d’atteindre au mieux son objectif en fonction de la durée de son placement

Question : Comment peut-on résoudre le problème de

l’investisseur ?

1212


C - Etude de Cas

Question : Comment peut-on résoudre le problème de

l’investisseur ? Reformulons le problème en termes mathématiques :

il s’agit de maximiser la fonction f(x1, x2, …, xn), appelée fonction objectif

Espace des allocations

(autant de dimensions que le nombre de

classes d’actif)

Espace d’arrivée

(nombre de dimensions dépendant des règles

d’optimisation)

FONCTION OBJECTIF

Problèmes : optimisation multi-objectif dans un espace non normé nombre de variables potentiellement élevé simulation des actifs préférablement stochastique

1313


C - Etude de Cas - Solution 1

Solution 1 : approche analytique déterministe

on prend des hypothèses sur l’évolution des classes d ’actifs on en tire un indicateur (ex. : l’espérance historique moins la volatilité annuelle) :

1 2 3 4 5 6 7 8

actions obligations monétaire

on peut en tirer des conclusions directement par une simple analyse du graphique.

1414



Solution 1 : approche analytique déterministe

avantages rapidité simplicité de résolution simplicité de lecture des résultats

inconvénients absence de corrélations entre les actifs => un des principes fondamentaux de

la finance (les avantages de la diversification) n ’est pas pris en compte hypothèse de normalité des distributions (à la base d ’un calcul moyenne-

variance). En réalité, ce sont des distributions à queues épaisses et l’hypothèse faite minimise (parfois brutalement) le risque réel

dépendance des résultats de l’indicateur choisi (par exemple, si je choisis la moyenne tout court, la classe action surperforme toujours les autres, voir le slide suivant)

1515



Solution 2 : approche analytique déterministe multiobjectif

on prend des hypothèses sur l’évolution des classes d’actifs (moyenne, variance de chaque classe)

Scénario central

1 2 3 4 5 6 7 8


Scénario de perte maximale

1 2 3 4 5 6 7 8


il apparaît tout de suite que critères différents donnent des résultats opposés : donc, nous devons introduire une mesure dans l ’espace des objectifs. Comment ? Quelle mesure ?

1616



Solution 2 : optimisation multiobjectifs … quelques techniques :

on lie les objectifs par une fonction, par exemple : F(objectif1 ; objectif2) = F(objectif1) + F(objectif2) problème : dans l ’espace des objectif, les solutions faisant partie des droites ci-

dessous auront la même valeur …

Critère 1

Critère 2

12345

6

Critère 1

Critère 2

1

2

3

4

5

6

on fait une optimisation au sens de Pareto : on prend comme optimale tout point de l ’espace d ’arrivée qui n ’est pas dominé en même temps sur les deux objectifs :

problème : l ’ensemble des solution optimales peut devenir si vaste qu ’il sera impossible de choisir entre elles. On ne fait que retarder le processus d ’optimisation

1717


C - Etude de Cas - Solution 2 Solution 2 : optimisation multiobjectifs … notre solution : nous rechercherons à optimiser un seul objectif, mais considérerons

une contrainte sur l ’autre, c ’est à dire : soit nous rechercherons le rendement maximum sous contrainte de limiter le risque soit nous rechercherons le risque minimum sous contrainte d ’avoir un rendement donné

cette approche permet, au niveau de l ’utilisateur de l ’optimisation, de fixer les rôles entre lui et le décideur (dans ce cas, l ’investisseur) : en effet, le décideur doit prendre d ’abord la décision (entre les deux possibilités, ensuite pour fixer les paramètre), ensuite l ’utilisateur du modèle (le consultant financier) transmet une seule solution, voir un nombre restreint mais regroupé autour d ’une solution.

Rendement moyen sous contrainte

1 2 3 4 5 6 7 8


Si on reprend l ’exemple des trois classes d ’actifs et on met à 0 les rendements associés à un risque de perdre plus de 30% du capital initial, on obtient :

1818



Solution 3 : approche analytique déterministe multiobjectif avec corrélations le résultat qu ’on vient d ’obtenir est encore biaisé, au moins du fait de ne pas

prendre en compte les corrélations. insérer les corrélations revient à dire que, si s1 et s2 sont les risques associés à

deux actifs, alors le risque sm présente la propriété :

sm < s1 + s2

pour prendre en compte les corrélations, on devra calculer la matrice des variances:

Matrice des variances

Actions Obligations Monétaire

Actions ()^2 ( (

Obligations ( ()^2 (

Monétaire ( ( ()^2

1919



Solution 3 : approche analytique déterministe multiobjectif avec corrélations à partir de cette matrice, on peut calculer le risque associé à une allocation donnée

comme suit :

on s’aperçoit que des combinaisons de ces classes pourraient donner des meilleurs résultats (en terme de couple risque - rendement) par rapport à un investissement à 100% dans une seule classe

on est alors amenés à passer d’un type de graphique (temps, fonction objectif) à un graphique où, pour un horizon donné, on déterminera le couple risque - rendement pour toute combinaison linéaire des classes d’actifs :

313221

23

222

221

2 ,2,2,2

monétaire oblig actions

1 2 3 4 5 6 7 8


Graphique risque - rendement pour horizon donné

risque

rendem

ent

=>

2020



Solution 4 : approche CAPM le modèle CAPM (Capital Asset Pricing Model) ou MEDAF (Modèle d ’Evaluation

Des Actifs Financiers) est le modèle issu de la théorie du portefeuille de Markowitz : il regroupe grand partie des aspects évoqués jusqu’ici, notamment :

prise en compte des corrélations entre classes d ’actifs prise en compte de plusieurs objectifs, par le moyen d ’une frontière efficiente,

calculée pour un horizon donné

Graphique risque - rendement pour horizon donné

risque

rend

emen

t

2121



Solution 4 : approche CAPM la frontière efficiente est l ’ensemble des allocations pour lesquelles on ne peut pas

trouver d ’autre allocation qui ait : un meilleur rendement pour un niveau de risque donné un risque plus bas pour un rendement donné

la méthode CAPM consiste à tracer, pour un horizon donné, la frontière efficiente : comment trace-t-on la frontière efficiente ?

soit de manière déterministe, mais en prenant des hypothèses « lourdes » sur les distributions des rendements des classes d ’actifs

soit de manière stochastique

en tous les cas, on est obligé de calculer le couple risque - rendement pour toute allocation qu’on veuille tester

2222


C - Etude de Cas - Résumé

D’après les tentatives de solutions montrées jusqu’ici, l’approche souhaitée devrait avoir les caractéristiques suivantes :

offrir la possibilité de faire des calculs stochastiques, pour éviter des simplification nuisibles au niveau des distributions des rendements des actifs

pouvoir optimiser une fonction qui ne s ’exprime pas de manière analytique, mais de manière récursive

pouvoir optimiser une fonction non linéaire, ou au moins sous des contraintes non linéaires (notamment, la contrainte de rendement minimum ou de risque maximum)

Un plus, serait si on pouvait augmenter au fur et à mesure le nombre de variables

en termes de classes d’actifs … … mais aussi de contraintes temporelles : par exemple, on pourrait

souhaiter de poser des contraintes non seulement sur l’année fixée comme horizon temporel, mais aussi sur les années précédentes

Avez-vous des propositions ?

2323


C - Etude de Cas - Solution AG ?

L’approche souhaitée devrait avoir les caractéristiques suivantes :

offrir la possibilité de faire des calculs stochastiques

pouvoir optimiser une fonction qui ne s ’exprime pas de manière analytique

pouvoir optimiser une fonction non linéaire, ou au moins sous des contraintes non linéaires

Un plus, serait si on pouvait augmenter au fur et à mesure le nombre de variables

Le but Recherche du maximum global d’une

fonction…

…de plusieurs variables…

…éventuellement non linéaire…

…sous contraintes.

Les avantages La vitesse de convergence

Le petit nombre d’informations

nécessaires

Les inconvénients Impossibilité de démontrer les

résultats obtenus

Caractéristiques des Algorithmes Génétiques

Caractéristiques Recherchées

2424


C - Etude de Cas - Solution AG

Mise en place d’une solution de type « Algorithmes Génétiques ». Les étapes :

1 - Choisir la fonction objectif 2 - Cerner les variables importantes 3 - Déterminer par conséquent l’espace de définition de la fonction objectif 4 - Si l ’espace de définition est continu, où si son maillage n ’est pas le maillage

souhaité, déterminer le maillage de cet espace (maillage dynamique de l’espace ?)

5 - Déterminer la bijection entre le modèle réel et les Algorithmes Génétiques

Dans notre cas, il faudra aussi déterminer l ’interaction entre Algorithmes Génétiques et simulations stochastiques Monte Carlo :

6 - Définition des processus stochastiques 7 - Calibrage des processus stochastiques (sur l ’historique, par exemple ? Quel

historique ?) 8 - Redéfinition de la fonction objectif comme indicateur statistique sur les

histoires stochastiques

2525


C - Etude de Cas - Solution AG - Etape 1 : Choix de la fonction

Le choix de la fonction objectif est une des étapes plus délicates de la mise en place des Algorithmes Génétiques, comme il arrive souvent quand il s’agit de l ’étape initiale d ’un processus

Le choix de la fonction objectif part de la question suivante : quel est l ’objectif de l ’optimisation ?

L ’objectif étant la maximisation du rendement et la minimisation du risque, nous rencontrons la problématique de l ’optimisation multiobjectif : l ’expérience professionnelle montre qu ’il est indispensable déterminer a priori l ’objectif (et par conséquent la contrainte) avant de continuer. Quel objectif choisir ? Pourquoi (analyse points forts / points faibles) ?

L ’objectif de notre optimisation sera de minimiser le risque pour l ’année finale de projection (= horizon temporel)

=> Donc, la contrainte sera un rendement minimum, disons par exemple de 5% par an (recapitalisé)

2626


C - Etude de Cas - Solution AG - Etape 2 : les variables sensibles

Les Algorithmes Génétiques présentent la propriété sympathique de gérer fonctions de plusieurs dizaines de variables

Néanmoins, moins de variables on utilise, moins sont les dimensions de l ’espace de définition du problème, plus sera rapide la recherche

Il faudra alors se limiter au nombre nécessaire de variables : quelles sont les variables du problème et combien on en retient ?

Dans ce problème, l ’investisseur veut qu ’on lui indique la répartition de son investissement entre différentes classes d ’actifs : donc, les classes d ’actifs seront les variables :

combien de classes choisit-on ? Comment caractérise-t-on les classes d ’actifs (pourcentages, valeurs

absolues, etc.) ?

Les variables seront les pourcentages des trois classes : actions, obligations, monétaire …

… ce qui en réalité réduit le nombre de variables à deux (le troisième pourcentage étant le complément à 1 des deux autres

2727


C - Etude de Cas - Solution AG - Etapes 3 et 4 : l’espace de définition

Etape 3 : définition de l ’espace Compte tenu du fait que les Algorithmes Génétiques sont une méthode

d ’exploration globale de l ’espace de définition, et compte tenu que le nombre de ses dimensions est fixé une fois les variables choisies, nous pouvons diminuer le temps de recherche en posant des limites sur les variables (par exemple, si l ’investisseur ne veut pas investir plus que X% dans une certaine classe d ’actif)

Etape 4 : maillage de l ’espace Dans ce problème, l ’espace de définition est potentiellement continu en

toutes ses dimensions entre les bornes choisies plus haut Comment peut-on faire le maillage ? Quel pas choisir et quelle technique ?

Le plus important, c ’est de choisir un maillage constant dans le temps : il existe des techniques de maillage dynamique (avec des pas de plus en plus serrés), mais elles vont dans le sens contraire de la recherche globale

Pour le pourcentage, un pas de 1% convient dans la plupart des cas comme un bon compromis entre précision et vitesse

2828


C - Etude de Cas - Solution AG - Etape 5

Par ailleurs, nous rappelons les définitions suivantes, qui seront utilisées dans la suite :

génération : une population est projetée sur plusieurs générations (la population initiale est générée de manière aléatoire

sélection, croisement, replacement, mutations = opérateurs qui permettent de passer d’une génération à l ’autre, tout en améliorant la population en base au critère donné.

chromosome = individu

gène = partie constitutive d’un chromosome

population = collection d’individus

structure cible = allocation d’actif (en %)

pourcentage d’une classe d ’actifs

collection d’allocations

La bijection entre l ’espace réel et l ’espace des Algorithmes Génétiques est déterminée de la manière suivante :

2929


C - Etude de Cas - Solution AG - Etape 5

Il reste à savoir, concrètement, comment les pourcentages des actifs sont codifiés en gènes : des idées ?

Nous nous trouvons face à quelques problèmes : des pourcentages doivent être codés en binaire il existe des contraintes sur les pourcentages et entre les pourcentages faut-il coder en absolu ou en relatif ?

Nous avons codé en relatif suivant ce raisonnement : la précision souhaitée et les bornes des classes connues, nous savons combien

de valeurs différentes peuvent prendre les pourcentages de chaque classe on cherche alors le plus petit x tel que et ça, pour chaque classe x est alors le nombre de « digits » pour le gène correspondant à la classe à ce moment, nous n ’avons pas encore posé de contrainte d ’ensemble, c ’est à

dire, pour le moment la somme des pourcentages ainsi codés pourrait être différente de 1

pour ce faire, on applique un rescaling aux pourcentages afin de respecter la condition ci-dessus

x2 valeursnombre

3030


C - Etude de Cas - Solution AG - Etapes 6 et 7 : processus stochastiques

Etape 6 : définition des processus Il s ’agit ici de déterminer quels processus gouvernent les indices qui nous

servent pour mesurer le rendement et la volatilité des classes d ’actifs Suivant les propriétés qu ’on veut souligner sur les classes, on pourra choisir

entre autres entre : processus de retour à la moyenne processus à queues épaisses processus de saut - diffusion etc.

Etape 7 : calibrage des processus Les processus mis en place, il reste une opération au moins aussi importante,

leur calibrage, c ’est à dire le choix des paramètres des distributions qui les gouvernent (ex. : espérance, volatilité, skewness, kurtosis, etc.)

Le « choix » des paramètres peut se faire en réalité par des régressions multiples, par exemple sur un historique : néanmoins, il reste encore beaucoup de variables, comme la durée de l ’historique à prendre en compte, la fréquence de mesure, l ’indice de référence (ex. : pour les actions françaises et européennes vaut-il mieux considérer le CAC40 ou le DJEuroStoxx ?)

3131


C - Etude de Cas - Solution AG - Etape 8 : redéfinition fonction objectif

Compte tenu du fait que nous utilisons des simulations stochastiques (normalement, 10^4 simulations pour une allocation donnée), il faut redéfinir une fonction objectif (au sens de l ’Algorithme Génétique) pour bien prendre en compte de la richesse statistique des simulations

Par exemple, si la fonction objectif du problème est de minimiser le risque pour un rendement donné (comme dans le problème actuel), nous pourrons mesurer pour chaque allocation un indicateur de type VaR (Value at Risk) ou Expected Shortfall et prendre ça comme fonction objectif de l ’Algorithme Génétique

Value at Risk : il s ’agit d ’un centile donné (généralement 90%, 95% ou 99%) de la distribution des rendements

Expected Shortfall : il s ’agit de la somme de toutes les valeurs qui sont après le centile correspondant (encore une fois, généralement 90%, 95% ou 99%)

les deux sont des indicateurs de « perte maximale » que l ’investisseur pourrait être confronté à enregistrer

3232


C - Etude de Cas - Solution AG - Résultats 1

Ces résultats ont été trouvés à partir de l ’Algorithme Génétique couplé avec 100 simulations stochastiques par allocation

Analysons les résultats : d ’abord, on constate une certaine instabilité, due au nombre de

simulations ; normalement, ce genre d ’optimisation utilise 1000 à 10000 simulations stochastiques par allocation testée

on note que le risque diminue avec le temps : pourquoi ?

Horizon 1 an 2 ans 3 ans 4 ans 5 ans 6 ans 7 ans 8 ans

Actions 50% 50% 64% 48% 55% 83% 43% 47%

Obligations 5% 0% 7% 10% 10% 17% 5% 6%

Monétaire 45% 50% 29% 42% 35% 0% 52% 47%

Risque 37% 38% 32% 32% 35% 32% 30% 30%

La réponse est fournie par le couplage des trajectoires des actifs avec la contrainte (rendement = 5% par an) imposée : au début seulement les actifs plus risqués arrivent à fournir le rendement désiré

3333


C - Etude de Cas - Solution AG - Résultats 2

Ces résultats ont été trouvés à partir de l ’Algorithme Génétique couplé avec 300 simulations stochastiques par allocation

Analyse des résultats : on note tout de suite une meilleure stabilité le risque a augmenté, mais par des raisons exogènes au problème (notamment, des

paramètres de l ’algorithme génétique et des simulations stochastiques) on remarque une montée des obligations sur les horizons à 5 et 6 ans,

apparemment difficile à expliquer

Horizon 1 an 2 ans 3 ans 4 ans 5 ans 6 ans 7 ans 8 ans

Actions 83% 58% 58% 56% 43% 50% 40% 37%

Obligations 11% 0% 0% 0% 7% 21% 0% 4%

Monétaire 6% 42% 42% 44% 50% 29% 60% 59%

Risque 41% 37% 38% 40% 40% 41% 37% 37%

3434


C - Etude de Cas - Solution AG - Trajectoires monétaire

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

1 2 3 4 5 6 7 8

3535


C - Etude de Cas - Solution AG - Trajectoires obligations

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

1 2 3 4 5 6 7 8

3636


C - Etude de Cas - Solution AG - Trajectoires actions

-100%

-50%

0%

50%

100%

1 2 3 4 5 6 7 8


Conclusions & remerciements

3838


D - Conclusions et remerciements

Une question de moi à vous : qui peut m’expliquer en deux mots le fonctionnement des AG ? avec un exemple concret ?

Ce qui reste à faire démontrer la convergence des Algorithmes Génétiques diffuser la connaissance : pour le moment, les AG peuvent être utilisés

presque seulement en recherche, trop peu de monde en a entendu parler dans les entreprises et, comme on ne peut pas démontrer les résultats, ils paraissent comme une boîte noire

présenter les Algorithmes Génétiques non comme méthode d ’optimisation, mais comme catalyseur pour l ’optimisation : cela rend les gens moins exigeants sur la démontrabilité des résultats, car ils se disent que, si on doit vraiment faire une recherche globale du maximum, autant la faire à travers un outil qui la rend plus rapide

Questions ?

Un précurseur des Algorithmes Génétiques « Continue ce que tu as commencé et tu arriveras peut-être au sommet ;

ou au moins, tu arriveras en haut à un tel point que tu seul comprendras que tu n ’es pas au sommet » (Sénèque)


Aide à la décision en finance

18 février 2003

Luca De Dominicis (ECP 2001 - Politecnico di Milano)

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